49
Reálná a komplexní čísla
7. Těleso reálných čísel
7.1. Definice. Buď (R, < ) lineárně uspořádaná množina. Dvojice a — [A, B), kde A C R, B c R, se nazýva řez v množine R, jestliže platí:
(1) AUB = Ä, yl^0?íB,
(2) x 6 A, y é B      a; < y.
Je zrejmé, že množiny .4,B jsou disjunktní, tedy systém {A, B} tvorí rozklad na množině R.
Množina Á se nazýva dolní skupina řezu a, množina B se nazývá horní skupina
řezu a.
Jestliže dolní skupina řezu a má největší prvek a horní skupina řezu q má nejmenší prvek, pak řez a nazýváme skok v množine R. Jestliže dolní skupina řezu a nemá největší prvek a horní skupina řezu a nemá nejmenší prvek, pak řez a nazýváme mezera v množině R. ■-'
Mezi pojmem hustě-uspořádaná množina a pojmem skok platí následující vztah.
7.2. Tvrzení. Lineárně uspořádaná množina, která obsahuje alespoň dvaprvky, je hustě uspořádaná právě tehdy, když nemá skoky.
7.3. Příklady.
a) Nechť m je celé číslo, A = {x 6 1 | x < m}, B = {z <E 2 \ x > m + 1}. Pak dvojice-(A, B) je skok v množině Z celých čísel.
b) Nechť m je libovolné racionální číslo. Mějme dánu množinu Q - {m}, na níž je definováno lineární uspořádání stejným způsobem jako na množině Q. Pak řez q = (A,B), kde A = {x e Q | x < m}, B - {x e Q | x > m}, je mezerou v Q-{m}.
c) Nechť n je pevně zvolené přirozené číslo (n > 1), a e Q, a > 0 a zároveň nechť neexistuje racionálni číslo £ takové, že f" = q. Položme
A m {íeQ|í<o}u{íeQ|í>o,íft<a}.
B   = {íeQU>0,fn>a}-
Ukážeme, že dvojice {A, B) je mezera v množině Q racionálních čísel.
Zrejme 0^ACQ,0^£CQ, ÍUB = Q. Nechť £ g A, r/ £ B. Pak r/ > 0, r?" > a. Jestliže £ < 0, pak £ < n. Jestliže £ > 0, pak £n < a < r;", odkud plyne £ < fj. Tedy (A, jB ) je řez v množině Q.
50 Reálná a komplexní čísla.
Předpokládejme, že horní skupina B má nejmenší prvek 0. Protože množina racionálních čísel je hustě uspořádaná, existuje racionální číslo £ splňující následující tři podmínky: ,
n<í</3, e<S^' ^ctor1
pro každé sudé číslo i/ (2 < y < n). Z těchto podmínek plyne, že n0n~1^ < /?" - a, nebo-li 0" - n/?""^ > a a       - (^Jí > 0. Pokud položíme 7 = /3 - £, potom 0 < 7 < 0 a
n •
7" = E (")(-= ľ1 - '^"-'£ + lí"[0)0 - UJč] + e,
t-=0
kde sčítání probíhá všechna sudá v taková, že 2 < v < n, a kde e — 0 pro 71 liché a e = > 0 pro n sudé. Odtud, vzhledem k podmínkám kladeným na číslo £, plyne 7" > a. Tudíž 7 6 B, což je spor s předpokladem, že 0 je nejmenší prvek B. Množina B tedy nemá nejmenší prvek. tJ
Předpokládejme, že množina A má největší prvek 0. Rozlišme nyní dva případy.
Nejprve nechť platí 0 = 0. Je-li a > 1, položíme 7 = 1, je-li a < 1, položíme 7 — f. V obou případech dostáváme, že 7" < a, a tudíž 7 € A, což je však spor s tím, že /3 je největší prvek A, neboť j£) = 0 < 7.
Nechť nyní platí 0 > 0. Označme
w = min [(a - /3")[(")0"-"n]_1 | 1 < v < n} .
Jistě platí u) > 0. Je-li dokonce w > 1, položíme f = 1. Je-li naopak w < 1, klademe £ = ^. V obou případech dostáváme f < ui pro každé 1 < v < n, tedy
pro všechna 1 < u < n. To znamená, že pro všechna uvažovaná v platí nerovnost
O" T <
Položme nyní 7 = /? -I- £. Potom platí 7 > /3 a íi
Odtud plyne 7 e A, což je spor s předpokladem, že 0 je největší prvek A. Množina A tedy nemá největší prvek, a (A, B) je tudíž mezera v Q.
Nyní ukážeme, že každou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do lineárně uspořádané množiny, která nemá mezery. Za tím účelem si nejdříve definujme pojem vnoření lineárně uspořádaných množin.
Kap. 7. Těleso reálných čísel
51
52
Reálná a komplexní čísla.
7.4. Definice. Buďte {R,<), lineárně uspořádané množiny. Zobrazení / množiny R do S se nazývá vnoření lineárně uspořádané množiny [R, < ) do lineárně uspořádané množiny (S,-<), jestliže platí:
(1) / je injekce,
(2) pro libovolné x, y 6 R, x <y platí, že f(x) < f{y).
Řekneme pak, že lineárně uspořádanou množinu (R, <) lze vnořit (resp. je mořena) do lineárně uspořádané množiny {S,<). Vnoření / se též často nazývá izomorfismus vzhledem k uspořádání nebo pořádkový izomorfismus lineárně uspořádaných množin.
Protože je (R, < ) uspořádáno lineárně, pro vnoření / také platí, že:
x,y 6 R, f{x) ■< f(y)       x < y.
Uspořádání -< na množině S se často označuje stejným symbolem jako uspořádání < na množině R. Prvek r E S se obvykle identifikuje s prvkem /(r). Při této identifikaci je pak množina R podmnožinou množiny S.
7.5. Věta. Každou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do lineárně uspořádané množiny bez mezer.
Důkaz. Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina. Pro r e R označme symbolem (r] množinu {x 6 R | x < r}.
