Induktivní a deduktivní metody v matematice Růžena Blažková Slovník školské matematiky uvádí: Indukce (str. 67) – přechod od výroků o několika předmětech daného druhu k výroku o všech předmětech tohoto druhu. Taková indukce se považuje a úplnou, jestliže východiskem úvahy byly výroky o všech jednotlivých předmětech uvažovaného druhu. V ostatních případech hovoříme o neúplné indukci. Ta vede jen k hypotézám. Matematická indukce (str. 98) – postup, který se užívá k důkazům určitých typů matematických vět a výrazů. Zakládá se na IV. Peanově axiomu přirozených čísel. Dedukce (str. 28) – v širším smyslu vyvozování nových poznatků z daných, a to pomocí pravidel formální logiky pro úsudky a důkazy. V užším smyslu se v tradiční logice chápala dedukce jako vyvozování výroků o jednotlivých předmětech z dané třídy na základě známých vět o všech objektech dané třídy. Podle Slovníku cizích slov jsou pojmy chápány takto: Indukce – jeden z typů úsudků a metoda zkoumání, kdy se na základě pozorování jednotlivých případů vyvozují všeobecné závěry. Postup od zvláštního k obecnému. Dedukce – logické vyvození, způsob logického myšlení postupujícího od obecného pravidla k jednotlivému. Úsudek, ve kterém nová myšlenka logicky vyplývá z jistých tezí vystupujících v roli obecného pravidla platného pro všechny jevy dané třídy. Další definice uvedené v Encyklopedickém slovníku: Indukce (s. 932) – typ úsudků a metoda zkoumání, při níž se z jedinečných výroků usuzuje na obecný závěr. Úplná indukce enumerativní: úsudek, v němž obecný závěr plyne z premis shrnujících všechny jednotlivé případy, závěr je jistý. Neúplní indukce enumerativní: úsudek, v němž se vyvozuje obecný závěr z premis shrnujících některé jednotlivé případy, závěr je pouze pravděpodobný, je potvrzován premisami jen do určité míry. Dedukce (s. 458) – typ úsudku a metoda zkoumání, při níž se z premis použitím určitých pravidel dospívá k novému tvrzení, tzv. závěru, důsledku. Je přechodem od obecného ke zvláštnímu. Deduktivní metoda – způsob výstavby vědecké teorie založený pouze na dedukci. Uplatňuje se zpravidla v těch případech, kdy byl nahromaděn a teoreticky vyložen empirický materiál, který chceme uvést v systém, abychom mohli odvodit všechny důsledky plynoucí z přijatých předpokladů. Takto vybudovaná vědecká teorie je vědecká deduktivní soustava. Různé pokusy vést ostrou hranici mezi deduktivní metodou a induktivní se nezdařily, neboť obě metody jsou ve skutečnosti vnitřně spjaty. Uplatňování indukce a dedukce souvisí s pozorováním, zkoumáním zákonitostí, zobecňováním Ukázky příkladů: 1. Sčítání přirozených čísel a) Induktivní přístup. Sčítejte postupně dvě, tři, čtyři po sobě jdoucí přirozená čísla a pokuste se součet vyjádřit jiným způsobem. 1 + 2 = 3 3 = 1 + 2 + 3 = 6 6 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 = atd. Úvaha – čemu je roven součet n přirozených čísel ? b) Deduktivní přístup: Formulujeme větu : Pro součet n přirozených čísel platí 1 + 2 + 3 + … + n = Větu dokážeme snadno matematickou indukcí. V(1): V(k) V(k + 1) 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = 2. Určete součet n lichých přirozených čísel. a) Induktivní přístup: 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 atd. b) Deduktivní přístup: Formulujeme větu: Pro součet n přirozených lichých čísel platí: 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n^2. Důkaz věty provedeme pomocí metalické indukce. 3. Určete součet n sudých přirozených čísel. a) Induktivní přístup: 2 + 4 = 6 6 = 2 . 3 2 + 4 + 6 = 12 12 = 3 . 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 20 = 4 . 5 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 30 = 5 . 6 b) Deduktivní přístup: Formulujeme větu: Pro součet n sudých přirozených čísel platí 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1) 4. Určete součet a) všech přirozených čísel od 1 do 100. 1 + 2 + 3 + … + 100 = 5 050 b) Součet všech lichých čísel od do 100. 1 + 3 + 5 + … + 99 = 2 500 c) Součet všech sudých přirozených čísel od 1 do 100 2 + 4 + 6 + … + 100 = 2 550 5. Pozorujte součin dvou sobě rovných činitelů – sledujte číslo zapsané na místě jednotek: 0 . 0 = 0 1 . 1 = 1 2 . 2 = 4 3 . 3 = 9 4 . 4 = 16 5 . 5 = 25 6 . 6 = 36 7 . 7 = 49 8 . 8 = 64 9 . 9 = 81 10 . 10 = 100 kdybychom v násobení sobě rovných činitelů pokračovali dále, zjistíme, že na místě jednotek jsou zapsána čísla: 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 6. Dokažte, že druhá mocnina přirozeného čísla nemá na místě jednotek zapsáno číslo 2 nebo 3. 1 . 2 . 3 . 4 = 24 6^2 – 2 . 6 = 24 5^2 - 1 = 24 2 . 3 . 4 . 5 = 120 12^2 – 2 . 12 = 120 11^2 – 1 = 120 3 . 4 . 5 . 6 = 360 20^2 – 2 . 20 = 360 19^2 – 1 = 360 atd. 4 . 2 . 3 = 24 5^2 – 1 = 24 4 . 3 . 4 = 48 7^2 – 1 = 48 4 . 4 . 5 = 80 9^2 – 1 = 80 4 . 5 . 6 = 120 11^2 – 1 = 120 atd. 7. Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí: 4n (n + 1) = (2n + 1 )^2 - 1 8. Počet úhlopříček konvexního n-úhelníku Čtverec …2, pětiúhelník 5, šestiúhelník 15, sedmiúhelník 21, atd. Dokažte, že počet úhlopříček konvexního n-úhelníku je . 9. Součet vnitřních úhlů n- úhelníku: Trojúhelník 180°, čtyřúhelník 360°, pětiúhelník 540, šestiúhelník 720°, atd. 10. Dělitelnost 5 . 5 – 1 = 24 24 = 1 . 24 7 . 7 – 1 = 48 48 = 2 . 24 11 . 11 – 1 = 120 120 = 5 . 24 atd. Nechť p je prvočíslo větší než 3. Pak p^2 – 1 je vždy dělitelné číslem 24. 11. 2 . 5 . 5 + 1 = 51 51 = 3 . 17 2 . 7 . 7 + 1 = 99 99 = 3 . 33 2 . 11 . 11 + 1 = 243 243 = 3 . 81 atd. Nechť p je prvočíslo větší než 3. Pak 2 p^2 + 1 je vždy dělitelné třemi. 12. 3 . 3 . 3 + 5 = 32 32 = 4 . 8 3 . 5 . 5 + 5 = 80 80 = 4 . 20 3 . 7 . 7 + 5 = 152 152 = 4 . 18 atd. Nechť p je prvočíslo větší nebo rovno číslu 3. Pak 3p^2 +5 je vždy dělitelné čtyřmi.