Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Nicolas Bourbaki
Architektura matematiky
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 5 (1960), No. 5, 509--518
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137374
Terms of use:
© Jednota českých matematiků a fyziků, 1960
Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to
digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must
contain these Terms of use.
This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and
stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital
Mathematics Library http://project.dml.cz
POKROKY MATEMATIKY, FYSIKY A ASTRONOMIE
R O Č N Í K V — Č Í S L O 5
MATEMATIKA
A R C H I T E K T U R A MATEMATIKY
1
)
NlCOLAS BOURBAKI
Matematika nebo matematiky?2
)
Učinit si dnes obecnou představu o matematice jakožto vědě znamená zabývat
se otázkou, jejíž řešení naráží hned zpočátku na skoro nepřekonatelné
potíže, plynoucí z rozsáhlosti a rozmanitosti zkoumaného materiálu. Jako
v každé vědě i v matematice nesmírně vzrostl do konce XIX. stol. počet vědců
a vědeckých prací. Práce z oboru „čisté" matematiky, publikované po celém
světě během jednoho roku, zabírají průměrně mnoho tisíc stran. Vědecká
hodnota prací je ovšem různá. I když opomineme práce, nepřinášející nové
výsledky, poznáme, že se matematika každý rok obohacuje o spoustu nových
výsledků, její obsah je neustále rozmanitější, vznikají nové a dále se rozvíjející
teorie, jež se vnitřně přetvářejí, vzájemně srovnávají a spojují. Dnes již není
matematika, který by byl schopen sledovat tento vývoj do všech podrobností,
byť by tomu věnoval veškerou svoji činnost. Mnoho matematiků pracuje
v některém „koutku" matematiky, nesnaží se jej opustit, a nejen že téjněř
ignorují všechno to, co se netýká jejich pracovního oboru, ale dokonce ani
nerozumí jazyku a terminologii svých kolegů — specialistů v odlehlejším oboru.
Není matematika, ani mezi těmi s největší erudicí, který by se necítil cizincem
v některých oblastech obrovského světa matematiky. Ti, jejichž genius se projevil
téměř ve všech oborech —- např. Poincaré nebo Hilbert — jsou i mezi
nejslavnějšími vzácnou výjimkou.
Proto nemůžeme chtít dát neodborníkovi přesnou představu o tom, co ani
matematikové nemohou plně obsáhnout. Nicméně si však můžeme položit
1
) HHKOJiažEyp6aKH, ApxnTeKTy pa MaTeMaTHKH, (Níkolas Bourbaki, <.DpaHH,HH-CIIIA),
Matěmatičeskoje prosveščenije, 6. 5 (1960).
Ruský překlad článku L*Architecture des mathématiques, publikovaný ve sborníku Les grands
courants de la pensée mathématique, vydaném F. Le L i o n n a i s e m (Cahiers du Sud, 1948, str.
35—47). Do ruštiny přeložil J\. H. JleHCKHH. Autorisovaný anglický překlad tohoto článku The
Architecture of Mathematics, pocházející od A. Dresdena, je otištěn v časopise The American
Mathematical Monthly (sv. 57, č. 4, 1950, str. 221—232) s touto poznámkou o autorovi:
„Profesor N. Bourbaki, bývalý člen Královské poldavské akademie véd (Royal Poldavian
Academy), žijící nyní v Nancy (Francie), je autorem obsáhlé monografie o soudobé matematice,
která vychází pod názvem Elements de Mathématique (Herman et Cie
, Paris, 1939), a jejíž deset
svazků již vyšlo".
Úplnější a spolehlivé informace o autorovi (přesněji — o autorech) lze nalézt v článku K.
Rychlíka, který je otištěn v tomto časopise (č. 6, roč. IV. 1959, str. 673—678). Viz též P. Halmos,
Scientific American, květen 1957, str. 88—99.
2
) La mathématique ou les Mathématiques? (tj. jedna matematika nebo několik matematik?)
D. N. Lenskij.
509
otázku, zda tento ohromný růst je vývojem jednoho jednotného organismu,
s neustále těsnější souvislostí všech jeho částí, nebo zda je tento růst pouze
vnějším znakem tendence rozpadu, vlastní samé podstatě matematiky. Nevyrůstá
snad z matematiky babylonská věž, shluk autonomních disciplin,
vzájemně oddělených jak metodami tak cíli a jazyky? Krátce, máme v současné
době jedinou matematiku nebo více matematik?
Ač je nyní tato otázka velmi aktuální, nesmíme se domnívat, že je nová.
Setkáme se s ní totiž již v samých začátcích matematiky. I když ponecháme
stranou aplikovanou matematiku, jsou geometrie a aritmetika (alespoň na
svém elementárním stupni) zřejmě rozdílné svým původem, protože druhá byla
při svém vzniku vědou o diskrétních veličinách, zatím co první pracovala se
spojitou rozprostraněností, což jsou dva aspekty, jejichž protikladnost vyzdvihl
objev irracionalit. Právě tento objev zmařil první pokusy unifikace
matematiky — aritmetisace prováděné pythagorejci (,,věci jsou čísla").
