MA2BPPGE, 31. ledna 2014
1. V eukleidovském prostoru £ — R3 jsou dány body:
A =[2,0,1], B — [1,3,1], C — [-1,3,1], D — [—1,1,1], E — [2, 0, 3].
+ Dokážte, že body A, B, C, D leží v jedné rovině a že bod E v této rovině neleží. + Rozhodněte, zda jsou body B a, D souměrné podle přímky AC. + Určete souřadnice zbylých vrcholů hranolu, který má podstavy ABCD a EFGH. + Určete objem hranolu ABCDEFGH.
2. V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány afinní podprostory:
B — {xi — x2 — 2, x2 + 2ľ3 — 1, x3 + x4 — 5}, C — {[4,1,1,1] + í(l, 0,1,0) :teR}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + Určete vzájemnou polohu podprostorů B a C. + Určete vzdálenost podprostorů B a C.
3. Udejte příklad dvou podprostorů ve vhodném eukleidovském prostoru, které mají odchylku 90° a přitom nejsou kolmé.
4. V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány vektory
Vl = (-1,0,1,1), v2 = (0,1,0, 2), v3 = (2,1, -2, 0). + Definujte pojem vektorového součinu a určete vi x v2 x v3.
+ Dokažte, že obecně platí: vektorový součin je nulový právě tehdy, když určující vektory jsou lineárně závislé.
5. V eukleidovské rovině £ — R2 jsou dány transformace:
/i — otáčení okolo bodu S — [2,-2] o úhel 90°, f2 — posunutí o vektor u — (4, 0).
+ Určete analytická vyjádření těchto dvou transformací. + Určete druh a určující prvky transformace / — f2 o f\.
6. Udejte příklad afinní transformace v rovině, která má modul různý od 1 a bod A — [6,0] zobrazuje na bod A' — [2,4].
7. Dokažte, že každou podobnost lze vyjádřit jako složení shodnosti a stejnolehlosti.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.