Zdroje a druhy nejistot Zdroje a druhy nejistot •Při opakovaném měření téže veličiny za stejných podmínek dostaneme různé hodnoty • • •Naměřenou hodnotu nelze ztotožňovat s hodnotou skutečnou • • •Měřené hodnoty jsou zatížené chybou Zdroje a druhy nejistot •Při opakovaném měření téže veličiny za stejných podmínek dostaneme různé hodnoty • •Naměřenou hodnotu nelze ztotožňovat s hodnotou skutečnou • •Měřené hodnoty jsou zatížené chybou • •Chybou měření Dx rozumíme rozdíl skutečné hodnoty x* a naměřené hodnoty x Zdroje a druhy nejistot •Absolutní chyba - Dx = x – x* • •Chyba může mít kladnou i zápornou hodnotu • •Rozměr chyby je stejný jako má měřená veličina • •Relativní chyba – • • • Zdroje a druhy nejistot •Systematické • •Náhodné • •Hrubé Systematické chyby •Ovlivňují výsledek měření zcela určitým a pravidelným způsobem • •Naměřené hodnoty v případě konstantní systematické chyby jsou trvale sníženy nebo zvýšeny o určitou hodnotu • •Lze odhalit kalibrací přístroje, nelze odhalit opakováním měření Náhodné chyby •Náhodně kolísají co do velikosti i znaménka při opakování měření • •Nelze předvídat jejich přesnou hodnotu, projevují se kolísáním naměřených hodnot • •Nelze při měření odstranit • • Hrubé chyby •Jednotlivá měření se výrazně liší od ostatních měření • •U malého počtu naměřených hodnot • • Zdroje nejistot měření •Měřený objekt • •Prostředí • •Měřící metoda • •Měřicí zařízení • •Pozorovatel • •Vyhodnocení Systematické chyby •Chyby metody : • •Vznikají v důsledku nepřesnosti, přibližnosti použitých vztahů • •Lze odstranit zpřesněním teoretického modelu (kyvadlo - odpor vzduchu, tření v závěsu) • •Nutnost uvážení, jak veliké systematické chyby se dopouštíme zjednodušováním modelu Systematické chyby •Chyby měřidel : • •Nedokonalost měřících přístrojů • •Špatné a nevhodné použití • •Jednoduchá identifikace – normály (seřízení – korekční křivka) • •Časová nestálost • Systematické chyby •Chyby pozorování : • •Nedokonalost pozorovacích schopností člověka (reakční doba) • • •Chyby vyhodnocování : • •Nahrazování spojitých fyzikálních veličin • • Náhodné chyby přímých měření •Při opakovaném měření veličiny s konstantní hodnotou naměříme odlišné hodnoty • •Měřením získáváme náhodné hodnoty • •Náhodné charakter měření neznamená úplnou ztrátu informace o měřené veličině • •Soubor většího počtu měření vykazuje určité charakteristiky, ze kterých lze odhadovat skutečnou hodnotu měřené veličiny • • Náhodné chyby přímých měření •Hod kostkou {1,2,3,4,5,6,} ; • P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 => • P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 • •Hustota pravděpodobnosti • •U spojitých náhodných veličin nemá smysl zjišťovat pravděpodobnost výskytu dané hodnoty, protože množina všech hodnot je nespočetná • •Hodnoty pravděpodobnosti výskytu dané hodnoty x jsou nekonečně malé P(x) → 0 • Náhodné chyby přímých měření •U spojitých veličin zadáváme pravděpodobnost výskytu její hodnoty v daném intervalu P (x1,x2) • •Počet výsledků měření spadajících do daného intervalu nazýváme četností Q • •Výhodnější je používat relativní četnost q • • • N – celkový počet měření • • •Součet relativních četností ze všech disjunktivních intervalů pokrývající definiční obor měřené veličiny je roven 1 • • • 1 2 Naměřené hodnoty Histogram absolutních četností 3 Náhodné chyby přímých měření •Při malém počtu tříd málo přesná informace o rozdělení hodnot a poloze maxima •Při velkém počtu tříd zaniká hledaná informace v šumu • •Hustota pravděpodobnosti • zvětšení počtu naměřených hodnot – zmenšování Dx → vyhlazení zubatého okraje • • • • • P(x,x+Dx) – pravděpodobnost, že hodnota měřené veličiny padne do intervalu áx;x+Dxñ • Náhodné chyby přímých měření •Pravděpodobnost, že výsledek padne do intervalu áa;bñ • • • • •Velikost pravděpodobnosti je rovna velikosti příslušné plochy pod křivkou funkce f(x) • •Integrál přes celý definiční obor náhodné proměnné je roven jednotce Náhodné chyby přímých měření 4 Náhodné chyby přímých měření •Místo rozdělení často stačí tzv. popisné míry: • •Míra umístění – poloha zkoumaného souboru •Míra rozptylu – disperze souboru (přesnost opakovaných měření) • •Umístění charakterizujeme nejlépe pomocí střední hodnoty : • • • • •Rozptyl je definován: • • Náhodné chyby přímých měření •Často polohu souboru určujeme pomocí aritmetického průměru : • • Dále platí: i provádí sumaci přes všechny naměřené hodnoty j provádí sumaci přes všechny možné hodnoty naměřené veličiny počet naměřených hodnot s výsledkem xj je mj pokud bychom zvyšovali počet n všech měření –mohli bychom postupně přejít od relativní četnosti k pravděpodobnosti Náhodné chyby přímých měření •Výběrový rozptyl kolem střední hodnoty : • • • • •Potřebou střední hodnotu E(x) neznáme → nahradíme pomocí hodnoty aritmetického průměru • •Odchylka ei naměřené hodnoty xi od střední hodnoty E(x) • • • •Odchylka Dk naměřené hodnoty xk od aritmetického průměru • • Náhodné chyby přímých měření • •Častěji než rozptylem D (s2) charakterizujeme přesnost měření tzv. směrodatnou odchylkou s - modifikovaný výběrový rozptyl Náhodné chyby přímých měření •Směrodatná odchylka jednotlivého výsledku měření •udává střední velikost chyby, se kterou je zatíženo jednotlivé měření sledovaného vzorku (střední kvadratická chyba) Náhodné chyby přímých měření •Směrodatná odchylka aritmetického průměru •Z hlediska měření je daleko významnější směrodatná odchylka aritmetického průměru , jejíž hodnota zřejmě klesá při zvětšování výběrového souboru (počtu měření)