Zašli bychom příliš daleko, kdybychom chtěli sledovat cesty této jednotící
koncepce v matematice od pythagorejců až do naší doby. Kromě toho je k této
práci spíše povolán filosof než matematik, ježto společným rysem všech pokusů
o sjednocení všech matematických disciplin, ať již jde o Platona, Descartesa,
Leibnize nebo o aritmetisaci či logistiku XIX. stol., — je jejich souvislost s filosofickým
systémem, jehož východiskem byly vždy apriorní názory na vztahy
mezi matematikou a dvojakou skutečností vnějšího světa a světa ideí.
Zde bude nejlepší, odkážeme-li čtenáře na historickou a kritickou studii L.
B r u n s c h v i c g a ,,Etapy matematické filosofie"
3
). Naše úloha je skromnější,
ale přesněji vymezena; zůstaneme uvnitř matematiky a budeme hledat odpověď
na položenou otázku v rozvoji matematiky samé.
Logický formalismus a axiomatická metoda
Začátkem tohoto století, po více méně zřejmém nezdaru systémů, o kterých
jsme právě pojednali, se zdálo, že je třeba opustit názor na matematiku jakožto
vědu, charakterisovanou jediným předmětem a jedinou metodou. Brzy se
objevily tendence chápat matematiku jako ,,řadu disciplin, založených na
speciálních, přesně definovaných pojmech", mezi nimiž existují ,,tisíce souvis­
lostí"
4
), které umožňují metodami jedné discipliny obohacovat jednu nebo více
dalších disciplin. Nyní se domníváme, že vnitřní vývoj matematické vědy
v rozporu s vnějšími znaky upevnil více než kdy jindy jednotu rozmanitých
oborů a utvořil jádro, jež je více než kdykoli předtím jediným celkem. Podstatná
v tomto vývoji je systematisace vztahů, existujících mezi různými matematickými
teoriemi, jež potom vedla k tzv. axiomatické metodě.
V této souvislosti se také mluví o ,,formalismu" nebo o ,,formalistické metodě".
Je však zapotřebí se od počátku vyhnout zmatku, který způsobuje nedostatečně
přesné vymezení smyslu těchto slov a který dosti často využívají
odpůrci axiomatické metody. Každý ví, že vnějším specifickým znakem
matematiky je onen ,,dlouhý řetěz soudů", o kterém hovoří Descartes. Každá
matematická teorie je sřetězením výroků, jež se vyvozují jeden z druhého
pravidly logiky, která se v podstatě neliší od logiky známé z dob Aristotelových
pod názvem ,,formální logika"; formální logika byla jen přizpůsobena specifickým
potřebám matematiky. Tvrzení, že dedukce je sjednocujícím principem
3
) L. B r u n s c h v i c g , Les étapes de la philosophie mathématique, Paris, Alcan, 1912.
4
) L. Brunschvicg, tamtéž str. 447.
510
matematiky, je tedy samozřejmou pravdou. Tento povrchní poznatek nemůže
tedy vysvětlit jednotu rozmanitých matematických teorií právě tak, jako nelze
např. sjednotit v jedinou vědu fysiku a biologii proto, že obě používají experimentální
metody. Úvaha řetězcem sylogismů je pouze transformujícím mechanismem,
který lze použít na jakoukoli soustavu premis a nemůže proto tyto
premisy charakterisovat. Jinými slovy, je to jen vnější forma, kterou nabývají
matematické ideje, nástroj, umožňující spojovat různé matematické ideje, tedy
jakýsi jazyk vlastní matematice a nic víc.5
) Uspořádat slovník tohoto jazyka
a zpřesnit jeho syntax je prací velmi užitečnou, jež je skutečně jednou stránkou
axiomatické metody, onou stránkou, kterou nazýváme logickým formalismem,
nebo, jak se také říká, logistikou. Avšak — znovu to zdůrazňujeme — pouze
jedním aspektem této metody, a to nejméně zajímavým.
Právě to, co si axiomatika klade za svůj základní cíl, totiž srozumitelnost
stavby matematiky, nemůže dosáhnout logický formalismus sám o sobě. Tak
jako experimentální metoda vychází z apriorní neměnnosti přírodních zákonů,
opírá se axiomatická metoda o fakt, že není-li matematika hromaděním sylogismů
v náhodně vybraném směru, je tím méně jakž takž vynalézavým uměním,
spočívajícím na libovolných asociacích, tvořených pouhou technickou
dovedností. Tam, kde povrchní pozorovatel vidí jen dvě nebo několik teorií
vzájemně úplně odlišných svou vnější podobou, a kde zásah geniálního matematika
vede k odhalení zcela „neočekávané pomoci"6
), kterou jedna z těchto
teorií může prokázat jiné, učí nás axiomatická metoda hledat hlubší příčiny
takového objevu, nalézt obecné myšlenky, které se skrývají za jednotlivostmi
každé z těchto teorií, vyabstrahovat tyto myšlenky a učinit je předmětem
samostatného zkoumání.
