PříkladyPříklady
Př.1Př.1
 Populace má v daném testu průměr 100,
směrodatnou odchylku 15.
 Vypočítejte hranice intervalů, v kterém se
nachází 68 % populace.
68, 27% leží v intervalu:
(průměr + - směr. odchylka)
 Výška v populaci chlapců ve věku 3,5 - 4 roky má
normální rozdělení s průměrem 102 cm a
směrodatnou odchylkou 4,5 cm.
 Vypočítejte hranice intervalu hodnot výšky , ve
kterých se nachází
 A)68%
 B) 95%
 C)99%
 příslušné populace
Příklad
V normálním rozdělení:
 68, 27% leží v intervalu:
 (průměr + - směr. odchylka)
 95% leží v intervalu:
 (ar. průměr +- 1,96 směr. odchylky)
 99% leží v intervalu:
 (ar. průměr +- 2,576 směr. odchylky)
Příklad 3Příklad 3
 zadání:
 Výška v populaci chlapců ve věku 3,5 - 4 roky
má normální rozdělení s průměrem 102 cm a
směrodatnou odchylkou 4,5 cm.
 Spočtěte, jaké procento chlapců v uvedeném
věku má výšku menší nebo rovnou 93 cm.
Řešení 3Řešení 3
 Pravděpodobnost, že výška nabude hodnoty menší nebo
rovné 93 cm, je vyjádřena hodnotou distribuční funkce F
(93) pro parametry normálního rozdělení 102;4,5
Odpověď: 2,27 % chlapců ve věku 3,5 – 4 roky je menších než 93 cm
Příklad 4Příklad 4
 Psychologickými testy bylo zjištěno, že hodnota
IQ populace je náhodnou veličinou s normálním
rozdělením, jehož střední hodnota je 104 a
směrodatná odchylka 8.
 Určete hodnotu IQ, kterou podle uvedených
pravděpodobnostních předpokladů:
 meze, ve kterých bude 50% populace,

Řešení 4Řešení 4
 a) meze pro 50 % mužské populace
50 %
Hledáme dolní a horní meze intervalu ( hodnot IQ),
ve které se bude nacházet 50% mužské populace, tj 1. a 3. kvartil
104
Podle parametrů
daného normálního
rozdělení
50 populace
má IQ v intervalu
98,6 a 109,4.
Řešení 2a)
Excel, statistická
funkce inverzní k e
Gauss. - NORMINV
Binomické rozděleníBinomické rozdělení
Binomické rozděleníBinomické rozdělení
 pro diskrétní náhodné proměnné,
 které mohou nabývat pouze dvou hodnot ( např.
ano, ne)
 pravděpodobnost, že nastane alternativa ANO
označme π
 pravděpodobnost, že nastane NE …q = 1 – π),
protože
 platí π +q = 1 (100 %)
 k výpočtu se používá binomický rozvoj
Příklad 1Příklad 1 –– binomickébinomické
rozdělenírozdělení
 Předpokládejme, že pravděpodobnost
narození dívky je 0,49.
 Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi
třemi dětmi v rodině je právě jedna dívka?
Řešení 1Řešení 1
Tabulka3: Parametry binomického rozdělení v příkladu
Pokus Úspěch Neúspěch Pravděpodobnost
úspěchu
Počet
pokusů
Počet
úspěchů
n k
narození
dítěte
dívka chlapec 0,49 počet dětí počet dívek
Jak je vidět z tabulky, počet narozených dívek v rodině je náhodná veličina
s binomickým rozdělením. Pravděpodobnost, že mezi třemi dětmi je právě jedna dívka
tedy vypočteme jako
Pravděpodobnost, že
ze tří dětí bude jedna
dívka, je 38%.
Řešení 1
Příklad 2Příklad 2
Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s 8 dětmi jsou právě 3
dívky? Pravděpodobnost narození dívky je 0,49.
Řešení
binomický rozvoj:
Pravděpodobnost, že v rodině s 8 dětmi jsou tři dívky,
je 0,23, tj. 23 %.
Příklad 2, binomické rozděleníPříklad 2, binomické rozdělení
 Vypočítejte pravděpodobnost, se kterou se
vyskytne určitý počet měsíců v roce hodnocených
jako „ suché“.
 Konkretizace:
 oblast Oxford,
 období 1851 – 1943, tj. 1116 měsíců
 Suchý měsíc - tj. méně srážek v měsíci než je
dlouhodobý průměr tohoto měsíce.
 617 měsíců hodnocených jako suché
 499 – vlhké měsíce
„úspěch“ „neúspěch“ Pravděpodobnost
suchého měsíce
Pravděpodobnost
vlhkého měsíce
suchý vlhký π = 617/1116
π = 0,553
q = 499/1116
q = 0,447
(q = 1 – π)
Počet
suchých
měsíců
Počet
měsíců
n =12 k=0 až 12
Řešení
a) Ručně pomocí binomického rozvoje
b) s podporou např. Excel
Řešíme dílčí příklady, tj. jaká je pravděpodobnost, že v roce se vyskytne
a) žádny suchý měsíc, tj- k = 0
b) Jeden suchý měsíc, tj. k = 1
c) Atd.
d) všechny měsíce suché, k= 12
Řešení 2
Řešení 2 ukázkA . Pravděpodopbnost , že v daném období bude v roce 5 měsíců s
uchých
PoissonPoisson -- příkladpříklad
Poissonovo rozděleníPoissonovo rozdělení
 – pro rozdělení vzácných případů
 (zimní bouřka, výskyt mutace apod.).
 Je-li pravděpodobnost nějaké výjimečné události
(např. určité mutace genu) relativně malá a rozsah
výběru poměrně velký, pak Poissonovo rozdělení
v podstatě splývá s binomickým, ale je mnohem
výhodnější pro počítání .
PoissonPoisson -- příkladpříklad
 Předpokládejme, že v určité populaci krys se
vyskytuje albín s pravděpodobností
 p = 0,001 , ostatní krysy jsou normálně
pigmentované.
 Ve vzorku 100 krys náhodně vybraných z této
populace určete pravděpodobnost, že vzorek
 a) neobsahuje albína,
 b) obsahuje právě jednoho albína.
ŘešeníŘešení
Pravděpodobnost, že neobsahuje albína, je 90,47 %
určete pravděpodobnost, že vzorek
neobsahuje albína,
Řešení 3Řešení 3
Pravděpodobnost, že 100 členná populace krys bude obsahovat
albína, je 9 %.