Nechť S značí systém dvojic (A, B), A C R, B CiTa {A, B) je mezera v R nebo A — (r], B = R-(r] pro nějaké r 6 R. Zřejmě (A, B) je řez v R s eventuálni výjimkou prípadu, kdy R má nej větší prvek m a A = (m] = R, B = 0.
Pro a — (A, B) £ 5, P - {C, D) S S položíme a < 0,, jestliže A C C, což je ekvivalentní s podmínkou BOD. Snadno lze ukázat, že relace Hl na S je lineárni uspořádání.
Ukážeme sporení, že lineárně uspořádaná množina (5, <) nemá mezery. Předpokládejme proto, že (A, B) je mezera v 5. Položme
A* =   U X,
(x,y)eA
B'
- U y-
(x,y )Ěfl
Zřejmě pak A*, B* C Ä a ^l* / j. Kdyby 0* = 0, pak by musela mít množina R největší prvek a muselo by platit B == {{R,0)}, což není možné kvůli našemu předpokladu, že (A,B) je mezera v S. Je tedy i 0* neprázdná.
Ukážeme, že dvojice (A*,B*) je mezera v r.
Nechť r € r je libovolné. Označme g = ((r],i? - (r']) 6 5. Pak q e A nebo g 6 B. Z prvního případu ihned plyne r £ 4*- Protože B nemá nejmenší prvek, z druhého případu dostáváme r £ S*. Je tedy A* U B* = r.
Nechť a & A*, b e B*. Pak existuje (i4,B) € Ä, (G,D) g S tak, Že a 6 A, Jgfl. Jelikož (/I, B) ^ (C, D), máme B D D, tudíž l)6lla odtud dostáváme a < i.
Dvojice (.4*,B*) je tedy řez v r. Kdyby (4*, S*) nebyla mezera, musel by existovat největší prvek x množiny A* nebo nejmenší prvek y množiny B*.
V prvním případě by pak ovšem existovalo ^ = (X,K) £ .4 tak, že e £ .Y, a toto í by muselo být největším prvkem množiny A, což není možné, neboť předpokládáme, že (A, B) je mezera v S. Pudobně ve druhém případě by pak existovalo n = (X,Y) € B tak, že y 6 V, přičemž toto tj bystalo nejmenším prvkem množiny B, což opět není možné ze stejného důvodu.
Ukázali jsme si, že (A*,B*) je mezera v R. To ovšem znamená {A*,B*) £ 5. Pak {A*,B*) e A nebo [A*,B*) É S.V prvním případě je (A", B*) největší prvek množiny A, neboť pro libovolné (C, D) 6 A platí C C 4* z definice. .4*, a tedy (C,D) < (A*, B*). Jenže existence největšího prvku množiny A je ve sporu s naším předpokladem, že (A,B) jc mezera v S. Podobně ve druhém případě je (A*,B*) nejmenší prvek množiny B, což jc spor ze stejného důvodu.
Dokázali jsme, že (S, <) nemá mezery.
Pro r £ i? položme i/>(r) = ((>•], R - ( r]). Pak f je vnoření {R, < ) do (S,<) a věta je dokázána.
7.(5. Definice. Lineárně uspořádaná množina (5, X ) sestrojená v důkazu věty 7.5 se nazývá normální obal lineárně uspořádané množiny (R, < ). Zobrazení ip se nazývá kanonické vnoření lineárně uspořádané množiny (R, < ) do jejího normálního obalu.
Ztotožníme-li prvky r £ E s dvojicemi ((r],Ä - ('r J) = y (r), můžeme říci, že normální obal lineárně uspořádané množiny (R, <) se skládá z prvků množiny R a z mezer v množině R. V dalším textu budeme uspořádání na normálním obalu označoval stejným symbolem jako uspořádání na /?., tj. <.
Normální obal lineárně uspořádané množiny je v následujícím smyslu jejím „nejmenším obalem", který nemá mezery.
7.7. Věta. Nechť (R, < ) je lineárně uspořádaná množina., [S, < ) její normální obal a i/j kanonicicc vnoření (R,<) do (5, <). Buď (T, <) lineárně uspořádaná množina bez mezer a / vnořeni (R, < ) do (T, < ). Pa/c existuje vnorení / množiny {S, < ) do (T, < ) takové, že f o ip = /.
Můžeme pare říci, že diagram na obrázku 7 komutuje.
(K<)
(s,<:
i
[t,<:
Obr. 7.
Kap. 7. Těleso reálných čísel 53
Důkaz. Nechť a = (A,.B) £ S. Jestliže A - (r], B = R - (rJ pro nějaké r 6 Ä, pak položíme /(c) = /(r).
Jestliže (/l, B) je mezera v R, položme
A* = {í£T| 3a 6 A,í</(a)}, B*   =   {í £ T | 3 í>£B,ŕ >/(&)}.
Ukážeme, že množina A* nemá největší prvek. Skutečně, je-li a e A* největší prvek A*, pak podle definice A* musí existovat a & A tak, že a < /(a), současně však /(a) < a, neboť /(a) 6 A* a a je největší prvek A*. Tedy a se f (a). Protože pro libovolný prvek c e A platí /(c) 6 A*, je /(<?) < a = /(o), odkud c < a, a tedy a je největší prvek A. To je apor, neboť jsme předpokládali, že řez (A, B) je mezera v R.
Podobně lze ukázat, že B* nemá nejmenší prvek. Jistě pro libovolné a 6 A', 0 € B* platí a < 0. Protože v T nejsou mezery, není (A*,B* ) řez, a tedy existuje s £ T - (A' U B"). Položme f (a) = s.
Je zřejmé, že f ó ý = f. Nechť a, t £ S, cr < t. Pak <r -J/l, S), r = (07,1?), přičemž existuje e € B n C. Z definice zobrazení / plyne f (a) < f (e) < f (r), a tedy / je vnoření. Zobrazení / tedy splňuje podmínky věty.