Pojem „struktury"
Jakou formou probíhá tento proces? Právě zde má axiomatická metoda
nejvíce společného s experimentální metodou. Čerpajíc z Descartesa „rozděluje
obtíže, aby byly lehčeji zvládnutelný". V důkazech nějaké teorie se snaží
analyso vat hlavní motivy prováděných úvah. Načež uvažujíc každý tento
motiv sám o sobě, formulujíc jej v abstraktní formě a pozvedajíc jej na obecný
princip, vyvozuje z něho závěry. Vracejíc se potom k teorii, znovu kombinuje
předem abstrahované prvky a studuje jejich vzájemný vztah. V tomto klasickém
spojení analysy a synthesy není nic nového; originalita této metody spočívá
ve způsobu jejího použití.
K ilustraci popsaného procesu použijeme nejstarší (a nejjednodušší) axiomatickou
teorii, totiž teorii abstraktních grup. Uvažujme tyto tři operace: 1) sčítání
reálných čísel, při kterém součet dvou reálných čísel (kladných, záporných
nebo nuly) je definován obvyklým způsobem; 2) násobení modulo p přirozených
čísel, při němž uvažujeme čísla 1, 2, 3, ..., p — 1 a součinem dvou takových
čísel rozumíme zbytek při dělení jejich obyčejného součinu číslem p;
3) skládání pohybů v trojrozměrném euklidovském prostoru; součinem dvou
pohybů T a 8 (v tomto pořadí) rozumíme pohyb, který vznikne složením pohybů
T a S, tj. pohyb, který vznikne za sebou provedenými pohyby T a S.
5
) Každý matematik ví, že důkaz není „srozumitelný" v obvyklém smyslu tohoto slova,
omezíme-li se pouze na prověrku správnosti závěrů, které důkaz tvoří, a nesnažíme-li se do důsledků
pochopit ty myšlenky, pro které byla dána přednost právě tomuto řetězci závěrů před jiným.
•) L. B r u n s c h v i c g , tamtéž str. 446.
511
V každé z těchto tří teorií je každé uspořádané dvojici prvků x a y z uvažované
množiny (v prvním případě z množiny všech reálných čísel, v druhém případě
z množiny čísel 1, 2,..., p—-1, a ve třetím případě z množiny všech pohybů)
přiřazen (způsobem pro každou tuto množinu specifickým) jednoznačně prvek
z této množiny, který ve všech těchto třech případech symbolicky označíme
xry (je to součet, jestliže x a y jsou reálná čísla; součin modulo p v případě,
že x a y jsou přirozená čísla menší než p; pohyb, který vznikne složením pohybů
S a T v třetím případě). Jestliže si nyní všimneme vlastnosti této ,,operace"
v každé z těchto tří teorií, objeví se nápadný paralelismus. Uvnitř každé
z těchto teorií jsou tyto vlastnosti vzájemně závislé a logická analysa těchto
vzájemných souvislostí nás vede k vymezení několika málo vlastností, které
jsou vzájemně nezávislé (tj. takových vlastností, z nichž žádná není logickým
důsledkem ostatních). Lze např.7
) vzít tyto tři vlastnosti, které zapíšeme pomocí
našeho symbolického označení a které lze snadno vyjádřit jazykem každé
z uvedených teorií:
a) pro každé tři prvky x, y, z platí (xry) rz = xr(yrz) (asociativnost operace
xry);
b) existuje prvek e takový, že pro každý prvek x platí erx = x (při sčítání
reálných čísel má tuto vlastnost nula, při násobení modulo p číslo 1, a při skládání
pohybů tzv. ,,identická transformace", převádějící každý bod v sebe
sama);
c) ke každému prvku x existuje prvek x' takový, že platí xrx' = e (při sčítání
reálných čísel má tuto vlastnost opačné číslo — x, při násobení modulo p
vyplývá existence prvku x' z jednoduché aritmetické úvahy, při skládání
pohybů má tuto vlastnost tzv. inversní pohyb, tj. takový pohyb, kterým obraz
bodu při pohybu x se zobrazí ve výchozí bod.8
) Vlastnosti, které lze použitím
obecného označení vyjádřit stejným způsobem v každé z těchto tří teorií, jsou
důsledky uvedených tří vlastností. Dokažme např., že z xry = xrz plyne y = z.
Mohli bychom to dokázat v každé z těchto teorií zvlášť, používajíce úvah specifických
pro tuto teorii. Můžeme však postupovat způsobem společným pro
všechny tři teorie. Ze vztahu xry = xrz odvodíme vztah x'r(xry) = x'r(xrz)
(x
f
má shora uvedený smysl). Používajíce vlastnosti a) dostaneme vztah
(x'rx) ry = (xf
rx) rz, z něhož na základě c) plyne ery = ery, načež použijeme-li
konečně b), dostaneme žádaný vztah y = z. V této úvaze jsme úplně abstrahovali
od povahy prvků x, y, z. Nezáleželo nám vůbec na tom, zda to byla
reálná čísla, přirozená čísla menší než p, či euklidovské pohyby. Využili jsme
pouze toho, že operace xry má vlastnosti a), b), c). Abychom se vyhnuli zbytečnému
opakování, je přirozené odvodit jednou provždy logické důsledky
těchto tří vlastností. K tomu je však vhodné vytvořit obecnou terminologii.
