Kosmologické minimum

 Současné kosmologické modely jsou založženy na obecné teorii relativity. Chování vesmíru v těchto modelech lze však vysvětlit i na základě představ blízkých newtonovské fyzice. Tyto představy dovolují odvození základních rovnic, názornou interpretaci jejich členů a objasnění chování vesmírů na základě grafické reprezentace.

Úvod

Kosmologie byla dlouho považžována za poněkud nedůvěryhodné odvětví fyziky, jak je vidět už z toho, žže její „otcové-zakladatelé“ – Fridman, Lemaitre, Hubble, Gamow – nebyli odměněni Nobelovou cenou. O změně postoje ke kosmologii svědčí zkracování intervalů mezi Nobelovými cenami : Penzias a Wilson, reliktní záření, objev 1964, cena 1978; Mather a Smoot, černotělové spektrum reliktního záření, objev 1992, cena 2006; Perlmutter, Schmidt a Riess, zrychlené rozpínání vesmíru, objev 1998, cena 2011.

   Projevuje se tu zřejmě zvýššení možžnosti získávání nových, přesných a spolehlivých dat díky kosmickým sondám a jejich přístrojovému vybavení, ale také pokrok fyziky mikrosvěta, který umožžňuje uskutečnit v pozemských laboratořích procesy předpokládané v raném vesmíru. Nové objevy stále dobře zapadají do obecné teorie relativity, poukazují vššak na základní omezenost naššich znalostí o chování hmotné náplně vesmíru: baryonová hmota (baryony - částice reagující na silnou interakci, s poločíselným spinem) svítící ve hvězdách a známá z pozemských laboratoří tvoří jen několik procent celkové energie vesmíru.

   Tyto objevy a otázky s nimi spojené podněcují zájem o kosmologii, který bude nepochybně narůstat a zasahovat i veřejnost a studenty středních škol. Je proto vhodné se zamýššlet nad tím, nakolik mohou být zpřístupněny způsobem, který se neomezuje jen na sdělení faktů, ale dovoluje i  hlubšší pochopení jejich souvislostí. ŽŽe to není nemožné, pokusíme se naznačit v dalšším.

Kosmologický princip

Současné kosmologické modely se zakládají na předpokladu, kterému se říká kosmologický princip. Podle něho můžže být vesmír vyplněn “fundamentálními pozorovateli“, kteří sdílejí pohyb hmotné výplně a kterým se vesmír jeví (po středování ve velkém prostorovém i časovém měřítku) stejně. To znamená, žže tito pozorovatelé se shodují na tom, co je pro ně současné: současné jsou pro ně události, které nastávají ve stejném stádiu vývoje vesmíru a v této současnosti je pro ně vesmír homogenní a isotropní (stejný ve vššech místech a ve vššech směrech). Z ”naššeho“ místa ve vesmíru lze dobře ověřovat jeho isotropii a spojení výsledků pozorování s teorií umožžňuje, i kdyžž s menšší jistotou, usuzovat i na homogenitu.

   Kosmologického principu poprvé použžil Einstein roku 1917. Domníval se vššak, žže vesmír by měl být nejen homogenní a isotropní, ale (ve velkém měřítku) i časově neproměnný (dokonalý kosmologický princip). Protožže jeho rovnice v původním tvaru z roku 1915 tomuto požžadavku nevyhovovaly, doplnil je tzv. kosmologickým členem. Později Fridman a nezávisle na něm Lemaitre vyřešili kosmologický problém i bez předpokladu statičnosti vesmíru. K dokonalé matematické formě dovedli řeššení založžené na kosmologickém principu Robertson a Walker – proto FLRW modely.  V rámci obecné teorie relativity tyto modely vyčerpávají vššechny možžnosti pro prostoročasovou geometrii vesmíru splňujícího kosmologický princip.

Newtonovská kosmologie

Zdálo by se, že newtonovská fyzika neumožžňuje vybudovat kosmologii, která by souhlasila s kosmologickým principem. Homogenní a isotropní rozložžení hmoty v eukleidovském prostoru vede k tomu, žže hmota se protírá do nekonečna a výpočet intenzity gravitačního pole v kterémkoliv místě vede k neurčitému výrazu. Tato potힾ, na niž narᾞel jižž Newton a jeho následovníci, vššak můžže být překonána, jak ukázal roku 1931 Milne. Na základě jednoduché myššlenky, kterou vyjadřuje Obr. 1, z Newtonova gravitačního zákona plyne, že homogenní kulová tenká slupka nepřispívá ke gravitačnímu poli ve svém vnitřku.

