Předmluva
Omnia sponte fluant, absit violentia rebus
J.A.K.
Toto je osnova k přednášce z Geometrie (MA2BP_PGE) pro podzimní semestr 2014. Stručný přehled, předpoklady k uspokojivému studiu a hlavní cíle kurzu jsou vytčeny v úvodní kapitole.
Z dostupných učebnic geometrie nejčastěji používáme [HoJa] a [Sek]. Pro souvislosti, zajímavosti a ilustrace otevíráme [Be, Ha]^ a další. Velmi často odkazujeme na poznatky z loňského kurzu konstrukční geometrie, viz [Rí, Zá], které většinou nějak doplňujeme, resp. zobecňujeme.
Hlavním pracovním nástrojem v tomto kurzu je lineární algebra; z mnoha dostupných učebnic doporučujeme např. [Zl].
Z citované literatury ještě upozorňujeme na povedené závěrečné práce [Po] a [El].
Předmět je zakončen zkouškou, jež sestává z písemné a ústní části; přístup k písemné části je podmíněn zápočtem ze cvičení, přístup k ústní zkoušce je podmíněn alespoň 50% úspěšností u písemky.
Organizace tohoto materiálu je stále provizorní a může se kdykoli trochu změnit; sledujte změny v aktualizacích.
Brno, 22. ledna 2015
Vojtěch Žádník
2
Obsah
I Úvod 7
1 Základy......................................... 7
1.1 Definice..................................... 7
1.2 Postuláty.................................... 8
1.3 Axiómy nevyslovené.............................. 8
2 Shrnutí a výhledy.................................... 9
2.1 Shrnutí..................................... 9
2.2 Výhledy..................................... 10
2.3 Poznámky.................................... 11
3 Předpoklady a cíle................................... 11
3.1 Předpoklady .................................. 11
3.2 Cíle....................................... 12
II Afinní a projektivní geometrie 13
4 Afinní prostory, podprostory a zobrazení....................... 13
4.1 Afinní prostor.................................. 13
4.2 Příklady..................................... 15
4.3 Afinní podprostory, průniky, součty a obaly................. 15
4.4 Cvičení..................................... 18
4.5 Afinní zobrazení................................ 18
4.6 Cvičení..................................... 21
5 Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů................. 21
5.1 Afinní repér a afinní souřadnice........................ 21
5.2 Cvičení..................................... 23
5.3 Parametrické vyjádření podprostorů..................... 24
5.4 Vyjádření podprostorů rovnicemi....................... 24
5.5 Jak určit rovnicové vyjádření z parametrického? .............. 25
5.6 Různá další vyjádření............................. 27
5.7 Cvičení..................................... 28
6 Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy.............. 28
6.1 Pomocná tvrzení................................ 28
6.2 Vzájemné polohy afinních podprostorů.................... 29
4 Obsah
6.3 Jak určit vzájemnou polohu podprostorů?.................. 30
6.4 Příčky...................................... 33
6.5 Cvičení..................................... 34
7 Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další .... 35
7.1 Relace uspořádání a mezi, úsečka....................... 35
7.2 Poloprostory, úhly, konvexní množiny .................... 36
7.3 Těžiště, barycentrické souřadnice a další................... 37
7.4 Důležité poznámky............................... 42
7.5 Cvičení ..................................... 44
8 Projektivní geometrie ................................. 45
8.1 Úvod....................................... 45
8.2 Projektivní rozšíření, projektivní prostory a podprostory.......... 47
8.3 Homogenní souřadnice............................. 51
8.4 Dvojpoměr................................... 52
8.5 Projektivní zobrazení ............................. 53
8.6 Užitek...................................... 58
8.7 Cvičení ..................................... 61
III Eukleidovská geometrie 63
9 Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení..................... 63
9.1 Úvod a základní definice............................ 63
9.2 Shodná, podobná a ekviafinní zobrazení................... 69
9.3 Cvičení..................................... 72
10 Kolmost a kolmý průmět vektoru........................... 73
10.1 Kolmost..................................... 73
10.2 Speciální a podivné případy.......................... 75
10.3 Jak určit kolmý průmět vektoru?....................... 75
10.4 Cvičení..................................... 76
11 Vzdálenosti a odchylky podprostorů ......................... 77
11.1 Vzdálenosti................................... 77
11.2 Jak určit vzdálenost podprostorů?...................... 79
11.3 Důležité poznámky............................... 81
11.4 Odchylky.................................... 83
11.5 Důležité poznámky............................... 88
11.6 Cvičení..................................... 89
12 Obsahy, objemy a další................................. 89
12.1 Obecná definice................................. 89
12.2 Gramův determinant.............................. 91
12.3 Vnější a vektorový součin........................... 93
12.4 Shrnutí a užitek ................................ 95
12.5 Cvičení..................................... 96
IV Geometrická zobrazení 99
13 Analytická vyjádření a charakterizace ........................ 99
13.1 Opakování.................................... 99
13.2 Značení a jiné konvence............................ 105
13.3 Důležité poznámky............................... 105
13.4 Charakterizace................................. 106
13.5 Obzvlášť jednoduché případy......................... 107
O   Obsah _5
13.6    Cvičení..................................... 109
14 Samodružné prvky................................... 110
14.1 Samodružné body (a směry).......................... 110
14.2 Jednoduchá pozorování ............................ 111
14.3 Cvičení..................................... 113
15 Základní transformace................................. 113
15.1 Základní transformace v rovině........................ 114
15.2 Základní transformace obecně......................... 116
15.3 Skládání základních transformací....................... 119
15.4 Cvičení..................................... 121
16 Další klasifikace a poznámky ............................. 121
16.1 Shodnosti.................................... 121
16.2 Podobnosti................................... 127
16.3 Afinity...................................... 127
16.4 Cvičení..................................... 128
V Dodatky 129
17 Pseudo-eukleidovské prostory............................. 129
18 Další geometrická zobrazení.............................. 129
19 Kuželosečky a kvadriky ................................ 129
20 Kleinova geometrie přímek............................... 130
21 Lieova geometrie kružnic................................ 130
22 Grupové akce...................................... 130
22.1 Působení grupy na množině.......................... 130
22.2 Další příklady.................................. 131
22.3 Orbity, tranzitivní a efektivní akce...................... 131
23 Frízové a tapetové vzory................................ 131
24 Třetí Hilbertův problém................................ 132
Návody a řešení 135
Literatura 139
Seznam obrázků 141
Seznam tabulek 145
Rejstřík 147
Obsah
KAPITOLA I
Úvod
1 Základy
Základy eukleidovské geometrie lze najít — vedle dalších věcí — v Eukleidových Základech [Eu] (cca 300 př. K.). Toto dílo představuje ucelený deduktivní výklad tehdejší matematiky odvozený z několika axiómů a postulátů. Axiómy se týkají obecných veličin, postuláty jsou ryze geometrického charakteru a vymezují základní vztahy mezi základními geometrickými objekty. V této části připomínáme několik podstatných pojmů a vztahů, ke kterým se budeme často vracet. Většinu z těchto poznatků jsme diskutovali už vloni [Zá].
1.1 Definice
Definice většiny geometrických pojmů, které známe ze školy, lze najít v téměř stejném znění v Základech; jedná se o úvodní definice zejména ke knihám I a XI. Některé z těchto definic budeme mírně zobecňovat, proto si je tady připomeneme.
• Pokud jsou vedlejší úhly vymezené dvěma protínajícími se přímkami shodné, pak každý z těchto úhlů se nazývá pravý a přímky se nazývají kolmé.
• Kružnice je rovinný útvar tvořený koncovými body všech úseček, které jsou navzájem shodné a jejichž opačné koncové body splývají (a to ve středu kružnice).
• Přímky jsou rovnoběžné, pokud leží v téže rovině a nemají žádný společný bod.
• Přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá ke všem přímkám, které v ní leží.
• Dvě roviny jsou kolmé, pokud přímky, které leží v jedné z těchto rovin a jsou kolmé k prů-sečnici rovin, jsou také kolmé ke druhé rovině.
• Roviny jsou rovnoběžné, pokud se neprotínají.
• Apod.
Některé definice v Základech jsou poněkud vágní. Ty zde neuvádíme a dáme jim přesný význam později — postupně můžete odhadovat, které to jsou. <gj)
8
I Úvod
1.2 Postuláty
(I) Každé dva různé body spojuje přímka. (II) Každou přímku lze na každé straně libovolně prodloužit.
(III) Lze vytvořit kružnici s libovolným daným středem procházející libovolným jiným bodem.
(IV) Všechny pravé úhly jsou shodné.
(V) Když přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné straně menší než dva pravé, pak tyto dvě přímky (dostatečně prodlouženy) setkají se na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých.
Obrázek 1.1: Eukleidův dodatečný postulát: a + f3 < 2R =4> a a b se protínají, a to vlevo.
V (I) a (II) je přímkou zřejmě myšlena úsečka, a to jediná. Postuláty (I)—(III) představují přípustné konstrukční nástroje, tzv. eukleidovské pravítko a kružítko.
Postulát (I) se týká incidence, postulát (IV) nám říká něco o základní relaci shodnosti. Uvědomte si, že v Eukleidově pojetí je shodnost docela abstraktní koncept: z pochopitelných důvodů nemůže zahrnovat žádné číselné vyjadřování délek úseček, velikostí úhlů apod., jak to běžně chápeme dnes!
Poněkud komplikovaný postulát (V) bývá nahrazován tzv. postulátem o rovnoběžkách, se kterým je ekvivalentní:
(Ei>      • Každým bodem ke každé přímce prochází právě jedna rovnoběžka. 1.3   Axiómy nevyslovené
V Základech se používá několik předpokladů, aniž by byly jakkoli formulovány. Přesný axiomatický popis, založený na tom Eukleidově, pochází od D. Hilberta [Hi] (kolem 1900). V tomto systému jsou primitivními (nedefinovanými) pojmy bod, přímka a rovina; primitivní relace jsou relace incidence (náležení), uspořádání („být mezi") a shodnosti. Pro každou z těchto relací je formulováno několik axiómů, dále pak axiómy rovnobežnosti a spojitosti.
Eukleidovy nevyslovené axiómy se týkají hlavně uspořádání a spojitosti. Typický axióm uspořádání je např.:
• Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je mezi zbylými dvěma.
Tento požadavek nám mj. říká, že přímka není uzavřená křivka, což ze samotného postulátu (II) nevyplývá. V důsledku je možné body na přímce uspořádat (a sice dvojím způsobem) a toto uspořádání je úplné. Uvědomte si, že teprve po této přípravě je možné uspokojivě definovat pojem (Ei> úsečky.
Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem:
2   Shrnutí a výhledy
9
• Pro libovolný rozklad bodů na přímce do dvou neprázdných podmnožin takových, že žádný bod jedné podmnožiny neleží mezi žádnými dvěma body druhé podmnožiny, platí: existuje bod v jedné z těchto podmnožin, který leží mezi každým bodem této podmnožiny a každým bodem druhé podmnožiny.
V řeči uspořádání a tzv. Dedekindových řezů lze předchozí formulaci zjednodušit takto:
• Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera".
2   Shrnutí a výhledy 2.1 Shrnutí
Eukleidovská geometrie je axiomatická teorie vyhovující výše zmíněným skupinám axiómů. Axiómy eukleidovské geometrie mohou být zvoleny různě, my se odkazujeme výhradně na systém Hilbertův. Následující formulace jsou poměrně volné a tudíž nepřesné; rozumná upřesnění lze najít např. v [Co, Ha, Sek].
Pokud se pozorně probíráme základy eukleidovské geometrie, zjišťujeme, že některé definice a tvrzení jsou nezávislé na některých axiómech nebo skupinách axiómů. Např. prvních 28 tvrzení v I. knize [Eu] nezávisí na axiómu rovnobežnosti — o těchto říkáme, že patří do tzv. absolutní (nebo neutrální) geometrie. Typickým příkladem je např. věta o vnějším úhlu v trojúhelníku.
Na druhé straně, podstatná skupina poznatků a pojmů na axiómu rovnobežnosti závisí, ale je možné je vyvodit bez axiómů shodnosti — o těchto říkáme, že patří do geometrie afinní. Např. pojem středu úsečky je kupodivu afinní. Mezi známá tvrzení elementární geometrie, která jsou ve skutečnosti afinní, patří např. Menelaova věta.
Další studovanou geometrií je geometrie projektivní. Ta je vymezena téměř výhradně axiómy incidence — z loňska připomínáme, že v projektivní geometrii vůbec nemluvíme o shodnosti, neplatí axióm rovnobežnosti (každé dvě přímky, které leží v jedné rovině, se protínají), ani axiómy uspořádání (projektivní přímka je uzavřená). Známá věta projektivní geometrie je např. věta Desarguesova.
Letos se budeme věnovat především geometriím eukleidovským, afinním a projektivním. Musíme však aspoň zmínit geometrie neeukleidovské, jež jsou známé tím, že v nich neplatí axióm rovnobežnosti. To znamená, že k dané přímce daným bodem prochází buď více rovnoběžek (hyperbolická geometrie) nebo žádná rovnoběžka (eliptická geometrie). Axiómy popisující hyperbolickou geometrii jsou stejné jako pro eukleidovskou geometrii, akorát axióm rovnobežnosti je nahrazen jeho negací. V eliptické geometrii neplatí axiómy uspořádání.
Bereme-li eukleidovskou geometrii jako výchozí, můžeme předchozí diskuzi ve velkých uvozovkách shrnout takto:
• „absolutní geometrie je eukleidovská geometrie bez rovnobežnosti,
• afinní geometrie je eukleidovská geometrie bez shodnosti,
• projektivní geometrie je eukleidovská geometrie bez shodnosti, rovnobežnosti a uspořádání,
• eliptická geometrie je eukleidovská geometrie bez rovnobežnosti a uspořádání,
• hyperbolická geometrie je eukleidovská geometrie s více rovnoběžkami."
10
I Úvod
Kromě toho můžeme v podobné zkratce říct, že
• „absolutní geometrie je průnikem eukleidovské a hyperbolické geometrie,
• eukleidovská geometrie je afinní geometrie se shodností,
• eliptická geometrie je projektivní geometrie se shodností,
• apod."
Ke všem těmto reformulacím máme několik dobrých důvodů. Jednak chceme naznačit, že jedna a táž věc lze nahlížet různými způsoby, jednak si připravujeme půdu pro následující výklad.
2.2 Výhledy
V tomto kurzu budeme geometrii studovat tzv. analyticky, lépe řečeno algebraicko-analyticky. Počátky této metody jsou spojovány se jménem R. Descarta (kolem 1637), jehož hlavním přínosem byla aplikace algebry k řešení geometrických úloh. Mělo by však být zřejmé, že se nemohlo jednat o analytickou geometrii, jak ji chápeme dnes!1
S průměrnou znalostí lineární (vektorové) algebry budeme umět velmi pohodlně interpretovat všemožné geometrické definice a vztahy. Nejprve v příslušných kapitolách vymezíme pojmy obecného afinního, projektivního, resp. eukleidovského prostoru:
• Struktura afinního prostoru na jakékoli množině je určena zobrazením, které dvěma bodům přiřazuje vektor. Všechny tyto vektory tvoří vektorový prostor, kterému budeme přezdívat zaměření afinního prostoru. Takto se rychle dostaneme ke všem základním pojmům afinní geometrie, zejména k pojmu rovnobežnosti.
• Projektivní prostor lze vždy chápat jako afinní prostor rozšířený o „body v nekonečnu". Body projektivního prostoru budeme reprezentovat vektory z tzv. zastupujícího vektorového prostoru, který obsahuje zaměření afinního prostoru (a je o jednu dimenzi větší).
• Obecný eukleidovský prostor je afinní prostor vybavený eukleidovskou metrikou, což je metrika kompatibilní s afinní strukturou — ta nám definuje relaci shodnosti. Eukleidovská metrika je určena skalárním součinem na zaměření.
Výhodou této algebraizace geometrie je zejména to, že většinu věcí budeme umět formulovat jednotně pro prostory libovolné dimenze. Z pochopitelných důvodů budeme postupovat induktivně (geometrie na přímce, v rovině, v prostoru), finální definice, věty a jejich zdůvodnění však budou zpravidla univerzální.
Další výhody algebraického přístupu bychom měli pozorovat při klasifikaci geometrických zobrazení. Všechny shodnosti eukleidovského prostoru tvoří grupu, tato je podgrupou grupy (bijektivních) afinních transformací, jež je zase podgrupou grupy (bijektivních) projektivních transformací, apod. Každou z těchto grup budeme umět interpretovat jako jistou maticovou grupu tak, že právě zmíněné inkluze se stanou víc než názornými. Právě pojem transformační grupy a její role při organizaci geometrických informací velmi ovlivnil pohled na geometrii a její další vývoj. Hlavními propagátory tohoto přístupu byli F. Klein a S. Lie (kolem 1872). V tomto duchu je ta či ona geometrie zcela charakterizována grupou odpovídajících geometrických transformací.
1V té době stále nebyla vynalezena reálná čísla...
3   Předpoklady a cíle
11
2.3 Poznámky
Objev významu afinní geometrie (včetně tohoto pojmenování) je přisuzován L. Eulerovi (kolem 1748). Jako samostatná disciplína se začala afinní geometrie utvářet až po akceptování výše zmíněného Kleinova programu a úplně zdomácněla zejména díky vlivu H. Weyla (kolem 1923).
Úplné pochopení absolutní a neeukleidovské geometrie (kolem 1830) představuje jedno z nej-zajímavějších dobrodružství v historii matematiky a je zásluhou J. Bolyaie, N.I. Lobačevského a C.F. Gausse.
Několik poznatků projektivní geometrie bylo známo již ve starověku, např. Pappova věta (kolem 400). Další postřehy přidávali malíři během renesance díky studiu perspektivy a tato etapa byla završena pracemi G. Desarguese a B. Pascala (kolem 1640). K dalšímu, tentokrát bouřlivému, rozvoji projektivní geometrie došlo v 19. století díky pracím V. Ponceleta, J.D. Gergonna, J. Steinera a dalších.
Ve stejném století se vyvinuly algebraické techniky, které se ukázaly být pro geometrii velmi přínosné a které budeme používat i my (soustavy lineárních rovnic, determinanty a matice). První vícerozměrné geometrické objekty byly studovány A.F. Môbiusem, J. Plůckerem a W.R. Hamiltonem (kolem 1830). Později se také zrodil pojem obecné grupy, jež F. Kleinovy dovolil klasifikovat geometrie podle odpovídajících grup transformací.
Je zajímavé, že ve stejné době (kolem 1872) se objevují první přesné definice reálných čísel, a to díky G. Cantorovi (pomocí posloupností racionálních čísel) a R. Dedekindovi (pomocí již zmiňovaných řezů).
V uvedeném přehledu vývoje geometrie jsme zdůraznili pouze několik proudů, které se týkají tohoto kurzu. Ucelenější výklad lze najít např. v poslední kapitole II. dílu [Sek]. Viz též stručné, ale výstižné, pojednání [Ha2].
3   Předpoklady a cíle 3.1 Předpoklady
Předpokládáme rozumný přehled školské a konstrukční geometrie zahrnující zejména následující témata:
• klasická konstrukční geometrie v rovině a v prostoru,
• průniky a vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru,
• konstrukce kolmice, určení vzdáleností a odchylek,
• přehled geometrických zobrazení a jejich vlastností.
Kromě toho budeme na každém kroku potřebovat uspokojivé dovednosti z algebry, hlavně té lineární. To mj. znamená, že ovládáme následující tématické okruhy:
• grupy, podgrupy a jejich homomorfizmy,
• vektorové prostory, podprostory a lineární zobrazení,
• soustavy lineárních rovnic,
• determinanty, skalární součiny apod.
Pokud výslovně neuvádíme něco jiného, všechny vektorové prostory jsou uvažovány nad tělesem reálných čísel R.
12
I Úvod
3.2 Cíle
Chceme co nejvíc zužitkovat nabyté algebraické znalosti na pokud možno zajímavé skupině geometrických problémů. Typické úlohy, které chceme umět (algebraicky) řešit, zahrnují např.:
• pro dva podprostory v obecném afinním prostoru určit jejich vzájemnou polohu,
• pro dva podprostory v obecném eukleidovském prostoru rozhodnout, zda jsou kolmé,
• dále určit jejich vzdálenost včetně nějaké dvojice bodů, v nichž se tato vzdálenost realizuje,
• podobně pro odchylku...,
• aspoň trojím způsobem určit objem daného mnohostěnu,
• určit bod, který je souměrný k danému bodu podle daného podprostoru,
• určit transformační rovnice souměrnosti podle daného podprostoru,
• z daných transformačních rovnic rozpoznat typ, příp. určující prvky odpovídajícího zobrazení,
• složit dvě geometrická zobrazení a určit typ výsledného zobrazení,
• apod.
Kromě řešení těchto konkrétních problémů bychom se také měli umět zorientovat v geometrických zobrazeních a klasifikovat geometrie v Kleinově duchu. Jistou nápovědu lze najít v následujícím schématu (šipky naznačují inkluze odpovídajících transformačních grup).
Obrázek 3.2: Hierarchie geometrií, o nichž se zmiňujeme v tomto textu.
KAPITOLA I I
Afinní a projektivní geometrie
Afinní struktura na množině je zobrazení, které dvěma prvkům dané množiny (jimž budeme říkat „body") přiřazuje vektor a splňuje jisté přirozené požadavky. Toto je klíčový trik, který nám umožňuje překládat mnoho geometrických problémů do vektorové (lineární) algebry. Typickými úlohami afinní geometrie je určování vzájemné polohy podprostorů v afinním prostoru nebo konstrukce příček. Do hájemství afinní geometrie patří také konvexní geometrie, pojem barycentrických souřadnic apod.
Projektivní geometrie je rozšířením té afinní o nevlastní prvky, tzn. „body v nekonečnu". Projektivní popis má své výhody i specifika, jimž se věnujeme na konci této kapitoly. Výhod projektivního rozšíření si budeme užívat zejména v kapitole IV.
4   Afinní prostory, podprostory a zobrazení 4.1   Afinní prostor
Ústředním pojmem afinní geometrie je rovnoběžnost. První kritérium rovnobežnosti přímek je znázorněno na obr. 4.1(a). To je přímým důsledkem tvrzení 1.27 a 1.29 v [Eu] a rovnoběžnost je zde charakterizována pomocí shodnosti úhlů.
Obrázek 4.1: Kritérium rovnobežnosti přímek: (a) a || b ^=^> a — (3, (b) a || b ^=4> u a v jsou lineárně závislé.
V úvodu jsme slibovali, že afinní geometrii vybudujeme zcela bez pojmu shodnosti, a to algebraicky pomocí vektorů. V tomto duchu je rovnoběžnost přímek ekvivalentní s tím, že jejich
14
II   Afinní a projektivní geometrie
odpovídající směrové vektory jsou lineárně závislé, viz obr. 4.1(b). Přitom si zejména všímáme, že každé dva body A a, B jednoznačně určují nějaký vektor, který značíme AB. Toto přiřazení není jen tak ledajaké — jeho podstatné vlastnosti jsou obsaženy v následující definici afinního prostoru...
Obecná definice afinního prostoru
Předchozí pozorování jsou základem k obecné definici abstraktní afinní struktury.
