Kapitola II POLYNOMY JEDNÉ PROMENNŽ §1 : OKRUH POLYNOMŮ Definice : Nechť R je okruh: pak poly no m e m (/ e.d n e' p r o ■ menné) nad okruhem R budeme nazýval každou nekonečnou posloupnost (D • f - («„,«,»«,, .....) kde afER i 1 = 0,1,2,.... , .pri čemž od jistého indexu n počínaje jsou všechny prvky ak rovny nule okruhu R, t.j. a = O, pro k> n . Prvky- oj,', a,, aj, ... posloupnosti (1) nazývame k o e f f c l e n l y polynomu f ; koeficient nazýváme a b s o I u t n !m členem polynomu f. Polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny 0R nazýváme nulovým po -l y n o m e m a označujeme jej symbolem o . Tedy : o - (0, 0,0, .'...... ) Polynom, jehoí absolutní Sien je roven \R a ostatní koeficienty jsou rovny QR nazývame jednot k o v ý m po l y n o m e m a označujeme jej symbolem j. Téäy; ■ ... '/ = (1,0, 0........) Množinu vsech polynomä jednč proměnny nad okruhem R označujeme R[x]. Poznámka : zrejme"je vzdy R[x] =ŕ 0 (neboŕ napr. o 6 R[x]). Je-li R iwtriviálm okruh, pak R[x] obsahuje zrejme^hekonec'ne'mnoho prvků, bez ohledu na to, je-li okruh R konečný iiebo nikoliv. Je-li R triviálni ojcruh, pak zrejme" R[x] * [o ). Tento p/ípa^d budeme v dalšim vylučovat. Definice: Nechŕf J) je nenulový polynom nad R , nech ŕ n je celé nezáporné číslo s vlastnostía„ ŕ 0 ; o, = 0 pro k> n , t.j. f * ( ) = (~°°) + n = n + (—«*) = pro kaíáé celé Číslo n . Tímto způsobem máme nyní definován pojem stupně polynomu pro líbovolňís ftž R[x). Poznámka : polynomy stupne' menšího mí l (t.j. polynomy stupnjs nula a nulový polyncm) obvykle nazýváme konstantní polynomy nebo tézr konstanty. Při tom je tfeba si dobré uvčdomit rozdíl mezi nulovým polynomem,a polynomem stupne nula ! Dále, polynomy stupne J (resp. stupne" 1, resp. stupnf 3.).naz£yáme lineárni (resp; kvadratické', resp. kubické) polynomy. ■,**.'«:.% Na množine' R[x] definujeme nyní dvě'operace, sčítaní a násobeni; ktere^budeme označovat symboly + a . , t.j. stejnými symboly jako sčítaní a násobenfv okruhu R . Z dalšího bude vsak patrné, že v teto souvislosti nerhuze dojít k ŕMbwaimCnŕ Definice : Necht" f-- ( a0, u,, . . . ) , g = (*0,*lf ...).€ R[x\. P.ají -' součet f + g definujeme : (2) f + g = (n0 f w v- • • > • í o u c i n f. g definujeme ■ W • ■■ • /:«.=( vci>«i........> A*' b » 2 arb. Poznámka: J + gfi zřejmí polynomem, nebořpro m > max srU) ] dostáváme am + b - 0 a tedy v posloupnosti (2) je pouze konečné rnřldho nenulových prvku. Podobně pro součin f.g ; Je-li m >si(f) + rí(jf). pak pro každý součin arb. , kde i + j = r,i musí být l>st(f) nebo /' >«*(/') a tedy a( _ 0 nebo /;= U . V důsledku toho je pak t = 0 a tedy. v posloupnosti (3) je opět - 17 Pouze konečnímnohonem,lovrchprek„vid^ "a ninořlnií /^j _ jma operace Veta l.l. ; Množina R\x\ s operacemi sčítáni a násobeni polynomu,je. okruh (t.j. komutativní okruh s jedničkou), Stručne budeme hovořit o okruhu polynomů jedné proměnné nad li. [Důkaz : nechf /= ( aQ, a,, . . ) , g = K bQ, b]f . . . ) , h = ( cfl ,c,, . . . . ) G R[x) . 7, definice je ihned vidíít, ze operace sčítání Bolynomú je asociativní a komutativní. Nulový polynom o je nulovým prvkem a polynom (~í*0-_^i' je opačným prvkem k / .. Je tedy + ) abelovskou grupou, Dokazme nyní asociativitu operace násobení. Oxnacme : '< = U<, • ■ • ) : f(g.h)=ís'ots\,. ..) Potom je ; s., " X n r = z ( S a. .ÄJ . c = 2 (a. . í>. ) ■ C, 2 p, HM ' W JS'"e d0k3'7-a,i : tm.*-f,i gj,) Z definice nfebenf polynomu bezprostředná vyplývá & ide D "f a & jednotková , .... ' ° ^'"omutativ- ■) je jedničkou. Je tedy n( a z'e jednotkový polynom / =( j ,0,0 komutativní pologrupa s jedni&ou. Zbývíovffi, pIalllost íj!tritailni,0 zákoM ( : f ^ + ^ _ odltud plyne, íe + = f.g + f.h Dohromady jsme tedy dokázali, ze R[x\ - (R\x\, 4. ■ ) Je okruh J . Poznámka : polynomy stupne menšího nez 1 jsme výse nazvali konstantními polynomy. Pro sčítania násobení těchto polynomu platí: . ( v o,...) + ( b„, o,. .) - 0. . ..) = (flj. fc„ ,0, ...» . Pak ovsem zobrazení >p : R -* R\x], definované tahem : .v.'":,-://'--. ■ f (ŕ) «•< r, O, O,...) , pro lib. í' G R je bomomoriizniem okruhu R <Ío okruhu R[x) , Navíc jc ziejmé zobrazení

(r) i^íj) . Tedy

p ), resp. rnuzeme okruh R povahovat za unitární podokruh okruhu R\x\. Pokud jde o . označil vŕní konstantních polynomu, muzeme tedy místo t/,0,0, . . . ) psát stručne' pouze symbol r a hovořit o "prvku r " .. Nyní zavedeme zjednodušeny bČíní známe' ozjíacova'ní polynomů a.operací s nimi. Uvažme nejprve, Že z definice součinu polynomu vyplývá následující pravidlo pro násobeni polynomu /= t °0'ať *■••■) prvkem rG.R, t.j. konstantním polynomem f * ( ř, 0, 0,. ..) : r. f = (', 0, 0, , , ) . ( v V V ■ ' ' > ■ ( r.a0,r.arr.at, ...)•. Dále označme polynom (0, 1, 0, 0, ... ) nejakým pevným symbolem, napr symbolem x . Z definice násobení'polynomů plyne, že : x2 ■ x.x ■ (0, 0, 1, 0, ... ) , *? - (0, 0, 0, 1,0, . . . ) , atd. Nectil nyní / - ( a0, af, a r . . . ) jc polynom slupne mensiliô nebo rovného n . Vynásobíme-li polynomy /, x, x7, dostaneme ; , x" postupne prvky «0- ( u0> 0, 0----) ( 0, 0, . - . ) (0, 0, a7,Q,..) a^x + . . . + ů"'.Xn' f o.....o, ťfř(, o,..) - amJr odkud sečtením dostávame ; ( <í0, a,.....«„. 0, .) =■ a0+alx -i t. zn.. polynom / můžeme tedy vyjádřit ve tvaru : (4) / = a0 + atJÍ + arxl + . . . + anxn }a vidět, ze vyjádření polynomu / ve tvam (4) je jednoznačné, neboť* dva zápisy tohoto typu sc mohou lišit jedině formálneho sčítance tvaru 0.jr*. Poznamenejme jeste", ze suuieta součin polynomu, definovaný drive, splývrpfí zápisu polynomfi ye .tvaru (4) s obvyklým součtem a součinem, známým ze střední' školy pro polynomy nad li . Vzhledem ke komutativite operace + není zřejmí poradísčítanců ve (4) pevne dáno. Obvykle budeme sčítance uspořádávat podle mocnin x bud" vzestupné nebo sestupné. Dále, pro polynom / budeme podle potřeby používat téz označení f(x). V dalším si blíže všimneme některých vlastnosti stupné polynomu. Především, z poznámky za definicí součtu a součinu polynomů vyplývá, ze pro f,g £ je: (5) sttj + g) < max ( slij), si(g) ) (6) st {f.g ) < sl{f) + pri cemž' v řádné z nerovností (5) a (6) obecné nenastane rovnost, jak ukazuje následující příklad. Příklad 1.1: Nechť R = Z4, nechť /= g = (0, 1, 2, 0, 0, . . . JeŽJxJ,tzn-«(/) = J'(í) - 2. Potom : /"+ g = (0| 2, 0, . . . ), t. zn. síCŕ+g) « I < m (C- •*;+•••+«_:••»- ■)+ "m k + («m.,- Vi* • •■ + aóA„„)- Všechny souřiny v prvé i druhé závorce jsou nulové, neboť a = 0 pro k > m Y ' resp. .fr, -0 pro k> n . Tedy ^ = af. bn * 0' podle předpokladu vety ledy je sl (f.g) S» m + /i * st (f) + * (») , odkud vsak vzhledem'k (6) dosta'-vanie žádanou rovnost. | '■ ■ pH„uWkoefiäe„, polynomu / i K Je díliteUsm nuly t »' Důsledek: Nechť # jc obor integrity. Pak pro libovolné' f.g S R[x\ plati « tfř) - tt (/) ♦ »/ <*) • |D ú k a t : je-li f"gm o , pak tvrzení zřejmě platí Je-li alespoň jeden z polynomu f,g nenulvvý, pak jde o přímý důsledek předchozí vety. ] Vřla t J: Nechť K je okruh . rtech ŕ /€ R[x] je nenulový polynom. Potom f je dělitelem nuly v R\x) <• existuje c SR, c -ŕ- 0 tak. že c.j = o. (D ú k a Z : " <=* " zrejme, neboť" e G R, c 0 lze cllápat jako nenulový polynom B /([jc] " označme /U) " "o + "ix * ■ ■ ■ * • ?oc"5, P'edpo kladu existuje polynom g e R{x\, g* o takový, ze f.g -o. Nechf « (x) = Je-li j/(g) = 0, pak je tvrzení dokázáno. .Nechť . - o, , a.gM ■ tedy st I ■ Nyní stačí dokázat, že existuje polynom h e R[xii h # o , 5( (/l) < S( (g) tak, Se /. /i = o , neboť pak po konecnřr.i počtu kroků stejnou úvahou dojdeme k zadanému tvrzení. Uvazíme-li polynomy (7) «o g(x) , a, gtx) , . pak mohou nastat dvě možnosti : 1) všechny polynomy v (7) jsou nulové a tedy mimo jine platí : odkud pak dostavíme, ze b ■ fí.x) = 0 . Stačí tedy v tomto případe' položit * W -im ■ . 2) existuje index r (0 < r K n) takový, ze (8) ar . g (x) o a dále pak : a^, . £ U) ■ . g U) = ....= an. g (x) = a Pak ale je : (9) o = (ťz0 + íí,.t +,..„+ anxn) . g (x) - (aD + . . . + a/1") .'£{*). - 21 Polozme : h (x) = ar g {x) . Pak z (9) plyne, ze jŕ (Ji) < st (g), nebol" jinak by totiž; polynom na pravé strane (9) nebyl nulový. Podle (8) je A :# o > Při tom /. /( - ar . f. g - o , t. zn. h je hledaný polynom. ] Poznámka: z předchozí věty je vidět, zé je-li / polynom, jehbT alespoň jeden koeficient není dělitelem nuly v R , pak / není'dělitelem nuly v R[x]. Důsledek: R je oborem integrity ■» R[x) ie oborem integrity. [D. u k r z : ."■»*' je přímým důsledkem předchozí' vety^. ***»" : plyne z toho, že prvky z Ä lze chápat jako (konstantní) polynomy z /*[*]. Je-li tedy r.s G R ; ris 0, pak musí byt r.s =r 0 , ponevadzpodle předpokladu Je oborem integrity. ] Poznámka ; okruh polynomu R[x] hcmúz'e být v žádném .pnpade^telesem, neboť napr. polynom / {x) = jc je nenulový a v R[x] knemu, neexistuje inverzní prvek. Zabyvame-li se otázkou existence jednotek v R[x) (tj. polynomů, k nimž existují v R[x] inverzní), vidíme, ze kazda'jednotka okruhu R (chapana'jakoi'to konstantní'polynom) bude Jednotkou okruhu ÄJxj.! Obécne'ovsem i k nekonstan-t-ním polynomům múze v R[x] existovat inverzní, häprľý Zi[x] je ; Cl + 2x) . (I + 2x) = 1 t. zn.-lineární' polynom / = 1 4- 2x je jednotkou v Omezíme-U se vsak na obory integrity, pak se situace zjednoduší, jak ukazuje nasle-dujía.véta. Veta 1.4. : Nedlí'R je obor integrity. Pak fednotka/ni okruhu R[x] jsou práve jednotky okruhu R . 's [D ú k a z : jednotky okruhu R jsou zřejmě jednotkami' R[x). Naopak, nechť polynom / je jednotkou R[x), t. zn. existuje 'g e'R[x) tik, že f.g = j. Podle důsledku V.1.2. je : st {f.g) = st(f)+ st (g) = 0 ' odkud vsak plyne, ze st CO = st (g) - 0 , t. zn. / i g jsou konstanty z R. Tedy / je pak jednotkou R ]. Poznámka: je-li R oborem integrity, pak i R[x] je oborem integrity a ledy v K|x| platí zákony a krácení ípodle V.1.1 kapitoly I), t.j. je-li f.g.h G /<[.v], pak 1*0, f g " f.h =■ g ~ ti Predpoklndy tohoto tvrzení lze vsak Ještě poněkud zeslabit, jak ukaznje následující veta, vílu I.S.: 'Nechť R j c. okruh; f. g. h S R\x\. Jestliže alespoň jeden koeficient polynomu f není dělitelem n\tly v R , pak lze polynomem f hatit. tm. platí implikace : ■ f ■ g ~ ľ ■ h •* g ■ h [D u k a z ;; rovnost f.g ~ f.h. lze přepsat dp tvaru fig? h) = o . Jestliže alespotí jeden koelicient polynomu / není dělitelem truly v R , pak / # o a podle V. 1.3. / nenřdělitelem nuly v R[x\. Pak tedy g—li a o , neboli "ŕ - h ] . Pojení dělitelnosti, zavedeny v kapitole i pro okruhy si nynf preformulujeme specielně pro okruh polynomu fí\x\. Definice : ,/Ver/j/'R je okruh, necht'f, g e. R\x]. Existuje-ll polynom h 6 R|x| í vlastností : r • g h pak tikáme, ze polynom g de'lí polynom f a píšeme : g>f. V o-pacnem prípadetikáme, ie g nedél.f í opíšeme: gttf. Poznámka : stejne jako v obecném prípade, je-li /"= o ; pak zríjmŕ g\o , pro kaz"dy polynom g e R[x\. Naopak, je-li g = o , pak, pif jedine v prí- ľ t/ pade, ze / = o . Vzhledem k tomu, že R[x] ie okruh, k tety nemusr.být oborem integrity, a h véisína vlastností'dělitelnosti byla odvozena pro obory integrity, nelze obecní všechny výsledky § 2, kap. 1 přenést na polynomy. «.'l >, , il JSm. § 2 : DĚLENÍ SE ZBYTKEM DVOU POLYNOMU Definice : Nechť l< je okruh; ,/, g S R[x\ Říkáme, íc v R[x] lze pro »nl d e I e n I s e zbytkem polynomu f polynomem g , jestlife existují polynomy q, r e R [x), splňující: i; f ■ g. ? + r 2. si (/-) < »( (s) Polynom q \ resp. r, se potom nazývá podíl , resp. zbytek tohoto dělení. Poznámka : je virlít, že pro g = o nelze (pro ííůný polynom !) deienfsc zbytkem provést, nebot" nemúze být splněna podmínka 2. V dalším se budeme zajímat o to, zda pro g <č o déíení se zbytkem provést lze, resp. zda podíl q a zbytek r jsou určeny jednoznační'. Následujícřjednoduché příklady ukazují, íe odpovídaje v obou případech obecné' negativní. Příklad 2.1.' V okruhu polynomů Z[x] uvalme, polynomy fjf, 3X , g ■ 2\. Pak zřejmí rrelze najít-polynomy q* t O 7<\x\ tak, aby platilo ,(_ , 3x = (2x), q + t ; st (i) < .1 * slig). Přiklad 2.2.: V okruhii polynomů Z,[x] vezmřme polynomy : /= 2x3 + ix l- 2 ; g = 2x' + 1 . *•**' 11 ' Pak zřejmé platí: ,, . ix' + 3* +2 • (2x» + 1).