7.8. Věta. Nechť (R, < ) je lineárně uspořádaná množina, (5, < ) její normální obal a ip kanonické vnoření (R, < ) do {S,< ). Pak platí:
(a) je-li (A, B) skok v R, a největší prvek A, b nejmenší prvek B, pak [A, B) je skokem v S, přičemž Á — {s € S | S < ^(o)}, B = {s 6 5 | s > i/>(b)}>
(b) je-li {A,B) skok v S, pak existují a,b £ R takové, že t/»(á) je největší prvek A a ip{b) je nejmenší prvek B; přitom platí, ze (A, B ) je skokem v R,kde A = [r £ R \ r <a}, B = {r £ R\r>b}.
Jinými slovy: skoky v S jsou právě „obrazy" skoků v R při kanonickém vnoření.
Důkaz, (a) Množina A má největší prvek ip(a) a B má největší prvek ij>(b). Pokud (AB) Je řez v S, pak je (.4,0) skok. Abychom ověřili, že (A,B) je řez v 5, ukážeme sporem, že A U B = S. Předpokládejme tedy naopak, že existuje a 6 S, s g A U B. Odtud dostáváme, že ip{a) < s < ip(b). Pak s - (C, D) je řez v Ä. Z if>(a) < s plyne, že a 6 C, z s < V(&) plyne, že b £ D. Protože (A, 5) je řez v R, je rl U B = R, a tedy neexistuje x & R splňující a < x < b. Je tedy s = (C, ľ ) = [Ä, B ) = V(a)i což Je sPor a (A 0) Je skutečně řezem v S.
(b) Předpokládejme, že (A,B) je skok v S. Označme a - {X,R-X) největší prvek .4, 0 = (Y, R - Y) nejmenší prvek B. Protože ct<0, existuje 6 £ Y, b g X. Pak b je největší prvek Y, neboť v opačném případě by existovalo'c £ Y, b < c, a tedy a < ý (b) < ip{c) < 0, což by byl spor s tím, že {A, B) je řez v S. Je tedy /3 = ip(b). Současně je b nejmenším prvkem množiny R - X: v opačném prípade by existovalo d £ R - X, d < b, a tedy a < f (d) < ip(b) = 0, což by byl opět spor. Pak ovšem a nemůže být mezerou v R, a. proto existuje a £ R tak, že a = vH0); tj. a je nej větším prvkem X. Označíme-li A — {r £ R \ r < a], B = {r £ R | r > 6}, pak a = (A, S) je skok v R.
I
54
SI
m
I
II
3
Reálná a komplexní čísla
7.9. Důsledek. Lineárně uspořádaná množina nemá skoky právě tehdy, když její normální obal nemá skoky.
7.10. Definice. Normální obal lineárně uspořádané množiny (Q, <) racionálních čísel se nazývá lineárně uspořádaná množina reálných čísel a značí se (38, < ). Prvek množiny K se nazývá reálné číslo.
Racionální číslo q se zpravidla ztotožňuje s reálným číslem (( g],Q— ( q ])., tedy Q C K. Můžeme říci, že reálné číslo je buď racionální číslo nebo mezera v lineárně uspořádané množině racionálních čísel Q. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo. Tudíž iracionální číslo je mezera v Q.
7.11. Definice. Lineárně uspořádaná množina (R, < ) se nazývá spojitě uspořádaná, jestliže nemá skoky ani mezery.
7.12. Věta.
(a) Množina reálných čísel (K, < ) je spojitě uspořádaná.
(b) Jestliže a, ji 6 M, a < (i, pak existuje 7 £ Q tak, že a < 7 < j3.
(c) Množina reáiiiých čísel R je rovna množině řezů v množině racionálních čísel Q, jejichž horní skupina nemá nejmenší prvek.
Diikaz. Tvrzení (a) plyne ihned z vět 6.12, 7.2 a 7.9. Protože množina racionálních čísel nemá největší prvek, dostáváme z (a) ihned tvrzeni (c).
Nechť a = (A,B) £lj = (C,D) £ E, a < 0. Pak B D D, B 7= D, tudíž existuje q £ B - D. Jelikož B nemá nejmenší prvek, existuje c £ B, c < q. Pak A C (c] C C, A (c] C, tedy pro racionální číslo 7 = ((c],Q- (c]) platí: a < 7 < /?.
Věta je tím dokázána.
7.13. Definice. Nechť a = (A, B), 0 = (C, B ) jsou reálná čísla. Pak položíme q + 0 = (Q - (B + D), B + D). (Výrazem z + Y pro x c Q, Y C Q rozumíme množinu {z + y | a; £ X,y £ F}).
7.14. Tvrzení. Pro reálná čísla a,0 je a + 0 zase reálným číslem. Tudíž + je operací na množině M. Jestliže a,0 jsou racionální čísla, je reálné číslo a + 0 rovno dříve definovanému racionálnímu číslu a + 0.
Důkaz. Nechť a - (A, B), 0 = {C, Ľ), X = Q - (B + B), Y = B + D. Pak K S Q, Y C Q, X U Y = Q, Y £ 0. Zvolme a £ Á", c £ C. Pak a < i pro každý prvek b £ B, c < d pro každý prvek d £ B, tudíž a + c < b + d pro každý prvek b £ B a každý prvek d £ D. Odtud plyne, že a + c £ Q - (B + D), tedy X 7í 0.
Buď 2; Ě X, )( € F. Pak existují b e B, d e D takové, že y — b + d. Jelikož x $ B + D, je.x — b $ D. Proto platí x — b € C, z čehož plyne nerovnost, x - b < d. Tedy x < b + d = y. Dvojice (JVT, y ) je pak řezem 11a Q. Stačí ukázat, že Y nemá nejmenší prvek.
Nechť y £ Y. Pak existují b e B, d e D taková, že y = b + d. Jelikož B a B nemají nejmenší prvek, existují u £ B, v 6 B, u < h, v < d. Pak tu = u + v £ Y,
Kap. 7- Těleso reálných čísel
55
5G
Reálná a komplexní čísla
w < y. Tedy Y nemá nejmenší prvek, tudíž a + 0 = {X, Y) je reálné číslo. Druhý výrok tohoto tvrzení lze již dokázat snadno.