Říkáme, že množina, na níž je definována operace xry, charakterisovaná vlastnostmi
a), b), c), má strukturu grupy (nebo kratčeji je grupou). Podmínky a),
b), c) nazýváme axiomy grupy9
) a odvozování logických důsledků těchto axiomů
znamená tvořit axiomatickou teorii grup.
' 7
) To není jediná možná volba. Existují různé systémy, které jsou „ekvivalentní*' s uvedeným
systémem; při tom je každý axiom jednoho systému logickým důsledkem axiomů libovolného
systému.
8
) Poznamenejme, že zbytky při dělení číslem p čísel 1, x, x-, ... x
n
, ... nemohou být vesměs
různé. Porovnáme-li totiž dva z nich, snadno dokážeme, že xk
~l
(k > l) má při dělení číslem p
zbytek 1. Oznaéíme-li x' zbytek při dělení číslem p čísla xk
~1
--, je součin xx' roven 1 modulo p.
9
) Tento smysl slova,,axiom" nemá zřejmě nic společného s obecně přijatým smyslem ,,zřejmá
pravda".
512
Nyní můžeme objasnit, co jest rozumět v obecném případě matematickou
strukturou. Obecným znakem pojmů, označených tímto společným názvem,
je to, že mohou být použity na množinu prvků, jejichž povaha
1 0
) není blíže
specifikována. Strukturu definujeme, udáme-li jednu nebo více relací pro tyto
prvky
11
) (v případě grupy to byla relace XTy mezi libovolnými třemi prvky).
Načež postulujeme, že tyto vztahy vyhovují jistým podmínkám (které vyjmenujeme
a které nazýváme axiomy uvažované struktury)1 2
). Vybudovat
axiomatickou teorii dané struktury znamená odvozovat logické důsledky
z axiomů struktury bez použití jakýchkoli dalších výroků o uvažovaných
prvcích (zejména bez použití jakýchkoli hypotéz o povaze těchto prvků).
Základní typy struktur
Definice struktury se opírá o pojem relace, jež může být velmi různorodou.
Relace v grupové struktuře se nazývá algebraická operace (někdy též zákon
komposice). Je to relace mezi třemi elementy, jednoznačně přiřazující každé
dvojici prvků opět nějaký prvek. Je-li definující relací algebraická operace,
nazýváme příslušnou strukturu algebraickou strukturou (např. struktura tělesa
se definuje dvěma algebraickými operacemi, splňujícími jisté axiomy. Množina
reálných čísel má strukturu tělesa vzhledem k sčítání a násobení).
Dalším důležitým typem struktur jsou struktury definované relací uspořádání,
což je binární relace (tj. relace mezi dvěma prvky x, y), kterou symbolicky
vyznačujeme xRy a obvyklé vyjadřujeme slovy „x je menší nebo rovno y".
O této relaci se nepředpokládá, že určuje jeden z prvků x, y jako funkci druhého.
Tato relace splňuje axiomy: a) pro každé x je xRx; b) z xRy, yRx vždy
plyne x = y; c) z xRy, yRz vždy plyne xRz. Příkladem množiny takové struktury
je množina celých čísel (nebo množina reálných čísel), rozumíme-li symbolem
R symbol íg. Je však nutno si uvědomit, že uvedená soustava axiomů
neobsahuje axiom: ,,pro každé dva prvky x, y platí buď xRy nebo yRx", ač by
se zdál samozřejmým pro pojem uspořádání, se kterým se běžně setkáváme.
1 0
) Vycházíme zde z ,,naivního" stanoviska a nedotýkáme se citlivých polofilosofických, polomatematických
problémů, vzniknuvších v souvislosti s otázkou ,,povahy" matematických
,,objektů". Omezíme se jen na poznámku, že původní pluralismus v našich představách o těchto
„objektech", jež byly zpočátku myšleny jako idealisovaná „abstrakce" smyslových „zkušeností"
a zachovaly tudíž veškerou jejich rozmanitost, byl výzkumy o axiómatice v XIX.—XX. století
postupně nahrazován unitární koncepcí tak, že se všechny matematické pojmy odvozovaly
nejprve z pojmu celého čísla a potom v druhé etapě z pojmu množiny. Pojem množiny byl dlouhou
dobu pokládán za „prvotní", „nedefinovatelný" a byl předmětem mnoha sporů, vyvolaných
výjimečnou obecností a mlhavos ti představ, jež tento pojem vyvolával. Obtíže se překonaly
teprve tehdy, když v souvislosti s nedávnými výzkumy v logickém formalismu ztratil svůj význam
sám pojem množiny (a s ním i všechny metafysické pseudoproblémy matematických „objektů").
Z hlediska této koncepce jsou možno říci jedinými matematickými objekty, matematické struktury.
Čtenář najde zevrubnější vyjádření tohoto hlediska v těchto dvou pojednáních: J. Diedonné,
Les méthodes axiomatiques modernesetlesfondementsdesmathématiques, Revue Scientifique 78 (1939),
str. 224—232; H. C a r t a n , Sur le fondement logique des maťhématiques, Revue Scientifique 81
(1943), str. 3—11.