(* r 2),+ 2* =,(2*? + 1), 3» + 2 » (2X1 + 1). .(2x2 + x + I) + C2x +1.) , atd,, t. zn. délenř,se zbytkem/.tle prove'st lze, ale podií a zbytek, nejsou určeny jednoznačný . Vňa 2.1.: Nechť R je okruh, nechť f.g 6 R[x\. Je-li vedoucí koeficient polynomu g jednotkou okruhu R, pak v R[x] lze provést deleníse zbytkem polynomu f polynomem g. lD u k a z : označme /= (/0 r atx + . s = /;„ + b,x + . . + atix" ■ * h.. X" Podle predpokladu je hm jednotkou R , t zn. v R existuje prvek b'' 24 Tedy je st ig) O . Vŕítu dokážeme indukcí vzhledem k st (/) . Je-li st (/) < 51 (g), pak vííta platí, neboť stačí* položit q = o,i - f. Nechť tedy je st ti (g) . 1. zn. st (J) = i/ (g) + , kde k > 0 je cele cYslo. Při t = 0 (I. zn. «(/)-« O cel/cYslo) a dokažme Jeji platnost pro »*(/)■ W (g) + k < 1 Položme d) /, (jt) ?/(*)-«„• »;'/M.*w Tak 7,řejmé ji (/,) < sí ( /) , t. zn. podle indukčního předpokladu existujípoly-nomy í|,(xj, r, (x) s vlastností : (2) /,(x) = g 0 . Tedy nmsf byt ; st (q-q') =■'-«•, t. zn. q = q' . Odsud pak vzhledem k (3) dostáváme, že r = ľ' , c. b. d. j . Veta 2.3. : Nech ŕ R fe okruh, nech ŕ x e^UI JE* polynom, jehoz.ye.dou-cíkoeficient je jednotkou okruhu R . Pak pro lib. /;e R[x] lze prove'st dělení se zbytkem polynomu f polynomem g , ph.'cémž podíl a zbytek tohoto delení jsou určeny jednoznačná ; : [Důkaz : tvrzení víty plyne ihned z předchozích dvou vet vzhledem k tornu, íe jednotka okruhu R neiiŕnikdy dělitelem'rilily v R ]. Důsledek:1 Nechť R je teleso. Pak delenŕse zbytkem .polynomu /,,polyno-mém g lze provést pro libovolné polynomy f, g ě R\x\ , kde g j= o , pfi cemiť podíl a zbytek jsou určený Jednoznačné^ [Důkaz '. tvrzeni plyne ihned z předchozrvety vzhledem k tornu, zé v telese je kai^dý nenulový prvek jednotkou | . Poznámka: Je-li R teleso a jsou-li /, g S R\x] . g #o , pak pFí děleni polynomu / polynomem 'i jsou podíl q, a zbytek r opit polynomy Z jak plyne ŕ: algoritmu delení. Tedy, je-li S libovolné' nad teleso telesa R a deííme-li - 26 - v S\x] dva polynomy, jejichž koeficienty jsou z íi , dostavíme .podii a zbytek, jejichž koeficienty jsou opět í /?. I 3 : HODNOTA POLYNOMU, KOŘEN POLYNOMU Definice : Nech ľ R je okruh; f - aa + a',x +'.'..* í . t" je polynom z R[£] ; c e/? je pevný pn'ek.Potom prvek: n0 + atc + ......+ a^ť" € /? ' označujeme symbolem Ac) u nazývame h o ú n a l o u p o t y n o m u f v b o d e c . - Je-ll f (c) = On , pak prvek c nazývame k o ľ e n e m polynomu f . Poznámka : z definice je bezprostředně videí, že kazdy prvek-.c, 5 R je kořenem nuluvého polynomu o , resp. polynom atupně^nula naopak nemí.nikdy řádný kořen. Lineární polynom / e \R\x\ , t. j. polynom tvani :.,. .. .„ ■ ,,-t f" aa + a,x . í a, * O ., v prípade, že «, je jednotkou oknihu R , ma jediný kořen, »,fj5i\ Jk£i9al Je-li tedy specielně' R (Klesem, pak každý lineární polynom z R[,*|rná pravé jeden kořen. Polynomy vyssTch stupňu pak obecné kořeny mít mohou, ale také' nemusí, při cemzfpodstatne'zálezTna okruhu R . Problém nalezení kořenu poly-nomu je jedníin ze základních problému celí algebry. Obecne vsak neexistuje algoritmus, který by umožňoval kořeny daného polynomu .určit. ,htUíÍK.i Věta 3.1.: Nechť'R je okruh; necht1' f, g e R[xlJ'akplalŕ; 1. ie-li f - g , pak je f Ir) ■ g (r) pro každé r SR 2. (/ + *).■) g (r) pro každé' r B R --.(.i (Jg ) 10 - /C') .|(f) [U S k a t : ad I plyne ihned z předchozí definice, ... . . ad 2 ; dokáže se přímým rozepsáním,,; provedme,,ši .toto napr ■m 27 pro squč'in f. g . Necht tedy /=(«„, a....., a , 0, .'. );»-(„ » ,, „ .„ » . '* ■ I,? ».:.?!•■ '■!?„,»",...). Potom / g - <."„h0, «„&,+ »,/;„, . t /' odkud : if$ ) (r) -d,*, f o, *„).;■ V") •», +<*,*• • • + «„/»). 'v + 4,/. t,.. *a/j^ =% + ... + «/ ).«>„ + ŕy + . ..t^). = /(,) ,glr) j .••*t»\tv*)i»«*...- VÉtn 3.2. : Nechť R je okruh, ľuk prvek c S R je koľenem polynomu /G/ijxJ práve když polynom (A'-cl dílí f . [D ú k a z : l, nechf c je kořenem polynomu /. Polynom (x -c) je normovaný, stupne' I, t. zn. podle V.2,3. existuje.práYČ jedna, dvojice polynomu1 q. r § lt[x\ : f - (*-ť). řir. číslo. Specielní' tedy (podle V.3^2.) : kaídý k - iiísobný kořen polynomu f je kořenem /' ve Smyslu puvodni definice.■• •' .• .-. • Dále. jestliže platí: Lx-cf \f pro piSjake přirozené'číslo s , pak můžeme, říct, že r je alespoň - násobným koŕénem polynomu /(t. zn. kořenem násobnosti ,v nebo vysíí}. Při tom vsak zřejmě' násobno.st libovolného kořene nenulového polynomu / nemiížc být vétsí ne{ stupciľ tohoto polynomu. Víta 3.3 : Nechť R fe okruh. Pak pivek c e R fe k - násobným kofenetn polynomu f fc R\x\ pravé1 kttyz existuje polynom hGR\x] takový, ze: f ■ (x <)*. A a h ic) * (I [ T) u k a z : I. nechť" c Je k - násobným kořenem /. Pak (x-ť)fc 1/ , t. zn. existuje /i£Ä|.t| tak. ze / - t.v-t)* A Kdyby A.(c) « 0, pak poille V.3.2. U--c) ! It . t. zn. h " (,\--c) A(. a po domem: / = (x-cl* . (r--c) . A, = (*-c)*». li i t. zn. prvek c by byl alespoň (ft+l) - násobným kořenem polynomu /, coiťje .spor s předpokladem. Tedy A(t) & 0. II. nechť /= (x-f)V h , kde h (c)* 0 .Je tedy bt~t)*\f. Dale, kdyby (x-r)**'1/, pak /«(*-<•)*". »- (x ■ c)* (x - c) . g , t. zn. dostávame : (jt-ř)* . A » (.»-«)* • Ur-c) • ř odkud podle V, 1.5., po zkra'uení polynomeni (r cfř dostáváme : A = (x-c).j? , t. in. A (c) = 0, coit je spor. Tedy musí být (x-cfXf a dohiomady dostáváme, ze c Je fc - násobným kořenem polynomu f \ ■ Vžla 3.4. : Nechť K le obor Integrity ; nechť f e R[x\ , ) * o Jsou-li c,, c,, . . . , <: navzájem různé kotítiy polynomu [ o násobnostech klt Aj, ... , kn. pak polynom f le dělitelný polynomem : C-KT-fl )*!■{.*-ť,)*l - ■ • • • •(* ■■(•„)*» II) u kaz: provedeme matematickrm indukcí vzhledem k číslu /j . Je-li 9=1. pak tvrzeni'plyne z definice ft - násobného kořene. Předpokládejme, že tvrzení vety platí pro 1,2,-.., n- 1 Pak tedy ; U ■ 11 )*l.....(A-'-,, i'*" ' 1 t.zn. (I) /' = tJ-C,l Prvek r pak musí být kořenem polynomu A, nebol 0 « /((„ > = U'„ -r,) 1 /( je obor integrity plyne : A U;,) /, (c ) , odkud, vzhledem k tomu, iíc P. Nechť tedy c„ je t - libným kofeneBi h ■ r 1 /íl 1 M; 29 Pak podle V. 3.3. lze psa't : 12) h = (t -t;,)' . A, Podle předpokladu víty a V.3.3. lze psa't : (3) . f = (x-ej" . A, ; /i,(C(i) ^ 0 Tedy dosazením (2) do (1) a porovnaním s (3) dostávame : (4) íx-c,)V . . .-(.v-c;,.,)*"-'. U-c)'. A, - {x-cJ'.. . li1 . Jestliže kti > t, pak po zkráceni polynomem (x-ť )' dostávame : (x-c,)' . . . (*-<;., ?«-'. h,' tx-cj-' - h, - • •' což" však vzhledem k V.3.1. vede ke sporu (neboť hodnota polynomu na leve'strení v bode cn je nenulová, kdekto na pravé straní:'je nulová). Analogicky dojdeme ke sporu při ktl < t. Tedy musí být kH - t. Pak ovsem ze (4) dostávame : (x-ť, )*'... (x--t„_ ,)*"-'. U-c )"" i r ]. Důsledek: Necht R je obor integrity. Pak každý polynom fSR[x\, stupní m > 0 , má nanejvýš m koremi. Přesněji řečeno, jsou-li ť]cn navzájem ruznŕí kořeny polynomu '/ o násobnostech fc,, ... ,_k , pak platí : *,+...+ Aj, < m [D Ä k a z : nechť c,, . . . , t jsou navzájem různé kořeny polynomu / o násobnostech *......k . Podle předchozí víty lze polynom '/ vyjádřit ve tvaru : h k /■ (Jt-t|)1 . . - U-c„)" . h , h e.R[x], kde zřejmě' h 0 . Pak je ale m^fc, + .... + /c , coifje zadaná nerovnost. ] Předchozí veta a její díísledek nepláli obecne pro libovolný okruh R , t. zn. předpoklad o neexistenci dělitelů nuly y R nelze vynechat. Jak ukazují'následující pŕľklady. Přiklad 3.1. : V okruhu Z4I.rJ uvažme polynom / - jr.3 + 2x = At-t1^ 2) . resp. polynom g = lv. Pak ; 1) polynom /' má dva jednoduché' kořeny Q a 2, avšak součin .r.U-2) nedělí /' 2) polynom j? je stupni I, ale má dva různé kořeny 0 a 2. 30 Příklad 3.2.: V okruhu (ZXZ) [.v] uvařme polynom f = (1,0)*. Vidíme, ťe polynom / je stupne^ 1 , ale mí nekonec"hé"mnoho různých kořenu, neboťzřejmé' každý prvek (voru (0, a), kde a 6 Z , je kořenem /. Vela 3.5 .: Necht" R je nekonečný obor integrity ; nechť f f= R\x], fo . Pak existuje prvek r G R lakový. íe f {r) & 0 . (Důkaz : je-li / ^ o , pak podle předchozího důsledku miř polynom / nejvýše m .různých kořenu, kde m ■ st (/) je pevné celé nezáporné'číslo. 7? mé vsak podle předpokladu nekonečné mnohoprvků, t,,zn..rnusřex.istovat prvek r€ R , který nenřkořenem /. , a pro néjř/je tedy /(rh^.O ] , Definice: Nechť R je okruh, /€ .R[x| polynom. Pak zobrazení: ■bf : R -* R definované .vztahem .^.(r) ~ f {r), pro libovolné' r € řf, se naz^y á polynomiální funkce polynomu f. Je-tl ♦ ;, R ~* R nějaké zobrazení, pak * ,se nazývápolynomiální'funkce, je-li polynomiálnífunkcí nějakého polynomu z R[x], t.j. jestliže existuje f e ř?|x] tak, ťe * = * . Oznaténř; nechř R je okruh ; symbolem R* označujeme okruh funkcí" (viz příklad 1.2, kap. 1.). Dále nechť?" znařf zobrazení okruhu R[x\ do okruhu RR , definované vztahem : ftj) = <í>f , pro. lib. fSRlx) t. j zobrazeny které každému polynomu přiřazuje jeho polynomiální funkci. Veta 3.6.: Nechť platí výse zavedené označená Polom : \: zobrazeníS": R[x] ■+ R" je okruhový homomorflzmus ...... 2, mnoíina 9" (*l*D< sestáva/íďz polynomlílníchjunkcf, je unitárním podokruhem okruhu RH ■ (Dií.knz : ad I, : nechť /. g eR[x) . pak pro libovolné r S R je : ďlf+gn (r) = 'I>/lř(r) - (/ + g) (r) = lir) + g(r) = - *,(/) + #,(/•) » (/> + ) 1 fpôk*z : jde o pKmy důsledek V.3.6..V.3. r - ntam integrity můžeme ztotožnit dan/ Vidfme tedy, ft - nekonej — £~ ^ an0,„. kde se s obecnSji „ takový ztotožni » ' 'eňwm'' "SP; celným .kruhem nebe efelným provŕst napíT nad kaídým (netrmalnfm) uselnym coí obojfjsou nekonerne-ebery integrity. , fc 32 - - 33 - § 4 : DĚLITELNOST ľOLYNOMU, NEJ.VÉTÍrsPQLEfÍNY DĚLITEL. ÚMLUVA : všude v tomto paragrafu pŕedpokla'dame, ze R znacľtélefo. Pojem dělitelnosti polynomu byl definován nad libovolným okruhem na konci § 1. Je-li väák R teleso, pak R [x] je obor integrity a můžeme tedy použít viech výsledku, které jsme obecného dělitelnosti odvodili v § 2 kapitoly 1. Poznámka: Je-li S libovolne^nadtéleso telesa R , pak muzemo polynomy J. g e R[x] zrejmé"'uvazovat téTjako polynomy v S[xJ ä vyšetřovat jejich dělitelnost v S[x]. Nedostaneme vsak nic nového, neboř při déíenf polynomu s koeficienty z tííesa R dostaneme podíl i zbvtek opit s koeficienty z R t.j. vlastnost polynomu g byt dělitelem / nezavisrna tom. vysetrujemc-li ji nad tělesem R nebo nad libovolným jeho nadtélesem o1 . Veta 4.1. : nechť f, g 6 R[x] jsou polynomy takové' íe f+ b a g\f. Pak platí: st (s) «S st (J) [Důkaz : je-li g\f, pak existuje h 6 Rlx] tak. Se f=g.h. Poněvadž'' f * o , musí" byt g, h ^ o , t. zn. stupni viech třT* polynomů jsou cela^nezaponuT čísla, při čemž podle důsledku V. 1.2. je : st CO = st Oj) + st íh). Je tedy st (fí > st (g) j.J Víta 4.2.: Nechť f, g E R [x] ; pak následující výroky jsou ekvivalentní': (a) f-V g (b) flg.glf (c) existuje prvek c € R, cŕO tak. že : f = cg [D ú k a z i veta bezprostredné'vyplýva z definice asociovaných prvku, z V. 2. 3. kapitoly I. a z V. 1.4., uva'zTme-li, zc v telese je jednotkou kaáfdy - 34 - Věta 4.3.: Nechť pro pOlýiwmy z Ä [*| platí: g .'.v,-j f'A [kde k je pevné přirozené clslo) a nechť /i,.....ÍL Jsou libovolnépolynomy g R[X]. Pak : ■■■ ■ ■■■ ,, . i\tf,.ll, * .. . + /,./it) •• I £>6'k a z-: tvrzeni je.specielním případem V.2.1. (část 2) kapitoly,1.1 ... Také pojmy společný dělitel a nejvčtíí společný dělitel množiny M , studované vkapitole I., lze opět přirozeným způsobem přenést na polynomy nati tělesem R . Omezfme.se tentokráte, na přfpatl, že fll je konečná množina. ,, Definice: Nechť h, f,,fk<=R\x] ; je-li h\l] (i - 1k), pak polynom ;ht se nazýva společný dělitel polynomu f;...,fk. Definice: Nechť f,.....fk.....4- "' •.:.vfDíů7tc■ • \i-:\- 0022 36 - 37 Vypočet n.s.d. polynomů f,gCR[x) Eukleldovým algoritmem: Nechť f,gSR[x] anechťnapř. g=tt> Pak podle důsledku V 2 3. mažeme provést následující d&lení polynomů: / u g r/, -t r, . sHr,) * rr 'h *»j . sHr}) si (r,) > .....