MA2BPPGE, 29. ledna 2015
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A — [1,0,1],   B — [2, 0, 2],    C — [3, —1,1],    D — [2, 3, 2].
+ Rozhodněte, zda jsou body A, B,C,D v obecné poloze.
+ Určete souřadnice bodu E, který je souměrný s bodem D podle přímky p — AB. + Rozhodněte, zda jsou body D a, E souměrné podle roviny (3 — ABC. + Určete odchylku rovin f3 — ABC a 7 — ABD.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B — {xi + X2 — x% — 4, X4 — b},   kde   b G M,
C = {[2,9,0,l]+a(2,0,l,5) | s G M}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + V závislosti na hodnotě b G M určete vzájemnou polohu podprostorů B a C. + V závislosti na hodnotě b G M určete, zda jsou podprostory B a C kolmé.
3. Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou podprostorů, které jsou mimoběžné a současně kolmé.
4. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
u=(l,2,0,0),   v = (2,0,1,0),   w = (0,1,0,2).
+ Definujte pojem vektorového součinu a určete u x v x w.
+ Alespoň dvěma způsoby určete objem rovnoběžnostěnu zadaného vektory u, v,w.
5. Afinní transformace v rovině je dána obrazy tří bodů v obecné poloze:
[2,1] ->[2,1],    [0,-1][0,-1],    [0,1] ^ [2,-1].
+ Určete transformační rovnice a všechny samodružné body, resp. směry této transformace. + Určete typ, příp. druh a určující prvky této transformace.
6. Udejte konkrétní příklad neidentické afinní transformace, která má modul roven 1.
7. Definujte pojem podobného zobrazení a rozhodněte, zda středové promítání mezi dvěma afinními podprostory může být podobné.