Definice. Afinní prostor je neprázdná množina A spolu se zobrazením A x A do nějakého vektorového prostoru V (dvěma bodům A a b se přiřazuje vektor A~É), které má následující vlastnosti:
(a) libovolný bod A a libovolný vektor u jednoznačně určují (koncový) bod b tak, že platí A~Ě = u,
(b) pro libovolné body A, b a, C platí: AŮ + bÓ = JO.
Vektorový prostor V se nazývá zaměření afinního prostoru A a značí se ~^X. Dimenze afinního prostoru A je definována jako dimenze jeho zaměření
A
Obrázek 4.2: Axiomy obecné afinní struktury A x A —>• V: (a) pro libovolné A e A, u e V existuje jediný B e A takový, že AĚ — u, (b) pro libovolné A,B,C e A platí: AB + BC — ÄÔ.
Poznámky
Vlastnost (a) nám asociuje zobrazení A x V —>• A, které lze interpretovat jako „umístění volného vektoru". Koncový bod B symbolicky píšeme
B = A + u.
Odtud je vidno, proč se vektor u — AB občas formálně zapisuje jako „u — B — A". Všimněte si, že pro libovolný bod A e A je předpisem
4   Afinní prostory, podprostory a zobrazení
15
(Ei> určeno zobrazení V —>• A, které je bijektivní.1 Tento postřeh ospravedlňuje výše uvedenou definici dimenze afinního prostoru. Afinní prostor dimenze 0 se nazývá triviální, afinnímu prostoru dimenze 1, resp. 2, se přezdívá afinní přímka, resp. rovina.
Zobrazení Ax V —>• A můžeme také interpretovat jako akci (komutativní grupy) V na množině A: pro libovolný vektor u e V je odpovídající transformace A —>• A právě „posunutí o vektor u". Vzhledem k terminologii v podkap. 22 můžeme naši původní definici zestručnit takto:
Definice (ekvivalentní). Afinní prostor se zaměřením V je neprázdná množina A, na níž V působí efektivně a tranzitivně; přitom V je vektorový prostor uvažovaný jakožto komutativní grupa.
4.2 Příklady
O
(1) Tzv. kanonický afinní prostor se zaměřením V je právě V, akorát zapomeneme na význačný prvek (kterým je nulový vektor). Přesněji, uvažujeme A:—V spolu se zobrazením V xV —>• V daným rozdílem vektorů: uv :— v — u.
(2) Prostor řešení soustavy lineárních rovnic je buď prázdná množina nebo afinní prostor. (Jaká může být jeho dimenze, máme-li r rovnic a n neznámých?)
(3) Další přirozené netriviální příklady známe z matematické analýzy, viz např. prostory řešení lineárních diferenciálních rovnic.
(4) Různé podivně vyhlížející konstrukce necháváme na cvičení.
V dalším textu standardním afinním prostorem dimenze n míníme právě kanonický afinní prostor se zaměřením V — Rn.
4.3 Afinní podprostory, průniky, součty a obaly Afinní podprostor
Definice. Podmnožina afinního prostoru A, která je sama afinním prostorem, se nazývá afinní podprostor prostoru A.
Jak je u podobných definic zvykem, ve vedlejší přívlastkové větě nevyslovujeme dodatek „vzhledem
ke zděděné afinní struktuře". Uvědomte si, co to přesně znamená. <gj)
Afinní podprostory dimenze 0, 1, resp. 2, nazýváme přirozeně body, přímky, resp. roviny v A; podprostory kodimenze 1 nazýváme nadroviny v A.2 (Nadrovinou v trojrozměrném prostoru je rovina, nadrovinou v rovině je přímka apod.)
1Bijektivnost plyne přímo z definice afinní struktury; inverzní zobrazení A —> V je dáno předpisem B ^ AĚ . Tato pozorování stojí za jinými (ekvivalentními) definicemi afinního prostoru, jež lze najít v literatuře, viz např. [Sek, str. 19 v I. díle].
2 Dimenze nadroviny v A je o 1 menší než dimenze A.
16
II   Afinní a projektivní geometrie
Je-li B afinní podprostor v A, potom zaměření ~Š je vektorovým podprostorem v zaměření ~A. Pro dva afinní podprostory B a C v A platí:
ale určitě ne obráceně! Nejjednodušší protipříklad můžeme vydedukovat z obr. 4.1: rovnoběžné přímky mají stejná zaměření. Toto pozorování motivuje obecnou definici rovnobežnosti, viz podkap. 6.
Afinní podprostor je jednoznačně určen svým zaměřením a nějakým bodem, jímž prochází; píšeme
B = B+ U := {B+ u\ ueU}, (4.1)
kde B je nějaký bod a U — 1$ je vektorový podprostor v A*. Ke způsobům vyjádření afinních podprostorů se vrátíme v podkap. 5.
Z definicí, předchozích pozorování a špetky samostatného uvažování vyplývá, že následující (Ei> tvrzení jsou ekvivalentní:
• Podmnožina B C A je afinním podprostorem ^=^>
• podmnožina {XY | X, Y e B} C A* je vektorovým podprostorem ^=^>
• existuje bod B e A a vektorový podprostor U C A* tak, že B — B + U ^=^>
• pro libovolné různé body B, C e B platí, že také celá přímka B + C patří do B.
Přímka B + C je nejmenší afinní podprostor obsahující body B a C. To je nejjednodušší příklad součtu afinních podprostorů, o kterém si hned něco řekneme obecně...
Průnik a součet podprostorů
Pokud je průnik afinních podprostorů B a C neprázdný, pak je to opět afinní podprostor a zřejmě platí
(Bnc) = £^n"rf.
Sjednocení afinních podprostorů však nemusí být podprostorem (viz např. množinu sestávající ze dvou různých bodů). Nejmenší afinní podprostor, který obsahuje B U C, se nazývá součtem a značí se B + C.
Obrázek 4.3: Průnik a součet afinních podprostorů: aDb — C, C + D — b, a + C — a,
a + D — p, a + p — p, a O p — a, ...
Pro zaměření součtu afinních podprostorů platí
(4.2)
4   Afinní prostory, podprostory a zobrazení
17
kde B G B a C G C jsou libovolné body a součet na pravé straně je součtem vektorových podprostorů. Sčítanec (BÓ) v (4.2) nelze obecně vynechávat! V některých případech je však jistě nadbytečný, tj. v některých případech platí BÓ G . Pokud začneme zkoumat, kdy je
tento sčítanec nadbytečný a kdy nikoli, zjistíme, že odpověď úzce souvisí s průnikem podprostorů, viz obr. 4.4:
Obrázek 4.4: SnC^0^>Bč5e^ + ^.
Věta. Uvažme afinní podprostory B,C C A a libovolné body B G B a C G C. Potom podprostory B aC mají neprázdný průnik právě tehdy, když vektor BÓ patří do součtu zaměření
Důkaz. Pokud je průnik neprázdný a Z? G B n C je nějaký společný bod, pak B — D + u a C = Z? + v pro nějaké vektory u G B ave íf. Odtud ŠČ = v- ue"íf-l-fí.
Naopak, je-li BC e ^ + C, lze vektor napsat jako = v - u pro nějaké u e ^ a v e C . Odtud plyne C — v — B — u, tzn. bod B - u e B je roven bodu C — v e C, tudíž sne ^0. □
Afinní obal, body v obecné poloze
Definice součtu podprostorů je speciálním případem tzv. afinního obalu:
Definice. Afinní obal neprázdné podmnožiny M C A je nejmenší afinní podprostor v A, který obsahuje M.
O bodech Ai,..., Ak e A říkáme, že jsou v obecné poloze, pokud má afinní obal množiny {Ai,... ,Ak} dimenzi fe — 1.
Na body v obecné poloze se budeme celkem často odvolávat, proto uvádíme ještě následující zřejmou charakterizaci:
• Body Ai,..., Ak G A jsou v obecné poloze právě tehdy, když vektory AiA2,..., AiAk G ~A* jsou lineárně nezávislé. <@j)
18
II   Afinní a projektivní geometrie
4.4 Cvičení
Rozhodněte, zda následující podmnožiny jsou afinní podprostory; pokud nejsou, určete jejich afinní obaly:
(1) nějaký interval v M1, dva body v M2, kolobežka v M3, dvě mimoběžné přímky v M4, sjednocení všech příček dvou mimoběžek v M4 apod.,
(2) celočíselná řešení rovnice x + y + z — 5 (o třech neznámých) v prostoru všech jejích řešení,
(3) konstantní funkce v prostoru řešení diferenciální rovnice y" — Ay' + by — 10.
4.5   Afinní zobrazení Úvod
Dobře známé (a v jistém smyslu základní) afinní zobrazení je rovnoběžné promítání nebo osová afinita. Obecná definice afinního zobrazení, kterou známe z konstrukční geometrie, vypadá takto:
Definice. Zobrazení mezi afinními prostory se nazývá afinní, pokud
(a) zobrazuje kolineární body na kolineární body,
(b) zachovává rovnoběžnost přímek,
(c) zachovává dělicí poměry trojic bodů na přímce. Bijektivní afinní zobrazení se jmenuje afinita.
Kolineární body jsou body, které leží na jedné přímce, tedy také body splývající. Podmínka (b), resp. (c) tedy má smysl pouze v případě, kdy se různé kolineární body nezobrazí do jednoho bodu. Z (a) a (c) plyne, že afinní zobrazení zobrazuje přímky na přímky, resp. na body (tedy nikoli např. na úsečky či jiné části přímek). Uvedené podmínky nejsou úplně nezávislé — pro zobrazení afinního prostoru dimenze aspoň 2 platí:
(Ei>      • Za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) ekvivalentní.
Pro afinní zobrazení mezi prostory dimenze 1 je podmínka (a), resp. (b) splněna automaticky, resp. triviálně — afinní zobrazení jsou v takových případech zcela charakterizovány podmínkou
Uvědomte si, že všechny pojmy zmiňované v definici jsou srozumitelné v jakémkoli afinním prostoru A:
(a) přímka je jednorozměrný afinní podprostor v A,
(b) přímky jsou rovnoběžné, pokud jejich zaměření splývají,
(c) dělicí poměr trojice různých kolineárních bodů (A, B, C) (v tomto pořadí) je reálné číslo
(c).
d takové, že platí A
d ■ BC, což většinou zapisujeme symbolicky jako
d = (AB C)
(4.3)
4   Afinní prostory, podprostory a zobrazení
19
Obrázek 4.5: Osová afinita.
Algebraická definice afinního zobrazení
Nyní chceme sloučit naše dosavadní představy s abstraktními definicemi z odst. 4.1. V každém konkrétním příkladě afinního zobrazení / : A —>• A', který známe, si můžeme povšimnout, že / indukuje zobrazení mezi zaměřeními ~^ : ~A* —>• ~Ä*', a to tak, že obraz vektoru u — AÉ je určen obrazy bodů A a B:
7(u)=f(A)f(B).
Uvědomte si, že vektor u může být reprezentován nekonečně mnoha dvojicemi bodů u — ÄÉ = ČĎ = ... . To, že je tímto předpisem vůbec definováno zobrazení, je přímým důsledkem vlastností (a)-(c) z definice 4.5. Odtud také plyne, že indukované zobrazení ~f není jen tak ledajaké, ale <gj) je lineární. Právě tato pozorování vysvětlují, proč je následující definice ekvivalentní s definicí 4.5.
Obrázek 4.6: Afinní zobrazení indukuje lineární zobrazení mezi zaměřeními.
Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi afinními prostory / : A —>• A' se nazývá afinní, pokud existuje lineární zobrazení mezi zaměřeními ^ ^ A*' tak, že pro libovolné body A, B e A platí
7(AB) = f(A)f(B). (4.4) Bijektivní afinní zobrazení se jmenuje afinita.
20
II   Afinní a projektivní geometrie
Jako je lineární zobrazení homomorfizmem vektorových prostorů, je afinní zobrazení homo-morfizmem afinních prostorů. Afinní zobrazení je tedy zobrazení mezi afinními prostory, které zachovává afinní strukturu. Uvedená definice pouze vysvětluje, co to přesně znamená...
•v
0. a> &
Obrázek 4.7: Zobrazení / je afinní, pokud /* existuje, je lineární a diagram komutuje.
Afinní zobrazení / jednoznačně určuje lineární zobrazení ~f, avšak tato korespondence není vzájemně jednoznačná — stačí si uvědomit, že indukované lineární zobrazení ke každému posunutí
(Ei> je identické zobrazení. Obecněji dvě afinní zobrazení indukují jedno a to samé lineární zobrazení právě tehdy, když se liší o nějaké posunutí. Afinní zobrazení / je tedy zcela určeno indukovaným lineárním zobrazením ~f a obrazem jednoho (libovolného) bodu. Pokud takový bod označíme např. A, potom obraz libovolného bodu B e A je určen právě rovností (4.4), neboli:
f(B) = y(AĚ)+f(A). (4.5)
Analytickému vyjádření afinních (a dalších) zobrazení se věnujeme v samostatné podkap. 13. Tato vyjádření závisí na volbě souřadné soustavy, o čemž si něco řekneme v odst. 5.1...
Protože lineární zobrazení n-rozměrného vektorového prostoru je určeno obrazem nějaké báze, tj. obrazy n lineárně nezávislých vektorů, vidíme, že obecně platí:
Věta (o určenosti afinního zobrazení). Afinní zobrazení afinního prostoru dimenze n je určeno obrazy n + 1 bodů v obecné poloze.
Afinní invarianty a základní věta afinní geometrie
V Kleinově duchu je afinní geometrie studiem vlastností, které jsou invariantní vůči afinním zobrazením. V definici 4.5 jsme vyjmenovali tři základní invarianty; na tomto místě můžeme doplnit
(Ei> jeden další, jehož zdůvodnění plyne přímo z definicí a ekvivalentních algebraických reformulací:
• Vzor a obraz afinního podprostoru vzhledem k afinnímu zobrazení jsou afinní podprostory.
V následujícím textu budeme postupně potkávat další afinní invarianty, na které budeme průběžně upozorňovat. Automaticky mezi ně patří všechny pojmy, které je možné definovat v obecném afinním prostoru, tzn. že k jejich vymezení není nutné mluvit o vzdálenostech bodů apod., i když to je možné a někdy dokonce výhodné. Typickou ukázkou je pojem úsečky a další odvozené věci, viz podkap. 7...
Výše jsme si uvědomili, že základní afinní invarianty z definice 4.5 nejsou úplně nezávislé. Ve skutečnosti jsou navzájem svázány víc, než by jeden čekal:
5   Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů
21
Věta (Základní věta afinní geometrie). Každé bijektivní zobrazení mezi afinními prostory dimenze alespoň 2, které zobrazuje přímky na přímky, je afinní.
Toto je skutečně zajímavý výsledek, jehož důkaz rozhodně není triviální; hlavní myšlenky jsou představeny např. v [Be, část 2.6]. Obsah tvrzení, a tedy i jeho důkaz, je velmi podobný tomu ve větě 8.5 na str. 55...
Všimněte si, že o zobrazení nepředpokládáme žádnou spojitost ani nic podobného. Podstatná je právě a jenom jeho bijektivnost. Jinými slovy:
• Bijektivní zobrazení splňující (a) v definici 4-5 splňuje také (b) a (c).
4.6   Cvičení _
O
(1) Rozhodněte, zda následující zobrazení jsou afinní:
• středové promítání mezi rovinami A a A', příp. A' a A" naznačenými na obr. 4.8,
• kruhová inverze, stejnolehlost, příp. osová kolineace v rovině,
• transformace afinní přímky A — R zadaná předpisem f(x) — xn + 1, kde n — 0,1, 2,...
(2) Vzpomeňte si na konstrukční zdůvodnění věty 4.5 na str. 20.
Obrázek 4.8: Středové promítání mezi rovinami.
5   Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů 5.1   Afinní repér a afinní souřadnice
Souřadnicové vyjádření bodu v afinním prostoru je relativní — závisí na souřadné soustavě. Obvyklou souřadnou soustavu v afinním prostoru je tzv. afinní souřadná soustava, jež je určena souřadnými osami a „jednotkami" na osách. Společný bod souřadných os je tzv. počátek a „jednotkové" vektory na osách tvoří bázi ~Á. Afinní souřadná soustava je určena tzv. afinním repérem a naopak:
22
II   Afinní a projektivní geometrie
Definice. Afinní repér v afinním prostoru A je určen počátkem O e A a, bází (ei, e2,...) zaměření A*. Souřadné osy jsou přímky xi — O + (e^).
Afinní souřadnice bodu A vzhledem k afinnímu repéru (O; ei, e2,...) jsou právě souřadnice vektoru u — O A v bázi (ei, e2,...).
Poznámky
Souřadnice bodu A v uvedeném repéru obvykle píšeme
A — [ai,a2,... ];
podle definice a,i jsou taková jednoznačně určená reálná čísla, že platí
A — O + aiei + a2e2 + ...
Pokud potřebujeme rozlišovat mezi body (prvky A) a souřadnicemi (prvky Rn), budeme tyto rozlišovat tloušťkou písma. Uvědomte si, že pro libovolný afinní repér v A, je přiřazením
bod íh> A — souřadnice bodu A vzhledem k danému repéru
definováno bijektivní afinní zobrazení mezi afinním prostorem A a standardním afinním prostorem Rn. Platí tedy:
(Ei>      • Všechny afinní prostory stejné dimenze jsou navzájem izomorfní (nikoli však kanonicky).
1 ;	\	
0 -1 -	<	'"A
Obrázek 5.9: Souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (O; ei, e2): A — [§, — 1] ^=> A — 0+ |ei -e2.
Přechod mezi souřadnými soustavami
Jeden bod může (ale nemusí) mít v různých afinních repérech různé souřadnice. Pokud známe souřadnicové vyjádření bodu A vzhledem k jednomu repéru a současně známe vyjádření tohoto repéru vzhledem k jinému repéru, pak by mělo být jednoduchým cvičením vyjádřit souřadnice bodu A vzhledem k onomu jinému repéru. Konkrétní příklad tohoto přechodu je na obr. 5.10. (Ei>      Zobecnění těchto pozorování je následující:
5   Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů
23
%.......^f.
Obrázek 5.10: Přechod mezi dvěma afinními repéry: A — O + |ei — e2 a současně O — (9' + 3ei+4eí,, ei = -e'2, e2 = ei + \e'2. Odtud po dosazení plyne A = O' + 2e[ +±§e'2.
Věta. Uvažme dva afinní repéry (O; ei, e2,...) a (O'; e[, e'2,...) v A. Souřadnice libovolného bodu A e A vzhledem k prvnímu repéru označíme [a\,a2,...] — A, vzhledem ke druhému [a[, a'2,... ] — A'. Souřadnice O vzhledem k druhému repéru označíme [qi, q2,...] — Q a matici přechodu od báze (ei, e2,...) k bázi (e[, e'2,...) označíme P. Potom platí, že
A' = Q + P ■ A,
neboli
«1 — 9l +PllCLl +Pl2«2 ď2 — q2+ ř>21«l + P22«2
kde pij je koeficient v matici P na í-tém řádku a j-tém sloupci.
5.2 Cvičení
V jisté afinní souřadné soustavě na mapě jistého města jsou jistá význačná místa určena souřadnicemi a = [1, -1], b — [1,1], C — [3,0], d = [5, 2], e = [4,4]. Jistí dva kolegové sledují dění ve městě tak, že kolega K. zaznamenává údaje vzhledem k souřadné soustavě s počátkem v místě a, kde má základnu, a bází (Ä~É,ÄÔ); kolega L. pracuje se souřadnou soustavou s počátkem v d a bází (dÓ, de). Přesně v poledne začíná K. zaznamenávat rovnoměrný přímočarý pohyb podezřelé tramvaje a jeho zápis (v závislosti na čase i) vypadá takto:
~5    11    1 '
4 + 4ť'2-2*
V tomtéž čase také L. zaznamenává pohyb tramvaje jako:
Rozhodněte, zda oba kolegové pozorují tutéž tramvaj a zda je náhodou tramvaj neohrožuje.
24
II   Afinní a projektivní geometrie
5.3   Parametrické vyjádření podprostoru
Dráha tramvaje v předchozím cvičení je parametrizována parametrem íeR. Obecněji, přímku p — K + L určenou dvěma body v obecném afinním prostoru můžeme podle (4.1) zapsat jako
p = K+ (KÍ) = {K + iK~Í I í e R}.
Ještě obecněji, afinní podprostor B Q A určený bodem B a zaměřením U — (ui,u2,...) je parametrizován následovně:
B = B + (m,u2,...) = {B + tmi + í2u2 + ... I íi,í2, ■ ■ ■ e K}.
Bod X e A leží v podprostoru B právě tehdy, když
X — B + ími + í2u2 + ... (5.6)
pro nějaká reálná čísla ti,t2,.... Toto je tzv. parametrické vyjádření podprostoru B Q A. Obvykle, nikoli však samozřejmě, jsou vektory ui, u2,... lineárně nezávislé. Je jasné, že jeden a týž podprostor může být parametrizován tisícerým způsobem.
Obrázek 5.11: Dvojí vyjádření téže roviny: p — A + (ui, u2) — B + (vi, v2).
5.4   Vyjádření podprostoru rovnicemi
Každý si odedávna umí poradit s vyjádřením přímky v rovině, roviny v prostoru apod. Chceme zjistit, jak je to s rovnicovým vyjádřením obecného afinního podprostoru v obecném afinním prostoru — myšleno vzhledem k nějakému vybranému afinnímu repéru.
Už v příkladu 4.2(2) jsme si uvědomili, že pokud má soustava lineárních rovnic řešení, pak tato vždy tvoří afinní prostor, jehož dimenze závisí na počtu (nezávislých) rovnic a počtu neznámých. Máme-li soustavu s n neznámými, řešení soustavy jsou uspořádané n-tice čísel a prostor všech řešení je podprostorem v afinním prostoru všech možných uspořádaných n-tic, tj. ve standardním Rn. Rádi bychom se ujistili, že každý afinní podprostor lze vyjádřit tímto způsobem, tj. pomocí soustavy lineárních rovnic vzhledem k vybranému afinnímu repéru. Tady představíme rychlé a abstraktní řešení tohoto problému, konkrétní návody najdete v odst. 5.5 a ve cvičení.
Uvažujme libovolný afinní podprostor B C A, určený bodem B a zaměřením
B = B + U.
Z lineární algebry víme, že souřadnice vektorů patřících do libovolného vektorového podprostoru (Ei> U tvoří právě řešení nějaké soustavy homogenních lineárních rovnic:
5   Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů
25
Obrázek 5.12: Přímka p má vzhledem k naznačené souřadné soustavě parametrické vyjádření [3í, — 1 + 1.5í] a obecnou rovnici x — 2y — 2.
[í = {xel" | M - x = 0},
kde matice soustavy M je typu rxn, přičemž r je počet rovnic a n — dim.4 je počet neznámých.
Máme-li takto vyjádřeno zaměření potom rovnicové (příp. obecné nebo neparamet-
rické) vyjádření podprostorů B vypadá následovně:
fi={xeR"|M-x = n},
kde sloupec n dostaneme dosazením souřadnic libovolného bodu B e B, tj.
n = M ■ B.
Tak máme garantováno, že B je řešením této soustavy, a proto taky každý jiný bod B + u e B + U — B je jejím řešením. Tato soustava rozepsaná podrobněji vypadá nějak takto:
ÍmxxXx -\-----Ymlnxn = nx \ :        1 . (5.7) mr\X\ + • • • + mrnxn — nr)
kde rriij jsou koeficienty v matici M.