> i/ (c ,) > í( (r,) . Dokážeme nyní, ie polynom rfc ,t. zn. poslední nenulový* zbytek v posloupnosti delení* ( 1) je hledaný n. s.^d. polynomů /a g. . (0 : z poslední rovnosti v (I) plyne, in rfc I rk_ (. tlvázíme-lí, řfc triviálné'platí r. \rk, pak z předposlední*rovnosti,'podle V.4.3. plyne, ie rfc I rk2. Analogicky dostávame, ie r, I r^j, . . . atd, aŕ r^ I g a rt! /. Tedy rt je společný'dělitel polynomu f a g. . ' (U) : nechť )ľ€ Ŕ\x\, pri Čcmz h\í';'h \ g . Pak první rovnost z (I) niůíen^ přepsat-ve tvaru . ,. ,..Jl;,., . ,. =/+« (-<7i> '. a užitím V.4.3. dostáváme, ře Air,. Podobní z druhé'rovnosti, vzhledem k tomu, ze k'i'g'í li Ir,. uiltSii V.4 3. dostáváme, ie Air,. TaktD postupujeme daje, tfnakonec z předposlední'rovnosti v (11 dosta'va'me, ie h I rt. Tedy ukázali jsme, řc polynom r4 je nejvitSim společným dělitelem polynomu /. a g Poznámka : vzhledem k tom u, ie Kukleidfiv alaoritmus uzTva pouze delení" polynomů, nejvítsí společný^dělitel dvou polynomťl f. g G R\x\ nezávisí na tom, vysetřujcme-li jej v R[x\ nebo y S\x], kde S je libovolné' nadlčleso, tílesa R. Přesněji řečeno, je-li (V, nejv&sím společným dělitelem polynomů / a Ä v •?(*), pak existuje nejvetíí společný' dělitel cl polynomů / a g, který je asociován s d, a je t7 e R|jfJ. Poznámka : v Eukleidové'algoritmu 0) používame pouze délenídvou polynomů. V konkrétních případech se pomerne často stává, že v průběhu takove'ho delení dojdeme k "nepříjemným" zlomkům. Na př. mámc-li nad poiem R reálných čísel deiit polynom / - x4 + x2 — x + I polynomem g - \5x2 + 5x t 10, pak : ( x' + x' - x + 1 ) -3e4'3V-V*%» ..- 3 3 -.*.+ 1 *jx>*±x2 9 9 -Si * j' 9 'K ±i-»- ± _s . 27 -25* + -19 27 27 TL x'--- 15' 45 4 135 Z V.4.5. a ze vztahu (1) je vidň. ře v Eukleidovfalgoritmu je jedno] zda k výpočtu užíváme zbytek r( anebo jakýkoli jeho nenulovy'konstantní na'sobek. Tedy, v kterémkoliv kroku kteréhokoliv délcnfv Eukleidové'algoritmu lze násobit kterýkoliv z polynomu libovolným nenulovým prvkem z telesa Ä. Na předchozím příkladu ukážeme, jak se tím urychlí výpočet, zejména při ručním počítání Z úve + I0x' + 2x - 3 . riešení : ( v" + 3x3 - x1 - 4x 3) : ( 3x3 + lOx1 + 2x'- 3 ) | x] I 3x" + 9x3 - 3x! - 12x- 9 ■ 3x'±\0x' t 2x' f 3x X ,.1 • • -5x: ■■ ftj ' '' 3.v3 r ',5x' + 27x+27 _3x3 ± |px2 * 2x + 3 (5*1 + 25* +30) - r, - 39 - ( 3x3 + I0x" + 2x - 3 ) : ( 5x'. + MfjjäOJ | 3x,-5 -3x3..± I5x' t I8x.__x2 + 5x + 6 - Sx1 -I6x- 3 T Sx1 T- 25x *30 • ( 9x +27) = r7 ( x3 + 5x +61 : t?x_+_'2J)_ | x, 2 -x3 ± 3x_ x+ 3 2x +6 - 2x ± 6 Tedy, r, - 9x + 27 je nejvřtsím společným dělitelem polynomů / a g, resp. normovaným n. s. d. těchto polynomu je pak (/,£) = x + 3 Veta 4.6.: Necht" f, g SR |x), z nichž alespoň jeden je nenulový. Potom: 1. existuji polynomy ií,ľEfl[r] tukové, le platí: ' .: (2) /. u + g. v = (/g) ■ ' 2. je-li navíc st(f),st(g)> I , pak lze polynomy, u, v vevýrazu (2) vybrat tak, že: «/(/),>srď), sí(ř)>líí(u) '•• (DÄ.kaz : ad I : necliř na př. pro ; pak z rovnic (1) Euklěidova algoritmu dostáváme : ;. rj,~ / g.ř/i, = /.'/i +g:ľi , oznaČune-li u, = 1 , f, = — t7i ' r5 = g -)+Í0-V|Tj+*.»• ■ oznaíííne-li lij = ~utq7, ľj - 1 — ]t72 . Tímto postupným dosazováním pokračujeme dále, aŽ nakonec dostávame (po patřičném oznaícní) : f,-/«»+»»». Podle předchozího je vŕíak r n. s. d. polynomu fng. Necht c je vedoucí koeficient polynomu ŕ . Pak : - 40 - oznaŕíiiie-li »-- ť 'm., ľ - ť ' r, . ad 2 : nechť" sl U), sl l/t) > I a nechť 11. u jsou polynomy "pMujici (.'> Necht" si (k) > sl ig). Podle důsledku V 2.3. lze psál : u " g.q +r . kde sl {r)< sl ig) Dosazením do (2) dostávame : < f.g)- f [g.'l + ')+*>■ •f.r*g{fy* ») kde polynom ľ mí jiř poradovanou vlastnost. Tady mhzeme predpokladal, /e u.ľ jsou polynomy splŕíujfcf (2), pfl černi sl (g) > iHu). Dále sporem ; nechť sl ď) > sl (f). Pak Je : sl (j) + 1/ (v) > sl (u) + sl t/), neboli sl (f.c) > jí (/n) , odkud plyne, ír. musi být : vr (fu * g.v) - M (íľ). Pok ale ; sl {(f.g)) = sf (/» + g v ) = sl (g.v) * jr (*) t sl {v) > l+slíf) > sl (/) , coj je spor, neboř podle V.4.1. Je sl t(f.g)) <. sl ( f). Tedy sl (f) > sl (v), c.b.d | . Poznámka : z důkazu I. fa'sti předchozí vety je vidiít, íe píi konstrukci polynomů u.v splňujících (2) používáme kromS zbytku i podíly delení z Euklel-dova algoritmu Pfi konkrétním výpočtu nelze tedy v proběhu delení násobit libovolní nenulovým prvkem z R , jak lomu bylo pri hledání n.s.ď. Príklad 4.2. : V tí|x| naleznete polynomy u.v. aplftiijící 12), jo-ll dáno : /= x3 - + Ix - 10 , r" r' + 6aj - 9* 14 Řešení: pomocí Eukleidova algoritmu hledáme n. s. d. polynomu f a g . pfi ceniť si průběžní oanačujente nalezené'podíly a zbytky. Zde dostaneme tpo výpočtu) : f ■ f\ 1% + "*|J f) • K* (í! « " j í - Í| • r' " ** r, *iy«, ..Jgt t?» -1 Tedy . (J.g) » r, = x- 1 , při csm< »(ilftnyn.i výnuítom najdeme polynomy ii.ľ -M.r,)~ i - Oľ,*ft)- i 2. A I/g , (/i./) =1 » h\g 3. í I/, h I/, («,/!)= í -» g.lt 1/ |D ú k a z : ad I ; je-li (f,g) = l.pak podle V.4.7. existují u,v S R[x\, splříující(3). Po vynasobení(3) polynomem h dostáváme : (4) f.uM i g.v.h - M Nech/ qeRlx) je polynom, pro nřj£ q\f; q Ig.h. Pak ze (4), podle V. 4.3. je o I h. Tedy také' o I if,h) - 1, odkud vsak dostáváme, ře (/ ^.n) • I. ad 2 : Z předpokladu {h,f) = l podle V.4.7. plyne, že existují u,vBR[x\ tak, ře ».«+/.» »1 odkud po vynásobení polynomem g dostávame : (5) A.řii + fgv " g ■ Ale h \h . h I/g, t. zn. z (5) podle V.4.3. plyne, ú h\g ad 3 : podle předpokladu je g \f, t zn. existuje polynom q, e R[x) tak, ie /= g.u, 7418 . dfo podie predpok.adu i. /. I.„, . Pfi vl,k (,./■) - .. Tedy pod., přiví dokázané UM 2. M U,. "•*>" «, - "í. - P* «' £ *l"' Po dosazení dostáváme : Na záver jeslť"poznamenejme, Ŕ Jsou-ll ta«JI|.l P*-™ neaoudeW v.^. pak íf jsounesoudeVrovníív S[x], kde S Je libovolné nadtSíesp tílesa R,, (jak plyne z Euk.eldov. algoritmu a , definice nesoudných polynomu,. Bi V," v I ľí:l, - 43 § 5 : IREDUCID1LN1 POLYNOMY, ROZKLAD POLYNOMU. ÚMLUVA ; Vfude v tomto paragrafu predpokladáme, ife R značí téícso. Pojem reduclbilního, resp. ireducíbilnino prvku, definovaný v kapitole I., lze opft přirozeným způsobem přenést na polynomy. UvSdomme si jen, fe je-li R teleso, pak jednotky oboru integrity R[x] jsou práve'všechny polynomy stupne 0, resp. navzájem asociovane polynomy musími't stejný stupetí (plyne z V.1.4., V .4.2. a z důsledku V. 1.2). Definice : Nechť f eR[x\;st(f)> 1 . Řekneme, le polynom f je r edu-cibiln! v R[x] (nebo te'S nad tžlesem R), jcstlile existuji polynomy g,hBR[x\, \ I-ZřejmřOze psa-!- (/,«)../; protoře vSák J* Jo iredireJbUnípolynom, musíbyt jr(<7) = 0. Označíme-li ((i)'tes, p»!; c ± 0 a můžeme pj/t; fóf) ■«"'./,«.»!. ZféjmerjB (/;£)lg a z transitlvity relace dělitelnosti pak plyne : /lg J. Víta 5.3, : AffcAř/egljJ [pak nesledujícív/růky jsou epfvalenfní.*. W f je lreducibilní v.R[x] . .. . . ....._ ■ ř, . (b) JeW/-./1*ft, iete g./i e/clx], pak f\g nebo f\h ... . .[ Q,5k azl.:.."(«)1-».(bjf.f; nechť /. jejreduclbilijí a nechř/Jf./i, ./J/g . Pak podle V.5.2. je (/,g)=l , t. zn. podle V.4.8. (Síst 2) je/|A. ?,;Jiíi"(b)."» (a).'.' : isporem; nechťplatf (b) » nechťXjg reduc.ilMTni. Pak existují polynomy /i e /! [jc ] 1 platliortí (b). Polynom / musí tedy být lreducibilní. ) Důsledek: Nechť / je lreducibilní v «1x1 a nechť g,, ...,gséR \x]!ťák, že: Pak existuje přirozené číslo k: 1 .«í .< f tak.ie f\,gk . [ D S k a ž : důsledek plyne bezprostředné z V.5.3. užitím matematické Indukce.) ■ - 45 Víta 5.4.: (" Véla o existenci a jednoznačnosti rozkladu na ireducibitnlpolynomy") . Nechť f S Slxl slíf)> 1. Pak : 1. polynom f lze vyjádřil jako součin konečného počtu ireducibilních polynomu nad R, t. zn 0)V=Pi----P, -aw.-s: ' *rf* p,/'e lreducibilní polynom v R[x], i = 1,... ,r' ' irr-'i/.i' 2. rozklad (I) /e jednoznačný ať na pořadí činitelů a asociovanou, i. zn. Je-li • (2) /• ?■.....í , má v R alespoň'leden kuřin: Veta 5.5 : Nechť R Ie teleso; pak následující'výroky jsou ekvlValeiÚAÍ: {t) teleso R je algebraicky uzavřené '' •'• (b) kaídý polynom feR[x],'st (f)> l,*be vyjadril ve tvářit soucími tméa'ŕiifch polynomů t R \x ] . (c) iréducibilní polynomy v R[x] jsou práve1 'všechny lineární'polynoiňý. (D u k a z : "(aj>* (b)": dokazujeme matematickou indukcí vzhledem , k st (/). Je-li -st (/) = l.pak / je lineárnípolynom a výrok (b) platí, •: Předpokládejme, ze (b) platí pro polynomy stupníl, 27. . '; , n-1. Nechť J7(/)=/i. Podle (a) existuje kořen cG R polynomu / , t. zn. lze psát : fm (x-c) . q, kde q S R[x], st Ul) = li-l. Podle indukčního předpokladu lze vrak polynom q napsat jako součin lineárních polynomů z R[x) , t. zn. po dosa- 47 - Zení dostáváme zádaue vyjádření. .... :■ "(b) ■» (c)" : kaídý lineární polynom je v R\x] ireducibilní(viz příklad 5.1.). Naopak, z (b) ihned vyplývá', ze kaiilý lreducibilní polynom z R(xJ je lineární'. "(c) ■» (a)" : nechť /6 R[x], st ífi > 1. Provedeme-li podle V.5.4. rozklad polynomu / na iréducibilní polynomy f" Pi ■ - ■ ■ -: P, ■ ■ pak podle (c) jsou polynomy p, lineární., Vezmeme-li libovolný z nich, napf. p,, pak p, mav R kořen (á to jediný, podle poznámky za V.3".l.), kterýje zřejmí takí kořenem polynomu /] . VĚta 5.6.: Necht" R je algebraicky uzavřené léleso. Pak kaídý polynom / € R\x\ St (/) ='■(! <» 1 má v R praví n kořenů, poíítame-li kaídý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost. [Doku: podle části (b) předchozí víty lze polynom f napšit jako součin lineárních polynomů, kterých vSak musí*být pravé' n ('vzhledem k áísleďků V.1.2.) a každý z nich mrv R pnívíjeden koŕén, k terý Je záfoverí kořenem''/. 0:ltun ' pak uřitfm definice násobného kořene plyne tvrzení j. "' ' ": Vidíme, ie z nejbíznéji používaných tíles :napr, tílcsa R .a Q :nejsou algebraicky uzavrehií (neboť např! polynom /= x5: + l^zrejmí.nemáiá'dnýkoŕen v R ani V Q). Rovnej telesa zbytkových ďíd Zf (p prvočíslo) nejsou algebraicky uzavťéna, jak plyne z následující vity. Vŕta S.7.: Nechť R Ie koneční těleso ('. zn. R ma' koneční mnoho prvků). Pak teleso R není algebraicky uzavřené'. '» ..... v. [D ů kaz: nechť R je teleso o n prvcích (n ť2), kde /? *?,[at ,■■■£„ )■ Pak polynom : / -(.v-«, )(*-«,) . . .(*-"„).+ 1 . ,• zrejme patří do Ä(jr|, platí st tf) > I a při tom /nemí v R žádný kpfen, neboť /{o,) =1 * 0 , pro každé" ((e« .], 5548 § 6 : DERIVACE POLYNOMU, TAYLORUV ROZVOJ. HORNEROVO SCHÉMA ÚMLUVA : vSude y tomto paragrafu predpokladáme, ís R znacY tňeso charakteristiky 0. Definice: Nechť f e R\x\. kde (1) f=a0 + atx+a1x1 + ... + anx"- ■ •>>•. Pak derivací polynomu f rozumíme polynom f € R [x j, "'-v A(rá b-jny - definovaný vztahem (2) ' v "i * 2a,x +....+ n. a je-li sHf)<0 je-li sHf)>i Poznámka : pojem derivace polynomu trsáme z matematické analýzy, kde Je definován Jako jista funkční limita. V algebře zrejme' tímto způsobem postupovat nemôžeme, neboťpojem limity Je vázán na tfleso R reálných Čišel, resp. pó Jistých rozšířeních jeŠté' na těleso K komplexních čísel Zavádíme tedy pojem derivace ryze formálním způsobem a ťistí algebraickými prostředky. Nicmení Je vidň, íe pro R = R oba pojmy splývají a lze tedy očekávat, íe i néklere základní vlastnosti derivace budou zde stejné', jak nakonec v dallím ukážeme. „ vl-laó.l. : Nechŕ f e R[x\ ; sl if)'H>'í Pakderivace f' je polynom stupnf n-1. [D ů k a z je-li / tvaru (I), kde un * 0 , pak vzhledem k tomu, že R je charakteristiky nula, je n.an ^ 0 a tedy si (/') = h - I | . Poznámka : Sttmotnou definici derivace by zřejmé'bylo možné stejným způsobem jako výse vyslovit i pro polynomy nad tělesem libovolné'.charakteristiky. V takovém případe by vsak nebyly splněny základní vlastnosti, které'na derivaci obvykle požadujeme, napí. neplatila by předchozí vříta (nad tělesem R charakteristiky />, kde /; |e prvočíslo, by pak derivací polynomu f* xf + I byl nulový polynom, i když" si (/) = /< > I ). Vidíme tedy, že podstatnou roli v naíich úvahách bude hnít předpoklad, ze teleso R je charakteristiky 0 Vňa 6.2. i Pro polynomy z R[x\ a jejich derivace plaď: í/t +:... -/J ' ' " (/*)' - , 3. ■ 4. 