Kombinatorika: domácí úkol na 13. a 14. listopadu 2013
Faktoriály a kombinační čísla Vypracované přineste ke kontrole 20. nebo 21. listopadu 2013.
1. Dokažte, že pro přirozená čísla p > q platí (p) = (PZ\) + (PZi) + """ + ti)
2. (a) 2" = Q + (i) + (2) + • • • + L-i) + (n)
(b) o = (s) - (1) + Q) — + i-^-'L-i) + (-i)nC)
(c) tt) = ď+ ®2+ & + ■■■+ L-i)2 + ®2
3. Dokažte (nebo alespoň pro některá n, m ak ověřte, že platí) následující identity:
N (* + !)(£}) = (« + i) G)
/n\ /n—k\ _       /m\ /n\
\k) \m—k) \kJ\mJ
(b) ©(rÍ) = (ľ)(:)P-0<fc<m<n
(a) opakovaným použitím vzorce (p) + (^-J = (P+i) j
(b) kombinatorickou úvahou;
(c) matematickou indukcí.
4. Dokažte, že součin    po sobě jdoucích celých čísel je vždy dělitelný k\
5. Užitím binomické věty vypočtěte:   (a) 995    (b) 1015