MA2BPPGE, 9. ledna 2014
1. V eukleidovském prostoru £ — R3 jsou dány body:
A =[0,6,7], B — [6, —2,7], C — [6, -2, —3], D — [0, 6, —3], £=[-5,-4,2].
+ Dokažte, že body A,B,C,D leží v jedné rovině a že bod E v této rovině neleží. + Určete rovnicové (neparametrické) vyjádření roviny p — ABCD. + Určete barycentrické souřadnice bodu D vzhledem ke trojici bodů A,B,C. + Určete objem jehlanu ABCDE.
2. V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány afinní podprostory:
£= {[1,1, 2,4] +í(l, 1,0,0) :teR},
C = {[3,4, 0, 3] + ai(0,1, 0,1) + a2(l, 0, 0, 0) : Sl, s2 G K}.
+ Určete dimenze těchto podprostorů a jejich rovnicová vyjádření.
+ Určete vzdálenost B a C.
+ Určete vzájemnou polohu B a C.
3. Udejte příklad dvou kolmých nadrovin ve čtyřrozměrném eukleidovském prostoru.
4. V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány vektory
V! = (0,9,0,1), v2 = (2,0,1,4), v3 = (0,1,0,0).
+ Určete vektorový součin w = vi x v2 x v3 a ukažte, že w je kolmý ke každému z daných vektorů. + Dokažte, že předchozí vlastnost platí obecně.
5. V eukleidovské rovině £ — R2 jsou dány transformace:
/i = stejnolehlost se středem 5i = [1,2] a koeficientem ki — 3, f2 — stejnolehlost se středem S2 — [3,1] a koeficientem k2 — 2.
+ Určete analytická vyjádření těchto dvou transformací. + Určete druh a určující prvky transformace / = /2 ° /i-
6. Udejte příklad afinní transformace v rovině, která má přímku samodružných bodů a modul roven —1.
7. Dokažte, že každé podobné zobrazení je prosté.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů, k ústní zkoušce potřebujete aspoň 42 bodů.