5. [Důkaz :. část 1. a 3. j» dokáže bezprost/edním rozepsáním z, definice derivace ; cílit 2,;rwp..4,plym. z. I. resp. 3. užitím matematickVindukcěa část 5. je přímým důsleJkem 4. Pro ilustraci si dokažme 3. Část víty ľ " ad 3 í neehř/.a, + fi .... + ^i" * £ ^> tj), .. ř = *o + b,x + .... + b Potom ; Da'le : /ä « U'" (S a.blx1 , t, zn. (/«» V" KS j.frl^ odkud je vid^t, Že platí dokazovaná* rovnost ]. iiVÍi Poznámka : ( ojbvyklyni induktivním' způsobem definujejne derivace vySíích . fý^l* .Jakého polynomu jf etvaru (J). Je-U k přirozené" Číslo, pak definujeme (*Hl)-nŕ derivaci polynomu f jako polynom : /(*♦!) = (/<*>)' Wt'--' '■ při cem£ pro k = 1 platí'<2>. Pak zřejmé' pro ä <í /i mtf k-tů derivace polynomu (l) tvar : ŕk) ■ k\k~)Y- ■ • 2.1-ťifc + (k+l).k .... 2. aktl.x + .... ■»• 1) ... í/(-AHl).u.. A"" 1 m 50 - resp. pro k > n je: /*> =■ a. ■ . -, .-,■■'/ Definice: Nechť J\x) S R\x] j c € R . Je-li /(x)-ó, + «,(*-?)* o,(x-c)J +:....* i/n(x-c)" !io(6 y? M pravou j/ra/iu (3) nazývám Ta y i o ŕ u v r o z v o! o s t f'e d u c polynomu f . "V' ■ '. Vŕta 6.3.: /Vecň^/e R[x), si(/) = n> I ; nec/i/č 6 R. '•'■>> Pak existuje praví ledeh ŤayhrUv rozvó/ o stredu c polyiiómu f , a sfcé':'' W •/(»)•=/W+'^U-O+^U-c)1.+.....+ tO^ot-cr; M [D u k a z : I. existence í Provedme opakovane'díjeni lineárním polynomem (x-c) takto : / " *$-«),■?( 'Vo . , ,;í i . :., v.( q,-(r r).i7, + a, , .........„-. (5) ín-r^-cK-i + Vi kde zřejmí a„, a,, . . . , a jsou konstanty, resp. (c) = nlj', odkud pak : - f'to _ = Y'.'(c) .. ' , být tvaru ,(4). ,1! /""CcJ- ""tlzn/O) musí Poznámka : zavedeme-li novou proměnnou y vztahem : , .... ."" ly=x-c neboli ■ x " j/fr č " i pak lze vztah (4) přepsat do ttnjm : , :..•+ /'"Itó- -V 'v Tohoto obratu se éasto uííWpíi praktických výpočtech. PÍi výpočtu koeficientu Taylorova rozvoje a I jinak jé v praxi fasto potreba provadřt dílenřdaného polynomu / lineárním polynomem' tvaru (x c), kde c š R. Je tedy potřeba určit koeficienty podílu a zbytek tohoto déieníCktery" je zrejmí roven / (<•) ). Obé úlohy Jizé fešit Jednoduše početním; postupem nazvaným Homérovo schéma. Nechřje tedy CBR libóvolňe'a /(x)€ Rlx), st Sfl.ř n > 1, je tvaru ; . (7) -------f(.t) ^ a^x?,* ani, ,x":.'.*..... a,x ;..a0 . .,.,, ,, . , kde a( e R . an * 0. Pak je :' ,,;u'...|_.., (8, f (V) " (X ./(.vj • /> J ... ;,«/(■■". kde b S R a platí: « - /(c).. Navíc st (, + u, á0 ■ b - co, h - c.b„ + o0 odkud jsou koeficienty podílu 4 I zbytek 6 ■ /(c) jednoduše určeny. Při přetav kěm vypočtu budeme používat přehledné'tabulky tvaru : a .V,t> • v. ,«o..... 6' *»" K- C.i>0+a0=r)=/' 0) polynomu f; tedy.i prípadne nulově'koeficienty a ve spodním řádku postupná vypočítáváme koeficienty b. podílu a zbytek ř>. Příklad 6.1.: V K|x| dělte polynom /"(je) - 2x'-18x3 + 5x + 7 polynomem tx*3\ a najdete /(-3). Řešení: užijeme Homérova schématu pro r = 3 U íl 18, 0 .5. ..7 j. ' :i:: ■1 ~3 2;). -6( 0 0 5 8 tedy: * (*J -2x1 - 6x» + 5 | ;y resp. . /.(- 3) .7.::« Homérova schématu s výhodou využívanie v cele'radiídalŽích úloh, na pf. pň hledání! aylorova rozvoje nebo hodnot derivací daného polynomu v duněni bode", jak ukazuje nesledující příklad. '>' * Příklad 6.2 : V K[x\ naleznete Taylorův rozvoj o středu t =-/ polynomu / . kde fix) - *4 + (l+ijx1 -.2* 1 (7t() - 53 Řešeni': opakovaným užitím Hornerova schématu, vzhledem k důkazu V.6.3. dostávame : l+í -2 7+i -2í -3/ i -1 Ľt2fe»o -2+i j 2ť=a, :J±híh \\-a. Tedy -je.: / (x) = (7+2/) + 2/ (x+í) + (~5+OU+0' - fftř+0í + .(x+O4. Navíc, poněvadž us = ^TtT^ •' raůíeme Ihned unBt hodnoty viech derivací polynomu / v bode' c ~ —/. . Je pak: /(-/) = 7+2/ ; / '(-0=2/ ; / "(-0 = -10+2/. /""(-/j=-24/„ ^.4>(-/)=24. Na závěr paragrafu uveďme nyní nřktere'výsledky, týkající se vzájemné'souvislosti mezi kořenem, resp. jeho násobností a derivací daného polynomu.: " ' * s' Víta 6.4. : Nechť f 'S Jl[x\ a nechť c S Ŕ je k-násobným Kolenem polynomu f. Je-li k = 1 , pak c není kořenem f le-lt k > 1 , pak c je {k--\)-n£sobným koYenem /"', [O ú k a z : podle předpokladu a podle V.3.3. existuje polynom h (x) S R[x] takový, že ; /{*) m U-ef.h (*) , při í"emž h (c) * 0 Pak je : / "(x) « *. tjr-c)*"''. A (*) ť Cr-ř)\/i'(x) , t. zn. po ťípravž : (9) /\x) m (x-cf-'.!*./><*) + (x-<)./ľ(x)J Nechť' í=l; pak (9) nabývá tvaru : fix) = h(x) + (x-c)./i'(x), ti zn. /' \c) - hic) 0 , a tedy e není kořenem /'. . Necht A:> I : pak označme ((*) - k.hix) + ix-c).h'ix). Při tomto označení dostáváme podle (9) : fix) » (r-e)* " ' í(x), při cenu /(c) = kliicf* 0 a tedy podle V.3.3. je c (/r-I}- násobným kořenem polynomu /" ]. - 54 Poznámka : obrácení předchozí vety zřejmé neplatí; je-li nnpř. I\x) = x'+ I 6 S R[.vJ, pak /■'(.«•) = 3x'. Tedy 0 je dvojnásobným kořenem /", ale není vůbec kořenem f. Veta 6.5 : Nechť J\x) e R[x] ; c S R ; néchľ k> I /e priložene'éíslo. Pak: c ie k-nášobným kořenem /1.x) » c je {k-\)-mm>hnf:m kořenem polynomu (/,/'). "*•" : necht /(c) =/'(c) = : . .«/.<*- "(c) = 0 i /"'(c) fO". Nechť / je ve tvaru (I). Pak Taylorfiv rozvoj o středu c polynomu ■/. mí tvář : f(x) = 0 + . . . + 0 + -í^^1- (x~cÝ + . . . + (x-c)" / (x) - (*-# . I . +■ ■■Kl>|te> (*-c)"-*''! m |D ů k a r. : : nechť c* je fc-nasnbným kořenem'/, kde k> 1. Pak podle předchozí věty je prvek c (A-l)-násobným kořenem / '. Tedy platí : , t. zn. /<"(c) * 0 . při čemž zřejmě c není kořenem polynomu v hranatě závorce. Podle V.3.3. je pak prvek c Tc-násobným kořenem polynomu /. ] Poznámka :, poslední větu spolu s Homérovým schématem ppužíva'me.k.praktickému zjišťování násobnosti danělio kořene c polynomu / . Z příkladu 6.2 je vidět, že při opakovaném dělení lineárním polynomem tvaru (x-c) dostáváme jakožto zbytky hodnoty a = ŕ'Mcl , Podle předchozí věty je pak násobrlost kořene c rovna poctu nulovýchzljytkfi těchto dělení. .ľ . Příklad 6.3. : Zjistěte, zda c- l-í je kořenem polynomu'/£ K[x\' a pokud ano, určete Jeho násobnost. Při tom : f(x) - x* — 2xs 4- x4 + 4x3 — 4x^ 4- 4' Řešení: podle předchozí poznámky opakovaně užijeme HbřricróvásčKematu : 1 -2 1 4 -4 8 4 i-; 1 -l-í -1 3+/ -21 -2-2/|o_ i-/ 1 -2i -3-2( -2+2/ 11 li. i-/ 1 1-3/ -5-6i -13+/ -12+16/ *0 Tedy číslo ť ~ 1-ř je dvojnásobným kořenem polynomu /. - 56 - § 7 ; POLYNOMY NAD TĚLESEM KOMPLEXNÍCH CISEL, ZAKLADNl'VETA ALGEBRY. V tomto paragrafu budeme studovat základní'vlastnosti polynomu s komplexními, resp. reálnými koeficienty. Pripomeňme, že každé číselné těleso (specielní tedy K a R) je charakteristiky 0, t. zn. můžeme použít všech výsledků, dokázaných drive v teto kapitole. Veta 7.1. ("Základní veta algebry ") Kazdy, poly nom^-fix) e K\x\, slupne alespoň jedna, má v K alespoň:jeden kořen. (Důkaz: neuvádíme. 1 Poznámka: t; zvržakladní věta algebry říká, že teleso K komplexních čísel je algebraicky uzavřené. Veta mela opravdu základní význam pro algebru v dobách, kdy se.tato omezovala na. algebru komplexních čísel. Její důkaz nelze provést cistě algebraickými prostředky a je vždy nutne' v menší Či větší míre využít topologických vlastností reálných a komplexních čísel (t.j. vlastností, souvisejících se spojitostí). Důvodem je to, že v samotne definici reálneho Čísla se vyskytují pojmy, které nejsou algebraické (pojem spojitého uspořádání). Pomerne jednoduchý dflkaz.V.7.1. bude uveden v základní přednášce o analytických funkcích. D&sledek : Ireducibilními polynomy jsou v K[x] práve lineární polynomy- [Důkaz : tvrzení je přímým důsledkem základní vety algebry ;a V.5^5. ] Věta 7.2.: Necítí f e K\x], st (f) = n > \ je polynom tvaru : (1) / =-aQ +«,*+:...+ anxn , an # O'"'"' ' Pak platí : 1. polynom f lze vyjádřit jako součin n lineárních normovaných polynomů a nenulové konstanty ve tvaru (2) f - an.{x-ci) ... .(x-í:n); ť, e K, i = 1, .... n 2. vyjadrení (2) je jednoznačné, az na poradí faktorií 3. polynom f ma' presne n kořenů, počfiame-ll každý koreň tolikrdt. kolík }e jeho násobnost. (D u k a z : ad 1 : plyne ihned ze základní vety algebry a z V. 5.5. ad 2 : plyne z V.5.4. vzhledem k tomu, že ireducibilními polynomy v K [x\jroti pravé lineární polynomy a ?,e na pravé' strane 1.1) vystupují normovane polynomy. ad 3 : plyne ze základní vety algebry a z V..5.6. ] ' Poznámka : ze vztahu (2) je vidět, že polynom f lze, po vhodne'm prečíslovaní hodnot c(1 přepsat do tvaru ; (3) /= o^.U-c./'-U-Ca/1----(x-cj' kde c,, .... ť jsou navzájem ruzná komplexní čísla a platí : ), +/a+ .,..+!,- n . Je-li polynom / vyjádřen ve tvaru (3), pak z V.3.3. plyne, ze ck je i^- násobným kořenem / , pro k - 1, .... r. Definice : Vyjadrení polynomu /e K[x] ve tvaru (3) ie nazýva kanonický rozklad polynomu f. Veta 7.3.: Nechť' f, g G K\x) jsou polynomy, tKující kanonický rozklad : f = a. (ac-C,)'1 . . - (x-c;)'r g - b. (x-rf,/1 . ... ix-dj' Nechť c, = d, , . . . , e, - dŕ resp. r(+,.....cr, . . . ,dt fsoú navzájem různá čísla Pak pro nejvetstspolečný dělitel polynomů f a g platí: if.g) = (*~c,)*' • • ix-c/' kde Jfc, = min ď, Jt).....*f " min U,Jt). [Důkaz : nechťplatí označení, předpokládané' ve větě; Označme dále : h = (x—t."j >1 (x-cj ' Zrejmé je: Hl/; h \g , t. zn, h je společným dělitelem polynomu fa g. Dokážeme, že h Je nejvetším společným dělitelem / a g. Necht tedy q e K[x] je polynom, pro nějž je q\f q\g a necht"kanonický rozklad polynomu q je tvaru : nu 50 q ■ p . (x-e,)"1 ■ ■ ■ &*m""m ■ Pak ale (x-e,) 'I/, (x-e,) ' I g, t. zn. e, musí' být rovno některému společnému kořenu polynomu / a g , řekneme, že «, =c,. Pritom však u,< í,, u, \. Nechť dále q S T[x] je polynom splňující: (4) /-(/./')■ q- Pak polynom q má stejné' kořeny jako polynom f, ale každý pouze jednoduchý. [Důkaz: z Eukleidova algoritmu a z konstrukce dělení polynomů se zbytkem plyne, že polynom q splňující (4) existuje, při čemž if,f'),q e T[x). Polynom / můžeme zřejmé uvažovat jako polynom nad K. Nechť pak kanonický rozklad polynomu / ma tvar (3), t. zn. /- an. (x-c,)'1 . . . {x-crY . Pak z V.6.4. plyne, že : -je-li řt « 1 , pak ct není kořenem derivace f , resp. • Je-li ř. > 1 , pak ct je (/, -1 )-násobným kořenem /' , odkud podle předchozí věty dostáváme : (f.f)=.(x-c,j'~l .... (x-e,)''" ' kde faktorem s nulovým exponentem rozumíme číslo 1. Potom tedy zřejmé (5) q » «„ • (x-c,) . . . (*-*,), t. zn. polynom q ma'požadovanou vlastnost. ] I. m mi i;;v ■\í' - 59 - ,. Důsledek : Nechť. 7" je.číselné těleso, necbťpolynom fG7\x\ je ireducibil-níjn. polynomem.nad T. . .. . ť .. -.>'. *.. Pak polynom / má pouze jednoduché kořeny (v K)>- (Důkaz: je-li si {f)-\, pak polynom / ma'jediný kořen a tvrzení platí. Nechť tedy st (J) ~ n > 2 a nechť/' uvažovaný jako polynonl nad K ma'kanonický rozklad tvaru (3). Nechť q je polynom z předchozí věty, splňující : / = (f.f). q . kde (/;/'), q S 7Tx|. Poněvadž je však st {J.f') < n , pnk z ireducibility / plyne, že musí být »'l//') = 0. t. zn. (/;/')= I. Pak ale / = o, t. zn. f je tvaru (5), odkud plyne tvrzení, j Příklad 7.1. : Využitím vlastností násobných kořenů nalezněte kořeny (i s jejich násobnostmi) polynomu f B R[x], kde :./ = x5 + x4 — Sx3 — x2 + Hx — 4 . Řešení : k výpočtu užijeme tvrzení V.7.4. Uvažme derivaci . /' = 5x' + 4x' — I5x2 — 2x + 8 a pomocí Eukleidova algoritmu vypočítáme největsí společný dělitel polynomu / a Po výpočtu (ve dvou krocích) vyjde : (f.f) = x2 - 3x + 2 . Nyní vydělením polynomu / polynomem (f.f') obdržíme polynom q z V.7.4. (zajímá nás podíl tohoto dělení,a: proto'během výpočtu nelze násobit nenulovými prvky z R jako u Eukleidova algoritmu '.).'•' 'iiíi • ( x' :+ X* - 5x> - x2 + 8x - -x5 T 3x> ± 2x' ' x4- 2x3.-:'3x*"+ Sx - 4 ■ -x*_T ix1 i íx "./I- ľ .....