Obr.1 Gravitační působení kulové slupky vyplněné látkou o konstantní hustotě na hmotný bod P je nulové[1]

   Představme si nyní, žže koule na obrázku představuje část vesmíru dostatečně velkou na to, abychom mohli počítat s platností kosmologického principu. Pak ”vnějšší” vesmír si můžžeme představit rozložžený do soustředných slupek, které podle předchozího nepřispívají ke gravitaci uvnitř. Element výplně vesmíru o hmotnosti (v realitě galaxie) na okraji koule se proto řídí pohybovou rovnicí

kde je vzdálenost od středu, hmotnost obsažená v kouli, gravitační konstanta, tečkou značíme derivaci podle času.  Můžžeme vyjít také ze zákona zachování energie  pro daný element

jehož derivováním podle času a vykrácením dostaneme pohybovou rovnici (1) za předpokladu, žže .

(Statický vesmír vyhovuje rovnici (2), ale nikoliv rovnici (1)).

Uvažžujme nyní o vesmíru v nějakém počátečním čase  , v němž pozorovatel ve středu koule zaznamenává potřebná data. Položžme

probíhá počáteční polohy galaxií a  je šškálový faktor vyjadřující změny vzdáleností ve vesmíru v čase (jeho rozpínání či smršťšování) v čase.

Dosazením do (1) a vykrácením   a dostaneme  

kdeje počáteční hustota hmotnosti. Obdobně rovnice (2) může být přepsána jako první integrál rovnice (4),

        (5)        ,

kde je integrační konstanta. Statické řeššení (5) je opět vyloučeno rovnicí (4).

   Rovnice (4), resp. (5) pro šškálový faktor v sobě zahrnují pohyb každého jeho elementu a tedy i každého fundamentálního pozorovatele spojeného s tímto elementem.  Vidíme z nich, žže počáteční homogenita a isotropie vesmíru není jeho vývojem naruššena. Rychlost vzdalování kažždého elementu od zvoleného počátku je úměrná jeho vzdálenosti podle vztahu,  

          (6)

kde  se nazývá Hubbleova konstanta (v čase ovššem konstantní není).

   Proti newtonovské kosmologii můžže být vznesena námitka, která patrně bránila jejímu dřívějšímu vzniku – (rovnice (1), (3) mohl odvodit již Newton). Na první pohled se zdá, žže tato kosmologie privileguje postavení centrálního pozorovatele, kolem něhožž se vesmír smrššťuje či rozpíná. Ve skutečnosti se takto jeví vesmír kažždému fundamentálnímu pozorovateli. Namísto Newtonova absolutního prostoru či souboru rovnoprávných inerciálních soustav zavádí newtonovská kosmologie privilegovanou soustavu spojenou se středním pohybem kosmické hmoty. Dalšší vlastností, která odliššuje newtonovskou kosmologii od speciální teorie relativity, je to, žže se v ní dá mluvit o privilegované současnosti a privilegované časové souřadnici (kosmickém čase), ježž jsou společné pro vššechny fundamentální pozorovatele.

 

Kosmologický člen

Úspěch přechodu od rovnic pro galaxie (1), (2) k rovnicím pro vesmír (4),(5) se zakládal na krácení veličinou  (rovnost hmotnosti tíhové a setrvačné) a veličinou, které je umožžněno speciálním tvarem Newtonova gravitačního zákona. Tento přechod od částí k celku nebude naruššen, přidáme-li na pravou stranu rovnice (1) člen úměrný vzdálenosti, takžže pohybová rovnice bude

(7)

veličina se nazývá kosmologická konstanta. Rovnice (4), (5) pak můžžeme doplnit na tvar zahrnující vliv kosmologického členu

(8)

(9)

 

Rovnice (7), (8) nyní umožňují i statické řeššení.

   Omezíme-li FLRW modely předpokladem, žže hmota vyplňující vesmír je nekoherentní prach s nulovým tlakem, vedou Einsteinovy rovnice s případně nenulovým kosmologickým členem k rovnicím, které jsou zcela identické s rovnicemi newtonovské kosmologie (8), (9). V newtonovské kosmologii není předpoklad o nulovosti tlaku podstatný, protože tlak sám o sobě neovlivňuje pohyb hmotných elementů – ten by mohl ovlivnit jen jeho gradient, který je na základě předpokladu o homogenitě a isotropii nulový. V obecně relativistické kosmologii ovšem tlak vstupuje do Einsteinových rovnic a newtonovská kosmologie se proto stává nepoužžitelnou při vyšššší koncentraci hmoty (v raných fázích vývoje vesmíru). Hmotnou výplň současného vesmíru (nejen svítící či baryonovou, ale i veškerou hmotu částicové povahy) však můžžeme vzhledem k její malé hustotě považžovat za nekoherentní prach s nulovým tlakem, takže základní chování vesmíru v newtonovské kosmologii (popřípadě s kosmologickým členem) se neliší od chování předvídaného obecnou teorií relativity.

