7. Vektory
Repetitorium z matematiky
Podzim 2011
Ivana Vaculová

Osnova:
•1 Orientovaná úsečka
•    1.1 Velikost a střed orientované úsečky
•2 Vektor
•3 Sčítání vektorů
•4 Násobení vektoru číslem
•5 Lineární kombinace vektorů
•6 Velikost vektoru
•7 Skalární součin vektorů
•8 Úhel dvou vektorů
•9 Vektorový součin
•
•
2

1 Orientovaná úsečka
•Orientovaná úsečka  AB = úsečka, u níž je určen počáteční a koncový bod.
3
A
B
Počáteční bod
Koncový bod
Nulová orientovaná úsečka = úsečka, jejíž počáteční bod je totožný s koncovým bodem.
Aplikace
Např. : Pro znázornění síly, která působí na těleso
                  - směr úsečky udává směr působení síly
                  - velikost úsečky udává velikost působící síly

1.1 Velikost a střed orientované úsečky
4
Velikost orientované úsečky  AB = vzdálenost bodů A, B:
ØA [a1, a2] a B [b1, b2]
V rovině:
V prostoru:
ØA [a1, a2 , a3] a B [b1, b2 , b3]
Střed S úsečky AB:
ØA [a1, a2], B [b1, b2]
V rovině:
V prostoru:
ØA [a1, a2 , a3] a B [b1, b2 , b3]

5
Úlohy
Př.1: Vypočítejte vzdálenost bodů A [3,1,5] a B[1,2,3].
Př.2: Jsou dány body A, B. Vypočítejte souřadnice středu S úsečky AB, jestliže:
a)A [1, -1, 2], B [0, 3, 1]
b)A [1, -3, -1], B [2, 5, 1]
Př.3: Jsou dány body A [1, -1, 3], S[2, 1, 0]. Určete bod B tak, aby bod S byl střed úsečky AB.

2 Vektor
6
•Nenulový vektor = množina všech orientovaných úseček,
•                                        které mají stejnou velikost a stejný směr.
•Nulový vektor = množina všech nulových orientovaných
•                                   úseček.
•
•
•
•
•
Øje-li vektor u = (u1, u2) určen orientovanou úsečkou AB, nazývají se čísla u1, u2 souřadnice
vektoru u a platí pro ně tyto vztahy:
V rovině:
V prostoru:
Øje-li vektor u = (u1, u2 , u3) určen orientovanou úsečkou AB, nazývají se čísla u1, u2 ,
u3 souřadnice vektoru u a platí pro ně tyto vztahy:
Souřadnice vektoru

7
Úlohy
Př.1: Jsou dány body A, B. Určete vektor u = B – A, je-li
a)A [1, 3], B [-1, 2]
b)A [-1, -1, -3], B [-2, -4, 1]
Př.2: V prostoru je dán bod B [1, 3, 3] a vektor u = (3, 1, 2). Určete bod A tak, aby platilo u  =
B - A.

3 Sčítání vektorů
•Součet vektorů u = B – A,
•                             v = C – B
•                   je vektor C – A.
•Zapisujeme: u + v = C – A
•
8
Øu = (u1, u2), v = (v1, v2)
V rovině:
V prostoru:
Øu = (u1, u2 , u3), v = (v1, v2 , v3)
A
B
C
u
v
u + v
ØPro každé dva vektory u, v platí:
ØPro každé tři vektory u, v, w platí:

9
Úlohy
Př.1: Vypočítejte součty a rozdíly vektorů u a v, je-li
          a) u = (1, 2, -2), v = (3, 1, 1)
          b) u = (2, -1, 2), v = (1, 1, 0)

4 Násobení vektoru číslem
10
V rovině:
V prostoru:
ØPro každý vektor u = (u1, u2)           v rovině a každé číslo k platí:
ØPro každý vektor u = (u1, u2 , u3)    v prostoru a každé číslo k platí:
Dále pro každé dva vektory u, v a každá čísla k, l platí:
Nulový vektor
Opačný vektor