Je jasné, že jeden a týž podprostor může být vyjádřen mnoha různými (vždy však ekvivalentními) soustavami rovnic. Obvykle, nikoli však samozřejmě, jsou rovnice lineárně nezávislé. V takovém případě potřebujeme k explicitnímu vyjádření všech řešení soustavy n — r volných parametrů, tzn. dim£> — n — r. Celkem tak dostáváme následující tvrzení:
Věta. Podmnožina B v afinním podprostorů A dimenze n je afinním podprostorem dimenze k právě tehdy, když souřadnice všech bodů patřících do B tvoří množinu všech řešení nějaké soustavy n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic o n neznámých.
Speciálně, k vyjádření bodu je potřeba n nezávislých rovnic a jednou rovnicí je popsána nadrovina. Podprostor dimenze k lze vždy chápat jako průnik n — k nadrovin...
5.5   Jak určit rovnicové vyjádření z parametrického?
Nejrychlejší je samozřejmě výsledek uhodnout:
26
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 5.14: Několikeré vyjádření téže přímky: p — pDa — pOr — tDv...
(1) Je dáno parametrické vyjádření nějakého podprostoru B. Hledáme takovou lineární kombinaci neznámých x i, která by současně eliminovala všechny parametry tj. Výsledkem takové kombinace je jen nějaká konstanta a máme první rovnici.
Pokud je dim£> — k, potřebujeme tento krok opakovat (n — fc)-krát, ovšem nezávisle na předchozích krocích! Tato metoda se dá považovat za použitelnou pouze pro málorozměrné podprostory, zejména pro přímky: eliminovat jeden parametr n — 1 nezávislými způsoby je vždy možné a snadné...
Pokud předchozí postup selhává, existují univerzální metody, jak rovnicové vyjádření vždy najít; zmíníme několik osvědčených nápadů.
(2) Podle zdůvodnění věty 5.4 stačí najít homogenní soustavu rovnic popisující zaměření U — ~$. (Ei>       Stačí si tedy vzpomenout, jak se tento problém v algebře (algoritmicky) řešil...
Koeficienty na pravé straně soustavy (5.7) se pak snadno určí dosazením souřadnic libovolného bodu z B.
Parametrické vyjádření (5.6) podprostoru B, můžeme psát také jako
B~Ř = íiui H-----hífcUfc,
kde předpokládáme, že směrové vektory ui,..., Ufc jsou lineárně nezávislé. To, že bod X patří (Ei> do podprostoru B lze potom vyjádřit mnoha různými — navzájem ekvivalentními — způsoby:
5   Afinní souřadnice a vyjádření afinních podprostorů
27
• Bod X patří do B ^=>
• vektor B]t je lineární kombinací vektorů ui,..., Ufc ^=^>
• vektory B]t, u1;..., ufc jsou lineárně závislé ^=^>
• mezi vektory BX, ui,...,     je právě k nezávislých ^=^>
• hodnost matice tvořené souřadnicemi vektorů B)t, u1;..., ufc vzhledem k nějaké (libovolné) bázi je právě k ^=^>
• všechny subdeterminanty řádu k+í vybrané z této matice jsou nulové.
Tyto ekvivalence motivují následující dva návody:
(3) Vytvoříme po sloupcích matici ze souřadnic vektorů B]t, ui,..., Ufc vzhledem k nějaké bázi (matice má n řádků a k+í sloupců, jenom v prvním sloupci se objevují neznámé). Řádkovými úpravami upravíme matici do schodovitého tvaru, kde hodnost matice interpretujeme jako počet nenulových řádků, a ten má být k. Právě n — k posledních řádků má tedy být nulových, což dává soustavu n — k lineárních rovnic, které by automaticky měly být nezávislé.
(4) Z matice tvořené souřadnicemi vektorů BX, ui,..., vybíráme submatice řádu k + í, spočítáme determinanty a tyto položíme rovny 0. Dostáváme soustavu lineárních rovnic, z nichž můžeme podle libosti vybrat n — k nezávislých.
Uvedené myšlenky lze vždy realizovat různými způsoby, což může vést k různým zápisům, které doporučujeme navzájem porovnat, viz např. [HoJa, str. 26].
Postup zmiňovaný v (4) je vhodný zejména v případech podprostorů malé kodimenze. Zejména, je-li popisovaný podprostor nadrovina, tj. k — n — 1, je matice zmiňovaná v (4) čtvercová řádu n — k+í. Rovnice nadroviny je tedy určena determinantem celé této matice.
5.6   Různá další vyjádření
Často lze potkat vyjádření afinních podprostorů, jež vypadají odlišně od výše uvedených. Ať už vypadají jakkoli, vždy jsou ekvivalentní některému z dříve diskutovaných popisů. Různá vyjádření mají různé výhody, pro představu uvádíme běžně používaná rovnicová vyjádření přímky v rovině (viz obr. 5.15):
• obecná rovnice: ax + by + c — 0,
• směrnicová rovnice: y — kx + q,
• úseková rovnice: ^ + ^ — 1.
Směrnicovou ani úsekovou rovnicí nelze popsat všechny přímky v rovině; konkretizujte tato omezení. Uvedená vyjádření a jejich interpretace mají zřejmé analogie pro roviny v prostoru, příp. <gj) nadroviny v prostoru obecné dimenze...
28
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 5.15: [Rek] Interpretace konstant z různých rovnicových vyjádření přímky v rovině; ke druhému obrázku je třeba doplnit k — tan (p.
5.7 Cvičení
(1) Vzhledem k nějakému afinnímu repéru v nějakém trojrozměrném afinním prostoru jsou dány body:
A = [1,1,0], B = [4,1,3], C = [1,0,1]. Určete dimenzi a rovnicové vyjádření afinního obalu množiny {A}, {A, B}, resp. {A, B, C}.
(2) Je dáno parametrické vyjádření afinního podprostoru B C M4:
xi — 3íi — 5í2 — 2í3, x2 — 1 + í2 + h, x3 — 4 — íi + í2, ^4 = 5,
kde íi,í2,í3 G K. Určete dimenzi S a najděte nějaké jiné parametrické vyjádření tohoto podprostoru. Dále ukažte, že soustavou lineárních rovnic
{x\ + 2x2 + 3aľ3 =0, X4 — 0}
je popsáno zaměření ~Š a najděte aspoň tři různá rovnicová vyjádření podprostoru B.
(3) Vyzkoušejte všechny návody určení rovnicového vyjádření, jež jsou uvedeny v odst. 5.5, např. na podprostorech z předchozích úloh. Porovnejte výsledná vyjádření.
(4) Všimněte si, že nikde neklademe otázku
• „Jak najít parametrické vyjádření z rovnicového?" Zformulujte nějakou vlastní odpověď a doplňte vhodný příklad.
(5) Ukažte, že přímka v prostoru obecné dimenze procházející body A — [a\,a,2, ■ ■ ■] a B — [bi, b2,... ] má rovnicové vyjádření
X\ — d\       X2 — &2
b\ — a\     b2 — a2
6 Vzájemné polohy podprostoru a některé polohové úlohy 6.1   Pomocná tvrzení
Před tím, než se začneme zabývat vzájemnými polohami afinních podprostoru, zformulujeme několik jednoduchých, ale užitečných tvrzení, na která se budeme opakovaně odkazovat.
6   Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy
29
(1) Jak pro afinní podprostory B, C C A, tak pro jejich zaměření přímo s definicí vyplývá, že:
BCC^BnC = B^B + C = C,   resp.   ^C^<^^nŕf = ^<í=^-l-~ŕf=ŕf.
(2) Vztah mezi součtem a průnikem afinních podprostorů jsme diskutovali v odst. 4.3, a to s následujícím závěrem:
BnC^tt^BČ eJŽ +
(3) Z lineární algebry připomínáme, že dimenze průniku a součtu vektorových podprostorů jsou spolu úzce svázány, a to následujícím způsobem: <gj)
dim(^ n ~Č) + dim(^ + ~Č) = dim ~Š + dim C\ (6.8) 6.2   Vzájemné polohy afinních podprostorů
Incidence a různoběžnost jsou množinové pojmy, afinní strukturu potřebujeme zejména k pojmu rovnobežnosti. První postřehy k obecné definici rovnobežnosti jsme měli již v odst. 4.3.
Definice. Afinní podprostory B a, C v afinním prostoru A jsou:
• incidentní, pokud jeden je podmnožinou druhého, tj. B C C nebo C C £>,
• různoběžné, pokud nejsou incidentní a mají neprázdný průnik,
• rovnoběžné, pokud jejich zaměření jsou incidentní, tj. nebo
• mimoběžné, pokud nejsou incidentní, ani různoběžné, ani rovnoběžné.
Takto definované pojmy vymezující vzájemnou polohu podprostorů jsou téměř komplementární; jedinou výjimkou je
• incidentní =4> rovnoběžné.
Chceme-li tento případ vyloučit, budeme uvažovat
• rovnoběžné různé, což znamená rovnoběžné, ale ne incidentní.
Poznámky
Mimoběžné podprostory, jejichž zaměření mají netriviální průnik, se někdy nazývají částečně rovnoběžné. V afinních prostorech dimenze < 3 částečně rovnoběžné prostory nejsou.
Vzájemná poloha afinních podprostorů „nezávisí" na okolním prostoru A. Tím myslíme, že pokud jsou podprostory B,CQAv nějaké vzájemné poloze a A' 2 A je libovolný nadprostor, potom je vzájemná poloha podprostorů B,C Q A' tatáž. Trošičku obecněji můžeme prohlásit: <gj)
• Vzájemná poloha afinních podprostorů se nemění při injektivních afinních zobrazeních.
Jako obvykle, s každým zobecněním se objevují jisté podivnosti. Přímo z definice např. plyne následující tvrzení, které nás zpravidla moc zajímat nebude, ale měli bychom si ho být dobře vědomi: <gj)
• Pokud je B Q A triviální podprostor (tj. bod nebo celý prostor A), potom B je rovnoběžný s libovolným jiným podprostorem C Q A.
30
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 6.16: Vzájemné polohy afinních podprostorů. Další obecná pozorování
Mimoběžné podprostory v afinním prostoru dimenze < 2 nejsou; v trojrozměrném prostoru to mohou být jedině přímky, tedy podprostory kodimenze 2. Toto pozorování je zobecněno v části (2) následující věty.
Odtud plyne, že nadroviny v obecném afinním prostoru nejsou nikdy mimoběžné s žádným jiným podprostorem. Pokud jsou zrovna různoběžné, okamžitě víme, jaká musí být dimenze průniku, viz část (3).
Do série ještě zařazujeme poznatek (1); afinní podprostory, jejichž zaměření jsou komplementární nazýváme taky komplementární, příp. říkáme, že jeden je doplňkem druhého.
Věta. Pro libovolné afinní podprostory B,C C A platí:
(1) Pokud jsou vektorové podprostory komplementární, pak B a C se protínají v bodě.
(2) Pokud jsou podprostory B a C mimoběžné, pak každý z nich má dimenzi menší nebo rovnu dimA — 2 (a větší nebo rovnu 1).
(3) Pokud je C nadrovina a B a C jsou různoběžné, pak dim(£> n C) — dim£> — 1.
Všechna tři tvrzení plynou přímo z definic, rovnosti (6.8) a věty 4.3 — najděte si nějaká jejich (Ei> zdůvodnění...3
6.3   Jak určit vzájemnou polohu podprostorů?
Optimální odpověď závisí na konkrétním zadání úlohy. Nejpřirozenější je asi rovnou začít s hledáním společných bodů, resp. směrů daných podprostorů, tzn. s vyjádřením průniku, resp. průniku
3Viz např. str. 135 pro inspiraci.
6   Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy
31
zaměření. Odtud lze vždy rozhodnout, jaká je jejich vzájemná poloha. Dále si všimneme, že k určení vzájemné polohy stačí znát pouze dimenze vhodných podprostorů a nikoli podprostory jako takové. Pro úplnost ještě doplníme charakterizaci pomocí součtů.
Průnik
Vzájemnou polohu podprostorů B, C C A je vždy možné jednoznačně určit podle jejich průniku Bí~\C a průniku zaměření (uvědomte si, že pokud Bľ\C ^ 0, pak např. B C C je ekvivalentní
s ~Š C ŕf):
• B n C ^ 0:
nebo C <í=^ incidentní, ^=4> různoběžné,
• S n C = 0:
nebo C <í=^ rovnoběžné různé, ^=4> mimoběžné.
Bez ohledu na způsob vyjádření daných podprostorů (parametricky/rovnicemi) většinou potřebujeme k určení jejich průniku, reps. průniku jejich zaměření, řešit soustavu lineárních rovnic. Po obvyklých úpravách (myslíme ekvivalentní úpravy vedoucí ke schodovitému tvaru) postupně pozorujeme:
(1) zdaje soustava řešitelná nebo ne (tj. zdaje průnik neprázdný nebo prázdný),
(2) pokud je řešitelná, tak podle počtu nezávislých rovnic a počtu neznámých usuzujeme, kolik budeme potřebovat volných parametrů k explicitnímu vyjádření řešení (tj. jaká bude dimenze průniku),
(3) pokud je soustava řešitelná, tak ji dořešíme a vyjádříme řešení (tj. popíšeme explicitně průnik).
Uvědomte si, že počítání průniku Bľ\C a průniku zaměření lze vždy realizovat současně:
máme-li soustavu lineárních rovnic odpovídající B n C, pak soustava popisující je právě <gj)
předchozí soustava, akorát homogenizovaná (tzn. na pravé straně jsou nuly)!
Z uvedeného je také patrné, že k určení vzájemné polohy podprostorů úplně stačí absolvovat krok (2), kdy známe dimenzi průniku, resp. průniku zaměření. Krok (3) je nutné dopočítat v případě, že nás kromě vzájemné polohy zajímají také společné body/směry daných podprostorů.
Součet
Vzhledem k úvodním rozvahám může být předchozí charakterizace vzájemných poloh podprostorů přepsána také následovně:
nebo B <í=4> incidentní, - ~é + ~Z ^ ~Z ani ~é ^=^> různoběžné,
• B<5 <£~Ř +
32
II   Afinní a projektivní geometrie
nebo o <í=^> rovnoběžné různé, - ~é + ~Z ^ ~Z ani ~é ^=^> mimoběžné.
Odtud plyne následující způsob určení vzájemné polohy podprostorů, který je vhodný asi hlavně v případě, kdy jsou oba podprostory zadány parametricky:
B = B+(ult...) aC = C+(v1;...).
Sestavíme matici ze souřadnic generujících vektorů ui,..., vi,..., kterou ještě rozšíříme o vektor B Ó. Po obvyklých úpravách — při kterých ovšem nesmíme míchat se sloupcem/řádkem, který původně obsahoval B Ô — postupně určíme:
(1) jaká je hodnost matice sestavené z generujících vektorů (tj. jaká je dimenze součtu
(2) zda je hodnost matice rozšířené stejná nebo větší (tj. zda se afinní podprostory protínají či nikoli).
Poznámky
Uvědomte si, že právě uvedený návod je pouze jinou interpretací návodu předchozího: Matice, se kterou tady pracujeme, je (až na formu zápisu a nějaká znaménka) totožná s maticí soustavy pro počítání průniku, již jsme zmiňovali výše. Přitom pojem hodnosti matice nezávisí na tom, zda matici čteme po sloupcích nebo po řádcích! Navíc, porovnáme-li krok (2) u tohoto návodu z krokem (1) návodu předchozího, nemůžeme si nevzpomenout na Frobeniovu větu o řešitelnosti (Ei> soustavy lineárních rovnic. Tato naše pozorování představují alternativní (souřadnicový) důkaz věty 4.3.
Na rozdíl od předchozího návodu, nemusí být na první pohled patrné, jaké jsou společné body/směry daných podprostorů. Tyto lze sice vždycky z jednotlivých úprav zrekonstruovat, ale nemusí se jednat o nejpříjemnější počítání. V případě, že se ptáme na společné body/směry, je proto asi vhodnější rovnou začít počítat průniky.
Závěr
V obou uvedených metodách jsme si všimli, že k určení vzájemné polohy nám stačí pracovat toliko s dimenzemi (příp. hodnostmi odpovídajících matic) a nikoli podprostory jako takovými. Obecně platí
dim(£> + ~Č) = dim(^ + ~Z + BÔ) > dim(É + ~Č) > max{dim ^,dim^}.
Pokud kvůli stručnosti označíme tato tři čísla tak, že o > n > m, pak předchozí charakterizace vzájemných poloh afinních podprostorů vypadá následovně:
Věta. Afinní podprostory B a C jsou
• incidentní <í=^> o — n — m,
• různoběžné ^=4> o — n > m,
• rovnoběžné různé ^=4> o > n — m,
• mimoběžné ^=^> o > n > m.
6   Vzájemné polohy podprostorů a některé polohové úlohy
33
Důkaz. První nerovnost je rovností, právě když BČ G , neboli BC\C ^ 0. Druhá nerovnost
je rovností, právě když nebo , tj. právě když B aC jsou rovnoběžné. Postupným
rozborem všech možností vyčerpáme všechny možné vzájemné polohy... □
Pro podprostory eukleidovského prostoru odvodíme ještě jinou charakterizaci vzájemných poloh (související s jejich vzdáleností), viz větu 11.3 na str. 82.
6.4 Příčky
Pokud jsme kdy mluvili o příčkách, pak výhradně o příčkách mimoběžných přímek. Obecně se příčkou dvou afinních podprostorů B, C C A myslí jakákoli přímka, která je s B i C různoběžná. Pro netriviální podprostory existuje vždy nekonečně hodně příček, viz obr. 6.17. Příčka bývá (ale
í%. 17.
Obrázek 6.17: [LiSch] Ke dvěma mimoběžkám existuje oo2 různých příček.
nemusí být!) jednoznačně určena nějakou dodatečnou podmínkou, např.
• aby procházela daným bodem,
• aby měla daný směr,
• apod.
To jestli taková příčka existuje, příp. zda je určena jednoznačně, závisí na vzájemných polohách zadaných podprostorů a oné dodatečné podmínky...
Umění konstrukce příček má velmi užitečná uplatnění v technické praxi, viz např. obr. 6.18 nebo [Maj.
Jak určit příčku dvou podprostorů?
Pro dané podprostory B,C C A a danou dodatečnou podmínku je možné příčku určit nejméně dvojím způsobem:
34
II   Afinní a projektivní geometrie
(a) Uvážíme nejmenší afinní podprostor £>', resp. C, určený podprostorem B, resp. C, a danou podmínkou; hledaná příčka je potom obsažena v průniku B' n C.
Příčka existuje, pokud je průnik B' n C neprázdný a jeho dimenze je aspoň 1; příčka je jediná, pokud je dimenze B' n C právě 1.
(b) Uvážíme obecné body BeBaCeCa jimi určenou přímku B + C; ptáme se, pro které B a C je splněna daná dodatečná podmínka, což nás přivádí k soustavě rovnic, kterou následně řešíme.
Příčka existuje, pokud je tato soustava řešitelná; příčka je jediná, pokud má soustava jediné řešení.
Konkrétní provedení obou těchto postupů lze najít v [Sek, HoJa], viz též následující cvičení... Poznámky
V eukleidovských prostorech budeme hledat příčky, které jsou nejkratší možné. Takové příčky se jmenují osy a — na rozdíl od obecných příček — libovolné dva podprostory mají (aspoň jednu) osu. Umění určení osy má velmi užitečné uplatnění při měření vzdáleností podprostorů, viz odst. 11.1.
Obrázek 6.18: [Ma] Krov hradní věže ve Štramberku: krokve krovu jsou příčky mimoběž-ných přímek a a b sestrojené z několika bodů na kruhové podezdívce k.
_  6.5 Cvičení
(1) Určete vzájemnou polohu afinních podprostorů B,C c M4,
B = {[1,2, 0, 0] + í(0,0,1,1)},   C = {[-1,0, 2, 0] + ai(-l, 0, 2,1) + a2(l, 0, -1, 0)}, kde t, si,S2 G M, příp. určete jejich společné body a směry.
(2) Pozměňte vhodně zadání v předchozích úlohách tak, abyste vyčerpali zbývající možné vzájemné polohy.
7   Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další
35
(3) Uvažte tři přímky v M3:
Pl = {[l+tl,l,tl]},     p2 = {[l+í2,-1,-í2]},     p3 = {[0,í3,í3]}-
Ukažte, že tyto přímky jsou navzájem mimoběžné, a řešte následující úlohy:
• určete příčku pi a,p2, která prochází bodem B — [0,0,0],
• určete příčku pi ap2, která prochází obecným bodem na p3,
• představte si všechny společné příčky těchto tří mimoběžek.
(4) Pro tutéž trojici přímek řešte následující:
• určete příčku pi a,p2, která má směr u — (1,1,0),
• určete jinou příčku pi a,p2, která je rovnoběžná s rovinou p — {x — y — 0},
• představte si všechny příčky pi a,p2, které jsou rovnoběžné s touto rovinou.
7   Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další
Body na afinní přímce p — A + B jsou jednoznačně určeny hodnotami íeKz parametrického vyjádření
přímka AB = {A + tXŘ \ t e R}. (7.9)
V této řeči je velmi snadné vymezit ledajaké podmnožiny přímky AB jako např.
polopřímka AB = {A + tXŘ \ t > 0}, úsečka AB = {A + tJÉ | t e [0,1]}.
V následujících odstavcích tyto postřehy trochu rozvineme a zobecníme...
7.1   Relace uspořádání a mezi, úsečka
Úvodní bijekci mezi body na přímce p — A + B a reálnými čísly íel jsme v odst. 5.1 interpretovali jako souřadnice bodu X e p vzhledem k afinnímu repéru (A; u — AĚ) na p. Přirozené uspořádání reálných čísel nyní indukuje relaci uspořádání pro body na přímce p:
Definice. Pro body na afinní přímce C, D e p a jejich souřadnice c, d G M — vzhledem k nějakému afinnímu repéru na p — definujeme „C < D", pokud c < d.
Uvědomte si, že toto uspořádání závisí pouze na orientaci bázového vektoru u a nikoli na vektoru jako takovém. <gí)
Nezávisle na jakýchkoli volbách umíme definovat relaci „mezi" pro trojice bodů na afinní přímce; prvním odvozeným pojmem je pojem úsečky:
Definice. Bod E leží mezi body Cafl, pokud E leží na přímce p — C + D a „C < E < D" vzhledem k nějakému afinnímu repéru na p.
Úsečka CD je množina všech bodů, které leží mezi C a D, doplněná o krajní body Cafl.
36
II   Afinní a projektivní geometrie
c
A
0
Obrázek 7.19: B — A + A~É, C = A- A~É, D = A+ \A~ň, ...
Pro porovnání uvádíme několik ekvivalentních formulací:
• Bod E leží mezi body C a D ^=^>
• vektory CE a DE jsou opačně orientované ^=^>
• dělicí poměr4 trojice bodů (C,D,E) je záporný.
V eukleidovských prostorech umíme doplnit ještě charakterizaci pomocí vzdáleností bodů, viz
Pojem úsečky hraje klíčovou roli v definicích mnoha dalších geometrických objektů, z nichž některé představujeme v následujících odstavcích...
