Def. 2.14.
Existuje-li vlastní limita
0      x^o ax
Je-li f(x) definována na okolí bodu x0, říkáme, že funkce fmá derivaci v bodě x0. Funkce f, která má v bodě x0 derivaci, se nazývá diferencovatelná.
Věta 2.9.
Má-li funkce fv bodě x0 vlastní derivaci, pak funkce fje spojitá v bodě x0. Def. 2.15.
Má-li funkce f derivaci v každém bodě intervalu (a, b) říkáme, že funkce fmá derivaci na intervalu (a, b). Funkce, která je definována v každém bodě x intervalu (a, b) a jejíž funkční hodnota v bodě x e (a, b) je f '(x) se nazývá derivace funkce fna intervalu (a, b) a značí se f'.
Věta 2.10.
Derivace konstanty (tj. f(x) = k) je rovna nule (tj. f'{x) = 0). Věta 2.11.
Mají-li funkce u, v v bodě x0 derivaci pak současně platí:
(u;v)' = u'v + uv'
Věta 2.12.
Jestliže funkce u = g (x) má derivaci v bodě x0 a funkce y = f(u) má derivaci v bodě uo= 9 (xo), pak složená funkce y = f{g{x)) má derivaci v bodě x0 a platí:
y'= H0(x))-g'(x)
Věta 2.13.
Jestliže funkce y = f(x) má derivaci v bodě x0, pak přírůstek Ay funkce lze vyjádřit ve tvaru Ay = f'(x0) Ax + oj( Ax )■ Ax , kde w je funkce pro níž lim oj( Ax ) = 0.
Def. 2.16. Funkci f'(x0)Ax proměnné Ax nazýváme diferenciálem funkce fw bodě x( a označujeme df(x)/x0.
(u + v )' = u' + v'