GEOMETRIE MA2BP_PGE, podzim 2013 Předmluva Omnia sponte fluant, absit violentia rebus J.A.K. Toto je osnova k přednášce z Geometrie pro období podzim 2013. Cíle kurzu jsou vytčeny v úvodní kapitole. Tamtéž konkretizujeme předpoklady k uspokojivému studiu, mezi něž patří zejména přiměřené znalosti školské a konstrukční geometrie a lineární algebry. Za užitečnou učebnici lineární algebry považujeme např. [Zl]. Z dostupných učebnic geometrie nejčastěji používáme [HoJa] a [Sek]. Pro souvislosti, zajímavosti a ilustrace často otevíráme [Be, Co] a [Ha]. S oblibou taky odkazujeme na poznatky z loňského kurzu Konstrukční geometrie, viz [Rí, Zá]. Neopomenutelným zdrojem inspirací jsou samozřejmě Eukleidovy Základy [Eu]. Z citované literatury ještě upozorňujeme na povedené závěrečné práce [Dv, Po] a [El]. Předmět je zakončen zkouškou, jež sestává z písemné a ústní části; přístup k písemné části je podmíněn zápočtem ze cvičení, přístup k ústní zkoušce je podmíněn alespoň 50% úspěšností u písemky. Upozornění: Organizace tohoto materiálu je provizorní a nejspíš se bude během semestru trochu měnit; sledujte průběžně změny v aktualizacích. Brno, 7. ledna 2014 Vojtěch Žádník Obsah I Úvod 7 1 Základy......................................... 7 2 Shrnutí a výhledy.................................... 9 3 Předpoklady a cíle................................... 11 II Afinní a projektivní geometrie 13 4 Afinní prostory a podprostory............................. 13 5 Afinní zobrazení a afinní geometrie.......................... 17 6 Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů................. 20 7 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy.............. 27 8 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další .... 33 9 Projektivní geometrie ................................. 37 III Eukleidovská geometrie 47 10 Eukleidovské prostory, shodná a podobná zobrazení ................ 47 11 Kolmost a kolmý průmět vektoru........................... 53 12 Vzdálenosti a odchylky podprostorů ......................... 57 13 Obsahy, objemy a další................................. 68 IV Geometrická zobrazení 77 14 Opakování........................................ 77 15 Analytické vyjádření.................................. 82 16 Samodružné prvky................................... 86 17 Základní transformace................................. 90 18 Další klasifikace a poznámky ............................. 97 V Dodatky 105 19 Pseudo-eukleidovské prostory............................. 105 20 Další geometrická zobrazení.............................. 105 21 Kuželosečky a kvadriky ................................ 105 22 Kleinova geometrie přímek............................... 106 23 Lieova geometrie kružnic................................ 106 5 6 24 Grupové akce...................................... 106 25 Frízové a tapetové vzory................................ 107 26 Třetí Hilbertův problém................................ 108 Návody a řešení 111 Literatura 115 Seznam obrázků 117 Seznam tabulek 119 Rejstřík 121 Přílohy 125 KAPITOLA I Úvod 1 Základy Základy eukleidovské geometrie lze najít — vedle dalších věcí — v Eukleidových Základech [Eu] (cca 300 př. K.). Toto dílo představuje ucelený deduktivní výklad tehdejší matematiky odvozený z několika axiómů a postulátů. Axiómy se týkají obecných veličin, postuláty jsou ryze geometrického charakteru a vymezují základní vztahy mezi základními geometrickými objekty. V této části připomínáme několik podstatných pojmů a vztahů, ke kterým se budeme často vracet. Většinu z těchto poznatků jsme diskutovali už vloni [Zá]. 1.1 Definice Definice většiny geometrických pojmů, které známe ze školy, lze najít v téměř stejném znění v Základech; jedná se úvodní definice zejména ke knihám I a XI. Některé z těchto definic budeme mírně zobecňovat, proto si je tady připomeneme. • Pokud jsou vedlejší úhly vymezené dvěma protínajícími se přímkami shodné, pak každý z těchto úhlů se nazývá pravý a přímky se nazývají kolmé. • Kružnice je rovinný útvar tvořený koncovými body všech úseček, které jsou navzájem shodné a jejichž opačné koncové body splývají (a to ve středu kružnice). • Přímky jsou rovnoběžné, pokud leží v téže rovině a nemají žádný společný bod. • Přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá ke všem přímkám, které v ní leží. • Dvě roviny jsou kolmé, pokud přímky, které leží v jedné z těchto rovin a jsou kolmé k prů-sečnici rovin, jsou také kolmé ke druhé rovině. • Roviny jsou rovnoběžné, pokud se neprotínají. • Apod. Některé definice v Základech jsou poněkud vágní. Ty zde neuvádíme a dáme jim přesný význam později — postupně můžete odhadovat, které to jsou. a a b se protínají, a to vlevo. V (i) a (ii) je přímkou zřejmě myšlena úsečka, a to jediná. Postuláty (i)-(iii) představují přípustné konstrukční nástroje, tzv. eukleidovské pravítko a kružítko. Postulát (i) se týká incidence, postulát (iv) nám říká něco o základní relaci shodnosti. Uvědomte si, že v Eukleidově pojetí je shodnost docela abstraktní koncept: z pochopitelných důvodů nemůže zahrnovat žádné číselné vyjadřování délek úseček, velikostí úhlů apod., jak to běžně chápeme dnes! Poněkud komplikovaný postulát (v) bývá nahrazován tzv. postulátem o rovnoběžkách, se kterým je ekvivalentní: • Každým bodem ke každé přímce prochází právě jedna rovnoběžka. Postulát (v) je poprvé použit ve větě I.29,1 což je známá věta o střídavých úhlech. 1.3 Axiómy nevyslovené V Základech se používá několik předpokladů, aniž by byly jakkoli formulovány. Přesný axiomatický popis, založený na tom Eukleidově, pochází od D. Hilberta [Hi] (kolem 1900), viz přílohu na str. 125. V tomto systému jsou primitivními (nedefinovanými) pojmy bod, přímka a rovina; primitivní relace jsou relace incidence (náležení), uspořádání („být mezi") a shodnosti. Pro každou z těchto relací je formulováno několik axiómů, dále pak axiómy rovnobežnosti a spojitosti. Eukleidovy nevyslovené axiómy se týkají hlavně uspořádání a spojitosti. Typický axióm uspořádání je např.: • Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je mezi zbylými dvěma. Tento požadavek nám mj. říká, že přímka není uzavřená křivka, což ze samotného postulátu (ii) nevyplývá. V důsledku je možné body na přímce uspořádat (a sice dvojím způsobem) a toto 2. Shrnutí a výhledy 9 uspořádání je úplné. Uvědomte si, že teprve po této přípravě je možné uspokojivě definovat pojem (Ei> úsečky. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem: • Pro libovolný rozklad bodů na přímce do dvou neprázdných podmnožin takových, že žádný bod jedné podmnožiny neleží mezi žádnými dvěma body druhé podmnožiny, platí: existuje bod v jedné z těchto podmnožin, který leží mezi každým bodem této podmnožiny a každým bodem druhé podmnožiny. V řeči uspořádání a tzv. Dedekindových řezů lze předchozí formulaci zjednodušit takto: • Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". 2 Shrnutí a výhledy 2.1 Shrnutí Eukleidovská geometrie je axiomatická teorie vyhovující výše zmíněným skupinám axiómů. Axiómy eukleidovské geometrie mohou být zvoleny různě, my se odkazujeme výhradně na systém Hilbertův. Následující formulace jsou poměrně volné a tudíž nepřesné; rozumná upřesnění lze najít např. v [Co, Ha, Sek]. Pokud se pozorně probíráme základy eukleidovské geometrie, zjišťujeme, že některé definice a tvrzení jsou nezávislé na některých axiómech nebo skupinách axiómů. Např. prvních 28 tvrzení v I. knize [Eu] nezávisí na axiómu rovnobežnosti — o těchto říkáme, že patří do tzv. absolutní (nebo neutrální) geometrie. Typickým příkladem je např. věta o vnějším úhlu v trojúhelníku. Na druhé straně, podstatná skupina poznatků a pojmů na axiómu rovnobežnosti závisí, ale je možné je vyvodit bez axiómů shodnosti — o těchto říkáme, že patří do geometrie afinní. Např. pojem středu úsečky je kupodivu afinní. Mezi známá tvrzení elementární geometrie, která jsou ve skutečnosti afinní, patří např. Menelaova věta. Další studovanou geometrií je geometrie projektivní. Ta je vymezena téměř výhradně axiómy incidence — z loňska připomínáme, že v projektivní geometrii neplatí axióm rovnobežnosti (každé dvě přímky, které leží v jedné rovině, se protínají), ani axiómy uspořádání (projektivní přímka je uzavřená). Známá věta projektivní geometrie je např. věta Desarguesova. Letos se budeme věnovat především geometriím eukleidovským, afinním a projektivním. Musíme však aspoň zmínit geometrie neeukleidovské, jež jsou známé tím, že v nich neplatí axióm rovnobežnosti. To znamená, že k dané přímce daným bodem prochází buď více rovnoběžek (hyperbolická geometrie) nebo žádná rovnoběžka (eliptická geometrie). Axiómy popisující hyperbolickou geometrii jsou stejné jako pro eukleidovskou geometrii, akorát axióm rovnobežnosti je nahrazen jeho negací. V eliptické geometrii neplatí axiómy uspořádání. Bereme-li eukleidovskou geometrii jako výchozí, můžeme předchozí diskuzi ve velkých uvozovkách shrnout takto: • absolutní geometrie je eukleidovská geometrie bez rovnobežnosti, • afinní geometrie je eukleidovská geometrie bez shodnosti, • projektivní geometrie je eukleidovská geometrie bez shodnosti, rovnobežnosti a uspořádání, • eliptická geometrie je eukleidovská geometrie bez rovnobežnosti a uspořádání, 11.29 = 29. věta v i. knize [Eu] 10 I. Úvod • hyperbolická geometrie je eukleidovská geometrie s více rovnoběžkami. Kromě toho můžeme v podobné zkratce říct, že • absolutní geometrie je průnikem eukleidovské a hyperbolické geometrie, • eukleidovská geometrie je afinní geometrie se shodností, • eliptická geometrie je projektivní geometrie se shodností, • apod. Ke všem těmto reformulacím máme několik dobrých důvodů. Jednak chceme naznačit, že jedna a táž věc lze nahlížet různými způsoby, jednak si připravujeme půdu pro následující výklad. 2.2 Výhledy V tomto kurzu budeme geometrii studovat tzv. analyticky, lépe řečeno algebraicko-analyticky. Počátky této metody jsou spojovány se jménem R. Descarta (kolem 1637), jehož hlavním přínosem byla aplikace algebry k řešení geometrických úloh. Mělo by však být zřejmé, že se nemohlo jednat o analytickou geometrii, jak ji chápeme dnes!2 S průměrnou znalostí lineární (vektorové) algebry budeme umět velmi pohodlně interpretovat všemožné geometrické definice a vztahy: • Struktura afinního prostoru na jakékoli množině je určena zobrazením, které dvěma bodům přiřazuje vektor. Všechny tyto vektory tvoří vektorový prostor, kterému budeme přezdívat zaměření afinního prostoru. Takto se rychle dostaneme ke všem základním pojmům afinní geometrie, zejména k pojmu rovnobežnosti. • Projektivní prostor lze vždy chápat jako afinní prostor rozšířený o „body v nekonečnu". Body projektivního prostoru budeme reprezentovat vektory z tzv. zastupujícího vektorového prostoru, který obsahuje zaměření afinního prostoru (a je o jednu dimenzi větší). • Obecný eukleidovský prostor je afinní prostor vybavený eukleidovskou metrikou, což je metrika kompatibilní s afinní strukturou — ta nám definuje relaci shodnosti. Eukleidovská metrika je určena skalárním součinem na zaměření. Výhodou této algebraizace geometrie je zejména to, že většinu věcí budeme umět formulovat jednotně pro prostory libovolné dimenze. Z pochopitelných důvodů budeme postupovat induktivně (geometrie na přímce, v rovině, v prostoru), finální definice, věty a jejich zdůvodnění však budou zpravidla univerzální. Další výhody algebraického přístupu bychom měli pozorovat při klasifikaci geometrických zobrazení. Všechny shodnosti eukleidovského prostoru tvoří grupu, tato je podgrupou grupy (bijektivních) afinních transformací, jež je zase podgrupou grupy (bijektivních) projektivních transformací, apod. Každou z těchto grup budeme umět interpretovat jako jistou maticovou grupu tak, že právě zmíněné inkluze se stanou víc než názornými. Právě pojem transformační grupy a její role při organizaci geometrických informací velmi ovlivnil pohled na geometrii a její další vývoj. Hlavními propagátory tohoto přístupu byli F. Klein a S. Lie (kolem 1872). V tomto duchu je ta či ona geometrie zcela charakterizována grupou odpovídajících geometrických transformací. 2V té době stále nebyla vynalezena reálná čísla... 3. Předpoklady a cíle 11 2.3 Poznámky Objev významu afinní geometrie (včetně tohoto pojmenování) je přisuzován L. Eulerovi (kolem 1748). Jako samostatná disciplína se začala afinní geometrie utvářet až po akceptování výše zmíněného Kleinova programu a úplně zdomácněla zejména díky vlivu H. Weyla (kolem 1923). Úplné pochopení absolutní a neeukleidovské geometrie (kolem 1830) představuje jedno z nej-zajímavějších dobrodružství v historii matematiky a je zásluhou J. Bolyaie, N.I. Lobačevského a C.F. Gausse. Několik poznatků projektivní geometrie bylo známo již ve starověku, např. Pappova věta (kolem 400). Další postřehy přidávali malíři během renesance díky studiu perspektivy a tato etapa byla završena pracemi G. Desarguese a B. Pascala (kolem 1640). K dalšímu, tentokrát bouřlivému, rozvoji projektivní geometrie došlo v 19. století díky pracím V. Ponceleta, J.D. Gergonna, J. Steinera a dalších. Ve stejném století se vyvinuly algebraické techniky, které se ukázaly být pro geometrii velmi přínosné a které budeme používat i my (soustavy lineárních rovnic, determinanty a matice). První vícerozměrné geometrické objekty byly studovány A.F. Môbiusem, J. Plůckerem a W.R. Hamiltonem (kolem 1830). Později se také zrodil pojem obecné grupy, jež F. Kleinovy dovolil klasifikovat geometrie podle odpovídajících grup transformací. Je zajímavé, že ve stejné době (kolem 1872) se objevují první přesné definice reálných čísel, a to díky G. Cantorovi (pomocí posloupností racionálních čísel) a R. Dedekindovi (pomocí již zmiňovaných řezů). V uvedeném přehledu vývoje geometrie jsme zdůraznili pouze několik proudů, které se týkají tohoto kurzu. Ucelenější výklad lze najít např. v poslední kapitole II. dílu [Sek]. Viz též stručné, ale výstižné, pojednání [Ha2]. 3 Předpoklady a cíle 3.1 Předpoklady Předpokládáme rozumný přehled školské a konstrukční geometrie zahrnující zejména následující témata: • klasická konstrukční geometrie v rovině a v prostoru, • průniky a vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru, • konstrukce kolmice, určení vzdáleností a odchylek, • přehled geometrických zobrazení a jejich vlastnosti. Kromě toho potřebujeme uspokojivé dovednosti z algebry, hlavně té lineární. To mj. znamená, že ovládáme následující tématické okruhy: • grupy, podgrupy a jejich homomorfizmy, • vektorové prostory a podprostory, lineární zobrazení, • soustavy lineárních rovnic, • matice a determinanty, • skalární součiny apod. Pokud výslovně neuvádíme něco jiného, všechny vektorové prostory jsou uvažovány nad tělesem reálných čísel R. 12 I. Uvod 3.2 Cíle Chceme co nejvíc zužitkovat nabyté algebraické znalosti na pokud možno zajímavé skupině geometrických problémů. Typické úlohy, které chceme umět (algebraicky) řešit, zahrnují např.: • pro dva podprostory v obecném afinním prostoru určit jejich vzájemnou polohu, • pro dva podprostory v obecném eukleidovském prostoru rozhodnout, zda jsou kolmé, • dále určit jejich vzdálenost včetně nějaké dvojice bodů, v nichž se tato vzdálenost realizuje, • podobně pro odchylku..., • aspoň trojím způsobem určit objem daného mnohostěnu, • určit bod, který je souměrný k danému bodu podle daného podprostoru, • určit transformační rovnice souměrnosti podle daného podprostoru, • z daných transformačních rovnic rozpoznat typ a určující prvky odpovídajícího zobrazení, • složit dvě geometrická zobrazení a určit typ výsledného zobrazení, • určit společnou příčku čtyř mimoběžek, • apod. Kromě řešení těchto konkrétních problémů bychom se také měli umět zorientovat v geometrických zobrazeních a klasifikovat geometrie v Kleinově duchu. Jistou nápovědu lze najít v následujícím schématu (šipky naznačují inkluze odpovídajících transformačních grup). Obrázek 3.2: Hierarchie geometrií, o nichž se zmiňujeme v tomto textu. KAPITOLA I I Afinní a projektivní geometrie Afinní struktura na množině je zobrazení, které dvěma prvkům dané množiny přiřazuje vektor a splňuje nějaké přirozené požadavky. Toto je klíčový trik, který nám umožňuje překládat mnoho geometrických problémů do vektorové (lineární) algebry. Typickými úlohami afinní geometrie je určování vzájemné polohy podprostorů v afinním prostoru nebo konstrukce příček. Do hájemství afinní geometrie patří také konvexní geometrie, barycentrické souřadnice apod. Projektivní geometrie je rozšířením té afinní o nevlastní prvky, tzn. „body v nekonečnu". Projektivní popis má své výhody i specifika, kterým se věnujeme na konci této kapitoly. Výhod projektivního rozšíření si budeme užívat zejména v kapitole IV. 4 Afinní prostory a podprostory 4.1 Postřehy Ústředním pojmem afinní geometrie je rovnobežnosť. První kritérium rovnobežnosti přímek je znázorněno na obr. 4.1(a). To je přímým důsledkem tvrzení 1.27 a 1.29 v [Eu] a rovnoběžnost je zde charakterizována pomocí shodnosti úhlů. a 8 Obrázek 4.1: Kritérium rovnobežnosti přímek: (a) a || b ^=^> a — (3, (b) a || b ^=4> u a v jsou kolineární. V úvodu jsme slibovali, že afinní geometrii vybudujeme zcela bez pojmu shodnosti, a to algebraicky pomocí vektorů. V tomto duchu je rovnoběžnost přímek ekvivalentní s tím, že jejich odpovídající směrové vektory jsou lineárně závislé, viz obr. 4.1(b). Přitom si zejména všímáme, 13 14 II. Afinní a projektivní geometrie že každé dva body a a b jednoznačně určují nějaký vektor, který značíme ab. Toto přiřazení není jen tak ledajaké, ale má následující vlastnosti: (a) libovolný bod a a libovolný vektor u jednoznačně určuje (koncový) bod b tak, že platí a~ě = u, (b) pro libovolné body a, b a, c platí: JĚ + bÓ = JO. 4.2 Obecná definice afinního prostoru Předchozí pozorování jsou základem k obecné definici abstraktní afinní struktury. Definice. Afinní prostor je neprázdná množina a spolu se zobrazením a x a do nějakého vektorového prostoru v (dvěma bodům a a b se přiřazuje vektor ab), které má výše uvedené vlastnosti (a) a (b). Vektorový prostor v se nazývá zaměření afinního prostoru a a značí se ~a*. A Obrázek 4.2: Axiomy obecné afinní struktury a x a —>• v: (a) pro libovolné a e a, u e v existuje jediný b e a takový, že aě — u, (b) pro libovolné a,b,c e a platí: aě + bc = aô. Vlastnost (a) nám asociuje zobrazení a x v —>• a, které lze interpretovat jako „umístění volného vektoru". Koncový bod b symbolicky píšeme b = a + u. Odtud vektor u — aě často formálně zapisujeme jako u = b-a. Všimněte si, že pro libovolný bod a e a je předpisem (Ei> určeno zobrazení v —>• a, které je bijektivní.1 Proto dimenzí afinního prostoru a rozumíme 4. Afinní prostory a podprostory 15 dimenzi jeho zaměření V. Afinní prostor dimenze 0 se nazývá triviální, afinní prostor dimenze 1, resp. 2, se přezdívá afinní přímka, resp. rovina. Zobrazení Ax V —>• A můžeme také interpretovat jako akci (komutativní grupy) V na množině A: pro libovolný vektor u e V je odpovídající transformace A —>• A právě „posunutí o vektor u". Vzhledem k terminologii v podkap. 