■; , 2x3 ' (>x - 4 í .2*? ,. .: ,, ±, 6x T 4 ) : ( x3—3x + 2 ) \x2. + x Tedy q = x' + x - 2 = (x- l)(x+2), t. zn. polynom /. má dva kořeny : f'i ~ I. c7 ~ —2. Jejich násobnosti zjistíme Homérovým schématem, pri čemž zde vyjde, že c\ - I Je trojnásobný, resp. c, = -2 je dvojna'sobný kořen polynomu /. i A 60 Poznámka : Věta 7.4 zřejmě neposkytuje universální algoritmus pro výpočet kořenu dane'ho polynomu / . Má-li napr. polynom / pouzejednoduchá kořeny (pak q - /') , nebo je-li polynom q príliš1 vysokého stupne, pák je V.7.4. pro výpoíet kořenu polynumu / neúčinná. Víta 7.5.: Ňickf f ts k\á\'- Jŕ 1 , kde c ;jOfj kořeny polynomu f. a necht c,, /la* fjfaiř: (6) r, - .... t c, • . í: ;•■:■'! ' c,c, + c,c, + .....+ c-, cn + c,c, + ... + oj^c (- i)ŕ-s= (-i)n "a ■ c,.c,. [D B k a z : polynom / vyja'dŕíme podle V.7.2. .ve. tvaru (2),,.t.j, Jako součin lineárních polynomů. Pak : . j. >M.< •. • .t-j /» «„.U--C|) U-ci) -; • • (*-«„) «: 1- 64 7308 1 Předpokládejme, že pplynpm / není lineární. Polynom /" pak nemá Žádný reálný kořen, ale musí mít imaginární kořen, který označme c «4 + bi (b¥=0). Podle V.7.6. je však kořenem f rovněž číslo č"«? a~bi. Protože je c # č, je polynom / v K[x\ dělitelný polynomem : h = ix-c) . {x -c) = xa + 2ax + + 6a) Zřejmě je vsak /0 e Ä[.v] a tedy /B1/ v R[x], jak plyne s algoritmu delení se zbytkem. Podle predpokladu je vsak polynom / ireducibilní v H[x], t. zn. je /o ^ / v ä[jc]. Existuje tedy reálné číslo 0 tak, že : /- p /o Tedy / je kvadratický polynom, jeliož diskriminant D = 4H3/-1 — A.r.i:(aí+r)2)= = —4i"3 fr2 je záporný, c.b.d. ] Důsledek : 1. Každý reálny polynom, t.j. polynom z R\x), stupni alespoň 3, je nad tělesem' H reducibilní. 2. Každý reálný, polynom / lze vyjádřit jako součin reálneho čísla a konečného poctu reálných normovaných lineárních polynomu a reálných normovaných kvadratických polynomu se zápornými diskriminanty. Je-li f¥=o, , pak je toto vyjádření jednoznačne, až na pořadí činitelů. Důkaz: tvrzení plyne ihned z předchozí vety, resp. 2. Sástjestž z V.5.4.] 1 V experimentálních oborech a v praxi vůbec se často setkáváme s úlohou najít (alespoň přibližně) funkci, např. y = F {x), charakterizující nejaký dôJv-ktéry pozorujeme nebo měříme. Znamená to, Že pro konečný póčěť hodnot x jsou stanoveny (naměřeny) odpovídající hodnoty y. Funkci F (x) presne ňezharné,: a próto ji nahrazujeme funkcí jednodušší, obvyklé polynomem f (x)t "po nŠniž požadujeme, aby se v daných hodnotách x shodoval s hledanou funkcí presne*; v ostatníčlť hodnotách pak přibližně (viz obrázek). Říkáme, že provádíme interpolaci nebo teŽj že funkci F (x) aproximujeme polynomem / (x). Polynom /' (.t) se pak nazývá interpolační polynom. V dalším se na. problém interpolace podíváme čistě algebraicky jako na úlohu nad libovolným číselným tělesem T Oehqž.speciclnímvpřípadem jesamozřejmí í těleso reálných čísel). Zcela stranou ponecháváme otázky, související.s,přesností takovéto aproximace. Věta 7.8. : Nechť T je číselne' teleso, nechť fige Ť [x] ; st (/),« (f) < " . kde ň je pevne' přirozené' číslo. Jestliže f, g nabývají stejných hodnot v alespoň (n+1) různých bodech, pak je /=!■ [Důkaz : nechť c,, . . . , c e T jsou navzájem různá čísla, při čemž /('.-,)-«(e,), f- i.....71+1. Uvažme polynom h -/-g. Zřejmě je st (.h) > !■ Zřejmě takat st (ti) # 0. Tedy musí být st (ft) = - «■ , t. zn. Ji = o , odkud.dostávame f'"g I .Víta 7.9. : Nechť T /e číselne'těleso, nechť c,.....<£,,€ T jsou navzájem různá čísla, resp, y......y„, e T jsou libovolná čísla. Pak existuje práve jeden polynom f e T[x] lakový, že SI U) < n .a platí: />,) ■= y, , ľ 1......i + I ■ |[> úkaz. I. existence : zvolnle /U) takto : (x-c, X.x-c3). ...-ty-cu, > (x-e,Hx-c1y..Ax-c.) (7) /(A-) = v, ■ p -M-^..! . (*-c,X*-fa).....(s-)--r(e„„-c.) Pak zřejmě /u)e r[x], sl U) < n (nebol'kaídy sčítanec je bud* o nebo polynom stupně « ) a dosazením dostáváme /(c-(l = ",./= 1, .... n + I II. jednoznačnost : plyne přímo z V.7.H. J. Poznámka : vyjádření polynomu / ve tvaru (7) se nazýva' LagrangeSv tvar Interpolačníhopolynomu. I když V,?,». dokazuje jednoznačnost interpolačního polynomu / , můžeme zřejmě tento polynom formálně rozepsat různými způsoby, nípř. podle toho, jak je to pro naše konkrétní účely výhodná. Na základe následující věty ukážeme jéstě jednu možnost zápisu interpolačního polynomu. Věta 7.10. : Necht" T je číselné těleso, nechť c....., vn e. T. Pak polynom ľ -c,).. .....(x-cn). |P 3 k a í : postupným dělením polynomu / , resp. částečných podílů, lineárními polynomy tvora (x-c,), I' I.....n dostáváme : f" />„ + (x (■,).(/, =-»0 1 (•<-'•,)• + («-ca)íři | = í;„ + í)|(í-f|j + + (A-c, J (.v-( j =.....- fto'+»i (x-c,)+ . . .4 /{/x -r, )•.... . . . .'(x-í^) , cozju žádaný tvar. ] Mějme nyní zadána navzájem různá čísla c,.....e,j€ 7' a jim odpovídající hodnoty /'((,)...../<<;„, )• Těmito hodnotami jednoznačně určený polynom / z věty 7.9. lze na základě předchozí věty vyjádřit ve tvaru (8). Koeficienty A0, .....t>n při tom získanie postupným dosazováním hodnot c. (/=!, /i+l) za a* do vztahu (Xl. 'fakte získarfe vyjádření polynomu / ve tvaru (li) se pak na- zývá Newtonäv tvur interpolačního polynomu. Pripomeňme ještě, že každý z obou zmiňovaných tvarů interpolačního polynomu má v praxi svoje výhody i nevýhody. LagrangeřW tvRr je možné okamžite napsat, ovšem při zvýšení n (t.j. např. při zvětšení počtu měření) je nutne'jej celý znovu sestavil. Na druhé straně, u Newtonova tvaruje nutno počítat koeficienty b{ , ovšem při zvětšení n se pouze přidá jeden člen, při zachování všech členů předchozích. § 8 :POLYNOMY NAI CELÝCH ČÍSEL. líM racionálních cisel a nad okruhem V tomto paragrafu budeme nejprve studovat ireducibilitu polynomů nad Q a nad Z, Předem jc ovšem nutné opět připomenout, že Z není tělesem, aie pouze oborem integrity (který má dvě jednotky, a ta čísla +1,-1, t. zn. k polynomu / e Z [jc] jsou asociovány právě polynomy /a -/), a tedy v Z[x] nemůžeme obecně použít ty definice a věty, v nichž se předpokládalo, že R je teleso. Specielní tedy pro Z[x] nelze použít definici reducibilního polynomu, uvedenou v § 5, nýbrž je třeba vzít obecnou definici z § 2 kapitoly 1, podle níž polynom feZ[x] je reducibilní (resp. ireducibilnf) nad Z, jestliže f ^ o. f # ± 1, přičemž / ma (resp. nemá) vlastní dělitele, t.j. dělitele různé od x I a od ± f. V dalším pak ukážeme, ze Ireducibilita nad Z a nad Q spolu velmi úzce souvisí, i když oba pojmy samozřejmí obecně nesplývajf; na př. polynom f(x) ~ 3* + 6■.» S, (X + 1) je zřejmě ireducibilní nad Q (viz příklad 5.1), ale nad Z je reducibilní Definice : Polynom /-«. + u,x + . . . + a^x", s celočíselnými koeficienty, se nazývá p r i m i t i v n í, jestliže jeho koeficienty Jsou nesoudělné'. I. zn. ( «„. «,,...,((,)= I. Věta 8.1. : Nechť f = n„ + a, x + polynom. Polom : 1. polynom f lze vyjádřit ve tvaru (!) / + u x" S Z [x | je libovolný nenulový kde z S. Z a f* je pr\milivt\! pulywwi 2. vyjádření l|) je jednoznačnéaž na asuciovanost, t. zn. je-li <2j /"?./* = *, »/,♦ W» Ml e 3 » f*.ft* lsu" Prl mitivnípolynomy, puk z, z, jsquqsociovany * ? /*.' /, * ísf>u aspclorvny v Z\x\. |P u kaz: Het I : symbolem z označnre nejyětší společný dělitel (v Z) v|ech kp.eficieplú p.plyna.n.iH f t. zn. z - (a,,, a,.... ,<>„). Koeficienty pplynprnu. /• pak ohdižíine z ^nínifclt koeficientů polynomu / vydělením číslem, z. Zřejril?paK ja /íprirnitivtiía platilI). ffl npchťp|otí(2l!i kd,e z.z, SZ a /',* jso.u primitivní polynomy. F?k ale z, l.u, pro. i = Q, 1.....«, t.zn. take' z, |(a0,cr,....,,a ) = i . Nechť tedy z = z,c,kde c 6 Z . Podp,sa.zení: z, c/"** = z, /, *, t.zn. ef' ■ * a tedy m$ e dělí všechny koeficienty polynomu f,» , který je však primitivní. Pak ale p « ťf,'"t. zn. z.= iz, , resp, /,« » ±f*, cpi je žádané' tvrzení]. Veta 8.2.: (Vaussoyo. lemma') Neclii"fa e&lx 1 /,w<< primitivníjiolynomy. Puk jejich součin f. g je tajíéptimi-tivnfrn polynomem. [ D O.k a.z pro.yedeme sporem, t. ity. necht"/;g jsou prim^ivníap/edpokládejrne, ze f.g n.enípi;irnitlyiiípolynom, Pak ale existuje prvočíslo, p., kter,é dělí všechny koeficienty součinu f.g. Označme: |' - «„ *%x + ... + a„x" „<.. S = *o + ...+ é x" Vzhiedern. k tiíedpokladu, p. nedělí všechny koeficienty polynomu / resp. polynomu g. Nechřtedy a .resp. bs je koeficient polynomu / , resp. g s i.iejmenším indexem, kterýnepi dělitelný číslem, p. Dale označme koeficient u mocniny, jc'*' polynomu f.g symbqleih c . Pak: (3) c = a f, .b , + < .b. = C Ur, ,b t. zn. S7 Zřejmí i; dělí každý člen na pravé straní rovnosti (3), t. zn. pak také" p\ar.bt. Podle předpokladu vsak p3taypj(h a p je prvočísla, t. zn: pXar: bt , což jé spor. Tedy polynom f g je primitivní). Důsledek: součin libovolného konečného počtu primitivních polynomů je primitivní polynom. [Důkaz: tvrzení plyne z Gaussoya lenimatu užitím matematické'indukce ] Poznámka: je-li jeg [x] libovolný polynom s racionálními koeficienty. i L pak po vynásobení společným jmenovatelem c-b^.b, ...b^ můžeme psát: g = c'./t, kde /i6Z[x). Podle V.8.1. však existuje d£Z a primitivní polynom /iTeZ[x]tak, že li-d.lr. Dohromady tedy lze polynom «6(3 [x) psát ve tvaru: . (4) ;^řI•:l,.<í,í^^, ^£4&.tM^A*\M9ÍSlW!&t' Vyjádření(4) užijeme v iiáslěíliijícf větě; která Chařákténzůje-íreďučibilňípolynomy' riad Z ■ ; """■I"'-''- im ■:"'-"-v'i'f.-i'V- :"'ť' I; Si I Veta 8.3.: Ireducibilníml jirvky v Z[x\ jsou právl tyto polynomy:, . - všechny ireducibilní prvky v Z t - vsec/wty primitivní polynomy stupni alespoň I , které jsou ireducibiinřiwd polem Q racionálních čísel. [Důkaz; je-li /eZ|x), .!.(/) > 1 a / není primitivní, pak podle V',8.1. Izé psát: /=z Z* , kde /»je primitivní a tedy z + ± .1.. Zrejmé ani z ani f* neníjed-notkou v Z[x[, t. zn. polynom f je réducibilnív Z. [x j. lreducibilními polynomy nad Z mohou tedy být jen konstantní polynomy anebo primitivní polynomy stupně alespoň I, Nenulová'konstanta,cSZ však.y Z.\x] může být součinem pouze celých čísel, a tedy.c je iredu.cibilním,pr.vkem v Z.[x,] právějdyž | c | je p.ryočíslOi.t. zn. pravé když c je ireducihilním prvkem v Z . .... Dále, nechť feZ |.v | je primitivní polynom stupně alespoň 1. je-li / reducihil-ním prvkem v Z [.vj.pak (vzhledem k tomu, že je primitivní) je réducibilní i v Q[x\. Naopak, nechť / je réducibilní v Q [.v j. Pak platí; / - g,kde g,,g,eQ [,v], - SB 69 1 f*l\t,),tHti) ilní v Z [x]. Tím je dokážánn i 2. éást tvrzení, j Pozniímka: pro polynomy s celočíselnými koeficienty stupně > 1 předchozí víta ukazuje úzkou souvislost, iriezl irediicíb'ílitou nad Z a nad g . Presňéji íeČenb, je-li takový polynom íŕeducibllní nad: Z , pak je ireducibilní nad Q , résp. je-li riavľc ještě prl-. mitivní, palfje iredú'čibiimnad Z .právě kďýžje Ireducibilníníd fj . ,!Z ppé'dních dvou poznámek vyplývá, že vyšetrovaní ireducibility polynomu v ,:Qlx): Iz?i.yd?.?dst4^přeyěslna vyšetřovániireijucibility polynomuy,Z\xÍ< Následující Věta udává dustatečnou podmínku pro to, aby polynom s celočíselnými koeficienty byl ircducibilií nad tělesem racionálních čísel. Víta 8.4.: (Eisensteinpyo kriterium iredúcibllíty) Nechť "• " J f ""/-o> + a,x + ... + a„x"-! a(ěZ, 1 = 0,1,...,n ľ'': je polynom, »<(/)»«?» I . Nechť'existuje prvočíslo p , pro nez platí: (' P\a. , / = 0;l,.,.,,i-l . . ,'il, (6) i P'().t„ , t. zn, /il/;,, nebo /i|ř-„. Nechť tedy např. /> | ft0 . Pak ale pfcj .protože podle předpokladu pVno. • Dále nechť &. je koeficient s nejnižším indexem polynomu g , který není dělitelný prvočíslem // (takový koeficient jistí existuje, lleboťpodle (6); ptun a b .c ,t.ÄR. pJ(hr). N:ivíc je zřejmě 1 ^ x sí ll -I . Platí vsak: í7> . , a„ "6, ;«•. + *».,<" + "+6''c* . .... Ale pj 6 , i = 0, ..,,.*-•) a dále p^ft , p.kc0 a tedy ze (7) plyne, že pflg , při čemž je 1 «$,.