7.15. Lemma. Nechť (A,B) je řez v Q, d e Q, d > 0. Pak existují prvky a & A, b e B tukové, že a není největší prvek množiny A a platí d = b - a.
Důkaz. Podle tvrzení 6.12 existuje / € Q, 0 < / < d. Zvolme nyní x e A, y 6 B tak, aby x nebylo největším prvkem množiny A. Podle tvrzení 6.14 existuje přirozené číslo n takové, že ^ < n. Tudíž y <nf + x, odkud plyne nf + x e B.
Buď m nejmenší přirozené číslo s vlastností x + mf 6 B. Pak x + (m -1)/ e A.
Jestliže x + (m - 1)/ 6 A je největší prvek množiny A, pak m > 2 a položíme a = a; + (m — 2)/, ô = x -i- (m — 2)/ + d = a 4- d. Jestliže x 4- (m - 1)/ není největší prvek množiny A, položíme a = i + (m — 1)/, 6 = x 4- (m — 1)/ 4- d = a 4- d. Odtud plyne lemma.
7.16. Věta. Grupoid (R, 4-) je Jcomutativn/ grupa. Nulovým prvkem této grupy je racionální číslo 0 = ((0],Q - (0]). Pro a = (A, B) e R je opačným prvkem -a - (Q - (-Ä), -Ä), kde
~ _ í A, jestliže A nemá největší prvek,
1 A - (??!},   jestliže m je největší prvek množiny A.
(Pro ICQ znač/ —X množinu {—x | a; 6 X}.)
Důkaz. Zřejmě je operace + na E komutativní a pro libovolné X,Y,Z C Q platí [X + Y) + Z - X + [Y + Z), tudíž (E, +) je komutativní pologrupa.
Dokažme, že ((0], Q - (0]) je nulovým prvkem uvažované pologrupy. Nechť a = (A, B ) 6 E Zřejmě B + (Q- (0]) C B. Buď b e B. Pak existuje c e B, c < b. Položme g = b - c. Pak g 6 Q - (0], a tudíž t = c + peB+(Q - (0]). Odtud plyne B + (Q - (0].) = B, a tedy ((0],Q - (0]) je nulovým prvkem pologrupy (E, + )..
Položme X = Q.- (-Ä), K - -A. Pak X C Q, 7 C Q, Y ž 0, X U Y = Q, Inľ = §, -B C X, tedy Z ^ 0. Buď i £ X, j £ ľ. Pak existuje a G A, kterč není největším prvkem množiny A, takové, že y = -a. Kdyby y < x, pak x > —o, tudíž -x < o, odkud plyne, že -x £ A. Odtud dostávame, že x € ľ, což je spor. Tedy {X,Y) je řez v Q. Jelikož množina A nemá největší prvek, nemá množina Y nejmenší prvek, což znamená, že P = {X, Y) je reálné číslo.
Zřejmě B + ľCQ-(0]. Buď d 6 Q - (0]. Podle lemmatu 7.15 existují a S Ä, b e B tak, že á = 6 — o. Položíme-li y == -a, je y 6 F, d = b + y, tudíž B + y = Q — (0], z čehož plyne, že a 4- p1 = 0. Věta je tím dokázána.
7.17. Věta. Nechť a, 0,-y, 5 <5 R. Pak platí:
(a) a < /3 <í=> a + 7 '< /3 + 7,
(b) a < P <í=> a + 7 < /3 + 7,
(c) jestliže a < P, 7 < 5 nebo a < /3, 7 < (5 nebo a < /3, 7 < í, potom a + 7 < P + á,
(d) a</3, 7<tf=>a + 7</3 + (5.
Důkaz. Nechť a = (A, B ), fl = (<7, D), 7 = (F, F) jsou reálná čísla. Dokážme nejprve výrok (a).
Nechť a < 0. Pak B D D, B ■£ D, tudíž B + F D D + F. Dokažme, že B 4- F jé D 4- F.
Existují b*,b e B, b < b", b* ? D. Podle lemmatu 7.15 existují / t F, e e E taková, že 6* - 6 = / — e. Položme w = b 4- /. Pak w e B 4* F. Předpokládejme nyní, že tu 6 D + F, pak existují x 6 Ľ, j/ € F taková, že tu = x 4- ?/. Pak x + y — = ô + / = e -t- b\ e < i/, tudíž 6* > z, z čehož plyne b* £ D, což je spor. Tedy w i D -t- F a B 4- Fjt D 4 -F, a tudíž a 4- 7 < 0 4- 7.
„■*=" Jestliže a + 7 < p + 7, pak podle předešlého platí a — u + 7 + (—7) < < P + 7 + (-7) = /J. PÍatí výrok (a).
Výroky (b), (c), (d) lze z výroku (a) snadno odvodit.
7.18. Definice. Nechť a - [A,B), p = {C, D) jsou libovolná reálná čísla. Je-li a > 0, P > 0, položíme
a-/9 = (Q-B-D,BI?).
(Výraz X ■ Y značí pro X Q Q, Y C Q množinu {x • y i x £ X, t/ e Y}). V ostatních případech definujeme součin a ■ P následovne:
í -(-a) - p     pro a < 0, P > 0, a • 0 = < -[a • (-0)]   pro«>0, /5<0, , [ (-«) • (-/})   pro o: < 0, /3 < 0.
7.19. Tvrzení. Pro a, P e E jea-p 6 E. Tudíž ■ jo operace na'R. Jesiližea,p jsou racionální čísla, pak reálne číslo a-P je rovno dříve definovanému racionálnímu číslu q • p.
Důkaz. Nechť q — {A,B), P = {C, D) g 1. Předpokládejme nejdříve, že q > 0, p > 0 a položme X = Q-B-D, Y = B ■ D. Zřejmě X c Q, 7 c Q, X U F = Q, Y   0, Y C {7 € Q I ? > 0}. Tudíž X D (0], z čehož plyne vY ^ 0.