7.2   Poloprostory, úhly, konvexní množiny
Dalším důležitým souvisejícím pojmem je pojem poloprostoru: Bod rozděluje přímku na dvě polopřímky, přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny a rovina rozděluje trojrozměrný prostor na dva poloprostory. Podobně, nadrovina rozděluje obecný afinní prostor na dva poloprostory:
Definice. Dva body A a B v afinním prostoru A jsou oddělovány nadrovinou C, pokud A ani B neleží v C a úsečka AB má s nadrovinou C společný právě jeden vnitřní bod.
(Afinní) poloprostor v A vymezený nadrovinou C je charakterizován tím, že žádné dva jeho body nejsou nadrovinou C oddělovány.
Poloprostory vymezené nadrovinou C jsou dva a jejich průnikem je právě C.
Obrázek 7.20: Body A, B jsou oddělovány nadrovinou C C A, body A, C nikoli; body B, C patří do jednoho poloprostoru, body A, C, D do druhého.
Průnikem dvou polorovin v afinní rovině (takových, že jejich hraniční přímky jsou různo-běžné), je úhel. Pokud uvažujeme více polorovin, pak jejich průnikem může vzniknout ledacos (např. mnohoúhelník), v každém případě to však bude konvexní množina:
odst. 9.1.
4Viz definici na str. 18.
7   Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další
37
Definice. Podmnožina M v afinním prostoru A je konvexní, pokud pro libovolné různé body B,C G M platí, že také celá úsečka BC patří do M.
Konvexní množiny v A jistě jsou: celé A, všechny afinní podprostory (tzn. i body), úsečky, poloprostory a mnoho dalších... 5
Obrázek 7.21: Množina K je konvexní, množina R nikoli.
Průnikem konvexních podmnožin v A je opět konvexní množina; sjednocení samozřejmě nikoli:
Definice. Konvexní obal podmnožiny M C A je nejmenší konvexní množina, která obsahuje M.
Konvexní obal k+í bodů v obecné poloze se nazývá fc-rozměrný simplex.
Konvexním obalem konečné množiny bodů (v libovolné poloze) může být konvexní mnohostěn, příp. konvexní mnohoúhelník, úsečka nebo bod. Bod, resp. úsečka je 0-, resp. 1-rozměrným sim-plexem; 2-rozměrný simplex není nic jiného než trojúhelník, 3-rozměrný simplex je čtyřstěn, neboli trojboký jehlan.
Obrázek 7.22: Množina Q je konvexním obalem množiny R.
K analytickému vyjádření poloprostoru a konvexního obalu konečné množiny bodů se dostaneme za chvíli...
7.3   Těžiště, barycentrické souřadnice a další
V (7.9), resp. (7.10) je analytické vyjádření přímky, polopřímky, resp. úsečky určené body A a B. Jako obvykle, jednu a touž věc lze vyjádřit různými způsoby, nad nimiž se nyní zamyslíme a záhy zobecníme. Všechny následující úvahy se odehrávají v obecném afinním prostoru A.
6Mimo jiné také prázdná množina je podle definice konvexní.
38
II   Afinní a projektivní geometrie
Úvodní postřehy
Např. střed úsečky AB můžeme vyjádřit jako S — A + \Aň nebo S — B + \bÁ, ale taky jako
s = p+\p1+\pŮ, kde P je úplně libovolný bod (ať na přímce AB nebo v okolním prostoru)! Pokud úsečku AB chápeme jako páku (na jejichž ramenech působí stejné síly), potom střed S je bod, v němž je třeba páku AB podepřít, aby byla v rovnováze. Pokud uvažujeme body A a B jako hmotné body se stejnými (kladnými) hmotnostmi, potom střed S je těžištěm hmotné soustavy sestávající právě z těchto dvou bodů.
Obecněji, každý bod X na přímce AB lze pomocí parametru t e M vyjádřit (vzájemně jednoznačně)jako
X = A + tAĚ,   resp.   X = B + (1 - ť)B~X; (7.11)
vztah mezi těmito dvěma vyjádřeními je skryt v rovnosti B = A+AB. Dále, pro zcela libovolný bod P e A zřejmě platí A — P + PA, B^P + PBaAB^PB- P~X. Dosazením do (7.11) (Ei> dostáváme
X = P+ (1 -t)PA + tPB. (7.12)
Pro kontrolu si můžeme všimnout, že levou, resp. pravou rovnost v (7.11) dostaneme dosazením P — A, resp. P — B do (7.12). Pokud tamtéž dosadíme P — X, dostáváme
(1 - ť)X~l + tXB = o.
Tuto rovnost můžeme interpretovat jako rovnováhu na páce AB podepřené v bodě X, přičemž síly působící v koncových bodech A a B odpovídají koeficientům u příslušných vektorů. Jiná
Obrázek 7.23: X = A + \AB ^> X = P- \PA + \PB ^> -\XA + \XB = o
interpretace téhož je taková, že bod X je těžištěm hmotné soustavy sestávající z bodů A a B, v nichž jsou soustředěny (ne nutně kladné) hmotnosti t a — 1 — t a t b — t.6 Povšimněte si, že
t A +tB = I-
Naopak, jsou-li v bodech A a B soustředěny váhy m a a tub a X je těžištěm této hmotné soustavy, potom platí
mAxX + mBxÍ = o. (7.13)
Obdobnými úpravami jako výše (XA — XP + PA apod.) zjišťujeme, že pro libovolný bod P e A (j3> platí
(mA + mB)Yf' + mAP~A + mB¥Ě = o.
Odtud vidíme, že těžiště existuje (a je jediné) právě tehdy, když součet vah mA+mB je nenulový. V takovém případě můžeme tento bod vyjádřit jako
X = P + tAPÄ + tBPB,   kde   íA = ——-       a   tB = ——--• (7.14)
mA + rriB mA + mB
Kvůli případnému nežádoucímu konfliktu se zažitými představami budeme místo hmotnost říkat váha.
7   Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další
39
Povšimněte si, že tA +tB — 1- Dosazením P — A, resp. P — B do (7.14) dostáváme obvyklé vyjádření
X = A + tBAĚ,   resp.   X = B + tABÁ.
Vzhledem k tomu, že rovnost (7.14) (resp. (7.12)) nezávisí na volbě bodu P £ A, budeme totéž psát stručněji jako
„X — íaA + tBB ",   kde   ía+íb = 1-
Z uvedeného je zřejmé, že charakterizace z (7.9) a (7.10) umíme nyní vyjádřit takto: <gj)
přímka AB = {„tAA + tBB " | tA + tB = 1}, polopřímka AB = {„tAA + tBB " | tA + tB = 1 a íB > 0},
úsečka      = + tBB " | íA + tB = 1 a tA > 0 a íB > 0}.
Obecnější postřehy
Analogické úvahy můžeme bez větších problémů vést pro tři a více bodů. Zde však bude podstatné, zda uvažované body jsou či nejsou v obecné poloze.7
Pro příklad začněme se třemi body A, B,C v alespoň dvourozměrném afinním prostoru A. Pokud jsou tyto body v obecné poloze (tzn. tvoří vrcholy trojúhelníku), potom každý bod X v rovině ABC lze pomocí parametrů t, s G M vyjádřit např. takto:
X — A + tAB + sAÔ.
Pro zcela libovolný bod P G A zřejmě platí A = P + PÁ, AĚ = ¥Ě — P A atd., což po dosazení dává <gj)
X — P + tAPÁ + tB¥Ě + tcPÉ,   kde   t a = 1 - t - s, tB = t, tc = s.
Povšimněte si, že ía + tB + tc — 1 a že korespondence mezi takovými trojicemi čísel a body v rovině ABC je vzájemně jednoznačná. Podobně jako výše budeme předchozí vyjádření stručněji zapisovat jako
„X = tAA + tBB + tcC",   kde   tA + tB + tc = l.
Pokud body A,B,C nejsou v obecné poloze (tzn. splývají nebo leží na jedné přímce), potom právě popsaná korespondence jistě není vzájemně jednoznačná, viz obr. 7.24.
_*_ 6 X. C
-      f---h--,-„-h-
Obrázek 7.24: „X = -\A + \B = \B + \C = \A + |C"
V každém případě však lze bod X interpretovat jako těžiště hmotné soustavy sestávající z bodů A,B,C, v nichž jsou popořadě soustředěny váhy tA,tB,tc- To plyne z následujícího: Těžiště T hmotné soustavy s vahami mA,mB, mc v bodech A, B, C je totéž co těžiště soustavy
7Dva body jsou v obecné poloze, právě když jsou různé; tento předpoklad byl v předchozím automaticky splněn, proto jsme jej nepotřebovali diskutovat.
40
II   Afinní a projektivní geometrie
s vahami tua + mB,mc v bodech R, C, kde R je těžiště soustavy s vahami tra, tub v bodech A, B. Bod R je podle (7.13) určen rovností
tuaRA + tubRÁ — o
a bod T je podle téhož principu určen rovností
(tua + rriB)TR + mc<TC — o.
(Ei> Z těchto dvou rovností vyplývá, že pro těžiště T platí
mA^ + mBTB+ mcŤČ'= o. (7.15)
Je-li součet vah tua + ms + mc nenulový, potom polohu těžiště lze vyjádřit obdobně jako v (7.14), viz obr. 7.25...
C mc - z
Obrázek 7.25: „R = \A+ \B" a „T = |C"       „T — f A + ifi + |C"
Pro body v obecné poloze navíc platí, že těžiště hmotné soustavy se stejnými vahami ve všech třech bodech je totéž jako těžiště trojúhelníku ABC — jmenovitě, bod „T — ^A + ^B + \CU. To, že něco podobného neplatí obecně, je naznačeno na obr. 7.26, viz též jedno z následujících cvičení...
Obrázek 7.26: [Be] Těžiště mnohoúhelníku obecně není totéž co těžiště bodové hmotné soustavy se stejnými hmotnostmi ve vrcholech.
Z uvedeného vyplývá, že v tomto duchu je velmi snadné popsat některé objekty určené třemi (Ei> body v obecné poloze:
7   Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další
41
rovina ABC = {„tAA + tBB + tcC" \tA + tB + tc = 1}, polorovina AB, C = {„tAA + tBB + tcC" | tA + tB + tc = 1 a tc > 0}, trojúhelník ABC = {„tAA + íB5 + ícC" | tA + tB + tc = 1 a tA, tB, tc > 0},
kde polorovinou AB, C je myšlena polorovina vymezená přímkou AB a bodem C. Obecné závěry
Vzhledem k předchozí zevrubné přípravě můžeme být poměrně struční. Uvažme fc-tici bodů Ai,... ,Ak e A, které jsou v obecné poloze, a libovolný další bod Pel Potom každý bod X z afinního obalu množiny {A\,... ,Ak} lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru
X = P + t1PÄ>1 + ---+tkPÄt,   kde   íi + ---+ífc = l, (7.16) což stručněji zapisujeme jako
„X = hA± + ■■■+ tkAk ",   kde   íi + ■ ■ ■ + ífc = 1. (7.17) Vzhledem k stávajícímu značení definujeme:
Definice. Barycentické souřadnice bodu X vzhledem ke fc-tici bodů {A\,... ,Ak) v obecné poloze je fc-tice čísel (íi,..., ífc) z (7.16), resp. (7.17).
Pokud body Ai nejsou v obecné poloze, potom koeficienty U nejsou určeny jednoznačně...
Bez ohledu na to, zda body Ai v obecné poloze jsou, či nikoli, uvažujme hmotnou soustavu s vahami m, soustředěnými v bodech A^. Zobecnění (7.13) a (7.15) je následující:
Definice. Bod T je těžištěm hmotné soustavy s vahami mi,..., soustředěnými popořadě v bodech A\,..., Ak, pokud platí
m1TA1 + ■■■ + mkTAk = o. (7.18)
Obdobnými úpravami jako výše — tedy dosazením TA\ — TP^ + PAí do (7.18) atd. — dostáváme následující tvrzení: <gj)
Věta. Těžiště hmotné soustavy s vahami m\,...,mk soustředěnými popořadě v bodech Ai,..., Ak existuje, právě když je součet m\ + ■■ ■ + mk nenulový. V takovém případě je poloha těžiště určena rovností (7.16), kde P e A je libovolný bod a koeficienty ti jsou rovny
TO,-
U =---•
m1 + ■ ■ ■ + TOfc
Uvědomte si, že pokud těžiště existuje, potom je jistě jediné (přestože koeficienty U v (7.16) nemusí být určeny jednoznačně).
42
II   Afinní a projektivní geometrie
Pokud je součet vah m\ + ■ ■ ■ + mk nulový, potom těžiště neexistuje; nanejvýš můžeme říct, že leží někde v „nekonečnu". Představte si nějaký takový případ... <gj)
Pokud jsou všechny váhy kladné, jistě je jejich součet nenulový. V takovém případě těžiště vždy existuje a bude ležet v konvexním obalu bodů Ai. Tento poznatek je obsahem druhé části následující věty:
Věta. Pro body A\,..., Ak G A platí:
• afinním obalem množiny {A\,..., Ak} je množina
{„Mi + • • • + tkAk " | h + ■ ■ ■ + tk = 1},
• konvexním obalem množiny {A\,... ,Ak} je množina
{„hAj, + ■■■ + tkAk" | Í! + • • • +tk = 1 a tlt... ,tk > 0}.
Pokud jsou body A\,..., Afc_1 v obecné poloze, potom platí:
• poloprostor vymezený nadrovinou A\ + ■ ■ ■ + Afc_1 a bodem Ak je množina
{„Mi + • • • +tkAk" | íi + ■ ■ ■ +ífc = 1 o ífc > 0},
Zdůvodnění všech těchto tvrzení je buď přímo obsaženo v předchozím textu, nebo je jeho bez-(Ei> prostředním zobecněním...
7.4   Důležité poznámky
(1) Relaci mezi, stejně jako pojem úsečky a další odvozené pojmy lze definovat rozličnými způsoby, které jsme buď nezmiňovali vůbec, nebo jenom v poznámkách. Výše uvedenými formulacemi zejména chceme zdůraznit, že všechny tyto pojmy jsou výsostne afinní, tzn. že k jejich vymezení nepotřebujeme vzdálenosti bodů ani nic podobného! Jsou to tedy zřejmé afinní invarianty, takže následující tvrzení nepotřebují žádné další komentáře:
• Afinní zobrazení zobrazuje úsečky na úsečky nebo body.
• Afinní zobrazení zachovává konvexnost množin.
• Afinní zobrazení zachovává těžiště hmotných soustav.
Ve skutečnosti platí také opačné tvrzení k posledně zmiňovanému — celkem tak dostáváme následující charakterizaci:
Věta. Zobrazení f : A —>• A' je afinní právě tehdy, když pro libovolné A\,..., Ak e A a ti,... ,tk e M takové, že t\ + ■ ■ ■ + tk — 1, platí:
/(„hA, + ■■■ + tkAk ") = „hfiA,) + ■■■ + tkf(Ak)". (7.19)
7   Uspořádání na přímce, konvexní množiny, barycentrické souřadnice a další
43
Důkaz. Potřebujeme zdůvodnit implikaci zprava doleva, k čemuž postačí předpoklad (7.19) pro k — 2: Odtud plyne, že kolineární body se zobrazí na kolineární body (všechny body tvaru „X — tiAi + t2A2 " pro Ai A2 tvoří přímku). Navíc koeficienty na obou stranách jsou stejné, což znamená, že zobrazení / zachová dělicí poměr bodů na přímce (za předpokladu, že f(Ai) ^ f(A2)). To už stačí k tomu, aby zobrazení / bylo afinní, viz úvod odst. 4.5... □
(2) Pro pořádek uvádíme přesný vztah mezi barycentrickými souřadnicemi bodu X na přímce určené body A a B a dělicím poměrem této trojice bodů (viz definující rovnosti (7.17) na str. 41 a (4.3) na str. 18): <@j)
(ABX) = d^„X= -l—A - -^—B".
(3) Rovnost (7.13) je vektorovým zápisem zákona páky; úpravy před (7.15), resp. obr. 7.25 jsou ukázkou, tzv. principu redukce. Jedná se o dva základní axiómy pro úvahy o těžištích, které zformuloval a mistrně užíval již Archimédés. Těžiště, resp. barycentrické souřadnice mají velice elegantní uplatnění při řešení mnoha konkrétních úloh. Zajímavý úvod a ukázky lze najít např. v[Š]...
(4) V předchozím jsme diskutovali analytický popis trojúhelníku, resp. obecného simplexu, jakožto konvexního obalu několika bodů v obecné poloze. Každý trojúhelník je polovinou nějakého rovnoběžníku; každý simplex je částí nějakého rovnoběžnostěnu. Vzhledem k tomu, že se s těmito objekty budeme ještě potýkat, doplníme nějaký jejich analytický popis.
Rovnoběžník je konvexní množina, můžeme jej tedy chápat jako konvexní obal jeho čtyř vrcholů a odkázat se na předchozí popis. Každý rovnoběžník je však určen svými třemi vrcholy, resp. jedním vrcholem a dvěma vektory. V rovnoběžníku ABCD totiž platí AB — DO, ekvivalentně, bÔ — AD. Např. vrchol D může být určen takto:
D^B + rÁ + B^^ A + bÓ = C + B~Á=--- ,   resp.   „D = A-B + C". Odtud je vidno, že rovnoběžník ABCD je právě částí roviny ABC, jež může být popsána takto:
rovnoběžník ABCD = {B + sbX + rB~Ô | s, r e [0,1]}
= {„tAA + tBB + tcC" I t a + tB + tc = 1 a t a, tc > 0 a \tB\ < 1}.
Zobecnění tohoto popisu pro obecný rovnoběžnostěn necháváme čtenáři jako snadné cvičení... <gí)
Obrázek 7.27: Rovnoběžník je určen bodem a dvěma vektory.
44
II   Afinní a projektivní geometrie
7.5 Cvičení
(1) V afinním prostoru M3 jsou dány body
A= [1,1,0], B — [4,1,3], C — [1,0,1], D — [0, —1,1], E — [3, 0,0]. Rozhodněte, zda:
• jsou bodu D a, E oddělovány nadrovinou p — ABC,
• úsečky AB a CD mají nějaký společný bod.
(2) Rozhodněte, zda body A, B, C, D tvoří vrcholy rovnoběžníku.
(3) Dokažte, že body A, B, D, E jsou v obecné poloze, a:
• určete barycentrické souřadnice bodu C vzhledem k této čtveřici bodů,
• rozhodněte, zda bod C patří do konvexního obalu bodů A, B, resp. A, B, D, resp.
A, B, D, E,
• určete afinní souřadnice těžiště čtyřstěnu ABDE,
• určete souřadnice zbylých vrcholů a těžiště nějakého rovnoběžnostěnu, jehož čtyři vrcholy jsou A,B,C, E,
• rozhodněte, zda bod D leží uvnitř tohoto rovnoběžnostěnu.
(4) Rozhodněte, zda podmnožiny ze cvičení 4.4 jsou konvexní; pokud nejsou, popište jejich konvexní obaly.
(5) K obrázku 7.21: Rozhodněte, zda obrys rohlíku může být obrazem kružnice vzhledem k nějakému afinnímu zobrazení.
(6) Na obrázku 7.28 jsou stopy stojící osoby a vyznačený bod, který je průmětem těžiště osoby ve směru výslednice všech sil, které na ni působí. Rozhodněte, zda je tato osoba bez jakékoli další opory stabilní.
Obrázek 7.28: Stopy
(7) K obrázku 7.26:
• sestrojte bod „\x\ + \x2 + \x% + \x^ " a uvědomte si, že určování těžiště bodové hmotné soustavy je asociativní,
• sestrojte těžiště čtyřúhelníku a rozhodněte, zda tento úkol náhodou nepatří do jiné kapitoly,
8   Projektivní geometrie
45
• udejte příklad čtyřúhelníku, jehož těžiště splývá/nesplývá s bodem „\x\ + \x2 +      + j
(8) Připusťme na chvíli trojúhelník ABC v eukleidovské rovině: Vyjádřete střed kružnice vepsané jakožto těžiště hmotné soustavy s hmotnostmi soustředěnými ve vrcholech A,B,C.
(9) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké tvrzení elementární afinní geometrie (jako např. Menelaovu větu).
8   Projektivní geometrie 8.1 Úvod
V reálném životě, příp. v kurzu matematické analýzy nebo konstrukční geometrie jsme si mohli všimnout, jak je výhodné pracovat s nevlastními body, tj. s body v nekonečnu. Máme na mysli různé limitní úvahy nebo aplikace rozličných zobrazení. Typické geometrické zobrazení, při němž se nevlastní body objevují v „konečnu", je středové promítání, neboli projekce. Jak už názvosloví napovídá, sblížení s tímto zobrazením — a zejména s jeho vlastnostmi — bude vstupenkou do světa projektivní geometrie...
Obrázek 8.29: Středové promítání...
V obecném afinním prostoru uvažme středové promítání se středem S mezi nějakými dvěma podprostory A a A'. Pokud vzájemná poloha těchto podprostorů a středu promítání není nijak specifická (jako např. A || A'), potom existuje podmnožina v A, která nemá obraz, a podmnožina v A', která nemá vzor (na obr. 8.31, resp. 8.30 to je bod A'^, resp. přímka p). Z tohoto důvodu nemůže být takové zobrazení afinní (neboť vzor a obraz afinního zobrazení jsou afinní podprostory). Na uvedených ilustracích je neafinnost patrná také z toho, že obecné středové promítání nezachovává dělicí poměry kolineárních bodů a rovnobežnosť přímek. V každém případě však středové promítání zachovává kolinearitu bodů, což je jedna ze dvou definujících vlastností projektivních zobrazení. Druhou definující vlastností je invariantnost dvojpoměru (čtveřic kolineárních bodů). To, že se při středovém promítání zachovávají dvojpoměry, je obsahem tzv. Pappovy věty...
Obecné projektivní zobrazení operuje mezi obecnými projektivními prostory. Každý projektivní prostor lze vždy chápat jako tzv. projektivní rozšíření nějakého afinního prostoru A (které budeme značit .4), což je rozšíření právě o nevlastní body. Na tomto místě si uvědomme, že:
• Projektivní rozšíření afinní přímky má právě jeden nevlastní bod.
46
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 8.31: Projektivní rozšíření afinní přímky má jeden nevlastní bod.
Zdůvodnění tohoto poznatku je následující, viz obr. 8.31:
Body na afinní přímce Ai e A jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s promítacími paprsky — Ai + S. Když se bod Ai vzdaluje do nekonečna, přímka a,i konverguje k přímce, která leží v afinní rovině A + S a, neprotíná A, tedy k přímce, která je s A rovnoběžná. Protože rovnoběžka k dané přímce daným bodem je jediná, má každá přímka v afinní rovině jediný nevlastní bod. □
Projektivní přímka R — R U {oo} je tedy něco jiného než rozšířená reálná osa (—oo, oo) — R U {—oo, oo}, jak ji známe z analýzy! Na rozdíl od přímky afinní je projektivní přímka uzavřená — body na projektivní přímce tedy nelze uspořádat. Odtud plyne, že relace „mezi" a další odvozené pojmy — jako úsečka, poloprostor, konvexní množina — nemají v projektivní geometrii žádný smysl. Stále se však můžeme bavit o podprostorech, jejich průnicích a vzájemných polohách, tedy věcech souvisejících s incidencemi: Libovolné dva body určují přímku a každé dvě přímky v projektivní rovině se protínají v jednom bodě. V obecném projektivním prostoru je rovnoběžnost neznámým pojmem; v projektivním rozšíření afinního prostoru je rovnoběžnost pouze speciálním případem různoběžnosti, a to když je průnik podprostorů v nekonečnu...