* < lir I , což je a)e sp,qr. ] .... Důsledek: Existuje polynom libovolného stupně n(n > celočíselnými koeficienty',-který je iféducibilnrriad tělesem Q: '"'" [Důkaz; vezměme například polynom /"(x) == x" + 2 ; n > 1 lib. : pak podle Eisensteinova kriteria (pro p = 2) dostáváme, že / je jreducibilní nad Q. J Poznámka: Eisensteinpvo krjterium je pouze dostatečnou, nikoliv vsak nutnou podmínkou ireduphility nplynomu /■ Např. pplynorn /"x*+ I s.celými koeficienty zřejmí nesplňuje předpoklady EiseiwteinQVa knt,er|a apŕestoje irep^ucibilní nad Q. Kromě Eisensteinova kriteria existuje jcstí řada dalších, méně významných dostatečných podmínek pro ireducibilítu polynomu nad Q . Existuje dokonce metoda (vy-pracpvanájlž Kroneckerem) pomocí níž lze ó lib. pôlynômu's čilými koeficienty rozhodnout, zda jé ireduéibilní nad tělesem Q-nebo'nikoiiv. Jevsak příliš komplikovaná a těžkopádná, takže je.prakticky nepoužitelná.. w .■.>.--.■.•.» ;^ Někdy nelzcEjsenstejhova kritéria použít přímena polynom /»(5 celými koeficienty), ule lze jej použít na polynom /(x + a)-, kde -a €2. Poněvadž však ireducibi-lita polynomu f(x) je ekvivalentní Ireducibilltě polynomu ;/(x + a):V můžeme .tímto způsobem dokázat ireducibilitu jest! dalších polynomu, jak ukazuje následujícípří-klad: ■ •■ " s»» : Příklad 8.1.: Nechť p je pevne'prvočíslo, Ukažte, že polynom /'(x) = xpl + x'"I + ...+ x+ 1 je ireducibilní nad tělesem Q. Řešení: je vidět, že na polynom /'(x) nelze aplikovat Eisensteinovo kriterium. Zřejmé však / (x) Iz.e napsat ve tvaru: /(x) ■ »"-1 x I a položíme-li x = y + 1 , došlá- 70 71 - 1 (y+l)-l j,u odkud vidíme, Že prvočíslo délívšechny koeficienty polynomu g , krom* vedoucího '.a p2 nedělí absolutní člen: Tedy podle Elseřisleinova kriteria je polynom ý ireducibilní nad fl.t.zn.i /' je ireducibilní nad Q , nebbřje-li: fix) - n,(*) :/,,(*), pak je g(;.) = = 'Mr+U-MjM-l). V záVéru tohoto paragrafu se jnideme zabývat hledáním racionálních kořenů polynomů s racionálnfmi.koeficienty. Na rozdíl od předchozí Části tentokrát poda'me úplne'a , při tom pomčrně jednoduché řešení. Poznámka: necht" f(x) 6 Q [x ] je polynom tvaru: ;' =" f\x) - aň + a,j:+ „v+a^i" * •■ kde tedy «,,«,'.....ane^.dznačíme-li součin jmenovatelů VŠectí koefteléritO polynomu f(xj symbolem ií\pí^polynom: l" ř*'.*""-r *"• '"' ... íTv/fjt) = ä.a0 + d.ó,x+ '....'+ d\amx" "' ma.zřejmí yíechny koeficienty celočíselné. Z VJ..2. pak bezprostřední vyplývá, že číslo e.efl je kořenem polynomu /U) právě když c je kořenem polynomu d.f{x). Tedy polynomy / «t<í,/t majív Q , stejné' kořeny,aproblém nalezení racionalníchkořenfi polynomů.s racionálními koeficienty Jsme tímto obratem.převedli na problém nalezení racionálních kořenů polyno- >jnfi s celými koeficienty. ; < -..^ • i ., jioc ,,,. Vela 8.5.: Nechť (8) /(*)-«, + «,*+...+ «„*« ; :'•■ „-m • Definice: Nechrli fe okruh a ňec.'i" n jepernépřirozenéčíslo. Okruh, kléry získáme z R , pouítjeme-11 it-král konstrukci okruhu polynomu"ledhé'pramenné', nazýváme okruh polynomu n proměnných n id Raózná-ěujehie jej R[x.....,x ]. -'<•■ •• Mí' •. Prvkyokruhu R fjc,, ) nazýváme polynomy n pro m é n n ý c h nad R (nebo též polynomy n pramenných s koeficienty z R J. Nulový prvek' okruhu R [x......xj nazýváme nulový polynom a označujeme jej o nebo lé$ t)(x,, ...,xn). Poznámka: rozeberme nyní podrobněji předchozí definici pro některá' konkrétní n . Necht n ■ 1 ; pak dostáváme známý okruh polynomů jedné proměnné, studovaný v kapitole II. Nechť* n - 2 ; uváž!me-li íe polynomy jedné proměnné'jsou nekonečné posloupnosti tvaru (a0, a,,....), kde H( e R , a, * 0 pouze pro konečný počet indexů /, pak polynomy dvou proměnných jsou nekonečné posloupnosti ((tfoo.< . ("io.Iii . ••) . ................) jejichž členy jsou rovněž posloupnosti (tj. polynomy jedné proměnné), při černi pouze konečný počet těchto posloupností je různý od nulové posloupnosti, t j. (0,0.....). Vidíme tedy, že polynom dvou proměnných si můžeme vyjádřit jako jis.ou nekonečnou matici (af/l,kde i, j probíhají nezávisle množinu všech celých nezáporných čísel, v níž pouze konečný počet prvků je různý od nulového prvku (L . Do řádků této 'matice' vypisujeme postupně polynomy jedné proměnné, které'jsou členy posloup- 79 nosti určující daný polynom. Operace + nebo . pak můžeme zapsat následujícím způsobem: ... , t ■ . . ,t kde d, Při tom zřejmě nulovým polynomem jé polynom, v jehož zápisu se vyskytuj! pouze 0R a jednotkovým polynomem je polynom (e' )', kde r„ Nechť' n = 3 ; pak polynomy tří proměnných jsou posloupnosti, jejichž členy jsou výše popsané polyřiomy dvou proměnných. Je Vidět, Že iákovetb posíoújiriósti lze vyjádřit indexováním prvků z R třemi indexy, t.j. ve tvaru (ank), kde /, /, Jť.'" nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných Čísel, při čemž a^&R"*** pouze konečný počet prvků al/k je různý od 0fl . Výíe uveden? úvahy lze nyní zobecnit, na případ n proměnných, t. zři; polynom n proměnných lze uvažovat jako posloupnost tvaru (a j, kde ',,ln nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných čísel, při čemž a, , ."BR á pbu-ze konečný počet prvků a; ^ 0 . " i .,ir,:_ '"i Věta 1.1.: Je-li okruh R oborem Integrity, pak okruh R[x,.....xn] jt také • oborem Integrity. [D S k a z : provedeme matematickou indukcí vzhledem k n. Pro ir.= ,l tyrzeni plyne z důsledku V.l .3, kapitoly II. Nechť tedy tvrzení platí pro 1,2.....n -1. Pak je R[x,, ]•» (R[xíf-...,xii-l])\xil],pn čemž.podlé.indukčnlliopředp.okladuj.e. :■' R[x,, ...,xn ,) oborem Integrity.Tedy opět podle důsledku;!/.1 iS-vkapito^Il^je pak R[x, ,...,*] oborem Integrity. 1 Definice: Nechť/=(«,,,.., )SÄ[x....., xn] je polynom n proměnných nad okruhem R , Stup něm: po.ly.no m u f, tmívumt-n^l&x.^^fléi^--M + f: , kde a,, , * 0, resp. ■n f,M...iM v případe, íe f je nulový polynom. Stupckpolý.t\q-J mu f budeme označovat symbolem st(f). . rr,K. Polynomy stupně nula a nulový polynom nazýváme konstantní poly-no my i polynomy slupne ledna nazýváme lineárni polynomy. Poznámka: symbol eo je definován stejným způsobem jako'ťehtýž sýmbol,zá-vedený.vjj 1, kapitoly 11. pro polynomy jědne'proměnné. RóVrtéž vlastnosti st(f) " pro polynomy n proměnných budou analogické vlastnostem stupftěpblynomu jedné' proměnné, 72 - (Dokaz: dělíme polynom / lineárním polynomem (x m),t.zn.pak (II) f M = (x m).<»(x) + /(m) při čemž w(x) = b„ + b{x + ...+ b musí být polynomem s celočíselnými kocfl. cientyjak plyne z Hornerova schématu. Dosaďme hodnotu x=~ do( 111. Dostáva'• odkud pak (12) ,2i'(ft».tí>,.'ft... + 6...^). Vidíme,že pro r-ms je /(«i> "0 , t.zn. (r-ou) j/°(m) a věta platí, Néehf tedy r * ;;i,r . VypasobímeU (12) výrazem , dostávame: --.(*. ./"•■• + ». .r.i-'+...t*..,r-') kde nápravě straní je celé číslo, t.zn. musí být (r-ms) |j"j/(»i) . ;- ...-i . Ale r-ms, .s" jsou nesoudělné čísla, nebofjinak existuje prvočíslo » s vlastnosti: p I r «ií ;' "p ]i" r°ďkůJ™k plýŕie.že p | i (poněvadž p je prvočíslo) Pak ale také p | (r-ms) + mí " r . Máme tedy: p|r, p|s , což je spor s předpokladem věty. Jsou tedy r-ms , s" nesoudělná, t. zn. ze vztahu (r-nii) | j"./(m) dostávame, Že (r-mí) !/(«»>., Příklad 8.2.: Naleznete racionální kořený póiyiibňiú: r.**.*. ,» ' ' :",h"' 3 ' " 'f A.'i"'' i1' :> - * '-i ■»"'•'.....•il;>^ ■ s Řešení: po vynásobení číslem 5 dostáváme polynom rif) s celými koeficienty, s nírnž budeme.dále.pracovat.Tedy: v i • .... ji. • • • '• ř(Jr)»3jr4*.5*' + **+.Sjr.-.2 . . . . Je-li * racionálním kořenem polynomu g (a tedy i polynomu /), psl^ dlé\Vi8.S.: r I - 3 => r = 1.: 1.2. 2 »13 - s = 1.3 (zřejmě u jednoho z čísel r.v stačí uvažovat pouze kladné dělitele). Dále ;vypíseme všechny možné hodnoty | a pod ně pak hodnoty r + s , resp. r .» : / - 73 r - s 2 , 4 . 0 '2 , 0 , 2/S.. r I ; g(:l>« -8 •5 ; 4fl) - 12 Užitím V 8 6. vidíme, že z původních osmi hodnot zbývají k ověření pouze tři: j , - 2. loto ovéréníprovedemenapř llornerovýni schématem: ft | 0 ■» ^ Je kořenem g 1 r. -3 nem kořenem e -» -2 je kořenem ŕ Tedy polynom/(x) ma' dva racionální kořeny: *>, -2 Víta. 1.2.: Necht"R /e okruh, n je pevnépřirozená'číslo, ľak: 1. Mi.tihta nech konstunlních polynomů hoří podokruh okiuhu R\xx.....j j. kle- ryhe ztotožnit s okruhem !t 2. Ml <*......kn) lib neprázdnépodmnožina (1,2,...,n],pak polynomy 1" 'j .. <„>eä 1*1 • x. I "M «,, .., "o, jvstiile i, /' u pro nČjaké s* l*......}. I'vŕípodokruh okruhu K [x,......^ ]. 7Vh;o podokruh lze ztotožnit v okruhem polynomů m proměnných nad R . [ D ä k a t: obě tvrzení plynou, z V 1.3., kapitoly I a jí následující poznámky, neboť: 1. zobrazení •p: K - «|.t......r„l definované pro lib. afc=K vztahem: «>{a) = (o,. , ) ,kde uM...„=a , resp. u(i , = 0 , je-li alespoň jeden z Indexu různý od nuly,je vnorením. 2. zobrazení .....»»J ~ K,A...... definované pro lib (a, ......i J vztahem iM(a, , )) = («, , ), *i *„, 1 « i_ kde 0 jestliže i^O pro nejaké sjŕ(/i.....,*MJ jinak je vnořením, j Stejní jako u polynomu Jedné proměnné, můžeme I zde zavést zjednodušený způsob zápisu polynomů z R [X......x I. Je-li I «S A: <. n , pak polynom (ř>, , ,),. kde ' I je-li ik = I a if= 0 pro j*k 0 Jinak . •,. . , označíme pevným symbolem, např. xk (při tom žádáme pouze, aby symboly odpovídající řízným Indexům k byly různé). Pak libovolný polynom /=(a, ) lze na-psal ve tvaru (o /- e«,i(] .v? ...^ při čemž sumace se provádí přes libovolnou konečnou množinu n-tic indexů /,, ,i„i takovou, že obsahuje všechny /i-llce pro něž « (.*»0. Dvě vyjádření polynomu / ve tvaru (I) se tedy mohou liíit nanejvýš fprmálně o sčítance tvaru 0. x'\ ... x". Dále vidíme, že pošloupmxst indexů koeficientu at f v (I) a odpovídající posloupnost exponentů u jednotlivých xk jsou shodné á'hení tedy nutné koeficienty indexovat. Budeme tedy polynom / častěji psát ve tvaru: . *'i Definice: Nechť R /c okru/i; pak výraz 'i 'i '„ (2) nazýváme členem o n proměnných nebo stručnéčlenem. Je-ll f~ « 2 a.Xy .nxfeRfxt, • ->*„]. pak (2) imývJme cleném polynomu f; prvek nS R pak nazýváme koeficientem členu (2). , ,t Stupněm členu x\l...x" nazýváme čťslo í, + ,.. + in. Polynom, jahož všechny členy maj!, tentýž stupen, s nazýváme A o m o g en n í p q I y npni^ístupně s). Poznámko: z předchozí definice a z definice stíf) plyne, že stupen nenulového polynomu / je roven maximálnímu ze stupňů jeho členů s nenulovými koeficienty. Přiklad I.I.: ..i: ■■■ 'wiiií a) v Jí [*,,*,, *,,*,] je /= {2-l).x',x}-x,xi■ 3.x\x,xl + (I + 21) polynomem stupně 6, který Je nehomogenní. b) v Ž4tx,,Jt,,J(|] Je g~2x\x1 + 3x,Xiix ,x,x,homogenním polynomem s.tup-ní 3. Poznámka: při.vyjádřenlpolynomu.z.R [x,x„] ,ye tvaru (I.) a,při,operacích s nimi se mohou. ve: yyj.ádření(.l) objevit, dva stejné cleny s. nenulovými, koeficient); (při tom předpokládáme, že nezáleží na pořadí proměnných, t. zn,n.ipf.xxx1^x7xl, atd.),které'víak můžeme,sečíst, nebpřzřejméje: .),,],'■•■'■•« ■■■ » • ■•' b.x'í:.ťx^*c,x','.:.x" =(Ď + C).x','...^ ••„-..- .'8«... Na základě léto iívahy budeme nynfvšmle v dalším předpokládat, že při vyjádření po-„ lynomu íl|i,, .,.,*„] ve tvaru (I) se nevyskytují stejné členy, anj čjenj; .skoefklen-teiri rovným .0 . Bude-li třeba tuto úmluvu zvlášť zdůraznit, řekneme, že, Amý_ polynom je věslandarlhSm tvaru. ■ ... . •Věta 1.3.: Kaídý polynom feR\x......x„] lze napsal ve tvaru spučlu.hpmogen- ních polynomů navzájem různých slupnu, při černí toto vyjádření je jednoznačnéíaž na pořadí). 82 [ d 3 k a z: hledané vyjádření obdržíme tak, že sdružíme dohromady vždy členy polynomu /, mající stejný stupeň. Jednoztnčnost daného vyjádření plyne z [oho, že väechny polynomy předpokládáme zapsané ve slandartním tvaru. | Definice: Nechľ f* X *.x'} ...x? UR\x......xj a nechť (b,.....ř>. > -Je prvek kartátskéln součinu R" (t.j. uspořádáni n-Uce prřkS z SIM ••' ■ Xa.b';...bZ fe prvek okruhu R , který nazývame hodnota polynomu f v bode" M>......*„) aoznačiijeme /(6,,.... ífj. Je-li /(*,.....I>n)■■= uľ; říkáme,rte' (*i.....>>„)■ fe kořenem polynomu /. ••••;"'•>•»» -■'' •>••» Poznámka: z definice bezprostředné vyplývá, že pro libovolné polynomy (?) ,....*„>«/(*,'...-..'ojtsib,';.':.;*„) ":| (*) (f-gW>.....,*,)=/(*,,...,bn) .glb\,...,bn) Nechť Ä je okruh; symbolem R" značíme kartézský součin R,X...X>V?, (n-krát). Pŕb'lib. fER[x,, — xj definujeme zobrazení: : .:.., ., *f:Rň-> R takto: pro lib. (/;....., bJéR" polaž/me (5) *ř((r>,.....bn))=f(h......bn) Zobrazení $ budeme nazývat polynomiální'funkce■polynomu ■.