MA2BPPGE, 13. ledna 2015
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[-1,1,3],   B =[2,1,7],   C — [2,6, 7],   H — [3, 6,0].
+ Určete souřadnice bodů D, E, F, G tak, aby všechny tyto body tvořily vrcholy rovnoběžnostěnu
s podstavami ABCD a EFGH. + Rozhodněte, zda počátek souřadné soustavy leží uvnitř tohoto rovnoběžnostěnu. + Dokažte, že tento rovnoběžnostěn je krychle.
+ Určete souřadnice bodu, který je souměrný s bodem B podle roviny ACH.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí={[-l,l,-4,l]+t(l,l,2,0) | íeK},
C — {x\ + X2 — 4,   X2 — X4 — 2,  X3 = 0}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření C a rovnicové (neparametrické) vyjádření B. + Určete vzájemnou polohu B a C. + Určete vzdálenost B a C.
3. Ve vhodném afinním prostoru udejte příklad dvou mimoběžných podprostorů, které mají společný (nenulový) směr.
4. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
u =(1,0, 3),   v =(2,1,1).
+ Určete vektorový součin u x v a ukažte, že platí
||uxv||2 = ||u||2.||v||2-(u.v)2. + Dokažte, že tato rovnost platí obecně.
5. Afinní transformace v rovině je dána obrazy tří bodů v obecné poloze:
[l,0]->[3,-2],    [0,l]->[4,-3], [l,l]->[4,-2].
+ Určete transformační rovnice, tzn. souřadnice obrazu obecného bodu X = [xi,x2]. + Určete typ, příp. druh a určující prvky této transformace.
6. Udejte příklad nějaké neidentické transformace, která má samodružné všechny směry.
7. Definujte pojem afinního zobrazení a rozhodněte, zda středové promítání mezi dvěma afinními podprostory může být afinní.