24 můžeme naši původní definici zestručnit takto: Definice (ekvivalentní). Afinní prostor se zaměřením V je neprázdná množina A, na níž V působí efektivně a tranzitivně; přitom V je vektorový prostor uvažovaný jakožto komutativní grupa. 4.3 Další příklady O (1) Tzv. kanonický afinní prostor se zaměřením V je právě V, akorát zapomeneme na význačný prvek (kterým je nulový vektor). Přesněji, uvažujeme A:—V spolu se zobrazením V xV —>• V daným rozdílem vektorů: uv :— v — u. (2) Prostor řešení soustavy lineárních rovnic je buď prázdná množina nebo afinní prostor. (Jaká může být jeho dimenze, máme-li r rovnic a n neznámých?) (3) Další přirozené netriviální příklady známe z matematické analýzy, viz např. prostory řešení lineárních diferenciálních rovnic. (4) Různé podivně vyhlížející konstrukce necháváme na cvičení. V dalším textu standardním afinním prostorem dimenze n míníme právě kanonický afinní prostor se zaměřením V — Rn. 4.4 Afinní podprostory, průniky, součty a obaly Body, přímky a roviny jsou afinní podprostory v trojrozměrném afinním prostoru. Obecně: Definice. Neprázdná podmnožina afinního prostoru A, která je sama afinním prostorem, se nazývá afinní podprostor. Jak je dobrým zvykem u podobných definic, ve vedlejší přívlastkové větě nevyslovujeme dodatek „vzhledem ke zděděné afinní struktuře". Uvědomte si, co to přesně znamená. V je dáno předpisem B ^ AĚ . Tato pozorování stojí za jinými (ekvivalentními) definicemi afinního prostoru, jež lze najít v literatuře, viz např. [Sek, str. 19 v i. díle]. 2 Dimenze nadroviny v A je o 1 menší než dimenze A. 16 II. Afinní a projektivní geometrie ale určitě ne obráceně! Nejjednodušší protipříklad můžeme vydedukovat z obr. 4.1: rovnoběžné přímky mají stejná zaměření. Toto pozorování motivuje obecnou definici rovnobežnosti, viz podkap. 7. Afinní podprostor je jednoznačně určen svým zaměřením a nějakým bodem, jímž prochází; píšeme B = B+ U := {B+ u:ueU}, (4.1) kde B je nějaký bod a U — 1$ je vektorový podprostor v A*. Ke způsobům vyjádření afinních podprostorů se vrátíme v podkap. 6. Pokud je průnik afinních podprostorů B a C neprázdný, pak je to opět afinní podprostor a zřejmě platí (Bnc) = ^n~íf. Sjednocení afinních podprostorů však nemusí být podprostorem. Nejmenší afinní podprostor, který obsahuje B U C, se nazývá součtem a značí se B + C. Přitom platí (B + C) = + 1? + {BČ), (4.2) kde B e B a C e C jsou libovolné body a součet na pravé straně je součtem vektorových podprostorů. Pozor: Sčítanec (BÓ) v (4.2) nelze obecně vynechávat! Rozmyslete si na konkrétních příkladech, kdy je naopak nadbytečný (tzn. kdy je B Ô G Definice součtu podprostorů je speciálním případem tzv. afinního obalu: Definice. Afinní obal neprázdné podmnožiny X C A je nejmenší afinní podprostor v A, který obsahuje X. O bodech A\,..., Ak G A říkáme, že jsou v obecné poloze, pokud má afinní obal množiny {Ai,... ,Ak} dimenzi k — 1. Na body v obecné poloze se budeme celkem často odvolávat; uvedená definice je zřejmě ekvivalentní tomu, že vektory AiA2,... Ai,Ak-i jsou lineárně nezávislé. Obrázek 4.3: Průnik a součet afinních podprostorů: aDb — C,C + D — b, a + C — a, a + D — p, a + p — p, a O p — a, ... (Ei> Z definicí, předchozích pozorování a špetky samostatného uvažování vyplývá: Věta. Uvažme neprázdnou podmnožinu B v afinním prostoru A. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: • podmnožina B C A je afinním podprostorem, 5. Afinní zobrazení a afinní geometrie 17 • podmnožina {XY :I,ľefí}C A je vektorovým podprostorem, • existuje bod B e A a vektorový podprostor U C ~A* tak, že B — B + U, • pro libovolné různé body B,C e B platí, že také celá přímka B + C patří do B. 4.5 Cvičení O Rozhodněte, zda následující podmnožiny jsou afinní podprostory; pokud nejsou, určete jejich afinní obaly: (1) nějaký interval v M1, dva body v M2, kolobežka v M3, dvě mimoběžné přímky v M4, sjednocení všech příček dvou mimoběžek v M4 apod., (2) celočíselná řešení rovnice x + y + z — 5 (o třech neznámých) v prostoru všech jejích řešení, (3) konstantní funkce v prostoru řešení diferenciální rovnice y" — Ay' + by — 10. 5 Afinní zobrazení a afinní geometrie 5.1 Úvod Dobře známé (a v jistém smyslu základní) afinní zobrazení je rovnoběžné promítání nebo osová afinita. Obecná definice afinního zobrazení, kterou známe z konstrukční geometrie, vypadá takto: Definice. Zobrazení mezi afinními prostory se nazývá afinní, pokud (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachovává rovnoběžnost přímek, (c) zachovává dělicí poměr bodů na přímce. Bijektivní afinní zobrazení se jmenuje afinita. Kolineární body jsou body, které leží na jedné přímce, tedy také body splývající. Podmínka (b), resp. (c) tedy má smysl pouze v případě, kdy se různé kolineární body nezobrazí do jednoho bodu. Z (a) a (c) plyne, že afinní zobrazení zobrazuje přímky na přímky, resp. na body (tedy nikoli např. na úsečky). Předchozí tři podmínky nejsou úplně nezávislé: • za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) ekvivalentní. • A', který známe, si můžeme povšimnout, že / indukuje zobrazení mezi zaměřeními ~^ : —>• ~A*', a to tak, že ?(u) = f(A)f(B), kde u = AB. (5.4) Uvědomte si, že vektor u může být reprezentován nekonečně mnoha dvojicemi bodů. To, že je tímto předpisem vůbec dobře definováno zobrazení, je přímým důsledkem vlastností (a)-(c) z definice 5.1. Odtud také plyne, že indukované zobrazení ~f není jen tak ledajaké, ale je lineární. Právě tato pozorování vysvětlují, proč je následující definice ekvivalentní s definicí 5.1. 5. Afinní zobrazení a afinní geometrie 19 c • Obrázek 5.5: Afinní zobrazení indukuje lineární zobrazení mezi zaměřeními. Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi afinními prostory / : A —>• A' se nazývá afinní, pokud existuje lineární zobrazení mezi zaměřeními ~f* : A* —>• A*' tak, že pro libovolné body A, B e A platí (5.4). Bijektivní afinní zobrazení se jmenuje afinita. Jako je lineární zobrazení homomorfizmem vektorových prostorů, je afinní zobrazení homo-morfizmem afinních prostorů. Jinými slovy můžeme afinní zobrazení definovat jako zobrazení mezi afinními prostory, které zachovává afinní strukturu. Tato, příp. předchozí definice pouze vysvětluje, co to přesně znamená. a*a--> <^ *a b -v ~> & Obrázek 5.6: Zobrazení / je afinní, pokud /* existuje, je lineární a diagram komutuje. Afinní zobrazení / jednoznačně určuje lineární zobrazení ~f, avšak tato korespondence není vzájemně jednoznačná — stačí si uvědomit, že indukované lineární zobrazení ke každému posunutí A + vl je identické zobrazení. Obecněji dvě afinní zobrazení indukují jedno a to samé lineární zobrazení A — 0+ fei -e2. Jeden bod může (ale nemusí) mít v různých afinních repérech různé souřadnice. Pokud známe — n — r. Věta. Podmnožina B v afinním podprostoru A dimenze n je afinním podprostorem dimenze k právě tehdy, když souřadnice všech bodů patřících do B tvoří množinu všech řešení nějaké soustavy n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic o n neznámých. Speciálně, k vyjádření bodu je potřeba n nezávislých rovnic a jednou rovnicí je popsána nadrovina. Podprostor dimenze k lze vždy chápat jako průnik n — k nadrovin. 6.5 Jak určit rovnicové vyjádření z parametrického? Nejrychlejší je samozřejmě výsledek uhodnout: 6. Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů 25 Obrázek 6.13: Několikeré vyjádření téže přímky: p — pDa — pOr — tDv... (1) Je dáno parametrické vyjádření nějakého podprostorů B. Hledáme takovou lineární kombinaci neznámých Xj, která by současně eliminovala všechny parametry tj. Výsledkem takové kombinace je jen nějaká konstanta a máme první rovnici. Pokud je dim£> — k, potřebujeme tento krok opakovat (n — fc)-krát, ovšem nezávisle na předchozích krocích! Tato metoda se dá považovat za použitelnou pouze pro málorozměrné podprostory, zejména pro přímky: eliminovat jeden parametr n — 1 nezávislými způsoby je vždy možné a snadné... Pokud předchozí postup selhává, existují univerzální metody, jak rovnicové vyjádření vždy najít; zmíníme několik osvědčených nápadů. (2) Podle zdůvodnění věty 6.4 stačí najít homogenní soustavu rovnic popisující zaměření U — ~$. Stačí si tedy vzpomenout, jak se tento problém v algebře (algoritmicky) řešil... vektor BX je lineární kombinací vektorů ui,..., Ufc ^=^> vektory BX, ui,..., Ufc jsou lineárně závislé ^=^> mezi vektory B]t, u1;..., ufc je právě k nezávislých ^=^> hodnost matice tvořené souřadnicemi vektorů B~Ít, u1;..., ufc vzhledem k nějaké (libovolné) bázi je právě k ^=4> všechny subdeterminanty řádu k + í vybrané z této matice jsou nulové. Tyto ekvivalence motivují následující dva návody: (3) Vytvoříme po sloupcích matici ze souřadnic vektorů BX, ui,..., Ufc vzhledem k nějaké bázi (matice má n řádků a k+í sloupců, jenom v prvním sloupci se objevují neznámé). Řádkovými úpravami upravíme matici do schodovitého tvaru, kde hodnost matice interpretujeme jako počet nenulových řádků, a ten má být k. Právě n — k posledních řádků má tedy být nulových, což dává soustavu n — k lineárních rovnic, které by automaticky měly být nezávislé. (4) Z matice tvořené souřadnicemi vektorů BX, ui,..., vybíráme submatice řádu k+í, spočítáme determinanty a tyto položíme rovny 0. Dostáváme soustavu lineárních rovnic, z nichž můžeme podle libosti vybrat n — k nezávislých. V učebnici [HoJa] je na stranách 26-27 představena ještě jiná univerzální metoda. Tato je v podstatě ekvivalentní výše uvedenému návodu (3), nicméně doporučujeme porovnat. Postup zmiňovaný v (4) je vhodný zejména v případech podprostorů malé kodimenze. Zejména, je-li popisovaný podprostor nadrovina, tj. k — n — 1, je matice zmiňovaná v (4) čtvercová řádu n — k + í. Rovnice nadroviny je tedy určena determinantem celé této matice. 6.6 Různá další vyjádření Často lze potkat vyjádření afinních podprostorů, jež vypadají odlišně od výše uvedených. Ať už vypadají jakkoli, vždy jsou ekvivalentní některému z dříve diskutovaných popisů. Různá vyjádření mají různé výhody, pro představu uvádíme běžně používaná rovnicová vyjádření přímky v rovině (viz obr. 6.14): • obecná rovnice: ax + by + c — 0, • směrnicová rovnice: y — kx + q, • úseková rovnice: - + 21 — 1. p q Směrnicovou ani úsekovou rovnicí nelze popsat všechny přímky v rovině; konkretizujte tato ome-(Ei> zení. Uvedená vyjádření a jejich interpretace mají zřejmé analogie pro roviny v prostoru, příp. nadroviny v prostoru obecné dimenze... Obrázek 6.14: [Rek] Interpretace konstant z různých rovnicových vyjádření přímky v rovině; ke druhému obrázku je třeba doplnit k — tan (p. 7. Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 27 6.7 Cvičení (1) Vzhledem k nějakému afinnímu repéru v nějakém trojrozměrném afinním prostoru jsou dány body: A =[1,1,0], B = [4,1,3], C =[1,0,1]. Určete dimenzi a rovnicové vyjádření afinního obalu množiny {A}, {A, B}, resp. {A, B, C}. (2) Je dáno parametrické vyjádření afinního podprostorů B C M4: Xi — 3íi — 5t2 — 2Í3, X2 — 1 + t2 + Í3; ^3 — 4 — íl + Í2; ^4 — 5, kde íi,Í2,Í3 G K. Určete dimenzi S a najděte nějaké jiné parametrické vyjádření tohoto podprostorů. Dále ukažte, že soustavou lineárních rovnic {xi + 2x2 + 3x3 = 0, X4 — 0} je popsáno zaměření ~Š a najděte aspoň tři různá rovnicová vyjádření podprostorů B. (3) Vyzkoušejte všechny návody určení rovnicového vyjádření, jež jsou uvedeny v odst. 6.5, např. na podprostorech z předchozích úloh. Porovnejte výsledná vyjádření. (4) Všimněte si, že nikde neklademe otázku • „Jak najít parametrické vyjádření z rovnicového?" Zformulujte nějakou vlastní odpověď a doplňte vhodný příklad. (5) Ukažte, že přímka v prostoru obecné dimenze procházející body A = [ai,a2,...] a, B — [bi, b2, ■ ■ ■ ] má rovnicové vyjádření xi —ai x2 — a,2 bi —ai b2- a2 7 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 7.1 Vzájemné polohy podprostorů Incidence a různoběžnost jsou množinové pojmy, afinní strukturu potřebujeme zejména k pojmu rovnobežnosti. První postřehy k abstraktní definici rovnobežnosti jsme měli již v odst. 4.4. Definice. Afinní podprostory B a C v afinním prostoru A jsou: • incidentní, pokud B Q C nebo C Q B, • různoběžné, pokud nejsou incidentní a mají neprázdný průnik, • rovnoběžné, pokud jejich zaměření jsou incidentní, tj. nebo • mimoběžné, pokud nejsou incidentní, ani různoběžné, ani rovnoběžné. Takto definované pojmy vymezující vzájemnou polohu podprostorů jsou téměř komplementární; jedinou výjimkou je 28 II. Afinní a projektivní geometrie • incidentní rovnoběžné. Chceme-li tento případ vyloučit, můžeme doplnit • rovnoběžné různé, což znamená rovnoběžné, ale ne incidentní. Mimoběžné podprostory, jejichž zaměření mají netriviální průnik, se někdy nazývají částečně rovnoběžné. V trojrozměrném afinním prostoru částečně rovnoběžné prostory nejsou. Všimněte si, že přímo z definice plyne následující podivnost, která nás zpravidla moc zajímat nebude, ale měli bychom si jí být vědomi: • Pokud je B bod nebo A, pak B je rovnoběžný s libovolným jiným podprostorem C Q A. Obrázek 7.15: Vzájemné polohy afinních podprostorů. Ještě zformulujeme jedno pomocné tvrzení, které již máme částečně rozmyšleno v souvislosti s rovností (4.2). Věta. Uvažme afinní podprostory B,C C A a libovolné body B e B a C e C. Potom platí: B a C mají neprázdný průnik právě tehdy, když BÓ e Pokud je průnik neprázdný a D e B n C je nějaký společný bod, pak B — D + vl&C — D + w pro nějaké vektory u e B ave ~Z. Odtud BC = v-ue^ + Í Naopak, je-li BÓ e ~É + ~Č, lze vektor B& napsat jako B& = v - u pro nějaké u e t a v e C. Odtud plyne C — v — B — u, tzn. bod B — u e B je roven bodu C — v e C, tudíž Bnc^č). □ Všichni dobře víme, že mimoběžné podprostory v M3 mohou být jedině přímky. Analogické pozorování umíme dokázat v mnohem obecnější podobě, viz důsledek (2) níže. Odtud plyne, že nadroviny v obecném afinním prostoru nejsou nikdy mimoběžné s žádným jiným podprostorem; pokud jsou zrovna různoběžné, okamžitě víme, jaká musí být dimenze průniku, viz (3). Do série ještě zařazujeme poznatek (1); afinní podprostory, jejichž zaměření jsou komplementární nazýváme taky komplementární, příp. říkáme, že jeden je doplňkem druhého. Všechna tři následující tvrzení plynou přímo z definic, rovnosti (7.7) a předchozí věty — najděte si nějaká jejich (Ei> zdůvodnění! 7. Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 29 Obrázek 7.16: £ n C ^ 0 <^=> Šč5 e ^ + " n C) — dim£> — 1. 7.2 Jak určit vzájemnou polohu podprostorů? Optimální odpověď závisí na konkrétním zadání úlohy. Nejpřirozenější je asi rovnou začít s hledáním společných bodů, resp. směrů daných podprostorů, tzn. s vyjádřením průniku, resp. průniku zaměření. Odtud lze vždy rozhodnout, jaká je jejich vzájemná poloha. Dále si všimneme, že k určení vzájemné polohy stačí znát pouze dimenze vhodných podprostorů a nikoli podprostory jako takové. Pro úplnost ještě doplníme charakterizaci pomocí součtů. Na zahřátí uvádíme celkem zřejmou charakterizaci incidence pomocí průniku, resp. součtu: BCC^BnC = B^B + C = C. Stejné ekvivalence samozřejmě platí také pro zaměření. Z lineární algebry si v této souvislosti potřebujeme připomenout, že dimenze průniku a součtu vektorových podprostorů jsou spolu úzce svázány, a to následujícím způsobem: dim(^ n ~Č) + dim(^ + ~Č) = dim ~É + dim ~Č. (7.7) Průnik Vzájemnou polohu podprostorů B, C C A je vždy možné jednoznačně určit podle jejich průniku Bí~\C a průniku zaměření (uvědomte si, že pokud Bľ\C ^ 0, pak např. B C C je ekvivalentní s ~Š C t): • B n C ^ 0: 30 II. Afinní a projektivní geometrie nebo c <í=4> incidentní, - ~Š n t ^ ~Š ani ~Č ^=4> různoběžné, • b n c = 0: nebo C <í=4> rovnoběžné různé, - ~Š n ^ 7^ ^ ani ~Č ^=4> mimoběžné. Bez ohledu na způsob vyjádření daných podprostorů (parametricky/rovnicemi) většinou potřebujeme k určení jejich průniku, reps. průniku jejich zaměření, řešit soustavu lineárních rovnic. Po obvyklých úpravách (myslíme ekvivalentní úpravy vedoucí ke schodovitému tvaru) postupně pozorujeme: (1) zdaje soustava řešitelná nebo ne (tj. zdaje průnik neprázdný nebo prázdný), (2) pokud je řešitelná, tak podle počtu nezávislých rovnic a počtu neznámých usuzujeme, kolik budeme potřebovat volných parametrů k explicitnímu vyjádření řešení (tj. jaká bude dimenze průniku), (3) pokud je soustava řešitelná, tak ji dořešíme a vyjádříme řešení (tj. popíšeme explicitně průnik). Uvědomte si, že počítání průniku b n C a průniku zaměření lze vždy realizovat současně: (íg> máme-li soustavu lineárních rovnic odpovídající b n C, pak soustava popisující je pravé předchozí soustava, akorát homogenizovaná (tzn. na pravé straně jsou nuly)! Z uvedeného je také patrné, že k určení vzájemné polohy podprostorů úplně stačí absolvovat krok (2), kdy známe dimenzi průniku, resp. průniku zaměření. Krok (3) je nutné dopočítat v případě, že nás kromě vzájemné polohy zajímají také společné body/směry daných podprostorů. Součet Vzhledem k úvodním rozvahám může být předchozí charakterizace vzájemných poloh podprostorů přepsána také následovně: nebo B <í=^> incidentní, - ~$ + ~Č ^ ~Č ani ~Š ^=^> různoběžné, nebo B <í=^> rovnoběžné různé, - ~$ + ~Č ^ ~Č ani ~Š ^=^> mimoběžné. Odtud plyne následující způsob určení vzájemné polohy podprostorů, který je vhodný asi hlavně v případě, kdy jsou oba podprostory zadány parametricky: B = B+(ult...) aC = C+(v1;...). Sestavíme matici ze souřadnic generujících vektorů ui,..., vi,..., kterou ještě rozšíříme o vektor bÓ. Po obvyklých úpravách (pozor: nesmíme míchat se sloupcem/řádkem, který původně obsahoval B Ó) postupně určíme: 7. Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy 31 (1) jaká je hodnost matice sestavené z generujících vektorů (tj. jaká je dimenze součtu (2) zda je hodnost matice rozšířené stejná nebo větší (tj. zda se afinní podprostory protínají či nikoli). Poznámky Uvědomte si, že právě uvedený návod je pouze jinou interpretací návodu předchozího: Matice, se kterou tady pracujeme, je (až na formu zápisu a nějaká znaménka) totožná s maticí soustavy pro počítání průniku, již jsme zmiňovali výše. Přitom pojem hodnosti matice nezávisí na tom, zda matici čteme po sloupcích nebo po řádcích! Navíc, porovnáme-li krok (2) u tohoto návodu z krokem (1) návodu předchozího, nemůžeme si nevzpomenout na Frobeniovu větu o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Tato naše pozorování představují alternativní (souřadnicový) důkaz TČ) = dim(^ + ~Z + BÔ) > dim(É + ~Č) > max(dim~^,dim~čf). Pokud kvůli stručnosti označíme tato tři čísla tak, že o > n > m, pak předchozí klasifikace vzájemných poloh vypadá následovně: o — n — m, • různoběžné ^=^> o — n > m, • rovnoběžné různé ^=^> o > n — m, • mimoběžné ^=4> o > n > m. 7.3 Příčky Pokud jsme kdy mluvili o příčkách, pak výhradně o příčkách mimoběžných přímek. Obecně se příčkou dvou afinních podprostorů B, C C A myslí jakákoli přímka, která je s B i C různoběžná. Pro netriviální podprostory existuje vždy nekonečně hodně příček, viz obr. 7.17. Příčka bývá (ale nemusí být!) jednoznačně určena nějakou dodatečnou podmínkou, např. aby procházela daným bodem nebo aby měla daný směr. V eukleidovských prostorech budeme často hledat příčky, které jsou nejkratší možné (takové příčky se jmenují osy, viz odst. 12.1). Umění konstrukce příček k mimoběžkám (nebo jiným křivkám) má velmi podstatná uplatnění v technické praxi, viz např. [Ma]. 32 II. Afinní a projektivní geometrie Fig. 17. Obrázek 7.17: [LiSch] Ke dvěma mimoběžkám existuje oo2 různých příček. 7.4 Cvičení O (1) Určete vzájemnou polohu afinních podprostorů B,C c M4, fí= {[1,2,0,0]+t(0, 0,1,1)}, C = {[-l,0,2,0]-Mi(-l,0,2,l) + a2(l,0,-l,0)}, kde t, si,S2 G R, příp. určete jejich společné body a směry. (2) Pozměňte vhodně zadání v předchozích úlohách tak, abyste vyčerpali zbývající možné vzájemné polohy. (3) Uvažte tři přímky v M3: Pl = {[l+íi,l,íi]}, P2 = {[l+í2,-l,-í2]}, P3 = {[0,í3,í3]}- Ukažte, že tyto přímky jsou navzájem mimoběžné, a řešte následující úlohy: • určete příčku pi a p2, která prochází bodem B — [0,0,0], • určete příčku pi a p2, která prochází obecným bodem na p$, • představte si všechny společné příčky těchto tří mimoběžek. (4) Pro tutéž trojici přímek řešte následující: • určete příčku pi a p2, která má směr u — (1,1,0), • určete nějakou jinou příčku pi a p2, která je rovnoběžná s rovinou p — {x — y — 0}, • představte si všechny příčky pi a p2, které jsou rovnoběžné s touto rovinou. 8. Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 33 8 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další 8.1 Relace uspořádání, úsečka Body na afinní přímce p — A + B (myšleno na libovolné přímce v libovolném afinním prostoru) jsou jednoznačně určeny hodnotami t G M z parametrického vyjádření X — A + tAB. Toto ztotožnění jsme v odst. 6.1 interpretovali jako souřadnice bodu X e p vzhledem k afinnímu repéru (A; u) na p, kde u — AÉ. Přirozené uspořádání reálných čísel nyní indukuje relaci uspořádání na přímce p: Pro C,D e p můžeme definovat • „C < D", pokud c < d, kde c, d e M jsou souřadnice těchto bodů vzhledem k repéru (A; u). Uvědomte si, že toto uspořádání závisí pouze na orientaci bázového vektoru u a nikoli na vektoru jako takovém. 0. Tato pozorování můžeme dále zobecňovat: 0}. Uvědomte si, že v uvedeném popisu je zcela lhostejné, zda určující body Ai jsou či nejsou v obecné poloze. Pokud v obecné poloze jsou, pak koeficienty (íi, t2,...) jsou ke každému bodu X z afinního obalu bodů Ai,A2,... určeny jednoznačně a nazývají se barycentrické souřadnice bodu X vzhledem k (Ai,A2,...). Jak už název napovídá, barycentrické souřadnice souvisí nějak s těžišti. Těžiště trojúhelníku ABC má barycentrické souřadnice vzhledem k trojici (A, B, C) rovny |, tj. T — |A + |£? + |C, těžiště čtyřstěnu ABC D je T= \a+-B + -C +-D (8.11) 4 4 4 4 apod. V těchto případech nemusíme rozlišovat mezi těžištěm tělesa a těžištěm hmotné soustavy sestávající ze stejně těžkých hmot soustředěných ve vrcholech. Pozor: pokud body A, B, C, D nejsou v obecné poloze, pak bod (8.11) není těžištěm čtyřúhelníku4 ABCD, ale je to těžiště bodové hmotné soustavy se stejnými váhami soustředěnými v bodech A, B, C, D\ Obecně, těžiště bodové hmotné soustavy s váhami m1,m2,... soustředěnými postupně v bodech Ai,A2,... je bod T _ miAi +m2A2 + ... m1+m2 + . .. Pokud jsou všechny váhy kladné, leží těžiště v konvexním obalu bodů Ai. • A' \ p', kde p je přímka v A, která nemá obraz v rovině A', a p' je přímka v A', která nemá vzor v A. Obrázek 9.21: Při perspektivě mezi rovinami A a, A' nemají body na, p C A obraz v A'. Pokud rozšířímejäfinní rovinu A, resp. A' právě o její nevlastní body, mluvíme^o projektivním rozšíření A, resp. A'. Diskutovaná středová projekce je tak zobrazením A —>• A' mezi rozšířenými projektivními rovinami a jedná se o velmi typické projektivní zobrazení (kterému se říká perspektiva). Všimněte si, že nevlastní body v afinní rovině reprezentujeme přímkami (příp. třídou rovnoběžných přímek) a nikoli polopřímkami. V tomto duchu má přímka právě jeden nevlastní bod a nikoli dva. Projektivní přímka R — R U {oo} je tedy něco jiného než rozšířená reálná osa (—oo, oo) — R U {—oo, oo}, jak ji známe z analýzy! 38 II. Afinní a projektivní geometrie Libovolné dva body v A (vlastní nebo nevlastní) určují přímku a každé dvě přímky v projektivní rovině se protínají v jednom bodě (vlastním nebo nevlastním). V projektivních prostorech obecně mluvíme o přímkách, rovinách apod., jejich průnicích a incidencích, nikoli však o rovnobežnosti, uspořádání a odvozených pojmech. Např. v projektivní geometrii nemáme úsečky, projektivní přímka nerozděluje projektivní rovinu na dvě části apod. E Obrázek 9.22: Na afinní přímce je bod E mezi body C a D. Na projektivní přímce nemá relace „mezi" valného smyslu. 9.2 Projektivní rozšíření a projektivní prostor Definice. Projektivní rozšíření afinního prostoru A je množina A :— A U oo_4, kde oo_4 je množina všech jednorozměrných podprostorů v zaměření A*. Prvky z A, resp. oo_4 nazýváme vlastní, resp. nevlastní body rozšířeného projektivního prostoru A. V poslední větě předchozí definice skrytě říkáme, že projektivní rozšíření afinního prostoru je projektivním prostorem. Měli bychom tedy vysvětlit, co se myslí projektivním prostorem obecně. Ten lze definovat pomocí několika málo axiómů (jež se týkají výhradně pojmu incidence), my se však spokojíme s následujícím vysvětlením. Uvažme, že afinní prostor A je pqdprostorem v nějakém větším afinním prostoru a podívejme se na A a jeho projektivní rozšíření A z nějakého (libovolného) bodu S £ A, viz obr. 9.23. Každý bod A e A určuje přímku A + S + 1. Definice. Projektivní prostor s vektorovým zástupcem W je množina všech jednorozměrných podprostorů ve vektorovém prostoru W; značíme V(W). Podmnožina všech jednorozměrných podprostorů ve W, které patří do vektorového podprostorů U C W, tvoří projektivní podprostor V(U) C V(W); dimenze V(U) je dimí/ — 1. Takto tedy chápeme projektivní rozšíření A jakožto projektivní prostor V(A+ Š) a hlavní výhodou tohoto popisu je, že na rozdíl od předchozího reprezentujeme prvky A — A U oo_4 9. Projektivní geometrie 39 Obrázek 9.23: Prvky A — A U oo_4 ztotožňujeme s přímkami v A + S, jež procházejí bodem S; přitom D e oo_4 ^=^> d || A. krásně homogenním způsobem. Ještě si všimněme, že prvky z oo_4 C A vždycky tvoří nadrovinu V(X) C T{A + Š). Naopak, pokud v obecném projektivním prostoru V(W) prohlásíme nějakou projektivní nadrovinu V (V) za množinu „nevlastních bodů", pak doplňková podmnožina V(W) \ V (V) má přirozenou afinní strukturu (se zaměřením V). Proto lze každý projektivní prostor chápat jako • W. Zobrazení F zobrazuje jakýkoli vektorový podprostor ve W na vektorový podprostor ve W, 9. Projektivní geometrie 41 '-■■JN B A' Obrázek 9.25: [Be] Ukázka z Lambertovy Perspektivy (1759) jež má stejnou dimenzi. Zejména, aplikujeme-li tento poznatek na podprostory dimenze 1, vidíme, že F určuje nějaké zobrazení mezi projektivními prostory / : V(W) —>• V(W). Tatáž úvaha pro podprostory dimenze 2 ukazuje, že / zobrazuje přímky na přímky, tudíž je / projektivní. Z bijektivnosti F navíc plyne bijektivnost /. Celkem tedy lineární izomorfismus F určuje nějakou kolineaci /. Následující věta říká, že platí také opačné tvrzení (důkaz a další podrobnosti lze najít např. v [Be, část 5.4]): Věta (Základní věta projektivní geometrie). Každá kolineace mezi projektivními prostory V(W) —>• V(W) dimenze alespoň 2 je určena nějakým lineárním izomorfismem W —>• W. Lineární zobrazení F jednoznačně určuje projektivní zobrazení /, avšak tato korespondence není vzájemně jednoznačná. Uvědomte si, jak se mohou lišit lineární zobrazení F, jež indukují • V(W) určené lineárním zobrazením F : W —>• W je zcela F l/v/ -----f v/0 v * (?(w 42 II. Afinní a projektivní geometrie definováno požadavkem, aby /(g(x)) = g'(F(x)), (9.13) kde q : W —>• V(W) (resp. g' : W —>• P(T/l/r')) je tzv. kanonická projekce, která vektoru x e přiřazuje bod X e P(T/l/r). Díky této charakterizaci je nyní jasné, jak přirozeně rozšířit definici projektivních zobrazení i v případech, kdy některý z prostorů má dimenzi menší než 2: Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi projektivními prostory / : V(W) —>• V(W) (libovolných dimenzí) se nazývá projektivní, pokud existuje lineární zobrazení mezi zastupujícími vektorovými prostory F : W —>• W tak, že pro libovolný xelf platí (9.13). (Kř> Odtud lze také vyvodit následující poznatek (sr. s důsledkem 5.2): Důsledek. Projektivní zobrazení projektivního prostoru dimenze n je určeno obrazem n + 2 bodů, z nichž žádná (n + í)-tice neleží v jedné nadrovině. Speciálně, pokud je n — 1, pak n + 2 — 3. Tzn., že obraz libovolného bodu X na projektivní přímce je jednoznačně určen obrazem 3 navzájem různých bodů A, B, C, i když nemusí být na první pohled jasné jak. Polohu X vzhledem k trojici A, B, C je možné charakterizovat reálným číslem, které je nutně (velice důležitým!) projektivním invariantem. Tímto invariantem je tzv. dvojpoměr čtyř bodů. 9.5 Dvojpoměr Dvojpoměr lze popsat celkem různorodě, viz např. [Be, kapitola 6]. Pro čtveřici (A, B, C, D) vlastních (kolineárních, navzájem různých) bodů v projektivním rozšíření nějakého afinního prostoru je dvojpoměr této čtveřice roven podílu dělicích poměrů: {AB CD) = (9.14) Definice dvojpoměru samozřejmě závisí na pořadí bodů ve čtveřici, viz cvičení 9.7. Pokud je náhodou (ABCD) — —1, říkáme o čtveřici bodů, že je v tzv. harmonickém poměru. V mezních případech vychází dvojpoměr následovně: pro A — B je (AB CD) — 1, pro A — C je (AB CD) — 0, pro B — C je (AB CD) = ±oo apod. Je-li bod D nevlastní, pak (AB D^) — lim (AB D) — 1, a proto platí D—>oo (ABCDOQ)^(ABC). Podobný vztah platí, i když je jiný bod z dané čtveřice nevlastní... Pokud je náhodou C středem úsečky AB, potom (ABCD^) — (ABC) — —1, čili čtveřice A, B, střed úsečky AB a nevlastní bod přímky AB je vždy v harmonickém poměru. 9. Projektivní geometrie 43 Homogenní formulace Vzhledem k nějakému afinnímu repéru na přímce obsahující body A,B,C a, D označíme jejich souřadnice a, b, c a d. Potom definice (9.14) pro čtveřici vlastních bodů vypadá v těchto souřadnicích takto: (ABCD) = c~a • d~a = (c-a)(d-b) c — b d — b (c — b) (d — a) Uvědomte si, že toto číslo nezávisí na volbě afinního repéru! Uvažme homogenní souřadnice na projektivním rozšíření přímky, jež jsou přizpůsobeny afinním souřadnicím stejně jako v odst. 9.3. Tzn., že homogenní souřadnice bodu A jsou (1 : a) apod. Potom zřejmě platí i 1 1 b — a — a tento zápis má tu výhodu, že nám umožní vyjádřit předchozí limitní úvahy s nevlastními body krásně homogenním způsobem. V homogenních souřadnicích je totiž D^ — lim (1 : d) — (0 : 1), takže např. (ABD^) — lim {AB D) — lim — 1 je v homogenních souřadnicích vyjádřeno jako (ABD^) 1 0 a 1 1 0 b 1 = 1. Tato pozorování vedou k následující jednotné definici dvojpoměru, v níž nerozlišujeme mezi body vlastními a nevlastními. Definice. Dvojpoměr čtveřice navzájem různých bodů na projektivní přímce s homogenními souřadnicemi A — (ao ■ ai), B — (b0 : bi), C — (cq : ci), D — (do : d\) je reálné číslo (AB CD) Co «0 do bo Cl a,i di bi Co bo d0 «0 Cl h di a,i (9.15) Uvědomte si, že stejně jako výše toto číslo nezávisí na volbě souřadné soustavy! Pokud dva oog C ooc nebo oog 2 °°C- V tomto duchu lze základní větu afinní geometrie (odst. 5.3) vyslovit následovně: • Kolineace mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů, která zobrazuje vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní), je nutně afinní zobrazení. Rovnice nadroviny Přímka v rovině určená body A — [ai, a2] a B — [bi, b2] má rovnici 1 1 1 X\ a\ bi x2 a2 b2 0. Přímka určená bodem A — [ai, a2] a směrem b — [bi, b2] má rovnici 1 1 0 x\ ai bi x2 a2 b2 Obecněji, přímka určená dvěma body v projektivním rozšíření roviny s homogenními souřadnicemi A — (ao ■ «i : «2) a B — (b0 : bi : b2) má rovnicové vyjádření x0 a,0 b0 xi ai bi x2 a,2 b2 Zdůvodnění těchto tvrzení je velmi prosté, viz obr. 9.27. Tyto poznatky lze dále zobecňovat pro (Ei> nadroviny v Rn, ale i jinak. Srovnejte výsledky s návodem (4) v odst. 6.5. Obrázek 9.27: Body A, B, X jsou kolineární právě tehdy, když vektory si, ŠÉ, Slt j lineárně závislé. sou 9. Projektivní geometrie 45 Perspektiva pro malíře Se znalostí dvojpoměru čtyř bodů umíme přesvědčivě dokázat, která čtveřice bodů na obr. 9.28 je a která naopak není projektivním průmětem čtyř ekvidistantních bodů. Všimněte si, že výsledek umíte celkem bezpečně uhodnout ještě před tím, než začnete cokoli měřit/počítat! @ Obrázek 9.28: [St] Která čtveřice boduje projektivním obrazem stejně vzdálených bodů? Předchozí úloha souvisí s problémem věrného zobrazení čtvercové dlažby a podobných běžných věcí. Na obr. 9.29 je naznačena užitečná pomůcka — horizont, což je průmět nevlastní přímky zobrazované roviny (sr. s obr. 9.21). Obrázek 9.29: [St] Perspektivní průmět čtvercového dláždění roviny. Těchto pár postřehů ve skutečnosti stačí k tomu, abychom korektně sestrojili perspektivní průmět libovolného bodu v rovině, resp. v prostoru, jsou-li dány průměty 4, resp. 5 bodů v dostatečně obecné poloze (ve smyslu důsledku 9.4). Tyto dovednosti jsme procvičovali v konstrukční geometrii s pravítkem a kružítkem, v kapitole IV naznačíme, jak řešit podobné problémy analyticky. Porovnání perspektivních snímků Potřebujeme-li sestavit větší snímek z několika dílčích, pracujeme s několika referenčními body, které se snažíme na sebe „nějak napasovat" a zbytek „nějak transformovat". Se základními znalostmi projektivní geometrie všechny neurčitosti v předchozím popisu mizí: Předpokládejme, že snímáme rovinu jako na obr. 9.30. Korespondence mezi snímkem 1 a snímkem 2 je složením dvou perspektiv, je to tedy projektivní zobrazení. Podle důsledku 9.4 je toto zobrazení jednoznačně určeno obrazem 4 bodů, z nichž žádné 3 neleží na jedné přímce. V kapitole IV se naučíme, jak toto zobrazení vyjádřit analyticky... 9.7 Cvičení O (1) Řešte některou z předchozích úloh v homogenních souřadnicích, viz např. úlohy ze cvičení 6.7 a 7.4. 46 II. Afinní a projektivní geometrie Obrázek 9.30: [Be] Pro porovnání dvou perspektivních obrazů téže roviny nám stačí obrazy 4 bodů, z nichž žádné 3 nejsou kolineární. (2) Dokažte, že pro libovolnou čtveřici kolineárních bodů platí (ABCD) = (BADC) = (CD AB) = (DC BA). (3) Dokažte, že vzhledem k označení (ABCD) — k platí (ACBD) = l-k, (ABDC) — \, ... k (4) Obecná projektivní transformace projektivní přímky má v homogenních souřadnicích následující vyjádření: f(x0 : Xi) — (kx0 + Ixi : mx0 + nx\), kde k, l,m,n G M. Dokažte, že / zachovává dvojpoměry. (5) Připomeňte si některé konstrukce zmiňované v předchozím textu, viz např. obr. 9.29. (6) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké tvrzení elementární projektivní geometrie, např. Pappovu větu. KAPITOLA I I I Eukleidovská geometrie Algebraická definice eukleidovského prostoru je taková, že je to afinní prostor s eukleidovskou metrikou, což je metrika kompatibilní s afinní strukturou. Eukleidovská metrika je určená skalárním součinem na zaměření. Pomocí skalárního součinu se definuje velikost vektoru — odtud velikost úsečky neboli vzdálenost dvou bodů. Dále pak kolmost a odchylka dvou vektorů — odtud velikost úhlu. Pojem kolmosti, vzdálenosti a odchylky poté přirozeně rozšíříme na libovolné podprostory v obecném eukleidovském prostoru. Geometrická charakterizace dvojic bodů (resp. vektorů), v nichž se vzdálenost (resp. odchylka) realizuje, zobecňuje naše poznatky z konstrukční geometrie a je založena na kolmosti, resp. kolmém průmětu. Celá kapitola končí diskuzí nad obsahy rovnoběžníků, resp. objemy obecných rovnoběžnostěnů s několika užitečnými algebraickými konstrukcemi jako je vnější a vektorový součin. 