8   Projektivní geometrie
47
IR
c
D
c
R
T D
E
Obrázek 8.32: Na afinní přímce je bod E mezi body C a D. Na projektivní přímce nemá relace „mezi" valného smyslu.
8.2   Projektivní rozšíření, projektivní prostory a podprostory Projektivní rozšíření afinního prostoru
V odst. 8.1 jsme volně představili projektivní rozšíření afinní přímky. Každá přímka v afinní rovině má právě jeden nevlastní bod. Libovolný nevlastní bod může být reprezentován nekonečně mnoha navzájem rovnoběžnými přímkami. Všechny takové přímky mají stejná zaměření, což jsou jednorozměrné vektorové podprostory v zaměření roviny. Obecná definice projektivního rozšíření v termínech afinní geometrie vypadá takto:
Definice. Projektivní rozšíření afinního prostoru A je množina A :— A U oo_4, kde oo_4 je množina všech jednorozměrných vektorových podprostorů (směrů) v zaměření ^Á. Prvky z A, resp. oo_4 nazýváme vlastní, resp. nevlastní body rozšířeného projektivního prostoru A.
Uvažme afinní prostor A jakožto jpodprostor v nějakém větším afinním prostoru a podívejme se na A a jeho projektivní rozšíření A z nějakého (libovolného) bodu S ^ A, viz obr. 8.33. Každý bod A e A určuje přímku a <z A + S &, naopak, každá přímka a <z A + S procházející bodem S určuje bod A £ A. Tato korespondence je vzájemně jednoznačná, přičemž:
• Bod A je nevlastní ^=^> přímka a — A + S je rovnoběžná s A.
Navíc každá přímka procházející bodem S je jednoznačně určena svým zaměřením. Celkem tedy prvky A ztotožňujeme s jednorozměrnými vektorovými podprostory v zaměření A + Š -. W, přičemž:
• Bod A je nevlastní       libovolný zastupující vektor a je obsažen v
Současně si můžeme všimnout, že projektivnímu rozšíření B Q A afinního podprostorů B Q A odpovídá vektorový podprostor B + Š —: U ve W, jehož dimenze je dimí/ — dim£> + 1.
Hlavní výhodou tohoto popisu je, že na rozdíl od předchozího reprezentujeme prvky A — A U oo_4 krásně homogenním způsobem. Navíc tak přirozeně přicházíme k definici obecného projektivního prostoru...
Obecná definice projektivního prostoru a podprostorů
48
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 8.33: Prvky A — A U 00,4 jsou v 1 : 1 korespondenci s přímkami v A + S,
jež procházejí bodem S, a ty jsou v 1 : 1 korespondenci se směry v A + S. Přitom
D e ooA ^=^> d || A ^=4> dejl.
Definice. Projektivní prostor dimenze n s vektorovým zástupcem W je množina všech jednorozměrných podprostorů (směrů) ve vektorovém prostoru W dimenze n + 1; značíme
Podmnožina projektivního prostoru W, která je sama projektivním prostorem, se nazývá projektivní podprostor prostoru W.
Z definice je zřejmé, že projektivní podprostory projektivního prostoru W — V(W) jsou právě množiny všech směrů ve W, které patří do nějakého netriviálního vektorového podprostorů U C W, tj. množiny tvaru U — V (U). Obecně platí, že
Výše popsané projektivní rozšíření A afinního prostoru ^4 je projektivní prostor s vektorovým zástupcem W — A + Š. Přitom nevlastní body, tj. prvky množiny 00,4 — V{Á), tvoří projektivní
nadrovinu v A — V (A + Š), tzn. projektivní podprostor kodimenze 1.
Naopak, pokud v obecném projektivním prostoru W — V(W) prohlásíme nějakou projektivní nadrovinu V — V (V) za množinu „nevlastních bodů", pak doplňková podmnožina W \ V má (Ei> přirozenou afinní strukturu (se zaměřením V). Proto lze každý projektivní prostor chápat jako projektivní rozšíření nějakého afinního prostoru...
Průnik a součet projektivních podprostorů
Pokud je průnik projektivních podprostorů U — V(U) aV = P(V) nějakého projektivního prostoru neprázdný, pak je to opět projektivní podprostor a zřejmě platí
W = P(W).
dimW — dim U — 1.
(8.20)
unv = v(unv).
Průnik U n V je prázdný právě tehdy, když U n V — {o}.
Sjednocení projektivních podprostorů nemusí být projektivním podprostorem (viz např. sjednocení dvou různých bodů). Nejmenší projektivní podprostor, který obsahuje U U V, se nazývá
8   Projektivní geometrie
49
součtem a značí se U + V. Tento podprostor je reprezentován nejmenším vektorovým podpro-storem obsahujícím U U V, tzn. součtem zastupujících vektorových podprostorů U + V. Platí tedy
U + V = V(U + V). Věta o součtu a průniku vektorových podprostorů říká, že
dim(í/ ny) + dim(í/ + V) = dim í/ + dim V. (8.21)
Odtud a z předchozích pozorování bezprostředně vyplývá, že <@j)
dim(W n V) + dim(W + V) = dimW + dim V, (8.22)
ovšem za předpokladu, že U n V 7^ 0. Pokud je tento průnik prázdný, není první sčítanec dobře definován. Abychom nemuseli diskuzi zbytečně štěpit, můžeme vzhledem k (8.20) jednoduše dodefinovat dimenzi prázdné množiny:
dim0 := -1.
S touto konvencí je rovnost (8.22) platná univerzálně. Z uvedeného bezprostředně vyplývá např. toto tvrzení:
Věta. Pokud je součet dimenzí dvou projektivních podprostorů větší než nebo roven dimenzi okolního prostoru, potom se tyto podprostory protínají.
Důkaz. Pro podprostory U,V C W je podle předpokladu dimW + dim V > dimW. Současně součet U + V nemůže být větší než W, tj. dim(U + V) < dimW. Z rovnosti (8.22) tedy plyne, že dim(W n V) > 0. □
Speciálně tak dostáváme tvrzení, z nichž některá jsme zmiňovali již v motivačním úvodu:
• dvě přímky v projektivní rovině se vždy protínají,
• přímka a rovina v trojrozměrném projektivním prostoru se vždy protínají,
• apod.
Vzájemné polohy projektivních podprostorů
Předchozí pododstavec souvisí se vzájemnými polohami podprostorů projektivního prostoru. Ty můžeme rozlišovat pouze podle jejich průniku — celkem máme tři možnosti:
Definice. Netriviální projektivní podprostory projektivního prostoru jsou:
• incidentní, pokud jeden je podmnožinou druhého,
• různoběžné, pokud nejsou incidentní a mají neprázdný průnik,
• mimoběžné, pokud nejsou incidentní, ani různoběžné, tzn. mají prázdný průnik.
50
II   Afinní a projektivní geometrie
Pro triviální podprostory je diskuze vždycky poněkud degenerovaná, což zrovna nemáme zapotřebí řešit... <gj)
Pro podprostory U — V (U) a,V — V (V) nějakého projektivního prostoru W — V(W) můžeme jejich vzájemnou polohu charakterizovat pomocí zastupujících vektorových prostorů U, V C W, a to následujícím způsobem:
• unv ^{o}:
— U n V — U nebo V ^=^> incidentní,
— U n V 7^ U ani V ^=^> různoběžné,
• U n V — {o} ^=^> mimoběžné.
Tato formulace navádí k počítání průniku vektorových podprostorů, což vede k řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. Uvědomte si, že k učení vzájemné polohy nepotřebujeme odpovídající soustavu dořešit úplně, stačí rozpoznat dimenzi průniku a porovnat s dimenzemi zadaných podprostorů.
Dimenze průniku souvisí s hodností matice soustavy a ta odpovídá dimenzi součtu podprostorů. Tato čísla jsou spolu svázána rovností (8.21). Odtud vyvozujeme, že obecně platí
dimU + dim V > dim(í/ + V)> max{dim U, dim V}.
Pokud kvůli stručnosti označíme tato tři čísla tak, že t > s > r, pak předchozí charakterizace vzájemných poloh vypadá následovně:
Věta. Projektivní podprostory U a V jsou
• incidentní ^=^> t > s — r,
• různoběžné ^=4> t > s > r,
• mimoběžné ^=^> t — s > r.
Důkaz. První nerovnost je rovností, právě když U CiV — {o}, neboli Wíl V — 0. Druhá nerovnost je rovností, právě když U Q V nebo V Q U, ty právě když W a V jsou incidentní. Odtud zejména plyne, že obě rovnosti nemohou platit současně; ostatní možnosti jsou potom jasné... □
Poznámky
Všimněte si, jak je život v projektivním světě jednoduchý, a to nejlépe tak, že porovnáte dosavadní (Ei> diskuzi s analogickými pasážemi v afinním případě, viz odst. 4.3, 6.2 a 6.3. Současně si uvědomte, že v rámci projektivních rozšíření afinních prostorů se nic z dříve uvedených poznatků neztrácí. Viz např. fundamentální pojem afinní geometrie — rovnoběžnost:
Uvažme projektivní rozšíření B, C c A netriviálních afinních podprostorů B, C c A. Podle definice jsou podprostory B a C rovnoběžné, pokud jsou jejich zaměření incidentní. To
je ekvivalentní s tím, že množiny nevlastních bodů oog C B a ooc C C jsou incidentní, tudíž:
• B || C <í=^> oog C ooc nebo ooc C oog.
Pokud jsou podprostory B a C rovnoběžné různé, potom průnik B a C sestává výhradně z nevlastních bodů,a naopak:
• B || C různé ^=4> BnCC 00,4.
Tato vzájemná poloha je tedy jen speciálním případem (projektivní) různoběžnosti...
8   Projektivní geometrie
51
8.3   Homogenní souřadnice
Každý bod X projektivního prostoru W — V(W) je zastoupen nějakým nenulovým vektorem x G W, a to tak, že X — (x). Dva vektory ve W reprezentují jeden a týž bod ve W právě tehdy, když se liší o nějaký nenulový násobek.
Definice. Projektivní repér projektivního prostoru W — V(W) je báze (e0, ei, e2,...) zastupujícího vektorového prostoru W.
Homogenní souřadnice bodu X — (x) G W vzhledem k projektivnímu repéru (e0, ei, e2,...) jsou souřadnice libovolného reprezentujícího vektoru xelf vzhledem k této bázi.
Pozor — homogenní souřadnice bodu nejsou určeny jednoznačně! V závislosti na volbě reprezentujícího vektoru se však mohou lišit pouze o násobek nenulovým reálným číslem. Tuto nejednoznačnost bychom měli mít pořád na paměti, čemuž by mělo napomáhat následující značení:
Homogenní souřadnice bodu X — (x) G W takového, žex = x0e0 + xiei + • • • G W, budeme psát jako X — (x0 : xi : x2   ■ ■ ■)■ Vzhledem k uvedenému tedy pro libovolné o^O platí
X — (x0 : Xi : x2 '■■■■) — (ax0 : axi : ax2 : .. .). (8.23) Standardní rozšíření afinních souřadnic
Pro projektivní rozšíření afinních prostorů je vhodné si volbu projektivního repéru chytře přizpůsobit. To uděláme jednou provždy následujícím způsobem:
Uvažme afinní prostor A s afinním repérem (O; ei, e2,...). Zastupující vektorový prostor projektivního rozšíření A — A U oo_4 značíme jako obvykle W. Chytře přizpůsobený projektivní repér je právě báze (e0, ei, e2,...) ve W taková, že
• vektory ei, e2,... G     jsou vektory z afinního repéru výše,
• vektor e0 ^ A^ je vektor reprezentující počátek O e A.
Vzhledem k takto přizpůsobené bázi uvažujme homogenní souřadnice (8.23) bodu X — (x) G A — Aii oo_4. Smyslem této volby je, že velmi snadno rozlišujeme vlastní body od nevlastních:
• X G oo_4 <í=> x G     <í=> xq — 0.
Nevlastní bod X G oo^ reprezentovaný vektorem x G s afinními souřadnicemi (xi ,x2,...) má homogenní souřadnice
X — (0 : xi : x2 : . ..),
a naopak...
Vlastní bod X G A s afinními souřadnicemi [x\, x2,... ] má homogenní souřadnice X — (1 : xi : x2 : ...). Naopak, homogenní souřadnice libovolného vlastního bodu X G A můžeme psát ve tvaru
X = (x0 :Xl :x2 : ...)= (í : ^ : ^ : ...V (8.24)
V      x0     Xq J
Tím ztotožňujeme afinní prostor A — jakožto podmnožinu v projektivním prostoru A — V(W) — s podmnožinou ve vektorovém prostoru W popsanou rovnicí x0 — 1:
A= {x G W I x0 = 1}.
52
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 8.34: Vlastní bod A — 0+3e!+e2 — S+e0+3e1+e2 má homogenní souřadnice (1:3: 1). Nevlastní bod zastoupený přímkou se směrovým vektorem a — — 2ei + e2 má homogenní souřadnice (0 : —2 : 1).
8.4 Dvojpoměr
Dvojpoměr lze popsat celkem různorodě, viz např. [Be, kapitola 6]. Začneme tím, že připomeneme definici, kterou jsme používali v konstrukční geometrii. Doplníme diskuzi o nevlastních bodech a zformulujeme totéž pomocí homogenních souřadnic.
Opakování
Pro čtveřici (A,B,C,D) vlastních, kolineárních a navzájem různých bodů je dvojpoměr této čtveřice roven podílu dělicích poměrů:
(AB fl)     jjg íšj)
Definice dvojpoměru samozřejmě závisí na pořadí bodů ve čtveřici, viz cvičení 8.7. Pokud je náhodou (ABCD) — —1, říkáme o čtveřici bodů, že je v tzv. harmonickém poměru. V mezních případech vychází dvojpoměr následovně:
Pro A — B je (AB CD) = 1, pro A = C je (AB CD) — 0, pro B — C je (AB CD) = ±oo apod.
Je-li bod D nevlastní, potom (AB D^) — lim (AB D) — 1, a proto platí
D—>oo
(ABCDOQ)^(ABC).
Podobný vztah platí, i když je jiný bod z dané čtveřice nevlastní...
Pokud je náhodou C středem úsečky AB, potom (ABCD^ — (ABC) — —1, čili čtveřice A, B, střed úsečky AB a nevlastní bod přímky AB je vždy v harmonickém poměru.
Homogenní formulace
Vzhledem k nějakému afinnímu repéru na přímce obsahující body A,B,C a D označíme jejich souřadnice a, b, c a d. Potom definice (8.25) pro čtveřici vlastních bodů vypadá v těchto souřad-
8   Projektivní geometrie
53
ničích takto:
(AB CD)
d — a     (c — a)(d — b)
-b d-b
(c — b) (d — a)
Uvědomte si, že výsledek nezávisí na volbě afinního repéru, ačkoli čísla a, b, c, d ano!
Uvažme homogenní souřadnice na projektivním rozšíření přímky, jež jsou přizpůsobeny afinním souřadnicím stejně jako v odst. 8.3. Tzn., že homogenní souřadnice bodu A jsou (1 : a) apod. Potom zřejmě platí
i 1 1
o — a —
Tento zápis má tu výhodu, že nám umožní vyjádřit předchozí limitní úvahy s nevlastními body krásně homogenním způsobem. V homogenních souřadnicích je totiž       — lim (1 : d) — (0 : 1),
takže např. (ABD^) jako
D
lim (AB D)
(AB Uqo)
1	0
a	1
1	0
b	1
lim (1 : d)
d—>oo
lim       — 1 je v homogenních souřadnicích vyjádřeno
Tato pozorování vedou k následující jednotné definici dvojpoměru, v níž nerozlišujeme mezi body vlastními a nevlastními.
Definice. Dvojpoměr čtveřice navzájem různých bodů na projektivní přímce s homogenními souřadnicemi A — (ao ■ ai), B — (b0 : bi), C — (cq : ci), D — (do : d\) je reálné číslo
(AB CD)
«0	co		bo	d0
a,i	Cl		bi	di
bo	co		a0	d0
bi	Cl		a,i	di
(8.26)
Uvědomte si, že stejně jako výše toto číslo nezávisí na volbě souřadné soustavy! Pokud dva <gj) body splývají, znamená to, že jejich reprezentující vektory jsou lineárně závislé, což je ekvivalentní s tím, že odpovídající determinant v předchozím vyjádření je nulový. V takových případech nemusí být dvojpoměr definován, sr. s úvodní diskuzí.
Z uvedeného bezprostředně vyplývá následující jednoduché tvrzení: <gí)
Věta. Nechť A, B, C jsou tři navzájem různé kolineární body a r e R. Potom existuje jediný bod D na projektivní přímce určené body A, B, C takový, že (ABCD) — r.
8.5   Projektivní zobrazení Úvod
Modelové projektivní zobrazení je středové promítání, o němž jsme si povídali již v odst. 8.1. Středové promítání mezi dvěma projektivními rovinami je regulární (zejména tedy injektivní),
54
II   Afinní a projektivní geometrie
středové promítání trojrozměrného prostoru do roviny je singulární (tj. neinjektivní — přímky procházející středem promítání se zobrazují do bodu). Tyto obecné vlastnosti budou příležitostně hrát podstatnou roli.
Obrázek 8.35: [Be] Ukázka z Lambertovy Perspektivy (1759)
Středové promítání zachovává kolinearitu bodů a — pokud se různé kolineární body nezobrazí do jednoho bodu — také jejich dvojpoměr.8 Obecná definice projektivního zobrazení vypadá takto:
Definice. Zobrazení mezi projektivními prostory se nazývá projektivní, pokud
(a) zobrazuje kolineární body na kolineární body,
(b) zachovává dvojpoměr bodů na přímce. Bijektivní projektivní zobrazení se jmenuje kolineace.
Kolineární body jsou také body splývající; podmínka (b) tedy má smysl pouze v případě, kdy se různé kolineární body nezobrazí do jednoho bodu. Pro projektivní zobrazení mezi prostory dimenze 1 je podmínka (a) splněna automaticky — injektivní projektivní zobrazení jsou v takových případech zcela charakterizovány podmínkou (b).
Z definujících podmínek (a) a (b) vyplývá, že projektivní zobrazení mezi projektivními prostory dimenze alespoň 2
(a') zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky, anebo body.
Toto tvrzení známe (i s důkazem) z kurzu konstrukční geometrie jako tzv. Pappovu větu.
8   Projektivní geometrie
55
(Tím se myslí, že pokud se přímka nezobrazí do bodu, potom se zobrazí na celou přímku a nikoli jen nějakou její část.) Ve skutečnosti platí, že injektivní zobrazení projektivního prostoru dimenze aspoň 2 splňující (a') splňuje také (a) a (b), tzn. je projektivní. Platnost (a) je zřejmá, platnost (b) je důsledkem tzv. základní věty projektivní geometrie...
Základní věta projektivní geometrie
Pro vektorové prostory W a W stejné dimenze označíme odpovídající projektivní prostory W — V(W) a W — V(W).9 Uvažme nějaký lineární izomorfismus F : W —>• W. Protože F je lineární, obrazem libovolného vektorového podprostoru ve W je vektorový podprostor ve W. Protože F je bijektivní, má vzor i obraz stejnou dimenzi. Zejména, směry (jednorozměrné vektorové podprostory) ve W se zobrazují na směry ve W. Odtud vidíme, že F : W —>• W indukuje zobrazení mezi projektivními prostory F_: W —>• W, a to tak, že
£((x» = <F(x)>, (8.27)
kde x e W je libovolný nenulový vektor. Dále, dvojrozměrné vektorové podprostory ve W se zobrazují na dvojrozměrné vektorové podprostory ve W. Odtud vidíme, že indukované zobrazení F_ zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky. Toto zobrazení je navíc bijektivní, což plyne z bijektivnosti F.
Následující věta říká, že pro dostatečně velké prostory platí také opačné tvrzení:
Věta (Základní věta projektivní geometrie). Každé bijektivní zobrazení mezi projektivními prostory f : W —>• W dimenze alespoň 2, které zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky, je určeno nějakým lineárním izomorfismem F : W —>• W tak, že / — F_.
Důkaz neuvádíme, protože není vůbec jednoduchý. Poprvé byl tento fakt dokázán K. von Staud-tem, podrobnosti lze najít např. v [Be, část 5.4]. Základním úkolem je interpretovat algebraické operace s reálnými čísly (souřadnicemi bodů) pomocí geometrických konfigurací přímek a bodů. Srovnejte s tvrzením ve větě 4.5 na str. 21...
Důsledky
Stejně jako výše uvažme zobrazení F_ : W —>• W' indukované nějakým lineárním izomorfismem F : W —>• W. Z předchozího víme, že takové zobrazení zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky. Zúžení F_ na jednu (libovolnou) přímku U — V {U) C W je indukováno zúžením F na odpovídající podprostor U C W. Z definice (8.26), z linearity Faz Cauchyovy věty o součinu determinantů plyne, že F_ zachovává dvojpoměry. Celkem tedy lineární izomorfismus F : W —>• W <@j) určuje kolineaci F_: W —>• W. Odtud a ze základní věty projektivní geometrie plyne následující tvrzení, které lze chápat jako jisté zobecnění Pappovy věty:
Důsledek. Každé bijektivní zobrazení mezi projektivními prostory dimenze alespoň 2, které zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky, zachovává dvojpoměry, a tudíž to je kolineace.
'Aby následující diskuze nebyla triviální, předpokládáme dim W = dim VV" > 1.
56
II   Afinní a projektivní geometrie
Pro projektivní prostory dimenze aspoň 2 jsou tedy kolineace právě zobrazení indukovaná lineárními izomorfismy zastupujících vektorových prostorů. Pro projektivní prostory dimenze 1 je situace specifická v tom, že podmínka (a) je splněna automaticky — kolineace jsou právě zobrazení zachovávající dvojpoměry čtveřic bodů. Také v tomto případě je každá kolineace indukována nějakým lineárním izomorfismem zastupujících vektorových prostorů:
Z věty 8.4 víme, že každý bod na projektivní přímce je jednoznačně určen hodnotou dvoj-poměru vzhledem ke třem navzájem různým bodům. Každá kolineace / je proto zcela určena obrazem tří navzájem různých bodů. Pro dané tři body a jejich obrazy stačí sestrojit takový izomorfismus F zastupujících vektorových prostorů, že jeho indukované zobrazení F_ souhlasí s daným / na těchto třech bodech. To je ukázáno v důkazu věty o určenosti projektivních zobrazení na následující straně...
Algebraická definice projektivního zobrazení
V předchozím výkladu hrál podstatnou roli předpoklad, že uvažovaná zobrazení byla bijektivní. Pro injektivní zobrazení dostáváme zúžením na obraz bijekci a na předchozí charakterizaci se v podstatě moc nezmění. Pro neinjektivní (singulární) zobrazení není úplně jasné, jak předchozí výsledky zobecnit, ale možné to je. Na tomto místě nemůžeme ani nehodláme tento případ moc (Ei> rozmazávat...
Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi projektivními prostory / : W —>• W (libovolných dimenzí) se nazývá projektivní, pokud existuje lineární zobrazení mezi zastupujícími vektorovými prostory F : W —>• W tak, že pro libovolný vektor xeff \ ker F platí
Bijektivní projektivní zobrazení se jmenuje kolineace.
