MA2BPPGE, 27. ledna 2014
1. V eukleidovském prostoru £ — R3 jsou dány body:
A= [1,-1,1], B = [1,0,-1], C =[3,2,-1], E= [0,2,2].
+ Dokažte, že body A,B,C,E jsou v obecné poloze.
+ Určete souřadnice bodů D,F,G,H tak, aby těchto osm bodů tvořilo vrcholy rovnoběžnostěnu
s podstavami ABC D a EFGH. + Rozhodněte, zda počátek souřadné soustavy patří do konvexního obalu množiny {A, B, C, E}. + Určete vzdálenost bodu E od roviny a — ABC.
2. V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány afinní podprostory:
B — {x\ — 2aľ3 — 2aľ4 = 1, 2ľ2 — 3aľ3 — 7x4 = 1},
C = {[0, 0,1,0] + í(l, 4, 0, 0) + a(0,1, 0, -1) : í, a e M}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + Určete vzájemnou polohu podprostorů B a C. + Rozhodněte, zda jsou podprostory B a C kolmé.
3. Udejte příklad dvou podprostorů v £ — R3, které mají netriviální průnik a odchylku 45°.
4. V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány vektory
V! = (3, 0,1,0), v2 = (0, 0,1,0), v3 = (0, 2, 0,1).
+ Určete vektorový součin vi x v2 x v3 a ukažte, že velikost tohoto vektoru je rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného vektory vi,v2,v3:
||vi x v2 x v3|| = V(vi,v2,v3).
+ Dokažte, že předchozí rovnost platí obecně.
5. V eukleidovské rovině £ — R2 jsou dány transformace /i a /2 následujícími maticemi (vzhledem ke standardním homogenním souřadnicím):
/ 1     0    0\ /l    0 0\
Fi =     0     0    1   , F2 =   4    0    1 . \-2   -1   0/ \0   -1 0/
+ Dokažte, že složená transformace / — /2 o fx je shodnost a určete její samodružné body. + Určete druh a určující prvky transformace / — /2 o fa.
6. Udejte příklad afinní transformace v rovině, která má aspoň dva samodružné body a modul roven — 1.
7. Dokažte, že pro každou podobnou transformaci platí, že samodružné směry odpovídající různým charakteristickým číslům jsou navzájem kolmé.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.