   Hubbleova a dalšší pozorování červeného posuvu spekter galaxií vedla k závěru, žže vesmír není statický a zavedení kosmologického členu bylo tedy zbytečné. Nová pozorování vššak napovídají, žže jeho zavedení je nejjednodušššším způsobem, jak vysvětlit zrychlené rozpínání vesmíru. Kosmologický člen bývá interpretován jako vyjádření fyzikálních vlastností vakua (nejnižšžšího energetického stavu hmoty). Vakuum se pak vyznačuje kladnou hustotou energie a záporným tlakem (čili napětím). Hustota energie a tlaku vakua se podle Einsteinových rovnic rozpínáním nemění. Z newtonovského hlediska kosmologický člen s kladným způsobuje, žže na galaxie působí (z hlediska centrálního pozorovatele)kromě newtonovské gravitace ješště “kosmologickᓠsíla úměrná vzdálenosti.  Pro danou vzdálenost zůstává tato síla konstantní na rozdíl od newtonovské gravitace, která při rozpínání vesmíru s časem klesá a v daném čase je nepřímo úměrná kvadrátu vzdálenosti.

 
 

Zahrada kosmologických modelů

Rovnice (8) obsahuje tři konstanty, . Různým hodnotám těchto konstant odpovídají různá řeššení rovnice a tedy z hlediska pozorovatele v čase , kdy šškálový faktor byl volen rovným jedné, různé vývoje vesmíru. Při jiné volbě počátečního času by se změnila hodnota šškálového faktoru jeho vynásobením multiplikativní konstantou  – faktorya , kde , odpovídají tedy témužž modelu, ale s jiným postavením pozorovatele v čase.

Pro porovnání s realitou potřebuje proto pozorovatel tři údaje spojené s pozorováním, která také v principu můžže obdržžet na základě statistického zpracování dat o závislosti mezi svítivostmi objektů a jejich červenými posuvy.

  

Obr.2{C} Zahrada kosmologických modelů podle [2]

   Na Obr.2 jsou znázorněny různé typy závislosti škálového faktoru (svislá osa) na čase (vodorovná osa). Jako je označena kosmologická konstanta v jednotkách obvykle používaných v obecné teorii relativity a je podle této teorie křivost třírozměrného prostoru – řezu prostoročasem tvořeného současnými událostmi. S veličinami a zavedenými v newtonovské kosmologii souvisí vztahy

(10)    ,

kde   je rychlost světla.

   Pozoruhodnou vlastností větššiny uvedených modelů je existence singularit – vesmíry startují ze stavu s nulovým šškálovým faktorem a tedy s nekonečnou hustotou hmotnosti. Jak jižž bylo řečeno, v okolí singularit je newtonovská kosmologie nepoužžitelná a je třeba se obrátit k obecné teorii relativity a poznatkům o fyzice mikrosvěta.  I tak ovššem (aspoň při současné úrovni poznání) se při postupu k singularitě závěry fyziky stávají stále nejistějššími  a k samotné singularitě nedosáhneme.    

   Protožže uvažžované kosmologické rovnice nepreferují žžádný směr času, mohli bychom doplnit Obr.2 také grafy časových vývojů, které by singularitou nezačínaly, ale pouze končily. Takové modely jsou ve zřejmém rozporu s realitou (podle pozorování se vesmír rozpíná) a lze proti nim vznᚹet i námitky filosofické povahy (jak můžže vesmír s nekonečnou minulostí zaniknout?). To je zřejmě důvod, proč nejsou na Obr. 2 uvažžovány.

   Pohled na Obr.2 vzbuzuje i bez ohledu na to některé pochybnosti. Abychom je mohli formulovat, dívejme se na něj jako na 3 krát 5 matici  a očíslujme obrázky v souladu s tím. Proč je chování modelů v prvním sloupci kvalitativně stejné bez ohledu na hodnotu  ?

 Proč je kvalitativně stejné také chování modelů  ; ;? Co znamená přeruššovaná horizontální čára v a proč chybí modely s grafy pod touto čarou? A hlavně: Můžžeme chování modelů objasnit i bez řeššení rovnic (které by si ve složžitějších případech vyžžadovalo znalost eliptických funkcí)? Odpověď na tyto otázky bude hlavní částí naššeho článku.

 

Grafické znázornění a interpretace

Začněme případem . Znázorněme graficky závislost veličiny z rovnice (5) na škálovém faktoru  (Obr.3).  Stav modelu v určitém čase je určen bodem na vodorovné ose, člen , který je nutně nezáporný, je podle rovnice (9) dán vzdáleností od křivky k této ose. Model proto můžže být pouze ve stavu, který je v grafu umístěn nad křivkou. Dostáváme tak tři typy chování, přičemžž jeden z nich je hraniční případ mezi zbývajícími dvěma.