Nechť 1 e X, j s ľ. Potom musí existovat & € B, d 6 D taková, že y = b ■ d (b > Q,d > 0). Předpokládejme, že x > y. Pak | > ů, a tudíž | e B, odkud plyne s 6 B • D, což je spor. Tedy x < j/, což znamená, že a • p1 = (X, Y) je řezem v Q. Jelikož B, D nemají nejmenší prvek, podle 6.10 (e) nemá nejmenší prvek ani množina Y. Takže á •   6 H.
Nechť nyní a, P £ Q. Pak B = {t e Q | í > a}, D = {s e Q | s > P}. Abychom
ukázali, že reálné číslo a ■ P splyne s dříve definovaným racionálním číslem q ■ p,
je třeba dokázat, že {t ■ s | í 6 B, s 6 D} = {u 6 Q | u > a ■ P}, kde oba symboly
• značí dříve definované násobení racionálních čísel. Jsou-li t, s e Q, t > a, s > p,
pak t - s > a- P podle věty 6.10 (e), neboť a > 0 a p > 0. Tím jsme ověřili inkluzi
c" t>_ •
Nechť nyní u 6 Q, u > « • p\ Ukažme, že existují ŕ, s € Q, t > a, s > p tak, že u — t-s. Je-li a = 0, stačí volit s = 0 + 1, t = gxj ■ Předpokládejme dále, že a ^ 0.
Kap. 7. Těleso reálných čísel
57
Zvolme v e Q tak, aby u > v > a ■ 0 (existence takového v je zaručena tvrzením 6.12). Položme Podle 6.10 (e) z v > a ■ 0 plyne s > 0 a, z u > v
plyne í > a. Přitom jistě ŕ • s = u. Dokázali jsme inkluzi „O", a tedy rovnost. Ostatní případy, kdy a nebo 0 je záporné, odsud snadno vyplynou.
7.20. Věta. Trojice (1 racionální číslo 1 = a-1 = (X,Y), Jede .
., + ,■) je tě/eso. Jednotkovým prvkem tohoto tělesa je 3> - (1 ]) a pro reálné číslo a - (A, B) > 0 platí, že
Y = {a-1 |a6Äa> 0}, X = O - Y.
Pro a < 0 platí: a 1 = -(-") 1-(Symbol Ä má stejný význam jako v 7.16 J
Důkaz. Zřejmě jc operace • komutativní. Nechť jsou nyní dána reálná čísla a = (Á,B), 0 = (C,D), 7 = {E,F) G 1. Předpokládejme nejdříve, žc jsou nezáporná, tedy a > 0, 0 > 0, 7 > 0. Pak a • 0 > 0, 0 ■ 7 > 0 a platí
(a-/J)-7 = (Q-(B-Í?)-F,(fl-D)-F), óc-ifl-i)   = (®-B-(n-F),B-(n-F)).
Jelikož (5 • D) :F = B{D- F), je (a • /?) • 7 = a • (0 • 7)"."
Pro ostatní případy se již tvrzení {a ■ 0) ■ 7 = <* • {0 • 7) snadno dokáže. Tudíž (r, •) je komutativní pologrupa.
Nechť q > 0. Zřejmě (Q - (1 ]) • B c B. Nechť b € B. Pak existuje c e B, takové, žc c < b. Potom a; = f > 1, a tudíž x G (Q - (1]), z čehož dostáváme l e (Q _ (1 ]) . B. Tedy l'■a = q. Pro a < 0 je 1 • a - -(1 ■ (-q)) = -(-a) = «• Takže l = ((l],Q-(l])Je jednotkovým prvkem pologrupy (r, • )•
Dokážme nyní, že inverze ke kladnému reálnému a je opravdu reálným číslem. Buď a - (A, B) > 0.. Y = {n"1 | a G Ä,a > 0}, X = Q - Y. Zřejmě 0 ^ X C Q, 0 ^ y c Q, X u y = Q. Nechť .t e JT, y (é Y. Pakexistuje u,eÄ,a>0,y = a l. Jestliže x < 0, pak x < j/. Je-li x- > 0, pak x"1 # Ä, tudíž x"1 > a, z čehož plyne, že x < y. Dvojice {X, Y) je tedy řezem v Q. Jelikož množina A nemá největší prvek, nemá množina Y nejmenší prvek. Tedy £ = {X,Y) G r, přičemž zřejmě í > 0.
Ukažme nyní, že f = (X, Y) je skutečně inverzním prvkem k prvku a. Piati, ze a:g - (Q_ B -Y,B -Y). Nechť ze B-Y. Pak existují b G B, a e A, a > 0 tak, že z = b-a-1. Platí, že a < b, tudíž z = fc-cT1 > 1, což znamená, žsfl-ľ C Q- (1].
Ukažme, že platí i opačná inkluze. Buď z G Q, z > 1. Pak z = 1 + d, kde ti G Q, d > 0. Zvolme a 6 A, a > 0, 6 G B. Podle věty 6.14 existuje přirozené číslo a takové, že b-=jj- < n, tedy \ < 1 + rfn < (1 + d)*, a protq 6 < azn. Je tedy azn G B. Buď m nejmenší přirozené číslo s vlastností azm G B. Pak azm 1 £ 5, a proto a*"1-1- e A. Jestliže az'"-1 6 A, pak (a*"1-1)-1 G K, a tedy z = {azm) ■ ■ (azra_1)-' e B-Y. Jestliže naopak az"1'1 & A, znamená to, že az7'1'1 je největší
58
Reálna a komplexní čísla
prvek A a že m > 1. Protože ľ: < 1 + 'f .< 1 + d = platí azra~2(l + f) < < až"1"1 < az'"-1(l + f). Odtud a*m-2(l -f f) e 1, a^m-1(l + f) e B. Opčt tedy z = (ô»«-i(l -f §)) • (a2m~2(l + f))"1 e B ■ Y. Tím jsme ukázali, že platí Q- (1 ] C B -Y, což vzhledem k předchozímu znamená, že Q- (1 ] =5-7. Odtud plyne q • f = 1 a f = a-1.