{.. JeStližek nejakému zobrazení' > ;R" -r R existuje polynom fSRiXií.^x^l.takd^ ^. = «ly ,-jMk ,+, ■) z příkladu 1.2, kap. I. a Že zobrazení ■'■ ■ ľ:R\xl,...,xJ*-RVfí) ..< ; -.-v. jtyi&S-Hľ definované vztahem /'(/I - Q, pro lib. /e'fi[x(, :.,,xj , Je okruhovým homomor-fizmem. Tento homomorflzmus však obecně nemusí být injektivní, tj.nemusí být vnořením. V dalším pak ukážeme dostatečnou podmínku pro to, aby vnořením,byl. Veta 1.4.: Ncfllť A'„ je nekonečný obor integrity, nechť f\X\ , ..;,x )£/?{x, ,..,.v | /c nenulovýpolyiwm. Pak exlxiuféprvek (bl,.,,bn)GR$ tak, le fib,,..,i.b:l)?iL0. (Důkaz,: provcdeme.matematickou indukcí vzhledem k n v ŕioiii-'l'''tvrzení věty platí (viz V.3.5., kap. II.). Předpokládejme, žc tvrzen! věty plutí pro všechny nekonečné1 obory integrity R a okruhy polynomu n- \ proměnných ^[.v,, ...,x ], tóié ;i>2. Poněvadž Rj.v,,. ,'«)■(/!,[*,.....x„,\)UJ.v'fitata'R,\)ě\,J „ , . . -. - iřčim-nu-v .omatriíMtmU •jé nekonečny obor integrity, pak z I. časti důkazu plyne, ze existuje prvek ■->i , ... -> ř>- .f."..'.-'.jV'VIí'I rr'M ' uui.'-.'.t ..mí ,^«|u'^ g = g(x,, ..:.xal)e.R„[x.......x ] tak.ze f (x,, .£) 4*aU......x j.Oznac- r* ii,i:>i'ií#'i " ■ ";' ''''i' Vlniu::,, H <ř../ú.'íih<(. me / (x|,x ,) «/(x|..... x .,,£)• P«k / SÄ„[x,, ...,xn ] a z indukčního predpokladu plyne, že existují prvky *,......bfilGR„ tak, že /*(&,,..., b ) =ŕ 0 , t. zn. f{b,,...,b,,gih.....'.i| ' ij . c.bd.; ' ""' vi i f: Včta I.5.: Nechť R je nekonečný obor integrity. Pak zobrazeni /••:«[v,. . ,xj -» /!<""! . popsaná výše, je. vnořením. ' ' "? ' ' 11) 8 k ,i z vzhledem k předchozímiíváhá n žbývípoůzé dokázat, že p |» Injektivní zobrazení. Nechť tedy f, geR [x,, ...,xj jsou polynomytakově! že*ffl(fím Píg), t. zn. ■*,= *• Podle (5) tedy pro lib. (6,,. ..,ftn)eR" platí /(6,, ..,*„) = ., íi„), ť. zn.'podle :(3)'je pák':' tf-ti&fi^'^'^ ■ "ÓdiuiVíáťpéďieV.l .4.'pi'yné,'íe polynom f-g musíbýtřoven nulovému polynomu', t. žh. f'=g. Zobrázértí^jr jěiéciy injektivní.:] "" " "'"^ "* Dušlédčk: Nechť R je nekonečný oborfntegrity,'néchf ýj'í e/f [w, i^iiVx^ f*g P'ávékdyž /(*,.....»)-»(*......ř> ), pro každé »,,••..!«/©«»& ,Pak ■ [ D B k a i : jěs)i '/(fi,fip '= í (ftí,.... *„') pro každé (ft, ,..:>«.")E/Ty pak * 1 exislují v okruhu ři|:v,.....x'] ireducibilní polynomy libo- volného stupně m>i (např. polynom *f'-MvJcv '< ■ ■•■<'„! ireducibllní). ľŕi studiu polynomu n proměnných je často potřeba mít cleny daného polynomu lineárně uspořádány. U polynomu jedné' proměnné jsme, aniž to bylo nějak zyjáiť Zdůruznovrino, uspořádávali jednotlivé mocniny proměnné V biiďto vzestupní neliti sestupné, tuto metodu však pft> polynomy n proměnných (ti > 2) zřejmé nelze .nMí."U_." ,-. ..i., i-! ;t . , t.i\ . . i .vl - it ■ * aplikovat á musíme tedy užít jiného postupu 'Definice: 'Nechť A ->ť ~jrj', B = x',' ...jrj /.mu drnčeny o h pmntČnných. Řekneme, ze clen A /<• p ŕ cd členem B (nebo líz, fe clen B leza členem A), exlsluje-li index I. I i, Jestliže člen A je před cleném B nebo A * B , píšeme pak: A> R . VAf ).6.;t > Je, relaciIhieúmllio <úp[ne'ho) ,.s;-,i'.luj-i! <'■.': 'i-yi'o n promennýcjt. ...... (Důkaz: iy to zřejmé relaci na (nekonečné) pinoŽiné víech Slenů o ii proměnnách, r^echťAjt ff'vf 5ř • *-**',•.■■•<„".. ^"*i.~rV inaěť lib. cleny on proměnných. Relučé > je pak; (i) reflexivní, neboť /I = /I , t. zn. je A > A • (ii) anlisyfpetrická,nehoťRlat(ll A>U. B>A nemohou pak A, B, být^rflzne'. . c|eny.,t.ín. je, ,. }tf,: >.-.„ (iii) tranzitivní', neboťje-ll A > B , B> C , pak pokud jsou některé dva z těchto ,,.| 'členů rovné.. inusf být zřejmě A >C. Předpokládejme fed/, že cleny /I, a, C : ;]■.:>■.jsou juvzájenl f^zmÚTo ale znamená, že, A. je před B, a je před C^.Tedy existují indexy :. ; splňující: ' .V, , reSP- A| "I......í,.| ?',.|"S/>'/fcV'. Pak při / «í./je;, ;=.(,. i(,, ft, p> /■, . „..kj, « l»"i I >!■!»■< k, -t......*,,"',.,.*,><,. '■""'■ ••' , tedý v každém jtřípadějc APC,. ,i ň-,;/,.) i ., (iv) lineární(úplná).neboťje-li A *B , pak existuje nějaký exponent, v néinžse obá členy-li.sj. Vezmeme-ll pivní takový' exponent, dostaneme, že biltťyí Je ■ "před B' nebo H je před A, tedy buiťje A>B nebo B > A ] s , Definice: Relaci > nazýváme r e I a c íI e xik.o g r.af ic.:k,é:ho ,,us,p o -řádánf clem' o n pro minii ýe h. Vyšetřujemc-ll pouze členy daného polynomu /(.«,, ...,xtl). pak hovoříme o I e x I k o g r'a f I c k ém uspořádaní členi' polynomu f. Čten polynomu /, který je před všemi ostatními cleny tohoto polynomu nazýváme vedoueíni Členem polynomu j.'. Příklad 1,2.: Polynom fSfí[x(,x,,jra,Xj] tvaru /= 5xf + 3xixixt~x}xjx\ *'Sx,x,xi +2x, + x}x, 2 je lexikograficky uspořádán a jeho vedoucím členem je clen xf- . " Veta 1.7.: Nechť R.je obor Integrity a nechť f,gSR[xl, ■■■,*„] jsou lib. nenulové polynomy. Pak součin vedoucích členil polynomS fa g je vedoucím členem součinu f.g. [ D fi k a z : nechť A ■ x('... x" je vedoucí člen /, hssp. A' - «J" jŕ* W-další člen polynomu f. Pak existuje í, 1 m( . Nechťpodobné. B ■ »í' je vedoucí člen polynomu g , resp. •/('. = ■ = jr','... xj* je lib. dalŕíí člen g . Pak existuje / : f, , „ , j ; = / (, s; «■ ,'">, Plat/vžak: 4.5 ...x*"*'"; 4;.fl'-x?ťí'^x^",o&iidjelffiedíidťt, že 4.z? je před Čienem ^'.5'. Podobně se ukáže, že A.B je rovněž přeď'M.'5!;i před A'.B ■ Koeficient u Členu A.B v f.g je víak součinem koeficientu u Á i B , Čzn. je nenu|oyý, neboť,/{ je podle předpokladu obor integrity. Tedy A.B je vedoucí člen polynomu f.g .] Poznámka: Nechť R je těleso: pak R[x......xj je obor integrity, pro který mfl- žeme stejnou metodou jako .v § 9 kapitoly. II. sestrojit podílové těleso, které označuje- me, /j(x,x„). ttjfiptfáfG .{(^'V/ÍS'0''"'"''''^"1^0' " P'oinínných nad R . Při 'tom racionální' funkcí ;i promepných (nacl/i) rozumíme výraz flxi,.;X„) .""[','"*''*' gix,,:..;x„) ■ - * »>•> kde f.g&R[x......*J a g^o{x,, ...,xj. Rovnost racionálních funkcí n proměnných a operace na množině R(x,, x ) viíecli tříd navzájem rovných racionálních funkcí n proměnných definujemestejnéjakov § 9 kapitoly'U: Platí paki analogické výsledky,t. zn. R\x.......v|(| můžeme chápat jako podokruli tělesa raciOnálníchTunk- cí R{.\.....,x t a libovolný prvek z Rt.v,......í ) můžeme pak vyjádřit jako podíl dvou prvků.z Rix.......v. |. S 2: SYMETRICKÉ POLYNOMY ÚMLUVA: víude v tomto paragrafu předpokládáme, že R značí těleso. Definice: Polynom f (x,......*„),eAW.....xj ,ve nazýva symetrický, Icyläe K nezmíní'zadnou permutaciproměnných, t. zn. prô libovolnou permutaci («|.....ty indexll r,2, ...,n plutt: Množinu vsceli symetrických polynomů n proměnných nad R budeme oznaěovat symbolem RJsx......x,J . Přiklaď 2,1.: V Q [x, ,x,j polynomy /= lx| x, ý 2x,x,a + x, t x, , resp. g - 3 jsou symetrické', kdežto polynomy /i = xf, resp. Jt = x, + 2x,Xj symetrické nejsou. ,Vítt.2.1.: ff((x,, ..,xj je podokruhem oboru Integrity R [x,,. .,xj, tedy je to obor integrity, který navíc obsahuje teleso R . 113 Sk a z jsou-ll /ja/, symetrické polynomy, pak i f,+f,,f, -f, ,f,.f, se nemení žádnou.permutací.promínných, t. zn. jsou to symetrické polynomy. Tedy Rt[xt xj je podokruhem oboru integrity R[x,, •••>*,1 • '■■ zn je také oborem integrity. Zbytek tvrzení je zřejmý, nebof konstantní [Ajlynomýjšbu symetrické. | Veto 2.2.: Nechť A - X| .i,... x*" jé vedoucí'lien symetrického polynomu' fix......x„). Pak piati: [ D 3 k a i. : provedeme sporém; necht* A je vedoucí élen / a nechť existuje index /, I roménnýcn,'k'terS jsoii za cleneui A . | D ú k a z : nechť x*1 ..v]1...x*" je vedoucí ílcn nejakého symetrického polynomu o n proměnných, který je za členem A (pří lexikografickém uspořádání členil 6 n proměnných). Pak musí platit: 1) existuje /, I *( 2) í, >.v, > ... >sn (podle V.2.2.) Odtud vidíme, že musí jisté platit: í < fc,, i - 1, n , t. zn. vedoucích člcnfrsyiriet-rickýcli polynomu, které jsou za členem A je jisté méně běž (k,i-\ y*,!ť.zn. koriečric mnoho. ] •"' -"' Definice: Polynomy z R\xt, ...,xif] tvaru: :' , «|(X.....x„l ' X, + x, +.-ýXn . i ; ,,; o,(X|......r I -x,x, + X|Xi + ... + .v|.v(| + x3x3 + ...+ .vf||xrt o, U......x) = je symetrický polynom nad R a nechť »i «i *» (2) « 'r 'i •„ je jeho vedoucí éleii s koeficientem u6«,d=A0. Podle V.2.2. jc: k,»k%> ... > *„ • I í Uvažme polynom: (J) Ýi "'"i -°i ■•■■°„j ■»„ Pak podle předchozího jsou všechny exponenty v (3) celá nezáporná čísla a navíc po dosazení ,z(l) je rl symetrickým polynomem v proměnných x.......x (plyne z V.2.1. neboťpak je součinem symetrických polynomů proměnných x,, ...,x ). Napišme nyní vedoucí člen (i s koeficientem) polynomu . Podle V.1.7. je to: (4) a.x, .(*,*,) ....(x,Xi ...*..,)"' ".(x, .Jt,.-*„>"=■ a.*,V Vidíme, že je roven (j co do' koeficientu) vedoucímu clenu polynomu / . Utvořme polynom: . . - (5) /, = r-* Pak /J je symetrickým polynomem v proměnných x,, —,xn nad R , při čemž vedoucí člen f, stojí za vedoucím členem polynomu /, jak plyne z (2),(4) a (5). Dále, vy-jdeme-li z vedoucího clenu polynomu /|, zkonstruujeme analogicky polynom \p7 a označíme: /j = f, - ^a . Pak vedoucí člen f2 stojí za vedoucím Členem polynomu f, a platí: nH f - vi + /i - ipi + »^ +/j ......ř......." — - Takto postupujeme dále, až obdržíme / =o , což podle V.2.3. po konečném počti) kroku musí nastat. Po dosazení pak dostáváme: "~p '-' f'(Q|, ...,an), pří čerriž" t. zn, polynomy yj a ^ se liší alešpoňi v jednom koeficientu u stejného členu. Označme: "' "* "* z (o,,on) = y(a......o„) - iKo......o„t Označíme-li gix,......y„) polynom získaný z r(o,.....an) substitúcií I), pak je zřejmé g(xt . ...,xn) - (> ■ Podle předpokladu je t(o, , .... on) ^ o(tr(.....o„) , t.zn. alespoň jeden koeficient u některého členu polynomu t je nenulový. Nechť (61 a. o',', o,1.... i/" . kde a # (I vystupuje v t(oj o ). Po dosazení ( I) do (6) dostáváme zřejmě symetrický poly-nom v proměnných .v,.....X . jehož vedoucí člen nechťje: (7) Xi-X?.*.*,' P.pdleV.1.7.je však:. . -.x?íx^„.x>'i x^lx^J^.lXxW^)^' odkud jjb úpravě pravé strany dostáváme: v, = r,+ (, + ... + /„ což jinak zapsáno dává: í, '-P|-v3 (8) i-l n-l n Vidíme tedy, Že exponenty /,,tn jllenu (6) lze jednoznační zkonstruovat zexpo-nentS vl,...,vn vedoucího clenu (7). Tedy, různě číeny polynomu t(0| ,...,on), uvazované jako symetrické polynomy Y x,,x " (t", zri. po substituci (1 )j musí míť různé vedoucí členy (jinak totiž podle (8) z rovnosti vedoucích členu (7) plyne i rovnost původních flen3-(6)). ....... j. t. í' Š*tV. *»; Uvažme nyní všechny, fleny s nenulovými koeficienty gaj^^^^Jr^žrl^j^i^l substitucí (i) preveďme na polynom v proměnných x,, ...,xs í vezmime vždy vedou-číčiéH tohoto polynomu. Dostaneme Uk neprázdnou'rnnóŽinii navzájem různých čle-'-'ftfi'ŕiíteŕí uspořádariíelexikograficky. Vezrhente-ll nyn^ytpmtóíišpbrádáriŕvedoucí člen, pak tento musí být před vůbec vsemi členy, které pH substituci tľ)äo>(oi',!;i:r;„) 1 dostaneme j přŇomjehb'kbeflfclemje žréjmeneriu^ '"deflhovíihý yýše je nehuibvýicbžde spor.Musí tedy-tíýt v>(o,, í.:,^)= *(°i >''"'í<7(í'' *'tíiřfiL-vvíjádřenípblyrtomu!/!vé tvarupOlynomuproměnných c, l.-.ií^ inadl /í je SÍ3^éan'óžruičňé;!J'!'',I'!<' - ň'«t»i «*.»<^:«v-• .iív>i'.ssfe- «u**{fli» V**;- í... .-n^DJálédék: Nechť/(X, ,*\4*,t»vi»i'. ...v oj) ^vyjádření symetrického.pbtyno-sl,'Tría /eiR|x,, ..j-jr ] poriiOcíelementárhíchsýmetrlckýchipbiynomfl.Pakikóencienty polynomu p získáme z koeficientů polyiibmu/pomoci operacísčítánl a odečítáni (vÄT.'",'"*|J"1 1 ' 1 -^n^'',\\ i'i- •' •: .'; . [ d ú k á z : z první části důkazu předchozí věty plyne, že .polynom .y>í>nja za 'kocfioieHtpfímó koeficient vedoucího Sienu polynomu / Provedemerjiiye (3J sub-štltuci (l)ipak pó rozepsání dostaneme polynom v;promČnný.chj;Xii,.;.iXil ,,jehož koeficienty jsou celými násobky koeficientu vedoucího Zienu polynomu f. Pak'áié z (5) plyne, fe koeficienty polynomu f, získáme z koeficient, i polynomu / pomocí sčítania odečítánía toté"£ tedy platí pro koeficient polynomu ý. .Podobní popoly-nomy ŠíkladuJe.