Poznamenejme, žže tohoto případu si zakladatel vývojové kosmologie Fridman explicitně nepovššiml a upozornili na něj až Einstein s de Sitterem, podle nichž se nazývá Einsteinův – de Sitterův vesmír. Je třeba jej rozliššovat od statického vesmíru Einsteinova i od stacionárního vesmíru de Sitterova, o nichž se ješště zmíníme. Vývoj modelů vžždy začíná ze singularity. Pro se derivace šškálového faktoru podle času blížží asymptoticky k určité hodnotě, která je v hraničním případě nulová. Pro   se rozpínání zastaví v průsečíku křivky s osou a je vystřídáno smrššťováním končícím v singularitě.


Obr.3

  

Obr. 4

Obr.5

Toto chování lze fyzikálně vyložžit jako střetnutí mezi newtonovskou gravitací a setrvačností. Gravitace zpomaluje rozpínání, ale sama je jím zeslabována, v závislosti na počátečních podmínkách buď zvítězí a rozpínání bude nahrazeno smrššťováním anebo bude schopna rozpínání pouze po nekonečnou dobu zpomalovat. Toho si Einstein, který zavedl tento model v rámci obecné teorie relativity, nebyl vědom.

     Nyní přejděme k případu (Obr. 4). Do hry vstupuje dalšší faktor, kosmologický člen, který má na rozdíl od newtonovské gravitace tendenci setrvačné rozpínání urychlovat. Ležží-li graf celý pod osou, pro a ješště i pro , dochází ve vývoji vesmíru k “zaváhání“, zpomalování expanze vesmíru se po nějaké době zastaví a vesmír se začíná opět urychlovat – kosmologický člen se ujme dominance nad newtonovskou gravitací.  

Při jisté kritické hodnotě , která závisí na konstantách a C můžže být vesmír statický (dotykový bod křivky a vodorovné osy). 

Z Obr. 4  je ovššem zřejmé, žže tento model představuje nestabilní stav, který nemůžže odpovídat realitě. Jak vidíme z , můžže se (z čistě formálního hlediska) vesmír smrššťovat z nekonečna a ješště před dosažžením „einsteinovského“ stavu se zastavit a začít se rozpínat. K podobnému obratu, který na Obr. 2 chybí, můžže dojít i při vývoji od singularity – vesmír se ještě před dosažžením vrcholu valu zastaví a začne se opět smrššťovat.

    vidíme, že vesmír se také může einsteinovskému stavu statičnosti asymptoticky blížžit. Na Obr.2  je opět opomenuta možžnost, žže se tak můžže dít nejen z nekonečna, ale i ze singularity.   Poznamenejme, žže podle současných empirických dat odpovídá reálný vesmír (v mezích pozorovacích chyb) hodnotě (tedy z hlediska obecné teorie relativity nulové křivosti prostoru). Proč tomu tak je, zůstává velkou otevřenou otázkou. V současné době se vesmír rozpíná zrychleně a na Obr.2 tedy odpovídá políčku .    

   V případě  (Obr.5)  kosmologický člen podporuje newtonovskou gravitaci a rozpínání se, proto v každém případě zastaví a je následováno smrššťováním. 

   Je možné uvažžovat ještě také o případu, kdy (vesmír bez hmotné náplně). Zajímavý je zejména případ de Sitterova vesmíru, kdy a . To je de Sitterův stacionární vesmír, v němž je Hubbleova konstanta skutečnou konstantou. Vesmír se tedy rozpíná zrychleně, ale vypadá přitom stále stejně. K tomuto stavu se možžná (je-li kosmologická konstanta skutečně konstantou v libovolném časovém měřítku a nedojde-li k nepředvídaným fázovým přechodům vesmírné hmoty) skutečný vesmír bude asymptoticky blힾit. Dalšší přinejmenšším z pedagogického hlediska zajímavý případ odpovídá hodnotám a . V tomto případě se vesmír, fakticky vztažžná soustava v prázdném eukleidovském prostoru realizovaná částicemi o zanedbatelné hustotě, setrvačně rozpíná.

Diskuse

Ukázali jsme, žže chování kosmologických modelů odpovídajících homogenitě, isotropii a nulovému tlaku, je možžno vysvětlit prostředky bez použžití obecné teorie relativity. Kromě rozboru rovnice (9) a jejího grafického znázornění, cožž je možžno provést prostředky středošškolské matematiky, potřebujeme pro odvození této rovnice newtonovskou fyziku. Je věcí diskuse, zda newtonovská kosmologie neodvádí pozornost od faktu, žže co se týče gravitace, je newtonovská fyzika překonána obecnou teorií relativity a nemůžže řeššit složžitější kosmologické problémy. Domníváme se vššak, žže stejně jako newtonovská fyzika, je i obecná teorie relativity jen přiblힾením k realitě a není proto nepřípustné nahradit složžitější obraz jednodušššším tam, kde vede k přijatelnému vysvětlení.