Projektivní zobrazení / je injektivní, právě když lineární zobrazení F je injektivní, což je ekvivalentní s tím, že jeho jádro,
je triviální. Pokud tedy / není injektivní, potom ker F C W je netriviální vektorový podprostor a body z projektivního podprostoru P(ker F) C V(W) tak nemají definován obraz. Proto neinjektivní projektivní zobrazení nikdy nemohou být definována na celém prostoru W — V(W)\10
Lineární zobrazení F jednoznačně určuje projektivní zobrazení f — F_, avšak tato korespon-(Ei> dence není vzájemně jednoznačná. Uvědomte si, že dvě různá lineární zobrazení Fi a F2 indukují totéž projektivní zobrazení právě tehdy, když se liší o nějaký násobek nenulovým reálným číslem:
Věta (o určenosti projektivního zobrazení). Injektivní projektivní zobrazení projektivního prostoru dimenze n je určeno obrazy n + 2 bodů, z nichž žádná (n + l)-tice neleží v jedné nadrovině.
10Pro příklad, definiční obor středového promítání trojrozměrného projektivního prostoru do roviny tvoří všechny body kromě středu promítání.
/«x» = <F(x)>.
kerF = {xeW| F(x)
o},
8   Projektivní geometrie
57
iaiUmF----•* WMO1!
I l
Obrázek 8.36: Zobrazení / je projektivní, právě když F existuje, je lineární a diagram komutuje.
Právě popsanou konfiguraci bodů budeme kvůli stručnosti nazývat body ve skoro obecné poloze.
Dané body a jejich reprezentující vektory označme tak, že Ai — (a^), obrazy těchto bodů a jejich reprezentující vektory označíme A[ — (a-); přitom tady i všude dál dosazujeme i — l,... ,n+2. Hledáme injektivní projektivní zobrazení / : W —>• W takové, že f(Ai) — A[, neboli hledáme injektivní lineární zobrazení F : W —>• W takové, že
F(ai)=kiati, (8.28)
kde ki jsou nějaká nenulová reálná čísla. Chceme ukázat, že z předpokladů věty plyne, že čísla ki jsou určena jednoznačně až na nějaký společný nenulový násobek. Odtud plyne, že zobrazení / — F je těmito předpoklady určeno zcela jednoznačně. Kvůli názornosti zformulujeme důkaz pro nejmenší smysluplnou dimenzi, obecnou reformulaci přenecháváme čtenáři...
Obrázek 8.37: Pro a3 — — 2ai + 3a2 a a'3 — \alx + ^a2 nechť F je lineární zobrazení takové, že F(ai) = a F(a2) = \&'2. Potom platí F(a3) = -2F(a^ + 3F(a2) =
+ ia2 — aíj. Indukované projektivní zobrazení / — F tudíž splňuje f(Ai) — A[, f(A2) = A>2& f(A3) = A'3.
Důkaz pro n—1. Body ve skoro obecné poloze jsou v tomto případě právě tři navzájem různé body Ai,A2,A3 na projektivní přímce W. Odpovídající vektory a1;a2,a3 jsou taky navzájem různé, ale protože dim W — 2, musejí být lineárně závislé. Tuto závislost vyjádříme např. takto:
a3 — ai&i + a2a2, (8.29)
kde «i a a2 jsou jednozačně určená nenulová reálná čísla. Protože zobrazení / je podle předpokladu injektivní, jsou také obrazy A!X,A!2,A!3 navzájem různé. Totéž platí pro odpovídající vektory stejného důvodu jako výše jsou tyto lineárně závislé:
a3 = /3iaí + /32a2,
(8.30)
58
II   Afinní a projektivní geometrie
kde /?i a /32 jsou jednozačně určená nenulová čísla.
Z rovnosti (8.29), z linearity zobrazení F a, z rovnosti (8.28) pro í — 1 a2 plyne, že
F(a3) — aiF(ai) + a2F(a2) — ai&iai + a2k2a2.
Odtud a z rovnosti (8.30) vidíme, že F(a3) — k3a'3 právě tehdy, když
ki — fc3—   a   k2 — fc3—.
ai a2
Trojice čísel ki,k2, k3 je tedy určena jednoznačně až na nenulový společný násobek k3.
Pro libovolné k3 ^ 0 je požadavkem F(ai) — k3^a[ a F(a2) — k3^a'2 určeno jednoznačně lineární zobrazení F : W —>• W, pro něž potom platí F(a3) — k3a'3. Pro libovolné k3 ^ 0 je indukované projektivní zobrazení / — F_ : W —>• W stále totéž, je tedy určeno jednoznačně a platí f(A{) =      /(A2) = ^ a /(A3) = A3. □
Poznámky
(1) Zformulovat podobné tvrzení pro neinjektivní (singulární) projektivní zobrazení je o poznání subtilnější úkol. Např. projektivní zobrazení roviny (n — 2) do přímky je určeno obrazy pěti (tedy n+ 3) bodů, anebo taky vůbec, pokud jsou tyto body v „nevhodných" polohách. Obecnou odpověď v těchto případech proto hledat nebudeme. Z kurzu konstrukční geometrie však jistě
(Ei> umíme doplnit něco o určenosti projektivního zobrazení z trojrozměrného prostoru do roviny...
(2) Nyní uvažme projektivní rozšíření afinních prostorů A — A U oo_4 a A' — A' U oo_4<. Afinní zobrazení mezi afinními prostory / : A —>• A' indukuje lineární zobrazení mezi jejich zaměřeními ~$ : A* —>• A*', a to indukuje projektivní zobrazení / : V{X) —>• V {Á'). Protože V(Á) — oo_4 a V(Ä*') — oo_4', můžeme přirozeně definovat zobrazení
/ = / U 7 = -A U ooA -> .4' U «U'.
(Ei> Z uvedeného lze snadno vyvodit, že zobrazení / je projektivní; budeme mu říkat projektivní rozšíření afinního zobrazení f. Projektivní zobrazení h : A^ A' je projektivním rozšířením nějakého afinního zobrazení právě tehdy, když zobrazuje vlastní body na vlastní nebo, ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní:
• h = / ^=4> h(A) C A' ^> h(ooA) C 004'-11
Srovnejte tento poznatek s poselstvím základní věty afinní geometrie (str. 21)...
(3) Pro projektivní rozšíření afinních zobrazení, je podmínka, že nadrovina nevlastních bodů se zobrazuje do nadroviny nevlastních bodů, natolik silná, že k jednoznačnému určení zobrazení stačí méně bodů než v obecném případě: Pro zobrazení z prostoru dimenze n stačí obrazy n + 1 vlastních bodů v obecné poloze. Srovnejte tento poznatek s poselstvím věty 4.5 na str. 20...
8.6 Užitek
V předchozím výkladu jsme zmínili několik užitečných afinně-projektivních vztahů, viz poznámky ke vzájemným polohám projektivních podprostorů a k projektivním zobrazením. V tomto odstavci doplníme několik dalších postřehů.
1V takovém případě zřejmě platí / = h\A a     = h\c
8   Projektivní geometrie
59
Rovnice nadroviny
Přímka v afinní rovině určená body A — [ai, a2] a B — [bi, b2] má rovnici
1     1 1
X\   a\ bi
x2   a2 b2
= 0.
Přímka určená bodem A — [ai, a2] a směrem b — [bi, b2] má rovnici
1     1 0
X\   a\ bi
x2   a2 b2
= 0.
Obecněji, přímka určená dvěma body v projektivním rozšíření roviny s homogenními souřadnicemi A — (ao ■ «1 : «2) a B — (b0 : bi : b2) má rovnicové vyjádření
Zdůvodnění těchto tvrzení je velmi prosté, viz obr. 8.38. Tyto poznatky lze dále zobecňovat pro nadroviny v obecném projektivním prostoru, ale i jinak. Srovnejte výsledky s návodem (4) v odst.
Obrázek 8.38: Body A, B, X jsou kolineární ^=4> zastupující vektory a, b, x jsou lineárně závislé.
Perspektiva pro malíře
Se znalostí dvojpoměru čtyř bodů umíme přesvědčivě dokázat, která čtveřice bodů na obr. 8.39 je a která naopak není projektivním průmětem čtyř ekvidistantních bodů. Všimněte si, že výsledek umíte celkem bezpečně uhodnout ještě před tím, než začnete cokoli měřit/počítat! <gj)
Předchozí úloha souvisí s problémem věrného zobrazení čtvercové dlažby a podobných praktických věcí. Na obr. 8.40 je naznačena užitečná pomůcka — horizont, což je průmět nevlastní přímky zobrazované roviny (sr. s obr. 8.30).
Těchto pár postřehů ve skutečnosti stačí k tomu, abychom korektně sestrojili perspektivní průmět libovolného bodu v rovině, resp. v prostoru, jsou-li dány průměty dostatečně mnoha bodů v dostatečně obecné poloze. Tyto dovednosti jsme procvičovali v konstrukční geometrii s pravítkem a kružítkem, v kapitole IV naznačíme, jak řešit podobné problémy analyticky.
x0 a0 b0 xi m bi x2   a2 b2
= 0.
5.5.
60
II   Afinní a projektivní geometrie
Obrázek 8.39: [St] Která čtveřice boduje projektivním obrazem stejně vzdálených bodů?
Obrázek 8.40: [St] Perspektivní průmět čtvercového dláždění roviny.
Porovnání perspektivních snímků
Potřebujeme-li sestavit větší snímek z několika dílčích, pracujeme s několika referenčními body, které se snažíme na sebe „nějak napasovat" a zbytek „nějak transformovat". Se základními znalostmi projektivní geometrie všechny neurčitosti v předchozím popisu mizí:
Předpokládejme, že snímáme rovinu jako na obr. 8.41. Korespondence mezi snímkem 1 a snímkem 2 je složením dvou kolineací, je to tedy kolineace. Podle věty 8.5 na str. 56 je toto zobrazení jednoznačně určeno obrazem 4 bodů, z nichž žádné 3 neleží na jedné přímce. V kapitole IV se naučíme, jak taková zobrazení vyjádřit analyticky...
Obrázek 8.41: [Be] Pro porovnání dvou perspektivních obrazů téže roviny nám stačí obrazy 4 bodů, z nichž žádné 3 nejsou kolineární.
8   Projektivní geometrie
61
8.7 Cvičení
(l)
Řešte některou z předchozích úloh v homogenních souřadnicích, viz např. úlohy ze cvičení
5.7 a 6.5.
(2)
Dokažte, že pro libovolnou čtveřici kolineárních bodů platí
(ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA).
(3)
Dokažte, že vzhledem k označení (ABCD) — k platí
(4) Obecná projektivní transformace projektivní přímky má v homogenních souřadnicích následující vyjádření:
kde k, l,m,n G M. Dokažte, že / zachovává dvojpoměry.
(5) Připomeňte si některé konstrukce zmiňované v předchozím textu, viz např. obr. 8.40.
(6) Vzpomeňte si na konstrukční zdůvodnění věty 8.5 na str. 56.
(7) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké tvrzení elementární projektivní geometrie, např. Pappovu větu.12
12Pappových vět je víc...
f(xg : x\) — (kxo + Ixi : mxo + nx\),
62 II   Afinní a projektivní geometrie
KAPITOLA I I I
Eukleidovská geometrie
Algebraická dennice eukleidovského prostoru je taková, že je to afinní prostor s eukleidovskou metrikou, což je metrika kompatibilní s afinní strukturou. Eukleidovská metrika je určená skalárním součinem na zaměření.
Pomocí skalárního součinu se definuje velikost vektoru — odtud velikost úsečky neboli vzdálenost dvou bodů. Dále pak kolmost a odchylka dvou vektorů — odtud velikost úhlu. Pojem kolmosti, vzdálenosti a odchylky poté přirozeně rozšíříme na libovolné podprostory v obecném eukleidovském prostoru. Geometrická charakterizace dvojic bodů (resp. vektorů), v nichž se vzdálenost (resp. odchylka) realizuje, zobecňuje naše poznatky z konstrukční geometrie a je založena na kolmosti, resp. kolmém průmětu. Celá kapitola končí diskuzí nad obsahy rovnoběžníků, resp. objemy obecných rovnoběžnostěnů.
9   Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení 9.1   Úvod a základní definice
V eukleidovské geometrii dominuje — vedle rovnobežnosti — pojem shodnosti. Chceme tedy analyticky interpretovat shodnost, což v prvé řadě znamená shodnost úseček a úhlů. Vzhledem k tomu, s jakou oblibou používáme reálná čísla, budeme přiřazovat úsečkám a úhlům jejich velikosti a prohlásíme, že
• úsečky, resp. úhly jsou shodné, pokud mají stejnou velikost.
Je jasné, že ne každá funkce, která úsečkám přiřazuje jejich velikosti, určuje shodnost jak ji chápeme v eukleidovském prostoru. Přirozené požadavky jsou:
(a) \AB\ > 0,
(b) \AB\ — 0       A — B,
(c) \AB\ = \BA\,
(d) \AC\ < \AB\ + \BC\,
64
III   Eukleidovská geometrie
kde A,B,C jsou libovolné body a \AB\ značí velikost úsečky AB, neboli vzdálenost bodů A a B. Požadavky (a)-(d) jsou právě axiómy obecného metrického prostoru; každý eukleidovský prostor je tudíž metrickým prostorem. Tyto předpoklady však určitě nestačí — bylo by např. velmi podivné, kdyby protilehlé strany v rovnoběžníku měly mít jinou velikost. Jinými slovy, aby metrický prostor byl eukleidovským prostorem, musí být metrika kompatibilní s rovnobežností, tj. s afinní strukturou:
(e) AB — CD =4> \AB\ = \CD\.
Eukleidovská metrika v afinním prostoru A tedy musí být určena nějakou funkcí na zaměření — V, která vektorům přiřazuje jejich velikost. Velikost úsečky \AB\ je potom určena velikostí odpovídajícího vektoru Takto se pomalu dostáváme k pojmu skalárního součinu...
Skalární součin
Standardní skalární součin ve vektorovém prostoru V — Rn přiřazuje dvěma vektorům u — (ui, u2, ■ ■ ■) a v — (vi,v2,...) reálné číslo
u . v — uivi + u2v2 + .... (9.1)
Standardní báze
ei = (1,0,...), e2 = (0,l,...), ...
je ortonormální, což znamená, že tyto vektory jsou navzájem kolmé a mají velikost 1. To je v řeči (9.1) ekvivalentní tomu, že
eí.e^{°'   P°kud^< (9.2) I 1,   pokud i — j.
Velikost obecného vektoru u — (ui, u2,...) je rovna
||u|| := \/u.u= ^u\+ul + .... (9.3)
Za vší touto algebraizací samozřejmě vidíme základní poznatky elementární eukleidovské geometrie jako např. charakterizaci podobnosti trojúhelníků, Pythagorovu větu apod.1 (viz obr. 9.1).
Jako obvykle, pro další vyvozování je mnohem podstatnější, jaké jsou vlastnosti přiřazení (9.1), než tento konkrétní předpis. Tyto vlastnosti jsou:
(a) u . v — v . u,
(b) (u + v). w — u . w + v . w,
(c) (ru) . v — r(u . v),
(d) u^o => u . u > 0,
kde u, v, w e V jsou libovolné vektory a r e M je libovolné reálné číslo. Dosavadní pozorování vedou k definici obecného skalárního součinu v obecném vektorovém prostoru:
xViz 1.47, VI.4-5 apod. v [Eu].
9   Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení
65
Obrázek 9.1: Vektory u — (ui,u2) a v — (vi,v2) jsou kolmé ^=^> tga — ^ — — ^ — — tg/3 ^=4> uivi + u2v2 — 0. Velikost vektoru u — (ui,u2) je rovna \Jii\ + u\.
Definice. Skalární součin na vektorovém prostoru V je symetrická (a), bilineární (a)-(c), pozitivně definitní (d) forma V x V —>• R.
Vektory u a v jsou kolmé, pokud u . v — 0; značíme u _L v.
Velikost vektoru uje reálné číslo ||u|| :— y'u.u.
Báze vektorového prostoru je ortonormální, pokud jsou bázové vektory navzájem kolmé a všechny mají velikost rovnu 1.
Skalárnímu součinu se často přezdívá vnitřní součin, a to zejména v cizojazyčné literatuře. Všude v následujícím předpokládáme, že vektorový prostor V je vybaven skalárním součinem.
Standardní báze V — Rn je vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu (9.1) ortonormální. Naopak, z bilinearity obecného skalárního součinu plyne, že:
• Souřadnicové vyjádření jakéhokoli skalárního součinu vzhledem k libovolné ortonormální bázi má tvar (9.1).
Skalární součin na V je tedy jednoznačně určen tím, že nějakou bázi V prohlásíme za ortonormální.
Základní nerovnosti
Nejzákladnější nerovnost je ukryta v definující vlastnosti pozitivní defmitnosti (d). Díky této vlastnosti má každý vektor dobře definovánu velikost (tzn. číslo pod odmocninou není nikdy záporné). Ačkoli je to více než zřejmé, pro jistotou připomínáme, že ||u|| > 0, přičemž rovnost platí, právě když u — o.
Z lineární algebry si pamatujeme několik užitečných nerovností. Nejprve tzv. Cauchyova-Schwartzova nerovnost,
|u.v|<||u||-||v||, (9.4) odkud se vyvozuje tzv. trojúhelníková nerovnost,
||u + v|| < ||u|| + ||v||. (9.5)
Přitom v obou případech platí rovnost právě tehdy, když vektory u a v jsou lineárně závislé.
66
III   Eukleidovská geometrie
Obecná definice eukleidovského prostoru
Vektorový prostor se skalárním součinem se obvykle nazývá eukleidovský vektorový prostor. Pokud mluvíme jenom o eukleidovském prostoru, máme na mysli eukleidovský bodový (afinní) prostor:
Definice. Eukleidovský prostor je afinní prostor £ se skalárním součinem na zaměření V — ~t.
Velikost úsečky AB c £ je definována jako velikost odpovídajícího vektoru A~Ě e ~Ě; značíme
\AB\ := \\AŘ\\. (9.6)
Odtud a z definujících vlastností skalárního součinu plyne, že jsou splněny všechny axiómy (a)-(d) obecného metrického prostoru vyjmenované na str. 63.2 Axióm (d) zřejmě odkazuje na nerovnost (9.5), přičemž platí:
(J3>      • \AC\ = \AB\ + \BC\       bod B je mezi A aC.
Velikost úsečky \AB\ určuje vzdálenost bodů v(A, B), kterýžto pojem budeme dále zobecňovat pro obecné podmnožiny a podprostory eukleidovského prostoru (viz odst. 11.1).
Dalšími objekty, které jsme zvyklí v eukleidovských prostorech měřit, jsou úhly. Úhel je definován jako průnik dvou polorovin (viz odst. 7.2). Je-li bod A vrcholem úhlu a body B a, C jsou libovolné body, z nichž každý leží na jedné hraniční polopřímce (a žádný nesplývá s A), pak velikostí úhlu rozumíme odchylku vektorů A~Ě a      ; značíme
<BAC := <(AĚ,AC). (9.7) Odchylka vektorů je definována v následujícím pododstavci...
Odchylka vektorů
Jedna ze základních vět eukleidovské geometrie, která vyjadřuje vztah mezi stranami trojúhelníku a jeho vnitřními úhly, je tzv. kosinová věta. Vzhledem k obvyklému značení velikostí stran a úhlů v obecném trojúhelníku (viz obr. 9.2) tato věta říká, že3
c2 — a2 + b2 - 2a6cos7.
Pokud ke stranám trojúhelníku přiřadíme vektory tak, že ||a|| — a, ||b|| — b, ||c|| — c, potom platí c — a — b. S pomocí bilinearity skalárního součinu snadno odvodíme, že
||c||2 = ||a||2 + ||b||2-2a.b.
Porovnáním těchto dvou vyjádření dostáváme
a.b = ||a|| ■ ||b||-cos7. (9.8)
Odtud vyvozujeme následující definici odchylky vektorů v obecném eukleidovském prostoru:
2Dodatečný axióm (e) je zřejmě splněn taky...
3Viz 11.12-13 v [Eu]. Pokud je úhel 7 pravý, potom dostáváme Pythagorovu větu.
9   Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení
67
C
A
8
Obrázek 9.2: V obecném trojúhelníku v eukleidovské rovině platí c2 — a' neboli ||c||2 = ||a||2 + ||b||2 - 2a . b.
2 + b2 — 2ab cos 7,
Pro libovolné nenulové vektory je odchylka dobře definována díky nerovnosti (9.4), odkud plyne, že podíl ||u"lj[v|| má vždy hodnoty v intervalu [—1,1]. Z definice je zřejmé, že nenulové vektory jsou kolmé právě tehdy, když mají odchylku -|:
• u _L v ^=4> <(u, v) — -|. Vnější a vektorový součin
Dalším geometrickým pojmem, který dovoluje elegantní algebraickou interpretaci, je pojem obsahu (resp. objemu), a to především rovnoběžníku (resp. rovnoběžnostěnu). V [Eu] není pojem obsahu, resp. objemu nijak vymezen, avšak nakládá se s ním jako s každou jinou veličinou podle vyslovených axiómů. Série tvrzení v I. knize velmi názorně zdůvodňuje, že rovnoběžníky se stejnou základnou a stejnou výškou mají stejný obsah. V VI. knize se poté dokazuje, že poměr obsahů rovnoběžníků se stejnou výškou je stejný jako poměr jejich základen.4 K číselnému vyjadřování obsahů rovnoběžníků tedy stačí definovat obsah jednotkového čtverce jako 1. (Analogická diskuze platí pro objemy rovnoběžnostěnů v prostoru.5)
Rovnoběžník v eukleidovské rovině je určen vrcholem a dvěma (lineárně nezávislými) vektory. Tyto vektory a jejich souřadnice vzhledem k nějaké ortonormální bázi označíme u — (ui,u2) a v — (vi,v2). S odkazem na právě zmiňovaná tvrzení lze jednoduše ukázat, že obsah tohoto rovnoběžníku je roven absolutní hodnotě determinantu matice tvořené souřadnicemi určujících vektorů (viz obr. 9.3): <gj)
Determinant obvykle chápeme jako zobrazení, které čtvercové matici přiřazuje reálné číslo. Vzhledem k předchozímu bude vhodné determinant chápat jako zobrazení, které n-tici vektorů v n-rozměrném prostoru přiřazuje reálné číslo. Abychom tyto dva přístupy rozlišili, zavádíme následující pojmenování a značení:
obsah — ±
Ul Vl
(9.10)
u2 v2
4Viz tvrzení 1.33-45 a VI.l. 6Viz podstatnou část XI. knihy.
68
III   Eukleidovská geometrie
Obrázek 9.3: Obsah rovnoběžníku určeného vektory u — (ui,u2) a v — (vi,v2) je roven
UlV2 - VlU2.
Definice. Vnější součin n-tice vektorů (vi,..., v„) v prostoru dimenze n je determinant matice tvořené po sloupcích souřadnicemi těchto vektorů (v tomto pořadí) vzhledem k nějaké ortonormální bázi; značíme
[vi,..., v„] := det(vi,..., v„).