10 Eukleidovské prostory, shodná a podobná zobrazení 10.1 Úvod V eukleidovské geometrii dominuje — vedle rovnobežnosti — pojem shodnosti. Chceme tedy analyticky interpretovat shodnost, což v prvé řadě znamená shodnost úseček a úhlů. Vzhledem k tomu, s jakou oblibou používáme reálná čísla, budeme přiřazovat úsečkám a úhlům jejich velikosti a prohlásíme, že • úsečky, resp. úhly jsou shodné, pokud mají stejnou velikost. Je jasné, že ne každá funkce, která úsečkám přiřazuje jejich velikosti, určuje shodnost jak ji chápeme v eukleidovském prostoru. Přirozené požadavky jsou: (a) \AB\ > 0, (b) \AB\ — 0 A — B, (c) \AB\ = \BA\, 47 48 III. Eukleidovská geometrie (d) \AC\ < \AB\ + \BC\, kde A, B, C jsou libovolné body a \ AB\ značí velikost úsečky AB, neboli vzdálenost bodů A a B. Požadavky (a)-(b) jsou právě axiómy obecného metrického prostoru, tudíž každý eukleidovský prostor je metrickým prostorem. Tyto předpoklady však určitě nestačí — bylo by např. velmi podivné, kdyby protilehlé strany v rovnoběžníku měly mít jinou velikost. Jinými slovy, aby metrický prostor byl eukleidovským prostorem, musí být metrika kompatibilní s rovnobežností, tj. s afinní strukturou: (e) AB — CD =4> \AB\ = \CD\. Eukleidovská metrika tedy musí být určena nějakou funkcí na zaměření, která vektorům přiřazuje jejich velikost, a to tak, že velikost úsečky bude určena velikostí odpovídajícího vektoru. Takto se pomalu dostáváme k pojmu skalárního součinu... 10.2 Skalární součin Standardní skalární součin v Rn přiřazuje dvěma vektorům u — (ui, u2, ■ ■ .) a v — (v\, v2, ■ ■ .) reálné číslo U . V — U\V\ + u2v2 + .... (10-1) Toto přiřazení má následující vlastnosti, jež jsou právě definujícími vlastnostmi pro obecný skalární součin na obecném vektorovém prostoru V: (a) u . v — v . u, (b) (u + v). w — u . w + v . w, (c) (ru) . v — r(u . v), (d) u^o => u . u > 0, kde u, v, w jsou libovolné vektory a r je libovolné reálné číslo. Stručně a jasně můžeme říct, že: Definice. Skalární součin na vektorovém prostoru V je symetrická (a), bilineární (a)-(c), pozitivně defmitní (d) forma V x V —>• M. Velikost vektoru u je (díky pozitivní defmitnosti dobře definované!) reálné číslo ||u|| :— \/u . u. Ačkoli je to více než zřejmé, pro jistotou připomínáme, že ||o|| — 0, resp. ||u|| — 0 ^=4> u — o. Přímo z definujících vlastností, hlavně tedy z (d), se v lineární algebře odvodilo několik (Kř> užitečných nerovností. Nejprve tzv. Cauchyova-Schwartzova nerovnost, |u.v|<||u||.||v||, (10.2) odkud pak plyne tzv. trojúhelníková nerovnost, ||u + v|| < ||u|| + ||v||. (10.3) Přitom v obou případech platí rovnost právě tehdy, když vektory u a v jsou lineárně závislé. 10. Eukleidovské prostory, shodná a podobná zobrazení 49 Vektory u a v jsou kolmé, pokud u . v — 0; značíme u _L v. Z nerovnosti (10.2) plyne, že podíl ||u"lj[v|| má vždy hodnoty v intervalu [—1,1]. Odchylka nenulových vektorů u a v se definuje jako u ■ v <(u, v) :— arccos -—-—-—-, (10-4) llull ' llvll což je reálné číslo z intervalu [0, ir]. Motivace k této definici jistě není na první pohled zřejmá, proto se k ní ještě vrátíme, a to hned v následujícím odstavci. V každém případě platí: • vektory jsou kolmé právě tehdy, když mají odchylku -|. K dalším algebraickým záležitostem odvozeným ze skalárního součinu se vrátíme v podkap. 13. Báze vektorového prostoru je ortonormální, pokud všechny bázové vektory jsou navzájem kolmé a mají velikost 1. Z (10.1) plyne, že standardní báze Rn je vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu ortonormální. Naopak, z bilinearity plyne, že • souřadnicové vyjádření jakéhokoli skalárního součinu vzhledem k libovolné ortonormální bázi má tvar (10.1). Skalární součin na V je tedy jednoznačně určen tím, že nějakou bázi V prohlásíme za ortonormální. Skalární součin na vektorovém prostoru V kanonicky ztotožňuje V s jeho duálním prostorem V*, což je vektorový prostor všech lineárních zobrazení V —>• R. Toto ztotožnění vypadá tak, že vektoru v£ľ odpovídá forma v : V —>• R taková, že u(x):=v.x (10.5) pro libovolný x e V. Speciálně — pro standardní skalární součin na Rn — vektoru v — (ai, a,2, ■ ■ ■) odpovídá lineární forma v(x) — a\X\ + 0,2X2 + .... Tento jednoduchý poznatek používáme při rovnicovém vyjadřování podprostorů a jejich kolmých doplňků... 10.3 Eukleidovský prostor Vektorový prostor se skalárním součinem se obvykle nazývá eukleidovský vektorový prostor. Pokud mluvíme jenom o eukleidovském prostoru, máme na mysli eukleidovský bodový (afinní) prostor: Definice. Eukleidovský prostor je afinní prostor £ se skalárním součinem na zaměření Velikost úsečky AB je rovna vzdálenosti jejích krajních bodů A a B, jež je rovna velikosti odpovídajícího vektoru A~É; značíme \AB\ := v(A, B) := \\AĚ\\. (10.6) Odtud a z definujících vlastností skalárního součinu plyne, že jsou splněny všechny axiómy metrického prostoru vyjmenované na str. 47. Axióm (d) zřejmě odkazuje na nerovnost (10.3), přičemž • \AC\ = |AB| + \BC\ právě tehdy, když bod B je mezi A a C. <@j) 50 III. Eukleidovská geometrie Úhel v afinním rovině je definován jako průnik dvou polorovin, viz 8.2. Je-li bod A vrcholem úhlu a body B a C jsou libovolné body, z nichž každý leží na jedné hraniční polopřímce (a žádný nesplývá s A), pak velikostí úhlu rozumíme odchylku vektorů AB a AÓ; značíme •£' se nazývá shodné, pokud pro libovolné body A, B e £ platí \f{A)f{B)\ = \AB\. Bijektivní shodné zobrazení se jmenuje shodnost. Velikost úsečky je definována jako velikost odpovídajícího vektoru a ta je odvozena ze skalárního součinu. Zřejmě tedy pokud je / takové afinní zobrazení, že indukované lineární zobrazení /* zachovává skalární součin, pak / je nutně shodné. Ukážeme, že platí také opačná implikace: Předpokládejme, že / zachovává vzdálenosti bodů a uvažme libovolnou trojici kolineárních bodů, kde B je mezi body A a C. Tato vlastnost je charakterizována rovností \AC\ — \AB\ + \BC\. Abychom se neupsali, budeme značit obrazy jednotlivých bodů f (A) —: A' apod. Podle našeho předpokladu můžeme doplnit \AC\ = \AB\ + \BC\ = \A'B'\ + \B'C'\ = \A'C'\, odkud přímo vyplývá, že: • bod B' je mezi body A' a C, tzn. / zobrazuje kolineární body na kolineární body, • dělicí poměr trojice (A, B, C) je stejný jako dělicí poměr trojice (A', B', C). To znamená, že / je afinní zobrazení a z předpokladu nyní plyne, že indukované lineární zobrazení /* zachovává velikosti vektorů. Rádi bychom ukázali, že odtud také plyne, že ~f zachovává skalární součin. K tomu stačí umět vyjádřit jakýkoli skalární součin u. v pomocí velikostí vektorů: stejně jako v předchozím odstavci, rozepsáním a úpravou ||u + v||2 snadno odvodíme u.v = i(||u + v||2-||u||2-||v||2). Celkem tedy můžeme předchozí definici vyslovit následovně: Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi eukleidovskými prostory / : £ —>• £' je shodné, pokud / je afinní zobrazení takové, že indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin, tzn. pro libovolné u, v e ~ě platí ?(u).?(v)=u.v. 52 III. Eukleidovská geometrie Dalším fundamentálním pojmem eukleidovské geometrie je podobnost. Trojúhelníky jsou podobné, když mají po dvou shodné vnitřní úhly, ekvivalentně, když poměr velikostí odpovídajících stran je konstantní; tento poměr se nazývá koeficient podobnosti. Shodné trojúhelníky jsou tedy podobné s koeficientem 1. Ačkoli se to nezdá, právě existence podobných a neshodných trojúhelníků je jednou z klíčových vlastností eukleidovských prostorů. Obecné podobné zobrazení je takové zobrazení, které zachovává eukleidovskou metriku až na nějaký konstantní nenulový násobek: Definice. Zobrazení mezi eukleidovskými prostory /:£—>•£' se nazývá podobné zobrazení, pokud pro libovolné body A, B e £ platí \f(A)f(B)\ = k-\AB\, kde k > 0 je tzv. koeficient podobného zobrazení /. Bijektivní podobné zobrazení se jmenuje podobnost. Ekvivalentně, / je podobné zobrazení s koeficientem k, pokud / je afinní zobrazení takové, že indukované lineární zobrazení /* : ~Ě —>• ~Ě' zachovává skalární součin až na násobek k2, tzn. pro libovolné u, v e ~Ě platí ?(u).?(v)=A:2(u.v). Dalším studovaným typem zobrazení mezi eukleidovskými prostory jsou tzv. ekviafinní zobrazení, což jsou afinní zobrazení zachovávající obsahy, resp. objemy. K tomuto typu zatím neumíme nabídnout ekvivalentní algebraickou definici, ale s odkazem na podkap. 13 se k těmto (stejně jako ke všem ostatním dosud jmenovaným) zobrazením vrátíme v kapitole IV. Prozatím (Ei> si aspoň můžeme uvědomit, že: • shodná zobrazení jsou podobná zobrazení s koeficientem 1, • shodná zobrazení jsou zobrazení, která jsou podobná a současně ekviafinní. _ 10.5 Cvičení (1) Připomeňte si z algebry důkaz Cauchyovy-Schwartzovy nerovnosti (10.2). (2) Ukažte, že níže uvedená zobrazení VxF-íI definují skalární součin a najděte nějakou ortonormální bázi V. • Na vektorovém prostoru V — Rn [x] všech polynomů v proměnné x stupně nejvýše n: 52 f .g := J f (x) ■ g(x)dx. -52 • Na vektorovém prostoru V všech symetrických (resp. antisymetrických) čtvercových matic řádu n (tr značí stopu matice, tj. součet čísel na hlavní diagonále): A. B :=tr(A-B). (3) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké tvrzení elementární eukleidovské geometrie, např. Thaletovu větu a větu opačnou. 11. Kolmost a kolmý průmět vektoru 53 11 Kolmost a kolmý průmět vektoru 11.1 Kolmost Pomocí skalárního součinu jsme definovali kolmost dvou vektorů. Odtud je jasné, jak rozpoznat kolmost dvou přímek v libovolném eukleidovském prostoru. K dalšímu zobecňování pojmu kolmosti by nás měly navádět elementární definice, které jsme připomněli v odst. 1.1. Přímka je kolmá k rovině, pokud je směr přímky kolmý ke všem vektorům roviny (ekvivalentně, ke dvěma nezávislým vektorům). Dvě roviny jsou kolmé, pokud je normála jedné roviny obsažena ve druhé rovině (viz obr. 11.3). Zejména si všimněte, že pro určení kolmosti pracujeme výhradně se směry, tzn. je úplně lhostejné, zda se diskutované podprostory protínají, či nikoli. Kolmost (stejně jako posléze odchylka) je zcela určena zaměřeními daných podprostorů. Inspirování předchozími příklady vyslovíme následující obecnou definici: Definice. Podprostory B a C v eukleidovském prostoru £ jsou kolmé, pokud jsou kolmá jejich zaměření ~É a ~8 v 1?; značíme B _L C. Přitom vektorové podprostory jsou kolmé, pokud nebo kde Č' :={x£^:xlí?} značí tzv. kolmý doplněk podprostorů Pokud dokonce platí , říkáme, že (příp. B a C) jsou kolmé totálně. —» / ■ ..........Vd | J Obrázek 11.3: Kolmé podprostory v eukleidovském prostoru: (1) b _L c , (2) b _L Z důvodů, které jsou vysvětleny v odst. 11.2, občas zdůrazňujeme, že podprostory B a C jsou kolmé v £ (místo podprostory B a C v £ jsou kolmé). Pojmenování 7? kolmým doplňkem má své opodstatnění — v obecném eukleidov- ském prostoru jsou vždy doplňkové (komplementární): dokažte obecně. Věta. Pro libovolné podprostory U\ a Č72 v eukleidovském vektorovém prostoru v — platí: (1) {uD1- = uu (2) (Ui + li?)1- = ut n uš-, (3) (Ui n U2)1- = + vi, (4) U!cu2<^ d uš-. Odtud konečně plyne, že výše uvedená definice kolmosti je skutečně symetrická: B _L C ^ (É C nebo ~& D ŕf""") ^> (ɱ D ~Č nebo ^C^^CIB. Na závěr ještě jedno technické pozorování: Uvědomte si, že díky identifikaci v = v* v (10.5) můžeme každou lineární rovnici s neznámými (x\, x2, ■ ■ .) — x psát jako v.x — c, kde z-tá souřadnice vektoru v je právě koeficient u neznámé x i. Kolmý doplněk podprostoru U — (ui, u2,...) má rovnicové vyjádření U1- = {x e v : ui. x = 0, u2 . x = 0,... } a opačně... 11. Kolmost a kolmý průmět vektoru 55 11.2 Speciální a podivné případy Ačkoli je naše definice kolmosti celkem přirozená, zahrnuje několik zvláštností, které nemusí být na první pohled patrné. Tak např. z {o}-1 — £ plyne, že jakýkoli podprostor B C £ je kolmý ke všem triviálním podprostorům v £ (to jsou právě body a celý £). Toto je jen speciální a docela degenerovaný případ kolmosti, který nás příliš nezajímá. Poněkud podivnějším se může zdát následující postřeh. Kolmost je definována pomocí kolmých doplňků. Kolmý doplněk k je určen nejen podprostorem ~S, ale dost podstatně také okolním prostorem ~Ě. Pokud uvažujeme podprostory B,C v £, které ve skutečnosti patří do nějakého meziprostoru B, C C T c £, může se klidně stát, že • B a C jsou kolmé v J7, ale nejsou kolmé v £\ Uvědomte si, že tento fenomén lze pozorovat pouze v případě, kdy mají netriviální průnik, a najděte vhodný příklad. Z uvedeného je jasné, proč jsme si této zvláštnosti zatím asi nikdy 0, tudíž \BY\ > \BC\. Tím jsme zdůvodnili následující tvrzení: 58 III. Eukleidovská geometrie Věta. Pro libovolný podprostor c v eukleidovském prostoru £ a libovolný bod b ^ c platí, že v(b,c) — \bc\ právě tehdy, když přímka bc je kolmá k c. Přímku bc nazýváme kolmicí (bez uvozovek) z bodu b k podprostoru c. Obrázek 12.6: Vzdálenost bodu B od podprostoru C je rovna vzdálenosti B od paty C kolmice k. Vzdálenost obecně Věta. Pro libovolné podprostory b a c v eukleidovském prostoru £ platí: (1) v(b,c) — 0 právě tehdy, když b a c mají společný bod. (2) Pokud v(b,c) ^ 0, pak v(b,c) — \bc\ pro nějaké b e b a c e c právě tehdy, když přímka bc je kolmá k b a současně k c, tj. bc e b dc . Navíc dvojice b,c je určena jednoznačně právě tehdy, když podprostory b a c nemají společné směry, tj. Přímka bc je příčkou podprostoru b a C, která je nejkratší možná; každou takovou příčku nazýváme osou b a c. Zdůvodnění věty je následující: (1) Toto tvrzení platí v obecném metrickém prostoru, a to díky ekvivalenci \xy\ — 0 ^=4> x — y (axióm (b) na str. 47). (2) To, že podmínka bÓ e je nutná k tomu, aby v(b, c) — \bc\, plyne z předchozích úvah okolo obr. 12.6: Pokud je v(b,c) = \bc\, pak taky \bc\ = v(b,c) a současně \bc\ = v(b, c). Přitom \bc\ = v(b, c) =4> Bč5 _L ~č a současně \bc\ = v(b, c) bů _L ~š. Ukážeme, že je tato podmínka také dostatečná (viz obr. 12.7): Uvažme libovolné body x e b, y G C a pomocný bod z = y + cb. 12. Vzdálenosti a odchylky podprostorů 59 Vektor ~ZX je součtem ZB + BX = ¥0 + BX, tudíž patří do ~Č + ~Š. Protože ZY = BÔ, je podle předpokladu ZY _L Z~Ít. Nyní z Pythagorovy věty v trojúhelníku XZY plyne \XY\ > \ZY\ = |BC|. Body I e B, ľ e C byly libovolné, skutečně tedy platí \BC\ = min{|Xy| : X e B,Y eC}. Dovětek týkající se jednoznačnosti plyne z právě dokázané ekvivalence: Je-li B e B a C e C dvojice taková, že f (S, C) = |BC|, pak Šč5 e n ŕf1 . Podobně pro jakoukoli další dvojici B' e B a Cjz C platí B'C eJÉ' n " (V učebnicích bývá tato rovnost formulována různými způsoby — porovnejte všechna vyjádření, která najdete.) Rovnost (12.13) lze alternativně odvodit z pravoúhlého trojúhelníku YCB jako na obr. 12.8: Značí-li a velikost úhlu CYB, pak zřejmě platí v(B,C) = \\YĚ\ ■ sin a. Odchylky diskutujeme hned v následujících odstavcích, takže pokud nahlédneme na str. 65 a do-(Ei> sadíme (12.15) do předchozího vyjádření, zjistíme, že všechno krásně souhlasí... 12. Vzdálenosti a odchylky podprostorů 61 8 Obrázek 12.8: Vzdálenost bodu od nadroviny. Vzdálenost obecně Slibované zobecnění (2) pro obecné podprostory B, C C £ zní: (2') Dvojice bodů B a C, pro niž platí v(B,C) — \BC\, je podle věty 12.1 charakterizována následujícími vlastnostmi: (a) BeB,Ce C, (b) BČ e ~t± n ŕfX. Předpokládejme, že oba podprostory jsou dány parametricky B — X + (ui,..., Ufc), C — Y + (ufc+i,..., u^). Potom předchozí podmínky jsou ekvivalentní s: (a') B — X + aiUi + • • • + afcUfc, C — Y + ak+iUk+i + • • • + a^u^, pro nějaká a,i G M, (b') B Ó _L Ui, pro všechna i — !,...,£. Nyní Bií — XY - aiUi - ... - afcUfc + afc+iufc+i H-----h aevu a (b') je ekvivalentní se soustavou lineárních rovnic: — CJiUi . U! — • • • + aivn . U! — Yví . Ui, -aiui.u2-----h aeUi . u2 = 71. u2, (12.14) Po vyřešení soustavy a dosazení do (a') dostáváme hledanou dvojici bodů B a C... Všimněte si, že tentokrát nemůžeme jen tak předpokládat lineární nezávislost vektorů (uj), nicméně můžeme aspoň předpokládat, že každá skupina (ui,..., Ufc) a (ufc+i,..., u^) je tvořena nezávislými vektory. Přesto zmiňovaná soustava nemusí být jednoznačně řešitelná, což nám říká něco o vzájemné poloze B a C! Vzájemná poloha alternativně Pokud jsou podprostory B a C incidentní nebo různoběžné, pak v(B, C) — 0. Tyto dva případy jsou rozlišeny tím, že v prvním případě je dimenze prostoru řešení soustavy (12.14) rovna dimenzi menšího z podprostorů B a C. Stejným způsobem umíme rozlišit rovnoběžnost od mimoběžnosti, 62 III. Eukleidovská geometrie kdy v(B,C) ^ 0. Celkem tedy vidíme, že vzájemnou polohu a vzdálenost podprostorů lze určit současně z jednoho počítání. Pokud kvůli stručnosti označíme v :— v(B,C), d :— dimenzi prostoru řešení soustavy (12.14) a m :— min(dini£>, dimC), potom předchozí klasifikace vzájemných poloh vypadá následovně: Důsledek. Podprostory B a C jsou • incidentní ^=^> v — 0 a d — m, • různoběžné ^=4> v — 0 a d < m, • rovnoběžné různé ^=4> d^O a d — m, • mimoběžné ^=^> ti^O a d < m. Vzdálenost alternativně V podkap. 13 se budeme zabývat obsahy a objemy, zejména rovnoběžníků a rovnoběžnostěnů. Objem rovnoběžnostěnu je roven obsahu základny násobenému velikostí výšky. Odtud je možné vyjádřit výšku rovnoběžnostěnu, která často reprezentuje vzdálenost nějakých podprostorů, viz motivační obr. 12.9. Vtip je v tom, že tento postřeh lze zobecnit pro libovolné podprostory v libovolném eukleidovském prostoru. Tímto způsobem pak budeme umět vyjadřovat vzdálenosti, aniž bychom řešili jakoukoli soustavu rovnic, viz větu na str. 75. Uvědomte si, že takto nikdy neurčíme dvojici bodů, v nichž se vzdálenost realizuje, natož pak vzájemnou polohu podprostorů. Obrázek 12.9: Velikost výšky naznačeného rovnoběžnostěnu je rovna vzdálenosti bodu B od roviny C — C + (vi, v2). 