1 1
) Pro potřeby matematiky není tato definice dostatečně obecná. Je totiž třeba, aby zahrnovala
i takové případy, kdy ve vztazích definujících strukturu vystupují nejen prvky uvažované
množiny, ale také např. podmnožiny této množiny, nebo obecněji prvky „vyššího typu" — ve
smyslu teorie typů. Další podrobnosti najde čtenář v naší knize ElementsdeMathématique,av.I.
(shrnutí výsledků), Actual. Scient. et Industr., str. 846.
12
) Přesně vzato bylo by třeba v teorii grup považovat za axiom, kromě uvedených a), b), c)
také tvrzení, že vztah z = xry přiřazuje právě jeden prvek z každé dvojici prvků x, y. Zpravidla
se mlčky předpokládá, že tato vlastnost je splněna již zápisem tohoto vztahu: z = xry.
513
Nevylučujeme tedy případ dvou „nesrovnatelných" prvků. To se možná jeví
na první pohled paradoxní. Snadno však uvedeme velmi důležité příklady
struktur uspořádání, které tento axiom nesplňují. Takovou strukturu dostaneme,
zavedeme-li v systému všech podmnožin nějaké množiny uspořádání
takto: XRY znamená ,,X je podmnožinou Y". Další příklady takové struktury
získáme, jestliže v množině přirozených čísel relace xRy znamená „x je
dělitelem y", nebo jestliže v množině všech reálných funkcí definovaných na
intervalu a rgl x ^ b fRg znamená: ,,/(#) ^ g(x) pro každé x". Na těchto příkladech
vidíme, v jak rozmanitých oblastech se setkáváme se strukturou
uspořádání. Z toho si můžeme učinit představu o důležitosti jejich studia.
Zmíníme se ještě několika slovy o třetí důležité struktuře — o tzv. topologické
struktuře (čili topologii). Tato struktura zachycuje abstraktní matematickou
formulaci pojmu okolí, limity a spojitosti, ke kterým nás vedou naše
představy o prostoru. Formulace axiomů topologické struktury vyžaduje
větší stupeň abstrakce než předcházející případy a přesahuje rámec tohoto
pojednání. Odkazujeme proto čtenáře, který se o to zajímá, na speciální literaturu.1
3
)
Standardisace matematických prostředků
To, co jsme řekli, snad již postačí k tomu, aby si čtenář mohl učinit dostatečně
přesnou představu o axiomatické metodě. Nejnápadnějším rysem axiomatické
metody je značná úspornost v myšlení. „Struktury" jsou matematickým
nástrojem. Jakmile matematik zjistí, že mezi prvky, které studuje, platí
vztahy, splňující axiomy struktury jistého typu, může ihned použít celý arsenál
obecných vět, které platí o struktuře tohoto typu. Jinak by musel vynaložit
velké úsilí, aby vytvořil prostředky nezbytné k řešení vyšetřovaného problému.
Při tom účinnost těchto prostředků závisí na jeho osobním nadání a tyto prostředky
jsou omezeny řadou zbytečných předpokladů, které vyplývají ze specifičnosti
studovaného problému. Axiomatická metoda není tedy ničím jiným,
než jakýmsi „taylorismem" v matematice.14
)
Takové porovnání je však nedostačující. Matematik totiž nepracuje jako
stroj. V matematických úvahách je důležitá specifická intuice,15
) odlišná od
běžné smyslové intuice a spočívající spíše v přímém vytušení (před přesnou
úvahou) pravého stavu věcí, které matematik zdánlivě oprávněně očekává od
matematických objektů, s nimiž se již natolik naučil zacházet, že na ně nazírá
jako na objekty reálného světa. Vždyť v jazyku každé struktury se odráží ona
specifická teorie, ze které se abstrakcí příslušná struktura tvořila. Jakmile
matematik objeví ve studovaném problému již známou strukturu, je tím ovlivněn
intuitivní postup jeho myšlení, třeba v neočekávaném směru. To často
způsobuje, že zkoumaná matematická problematika se objevuje v jiném světle.
Chceme-li uvést starý příklad, vzpomeňme jen, k jakému pokroku vedla na
začátku XIX. stol. geometrická interpretace imaginárních čísel. Z našeho hlediska
to bylo odhalení dobře známé topologické struktury euklidovské roviny
1 3
) Viz např. naše Eléments, sv. I I I . "ďvod ke kap. I., Actual. Scient. et Industr., str. 858.
(Ruský překlad: H. Eyp6aKH, TonojioeuuecKue cmpyKmybí, Moskva, 1959 — pozn.red.).
1 4
) Taylorův systém — kapitalistický systém organisace práce, navržený americkým inženýrem
F. Taylorem, který slouží vytváření maximálního zisku. Jedním z prvků tohoto systému je
studium pracovního procesu pomocí rozkladu tohoto procesu na části (pozn. red.).
1 5
) Intuice, která je i často chybná (jako každá intuice).
514
v množině komplexních čísel. Tím byly přirozeně spojeny všechny z toho vyplývající
možnosti aplikace, pomocí nichž Gauss, Ábel, Cauchy a Riemann za
méně než jedno století obrodili analysu.