11
Úlohy
Př.1: Vypočítejte souřadnice vektoru u = 2(3, -1, 1) + 2(1, 2, 5).
Př.2: Vypočítejte souřadnice vektoru w = 5 v – 3 u, je-li
          a) u = (-1, 2, 1), v = (1, 0, 1)
          b) u = (2, -1, 2), v = (1, 1, 0)

12
•Vektor au + bv + cw, kde a, b, c є R, se nazývá lineární kombinace  vektorů u, v, w.
•Samozřejmě můžeme utvořit lineární kombinaci i dvou, čtyř, pěti atd. vektorů.
•Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho násobek.
5 Lineární kombinace vektorů

13
Úlohy
Př.2: Zjistěte, zda vektor w je lineární kombinací vektorů u, v:
          a) w = (-2, 4, -6), u = (1, 3, -2), v = (2, 1, 1)
          b) w = (1, 1, 2), u = (-1, 0, 1), v = (2, 2, 3)

6 Velikost vektoru
•Velikost vektoru u je velikost kterékoliv orientované úsečky AB určující vektor u
•Velikost vektoru u označujeme symbolem |u|.
V rovině:
V prostoru:
Pro každý vektor u = (u1, u2) platí:
Pro každý vektor u = (u1, u2 , u3 ) platí:
Dále platí:
•Jestliže |u|= 1 , nazývá se vektor u jednotkový vektor
•u = o              |u| = 0

14

15
Úlohy
Př.1: Vypočítejte velikost vektoru u = (4, -3).
Př.2: Vypočítej velikost vektoru AB, je-li A [-1, 3, -2], B [0, 5, -3].

Věty o limitách posloupností
7 Skalární součin vektorů
V rovině:
V prostoru:
Skalární součin dvou vektorů          u = (u1, u2), v = (v1, v2) je číslo:
Skalární součin dvou vektorů                  u = (u1, u2 , u3 ), v = (v1, v2 , v3 ) je číslo:
Dále platí:
•Pro každé vektory u, v, w (v rovině nebo v prostoru) a každé c є R platí:
16

17
Úlohy
Př.1: Vypočítejte skalární součin vektorů u, v, pro které platí:
          a) u = (1, 2), v = (-1, 1)
          b) u = (3, -2, -4), v = (-1, 3, -2)

8 Úhel dvou vektorů
Pro velikost úhlu vektorů u, v platí následující vztahy:
V rovině:
V prostoru:
u = (u1, u2), v = (v1, v2)
u = (u1, u2 , u3 ), v = (v1, v2 , v3 ) :
18
u
v
�

19
Úlohy
Př.1: Vypočítejte úhel dvou vektorů u, v, pro které platí:
          a) u = (1, 1), v = (-1, 1)
          b) u = (-1, 1, 0), v = (-2, 4, 2)
Př.2: Je dán vektor v. Určete vektor u tak, aby platilo
a) v = (1, 3)
b) v = (1, 0, -2)

8 Vektorový součin
•->  provádíme, pokud chceme ke dvěma vektorům u, v, které neleží na jedné přímce, najít vektor
kolmý k oběma vektorům.
ØJestliže  u = (u1, u2 , u3 ), v = (v1, v2 , v3 ), pak vektor k oběma vektorům kolmý je vektor
Ø
Ø
ØPro velikost vektoru w platí:
20
 Pozn.: Pomůcka pro výpočet vektorového součinu:
u2
u3
u1
u2
v2
v3
v1
v2
.
.
�
u
v
w=u x v

21
Úlohy
Př.1: Vypočítejte souřadnice vektorového součinu u x v, je-li:
          a) u = (2, -2, 4), v = (3, -2, 1)
b) u = (1, 0, 3), v = (-1, 0, -2)

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Kočandrle, M. Boček, L. Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, Praha: Prometheus, 1995.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
22