Pro a < 0 existuje £ e r, £ > 0 takové, že (-a) • f = 1. Pro toto ( e R platí a ■ (-f) = (-a) • [-(-£)] = (-a) • f = 1, tudíž     = q"1.,
Zbývá dokázat platnost distributivního zákona. Pro a>0, 0 > 0, 7>0 dostáváme
«•(^ + 7)   =   (Q-/J-(/J + F),B-(/J + F)), a•^ + «•7   =   (Q- (fí • D + JJ • ŕ1), (i? ■ Z) + B ).
Zřejmě B ■ (D + F) C B ■ D + B ■ F. Nechť 9 G B ■ D + B ■ F, Pak existují u, v G B, d e D, f € F taková, že g = ud + vf. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že u < v. Pak g = u(d + /) + (u - u)/ > u (d + /) G B ■ (D 4- F), odkud q e B ■ (D + F). Tedy B ■ (D + F) — B ■ D + B ■ F a, dostáváme tak, že a ' (P + 7) = a ■ 0 + a ■ 7.
Pro ostatní případy lze odtud platnost distributivního zákona snadno dokázat. Např. pro q > 0, 0 > 0, 7 < 0, 0 + 7 > 0 je '
a • (P + 7) - a ■ 7 = q • [0 + 7) + a ■ (-7) = a • [0 + 7 + (-7)] = a ■ 0.
Tudíž (M, + , •) je komutativní okruh a vzhledem k výše dokázanému je i tělesem.
7.21. Definice. Těleso (r, + , ■) se nazývá těleso reálných čísel a často se označuje pouze symbolem r. Tímto symbolem budeme též označovat celou čtveřici (R + 1 ■ 1 < )i tudíž r = (M, + , •, < ). Operace • se v běžném zápise často nevyznačuje, tedy pro a,0 e r je a0 = a ■ 0.
Následující tvrzení plyne z definice součinu reálných čísel a z věty 7.20.
-1 <0,
Paic platí:
7.22. Tvrzení. Nechť a, 0 G
(a) a > 0 =4 a
(b) q < 0 =4- a
(c) a > 0, 0 > 0 nebo a < 0, 0 < 0
(d) a > 0, 0 < 0 nebo a < 0, j3 > 0
a ■ 0 > 0, I > 0, a-/3<0, f <0.
■ 7
0
7.
7.23. Věta. NecítíTa,#,7 6 r.
(a) pro 7 > 0 pJati: a < 0       a-y < 0-j, a < 0       a ■
(b) pro 7 < 0 platí: a < 0       0 ■ 7 < a • 7, a < /J <=> /3 ■ 7 < a • 7. Důkaz. Nechť a < 0, pak podle 7.17 je /3 - a > 0, a tedy podle 7.22 platí
(/? - 0)7 > 0, tj. 0j - 07 > 0. Opět podle 7.17 dostáváme aj < 0j.
Naopak v případě, že a-j < 0-j, dostaneme (jelikož podle 7.22 (a) je 7"1 > 0) a = (a ■ 7) ■ 7-1 < (0 ■ 7) • 7_1 = 0. Tím je platnost (a) dokázána.
Výrok (b) se dokáže analogicky.
60
8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru
8.1. Lemma. Nechť Oj,..., q„ jsou kladná rfíálná čísla. Nechť dále a je racionální číslo s vlastností 0 < a < cti •... • an. Pak existují racionální čísla a\,..., a„, splňující nei-ovnost 0 < a; < cti pro každé i £ {],..., n}, taková, že platí:
o = ai •... • an-
Důkaz. Nejprve důkaz provedeme pro případ n = 2. Podle 7.12 (b) existuje racionální číslo a2 takové, že ■— < <i2 < <*2- Položíme-li ui = pak čísla ai,a2 vyhovují podmínkám lemmatu.
Pro obecné n dokážeme lemma indukcí: pro n — 1 je lemma zřejmé, pro n — 2 bylo dokázáno. Předpokládejme tedy, že n > 2 a že pro n — 1 lemma platí. Pak existují racionální čísla Oi, a2,..., a„_2, Ď tak, že 0 < «i < ct\, 0 < u2 < a2,..., 0 < an_2 < ccn-2! 0 < ft < (Jn-iOJn, o = Oj. • a„_2 • fo. Podleidoká.zaného případu n — 2 však existují racionální čísla an i, nn taková, že 0 < o,,-! < «n_i, 0 < a„ < a„, b — a„_i • an. Tudíž lemma platí pro libovolné přirozené n.
8.2. Věta. Nechť n je přirozené číslo, a reálné číslo. Pak platí:
(a) Jestliže n je sudé a a > 0, pak binomická rovnice xn = a je řešitelná v M. Jestliže £ je řešením této rovnice, pak {£, — £} je množinou všedi řešení rovnice i" = avl
(b) Jestliže n je sudé a a < 0, pak binomická rovnice xn = « nemá v R řešení.
(c) Jestliže n je liché, pak binomická rovnice xn = rt má v IR právo jedno řešení £. Navíc platí:
a > 0 f > 0,
a = 0 =*■ f = 0, q < 0   =*•   £ < 0.
Důkaz. Nechť a > 0. Položme B = {</ 6 Q | qn > a, q > 0}, A - Q - B, a dokažme, že {A,D) je řez v Q. Ze 7.12 (b) plyne existence racionálního čísla q takového, že a + 1 < q < a + 2. Pak q > 1, a tedy qn > q > a. Proto B ^ 0. Jelikož 0 6 -4, máme /L # 0. Jistě A U B = Q. Nechť o 6 A, 6 6 B. Je-li a < 0, pak zřejmě a < b. Předpokládejme, že a > 0,a > ř;. Pak a < b" < a", což však není možné. Tudíž a < b a (A, B) je řez v množině racionálních čísel.
