Funkce	Derivace funkce	Podmínky
k	0	k = konst
X	1	xeR
n X	n-l nx	xeR
-n X	-n-l - nx	x? 0
X a	a lna	a>0
X e	X e	xeR
10gaX	1 xlna	x>0, a>0, a? 0
ln x	1 X	x>0
sin x	COS X	xeR
cos X	- sin x	xeR
tgx	1 cos2 X	x ? (2k + 1)| k = 0,±l,...
cotg X	1 sin2 x	x?2ki
arcsin x	1 Vl-x2	xe(-l, 1)
arccos x	1 " Vl-x2	xe(-l, 1)
arctg x	1 1 + x2	xeR
arccotg x	1 "1 + x2	xeR
Věta 2.14. Rollova věta
Nechť funkce ŕ má tyto vlastnosti:
a) je spojitá na uzavřeném intervalu <a, b>
b) v každém bodě <a, b> má derivaci
c) v krajních bodech f(a) = f(b)
pak existuje v (a, b) aspoň jeden bod %, pro nějž f'(%) = 0.
Věta 2.15. Lagrangeova věta o střední hodnotě
Nechť funkce f má tyto vlastnosti
a) je spojitá v <a, b>
b) v každém bodě <a, b> má derivaci
Pak v intervalu (a,b) existuje aspoň jeden bod % pro nějž f'(%)
_ /(b)-/(a) b -a
Věta 2.16.
Má-li funkce fy bodě x0 kladnou, respektive zápornou derivaci, pak je v tomto bodě rostoucí, respektive klesající.
Def. 2.17.
Říkáme, že funkce f má v bodě x0 lokální maximum (resp, lokální minimum), existuje takové 5 - okolí bodu x0, že pro všechny body x + x0 z tohoto okolí platí f(x) <f(x0), (resp. f(x) > f(x0)).
Pokud je splněna ostrá nerovnost, nazýváme extrém ostrým. Věta 2.17.
Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje v tomto bodě derivace, pak platí f'( x0) = 0.
Věta 2.18.
Má-li funkce f v bodě x0 n-tou derivaci (n > 1) a platí-li
f'(x0) = f~ (x0) = ....= ŕ-1)(x0)= 0 a f"\x0) * 0.
Pak je-li
a) je-li n-sudéa f (n)(x0) > 0 má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum,
f (n)(x0) < 0 má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum.
b) je-li n-liché a f(n)(x0) >0 je funkce f v bodě x0 rostoucí,
f (n)(x0) < 0 je funkce f v bodě x0 klesající.
Def. 2.18.
Říkáme, že funkce f má v bodě x0 inflexní (sedlový) bod, mění-li se v něm funkce z konkávni na konvexní nebo naopak.
Věta 2.19.
Je-li x0 inflexní (sedlový) bod funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pak V'(x0) = 0.
Věta 2.20.
Jestliže na celém okolí bodu x0 je f"(x0) > 0 pak je funkce f v bodě x0 ryze konvexní, je-li f "(x0) < 0 je funkce f v bodě x0 ryze konkávni.
Pozn.:
Přímka y = kx + q je asymptotou funkce f v bodě +°° (-<*>), právě když existují konenčné limity lim (f(x)-kx) = q , (resp. lim (f(x)-kx) = q).
x—>+co x—>- co
Věta 2.21. LHospitalovo pravidlo
a) Nechť lim f(x) = 0, lim g (x) = 0 nebo lim g (x) = 00.
x-»c x-»c x-»c
f'(x)
b) Nechť existuje lim  v   = A.
x^c g'(x)
Pak platí  lim ^ = lim       = A.
x^c g(x)        x^c g'(x)