MA2BPPGE, 21. ledna 2015
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[1,-4, -5],   B — [—5,4, —5],   C — [-5,4,5],   D — [1, —4,5],   E — [6, 6, 0].
+ Dokažte, že body A, B, C, D leží v jedné rovině a že žádná trojice těchto bodů neleží na přímce. + Určete barycentrické souřadnice bodu D vzhledem ke trojici bodů (A, B, C). + Určete vzdálenost bodu E od roviny ABC D. + Určete objem jehlanu ABCDE.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B — {xi + X3 — 4aľ4 = 0, x\ — x2 + x% — 4aľ4 — — 1},
C = {[1, 0,0,1] + í(3,1, 0,2) + a(7,0,1, 2) | t, s e R}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + Určete vzájemnou polohu podprostorů B a C, příp. jejich společné body a směry. + Rozhodněte, zda jsou podprostory B a C kolmé.
3. Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou podprostorů, které mají netriviální průnik a odchylku 45°.
4. V čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
u=(2,l,0,l),   v = (2,0,1,5),   w = (0,0,0,1).
+ Určete vektorový součin u x v x w a ukažte, že tento vektor je kolmý ke každému z daných vektorů.
+ Dokažte, že předchozí vlastnost platí obecně.
5. V rovině jsou dány transformace
f1([x,y]) = [2x-2, 2y-l],
r í\   n   \x + 4 y ~ 1
j2{[x,v\) =   —^—,
+ Určete transformační rovnice složené transformace / — f2 o /1, její samodružné body a směry. + Určete typ, příp. druh a určující prvky transformace / — f2 o f\.
6. Udejte příklad afinní transformace, která má aspoň dva samodružné body a modul různý od ±1.
7. Dokažte, že pro každou afinní transformaci platí:
Pokud existují nějaké vlastní samodružné body, potom všechny tyto body tvoří afinní podprostor.