Ukažme sporem, že {A, B) je reálné číslo, tj. že B nemá nejmenší prvek. Nechť 6 je nejmenší prvek množiny B. Pak 6" > a a podle 7.12 (b) existuje c £ Q tukové, že a < c < íin. Protože množina racionálních čísel je hustě uspořádaná, existuje racionální číslo / > 0 splňující následující dvě podmínky:
bn-c     ■ (ä
( " V:it+]
f)    pro libovolné i £ {1,... , m},
Kap. 8. Binomická rovnice a g-adický rozvoj v reáiíiífra oboru, kde
pro sudé n,
61
^rp-    pro liché n. To znamená, že platí následující nerovnosti:
6" - c - nfbn~l > 0   a   (2nť)/2i6"-2i - (2t" 1)/2'+I6'l-íť-1 > 0.
Položme d = b - /. Pak d € Q a jelikož 6" - c < bn < nbn, je        < b. Tedy 0 < ä < b. Platí, že
ď1-c = ^("K-iyr^-c-
i=0
T7l
=  t(6»-c)-n/&»-1] + £[(2"í)/2<6n-
kde
r
o
pro sudé 7i, pro liché n.
Jelikož výrazy v hranatých závorkách jsou z definice čísla / kladná racionálni čísla, platí, že dn — c > 0. Tudíž a < c < dn, odkud plyne d € B. Ale d < b, což je spor. Množina B tedy nemá nejmenší prvek. Řez f = {A, B) je proto nezáporným reálným číslem.
V následujícím ukážeme, že f = a. Podle definice je £" = (Q - C,C), kde C = (ai ■ ... • a„ | Oj,..., on £ B}. Zvolme Oj,..., an € B libovolně a označme o to nejmenší z nich. Pak Oj...On ž a", přičemž z a € B plyne o" > a. Ukázali jsme, že C C D, kde B = {ti 6 Q | d > a}. Protože a == (Q— D,D), tato inkluze znamená, že a < Jestliže ct < existuje podle 7.12 (b) racionálni číslo a takové, že q < a < í". Podle lemmatu 8.1 existují racionální čísla aj,...,an taková, že 0 < tij < £ pro každé i £ {1,..., n} aa = oi •... • un.
Nechť l < h < n takové, že pro každé i £ {l,...,n} máme > Oj. Pak ct < a < aJJ < í™, z čehož plyne, že a& £ B, odkud O/, > ^, což je spor. Tudíž a = f.
Případ a = 0 plyne z tvrzení 6.18, případ a < 0 se dokáže analogicky jako tvrzení 6.19.
8.3. Definice. Pro nezáporné a 6 R a přirozené 7i existuje podle věty 8.2 jediné řešení £ > 0 binomické rovnice xn = a v R Reálné číslo f se pak značí symbolem s/a.
Je-li a £ E, a <0an přirozené liché číslo, pak binomická rovnice xn = a má podle věty 8.2 právě jedno řešení f v M. Pak klademe f = í/ä. V obou případech číslo       nazýváme n-tá odmocnina z a.
62
Reálná a komplexní čísla
Zřejmě platí následující tvrzení.
8.4. Tvrzení. Nechť a 6 E,a > O, n liché přirozené číslo. Pak
^ Následující věta plyne přímo z věty 6.21 a udává nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby       byla racionálním číslem.
8.5. Věta. Nechť je dáno reálné číslo a a. přirozené číslo n. Nechť platí a > 0 nebo platí, že a < 0 a zároveň n liché. Pak reálné číslo Jýěi je racionálním číslem právě tehdy, když a je racionální číslo a n \ vp(a) pro každé prvočíslo p.
V následující části si ukážeme, jak lze vyjádřit reálné číslo nekonečným tvarem složeným z „g-adičkých číslic". Budeme k tomu předpokládat jisté znalosti matematické analýzy, speciálně základní pojmy a tvrzení o nekonečných řadách.
Potřebujeme také zavést následující pojem.
8.6. Definice. Nechť a je reálné číslo. Podle věty 7.12 (b) a tvrzení 6.14 existují celá čísla o, b taková, že a < a < b. Tudíž existuje největší celé číslo x takové, že x < a. Číslo x se nazývá celá část čísla a a značíme jej x - [a]. Číslo a - [a] se označuje symbolem (a) a nazývá se necelá část čísla a. Platí tedy
a=[a} + {a),   [a] < a < [a] + 1,   0 < (a) < 1,   [a] e Z.
V další části tohoto odstavce bude g značit přirozené číslo vôtží než 1.
8.7. Definice. Nechť pro celé nezáporné číslo n je an G Z a pro n > 1 je 0 < an < g. Nekonečná řada
-n °1 a2
ang n -a0 + — + ~ + .
(*)
se nazývá g-adický zlomek, pro n > 1 se číslo an nazývá g-adická číslice. Místo zápisu (*) se často používá zápis a0 + 0, aiaaas ... nebo a0, axa2a9....
Z analýzy je známo, že řada (*) konverguje a její součet a (a £ R) nazýváme hodnota g-adického zlomku (*) a píšeme pak
00
a=y 5»
n=o a
Říkáme též, že g-adický zlomek (*) je g-adickým rozvojem reálného čísla a.
Jestliže existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N je an = O, pak se g-adický zlomek nazývá konečný, v opačném případě nekonečný.
Jestliže existuje celé nezáporné číslo N a přirozené číslo m tak, že pro libovolná celá čísla / > N, k > N, l = fc(mod m) platí at - ak, nazývá se g-adický zlomek
ti
Kup. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.
63
(*) periodický. Skupina g-adických číslic aN+\,a-N+2.....o,N+m se Pak neustále
opakuje a nazývá se perioda. Číslo m se nazývá délka periody. Píšeme pak
a = tto + O, ai ... a/va/sr+i ... ajv+n
8.8. Příklad. Provedeme-li zápis racionálního čísla a = ^f-v desítkové sou
stavě (5 = 10), dostaneme vyjádření a - 1,04629629629 rozvoj je tedy nekonečný periodický s periodou délky 3.
Zapíšeme-li totéž číslo a = fot Jaka fl-adický zlomek pro 3
108
1,04629. Desetinný
6, dostaneme
113 108 -
a = 1 + I 4    + js = 1,014. Zlomek je v tomto případě konečný.
