MA2BPPGE, 5. ledna 2015
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A — [0, —1,0],   B — [—1, 2, 2],   C — [0,1,1],   D — [1, 0,6].
+ Dokažte, že afinním obalem množiny {A, B, C} je rovina a že bod D v této rovině neleží. + Určete patu kolmice z bodu D k rovině p — ABC.
+ Určete souřadnice bodu E, který je souměrný s bodem D podle roviny p — ABC. + Určete objem mnohostěnu ABCDE.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B — {xi + 4x2 = 1, xi — 4aľ3 — 2},
C = {[7,0,7,4] +í(4,d, 1,0) | t e M},   kde   d e R.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + V závislosti na hodnotě d e M určete vzájemnou polohu B a C. + Určete, pro které hodnoty d G M jsou podprostory B a C kolmé.
3. Udejte příklad afinních podprostorů vhodného eukleidovského prostoru, které jsou mimoběžné a mají vzdálenost 15.
4. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (0,5,0,1),   v2 = (2,0,l,5),   v3 = (0,l,0,0).
+ Definujte pojem vektorového součinu a určete vi x v2 x v3.
+ Dokažte, že obecně platí: vektorový součin je nulový právě tehdy, když určující vektory jsou lineárně závislé.
5. V rovině jsou dány transformace
h([x,y]) = [y-3, x + 3],
Í2{[x1y\) = [-y - 1, -x - 1].
+ Dokažte, že složená transformace / — /2°/i je shodnost a určete její samodružné body a směry. + Určete druh a určující prvky transformace / — f2 o f\.
6. Udejte příklad afinní transformace v rovině, která má modul různý od 1 a bod A — [2,0] zobrazuje na bod A' — [1,5].
7. Dokažte, že každé podobné zobrazení je injektivní (prosté).