Def.1.6.
Báze  el,....,en Eukl. vektorového prostoru nazveme ortonormální pokud platí:
^=0   pro  i* j e^e, =1    pro V i
Pozn.
Vektor ú= (ui, u2, u 3) v E3 je možno v ortonormální bázi vyjádřit
Ú = Uie1 + U2Q2 + u3^3
ex = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3=(0,0, 1)
Vektory év e2, e3 obvykle značíme i, i, k.     (v Kartézském souř. systému)
Pak ú = u 1 i + í/2 j + U3 k,       /ccře   t/í i, t/2 j, U3 k.. .ozn. složky vektoru. Koeficienty lín. kombinace ui, u2, U3 ozn. jako souřadnice vektoru. Pravotočivá (kladná), levotočivá (záporná) báze.
VEKTORY V GEOMETRII
Geom. vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou délku a jsou souhlasně rovnoběžné.
Def. 1.7.
Dva nenulové vektory a , b se nazývají kolineární, jestliže jejich umístění jsou rovnoběžná.
Def. 1.8.
Tři nebo více nenulových vektorů se nazývají koplanární, jestliže každý z nich je rovnoběžný s touž rovinou.
Věta 1.6.
Dva nenulové vektory a , b jsou lineárně závislé, právě když jsou kolineární. Věta 1.7.
Tři nenulové vektory v prostoru jsou lineárně závislé, právě když jsou koplanární. Def. 1.9.
Úhlem <p dvou nenulových nekolineárních vektorů a , b nazýváme dutý úhel polopřímek OA, OB.
B
Def. 1.10.
Skalárním součinem ä . b definujeme výraz ä.b=|ä|.|b|. coscp.
Def. 1.11.
Vektorový součin a x b je vektor c, pro který platí:
a) |a|.|b|=a.Jb. sincp
b) c-l a , c-l b
c) vektor c je orientován tak, že vektory a , b, c tvoří kladnou (pravotočivou) bázi.
Věta 1.8.
Pro vektorový součin c = a * b daných souřadnicemi v ortonormální bázi platí:
a2	a3	r +	a3		T +		a2
*>2	*>3		l>3	h			»2
= (a2b3 - a3b2) i + (a3bi - aib3) j + (aib2 - a2bi) k
Věta 1.9.
Vektorový součin má tyto vlastnosti:
a x b = - b. a
k. (a *b) = ( k. áj x b =&x(k. b) (a + bjxc = áx c + bx c
Def.1.12
Smíšeným součinem 3 vektorů   á , b , c nazýváme [ábc] = (áxb). c.
Věta 1.10.
Pro smíšený součin daných vektorů v ortonormální bázi platí:
abc
bl b2 b.
Cj  c2 c3
Def. 1.13.
Dvojným součinem tří vektorů a,b,Č nazýváme vektor:
axbxc= é(a • c)-c(a • é) = = b(a ■ c)-a{b -c)
Pozn. Transformace souřadnic vektoru - máme
v = (vi,V2,V3)     v bázi (ui,u2,u3)    (souřadnice vektoru v bázi nečárkované) v = (V/, v2v3') v bázi (í'i, ii'2, ui)  (souřadnice toho stejného vektoru v bázi
čárkované)
Nyní souřadnice vektorů čárkované báze v nečárkované bázi:
ui',u2',íÍ3' v bázi (ui,íÍ2,u3) :       ui' = (un, U12, U13)
Úl' = (U21, U22, U23)
u3' = (U31, U32, U33)
Pak pro přechod mezi souřadnicemi nečárkovanými a čárkovanými vektoru v platí:
Ví = Vi'Un+ V2U21 + V3 U31 V2 = Vi'Ui2+ V2U22 + V3 U32 V3 = Vi'Ui3+ V2U23 + V3 U33