V posledních 50 letech bylo mnoho takových příkladů: Hilbertův prostor
a obecnější funkcionální prostory, což jsou množiny funkcí (nikoli bodů) s topologickou
strukturou; teorie Henselových p-adických čísel, kterými — což
je zvlášť udivující — topologie ovládla i oblast, jež byla až dosud považována
za výlučnou doménu nespojitého, diskrétního, totiž množinu celých čísel;
Haarova míra, která neomezeně rozšířila oblast použití pojmu integrálu a která
umožnila velmi hluboké studium vlastností topologických grup. Takové
jsou nejdůležitější momenty ve vývoji matematiky, ty dějinné obraty, v nichž
myšlenky géniů udávají nový směr vývoji teorie objevením struktury, která,
jak se zdálo a priori, byla bezvýznamná.
Svědčí to o tom, že v současné době je matematika méně než kdykoli před
tím mechanickou hrou se vzorci. Silněji než kdykoli předtím dominuje intuice
v genesi objevů. Nyní však již má matematika k disposici mohutné nástroje,
které jí poskytuje teorie nejdůležitějších typů struktur, a tak může jediným
rozmachem obsáhnout obrovské oblasti, unifikované axiomatikou, ve kterých,
jak se zdálo, vládl chaos.
Celkový přehled
Vyjdeme z koncepce axiomatiky a pokusíme se přehlédnout matematiku
v celku. Samozřejmě nenajdeme zde již ten tradiční řád, který podobně jako
první klasifikace živočichů se omezil na to, aby postavil vedle sebe teorie,
které se svými vnějšími znaky nejvíce podobaly. Místo přesně rozlišených
oborů, např. algebry, analysy, teorie čísel a geometrie jeví se teorie prvočísel
vedle teorie algebraických křivek, nebo euklidovská geometrie vedle integrálních
rovnic. Pořádajícím principem je hierarchie struktur, která vede od
jednoduchého k složitému, od obecného ke konkrétnímu.
Jakýsi střed tvoří základní typy struktur, z nichž jsme se zmínili jenom
o nejdůležitějších, o jakýchsi ,,tvořících" strukturách (les structures — méres).
U každého z těchto typů se setkáme s dostatečnou rozmanitostí, neboť musíme
rozlišovat nejobecnější strukturu uvažovaného typu, tj. strukturu s nejmenším
počtem axiomů od struktur, které z ní získáme přidáváním doplňujících axiomů,
jež implikují nové důsledky. Např. teorie grup, kromě těch obecných vět,
platných pro každou grupu a odvozených z výše uvedených axiomů, obsahuje
jako zvláštní případ teorii konečných grup (která vznikne, přidáme-li k axiomům
vymezujícím pojem grupy další postulát, požadující, aby počet prvků
grupy byl konečný), teorii Ábelových grup (tj. grup, ve kterých pro každé dva
prvky x, y platí xry = yrx), nebo i teorii konečných Ábelových grup (tj. grup
splňujících oba přidané axiomy). Právě tak z uspořádaných množin zkoumáme
zvlášť ty, ve kterých jsou každé dva prvky v relaci uspořádání (jako např.
v množině celých nebo reálných čísel) a které nazýváme lineárně uspořádanými
množinami; z těch se zas zvlášť vyšetřují, tzv. dobře uspořádané množiny,
což jsou takové uspořádané množiny, ve kterých každá neprázdná podmnožina
obsahuje první (tj. ,,nejmenší") prvek (jako např. množina přirozených
čísel). Podobně je tomu i u topologických struktur.
Vedle těchto základních struktur existují struktury, které bychom mohli
nazvat složenými a které jsou tvořeny jednou nebo několika základními strukturami,
nikoli prostým spojením (což ale by nedalo nic nového), organickým
515
kombinováním pomocí vhodných spojujících axiomů. Takového charakteru
je topologická algebra, zkoumající struktury, definované jednou nebo několika
algebraickými operacemi a topologií, při čemž tyto struktury jsou spojeny
požadavkem, aby algebraické operace byly spojitými funkcemi prvků vzhledem
k zavedené topologii. Stejně důležitá je algebraická topologie, která zkoumá
jisté bodové množiny prostoru, určené topologickými vlastnostmi (simplexy,
cykly atd.) jako množinu, na níž je definována algebraická operace. Právě tak
spojení struktury uspořádání s algebraickou strukturou vede k mnoha výsledkům;
jednak k teorii dělitelnosti ideálů, jednak k teorii integrálu a spektrální
teorii operátorů, kde také topologie má svoji úlohu.
Pokračujíce dále dostaneme se k speciálním teoriím, ve kterých prvky vyšetřovaných
množin, jejichž povaha byla v obecných strukturách nepodstatná,
dostávají svůj individuální konkrétní obsah. Tak dospíváme k teoriím klasické
matematiky: k teorii funkcí reálné a komplexní proměnné, k diferenciální
geometrii, k algebraické geometrii, k teorii čísel. Tyto teorie ztrácejí tak svoji
autonomnost, stávají se útvary, v nichž se obecnější matematické struktury
spojují a vzájemně na sebe působí.