12.3 Odchylky Odchylka dvou nenulových vektorů je definována rovností (10.4), příp. (10.8). Podobně jako u kolmosti, odchylka dvou afinních podprostorů je zcela určena jejich zaměřeními. Pokud mají zaměření triviální průnik, pak je definice jasná — stačí uvažovat minimum ze všech možných odchylek mezi vektory, z nichž jeden patří do jednoho a druhý do druhého podprostorů. V opačném případě by tato definice automaticky dávala 0, což jistě nekoresponduje s našimi představami o odchylce. Modelový příklad tohoto typu představují dvě roviny jako na 12. Vzdálenosti a odchylky podprostorů 63 obr. 12.10 — odchylka rovin je odchylkou přímek, z nichž každá je obsažena v jedné z daných rovin a obě mají tu vlastnost, že jsou kolmé k průniku rovin. V případě, kdy zaměření mají netriviální průnik, musíme navíc rozlišovat případ, kdy jeden podprostor je obsažen ve druhém — v tomto případě je odchylka rovna 0 (skutečně musíme deklarovat samostatně, neboť předchozí konstrukce je v této situaci jaksi degenerovaná). Definice. Odchylka netriviálních afinních podprostorů BaCv eukleidovském prostoru £ je rovna odchylce jejich zaměření nich aiinmch po íí <(B,C) :=<(É,t). Přitom odchylka netriviálních vektorových podprostorů v zaměření £ je defino- vána následovně: (a) pokud = W, pak :— min{<(u, v) : u G (b) pokud , pak <(É,t) :=0, (c) pokud ~Š %~Č & ~Š ^ {o}, pak <(É,t) :=<(É',ť), kde ~É', resp. ~Č' jsou podprostory obsažené v ~Š, resp. 1?, jež jsou kolmé k průniku ~Š n t, tj. ť = B n (É n t)1- a ť = ~Č n (É n Uvědomte si, že v případě (c) se odkazujeme na definici podle (a), tzn. podprostory mají vždy triviální průnik (a současně jsou oba netriviální). 0 ^=4> a < -|). Obrázek 12.11: Odchylka přímek. Odchylka přímky od podprostoru Pokud není přímka kolmá k podprostoru, pak zdravý názor velí přímku kolmo promítnout do podprostoru a měřit odchylku těchto dvou přímek. Následující věta ukazuje, že tento nápad je platný v libovolném eukleidovském prostoru: Věta. Pro libovolnou přímku b a libovolný podprostor C v eukleidovském prostoru £ platí: (1) pokud b ±C, potom <(b, C) — |, (2) pokud b JĹC, potom <(b, C) — <(u, uc), kde u e b je libovolný směr přímky a uc E ~(? je jeho kolmý průmět do ~8. První případ je jasný. Druhý případ zahrnuje také možnost b || C, tj. 6 C^, kdy podle definice vychází <(b, C) — 0: kolmý průmět je v tomto případě uc — u, tedy <(u, uc) = 0a rovnost platí. Zdůvodnění generického případu, tj. b JĹ C a b \jf C, je odvozeno z Cauchyovy-Schwartzovy nerovnosti (10.2): Uvažme libovolný vektor v e C a označme a — <(u, u^), a' — <(u, v). Chceme dokázat, že a < a' nebo ekvivalentně cos a > cos a'. Nejprve si všimneme klíčového předpokladu, tj. (u — uc) -L ~í, což v důsledku znamená, že u . v — uc . v. Celkem tedy dostáváme: , u.v uc.v ||uc||-||v|| ||uc|| cos a — -—-—-—- < -—-—-—- — ——-—-—— — ——— cos a. □ Uvědomte si, že z uvedeného také přímo vyplývá, že <(b,C) + <(b,C±) = ^. 12. Vzdálenosti a odchylky podprostorů 65 b Obrázek 12.12: Odchylka přímky a obecného podprostorů. Tento postřeh lze dál zobecňovat pro obecnější situace, viz následující odstavce. Odchylka přímky od nadroviny Jak už jsme zvyklí, když je C nadrovinou, pozorujeme jistá zjednodušení: Z poslední poznámky a známého faktu cos(§ — a) — sin a odvozujeme <(b,C) = arcsin „ *U'^ „, (12.15) IMI • llcll kde c e č? značí normálu nadroviny (a u e b směr přímky stejně jako výše). Obrázek 12.13: Odchylka přímky a nadroviny: cos/3 — cos(-| — a) — sin a. Odchylka dvou nadrovin Jsou-li oba podprostory nadrovinami s normálovými vektory bac, pak ve všech případech, které si umíme představit platí <(B,C) = <«b>, • popíšeme nějak kolmé projekce pc : a pb ■ • uvažujeme složené zobrazení pB o pe : • určíme charakteristické vektory transformace p^ o pc (může jich být víc!), Připomenutí pojmů charakteristických čísel a vektorů najdete na 87 12. Vzdálenosti a odchylky podprostorů 67 • odchylka <(£>, C) je pak určena takovou dvojicí vektorů uauc = Pc(u), Pro něž je <(u, uc) nejmenší, • následující věta dodává, že takové u odpovídá největšímu charakteristickému číslu b. (Podobně můžeme uvažovat složení pc° PB ■ ; výsledek je samozřejmě stejný.) Poznámka ke třetímu kroku: transformace tohoto typu jsou docela speciální a obecně pro ně platí, že z jejich charakteristických vektorů lze vždy sestrojit bázi prostoru £k4 Pokud má transformace aspoň dvě různá charakteristická čísla, je třeba v následujícím kroku vybírat. Pokud by náhodou byla všechna stejná, tak to znamená, že transformace je násobkem identity a je jedno, který vektor vybereme... Věta. Pro libovolné podprostory B,C C £, jež nemají žádné společné směry, platí: (1) pokud B±C, potom <(B, C) = f, (2) pokud B )ĺ C, potom <(£>, C) — <(u, uc) — <(vb,v), kde u e ~Š, resp. v e č? je charakteristický vektor odpovídající největšímu charakteristickému číslu transformace pb° pc- , resp. pc o pb '■ V každém případě můžeme dodat: (3) pokud bac jsou největší charakteristická čísla zmiňovaných transformací, potom je 0 < b — c < 1 a <(£>, C) — arccos Vb — arccos \fč. První část tvrzení je jasná a uvádíme ji hlavně pro zdůraznění podobnosti s větou na str. 64 (tuto větu nyní chápeme jako důsledek věty právě formulované). V předcházející diskuzi jsme zdůvodnili téměř všechno. Potřebujeme si uvědomit už jen následujících pár drobností: Odchylka a :— <(u, u^) je minimální právě tehdy, když cos a je maximální. Navíc pro vektory u, uc a ucg platí llue|| ||ucb|| cos a = -t—f- =--t-. NI lluell Přitom ucg — bu, což po dosazení a úpravě dává Přitom 0 < ||uc|| < ||u||, tudíž 0 < b < 1 a cos a — Vb. Podobně můžeme argumentovat s vektorem v, což pochopitelně přeskakujeme. Uvědomte si, že tvrzení (3) skutečně platí i v případě, menze 4 (viz odst. 11.2 pro nápovědu). (1) Pro všechny možné dvojice podprostorů z předchozích cvičení určete jejich vzdálenosti a od- (2) Neopomeňte zejména podprostory ze cvičení 7.4(1) a zamyslete se znovu nad jejich vzájemnou polohou. (3) Pro nějaké jednoduché, ale netriviální, případy zkuste určit jejich vzdálenost a odchylku podle definice. (4) Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou nadrovin, které mají vzdálenost 2. (5) Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou podprostorů, které mají odchylku | a přitom nejsou kolmé. 13 Obsahy, objemy a další 13.1 Úvod a první definice V [Eu] není pojem obsahu, resp. objemu nijak vymezen, avšak nakládá se s ním jako s každou jinou veličinou podle vyslovených axiómů. Série tvrzení v I., resp. XI. knize velmi názorně zdůvodňuje, že rovnoběžníky, resp. rovnoběžnostěny se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah, viz obr. 13.16. 7T 12.4 Cvičení chylky. 13. Obsahy, objemy a další 69 Obrázek 13.16: [Eui] Rovnoběžníky, resp. rovnoběžnostěny se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah, resp. objem. V VI. knize se dokazuje, že poměr obsahů rovnoběžníků se stejnou výškou je stejný jako poměr jejich základen. K číselnému vyjadřování obsahů rovnoběžníků tedy stačí definovat obsah jednotkového čtverce jako 1. Pomocí infinitezimálního počtu je pak možné určovat obsahy obecnějších rovinných oblastí. Analogická diskuze platí pro objemy v prostoru. V celé této části bereme předchozí poznatky jako výchozí a soustředíme se hlavně na algebraické možnosti určování objemů obecných rovnoběžnostěnů. Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory vi, v2,... v obecném eukleidovském prostoru £ budeme značit V(w\, v2,... ).5 Objem /j-rozměrného rovnoběžnostěnu chápeme jako zobrazení V, které přiřazuje fc-tici vektorů nezáporné reálné číslo. Definice kopírující předchozí pozorování vypadají následovně: • jsou-li určující vektory ortonormální, pak V(vi, v2,...) — 1, • jsou-li tyto vektory ortogonální, pak V(vi, v2,...) — ||vi|| • ||v2|| • • • •, obecná induktivní definice je tato: Definice. Objem V(vi, v2,...) rovnoběžnostěnu určeného vektory v1; v2,... je nezáporné reálné číslo takové, že . V(Vl) := ||Vl||, • T/(vi,v2) :— V(vi,w2) — ||vi|| • ||w2||, kde w2 kolmý průmět vektoru v2 do • T/(v1,v2, v3) :— T/(v1,v2, w3) — V(vi, v2).||w3||, kde w3 je kolmý průmět vektoru v3 do (vi,v2)-L, • atd... Vektor w2, resp. w3 představuje výšku rovnoběžníku, resp. rovnoběžnostěnu; číslo ||w2||, resp. ||w3|| je velikost této výšky. Přímo z definice vidíme, že V(vi, v2, v3,. ..) = V(vi, v2, w3, .. .) = V(vi, w2, w3, ...) = || vi|| • ||w2|| • ||w3||----, 6Pro jednoduchost mluvíme v obecných formulacích pouze o rovnoběžnostěnech, přičemž máme na mysli, že rovnoběžnostěn určený dvěma vektory je rovnoběžník a rovnoběžnostěn určený jedním vektorem je úsečka. 70 III. Eukleidovská geometrie kde vektory Wj jsou navzájem kolmé vektory postupně sestrojené podle návodu výše. Tento nakolmovací algoritmus jste v algebře jmenovali jako tzv. Gramův-Schmidtův proces. Odtud také vyvozujeme, že objem T/(vi,v2,...) může vyjít 0, což se stane právě tehdy, když vektory vi, v2,... jsou lineárně závislé. (Ei> Vyjádřit obsah rovnoběžníku podle definice je snadné: kde a — <(v1; v2). Počítání vícerozměrného objemu podle definice však může být docela otravné, proto se poohlédneme po nějakých zjednodušeních. 13.2 Gramů v determinant Začneme s malým experimentem: vybereme náhodně vektory v nějakém eukleidovském vektorovém prostoru a zjišťujeme, že platí: Na první pohled je jasné, že rovnost platí pro libovolné kolmé vektory vi _L v2. Pokud vyjádříte obecně w2 (viz (11.10)) a dosadíte přímo do definující rovnosti T/(vi,v2) :— V(vi,w2), uvidíte, (Ei> že tato rovnost je skutečně obecně platná. Matice pod odmocninou se jmenuje Gramová matice. Determinant z Gramový matice je Gramův determinant; značíme G(v1;v2). Definice pro libovolnou fc-tici vektorů je analogická. Právě diskutovaná rovnost má následující přirozené zobecnění: Věta. Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí V(v1,v2) = ||vi|| • ||v2|| - siná, (13.16) o- Obrázek 13.17: K objemu rovnoběžnostěnu... ^(vi,v2,...) = \/G(vi, v2,...). Sledovat předchozí zdůvodnění pro více než dva vektory může být trochu problém, proto nabízíme alternativní zdůvodnění, které je odvozeno ze základních vlastností každého determinantu. Pro 13. Obsahy, objemy a další 71 přehlednost formulujeme pouze pro trojici vektorů, následné zobecnění by mělo být zřejmé: G(vi,v2, v3) = Vl . Vl v2 . Vl v3 . Vl Vl . Vl W2 . Vl W3 . Vl Vl . Vl W2 . Vl W3 . Vl Vl . v2 v2 . v2 v3 . v2 Vl . v2 w2 . v2 w3 . v2 Vl . w2 w2 . w2 w3 . w2 Vl . v3 v2 . v3 v3 . v3 Vl . v3 w2 . v3 w3 . v3 Vl . w3 w2 . w3 w3 . w3 w2 |w3| Na vysvětlenou dodáváme, že determinant se nezmění, když k libovolnému řádku/sloupci přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních. To je přesně úprava, kterou jsme postupně dělali nejdřív s řádky, poté se sloupci: w2 — v2 — avi, w3 — v3 — bvi — cv2, ... Poslední rovnost plyne z toho, že vektory Wj nejsou jen tak nějaké vektory uvedeného tvaru, ale právě kolmé průměty v j do (vi,... Vi-i)-1. Všechny skalární součiny v Gramové matici mimo hlavní úhlopříčku jsou tedy nutně nulové. □ 13.3 Vnější součin a orientovaný objem To, že při určování objemu dříve nebo později narazíme na determinant by nemělo být žádným překvapením. Objem totiž můžeme chápat jako zobrazení , které má velice stejné vlastnosti jako právě determinant — je multilineární a pro lineárně závislé vektory dává nulu, viz obr. 13.18. (Nejužitečnější důsledek těchto dvou vlastností jsme použili v důkazu předchozí věty.) Jediný rozdíl je ten, že hodnota objemu je nezáporná, kdežto hodnota determinantu může být jakákoli (determinant je antisymetrický). vy* V/a Obrázek 13.18: Vlastnosti obsahu/objemu jakožto multilineárního zobrazení se nápadně podobají vlastnostem determinantu: V(vi,avi) — 0, l/(vi,v2 + avi) — V(vi,v2), V(vi, 6v2) = b ■ V(vi, v2). Abychom však mohli mluvit o determinantu, potřebujeme čtvercovou matici — uvažme tedy právě n vektorů v prostoru dimenze n: 72 III. Eukleidovská geometrie Definice. Vnější součin n-tice vektorů (vi,..., v„) v eukleidovském prostoru dimenze n je determinant matice tvořené po sloupcích souřadnicemi těchto vektorů (v tomto pořadí) vzhledem k nějaké ortonormální bázi; značíme [vi, det(vi,..., v„). (Ei> Uvědomte si, že definice nezávisí na volbě ortonormální báze! Vnějšímu součinu se též přezdívá orientovaný objem, což je víc než pochopitelné: Věta. Pro n-tici vektorů v n-rozměrném eukleidovském prostoru platí G(vi,..., v„) = [vi,..., v„]2, tudíž V(vi,..., v„) = |[vi,... ,v„]|. Zdůvodnění plyne z Cauchyovy věty o součinu determinantů: [vi,..., v„]2 = det(vi,..., v„)2 = det(vi,... ,v„)T • det(vi, Vl . Vl = det ((vi,..., v„)T • (vi,..., v„)) = : v„ . Vl ,v„) = Vl . v„ G(vi,..., v„). □ Zbytek plyne z věty 13.2. 13.4 Vektorový součin Pojem vektorového součinu bezpečně známe pro dva vektory v trojrozměrném eukleidovském prostoru. Ze souřadnicového vyjádření u — (ui,u2,u3) a v — (vi,v2,v3) vzhledem k nějaké ortonormální bázi jsou odvozeny souřadnice vektorového součinu takto: U X V : u2 V2 Ml Vl U3 •t "3 V3 •t u2 V2 Při počítání jsme zvyklí si pomáhat následovně: U\ Vi X\ u2 v2 x2 u3 v3 x3 U2 v2 Ul Vl Ul vx Xl — x2 + U3 V3 U3 V3 u2 v2 X3, (13.17) načež koeficienty u x i bereme jako souřadnice vektorového součinu u x v.6 Koncepční interpretace tohoto postupu je taková, že vektorový součin u x v je jednoznačně určený vektor splňující [u, v, x] — (u x v). x pro libovolný vektor x. Tento postřeh zobecňujeme pro libovolnou (n — l)-tici vektorů v n-rozměrném prostoru: Přitom je celkem jedno, zda jsou souřadnice vektorů v matici na levé straně psány po sloupcích nebo po řádcích. 13. Obsahy, objemy a další 73 Definice. Vektorový součin (n — l)-tice vektoru (vi,..., v„_i) v eukleidovském prostoru dimenze n je jednoznačně určený vektor w splňující [vi,. .. ,v„_i,x] = w.x pro všechna x e £*; značíme w — vi x ... x v„_i. Souřadnicové vyjádření vektorového součinu se obecně dá dělat úplně stejně jako v úvodním příkladu; rovnost (13.17) totiž není nic jiného než Laplaceův rozvoj determinantu podle posledního sloupce... Vektorový součin má spoustu užitečných vlastností: Věta. Pro (n — í)-tici vektorů v n-rozměrném eukleidovském prostoru platí: (1) přiřazení (vi,...,v„_i) 4vix...x v„_i definuje antisymetrické multilineární zobra- zení £ x ... x £ —>• £, (2) v! x ... x v„_i — 0 ^=^> vektory v1;..., v„_i jsou lineárně závislé, (3) v! x ... x v„_i je kolmý ke všem vektorům v1;..., v„_i, (4) pokud jsou vektory v1;..., v„_i lineárně nezávislé, pak posloupnost (v1;. ■, v„_i, w) tvoří kladnou bázi prostoru V, (5) ||vi x ... x v„_i|| = y(vi,... ,v„_i). Tvrzení (l)-(3) plynou přímo z definující rovnosti a vlastností vnějšího součinu, tzn. determinantu. Tvrzení (4) v podstatě také: det(vi,..., v„_i,w) = [vi,..., v„_i,w] = w . w > 0. Tvrzení (5) zdůvodníme tak, že ještě trochu rozepíšeme předchozí vztah: ||w||2 = det(vi,..., v„_i,w) = V(vi,..., v„_i,w) = V(vi,..., v„_i) • ||w||, kde odkazujeme postupně na větu 13.3, předchozí nerovnost (všechno je kladné, takže nepíšeme absolutní hodnoty) a před chvílí zdůvodněné tvrzení (3). Po dělení ||w|| máme hledanou rovnost. □ Ve speciálním případě, kdy dim£ — 3, je podle tvrzení (1) vektorový součin bilineární antisymetrické zobrazení Jakožto binární operace na množině £ však vektorový součin není asociativní. Neasociativita plyne z následující rovnosti (kterou lze dokázat velice přímo v souřadnicích): • A' v rámci všech projektivních zobrazení mezi projektivními rozšířeními A —>• A' jako takových zobrazení, která zobrazují vlastní body na vlastní, což je totéž jako nevlastní na nevlastní (viz odst. 9.6). To je ekvivalentní požadavku, aby zastupující lineární zobrazení F : W —>• W zobrazovalo podprostor A C W do podprostoru A' C W. Zúžení F\: je potom právě indukované lineární zobrazení / k afinnímu zobrazení /, o kterém se mluví v definici 5.2. Z této definice také plyne, že obraz libovolného bodu X e A lze vyjádřit ve tvaru kde O e A je jeden vybraný referenční bod (obvykle počátek souřadné soustavy). Tzn., že obecné afinní zobrazení / : A —>• A' je jednoznačně určeno lineárním zobrazením mezi zaměřeními a obrazem jednoho vybraného bodu. To v důsledku znamená, že afinní zobrazení je jednoznačně určeno obrazem n + 1 bodů v obecné poloze, kde n — dim A "o Obrázek 14.1: [Ku] Základní kolineace v rovině je osová kolineace. (14.1) 14. Opakovaní 79 Obrázek 14.2: [Ku] Základní afinita v rovině je osová afinita. Pokud jsou afinní prostory, mezi kterými zobrazujeme, navíc eukleidovské, rozlišujeme další typy zobrazení: 14.3 Ekviafinní Ekviafinní zobrazení jsou taková afinní zobrazení, která zachovávají obsahy, resp. objemy. Objemová forma v eukleidovském prostoru je určena vnějším součinem vektorů (viz odst. 13.3). Vnějším součinem vektorů může být libovolné číslo, objem je vždy nezáporný, proto • zobrazení / : £ —>• £' je ekviafinní právě tehdy, když indukované lineární zobrazení /* : zachovává vnější součin až na znaménko. Protože vnější součin je multilineární operace, je tato podmínka ekvivalentní s požadavkem, aby se některý (následně potom každý) rovnoběžnostěn s jednotkovým objemem zobrazil na rovnoběžnostěn s jednotkovým objemem. Obrázek 14.3: [Eui] Typická ekviafinita je elace. 14.4 Shodná Význačnou podmnožinou ekviafinních zobrazení jsou samozřejmě zobrazení shodná. Shodná zobrazení jsou zobrazení, která zachovávají eukleidovskou metriku. Algebraická charakterizace v odst. 10.4 nám říká, že shodná zobrazení jsou právě taková afinní zobrazení, že indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin vektorů. Protože skalární součin je bilineární operace, je tato podmínka ekvivalentní s požadavkem, aby se nějaká (následně potom každá) ortonormální báze zaměření ~£* zobrazovala na ortonormální bázi ~£*'. 