(Ei> Uvědomte si, že definice nezávisí na volbě ortonormální báze! Ze základních vlastností determinantu vyplývá, že vnější součin je antisymetrická multilineární forma
V x ... x V
kde počet argumentů je právě n — dim V.
Další algebraickou operací, která úzce souvisí s obsahy rovnoběžníků (resp. s objemy obecných rovnoběžnostěnů), je tzv. vektorový součin. V trojrozměrném eukleidovském prostoru se jedná o zobrazení
V xV ^V,
které dvojici vektorů (u, v) přiřazuje vektor, jenž značíme u x v. Vektorový součin lineárně závislých vektorů je o; pro lineárně nezávislé vektory je zcela určen následujícími vlastnostmi:
(a) vektor u x v je kolmý jak k u, tak k v,
(b) trojice vektorů (u,v,u x v) tvoří kladnou bázi,
(c) velikost ||u x v|| je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory u a v. Odtud plyne několik dalších více či méně známých vlastností jako např.
v x u — —u x v.
Obecná definice, souřadnicové vyjádření a popis všech vlastností a souvislostí vyžadují poněkud větší prostor. Proto se tématu věnujeme ještě v samostatné podkap. 12...
9   Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení
69
Obrázek 9.4: Vektorový součin u x v dvojice vektorů (u, v).
Poznámky
Skalární součin na vektorovém prostoru V kanonicky ztotožňuje V s jeho duálním prostorem V*, což je vektorový prostor všech lineárních zobrazení V —>• R. Toto ztotožnění vypadá tak, že vektoru v£ľ odpovídá forma v : V —>• R taková, že
u(x):=v.x (9.11)
pro libovolný x£ľ. Konkrétně, vzhledem k nějaké ortonormální bázi, vektoru v — (ai, a2, ■ ■ ■) odpovídá lineární forma
f (x) — cliXi + a2x2 + • • • ,
kde x—(xi,X2,...)&V lib. Tento jednoduchý poznatek se používá při rovnicovém vyjadřování podprostorů a jejich kolmých doplňků...
9.2   Shodná, podobná a ekviafinní zobrazení Shodná
Shodné zobrazení je takové zobrazení, které zobrazuje „shodné věci na shodné". Shodnými věcmi primárně myslíme shodné úsečky a úhly, přičemž shodnost úhlů je zaručena shodností úseček (viz předchozí rozbor nebo větu SSS). Shodnost úseček charakterizujeme pomocí jejich velikostí, tudíž
Obrázek 9.5: [Eui] Trojúhelníky jsou shodné, právě když se shodují ve všech stranách, shodné zobrazení je takové zobrazení, které zachovává eukleidovskou metriku:
Definice. Zobrazení mezi eukleidovskými prostory /:£—>•£' se nazývá shodné, pokud pro libovolné body A, B e £ platí
\f{A)f{B)\ = \AB\. Bijektivní shodné zobrazení se jmenuje shodnost.
70 III   Eukleidovská geometrie
Velikost úsečky je definována jako velikost odpovídajícího vektoru a ta je odvozena ze skalárního součinu. Zřejmě tedy pokud je / takové afinní zobrazení, že indukované lineární zobrazení ~$ zachovává skalární součin, pak / je nutně shodné. Ukážeme, že platí také opačné tvrzení:
Předpokládejme, že / zachovává vzdálenosti bodů a uvažme libovolnou trojici kolineárních bodů, kde B je mezi body A a C. Tato vlastnost je charakterizována rovností \AC\ — \AB\ + \BC\. Abychom se neupsali, budeme značit obrazy jednotlivých bodů f (A) —: A' apod. Podle našeho předpokladu můžeme doplnit
\AC\ = \AB\ + \BC\ = \A'B'\ + \B'C'\ = \A'C'\,
odkud přímo vyplývá, že:
• bod B' je mezi body A' a C, tzn. / zobrazuje kolineární body na kolineární body,
• dělicí poměr trojice (A, B, C) je stejný jako dělicí poměr trojice (A', B', C).
To znamená, že / je afinní zobrazení a z předpokladu nyní plyne, že indukované lineární zobrazení ~$ zachovává velikosti vektorů. Rádi bychom ukázali, že odtud také plyne, že /* zachovává skalární součin. K tomu stačí umět vyjádřit jakýkoli skalární součin u. v pomocí velikostí vektorů: stejně jako v předchozím odstavci, rozepsáním a úpravou ||u + v||2 snadno odvodíme
u.v = i(||u + v||2-||u||2-||v||2), což jsme chtěli ukázat. □ Odtud vidíme, že předchozí definici můžeme vyslovit následovně:
Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi eukleidovskými prostory /:£—>•£' je shodné, pokud / je afinní zobrazení takové, že indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin, tzn. pro libovolné u, v e ~Ě platí
?(u).?(v) = u.v.
Podobná
Dalším fundamentálním pojmem eukleidovské geometrie je podobnost, které je věnována celá VI. kniha v [Eu]. Trojúhelníky jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a, ekvivalentně, poměr velikostí odpovídajících stran je konstantní; tento poměr se nazývá koeficient podobnosti. Shodné trojúhelníky jsou tedy podobné s koeficientem 1. Ačkoli se to nezdá, právě existence podobných a neshodných trojúhelníků je jednou z klíčových vlastností eukleidovských prostorů.
Obecné podobné zobrazení je takové zobrazení, které zachovává eukleidovskou metriku až na nějaký konstantní nenulový násobek:
9   Eukleidovské prostory a relevantní zobrazení
71
A
Obrázek 9.6: [Eui] Trojúhelníky jsou podobné, právě když mají po dvou shodné vnitřní úhly, což je ekvivalentní s tím, že strany u shodných úhlů jsou úměrné.
Definice. Zobrazení mezi eukleidovskými prostory / : £ —>• £' se nazývá podobné, pokud pro libovolné body A, B e £ platí
\f(A)f(B)\ = k-\AB\,
kde k > 0 je tzv. koeficient podobného zobrazení /. Bijektivní podobné zobrazení se jmenuje podobnost.
Z předchozí algebraické charakterizace shodných zobrazení můžeme bez problémů vydedukovat charakterizaci zobrazení podobných. Následující definice je skutečně ekvivalentní: <gí)
Definice (ekvivalentní). Zobrazení mezi eukleidovskými prostory /:£—>•£' je podobné zobrazení s koeficientem k, pokud / je afinní zobrazení takové, že indukované lineární zobrazení ~f* : ~£* —>• zachovává skalární součin až na násobek k2, tzn. pro libovolné u, v e ~& platí
?(u).?(v) = A:2u.v.
Aby tato informace někde nezapadla, zdůrazňujeme, že:
• Shodná zobrazení jsou právě podobná zobrazení s koeficientem 1.
Ekviafinní
Dalším studovaným typem zobrazení mezi eukleidovskými prostory jsou tzv. ekviafinní zobrazení, což jsou afinní zobrazení zachovávající obsahy, resp. objemy. Primárně máme na mysli rovnoběžníky, rovnoběžnostěny apod., ale odvozeně platí pro cokoli měřitelného. Několik elementárních poznatků týkajících se obsahů rovnoběžníků jsme připomněli na str. 67, viz též obr. 9.7.
Abychom si usnadnili vyjadřování, budeme v obecných formulacích mluvit o objemech k-rozměrných rovnoběžnostěnů: pro k — 2 se jedná o obsah rovnoběžníku a pro k — 1 o délku úsečky. Je zřejmé, že každé afinní zobrazení zobrazuje libovolný rovnoběžnostěn opět na rovnoběžnostěn. ..
72
III   Eukleidovská geometrie
Obrázek 9.7: [Eui] Rovnoběžníky (resp. rovnoběžnostěny) se stejnou základnou a stejnou výškou mají stejný obsah (resp. objem).
Definice. Zobrazení mezi eukleidovskými prostory / : £ —>• £' se nazývá ekviafinní, pokud libovolný n-rozměrný rovnoběžnostěn, kde n — dimf, se zobrazuje na rovnoběžnostěn se stejným objemem.
Bijektivní ekviafinní zobrazení se jmenuje ekviafinita.
(Ei> Uvědomte si, že z předpokladu afinnosti vyplývá:
• Pokud se jeden n-rozměrný rovnoběžnostěn zobrazí na rovnoběžnostěn se stejným objemem, potom totéž platí pro kterýkoli jiný.
K tomuto typu zobrazení zatím neumíme nabídnout ekvivalentní algebraickou definici. S odkazem na podkap. 12 se k těmto (stejně jako ke všem ostatním dosud jmenovaným) zobrazením (Ei> vrátíme v kapitole IV. Prozatím si aspoň můžeme uvědomit, že:
• Shodná zobrazení jsou právě zobrazení, která jsou podobná a současně ekviafinní.
^ 9.3 Cvičení
(1) Připomeňte si z algebry důkaz Cauchyovy-Schwartzovy nerovnosti (9.4).
(2) Ukažte, že níže uvedená zobrazení VxF-íI definují skalární součin a najděte nějakou ortonormální bázi V.
• Na vektorovém prostoru V — Rn [x] všech polynomů v proměnné x stupně nejvýše n:
72
f-9'-= / f{x) ■ g{x)áx.
-72
• Na vektorovém prostoru V všech symetrických (resp. antisymetrických) čtvercových matic řádu n (tr značí stopu matice, tj. součet čísel na hlavní diagonále):
A. B :=tr(A-B).
(3) Osvěžte si důkazy některých klasických tvrzení eukleidovské geometrie, které jsme připomínali v předchozím textu.
10   Kolmost a kolmý průmět vektoru
73
(4) Pomocí vektorové algebry dokažte nějaké klasické tvrzení, které jsme nepřipomínali (např. Thaletovu větu a větu opačnou).
10   Kolmost a kolmý průmět vektoru 10.1 Kolmost
Pomocí skalárního součinu jsme definovali kolmost dvou vektorů. Odtud je jasné, jak rozpoznat kolmost dvou přímek v libovolném eukleidovském prostoru. K dalšímu zobecňování pojmu kolmosti by nás měly navádět elementární definice, které jsme připomněli v odst. 1.1. Přímka je kolmá k rovině, pokud je směr přímky kolmý ke všem vektorům roviny (ekvivalentně, ke dvěma nezávislým vektorům). Dvě roviny jsou kolmé, pokud je normála jedné roviny obsažena ve druhé rovině (viz obr. 10.8). Zejména si všimněte, že pro určení kolmosti pracujeme výhradně se směry, <gj) tzn. je úplně lhostejné, zda se diskutované podprostory protínají, či nikoli. Kolmost (stejně jako posléze odchylka) je zcela určena zaměřeními daných podprostorů.
Inspirování předchozími příklady vyslovíme následující obecnou definici:
Definice. Podprostory B a C v eukleidovském prostoru £ jsou kolmé, pokud jsou kolmá jejich zaměření ~$ a 7 v 7; značíme B _L C.
Přitom vektorové podprostory 1$ a~Č v     jsou kolmé, pokud nebo
kde
~Č   := {x G ~t | x _L Č'}
značí tzv. kolmý doplněk podprostorů
Pokud dokonce platí , říkáme, že ~Š a 7 (příp. B a C) jsou kolmé totálně.
		-> o	—»
/~~~			
			: ..........Yá
		1 J	
Obrázek 10.8: Kolmé podprostory v eukleidovském prostoru: (1) b _L      (2) b _L
Z důvodů, které jsou vysvětleny v odst. 10.2, občas zdůrazňujeme, že podprostory B aC jsou kolmé v £ (místo podprostory B aC v £ jsou kolmé).
74
III   Eukleidovská geometrie
Komplementárnost a důsledky
Pojmenování       kolmým doplňkem má své opodstatnění — v obecném eukleidovském
prostoru jsou vždy doplňkové (komplementární):
Věta. Pro libovolný vektorový podprostor tet platí, že C je komplementární k C , tzn. neboli ~Č + ~ȱ=t a^n^± = {o}.
Toto pozorování má následující sice triviální, ale užitečné důsledky:
Důsledky.
(1) Libovolný vektor v        lze vyjádřit jednoznačným způsobem ve tvaru
v = u + w,   kde   u e 1?   a   we^ .
(2) Totálně kolmé afinní podprostory v £ se protínají v bodě.
(10.12)
Vektor u, resp. w z rozkladu (10.12) se jmenuje kolmý průmět vektoru v do podprostoru čf,
resp. ~8 . Druhé tvrzení je bezprostředním důsledkem důsledku 6.2(1).
Ještě si všimneme několika jednoduchostí, jež jsou také důsledky právě formulované komple-(Kř> mentárnosti podprostoru a jeho kolmého doplňku. Pro libovolné podprostory U\ a U2 v eukleidovském vektorovém prostoru V — ~Ě platí:
• {Ui + U2)1- = ut n ui,
• {Ui n U2)1- = ut + ui,
Odtud konečně vidíme, že výše uvedená definice kolmosti je skutečně symetrická:
B _L C ^ (É C ~ȱ nebo ~Ř D        ^> (£^ D ^ nebo ^C^^-CIB.
Poznámky
Na závěr ještě jedno technické pozorování: Uvědomte si, že díky identifikaci V = V* v (9.11) můžeme každou lineární rovnici s neznámými (x\, x2, ■ ■ .) — x psát jako v.x — c, kde z-tá souřadnice vektoru v je právě koeficient u neznámé x i. Kolmý doplněk podprostoru U — (ui, u2,...) má rovnicové vyjádření
(71 = {xey|u1.x = 0, u2 . x = 0, ... }
a opacne...
10   Kolmost a kolmý průmět vektoru
75
10.2   Speciální a podivné případy
Ačkoli je naše definice kolmosti celkem přirozená, zahrnuje několik zvláštností, které nemusí být na první pohled patrné. Tak např. z {o}-1 — £ plyne, že jakýkoli podprostor B C £ je kolmý ke všem triviálním podprostorům v £ (to jsou právě body a celý £). Toto je jen speciální a docela degenerovaný případ kolmosti, který nás příliš nezajímá. Poněkud podivnějším se může zdát následující postřeh.
Kolmost je definována pomocí kolmých doplňků. Kolmý doplněk k je určen nejen
podprostorem ~S, ale dost podstatně také okolním prostorem ~Ě. Pokud uvažujeme podprostory B,C v £, které ve skutečnosti patří do nějakého meziprostoru B, C C T c £, může se klidně stát, že
• B a C jsou kolmé v T, ale nejsou kolmé v £!
Uvědomte si, že tento fenomén lze pozorovat pouze v případě, kdy mají netriviální průnik,
a najděte vhodný příklad.  Z uvedeného je jasné, proč jsme si této zvláštnosti zatím asi nikdy <gj)
nevšimli — v trojrozměrném eukleidovském prostoru takový příklad nenajdeme...
10.3   Jak určit kolmý průmět vektoru?
Uvažujme vektor v v zaměření eukleidovského prostoru V — ~Ě a nějaký podprostor U C V (typicky zaměření nějakého afinního podprostoru), do kterého chceme v kolmo promítnout. Kolmý průmět vektoru budeme potřebovat zejména k určování odchylek podprostoru, viz následující odstavce.
Obrázek 10.9: Kolmý průmět vektoru v do podprostoru U.
Přirozený návod plynoucí z rozkladu (10.12) by mohl vypadat následovně:
(1) Vybereme nějakou bázi (u1;u2,...) podprostoru U a nějakou bázi (w1;w2,...) kolmého doplňku U^. Vektory (ui, u2,..., wi, w2,...) tvoří bázi V — U 0 U^, tudíž existují jednoznačně určená čísla a,i,bi G M taková, že platí:6
v — aiUi + a2u2 + • • • + biwi + 62w2 + ....
Kolmý průmět u vektoru v do ř7 je pak roven
u — aiui + a2u2 H-----h afcUfc.
K určení koeficientů ai; 6j potřebujeme řešit soustavu lineárních rovnic, jejíž rozměr je roven dimenzi prostoru V — ~Ě, což může být zbytečně velké číslo.
6Tj. souřadnice vektoru v vzhledem k popsané bázi.
76
III   Eukleidovská geometrie
Početně výhodnější je zpravidla následující úvaha:
(2) Kolmý průmět u vektoru v do U je charakterizován dvěma vlastnostmi:
(a) u e U,
(b) w — v - u e U±.
Pokud máme vybránu nějakou bázi (ui, u2,...) podprostoru U, pak předchozí dvě podmínky jsou ekvivalentní s:
(a') u — aiUi + a2u2 + ..., pro nějaká a,i G R, (b') w _L ui, w _L u2, ....
S předchozím vyjádřením vektoru w a pomocí skalárního součinu můžeme vyjádřit w 1 u; jako u. Ui — v . Ui. Dosadíme-li nyní (a'), potom (b') je ekvivalentní se soustavou lineárních rovnic:
aiui . ui + a2u2 . ui + ... = v . ui, aiUi . u2 + a2u2 . u2 + ... — v . u2,
Jedná se o soustavu, jež má právě tolik rovnic jako neznámých, a,i, a těch je právě tolik, kolik je dimenze U (tzn. nezávisle na dimenzi okolního prostoru V). Z podstaty věci má tato soustava jednoznačně určené řešení; po vyřešení a dosazení do (a') dostáváme hledaný kolmý průmět u.
Příklad
V nejjednodušším případě, kdy U — (ui), uvedená soustava sestává z jediné rovnice: aiui. ui — v . ui. Po vyřešení a dosazení vidíme, že kolmá projekce vektoru v do podprostoru U — (ui) je vektor:
(10.13)
Obrázek 10.10: Kolmý průmět vektoru do jednorozměrného podprostoru.
_  10.4 Cvičení
(1) Rozhodněte, zda podprostory ze cvičení 6.5 jsou kolmé.
(2) Ve standardním eukleidovském prostoru £ — M3 určete všechny možné podprostory, které prochází bodem B — [0,3,2] a jsou kolmé k přímce
g = {[l + 7í, 2t, -3-t] | íeM}.
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů
77
(3) Udejte příklad dvou rovin ve vhodném eukleidovském prostoru, které jsou kolmé a současně mimoběžné.
(4) V £ — M4 určete kolmý průmět vektoru v do podprostorů U — (ui, u2), kde
v = (l,2,0,l), m = (-1,0,2,1), u2 = (1,0,-1,0).
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů 11.1 Vzdálenosti
Vzdálenost dvou bodů A, B e £ je určena vztahem (9.6). Vzdálenost libovolných dvou podmnožin B a C v libovolném metrickém prostoru je definována jako
v(B,C) := inf{|Xy| | X e B, Y e C}.
Pokud mají podmnožiny B a C nějaký společný bod, potom platí v(B,C) — 0, a naopak (viz axióm (b) na str. 63):
• v(B,C) = o^>#nc^0.
Zpravidla se zajímáme o podmnožiny, které jsou afinními podprostory eukleidovského prostoru. V takovém případě se vzdálenost vždy realizuje v nějakých konkrétních bodech, tzn. množina na pravé straně předchozího výrazu má vždy minimum:
Definice. Vzdálenost podprostorů B a C v eukleidovském prostoru £ je
v(B,C) := min{|Xy| | X e B, Y e C}. (H-14)
Geometrické určení vzdálenosti spočívá v charakterizaci takové dvojice bodů, v nichž se tato vzdálenost realizuje. Tak jsme to dělali už v konstrukční geometrii, nyní naše dosavadní zkušenosti zobecníme. Díky tomu budeme vždycky umět poměrně jednoduše určit body B e B a C G C takové, že
v(B,C) = \BC\,
aniž bychom museli minimalizovat nějakou funkci více proměnných! Vzdálenost bodu od podprostorů
Pokud je některý z podprostorů bodem, např. B — B, potom mohou nastat dvě možnosti: Když je B e C, pak vzdálenost v(B,C) je rovna 0. V opačném případě můžeme uvažovat následovně (viz obr. 11.11):
(1) „spustíme kolmici" JC z bodu B na podprostor C, tj. totálně kolmý podprostor JC — B + ~Č ,
(2) určíme „patu kolmice", tj. C — C n JC,
(3) prohlásíme, že v(B,C) = \BC\.
78
III   Eukleidovská geometrie
To, že tato úvaha je správná a obecně platná v libovolném eukleidovském prostoru plyne jednak z důsledku (2) věty 10.1 (bod c je určen jednoznačně) a jednak z Pythagorovy věty (pro jakýkoli jiný bod y e c je \by\2 = \bc\2 + \cy\2; přitom \cy\ > 0, tudíž \by\ > \bc\). Tím jsme zdůvodnili následující tvrzení:
Věta. Pro libovolný podprostor C v eukleidovském prostoru £ a libovolný bod b e £ platí, že v(b, C) — \bc\ právě tehdy, když vektor bÓ je kolmý k C.
Přímku bc nazýváme kolmicí (bez uvozovek) z bodu b k podprostoru c.
-z
Obrázek 11.11: Vzdálenost bodu b od podprostoru c je rovna vzdálenosti b od paty c kolmice k.
Vzdálenost obecně
Věta. Pro libovolné podprostory B a C v eukleidovském prostoru £ platí:
(1) Vzdálenost podprostoru B a C je rovna vzdálenosti bodů b e B a c e C právě tehdy, když vektor bc je kolmý k B a současně k C.
(2) Navíc dvojice b a c z předchozího vyjádření je určena jednoznačně právě tehdy, když podprostory B a C nemají žádné společné směry.
Přímka bc je příčkou podprostoru B a C, která je nejkratší možná; každou takovou příčku nazýváme osou B a C.
Důkaz. Podprostory mají nulovou vzdálenost, právě když mají neprázdný průnik. V tomto pří-(Ei> padě je zdůvodnění obou částí věty obzvlášť jednoduché... Dokážeme, že věta platí také v případě, že vzdálenost je nenulová, tzn. podprostory se neprotínají:
(1) Nejprve předpokládejme, že v(B,C) — \bc\, tzn. \bc\ — v(b,c) — v(B,C). Z předchozí věty plyne, že b Ó _L C a současně b Ó _L B, tj. vektor bc je kolmý k oběma podprostorům.
Naopak, předpokládejme, že vektor bc je kolmý k oběma podprostorům. Chceme ukázat, že pro libovolné body x e B, y e c platí \xy\ > \bc\ (viz obr. 11.12). Nejprve doplníme
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů
79
Obrázek 11.12: \BC\ = min ^> EíČ G £^ n ~ȱ = (É + Navíc S a C jsou
určeny jednoznačně ^=^>
pomocný bod Z tak, aby BCYZ byl rovnoběžník, tj. tak, aby ZY — bÓ. Podle předpokladu je BČ _L C, tudíž BCYZ je pravoúhelník; zejména platí ZY _L Zil Podle předpokladu taky platí B~Ó ±B, tudíž Sč5 = _L R^. Dohromady dostáváme, že Z~Ý _L + B^ = Ž^. To znamená, že trojúhelník XZY je pravoúhlý. Z Pythagorovy věty vzhledem k tomuto trojúhelníku plyne \XY\ > \ZY\ = |SC|, což znamená, že v(B,C) = |5C|.
(2) Předpokládejme, že v(B,C) — \BC\ a že B a C mají nějaký společný směr. Ozn. u e
libovolný nenulový společný vektor a uvažme body B' — B + ueBa,C — C + ueC. Protože u ^ o, je BB'CC rovnoběžník a tudíž platí \B'C'\ = |5C| = C).