Abychom získali správnou představu, je třeba k tomuto zběžnému přehledu
dodat, že jej považujeme za velmi hrubé přiblížení skutečnosti v matematice.
Tento obraz je schematický, idealisovaný a statický.
Schematický proto, že v podrobnostech zdaleka není vše tak jednoduché
a systematické, jak by se zdálo po tomto výkladu. V matematice dochází
k neočekávaným obratům, kdy teorie, která má jasně speciální charakter, jako
např. teorie reálných čísel, poskytuje pomoc, bez níž se nelze obejít v některých
obecných teoriích, např. v topologii nebo v teorii integrálu.
Idealisovaný proto, že zdaleka ne ve všech oblastech matematiky se každá
z obecných struktur jeví jasně nebo je přesně vymezená. V některých teoriích
(např. v teorii čísel) je mnoho isolovaných výsledků, jež až dosud nelze klasifikovat,
ani uspokojivě uvést v souvislost se známými strukturami.
Statický proto, že nic není vzdálenějšího axiomatické metodě, než statická
koncepce vědy. Nechceme proto u čtenáře vzbudit dojem konečného stavu
vědy. Struktury nejsou neměnné ani co do počtu ani co do podstaty. Je zcela
možné, že další rozvoj matematiky povede k vytvoření dalších fundamentálních
struktur zavedením nových axiomů nebo kombinací axiomů. Přitom
účelnost tohoto zavedení se dá posoudit porovnáním s výsledky, jichž bylo
dosaženo pomocí již známých struktur. Tyto známé struktury nejsou v žádném
případě něčím uzavřeným a bylo by velmi udivující, kdyby jejich „životnost'
ť
se již vyčerpala dosavadními výsledky.
Po těchto nezbytných poznámkách lépe pochopíme vnitřní život matematiky,
lépe pochopíme to, co vytváří její jednotu a vnáší do ní rozmanitost.
Lépe pochopíme ono velké město, jehož předměstí se neustále chaoticky rozrůstají,
zatímco jeho centrum se periodicky přebudovává, pokaždé podle
jasnějšího a promyšlenějšího plánu, který je stále velkolepější a který bourá
staré čtvrtě s labyrintem uliček, aby mohly být vybudovány přímější, širší
a pohodlnější ulice — spojení s předměstím.
Retrospektiva a závěr
Koncepce, kterou jsme se snažili vyložit, nevznikla najednou, ale jako
výsledek více než půl století trvajícího vývoje, a nebyla přijata bez odporu
jak filosofů tak matematiků. Mnozí matematikové nechtěli dlouho souhlasit
516
s tím, aby se axiomatika považovala za něco více než za pouhou nepotřebnou
jemnost logiků, neschopnou rozvíjet jakoukoli teorii. Taková kritika je důsledkem
historické nahodilosti: axiomatiky, jež vznikly nejdříve a jež měly největší
ohlas (Dedekindova a Peanova axiomatika aritmetiky, Hilbertova axiomatika
euklidovské geometrie), se týkaly univalentních teorií, tj. teorií, které
byly úplně určeny svým systémem axiomů, přičemž tento systém axiomů
nemohl být použit v žádné jiné teorii, kromě takové, ze které byl odvozen (na
rozdíl např. od axiomatiky teorie grup). Kdyby tomu tak bylo u všech struktur,
pak by námitka o neplodnosti axiomatické metody byla oprávněna.16
)
Axiomatická metoda však svým vlastním rozvojem dokázala svůj význam.
Tu a tam se ještě vyskytující odpor k axiomatické metodě lze vysvětlit jen
tím, že „zdravý rozum se zdráhá připustit, že v konkrétní úloze může být
užitečnou intuice jiná než ta, která bezprostředně pramení z předpokladů
(a která vzniká obtížnější a vyšší abstrakcí).
Pokud jde o námitky filosofů, týkají se oblasti, kde se necítíme kompetentními.
Základní problém je ve vztahu experimentálního a matematického
zkoumání.17
) Úzká souvislost mezi experimentálními jevy a matematickými
strukturami byla — zdá se — zcela neočekávaným způsobem potvrzena nedávnými
objevy moderní fysiky. Zůstávají nám však zcela neznámé hluboké
příčiny tohoto faktu (pokud vůbec má smysl taková formulace) a je možné, že
je ani nikdy nepoznáme. V každém případě však může tato poznámka být
popudem pro filosofy, aby v budoucnu ještě obezřetněji řešili tuto otázku.
Dříve než začal revoluční rozmach moderní fysiky, bylo vynaloženo mnoho
práce na to, aby se matematika rodila z experimentálních výsledků. Na jedné
straně však kvantová fysika ukázala, že „makrokosmická" intuice skutečnosti
skrývá „mikrokosmické" jevy zcela jiné povahy, jejichž studium vyžaduje
užití takových oborů matematiky, které ještě nebyly vytvořeny s cílem
aplikace v experimentálních vědách. Na druhé straně axiomatická metoda
ukázala, že „pravdy", ze kterých se měl vytvořit základ matematiky, jsou jen
speciálním aspektem obecnějších koncepcí, jejichž užitečnost zdaleka není vyčerpána
tímto zvláštním případem. Konec konců toto vzájemné ovlivňování se,
jehož nezbytností jsme se právě zabývali, není nyní ničím jiným než náhodným
stykem věd, jejichž souvislosti jsou daleko více skryty než by se a priori zdálo.