80 IV. Geometrická zobrazení Obrázek 14.4: [Se] Základní shodnost je souměrnost podle nadroviny. 14.5 Podobná Podobná zobrazení jsou zobrazení, která zachovávají eukleidovskou metriku až na konstantní nenulový násobek (tzv. koeficient podobného zobrazení). Ta lze algebraicky charakterizovat jako afinní zobrazení, jejichž indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin až na nenulový násobek. To je ekvivalentní podmínce, aby se nějaká (následně potom každá) ortonormální báze zaměření ~ě zobrazovala na bázi která je ortogonální a jejíž vektory jsou stejně dlouhé. Obrázek 14.5: [Be] Základní podobnost je stejnolehlost. 14.6 Poznámky Shodná zobrazení jsou právě podobná zobrazení s koeficientem 1. Shodná zobrazení lze taky charakterizovat jako podobná zobrazení, která jsou současně ekviafinní. Kromě toho, tři posledně jmenované typy zobrazení mají něco společného: (Ei> • Každé ekviafinní, podobné, resp. shodné zobrazení je nutně prosté. To v důsledku znamená, že každé ekviafinní, podobné, resp. shodné zobrazení mezi prostory stejné dimenze je nutně bijektivní. jméno definice další vlastnosti algebraická charakterizace analytické vyjádření příklady projektivní f:A^A' zobrazuje přímky na přímky nebo body zachovává dvoj poměry čtveřic bodů určeno lineárním zobrazením F : W -> W (a h\ osová kolineace, středové promítání afinní f:A^A' projektivní, které zachovává rovno-běžnost přímek zachovává dělicí poměry trojic bodů F zobrazuje ~X c W na ~X' c W osová afinita, rovnob. promítání ekviafinní afinní, které zachovává obsahy, resp. objemy ~f* zachovává vnější součin až na znaménko detD = ±1 šikmá souměrnost, elace podobné afinní, které zachovává vzdálenosti bodů až na konstantní násobek: \X'Y'\ = k ■ \XY\ zachovává odchylky ~f* zachovává skalární součin až na násobek DT • D = k2 • E stejnolehlost shodné f:£^£> podobné s koeficientem k — 1 zachovává vzdálenosti, odchylky, obsahy, ... ~f* zachovává skalární součin DT • D = E osová souměrnost 82 IV. Geometrická zobrazení Složení dvou zobrazení stejného typu je opět zobrazení téhož typu. Proto množina všech ekviaŕinních, podobných, resp. shodných transformací eukleidovského prostoru (s operací skládání zobrazení) tvoří grupu. Ta je podgrupou grupy všech afinit, jež je podgrupou v grupě všech kolineací rozšířeného projektivního prostoru. Struktura uvedených vložení je znázorněna na obr. 14.6; pro připomenutí jsou na schématu další dva typy zobrazení, které dobře známe, avšak na tomto místě nediskutujeme. ■p ^ ! projektivní kohjormni T p o d o b n ^ Í . shodne Obrázek 14.6: Hierarchie geometrických zobrazení (v závorce uveden typický představitel z každé třídy). 15 Analytické vyjádření 15.1 Značení a jiné konvence Analytické vyjádření jakéhokoli zobrazení závisí na volbě souřadných soustav. V afinním prostoru A uvažujeme afinní souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (O; ei, e2,...). Pokud je navíc afinní prostor eukleidovský, pak zpravidla předpokládáme, že vektory ei,e2,... jsou ortonormální; odpovídající souřadná soustava se pak jmenuje kartézská. Homogenní souřadnice v projektivním rozšíření A — A U oo_4 budeme vždy uvažovat stejně jako v odst. 9.3, tzn. vzhledem k takové rozšířené bázi (e0, ei, e2,...) zastupujícího vektorového prostoru W, že vektory ei, e2, • • • e A* jsou jako výše a vektor e0 ^ A reprezentuje právě bod O. Homogenní souřadnice bodu X e A píšeme X — (x0 : xi : x2 : .. .), což znamená, že tento bod je reprezentován vektorem x e W: x — 0^0; Xli X2, ■ ■ ■)■ Bod X je vlastní právě tehdy, když x0 ^ 0, tj. x ^ ~a\. V takovém případě jsou jeho afinní souřadnice \xi x2 A —, —, ■ ■ ■ ■ _Xq Xq Bod X je nevlastní právě tehdy, když x0 — 0, tj. x e A*. V takovém případě jsou afinní souřadnice odpovídajícího směru Xqo — (x1,X2, . . .). 15. Analytické vyjadrení 83 Uvažujme projektivní zobrazení / : A —>• A' mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů. Odpovídající lineární zobrazení mezi zastupujícími vektorovými prostory značíme F : W —>• W. Každé lineární zobrazení F je vzhledem k vybraným bázím určeno maticí F tak, že F (x) = F x pro libovolný vektor x e W, resp. jeho souřadnice psány do sloupce. Pokud je dim.4 — m a dim A' — n, pak matice F má m + 1 sloupců a n + 1 řádků. Obraz libovolného bodu X e A značíme X' £ A' a vzhledem k předchozím konvencím jej budeme vyjadřovat jako (15.2) kde a je reálné číslo, b je m-tice čísel v řádku, c je n-tice čísel ve sloupci a D je matice o rozměrech n x to. Důvod, proč dělíme matici F právě na takovéto bloky, bude zřejmý za chvíli. 15.2 Poznámky Je-li F matice zastupujícího lineárního zobrazení F vzhledem k vybraným bázím, pak v této matici po sloupcích postupně čteme souřadnice obrazů bázových vektorů e0,ei,.... Vzhledem k předchozím konvencím jsou tedy v prvním sloupci homogenní souřadnice obrazu počátku afinní souřadné soustavy prostoru A, ve druhém sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu nevlastního bodu první souřadné osy atd. Tento jednoduchý postřeh má velice užitečné důsledky jak při interpretaci zobrazení / daného maticí F, tak při určování této matice v případě, že / je zadáno např. obrazy několika bodů; viz cvičení 15.5 a další. Analytické vyjádření (15.2) bývá často vyjádřeno přímo v homogenních souřadnicích. Jedná se jen o jinou formu zápisu, takže tady není třeba hledat žádný problém — z maticového vyjádření lze vždy snadno určit souřadnicové a naopak. Pro představu, např. obecná projektivní transformace přímky f(xg : x\) — (kxo + lx\ : mxo + nx\) ze cvičení 9.7(4) je reprezentována maticí *=(k ZV \m n J Jsou-li /, g projektivní zobrazení, F,G zastupující lineární zobrazení a F, G jejich matice, potom složené zobrazení g o / je reprezentováno lineárním zobrazením G o F, které má matici G • F. Při skládání zobrazení je proto obvykle výhodnější pracovat s odpovídajícími maticemi než se souřadnicovým vyjádřením. Zobrazení / je injektivní, surjektivní, resp. bijektivní právě tehdy, když zastupující lineární zobrazení F má tutéž vlastnost. Na základě jednoduchých poznatků z lineární algebry můžeme směle tvrdit, že projektivní zobrazení / reprezentované maticí F je • injektivní, právě když F má triviální jádro, • surjektivní, právě když hodnost F je rovna počtu jejích řádků, • bijektivní, právě když matice F je čtvercová a det F^O. Zobrazení s netriviálním jádrem se nazývají singulární; typickými příklady jsou různá promítání. Matice F je čtvercová, právě když / zobrazuje mezi prostory stejné dimenze. V případě obecných projektivních zobrazení, nemá hodnota det F žádný geometrický význam (rozlišujeme pouze, zda je determinant nulový či nenulový). 84 IV. Geometrická zobrazení 15.3 Charakterizace Nyní konečně umíme nabídnout charakterizaci jednotlivých typů zobrazení podle jejich analytického vyjádření. Věta. Předpokládejme, že projektivní zobrazení f mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů je v homogenních souřadnicích vyjádřeno jako v (15.2). Potom platí, že • f je afinní právě tehdy, když o^O ab — 0. Zobrazení / je afinní, právě když zobrazuje všechny nevlastní body na nevlastní a všechny vlastní body na vlastní. Z první podmínky vzhledem k předchozím volbám plyne, že b musí sestávat ze samých nul. Ze druhé podmínky plyne, že a ^ 0 (jinak by se úplně všechny body zobrazovali na nevlastní body). □ Pokud tedy je zobrazení / afinní, můžeme je reprezentovat jednoznačně určenou maticí F, ve které platí a—l: Pro vzory tvaru x — (1, xi,x2,...) jsou také obrazy tvaru x' — (1, x[, x'2,...), takže celá první (nultá) složka v předchozím vyjádření je vlastně zbytečná. (15.3) je proto ekvivalentní následujícímu vyjádření v afinních souřadnicích: Afinní zobrazení mezi prostory stejné dimenze dále rozlišujeme takto:1 • pokud det D > 0, pak / je přímá afinita, • pokud det D < 0, pak / je nepřímá afinita. Determinant det D se nazývá modul afinního zobrazení /. Uvědomte si, že pro transformace, tj. (Ei> zobrazení / : A — A, modul nezávisí na volbě souřadné soustavy! Absolutní hodnota modulu odpovídá tomu, jak se mění obsahy, resp. objemy. Znaménko modulu je kladné/záporné, právě když afinita zachovává/mění orientaci prostoru. Věta. Předpokládejme, že afinní zobrazení f mezi eukleidovskými prostory je v kartézských souřadnicích vyjádřeno jako v (15.4), resp. v homogenních souřadnicích jako v (15.3). Potom platí, že (15.3) X' = D X + c. (15.4) • / je ekviafinní právě tehdy, když det D — ±1, • / Je podobné s koeficientem k právě tehdy, když DT • D — k2 ■ E, • / je shodné právě tehdy, když DT D — E, 1 Vzhledem k vyjádření (15.3) je det F = det D. 15. Analytické vyjadrení 85 Aby první část tvrzení měla vůbec nějaký význam, pak / musí být buď zobrazením mezi prostory stejné dimenze, nebo se uvažuje jeho restrikce na obraz. Pro zbylé dvě části žádný takový předpoklad nepotřebujeme. Jako obvykle, E značí jednotkovou matici (jejíž rozměry odpovídají dimenzi cílového prostoru). Všechny tři části plynou přímo z algebraických charakterizací, jež jsme připomněli v úvodním opakování v podkap. 14, a ze znalosti pojmu matice lineárního zobrazení: v matici D jsou po sloupcích shromážděny souřadnice obrazů bázových vektorů ei, e2,...... □ @ 15.4 Obzvlášť jednoduché případy Tady jmenujeme zobrazení s nejjednoduššími analytickými vyjádřeními. Ve všech případech se jedná o afinní transformace, jejichž indukované lineární zobrazení je násobkem identity. V dalších odstavcích jsou tyto transformace zmiňovány jako takové základní transformace, které mají samodružné všechny směry. Jinými slovy můžeme tyto transformace charakterizovat jako takové afinní transformace, které zobrazují libovolnou přímku na přímku s ní rovnoběžnou (nebo bod). Jsou to: (1) identita: X' = X, (2) posunutí o vektor v: X' = X + v, (3) stejnolehlost se středem 5 a koeficientem k: X' = kX + (1 - k)S, (15.5) (4) středová souměrnost: X' = -X + 25, (5) promítání do bodu 5: X' = 5. Jediný případ, který bychom měli aspoň stručně komentovat je (3): Definice. Stejnolehlost je afinní transformace určená středem 5 a koeficientem k e M, a to tak, že SX' = k ■ SX, neboli X' = 5 + k ■ SX. Tyto vztahy jsou zřejmě ekvivalentní s (15.5). Speciální, resp. degenerované případy — které zpravidla za stejnolehlost neprohlašujeme — odpovídají hodnotám k — 1,-1, resp. 0 a jsou to výše zmiňovaná identita, středová souměrnost, resp. promítání do bodu. Identita, posunutí a stejnolehlost s koeficientem k > 0 jsou přímé afinity. Stejnolehlost s koeficientem k < 0 je přímá právě tehdy, když dimenze afinního prostoru je sudá. Promítání do jediného bodu je maximálně degenerované (singulární) zobrazení, často přezdívané nulové zobrazení. 86 IV. Geometrická zobrazení K výše uvedeným transformačním rovnicím ještě pro pořádek přidáváme matice zastupujících lineárních zobrazení: / N / N / N ^ q, Ve všech těchto případech jsme schopni během několika sekund rozhodnout o druhu zobrazení, známe-li jeho analytické vyjádření. V ostatních případech se tomu budeme učit, a to zejména analyzováním tzv. samodružných prvků. 15.5 Cvičení (1) Projektivní transformace v rovině jsou dány maticemi zastupujících lineárních zobrazení: V každém z těchto čtyř případů: • začněte s obrázkem a pokuste se odhadnout typ transformace, • určete typ transformace a rozhodněte, zdaje transformace regulární/singulární, • v případě afinit určete modul a rozhodněte, zda je transformace přímá/nepřímá/upřímná, • určete obraz několika dalších bodů, např. bodu E — [1,1] či nevlastních bodů odpovídajících souřadným osám. (2) Další čtyři projektivní transformace jsou dány obrazy bodů A= [0,0], B= [2,0], C= [0,2], D= [2,2], a to následujícími způsoby: [9,2],C" = [7,4], D' = [9,3], [9,2],C" = [7,4], D' = [10,4], [9,1],C" = [6,4], D' = [6,1], [9,2],C" = [7, 4], D' = [7,2]. Určete analytická vyjádření těchto transformací a řešte předchozí sérii úloh. (3) Pokud toho ještě nemáte dost, složte některé z výše uvedených transformací a řešte znovu některé z předchozích úloh. 16 Samodružné prvky Ve zbytku této kapitoly diskutujeme téměř výhradně transformace / : A —>• A projektivního rozšíření nějakého afinního prostoru A. Velmi užitečnou informaci o druhu dané transformace poskytují samodružné, neboli invariantní prvky. Několik příkladů klasifikací podle samodružných prvků uvádíme v podkap. 18. 16. Samodružné prvky 87 Samodružná podmnožina m c A transformace / je taková podmnožina, která se zobrazuje sama do sebe, tj. /(M) C m. Speciálně, samodružné body jsou právě pevné body transformace. Samodružné body mohou být jak vlastní, tak nevlastní. Nevlastním samodružným bodům se říká samodružné směry. Nezapomeňte, že je nutné rozlišovat mezi samodružnými podmnožinami a podmnožinami samodružných bodů! @ 16.1 Samodružné body Bod X e A je samodružným bodem transformace /, pokud f{X)=X, což je ekvivalentní podmínce F(x) = A ■ x, (16.6) kde x e W je vektor reprezentující bod X e A, F : W —>• W je lineární transformace odpovídající projektivní transformaci / : A —>• .4 a A je nějaké reálné číslo. To znamená, že samodružné body projektivní transformace / odpovídají právě (nenulovým) charakteristickým vektorům zastupující lineární transformace F. Algebraická odbočka Určit charakteristické vektory lineární transformace F bychom měli umět z lineární algebry: Podmínka (16.6) je v souřadnicích ekvivalentní soustavě lineárních rovnic (F - AE) ■ x = 0, (16.7) kde F je matice zobrazení F a E je jako obvykle jednotková matice. Tato soustava má netriviální řešení právě tehdy, když det(F - AE) = 0. (16.8) Determinant na levé straně je polynom v proměnné A, jehož kořeny jsou tzv. charakteristická čísla transformace F.2 Charakteristické vektory odpovídající příslušným charakteristickým číslům získáme řešením soustavy (16.7), kam postupně tato čísla dosazujeme za A. Zejména, charakteristické vektory odpovídající témuž charakteristickému číslu tvoří vektorový podprostor ve W. Naopak, nenulové charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou nutně lineárně nezávislé. Afinní případ Pokud je transformace / afinní, pak vzhledem k charakterizacím z odst. 15.3 můžeme soustavu (16.7) psát jako /i _ \ n \ /t„\ /n\ (16.9) 2Místo přívlastku charakteristický/-á/-é se v algebře zpravidla stručněji říká vlastni. Z pochopitelných důvodů se raději držíme prvního pojmenování. 88 IV. Geometrická zobrazení Odtud vidíme, že vlastní samodružné body (x0 ^ 0) afinní transformace / nutně odpovídají charakteristickému číslu A — 1 a jsou řešením soustavy (D-E)-X=-c, (16.10) zatímco samodružné směry, tj. nevlastní samodružné body (x0 — 0) mohou odpovídat jakýmkoli charakteristickým číslům A a jsou řešením soustavy (D — AE) • Xqo — 0. (16.11) 16.2 Jednoduchá pozorování Z předchozího výkladu bezprostředně vyplývá několik geometricky zajímavých výsledků s velmi jednoduchým algebraickým zdůvodněním. Samodružný bod bez dalšího přívlastku může být jak vlastní, tak nevlastní; tyto případy rozlišujeme pouze tam, kde to je nutné. Projektivní a afinní Věta. Každá projektivní transformace projektivního prostoru sudé dimenze má aspoň jeden samodružný bod. Matice zastupujícího lineárního zobrazení má rozměry o 1 větší než je dimenze prostoru. To znamená, že charakteristický polynom (16.8) je lichého stupně. Protože je to polynom s reálnými koeficienty, má nutně aspoň jeden reálný kořen. Pro každý takový kořen máme garantováno netriviální řešení soustavy (16.7), jež určuje samodružné body transformace. □ Věta. (1) Každá afinní transformace (afinního prostoru libovolné dimenze) má aspoň jeden samodružný bod. (2) Pokud má afinní transformace nějaké vlastní samodružné body, pak všechny tyto body tvoří afinní podprostor. Matice zastupujícího lineárního zobrazení je tvaru (15.3). Odtud plyne, že A — 1 je vždy kořenem charakteristického polynomu (16.8). Vlastní samodružné body jsou (v afinních souřadnicích) určeny jakožto řešení soustavy lineárních rovnic (16.10). Množina všech vlastních samodružných bodů je proto buď prázdná, nebo tvoří afinní podprostor y A. □ Povšimněte si, že žádné tvrzení analogické (2) neuvádíme v předchozí větě o projektivních (Ei> transformacích. Jediné, co můžeme v této souvislosti říct, je, že všechny samodružné body, které při řešení (16.7) odpovídají témuž charakteristickému číslu, tvoří projektivní podprostor. Úplně klidně se tak může stát, že projektivní transformace v rovině má právě tři různé samodružné body, což je v afinním případě nemožné! Podobné a shodné Nyní zúžíme naši pozornost na podobnosti a shodnosti. V následující větě jsou shodnosti zahrnuty jakožto podobnosti s koeficientem k — 1: 16. Samodružné prvky 89 Věta. Pro každou podobnost / : £ —>• £ s koeficientem k platí: (1) Modul transformace / je roven ±kn, kde n — dimf. (2) Je-li A reálné charakteristické číslo transformace ~^, pak A — ±k. (3) Samodružné směry odpovídající různým charakteristickým číslům jsou navzájem kolmé. (4) Je-li U C ~é samodružný podprostor transformace /*, pak také kolmý doplněk U1- je samodružným podprostorem. Všechna tvrzení plynou přímo z definicí: (1) Modul / je podle definice právě determinant detD, přičemž matice D je tvořena obrazy vektorů ortonormální báze. Modul / je tedy (orientovaný) objem obrazu jednotkové krychle. Pokud je / podobnost, může to být jedině ±kn. (2) Indukované zobrazení /* zachovává velikosti vektorů až na konstantní násobek k. (3) Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé; vybrané vektory označíme u a v. Přitom charakteristická čísla jsou v našem případě pouze k a —k, tudíž jeden z vektorů se zobrazuje na svůj fc-násobek a druhý na — fc-násobek; řekněme u' — ku a v' — —kw. Odchylka vektorů se zachovává <(u, v) — <(u', v') a současně ■, U) + <(ll', v') = <(v, U) + <(U, v') = <(v, v') = 7T. <(v Odtud plyne, že <(u,v) = <(u',v') = §. (4) Uvažme libovolný vektor w e U1-, tzn. w _L U. Podle předpokladu je také w' _L U', kde U' Q U značí obraz podprostoru U. Zúžení podobnosti na jakýkoli invariantní podprostor je zase podobnost (tedy bijekce), proto je obrazem U tentýž podprostor (tedy nikoli nějaký menší podprostor). Proto je w' _L U, neboli w' e U1-. □ Díky druhému tvrzení nemusíme při určování samodružných směrů podobných (tedy i shodných) transformací pracně hledat kořeny charakteristického polynomu! Stačí jenom ověřit jediné Podobně, se by se dalo zdůvodnit, že kdyby transformace měla dva různé středy, pak by to nutně byla identita, což by opět bylo ve sporu s předpokladem věty. □ 17.3 Skládání základních transformací Na úvod začneme s tvrzením, které zobecňuje sérii pozorování v rovině, jimiž jsme se bavili v konstrukční geometrii. Věta. Každá projektivní transformace v prostoru dimenze n lze vyjádřit jako složení nejvýše n +2 základních transformací. Pokud je transformace regulární, musí být všechny základní transformace taky regulární. Maximální počet základních transformací ve zmiňovaném rozkladu souvisí s určeností projektivní transformace, viz důsledek 9.4. Pokud je transformace afinní, stačí nejvýše n + 1 základních transformací, sr. s důsledkem 5.2. Idea důkazu této věty je poměrně prostá — v podstatě zobecňuje celkem jasnou konstrukci v případě shodných transformací, kterou připomínáme na obr. 17.9. Zdůvodnění pro afinní transformace lze najít např. v [Sek, str. 38-39 ve II. díle]. Uvědomte si, že čím obecnější je typ transformace, tím více máme volnosti v možných rozkladech. Obrázek 17.9: [Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností. Vzhledem k předchozí jemnější klasifikaci základních transformací se můžeme ptát, co lze získat skládáním základních transformací jistého druhu. Úvahy tohoto typu doporučujeme jako (Ei> užitečné cvičení. Jistou nápovědou může být, že v afinním případě je modul složené transformace roven součinu modulů transformací, z nichž je tato složena. Na ukázku uvádíme jeden z možných výsledků: • Každá ekviafinita v prostoru dimenze n lze vyjádřit jako složení nejvýše n + 1 šikmých souměrností. (Šikmá souměrnost je tedy o něco základnější ekviafinita než oblíbená elace.) 