Induktivní a deduktivní metody v matematice Růžena Blažková Indukce – jeden z typů úsudků a metoda zkoumání, kdy se na základě pozorování jednotlivých případů vyvozují všeobecné závěry. Jedná se o postup od zvláštního k obecnému. Úplná indukce: úsudek, v němž obecný závěr plyne z premis shrnujících všechny jednotlivé případy, závěr je jistý. Neúplná indukce: úsudek, v němž se vyvozuje obecný závěr z premis shrnujících některé jednotlivé případy, závěr je pouze pravděpodobný, je potvrzován premisami jen do určité míry. Dedukce – logické vyvození, způsob logického myšlení postupujícího od obecného pravidla k jednotlivému. Úsudek, ve kterém nová myšlenka logicky vyplývá z jistých tezí vystupujících v roli obecného pravidla platného pro všechny jevy dané třídy. Jedná se o typ úsudku, při němž se z premis použitím určitých pravidel dospívá k novému tvrzení, tzv. závěru, důsledku. Je přechodem od obecného ke zvláštnímu. Deduktivní metoda – způsob výstavby vědecké teorie založený pouze na dedukci. Uplatňuje se zpravidla v těch případech, kdy byl nahromaděn a teoreticky vyložen empirický materiál, který chceme uvést v systém, abychom mohli odvodit všechny důsledky plynoucí z přijatých předpokladů. Takto vybudovaná vědecká teorie je vědecká deduktivní soustava. Různé pokusy vést ostrou hranici mezi deduktivní metodou a induktivní se nezdařily, neboť obě metody jsou ve skutečnosti vnitřně spjaty. Uplatňování indukce a dedukce souvisí s pozorováním, zkoumáním zákonitostí, zobecňováním. V následujících příkladech vycházejte vždy z induktivních postupů, tj. ověřujte platnost uvedených vět pro několik přirozených čísel, všímejte si zákonitostí a snažte se formulovat příslušné věty. Věty pak dokažte. Př. 1. Sčítání přirozených čísel – sčítejte postupně přirozená čísla a sledujte, jak se dá vyjádřit jejich součet: 1 + 2 = 3 3 = 1 + 2 + 3 = 6 6 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 = atd. Úvaha – čemu je roven součet n přirozených čísel. Formulujeme větu : Pro součet n přirozených čísel platí: 1 + 2 + 3 + … + n = Dokážeme snadno matematickou indukcí. Př. 2. Sleduje součet několika lichých přirozených čísel: 1 + 3 = 4 2 . 2 = 4 1 + 3 + 5 = 9 3 . 3 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 4 . 4 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 5 .5 = 25 atd. Formulujeme větu, kterou dokážeme matematickou indukcí: Pro součet n lichých přirozených čísel platí: 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n^2 Př. 3. Sledujte součet sudých přirozených čísel a všimněte si, jak se dá vyjádřit: 2 + 4 = 6 6 = 2 . 3 2 + 4 + 6 = 12 12 = 3 . 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 20 = 4 . 5 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 30 = 5 . 6 Formulujeme větu: Pro součet n sudých přirozených čísel platí: 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1) Př. 4. Součet všech přirozených čísel od 1 do 100 1 + 2 + 3 + … + 100 = 5 050 Př. 5. Součet všech lichých čísel od do 100 1 + 3 + 5 + … + 99 = 2 500 Př. 6. Součet všech sudých přirozených čísel od 1 do 100 2 + 4 + 6 + … + 100 = 2 550 Př. 7. Součin dvou sobě rovných činitelů – sledujeme číslo zapsané na místě jednotek 0 . 0 = 0 1 . 1 = 1 2 . 2 = 4 3 . 3 = 9 4 . 4 = 16 5 . 5 = 25 6 . 6 = 36 7 . 7 = 49 8 . 8 = 64 9 . 9 = 81 10 . 10 = 100 kdybychom v násobení sobě rovných činitelů pokračovali dále, zjistíme, že na místě jednotek jsou zapsána čísla: 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 Př. 8. Dokažte, že druhá mocnina přirozeného čísla nemá na místě jednotek zapsáno číslo 2 nebo 3. Př. 9. Pozorujte součin čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel a sledujte, jak se dá vyjádřit: 1 . 2 . 3 . 4 = 24 6^2 – 2 . 6 = 24 5^2 - 1 = 24 2 . 3 . 4 . 5 = 120 12^2 – 2 . 12 = 120 11^2 – 1 = 120 3 . 4 . 5 . 6 = 360 20^2 – 2 . 20 = 360 19^2 – 1 = 360 atd. Př. 10. Vynásobte vždy dvě po sobě jdoucí přirozená čísla a tento součin vynásobte čtyřmi. Všimněte si, jak se dá tento součin vyjádřit: 4 . 2 . 3 = 24 5^2 – 1 = 24 4 . 3 . 4 = 48 7^2 – 1 = 48 4 . 4 . 5 = 80 9^2 – 1 = 80 4 . 5 . 6 = 120 11^2 – 1 = 120 atd. Formulujeme větu: Pro každé přirozené číslo n platí: 4n (n + 1) = (2n + 1 )^2 - 1 Př. 11. Vyjádřete obecně, kolik úhlopříček má konvexní n-úhelník. Např: Čtverec …2, pětiúhelník 5, šestiúhelník 15, sedmiúhelník 21, atd. Dokažte, že počet úhlopříček konvexního n-úhelníku je . Př. 12. Vyjádřete obecně, jaký je součet vnitřních úhlů konvexního n- úhelníku: Např. Trojúhelník 180°, čtyřúhelník 360°, pětiúhelník 540, šestiúhelník 720°, atd. Vyslovte větu, která vyjadřuje součet vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku a dokažte ji. Př. 13. Vyberte si libovolné prvočíslo, a sledujte následující výrazy: 5 . 5 – 1 = 24 24 = 1 . 24 7 . 7 – 1 = 48 48 = 2 . 24 11 . 11 – 1 = 120 120 = 5 . 24 atd. Formulujeme větu: Nechť p je prvočíslo větší než 3. Pak p^2 – 1 je vždy dělitelné číslem 24. Př. 14. Pozorujte následující výrazy: 2 . 5 . 5 + 1 = 51 51 = 3 . 17 2 . 7 . 7 + 1 = 99 99 = 3 . 33 2 . 11 . 11 + 1 = 243 243 = 3 . 81 atd. Formulujeme větu: Nechť p je prvočíslo větší než 3. Pak 2 p^2 + 1 je vždy dělitelné třemi. Př. 15. Všimněte si následujících výrazů: 3 . 3 . 3 + 5 = 32 32 = 4 . 8 3 . 5 . 5 + 5 = 80 80 = 4 . 20 3 . 7 . 7 + 5 = 152 152 = 4 . 18 atd. Formulujeme větu: Nechť p je prvočíslo větší nebo rovno číslu 3. Pak 3p^2 +5 je vždy dělitelné čtyřmi.