Ve své axiomatické stavbě je matematika seskupením abstraktních forem
— matematických struktur — a ukazuje se (třebaže v podstatě nevíme proč),
že některé aspekty skutečnosti, experimentu, jakoby již svým předurčením
spadaly do některé z těchto forem. Nelze samozřejmě popřít, že většina těchto
forem měla již při svém vzniku původní a zcela určitý intuitivní obsah. Ale
tak jak byly vědomě zbavovány tohoto obsahu, byl jim zároveň dán jiný
obsah, v němž spočívá jejich význam a který umožnil vkládat do nich nové
interpretace a splnit také nové úkoly při zpracování výsledků.
16
) Zejména na počátku rozvoje axiomatické metody jsme byli také svědky vzniku podivných
struktur, které nebylo možno aplikovat a jejichž jedinou výhodou bylo, že jejich studium umožnilo
přesně určit význam každého axiomu, vyjasnit, jaké má důsledky změna nebo vynechání
některého axiomu. V tomto období bylo možné podlehnout dojmu, že to jsou jediné výsledky,
které lze od této metody očekávat.
1 7
) Nemáme zde na mysli námitky, které pramení z používám pravidel formální logiky v úvahách
axiomatické teorie: tyto námitky souvisí s logickými obtížemi, na které naráží teorie množin.
Poznamenejme jen, že tyto obtíže mohou být překonány tak, že nevzniknou žádné pochybnosti
o přesnosti úvah. TJvedme v této souvislosti již citované práce H. Cartana a J. D i e u d o n n é .
517
Budeme-li jen takto chápat slovo ,,forma", můžeme říci, že axiomatická
metoda je ,,formalismem". Jednota, kterou dává matematice axiomatická metoda,
není formálně logickou kostrou, není jednotou kostry bez života. Je
živnou substancí organismu v jeho vývoji, poddajným a plodným nástrojem
výzkumů, kterého vědomě používají ve své práci všichni velcí matematikovémyslitelé,
počínaje Gaussem, všichni ti, kteří ve smyslu výroku Lejeuna a Dirichleta
se vždy snažili ,,nahradit výpočty idejemi".
Přeložili Jiří Fábera a Jiří Gregor
O Z Á K L A D E C H A S T Y L U M O D E R N Í M A T E M A T I K Y
(Ke stati N. Bourbakiho)
A. A. LJAPUNOV, Moskva
Řešení konkrétních matematických problémů a tvoření obecných matematických
teorií je věnována rozsáhlá moderní matematická literatura. V tom
spočívá také význam moderní matematiky. Nesmírně široká problematika
a neustále vzrůstající počet těch, kteří na nových problémech pracují, vede
však k tomu, že orientace v dnešní vědecké literatuře je stále obtížnější.
Tendence v y t v o ř i t s y s t é m v s o u d o b é m a t e m a t i c e jsou tedy velmi
aktuální.
Nejpronikavějším kolektivním dílem v tomto směru jsou ,,Základy matematiky",
které vydává početný kolektiv francouzských matematiků pod
pseudonymem ,,N. Bourbaki". Některé svazky tohoto díla byly již přeloženy
do ruštiny. Úplné vydání tohoto díla v ruském jazyce by bylo velmi užitečné.
Poznamenejme ještě, že v nejrůznějších oblastech matematiky neustále vzrůstá
počet prací, jež na tyto monografie navazují.
Stať N. Bourbakiho ,,Architektura matematiky" má programový charakter.
Autoři v ní vysvětlují názor na moderní matematiku, který plně uplatnili
ve svém díle. Proto je tato stať zajímavá pro široký okruh čtenářů, zabývajících
se matematikou.
Významnou zvláštností kolektivu Bourbaki je, že jeho členy jsou významní,
tvůrčím způsobem pracující matematikové, a tak tendence k systematisaci je
harmonicky skloubena se snahou nalézt nové významné směry rozvoje matematiky
a rozpracovávat nové matematické teorie. Je možné bez přehánění
říci, že Bourbaki je nejvýznamnějším jevem v soudobé matematice. Tento
kolektiv dosáhl velmi významných výsledků v rozmanitých oblastech matematiky,
např. v topologii, v topologické algebře, v algebraické geometrii,
v teorii funkcí více komplexních proměnných, v teorii algebraických čísel,
ve funkcionální analyse. S y s t é m v matematice, který vypracovává Bourbaki,
získává stále více stoupenců mezi matematiky na celém světě a má neustále
větší vliv na moderní vědu.
Právě proto, že velmi vysoko oceňuji činnost Bourbakiho, zdá se mi být
velmi nepříjemná nepřesnost obecně filosofických závěrů, formulovaných v závěrečné
části stati ,,Architektura matematiky". Autoři velmi přesvědčivě dokazují,
že axiomatická metoda studia matematických struktur je progresivní.
518