17. Základní transformace 95 Skládáním základních transformací, které mají stejnou nadosu, musí být zase základní transformace s toutéž nadosou. Speciálně, složením transformací s nevlastní nadosou (posunutí, stejnolehlost) dostáváme transformaci se stejnou vlastností. Jinými slovy, posunutí a stejnolehlost (a její speciální, příp. degenerované podoby) jsou jediné transformace, které mají všechny směry samodružné, a jejich skládáním nemůžeme dostat nic typově jiného. Triviálním poznatkem je, že • složením posunutí o vektor u a posunutí o vektor v je posunutí o vektor u + v, sr. s definicí 4.2. Méně triviální poznatek je zformulován v následující větě: Věta. V libovolném eukleidovském prostoru uvažujme stejnolehlosti hi se středy Si a koeficienty ki (i — í, 2); složené zobrazení h2 o h\ označíme h. (1) Pokud kik2 — 1 a Si — S2, potom je h identita. (2) Pokud k\k2 — 1 a S± ^ S2, potom je h posunutí o vektor v — (1 — k2)S±S2. (3) V ostatních případech je h stejnolehlost s koeficientem k — k\k2 a středem S — Si +---——SiS2. 1 - kxk2 Konstrukční zdůvodnění téměř celé věty4 v eukleidovské rovině známe z loňska. Všechno najednou a úplně obecně dokážeme z explicitního vyjádření složeného zobrazení pomocí (15.5). Stejnolehlost h\, resp. h2 je určena předpisem h\{X) — k\X + (1 — k\)S\, resp. h2(X) — k2X + (1 — k2)S2. Složené zobrazení h — h2o h\ je tedy určeno předpisem h(X) = h2 (kxX + (1 - k^Si) = ... = k2hX + k2(l - kijS! + (1 - k2)S2. Odtud postupně vyvozujeme: (1) Pokud je k]k2 — 1 a S\ — S2, potom po dosazení dostáváme h{X) =X + 0, což jsou transformační rovnice identického zobrazení. (2) Pokud je kik2 — 1 a Si ^ S2, potom po dosazení a úpravě dostáváme h(X)=X + (l-k2)(S2-S1), což jsou transformační rovnice posunutí o vektor v — (1 — k2)SiS2. (3) V ostatních případech je h obecná stejnolehlost s koeficientem k — k\k2. Pokud S značí střed stejnolehlosti h, pak její transformační rovnice jsou h(X) — kX + (1 — k)S. Porovnáním s předchozím vyjádřením h dostáváme c_k2(l-k1)c S- 1-k Sl+i~kh2' což je ekvivalentní s vyjádřením ve větě. □ 4Podstatná část tvrzení (3) tkví v tom, že střed S leží na přímce SiS2- 96 IV. Geometrická zobrazení Poznámky Všechny stejnolehlosti, posunutí a identické zobrazení tvoří grupu, které se říká Mongeova grupa. Jako bezprostřední důsledek předchozí věty zmiňujeme ještě klasickou větu Mongeovu. Jedná § se o planimetrické tvrzení o kružnicích, odkazující na následující poznatky: (a) Stejnolehlým obrazem kružnice je kružnice. (b) Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé, přičemž koeficient stejnolehlosti je roven poměru poloměrů a možné středy stejnolehlosti jsou nejvýše dva. Věta (Mongeova). Pro tři kružnice v rovině platí, že jejich šest středů stejnolehlosti tvoří vrcholy tzv. úplného čtyřstranu, viz obr. 17.10. Obrázek 17.10: Vnější středy stejnolehlosti tří kružnic leží na přímce a stejně tak každé dva vnitřní a jeden vnější střed leží na přímce. 17.4 Cvičení (1) Pro každou transformaci ze cvičení 15.5 rozhodněte, zda je nebo není základní; pokud je, tak ji pojmenujte. (2) Udejte příklad transformace v rovině (včetně analytického vyjádření), která má vlastní osu, nevlastní střed a modul — 1. (3) Transformace eukleidovské roviny je dána analytickým vyjádřením: f(x1,x2) = (x2 + 4, -xi). Dokažte, že / je shodnost a vyjádřete / jako složení osových souměrností. (4) Jsou dány dvě transformace v rovině: 18. Další klasifikace a poznámky 97 /i — stejnolehlost se středem Si — [2,1] a koeficientem ki — 2, f2 — stejnolehlost se středem S2 — [4, —1] a koeficientem k2 — \. Určete druh a určující prvky transformace f2 o flt resp. fi o f2. 18 Další klasifikace a poznámky V této části doplníme ještě několik postřehů k jednotlivým typům transformací, zejména ke shodnostem a podobnostem. 18.1 Shodnosti Již od útlého mládí známe všechny shodnosti v rovině a navíc je umíme pojmenovat. V tomto odstavci nabízíme zdůvodnění, proč jich není víc, představíme jejich klasifikaci pomocí samod-ružných prvků a současně řekneme něco o jejich analytickém vyjádření. Poté naznačíme, jak to vypadá se shodnostmi v obecném eukleidovském prostoru. Klasifikace shodností v rovině V rovině rozlišujeme následující druhy shodností: (1) identita, (2) posunutí, (3) otáčení, (3') středová souměrnost, (4) osová souměrnost, (5) posunutá souměrnost. Středová souměrnost je otáčení o přímý úhel, proto ji podřazujeme obecnému otáčení. První tři transformace jsou přímé, poslední dvě nepřímé. Při prvním pokusu o vyjmenování všech shodností v rovině se obvykle zapomíná na posunutou souměrnost, což je složenina osové souměrnosti a posunutí (ve směru osy). Obrázek 18.11: [Mar] Posunutá souměrnost. Skládáním shodností můžeme dostat zase jenom shodnost — skládáním všech možných dvojic výše vyjmenovaných shodností lze ukázat, že tento výčet je úplný. kém tvaru. 18. Další klasifikace a poznámky 99 ľN. Samo družné 1 . směry BSamodrnžné^s,^ I body \- Žádný Právě dva na sebe kolmě Každý Žádný Posunutá souměrnost Posunuti Právě jeden x, = f cosa -sina \^ P i sina cosa ) a*ku, k celé' Rotace o úhel 0 -1 0 x + 0 «.° 0 -h c;*0 Posunutá osová souměr nost se samodružnou _přímkou X\ X' = X + c Posunutí právě jeden X'-- X N -1 O O Bo a ^ fat, k celé Otočené zrcadlení složené z otočení kolem osy.Ti o úhel a a souměrnosti podle roviny p s xi = 0 X'. =-x Středová souměrnost se . středem v počátku x-i1 °-\x vyplní přímku Q B a*kn, k celé Otočení kolem osy xi o úhel a X'= 0 0^ 0-10 ^0 0 -1, Souměrnost podle osy x\ -r—-1 N vyplní rovinu X'= 10 0 "\ X 0 1 o 0 0 -1 Souměrnost podle roviny p g x3 ~ 0__ každý X' = X Identita Tabulka 18.4: [Ř.f2] Klasifikace shodností v prostoru podle samodružných prvků. 102 IV. Geometrická zobrazení báze celého prostoru, pak matice indukovaného lineárního zobrazení ke každé shodnosti vzhledem k takto vybrané bázi bude mít některý z následujících tvarů: kde bloky D± jsou právě matice (18.13). (Aby to bylo zajímavější, v tabulce 18.4 vystupuje D+ pod pseudonymem BQ.) Shodnosti obecně Obecné závěry v eukleidovském prostoru obecné dimenze se dají vytušit z předchozí zkratky v dimenzi 3 a cvičení 18.4(2): Charakteristický polynom může mít za reálné kořeny jedině ±1 a komplexní kořeny jsou vždy v (komplexně sdružených) párech. Každý polynom má nad komplexními čísly právě tolik kořenů (včetně násobností), jaký je jeho stupeň, tzn. jaká je dimenze okolního prostoru. Reálným kořenům odpovídají reálné charakteristické vektory, které určují samodružné směry shodnosti. Komplexně sdruženým kořenům odpovídají dvojrozměrné samodružné podprostory takové, že zúžení na tyto podprostory je právě otáčení o úhel rovný argumentu odpovídajícího komplexního charakteristického čísla. Na první pohled není zcela jasné, jakou roli hrají vyšší algebraické násobnosti kořenů, což na tomto místě nehodláme rozklíčovat. Bez dalšího zdůvodňování uvádíme následující charakterizaci, viz [Zl]: Věta. Zobrazení f : £ —>• £ je shodnost právě tehdy, když platí, že zaměření je přímým součtem navzájem kolmých jedno- a dvourozměrných invariantních podprostorů takových, že zúžení /* na kterýkoli jednorozměrný podprostor je ± id a zúžení na kterýkoli dvourozměrný podprostor je otáčení o úhel rovný argumentu odpovídajícího komplexního charakteristického čísla. Libovolnou shodnost lze tedy ve vhodné souřadné soustavě vyjádřit maticí, která má na hlavní (Ei> diagonále právě čísla ±1 nebo bloky D± a jinak samé 0... 18.2 Podobnosti V tomto odstavci doplníme několik typických poznámek k podobnostem, které by bylo škoda opomenout. Rozklady podobností Pokud obecnou podobnost / : £ —>• £ s koeficientem k složíme s nějakou stejnolehlostí h : £ —>• £ s koeficientem ^, pak výsledná transformace g :— h o / je zřejmě shodná. Protože každá stejnolehlost je invertibilní, platí / — h^1 o g. Protože inverzní transformace ke stejnolehlosti je opět stejnolehlost, právě jsme zdůvodnili následující tvrzení: Věta. Každou podobnost lze vyjádřit (mnoha různými způsoby) jako složení shodnosti a stejnolehlosti. 18. Další klasifikace a poznámky 103 Ve čtvrté větě v odst. 16.2 jsme dokázali, že každá podobnost, která není shodností, má právě jeden vlastní samodružný bod. Tento bod může hrát docela zajímavou roli při rozkladech zmiňovaných v předchozí větě: Uvažme podobnost / s koeficientem k a samodružným bodem S. Chceme vyjádřit / jako složení nějaké shodnosti g a stejnolehlosti h tak, aby platilo např. f — ho g. To lze samozřejmě realizovat tisícerým způsobem, ale pokud zvolíme střed stejnolehlosti h právě ve význačném bodě S, pak nutně musí být S také pevným bodem shodnosti g. Pro tento specificky zvolený rozklad navíc platí, že je jedno, v jakém pořadí stejnolehlost a shodnost skládáme, což rozhodně nemůžeme tvrdit obecně! Jinými slovy, pro takto (a právě takto) zvolený rozklad platí: , :: i--1 i. -Im: iann>dľĽ íllí! bod 4 v'» -bx l íiv 5 jJ* iíjf 4 ty v'" ÍIV 6 v'- Á 7 .T il_f aíO,uřl,rřO ,.■,/■■::.,,■ s 1, ,/ i 1 u ŕO, ď ŕ 1 IihlhúJlhUHhU vííŕfi s* m od r n ä n v e h bodů Je peiraki s v - v y každý hod 10 y'* y ]. Afinita ilaiená z elace a translace 1. Afinita íloiená z osové afinity a translace 3. Tramlace 4. Afinita tloíenä z rotace a stejľiiilelsluiti 5. Afinita ilúiená z elace a stejtiolelilasli !i. Afinita iloieni z osové afinity a stejtio] eh losli 7. Stejnolehlost S. Elace 9. Ose v i afinita ] n. identita Tabulka 18.5: [ŘI2] Klasifikace afinit v rovině. KAPITOLA V Dodatky 19 Pseudo-eukleidovské prostory pseudoskalární součin, pseudo-shodnosti apod., ... 20 Další geometrická zobrazení konformní a kontaktní zobrazení, nějaká katrograŕická zobrazení -150°-12O*-9(rr6O'>-30'> 0° 30° 60' 90* 120' 150* 180* 21 Kuželosečky a kvadriky přehled metrické/afinní/projektivní klasifikace, ... 105 106 V. Dodatky 22 Kleinova geometrie přímek prostor přímek, průnik a vzdálenost přímek, průnik přímky s rovinou, ... 23 Lieova geometrie kružnic prostor kružnic, dotyk a úhel průniku kružnic, Apollóniovy úlohy, cyklografie, ... řig. IS. Flf. Jí, 24 Grupové akce 24.1 Působení grupy na množině Všechny bijektivní transformace na (jakékoli) množině X tvoří grupu (s operací skládání zobrazení), kterou značíme Sx-1 Grupa Sx, stejně jako jakákoli její podgrupa G C Sx, přirozeně působí na množině X; jedná se o nejjednodušší příklady akce grupy na množině. Např. grupa symetrií krychle působí na vrcholech krychle jakožto podgrupa S$, grupa lineárních izomorfismů vektorového prostoru V je podgrupou Sy apod. Obecnou akcí grupy G na množině X se myslí přiřazení, kdy každému prvku grupy G odpovídá nějaká bijekce na množině X tak, že násobení v G korepsonduje se skládáním odpovídajících bijekcí. Stručněji můžeme říct, že Definice. Akce grupy G na množině X je grupový homomorfizmus : G —>• Sx- Akci (nebo působení) konkrétního prvku g G G na X, obvykle zapisujeme jako x i->- g(x) místo správnějšího x i->- (g)(x). 1 Pokud je množina X konečná a má n prvků, místo S x zpravidla píšeme Sn a mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací. 25. Frízové a tapetové vzory 107 24.2 Další příklady d (1) přirozená akce GL(V) ne V indukuje také akci na množině všech /j-rozměrných podprostorů ve V, (2) grupa 0(n + 1) působí na sféře Sn C M™+1: zúžení přirozené akce na M™+1, (3) R* (— R\ {0} s operací násobení) působí na libovolném reálném vektorovém prostoru: r(v) — rv, (4) V (vektorový prostor jakožto komutativní grupa) působí na každém afinním prostoru se zaměřením V: v (A) — A + v, (5) libovolná grupa G působí sama na sobě, např. zprava: g (ti) — hg, (6) Sx působí na množině všech zobrazení X do Y: g(f) — f o g. 24.3 Orbity, tranzitivní a efektivní akce Orbita prvku x e X vzhledem k akci grupy G na X je podmnožina G(x) = {g(x) :geG}CX. Dvě různé orbity se nikdy neprotínají a sjednocení všech orbit je celá množina X. Akce grupy na množině tedy definuje relaci ekvivalence, jejíž třídy rozkladu jsou právě orbity akce. Např. akce grupy symetrií krychle na množině jejích vrcholů má jedinou orbitu (každý vrchol krychle lze zobrazit na kterýkoli jiný), akce GL(V) na V má dvě orbity (jednoprvková orbita {o} a komplementární podmnožina V \ {o}) apod. Akce G na X je tranzitivní, pokud má jedinou orbitu. Jinými slovy, jeden vybraný (ekvivalentně, každý) prvek z X lze zobrazit na kterýkoli jiný působením nějakého prvku z G. Množina X s tranzitivní akcí grupy G se jmenuje homogenní prostor grupy G. Každá orbita je tedy homogenním prostorem. Akce je efektivní (nebo věrná), pokud jediný prvek z G, který působí jako identita na X, je neutrální prvek grupy G. Ekvivalentně, odpovídající homomorfizmus : G —>• Sx je injektivní. Rozhodněte, zda výše zmiňované akce jsou efektivní a tranzitivní; pokud nejsou tranzitivní, L \L, ,L AXXXÁÁAs ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ „: Obrázek 25.1: Sedm frízových vzorů s různými grupami symetrií. 26 Třetí Hilbertův problém Tady doplňujeme diskuzi, kterou jsme vyprovokovali za větou 13.5, jež popisuje objem fc-rozměrného simplexu jako -g objemu jím určeného rovnoběžnostěnu. Připomínáme, jak klasikové nahlížejí tento problém pro k — 2 a 3; veškeré nespecifikované citace jsou z [Eu]: k — 2: Jinými slovy můžeme říct, že úhlopříčka v rovnoběžníku jej rozděluje na dva trojúhelníky se stejným obsahem. To je přesně obsahem tvrzení 1.41, jež odkazuje na 1.37. Těmto tvrzením perfektně rozumíme z kurzu konstrukční geometrie, a to s pouhým pravítkem, kružítkem a nůžkami v ruce! k — 3: V tomto případě stačí ukázat, že trojboký (obecně šikmý) hranol lze rozdělit na tři čtyřstěny se stejným objemem, což je právě tvrzení XII.7, viz obr. 26.2. Toto tvrzení se odkazuje na větu XII.5, jejíž zdůvodnění je však překvapivě mnohem komplikovanější než analogický výsledek v dimenzi 2. Věta XII.5 je dokázána Eudoxovou exhaustivní metodou, což je technicky poměrně komplikovaná procedura, která je v podstatě ekvivalentní s infinitezimálními úvahami, jak je známe z matematické analýzy. Přirozenou otázkou je, zda to nejde udělat lépe. Právě tato pozorování jsou prazdrojem velice zajímavého Hilbertova problému č. 3: 2 http: //cs. wikipedia. org/wiki/Hilbertovy_probl'/,C3'/,A9my 26. Třetí Hilbertův problém 109 Obrázek 26.2: [Ha] Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu opsaného hranolu. • Platí pro libovolné dva mnohostěny se stejným objemem, že jeden lze rozstříhat na konečný počet menších mnohostěnů, z nichž lze složit ten druhý? Odpověď (z roku 1900) je záporná: • Mnohostěny, pro které je toto možné, musí mít stejný tzv. Dehnův invariant. Řešení je veskrze algebraické; celou zápletku i s rozumnými podrobnostmi lze najít např. v [Ha, podkap. 27]. 110 V. Dodatky Návody a řešení Kapitola II 4.4, str. 16 — Součet afinních podprostorů Pokud vás nic nenapadá (ani nad obrázkem 4.3), uvažte např. dvojici různoběžných, resp. mi-moběžných přímek v M3... 4.5, str. 17 — Cvičení (3) Všechna řešení uvedené rovnice jsou {c\e2x cos x + C2e2x sin x + 2 : c\, c2 G M}. 