Reciproké rovnice
Reciprokou rovnicí rozumíme algebraickou rovnici, která je zadaná ve tvaru, jenž popisují níže uvedené definice. Její název je odvozen z vlastnosti jejích kořenů, pro které platí, že existují-li, pak pouze nenulové a je-li číslo x kořenem reciproké rovnice, pak je jejím kořenem také číslo ^ (reciproká hodnota čísla x).
• Definice I:
Reciprokou rovnicí n-tého stupně I. druhu s neznámou x rozumíme rovnici:
anxn + an_ixn_1 + an_2^n_2 + ••• + &2X2 + a\x + a® = 0 (1) kde n G N, a„ / 0 a kde a; G Z a platí, že     = an_fc, kde k E {1,2,..., n}. Příkladem takové reciproké rovnice I. druhu je např. rovnice:
5x4 - 26x3 + 10x2 - 26x + 5 = 0
• Definice II:
Reciprokou rovnicí n-tého stupně II. druhu s neznámou x rozumíme rovnici:
anxn + an_xxa^x + an_2Xn~2 + ... + a2x2 + a^x + a0 = 0 (2)
kde n G N, a„ / 0 a kde a; G Z a platí, že     = —an_k, kde k G {1,2,..., n}.
Příkladem takové reciproké rovnice II. druhu je např. rovnice:
12x4 - 25x3 + 25x - 12 = 0
Pro reciproké rovnice sudého stupně (n = 2m) zřejmě platí, že v rovnici I. druhu může být koeficient am libovolný, zatímco v rovnici II. druhu musí být am = 0.
Postup řešení reciproké rovnice I. druhu:
A. Je-li stupeň rovnice sudé číslo n = 2m (m G N):
1. Vydělíme rovnici číslem xm.
2. Z prvního a posledního členu, druhého a předposledního členu atd. vytkneme jejich společný koeficient.
i
3. Zavedeme substituci y = x + ^ a rovnici dořešíme.
B. Je-li stupeň rovnice liché číslo n = 2m + 1 (m G N):
1. Rovnice má vždy jeden kořen x = — 1.
2. Pomocí Hornerova schématu snížíme stupeň zadané rovnice a získáme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně.
3. Rovnici dořešíme viz bod A. Postup řešení reciproké rovnice II. druhu:
1. Rovnice má vždy jeden kořen x = 1.
2. Pomocí Hornerova schématu snížíme stupeň zadané rovnice a získáme reciprokou rovnici I. druhu.
3. Rovnici dořešíme viz body A. a B. pro řešení reciproké rovnice I. druhu.
1
Poznámka k zavedení substituce y = x + ^:
Je zřejmé, že při zavedení substituce také platí:
x2 + —2 = y2 - 2 xz
x3 + ^- = y3-3y xá
x4 + ^ = y4-4y2 + 2