8.9. Věta. Nechť a je libovolné reálné číslo. Pak a je hodnotou g-adického zlomku a = £^L0 a^"", který není periodický s periodou g -1 délky 1. Toto vyjádření čísla oc je jednoznačné.
Důkaz. Pro libovolné reálné číslo a existuje posloupnost celých čísel {an}^l0 a reálných čísel {an}£L0 taková, že platí: a0 - [a], aD - (a), an - [gan-i], an = {gon-x} Pr° n > 1. Pak a = aQ + aa, pa„_i = o„ + an, 0 < an < g pro n > 1, 0 < an < 1 pro n > 0. Tedy můžeme psát, že
a = ao + ao — a0 +
ga0 , [gao] . (g«o)    n   , °i , ai
-= Qo +---1--= ao -i---1--•
g B 9 3 9
+ 9n    9"'
Úplnou indukcí vzhledem k n se pak snadno ukáže, že pro každé celé číslo n > 0 platí:
, «i
a = a0 -)--
9
odkud plyne a = Yľ^=o an9~n-
Ukažme nyní sporem, že uvažovaný g-adický zlomek není periodický s periodou g-l délky 1. Předpokládejme, že existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna celá čísla n> N platí a„ = g - 1. Pak pro n > N je gan =g-l + an+1, tudíž l-an= odkud pro všechna n > N a každé k 6 N plyne indukcí vzhledem
ke k, že
1 - an+k
1 — a„ =
f
Protože linutH+oo lrfř±t = 0, je 1 - a„ = 0, což je spor, neboť ctn < 1. Platí tedy, že p-adický zlomek ^^Lo anS"" splňuje podmínky věty.
Na závěr dokažme sporem jednoznačnost takového vyjádření reálného čísla a. Nechť pro všechna celá čísla n > 0 jsou b„ celá čísla taková, že 0 < bn < g pro n > l, a - E^oM-" a neexistuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N je bn = g — 1. Pro n > 0 položme
64
Reálná a komplexní čísla.
Jelikož existuje k > 1 takové, že bn+k < g - 2, je 0 < pn < J2T=i •nr = 1. Pro n > 1 platí gfai = jj^ i^fl = A, + 0n, z čehož vyplývá, že b„ = *&». = Í9/3n-i)- Jelikož máme /30 = a - b0, je í>0 = [a], 0g = (a), odkud již vyplývá, že an = &„, aw = /3„ pro libovolné n > 0. Tím je věta dokázána.
8.10. Příklad. Vezměme reálné číslo a, jehož g-adický rozvoj pro g = 10 vypadá následovně: ,
■ +
+ tŠt + --- = 1,29.
15^ + igr
Tento g-adický zlomek je periodický s periodou g - 1 = 9 délky 1. Podle předchozí věty však je číslo a hodnotou g-adického zlomku, který nemá tyto vlastnosti. Skutečně, součet geometrické řady
9
s kvocientem q= jq je roven i. Proto číslo a lze psát ve tvaru
a = 1 + ť5 + il = 1 + ^ = 1.3-
8.11. Věta. Nechť a je reálné číslo. Následující výroky jsou ekvivalentní:
(a) a je racionální číslo,
(b) Jcaidý g-adický rozvoj reálného čísla a je periodický,
(c) existuje periodický g-adický rozvoj reálného čísla a.
Důkaz. ,,(c) (a)" Nechtf existuje periodický g-adický rozvoj reálného čísla a. Pak a = b+c ^2^=1 jfci kde fc, c jsou racionální čísla a m délka periody nějakého periodického g-adického rozvoje a. Tudíž
a = b +
9"
ľ
což znamená, že a je racionální číslo.
»(a) =# Nechť a je racionální číslo. Existuje posloupnost celých čísel {o-n}n=o a reálných čísel {a„}%L0 tak, že platí: a0 = [a], a0 = (a), an = [ga„_i], an - (ga n—1) pro libovolné n > 1. Podle důkazu věty 8.9 je pak a == ao + aoi fla„_i - ffl„ + an, 0 < an < g pro n > 1, 0 < an < 1 pro n > 0 a platí
co n=0 a
Pak an je racionální číslo pro libovolné n > 0. Položme rn = an ■ m, kde as X, r,m e Z, m > 0. Odtud pro n > 0 dostáváme, že 0 < rn < m, r = mo0 + r0, ffř»-i = o,nm + rn pro n > 1. Z toho plyne, že pro n > 0 je rn celé číslo a pro ji > 1 je a„ =5 [ar^~l] a a0 = [X], Podle věty 4.18 existují různá přirozená čísla v, p taková, že rv — Ty, odkud plyne, že (/-adický zlomek YľŽĹo an9~n je periodický.
--
Kap. S. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.
65
Tudíž výrok (a) implikuje, že g-adický rozvoj reálného čísla a s vlastnostmi z věty 8.9 je periodický. Odtud a z věty 8.9 plyne dokazované tvrzení, „(b) =4- (c)" Platnost této implikace je zřejmá.
8.12. Poznámka. V praxi se používá nejčastěji g = 10, dostáváme pak tzv. desetinný neboli dekadický rozvoj. Ve výpočetní technice se často užívá g = 2.
8.13. Cvičení.
1) Napište následující g-adické zlomky v desítkové soustavě:
a) 0,1001101 (g = 2),
b) 0,102 (9 = 3),
c) 0,73(0 = 9).
2) Napište číslo 0,4140625 ve tvaru g-adického zlomku:
a) g = 2,
b) .9 = 8.
3) Převeďte následující čísla přímo z dvojkové do šestnáctkové soustavy, resp. naopak (přímo znamená bez toho, abyste je zapisovali v desítkové soustavě):
a) 0,0110100001 (g =2),
b) 10001,10011110101 (g = 2),
c) C3,4E(g = 16).
Při zápisu čísel v šestnáctkové soustavě používáme místo číslic 10 - 15 velkých písmen A — F.
4) Dokažte, že číslo
0,123456789101112131415...
není racionální.
5) Rozhodněte, zda existuje necelé reálné číslo takové, že v desítkové i trojkové soustavě je jeho g-adický rozvoj konečný.