^ stup^Rolynpmu,,,^ Stupivelmi pracný,;^ praktickém.výpočtu ibude^dnaduáslh;.'^,,.,.H , .!fj, .,lí0v >,,,;,, ,/,,, (,..,„ ,„mím^ .Zídfikazuíhlavm'yéty je vidčtyíe členy Jhlpdanéhpjp^ jadřovány pomocí vedoucích člonfi symetrických polynomů ,., '-.„ifc S;Sflitornsye- ■äpuäťclehy polynomu1 jj,...,J^ .jšou,a^yedpucfm'člen^ kove" Členy můžeme vSak lehce vypsat a z posloupnosti jejich exponentů u promč.mýih x......xn můžeme Ihned psát jim odpovídající členy hleriančho polynomu y)(n,,... on). Koeficienty, takto nalezených členfljsou jisté prvky z R , které zjistíme postnpnýn: dosazováním konkrétních hodnot (z tČlesa.Ä ) za proměnné, x,xn . IJvéděn^ metoda se proto nnixtiinetvila neurčitých koe/lcientihu,^,á,; ■• : ■ i ,. i:ul%n*!:-—iJt.) pomocí elemsym.polynpmfi o.....o : 1. Polynom / rozdělíme na homogenní části rOzných stupňů a pro kaídou z nich řešíme zvlášť. 2. Napíšeme posloupnosti exponentů vedoucího členu A polynomu/ avsčch vědoucích členů symetrických polynomů daného stupně, stojících za A . 3. Ke kaíídé posloupnosti exponentů vypííeme odpovídající člen v proměnných o......(7n (viz (3) v důkazu V.2.4.). 4. Hledané vyjádření je lineární kombinací členů z 3., při čemž koeficient u prvního z nich je roven koeficientu členu A a.ostatní koeficienty zjistíme postupným,dosazováním vhodných hodnot (z R) za. x,, ...,xrt . .... 5. Sečtením nalezených vyjádření pro jednotliví homogenní části dostaneme řešeni. Příklad 2.3.: Symetrický polynom /(x, ,x, ,x,) = txf + x] Xx? + a? )(Xjj,+ x,'.) + + (X| + Xi)(x,+ Xi)(Xj + Xj)6 RlXi ,x, ,.v, ] vyjádřete pomocí elem. symetrických polynomů. Řešení: polynom / rozdelíme na dvé homogenní části: f-g+h, kde: a) ř(x,,xJ,xs) = (x/ + x|)(xl! + x|)(x11 + XjJ) = x?.x2J + . 4 2 0-» o]o] \ 4 11-» clo, 3 3 0 -» a\ > g = o\o\+A.o\ 2=-fl .tzn.fl ( 2,-1,-1) - o, =0, o2 = -3, o3= 2,jj= 50=» 50 = -2.(-27)t4fi' ;Wn.D (-1, 2. 2) ■» o, = 3, oj = 0. ba = -4.j7 = 200 - 200 =/l.(27).(-4)-16, t/n /l (I, I. I) - o, = 1, Oj = -l, o,= -l.f" 8- 8 = I+2+2+C-1 .tzn.C Tedy: g^ofoj -2o}u, lo} i 40,0,0, -oj b) /|(X, ,.v,,Xj) = (A| +Xj)(X, +.v,)(-vI+Xj)=X,JX1 + . a i o t o,9, \ . /i = o, o3 + K o, 1 I 1 -» Oj I (1,1,1) - o, =3,(7, - 3,Oj - l./i = 8 - 8 = 9+ , tzn. K = -I ledy: /( = y, a, (Tj Dodatek' ALGEBRAICKÉ ROVNICE § 1 i ALGEBRAICKÉ RESENI ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Problém řešeni' rovnic je jedním z nejstarlích a při tom nBjduJežitějších matematických, problénvu.vflbee, kterýrovné! souvisí s teqriípolynomí. Poznamenejme ,'Žé všechny úvahy v teto kapitole budeme provádět nad polem.lAľ íkbmplexníoh čísel, ne-budé-li výslovné řeíeno jinak. Dáíe, na rozdíl od předchozích kapitol bude podaný výklad tentokrát pouze stručným přehledem, při čemž důkladný rozbor lze najít např. v|61nebo[81. - ' Je4i f(x)= anx" + "n_íx"'+ ... + a0 polynom s komplexními koeficienty, stupně n > 1 , pak rovnici CD /(x) = 0 • á*-.- budeme nazývat algebraickou rovnicí (n-télio stupné, o jedné nezníme). Při tom (1) bude vyjadřovat příkaz vyhledat všechny (obecní komplexní) Úftný polyno&iú fix), které budeme téžtnažývátikořeny. nebo Meiiírovnice (1). Je vidět, že polynom f(X) v (I) lze v tomto případe, bezújmy na obecnosti, předpokládat v normovaném tvaru. Poznámka: je důležité si uvědomit, ie zápis (1) neznamená tentokrát rovnost dvou polynomů (totiž polynomu / a nulového polynomu). Dale připomeňme, že kromí algebraických rovnic existujíi nealgebralcké rovnice, t j. rovnice tvaru (1), kde však f(x) nenípolynom, nýbrž nijaká jina komplexní funkce. Takovými rovnicemi se zde nebudeme zabývat. Příklad 1,1,: Rovnice (2) k" 1 <= 0 je algebraickou rovnicí,jejímiž kořeny,jak známo, jsou právě všechny /i-té odmocni- ny z jedné, tj čísla: cos^r + (sin -~ , * = 0,1.....n-l . V dalším budeme pro jednu z těchto hodnot používat pevného označení, a sice: e„ = cos t, sin ^ . Při tomto označení pak zřejmě všechny kořeny rovnice (2) jsou: I ,.e , e'.....e*"1. 103 V.dalším nyní naznačíme metody řešení pro někblik'ntíjjednodušiiich, résp. specielních typVr algebraických rovnic. " ' .-•:' .-•::■• ■•'ii) Kvúdratíčkaróvnicé ' - ' ■ *>' •'•' " : rí"" t. j. rovftiče tvaru x':épx '+ +psx + q = 0 " '• '>■'.- i ■ Stačí nyní najít všechny kořeny rovnice (5), noboťpak užitím (4) určíme všechny kořeny přívodní rovnice (3). Po několika úpravách dostáváme näkóňec tento výsledek: nechť/r * značí jednu (p.evnoulz obpu hodnot napsaného symbolu; nechť dále « značí libovolnou (pevnou) Ze tří třetích odmocniřT \J - J+.K a konečně v znqéí tu z třetích odmocnin (/• 5f - K , která splňuje vztah: 3111/ =.- i'. Potom kořeny rovnice (5) jsou: («1 x, - u ^ v ; x, - e3. u + ej . v ' e,1 .u -t- e,.v kde e, = cos 2j + t sln ^ = |+ j'\/~3 • Vzorce (6), pomocí nichž můžemcalge-braicky explicitné najit kořeny kubické rovnice, se nazývaj! Xjanlanovy vior.ee,-.'. ,.i •_• O diuhu kořenů rovnice (5) lze opět rozhodnout podle hodnoty diskriminantu...... D polynomu nalevé.stianč (5.), přičemž D.-.: Ap'-llq1. J4k;p!yn.e..z,příkladu 3,3, kap. III.Podle V.3.4„kap. III. jsou kořeny navzájem různí prá.vě když íí^n., ;.. 04 - 104 - - 105 - . Qbzv.lá.íťdBležitý je případ, kdy koeficienty kubické rovnice (5) jsou reálná éísla. Potom při D <0 dostáváme (rozborem Cardanových vzorco^Je jeden koren (S) je reálný a zbývající dva Jsou imaginární (a to komplexně sdružené, vzhledem k V.7.6., kap. 11.). Je-li D > O , pak jsou všechny tři kořeny rovnice (5) reálné arflzné. Carda-npyy vzorce však tyto, reálné kořeriy vyjadřují ve tvaru součtu třetích odmocnin z komplexních čísel, což Je v praxi nepříjemné. Dokonce lze ukázat, že žádnou metoT dou uiíyajícípouze základních aritmetických operací (t. j. + ,-,.,:) a tvoření aritmetických (reálných) odmocnin heize v tomto případě vyjádřit kořeny rovnice (5) pomočí jejích koeficientu. Tento prahlém je však možno Mit poměrně jednoduše pomocí goniometrických funkcř: ■ i ; ■ p'v .<;..: . . .- .V---*.. • . - ■ -í -. . . ' . ;• ■.. .;' ■ ■ -I', (i) Rovnice čtvrtého Stupni •'• '« Ofí**'?" :'"'] ■ x* + 4jr' + 'W + «0 • >.••'- se da'opět řešit celou řadou algebraických metod. Například, označíme-lí i,, x,,x5, x4 kořeny rovnice (71 a uvážíme polynom g(x) tvaru: «(x) = (x (.v, + x,)).(x-(x, +xs)).(x (x, +x4)).(.v-(x, + xä)).(x-(x,+x,)).(x-(Xi+x,)) • . v . .... }i ; pak kde/iclenty polynomu g(x) jsou zřejmě symetrickými polynomy koííňu rovnice • ' i M,:,.t; .'it>;.i. .;• (7) . Substituci ■ - i . (8) x = t - j ■ ' přejde polynom g(x) v polynom F(t) = gU-^) , který obsahuje pouze sudé mocniny prornínne' r. Položíme;',!: ť = u , dostáváme pak kubickou rovnici b neznámé u. Tuto.umíme reäit a z jejich tfíkořenii «,,«,, li3 obdržíme 6kořenurovnice A('Ö*fl , a sice iVIS'' *VUV .''*vS».. odkud pomocí(8) dostaneme 6 köreriS! a,,a,', ..;ä, rovnice g(x) = 0. Nakonec, pró^ itačjřeŠIt tenfö jednoduchý systém rovnic: " " '' ' " ! ** X,+X2 , X,+X3 = 0:, , X|+X4 = 0!, ,X, + X3 = 0, , Jtf+Jt, »«f", x3 -í x4.! = o, ,!l z něhož již snadno vypočítáme x,, Xj, x3. x4 . <~(i) Binomická tovnice t •, * je algebraická rovnice tvaru; . : •- (9) " •' - x"_~a = 0, . .i■• . . kde jŕO je pevné komplexní číslo, případ a =■ 1 jsme rozebrali v přikladu 1.1, Obecně, označíme-li libovolnou (bIÍ pevnou) z n-tých odmocnin z komplexního čísla a symbolem s/a , pak všechny kořeny rovnice (9) jsou: '{/ä , e„-V" . eH Vá ■ ■•' e"'Vá • m I kde e = cos ^ + (sin ^jř , jak bylo zavedeno výše. (e) Reciproká rovnice Rovnici tvaru: ax" + « + ... + atx + u0 = O nazýváme reciprokou rovnicí. 1. druhu (resp. 2.druhu),jestliže platí: an » a0 . ,.«, = a,...(resp. "„ " ""o . «„., = o, , an.a = a,......).. , Zřejmě, má-li reciproká rovnice (ať 1. nebo 2. druhu) kořen c , pak má take'ko-ren y . Dale, reciproká rovnice 1. druhu, lichého stupně, má vždy kořen c. "VuJ -a po jejřm vydělení kořenovým činitelem (x+1) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu, sudého atupriě. Podobně, reciproká rovnice 2. druhu, má vždy kořen Cj-.l. apo vydělení činitelem (x-í) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu. Z těchto úvah vyplývá*, že při studiu reciprokých rovnic se stačí omezit pouze na reciproké rovnice 1. druhu a sudého átupně, hapř'. 2/n . Řešení takové rovnice lze vsak jednoduchou substltucřpřeve'st na řešení algebraické'rovnice polovičního, t.j. m-tého stupně a řešení m kvadratických rovnic. Výše Jsme ukázali, jak lze explicitně vyjádřit kořeny algebraické rovnice z jejích koeficientu 'algebraickými' metodami (t.j. metodami, užívajícími v konečném počtu čtyř základních aritmetických operácia tvoření odmocnín) pro rovnice až do.4. stupně, Problěm najít 'algebraické' řešení rovnice 5. stupně se stal po objevu řešen! rovnic 3. a 4. stupně v XVI. stuletíjedním z ústředních matematických proble'mú...V letech 1700-1701 francouzský matematik l.agrange podal obecnou metodu jak vyjádřit kořeny algebraické rovnice metodou symetrických funkcí pomoci' kořenu jiných algebraických rovnic, které nazýváme resolvenwml. Ukazuje se, že resolvehty rovnic 3. a 4. stupně jsou o jedníčku menšího stupně než daná rovnice, zatímco resolventa' rovnice 5. stupně má stupeň 6. Nesčetné pokusy o obecné 'algebraické* řešen! rovnic stupně pa'tého. a vyšších selhávaly a vedly nakonec k opačným pokusům, dokázat nemožnost nalezení takové metody. Správnost druhé'domněnky potvrdil norský matematik II. Abel ve dvacátých letech minulého století. Tím ovšem není řečeno, že by nebylo možno některé speciální typy algebraických rovnic vyšs'ích stuprlu řešit 'algebraickými' metodami. Ucelenou odpověďna otázky tohoto druhu podal francouzský matematik b.tialois (1811-1832). Z teorie po něm nazvané plyne, že pro každé'n > 5 existuje algebraická rovnice stupně n , která není řešitelná'algebraickými'metodami, 77 - 106 - S 2: NUMKKK'Klí ŘliŠKNl'AI GKISRAICKYCH ROVNIC V předchozím paragrafu jsme poukázali na nemožnost obecné 'algebraicky' řeži t algebraické' rovnice stupila « > 5 . Ale i.metody a vzorce pro ŕesení algebraických rov-nie Stupne menšího než 5 mají význam spís'e teoretický než praktický/Proto je nutne' hledat jiné'způsoby výpočtu koreni! algebraických rovnic. Při těchto dráhach, kterě většinou přesahují rámec, základního kurzu algebry,je obvykle nutné použít aparátu a metod matematické'.analýzy. ■■■ -/.:^:. V dalším alespoň schematicky naznačíme postup získání (približných) hodnot reálných kořenu algebraické rovníce s reálnými koeficienty, t.j. rovnice.: ; (1) anx" + an.,*■""'+ ... + u\x + a„ = (i , a SR , což je sice specielní, ovšem v praxi nejčastější případ. Postup, sestává ze tří kroku: al ohraničení kořenu . , : . . b) separace kořenů c) aproximace k.qrenu. Ohraničěiiíhl kdrenu še rozumí nalezení intervalu na reálné ose, v němž leží*všechny reálné kořeny dané rovnice (I). Lze například ukázať: že reálné kořeny 'rovnice (i) leží v intervalu < (1 + j*j),'(-ľ* r*i) > , kde M~mm í \:a<,1, -'ŕľaj., I ) ■ Potibb.ných odhadů existuje celá řada. Separace kořenů znamemvnalezenrintervalĎ na reálne' ose, z niehí každý obsúhujc právě jederí reálny kořen rovnice (1)1 Qbecnč metody pro separaci kořenQ bývajíďpsti těžkopádné';*! pracne. Nekdý'vystaČíme.spoúhým horním odhadem poclíi .kořenu, který můzé dokonce vé\sti'k pfeshýřil' yý&édkflrtV; spo-jíme-U jej sdolňřrh oďhatftun poctu kořenu. PosledníóahaďTže^nejjédhbduŠejiprovást pouhým sledováním znaménkových žmSn hodnot pbtynotriu ha levé strane (1) Vlibo-vo.lne konečné posloupnosti bod8. Konechě Jestliže jsme liáležliinttíiVal obsahující pravéfjedén kořen rovnice (I), který označíme íiapř. x0 V pak přbvádíme aproximaci tohoto korene s jistou předem danou přesností. Znamená to Zkonstruoval dv& posloupnosti rea'lnych čísel: " v ' *' ':' f| t^<*2 < .... :í/| i obě konvergujíeík hodnotě, .v0 . existuje opět cehí radu t.zv. približných metod, které' umbžřl ují aproximovat hledaný kořen s libovolnou přesností'. Všechny minimckc metody řešení aluelnaických rovnic získaly na významu v po-slednrdobé především možností využiti'moderní výpočetní techniky.