7.1, str. 28 — Zdůvodnění důsledků (1) t a t jsou komplementární, pokud — {o}. Z první rovnosti plyne, že každý vektor bÓ patří do + ^ , tudíž podprostory se protínají. Z druhé rovnosti plyne dim(^ n ~Č) — dim(£> n C) — 0, tudíž průnikem je bod. (2) Jistě je dim£> a dimC > 1, jinak by B a C byly rovnoběžné. Z mimoběžnosti také plyne B n C = 0, což podle předchozí věty a rovnosti (4.2) znamená, že dim(£> ~+t) = dim(^ + C ) + 1. Dále zřejmě platí dim^t > dim(£> + é). Podle (7.7) můžeme psát: dim ~JÍ > dini(# + Č) = dim(^ + ~Č) + 1 = dim ~Š + dim - dim(£^ n "?) + 1. Z mimoběžnosti dále plyne, že nem roven ani ~Š ani ~Č (jinak by B a C byly rovnoběžné), tzn. jak dim B, tak dim C je > dim Jinými slovy jak rozdíl dim tak rozdíl dim je > 1. Dosazením do pravé strany v předchozím výrazu vidíme, že platí jak dim .4 > dim S + 2, tak dim .4 > dim C + 2. (3) Protože C je nadrovina a B je s ní různoběžný podprostor, platí B + C — A. Odtud také plyne dim(£^ + ~8) — dim A Podle (7.7) můžeme psát: dim(^ n ~í) — dim ~Š + dim ~& — dim(^ + ~í) — dim ~$ + dim — 1 — dim — dim ~$ — 1, což se mělo dokázat. □ 111 112 Návody Obrázek 26.3: [Ma] Příčky ke dvěma mimoběžkám, jež jsou rovnoběžné s danou rovinou, tvoří tzv. parabolický hyperboloid. 8.4, str. 36 — Cvičení (6) viz obr. 26.4: X! + x2 + x3 + x4 _ 2^±^ + 2^± _ 3*1+^+*» +Xi 9.6, str. 45 — Dvojpoměr pro malíře Jsou-li A,B,C,D kolineární body takové, že pak jejich dvojpoměr podle (9.14) vychází 2 2 4 (ABCD) = \. §4 Kapitola III 11.1, str. 53 — Zdůvodnění věty Místo tet píšeme U C V. • t/-1 je vektorový podprostor (plyne z definicí a bilinearity skalárního součinu): xjel/1 => x.u = 0a y.u — 0 (pro lib. u e í/) =4> (ax + 6y).u = 0 => ax + 6y e Č7J a řešení 113 x2 +x3 Obrázek 26.4: [Be] Konstrukce bodu \(x\ + x2 + x3 + x4) • U n U1- — {o} (plyne z pozitivní definitnosti skalárního součinu): u e U a u e U± => u _L u => u — o. • U + U1- — V (plyne z dennice a věty o součtu a průniku vektorových podprostorů): Je-li dim U — k, dim V — n a Ui,..., je nějaká báze U, pak U1- je určeno soustavou k (nezávislých) rovnic v n neznámých: [/i={xeľ:x.u1 = 0,...,x.uJ; = 0}. Proto je dim U1- — n — k. Navíc platí dini(£7 + U^) = dim U + dim U1- - dini(£7 n U^) = k + n-k-0 = n. Protože n — dim V, musí být U + U1- — V. □ 11.2, str. 55 — Podivné vlastnosti kolmosti Uvažme 4-rozměrný eukleidovský prostor £ a nějakou kolmou bázi (ei, e2, e3, 64) zaměření £'. Stačí zvolit např. podprostory B,C C T C £, jejichž zaměření jsou £^ — (e1,e2), ~č — (ei,e3) a = (e1,e2,e3). V eukleidovském prostoru platí £^ — (e3) c (e1; e3) — ~S, tedy B a C jsou kolmé v J7. Avšak v eukleidovském prostoru pozorujeme: ~š — (e3,e4), což v žádném případě neobsahuje, ani není obsaženo v (ei, e3) — C, tedy B a C nejsou kolmé v £. 114 Návody Literatura [Ar] B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999 [Be] M. Berger, Geometry I, II, Springer, 1987 [Be2] M. Berger, Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry, Springer, 2010 [Co] H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1989 [Dv] T. Dvořáková, Přínos Jánoše Bolyaie k základům neeuklidovské geometrie, UK Praha, 2012 [El] J. Elbelová, Vektorové metody v euklidovské geometrii, MU Brno, 2011, http://is.muni.cz/th/13813/prif_d/dizerJE.pdf [Eu] Eukleides, Základy, Alexandrie, —300 (pro specifická vydání viz [Eui, Eu2, EU3] níže) [Ha] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000 [Ha2] R. Hartshorne, Teaching geometry according to Euclid, Notices of AMS, 2000, http://www.ams.org/notices/200004/fea-hartshorne.pdf [Hi] D. Hilbert, The Foundations of Geometry, 1902, http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf [HiCV] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the imagination, Chelsea, 1999 [HoJa] P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, Brno, 1997 [Ku] F. Kuřina, Deset geometrických transformací, Prometheus, 2002 [LiSch] S. Lie, G. SchefFers, Geometrie der berůhrungstransformationen, Teubner, 1896 [Ma] F. Machala, Plochy technické praxe, Olomouc, 1986 [MaSl] F. Machala, V. Slezák, Geometrie grup kolineací, Olomouc, 2001 115 116 Literatura [Mar] G.E. Martin, Transformation geometry, Springer, 1982 [Po] A. Pokorný, Tapetové vzory a grupy, MU Brno, 2008 http://is.muni.cz/th/106039/pedf_b/tapetove_vzory.pdf [Rek] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968 [Rí] O. Říha, Konstrukční geometrie I, II, Brno, 2002 [Ŕí2] O. Říha, Pomocné materiály do geometrie, Brno, 2000 [Sek] M. Sekanina a kol., Geometrie I, II, SPN, 1986 [Se] O. Sekora, Brouk Pytlík, Albatros, 1969 [St] J. Stillwell, The four pillars of Geometry, Springer, 2005 [Zl] P. Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf [Zá] V. Zádník, Konstrukční geometrie, 2012, http://is.muni.cz/el/1441/j aro2013/MA2BP_PKG/um/osnova.pdf * * * [Eui] Eucliďs elements, interaktivní edice D. Joyce podle překladu T. Heatha (1908-28), http://alephO.čiarku.edu/~dj oyce/j ava/elements/elements.html [Eu2] The elements of Euclid, atraktivní vydaní prvních 6 knih od O. Byrneho (1847), http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html [EU3] Eukleides, Základy, Knihy I-IV, české vydaní prvních 4 knih, jež zpracoval a komentářem opatřil P. Vopěnka podle překladu F. Servíta (1907), O.P.S., 2008 Seznam obrázků 1.1 Eukleidův dodatečný postulát............................. 8 3.2 Hierarchie geometrií.................................. 12 4.1 Kritérium rovnobežnosti přímek............................ 13 4.2 Axiómy obecné afinní struktury............................ 14 4.3 Průnik a součet afinních podprostorů......................... 16 5.4 Osová afinita...................................... 18 5.5 Afinní zobrazení indukuje lineární zobrazení mezi zaměřeními............ 19 5.6 Definice afinního zobrazení .............................. 19 5.7 Středové promítání mezi rovinami........................... 20 6.8 Afinní souřadnice.................................... 21 6.9 Přechod mezi dvěma afinními repéry......................... 22 6.10 Dvojí vyjádření téže roviny.............................. 23 6.11 Obecné vyjádření přímky............................... 24 6.12 Podprostor jako průnik nadrovin........................... 25 6.13 Několikeré vyjádření téže přímky........................... 25 6.14 [Rek] Interpretace konstant z různých vyjádření přímky.............. 26 7.15 Vzájemné polohy afinních podprostorů........................ 28 7.16 Charakterizace neprázdného průniku podprostorů.................. 29 7.17 [LiSch] Ke dvěma mimoběžkám existuje oo2 různých příček............. 32 8.18 Bod X na úsečce AB.................................. 35 8.19 [Be] Těžiště mnohoúhelníku obecně není totéž, co těžiště bodové hmotné soustavy 36 8.20 Stopy........................................... 37 9.21 Středová projekce je projektivní zobrazení...................... 37 9.22 Na projektivní přímce relaci „mezi" nemáme .................... 38 9.23 Projektivní rozšíření afinní roviny........................... 39 9.24 Homogenní souřadnice................................. 40 9.25 [Be] Ukázka z Lambertovy Perspektivy (1759).................... 41 9.26 Charakterizace projektivního zobrazení........................ 41 9.27 Vyjádření nadroviny v projektivním prostoru.................... 44 9.28 [St] Která čtveřice bodů je projektivním obrazem stejně vzdálených bodů? .... 45 9.29 [St] Perspektivní průmět čtvercového dláždění roviny................. 45 117 118 Seznam obrázků 9.30 [Be] Porovnání perspektivních průmětů téže roviny................. 46 10.1 Kosinová věta...................................... 50 10.2 K definici funkce cos.................................. 51 11.3 Kolmé podprostory v eukleidovském prostoru.................... 53 11.4 Kolmý průmět vektoru v do podprostoru U...................... 55 11.5 Kolmý průmět vektoru do jednorozměrného podprostoru.............. 56 12.6 Vzdálenost bodu od podprostoru........................... 58 12.7 Vzdálenost podprostoru................................ 59 12.8 Vzdálenost bodu od nadroviny............................. 61 12.9 Vzdálenost bodu od roviny a výška rovnoběžnostěnu................ 62 12.10K definici odchylky................................... 63 12.110dchylka přímek..................................... 64 12.120dchylka přímky a obecného podprostoru....................... 65 12.130dchylka přímky a nadroviny............................. 65 12.140dchylka nadrovin.................................... 66 12.15K obecné diskuzi o odchylce............................... 68 13.16[Eui] Rovnoběžníky se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah....... 69 13.17K objemu rovnoběžnostěnu................................ 70 13.18Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu .... 71 14.1 [Ku] Základní kolineace v rovině je osová kolineace.................. 78 14.2 [Ku] Základní afinita v rovině je osová afinita..................... 79 14.3 [Eui] Typická ekviafinita je elace............................ 79 14.4 [Se] Základní shodnost je souměrnost podle nadroviny................ 80 14.5 [Be] Základní podobnost je stejnolehlost........................ 80 14.6 Hierarchie geometrických zobrazení.......................... 82 17.7 Konstrukce obrazu bodu v osové kolineaci...................... 91 17.8 Konstrukce obrazu bodu v osové afinitě ....................... 92 17.9 [Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností. ... 94 17.10Mongeova věta..................................... 96 18.11 [Mar] Posunutá souměrnost............................... 97 18.12Přehled shodností v rovině pomocí obrazů trojúhelníku............... 98 18.13Přímý a nepřímý obraz ortonormální báze...................... 100 25.1 [www.oswego.edu/~baloglou/103/crystal.htmlJSedmfrizovychvzoru..... 108 26.2 [Ha] Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu opsaného hranolu..... 109 26.3 [Ma] Parabolický hyperboloid............................. 112 26.4 [Be] Konstrukce bodu \(x\ + x2 + x3 + x4)..................... 113 Seznam tabulek 14.1 Přehled geometrických zobrazení........................... 81 17.2 Klasifikace základních transformací v rovině..................... 92 18.3 [ŘI2] Klasifikace shodností v rovině podle samodružných prvků........... 99 18.4 [Rí2] Klasifikace shodností v prostoru podle samodružných prvků.......... 101 18.5 [ŘI2] Klasifikace afinit v rovině............................. 104 119 120 Rejstřík úhel, 34 úsečka, 33 afinita, 19, 103 ekvi-, 94 nepřímá, 84 osová, 18, 79, 92 přímá, 84 afinní geometrie, 19 obal, 16 podprostor, 15 poloprostor, 34 prostor, 14 standardní, 15 repér, 21 souřadnice, 21 zobrazení, 19, 78 bod nevlastní, 38 samodružný, 87 vlastní, 38 Bolyai, J., 11 Cantor, G., 11 charakteristický číslo, 87 polynom, 87 vektor, 87 cvičení, 15, 17, 20, 22, 27, 32, 36, 45, 75, 86, 89, 96, 103 Dedekind, R., 9, 11 Dehn, M., 109 Desargues, G., 11 Descartes, R., 10 determinant Gramův, 70 doplněk, 28 kolmý, 53 dvojpoměr, 42 elace, 79, 92 projektivní, 91 Eudoxos, 108 Eukleides, 7 Euler, L., 11 Frobenius, F.G., 31 Gauss, C.F., 11 geometrie absolutní, 9 afinní, 9, 13-36 eukleidovská, 9, 47-75 hierarchie —, 12 neeukleidovské, 9 projektivní, 9, 37-46 Gergonne, J.D., 11 Gram, J.P., 70 grupa akce, 15, 106 frízová, 107 tapetová, 107 transformační, 10 , 56, 68, Hamilton, W.R., 11 Hilbert, D., 8, 108 hyperboloid eliptický, 32 parabolický, 32 121 122 Rejstřík incidence, 8 Jacobi, C.G.J., 73 Klein, F., 10, 11 kolineace, 40 nadosová, 93 osová, 78, 90 kolmý doplněk, 53 průmět, 54 kolmost, 7, 49, 53-55 Komenský, J.A., 3 konvexní množina, 34 obal, 34 Lapiace, P.S., 73 Lie, S., 10, 74 Lobačevský, N.I., 11 Möbius, A.F., 11 mimoběžnost, 27 modul afinní transformace, 84 osové kolineace, 91 Monge, G., 96 nadosa, 93 nadrovina, 15 nerovnost Cauchyova-Schwartzova, 48 trojúhelníková, 48 obal afinní, 16 konvexní, 34 objem, 68-75 obsah, 68-75 odchylka, 49, 50, 62-68 orbita, 107 osa, 58, 90 nad-, 93 příčka, 31 Pappos, 11 Pascal, B., 11 Plücker, J., 11 podobné zobrazení, 80 podobnost, 52, 102-103 poměr dělicí, 18 dvoj-, 42 harmonický, 42 Poncelet, V., 11 postulát, 8 posunutí, 15, 85, 91, 95 projektivní podprostor, 38 prostor, 38 rozšíření, 38 zobrazení, 40, 77 prostor afinní, 14 eukleidovský, 49 metrický, 48 polo-, 34 projektivní, 38 rovnoběž- -ky, 13, 18 -nik, 69 -nost, 8, 16, 27, 44, 62 -nostěn, 69 Schmidt, E., 70 shodnost, 8, 47, 51, 97-102 simplex, 74 součet, 16 součin skalární, 48 vektorový, 73 vnější, 72 souřadnice afinní, 21 barycentrické, 35 homogenní, 39 kartézské, 82 souměrnost šikmá, 91, 94 harmonická, 91 osová, 80, 91 posunutá, 97 středová, 85 spojitost, 9 střed, 90, 93 Steiner, J., 11 stejnolehlost, 80, 85, 91, 95 Rejstřík 123 těžiště, 35 transformace, 86-103 základní, 90-97 uspořádání, 8, 33 věta kosinová, 50 Mongeova, 96 základní, 20, 41 velikost úhlu, 50 úsečky, 49 vektoru, 48 vyjádření podprostoru neparametrické, rovnicové, 24 parametrické, 23 vzdálenost, 57-62, 74 Weyl, H., 11 Základy, 7-8 zaměření, 14 zobrazení afinní, 19, 78 ekviafinní, 52, 79 podobné, 52, 80 projektivní, 40, 77 shodné, 51, 79 124 Rejstřík Hilberts's Axioms for Plane Geometry Undefined terms: Point, line, plane, betweerijCongruence. Connection (Incidence) I-1. Through any two distinct points A, S there is always a 1 ine m. 1-2. Through any two distinct points A, B there is not more than one line m. 1-3. On every line there exist at least two distinct points. There exist at least three points which are not on the same line. I- 4. Through any three points, not on the same line, there is one and only one plane. Order II- 1. If point B is between points A and C, then A, B, C are distinct points on the same line, and B is between C and A. II-2. For any two distinct points A and C, there is at least one point B on the line AC such that C is between A and B. II-3. If A, B, C are three distinct points on the same line, then only one of the points is between the other two. Definition By the segment AB is meant the set of all points which are between A and B. Points A and B are called the endpoints of the segment. The segment AB is the same as the segment BA. II-4. (Pasch's Axiom) Let A, B, C be three points not all on the same line and let m be a line in the plane A, S, C which does not pass through any of the points A, B, C. Then if m passes through a point of the segment AS, it will also pass through a point of segment AC or a point of segment BC. Note: II-4'. This postulate may be replaced by the separation axiom. A line m separates the points of the plane which are not on m, into two sets such that if two points X and Y are in the same set, the segment XY does not intersect m, and if X and Y are in different sets, the segment XY does intersect m. In the first case X and Y are said to be on the same side of m\in the second case, X and Y are said to be on opposite sides of m. Definition By the ray AB is meant the set of all points consisting of those which are between A and B, the point B itself, and all the points C such that B is between A and C. The ray AB is said to emanate from the point A. A point on a given line m, divides m into two rays such that two points are on the same ray if and only if A is not between them. Definition If A, B and C are three points not on the same line, then the system of three segments AS, BC, CA, and their endpoints is called the triangle ABC. The three segments are called the sides of the triangle, and the three points are called the vertices. Congruence III-1. If A and B are distinct points on line m and if A' is a point on line m (not necessarily distinct from m), there is one and only one point S' on each ray of m' emanating from A' such that the segment A'S' is congruent to the segment AB. III-2. If two segments are each congruent to a third, then they are congruent to each other. (From this it can be shown that congruence of segments is an equivalence relation; i.e., AS = AS; if AS = A'S', then A'S' = AS; and if AS = CD and CD = EF, then AS = EF.) ni-3. If point C is between A and B, and C is between A' and S', and if the segment AC=A'C and the segment CB = CB", then segment AB ssegment A'S'. Definition By an angle is meant a point (called the vertex of the angle) and two rays (called the sides of the angle) emanating from a point. If the vertex of the angle is point A and if B and C are any two points other than A on the two sides of the angle, we speak of the angle BAC or CAB or simply the angle A. Ill-4. If BAC is an angle whose sides do not lie on the same line and if in a given plane, A'S' is a ray emanating from A', then there is one and only one ray A'C on a given side of line A'S", such that Z B'A'C — Z BAC. In short, a given angle in a given plane can be laid off on a given side of a given ray in one and only one way. Every angle is congruent to itself. Definition If ABC is a triangle then the three angles BAC, CBA, and ACB are called the angles of the triangle. Angle BAC is said to be included by the sides AS and AC. III-5. If two sides and the included angle of one triangle are congruent, respectively, to two sides and the included angle of another triangle, then each of the remaining angles of the first triangle is congruent to the corresponding angle of the second triangle. Parallel axiom rV-L (Playfair's postulate) Through a given point A not on a given line m there passes at most one line, which does not intersect m. Continuity V-l. (Axiom of Measure—Archimedes axiom) If AB and CD are arbitrary segments, then there exists a number n such that if segment CD is laid off n times on the ray AS starting from A, then apoint E is reached, where n-CD = AE, and where B is between A and E. V-2. (Axiom of linear completeness) the system of points on a line with its order and congruence relations cannot be extended in such a way that the relations existing among its elements as well as the basic properties of linear order and congruence resulting from Axioms I-III and V-l remain valid. JCoje: V. These axioms may be replaced by Dedekind's axiom of continuity. For every partition of the points on a line into two nonempty sets such that no point of either lies between two points of the other, there is a point of one set which lies between every other point of that set and every point of the other set. 1