Naopak, předpokládejme, že B,B' e S, resp. C, C" e C jsou navzájem různé dvojice bodů takové, že v(B,C) — \BC\ — \B'C'\. Potom podle předchozí části věty jsou vektory BÓ a B'C kolmé jak k B, tak k C. To znamená, že BB'CC je pravoúhelník. Odtud zejména plyne, že BB' — CC, což je evidentně (nenulový) společný vektor z
11.2   Jak určit vzdálenost podprostorů? Vzdálenost bodu od podprostorů
Jistý návod v případě, že jeden z podprostorů je bod, jsme představili výše. Pro porovnání rychle zopakujeme, předp. B — B:
(1) Určíme totálně kolmý podprostor JC — B + ~Č-1, určíme průsečík C — C n JC, vyjádříme \BC\ a podtrhneme v(B,C) — \BC\.
Při určování bodu C řešíme průnik dvou komplementárních podprostorů v £, což může představovat zbytečně velkou soustavu rovnic. Početně výhodnější je zpravidla následující postup, který navíc budeme schopni okamžitě zobecnit pro libovolné podprostory B,C c £. Ignorujeme doplňkový podprostor JC a hledáme přímo patu kolmice, tj. bod C:
(2) Pata C kolmice je charakterizována dvěma vlastnostmi:
(a) CeC,
(b) BC e 'C±.
80
III   Eukleidovská geometrie
Předpokládejme, že C je zadán parametricky C — Y+ (ui, u2,...) a vektory (uj) jsou lineárně nezávislé. Potom předchozí dvě podmínky jsou ekvivalentní s:
(a') C — Y + aiUi + a2u2 + ..., pro nějaká a,i G M, (b') Š^-Lui, B^_Lu2, ....
Nyní BČ — BY + a±u± + a2u2 + .... Vyjádříme-li B Ô _L pomocí skalárního součinu, je (b') ekvivalentní se soustavou lineárních rovnic:
aiui . ui + a2u2 . ui + ... — YB . Ui, aiUi . u2 + a2u2 . u2 + ... — YĚ . u2,
Jedná se o soustavu, jež má právě tolik rovnic jako neznámých, a těch je právě tolik, kolik je dimenze ~Č. Řešení je určeno jednoznačně, po dosazení do (a') dostáváme hledanou patu kolmice C a zbytek je jasný.
Není náhodou, že nám tento popis něco připomíná. Ve skutečnosti nejde o nic jiného než o výpočet kolmé projekce u vektoru v — Ý~É do podprostoru U — ~Č a následné dosazení C — Y + u, viz (J3> obr. 11.11, příp. 11.12.
Vzdálenost bodu od nadroviny
Ve speciálním případě, kdy C je nadrovinou v £ můžeme pozorovat zajímavé zjednodušení, které se hodí zejména v případě, kdy C je dána rovnicí
C = {X e £ I ľl.n = 0},
kde Y je nějaký (libovolný) bod v C a n je normálový vektor.
Nesoustředíme se na průmět u e ~S, ale raději na průmět w e ^X = (n). Podle (10.13) víme, že tento průmět je
YB . n
w=-n. (11.15)
n. n
Odtud umíme vyjádřit patu kolmice C — B — w. Vzdálenost je rovna velikosti vektoru w:
^)C) = J^fl. (11.16)
llnll
(Ei>  (V různých učebnicích bývá tato rovnost formulována různými způsoby — porovnejte všechna vyjádření, která najdete.)
Rovnost (11.16) lze alternativně odvodit z pravoúhlého trojúhelníku YCB jako na obr. 11.13: Značí-li a velikost úhlu CYB, pak zřejmě platí
v(B,C) = \\YĚ\
■ sin a.
Odchylky diskutujeme hned v následujících odstavcích, takže pokud nahlédneme na str. 85 a do-(Ei> sadíme (11.18) do předchozího vyjádření, zjistíme, že všechno krásně souhlasí...
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů
81
Obrázek 11.13: Vzdálenost bodu od nadroviny.
Vzdálenost obecně
Slibované zobecnění (2) pro obecné podprostory B,C C £ zní:
(2') Dvojice bodů B a C, pro niž platí v(B,C) — \BC\, je podle věty 11.1 charakterizována následujícími vlastnostmi:
(a) BeB,Ce C,
(b) BC e ~ɱ n ~ȱ.
Předpokládejme, že oba podprostory jsou dány parametricky B — X + (ui, Y + (ufc+i,..., u^). Potom předchozí podmínky jsou ekvivalentní s:
(a') B — X + aiUi H-----h afcufc, C — Y + afc+iufc+i H-----h aeue, pro nějaká at e
(b') BÓ -L Uí, pro všechna i — !,...,£.
,ufc), C
Nyní
BC — XY - aiUi - ... - afcUfc + afc+iufc+i a (b') je ekvivalentní se soustavou lineárních rovnic:
- aeue
—aiUi. ui — -aiUi . u2 -
aeue . ui = Y: atUí . u2 = Y:
ui,
u2,
(11.17)
Po vyřešení soustavy a dosazení do (a') dostáváme hledanou dvojici bodů B a C...
Všimněte si, že tentokrát nemůžeme jen tak předpokládat lineární nezávislost vektorů (uj), nicméně můžeme aspoň předpokládat, že každá skupina (ui,..., Ufc) a (ufc+i,..., u^) je tvořena nezávislými vektory. Přesto zmiňovaná soustava nemusí být jednoznačně řešitelná, což nám říká něco o vzájemné poloze B a C!
11.3 Důležité poznámky Vzájemná poloha alternativně
Z předchozího návodu se mimo jiné dovídáme něco o vzájemné poloze podprostorů, jejichž vzdálenost určujeme:
82
III   Eukleidovská geometrie
Pokud jsou podprostory £> a C incidentní nebo různoběžné, pak v(B, C) — 0. Tyto dva případy jsou rozlišeny tím, že v prvním případě je dimenze prostoru řešení soustavy (11-17) rovna dimenzi menšího z podprostorů £> a C. Stejným způsobem umíme rozlišit rovnoběžnost od mimoběžnosti, kdy v(B, C) ^ 0. Pokud kvůli stručnosti označíme
v :— v(B, C),    d :— dimenze prostoru řešení soustavy (11.17),   m :— min{dini£>, dimC},
potom charakterizace vzájemných poloh afinních podprostorů může vypadat následovně:
Věta. Afinní podprostory B a C jsou
• incidentní ^=^> v — 0 a d — m,
• různoběžné ^=4> v — 0 a d < m,
• rovnoběžné různé ^=4> d^o a d — m,
• mimoběžné ^=^> ti^o a d < m.
Celkem tedy vidíme, že vzájemnou polohu a vzdálenost podprostorů lze určit současně z jednoho počítání.
Vzdálenost alternativně
V podkap. 12 se budeme zabývat obsahy a objemy, a to zejména rovnoběžníků a rovnoběžnostěnů. Objem rovnoběžnostěnu je roven obsahu základny násobenému velikostí výšky. Odtud je možné vyjádřit výšku rovnoběžnostěnu, která často reprezentuje vzdálenost nějakých podprostorů, viz motivační obr. 11.14. Vtip je v tom, že tento postřeh lze zobecnit pro libovolné podprostory v libovolném eukleidovském prostoru. Tímto způsobem pak budeme umět vyjadřovat vzdálenosti, aniž bychom řešili jakoukoli soustavu rovnic, viz větu na str. 12.4 na str. 96.
Obrázek 11.14: Velikost výšky naznačeného rovnoběžnostěnu je rovna vzdálenosti bodu B od roviny C — C + (vi, v2).
Uvědomte si, že takto nikdy neurčíme dvojici bodů, v nichž se vzdálenost realizuje, natož pak vzájemnou polohu podprostorů...
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů
83
11.4 Odchylky
Odchylka dvou nenulových vektorů je definována rovností (9.9), příp. (9.8). Podobně jako u kolmosti, odchylka dvou afinních podprostorů je zcela určena jejich zaměřeními.
Pokud mají zaměření triviální průnik, pak je definice jasná — stačí uvažovat minimum ze všech možných odchylek mezi vektory, z nichž jeden patří do jednoho a druhý do druhého podprostorů. V opačném případě by tato definice automaticky dávala 0, což jistě nekoresponduje s našimi představami o odchylce. Modelový příklad tohoto typu představují dvě roviny jako na obr. 11.15 — odchylka rovin je odchylkou přímek, z nichž každá je obsažena v jedné z daných rovin a obě mají tu vlastnost, že jsou kolmé k průniku rovin. V případě, kdy zaměření mají netriviální průnik, musíme navíc rozlišovat případ, kdy jeden podprostor je obsažen ve druhém — v tomto případě je odchylka rovna 0 (skutečně musíme deklarovat samostatně, neboť předchozí konstrukce je v této situaci jaksi degenerovaná).
Definice. Odchylka netriviálních afinních podprostorů BaCv eukleidovském prostoru £ je rovna odchylce jejich zaměření
nich aiinmch po íí
<(B,C) :=<(É,t).
Přitom odchylka netriviálních vektorových podprostorů ~Š a t v zaměření £ je definována následovně:
(a) pokud
= W, pak
:— min{<(u,v) | u G
(b) pokud , pak
<(É,t) :=0,
(c) pokud ~Š %~Č & ~Š       ^ {o}, pak
<(É,t) :=<(É',ť), kde ~É', resp. ~Č' jsou podprostory obsažené v ~B*, resp. 1?, jež jsou kolmé k průniku
~é n ~Č, tj. ť = B n (É n      a ~Z' = ŕf n (É n ^)^.
Uvědomte si, že v případě (c) se odkazujeme na definici podle (a), což je v naprostém pořádku, neboť podprostory mají vždy triviální průnik (a současně jsou oba netriviální)... <gj)
84
III   Eukleidovská geometrie
Obrázek 11.15: K definici odchylky B a C: (a) odchylka je minimem ze všech možných odchylek, (b) odchylka je 0, (c) odchylka je odchylkou menších podprostorů ť a íf', jež jsou kolmé k průniku.
Odchylka dvou přímek
Jsou-li oba podprostory přímky se zaměřeními b — (u) a ~Ž — (v), pak je podle definicí jasné, že
n    \ lu-vl
<(o, c) — arccos T.—r.—n—n-Hl • ||v||
Pravá strana rovnosti skutečně nezávisí na výběru směrových vektorů a absolutní hodnota v čitateli zaručuje, že ze dvou možných odchylek vybíráme právě tu menší (cosa > 0 ^=4> a < -|).
Obrázek 11.16: Odchylka přímek.
Odchylka přímky od podprostorů
Pokud není přímka kolmá k podprostorů, pak zdravý názor velí přímku kolmo promítnout do podprostorů a měřit odchylku těchto dvou přímek. Následující věta ukazuje, že tento nápad je platný v libovolném eukleidovském prostoru:
Věta. Pro libovolnou přímku b a libovolný podprostor C v eukleidovském prostoru £ platí:
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů
85
(1) pokud b ±C, potom <(b, C) —
(2) pokud b JĹC, potom <(b, C) — <(u, uc), kde u e b je libovolný směr přímky a uc E ~Č je jeho kolmý průmět do ~8.
Důkaz. První případ je jasný. Druhý případ zahrnuje také možnost b || C, tj. b C Č*, kdy podle definice vychází <(b,C) — 0: kolmý průmět v tomto případě je uc — u, tedy <(u, uc) — 0 a rovnost platí. Uvažme generický případ, kdy b JĹ C a b \jfC:
Pro libovolný vektor v e ~Č označíme a — <(u, uc), a' = <(u, v). Chceme dokázat, že a < a' nebo ekvivalentně cos a > cos a'. Nejprve si všimneme klíčového předpokladu, tj. (u — uc) _L ~Č, což v důsledku znamená, že u. v — uc ■ v. Odtud a z Cauchyovy-Schwartzovy nerovnosti (9.4) dostáváme:
,        u.v uc. v       ||uc|| • ||v|| ||uc||
cos a — t,—r,—r,—ň — t,—r,—r,—u < ti—r,—r,—u~ — ~r,—u~ — cos a. □
Obrázek 11.17: Odchylka přímky a obecného podprostorů.
Uvědomte si, že z uvedeného také přímo vyplývá, že
<(b,C) + <b,C±) = l-Tento postřeh lze dál zobecňovat pro obecnější situace, viz následující odstavce.
Odchylka přímky od nadroviny
Jak už jsme zvyklí, když je C nadrovinou, pozorujeme jistá zjednodušení: Z poslední poznámky a známého faktu cos(f — a) — sin a odvozujeme
<(b,C) = arcsin „ ^'^ „, (11.18) llull ' llcll
kde c€       značí normálu nadroviny (a u e b směr přímky stejně jako výše).
86
III   Eukleidovská geometrie
Obrázek 11.18: Odchylka přímky a nadroviny: cos f3 — cos(:| — a) — sin a. Odchylka dvou nadrovin
Jsou-li oba podprostory nadrovinami s normálovými vektory bac, pak ve všech případech, které si umíme představit platí
<(B,C) = <«b>, <c» = arccos
llbll ' llcll
Tato rovnost samozřejmě platí pro libovolné nadroviny v jakémkoli eukleidovském prostoru; obecné zdůvodnění lze najít v [HoJa, věta 16.5].
Obrázek 11.19: Odchylka nadrovin.
Odchylky obecně
Obecně stačí diskutovat pouze takové podprostory, jejichž zaměření mají triviální průnik. Nej-jednodušší další případ, který není zahrnut mezi předchozími, může být reprezentován dvěma rovinami ve čtyřrozměrném prostoru. Geometrické řešení této (stejně jako jakékoli jiné) úlohy spočívá v nalezení takové dvojice vektorů u e ~Š a v e ~S, že
<0B,C) = <(u,v).
Dosud jsme vystačili s kolmým promítáním vektoru do podprostoru, nejinak tomu bude i nyní.
11   Vzdálenosti a odchylky podprostorů
87
Pro výše jmenované vektory totiž platí
<(u,v) = <(u,"Č) = <(^,v), což podle věty na str. 84 znamená, že tato odchylka je rovna buď -| nebo odchylce
<(u,uc) = <(vB,v),
kde uc značí kolmý průmět vektoru u do C a vg značí kolmý průmět vektoru v do ~É. Odtud zejména vyplývá, že ue G (v) a současně vg e (u). Pokud znovu kolmo promítneme uc do ~Ě, resp. vg do C dostaneme
uCB = b ■ u,   resp.   vBC = c ■ v
pro nějaká 6, c G M. Jinými slovy, vektor u e ^ je charakteristickým vektorem (odpovídajícím charakteristickému číslu b)7 transformace složené ze dvou zmiňovaných kolmých projekcí, které označíme pc ■             apg:^^l Podobně pro vektor v e t...
Odtud by mělo být jasné, jak určit odchylku B a C v případě, že nemůžeme použít žádný z předchozích speciálních postřehů:
• popíšeme nějak kolmé projekce pc : apB ■ ?-3,
• uvažujeme složené zobrazení pB ° Pc :
• určíme charakteristické vektory transformace ps ° pc (může jich být víc!),
• odchylka <(£>, C) je pak určena takovou dvojicí vektorů uauc = Pc(u), Pro něž je <(u, uc) nejmenší,
• následující věta dodává, že takové u odpovídá největšímu charakteristickému číslu b.
(Podobně můžeme uvažovat složení pc o pB : ; výsledek je samozřejmě stejný.)
Poznámka ke třetímu kroku: transformace tohoto typu jsou docela speciální a obecně pro ně platí, že z jejich charakteristických vektorů lze vždy sestrojit bázi prostoru £k8 Pokud má transformace aspoň dvě různá charakteristická čísla, je třeba v následujícím kroku vybírat. Pokud by náhodou byla všechna stejná, tak to znamená, že transformace je násobkem identity a je jedno, který vektor vybereme...
Věta. Pro libovolné podprostory B,C C £, jež nemají žádné společné směry, platí:
(1) pokud B ±C, potom <(B, C) = f,
(2) pokud B JĹ C, potom <(B,C) — <(u, uc) — <(vb,v), kde u e ~Š, resp. v e č? je charakteristický vektor odpovídající největšímu charakteristickému číslu transformace
pb° PC ■
, resp. pc o pb '■ V každém případě můžeme dodat:
(3) pokud bac jsou největší charakteristická čísla zmiňovaných transformací, potom je
0 < b — c < 1 a <(£>, C) — arccos \fb — arccos yfč.
7Připomenutí pojmů charakteristických čísel a vektorů najdete na 110
8Jedná se o tzv. symetrické lineární transformace a zdůvodnění uvedeného faktu najdete v jakékoli učebnici
lineární algebry, která se o těchto transformacích zmiňuje; viz např. [Zl, část 23.3].
88
III   Eukleidovská geometrie
První část tvrzení je jasná a uvádíme ji hlavně pro zdůraznění podobnosti s větou na str. 84 (onu větu nyní chápeme jako důsledek věty právě formulované). V předcházející diskuzi jsme zdůvodnili téměř všechno. Potřebujeme si uvědomit už jen několik drobností:
Odchylka a :— <(u, uc) je minimální právě tehdy, když cos a je maximální. Navíc pro vektory u, uc a ucb platí
llue|| ||ucb||
cos a — -r.-7- — -r.-7- .
NI lluell Přitom ucb — bu, což po dosazení a úpravě dává
, lluell2
b — ——— — cos a.
u
Přitom 0 < ||uc|| < ||u||, tudíž 0 < b < 1 a cos a — \fb~. Podobně můžeme argumentovat s vek-(?)—í> torem v, což pochopitelně přeskakujeme. Uvědomte si, že tvrzení (3) skutečně platí i v případě, kdy B -L C. □
Obrázek 11.20: K obecné diskuzi o odchylce...
11.5   Důležité poznámky
Tím diskuzi o odchylkách končíme, což však neznamená, že jsme téma zcela vyčerpali. Na závěr znovu upozorňujeme na zvláštní fenomén, který v obecných eukleidovských prostorech musíme mít na zřeteli:
• Odchylka | není totéž co kolmost!
Pokud mají zaměření podprostorů triviální průnik, pak to totéž je; v opačném případě můžeme nanejvýš říct, že
• B±C=><(B,C) = f.
Opačná implikace obecně neplatí — nejmenší protipříklad lze vymyslet v prostoru dimenze 4, (?)—í> viz odst. 10.2 pro nápovědu...
12   Obsahy, objemy a další
89
_  11.6 Cvičení
(1) Pro všechny možné dvojice podprostorů z předchozích cvičení určete jejich vzdálenosti a odchylky.
(2) Neopomeňte zejména podprostory ze cvičení 6.5(1) a zamyslete se znovu nad jejich vzájemnou polohou.
(3) Pro nějaké jednoduché, ale netriviální, případy zkuste určit jejich vzdálenost a odchylku podle definice.
(4) Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou nadrovin, které mají vzdálenost 2.
(5) Ve vhodném eukleidovském prostoru udejte příklad dvou podprostorů, které mají odchylku § a přitom nejsou kolmé.
12   Obsahy, objemy a další
Základní poznatky o obsazích rovnoběžníků a objemech rovnoběžnostěnů jsme si zopakovali na str. 67. V celé této podkapitole bereme tyto poznatky jako výchozí. Nejprve zformulujeme obecnou definici objemu (fc-rozměrného) rovnoběžnostěnu. Následně se budeme zamýšlet nad tím, jak takové objemy efektivně počítat. Jak jsme už dříve ukázali, k tomu se bude báječně hodit determinant v různých podobách, viz pojem vnějšího součinu, Gramová determinantu, ale též vektorového součinu...
12.1   Obecná definice
/j-rozměrný rovnoběžnostěn je určen jedním vrcholem a fc-ticí lineárně nezávislých vektorů. Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory vi, v2,... v obecném eukleidovském prostoru £ budeme značit V(vi, v2,... ).9 Nejjednodušší případy jsou tyto:
• jsou-li určující vektory ortonormální, pak se jedná o krychli a V(vi, v2,...) — 1,
• jsou-li tyto vektory ortogonální, pak se jedná o kvádr a V(vi, v2,...) — ||vi|| • ||v2|| Obecná induktivní definice vypadá následovně:
• obsah rovnoběžníku — velikost jedné strany krát velikost výšky na tuto stranu,
• objem rovnoběžnostěnu — obsah jedné stěny krát velikost výšky na tuto stěnu,
• atd...
Vzhledem k zavedenému značení můžeme tyto vztahy zapsat následovně:
Definice. Objem V(vi, v2,...) rovnoběžnostěnu určeného vektory vi, v2,... je nezáporné reálné číslo takové, že
9Pro jednoduchost mluvíme v obecných formulacích pouze o rovnoběžnostěnech, přičemž máme na mysli, že 2-rozměrný rovnoběžnostěn je rovnoběžník, 1-rozměrný rovnoběžnostěn je úsečka, příp. 0-rozměrný rovnoběžnostěn je bod.
90
III   Eukleidovská geometrie
. V(Vl) := ||Vl||,	
• V(vi,v2) := V(vi,w2) = | vi|	• w2, kde w2 kolmý průmět vektoru v2 do
• V(vi,v2,v3) := V(vi,v2,w3)	— V(vi,v2). w3, kde w3 je kolmý průmět vektoru v3
do (vi,v2)-L,	
• atd...	
Vektor w2, resp. w3 představuje výšku rovnoběžníku, resp. rovnoběžnostěnu; číslo ||w2||, resp. ||w3|| je velikost této výšky.
«.->
v.
Obrázek 12.21: K objemu rovnoběžnostěnu...
Přímo z definice vidíme, že
V(vi,v2, v3, .. .) = V(vi, v2,w3, .. .) = V(vi,w2,w3, .. .) = || vi || • ||w2|| • ||w3||----,
kde vektory Wj jsou navzájem kolmé vektory postupně sestrojené podle návodu výše. Tento nakolmovací algoritmus jsme v algebře jmenovali jako tzv. Gramův-Schmidtův proces...
Poznámky
(Ei> (1) Vyjádřit obsah rovnoběžníku podle definice je snadné:
V(vi,v2) = ||vi|| • ||v2|| - siná, (12.19)
kde a — <(vi,v2). Počítání objemu vícerozměrného rovnoběžnostěnu podle definice však může být docela otravné, proto se za chvíli poohlédneme po nějakých zjednodušeních...
(2) Definici V(vi, v2,...) můžeme bez problémů rozšířit pro libovolné, tedy ne nutně nezávislé vektory, což je často výhodné nerozlišovat. Přímo z definice plyne, že V(vi, v2,...) je roven 0 právě tehdy, když vektory vi, v2,... jsou lineárně závislé:10
• V(vi, v2,...) — 0 ^=4> vektory vi, v2,... jsou lineárně závislé.
/j-rozměrný objem tedy chápeme jako zobrazení
V:^x...x^ M>0, 10V takovém případě mluvíme o degenerovaném rovnoběžnostěnu.
12   Obsahy, objemy a další
91
které fc-tici vektorů přiřazuje nezáporné reálné číslo.
(3) Z úvodních poznámek okolo obr. 9.3 na str. 68 víme, že objem rovnoběžnostěnu úzce souvisí s determinantem, resp. s vnějším součinem vektorů. V následujících odstavcích tento poznatek náležitě zobecníme a zdůvodníme. Tento fakt by neměl být žádným velkým překvapením, když si uvědomíme, že jak objem, tak vnější součin mají velmi podobné vlastnosti. Kromě výše uvedeného poznatku (o tom, kdy je výsledek 0) je to zejména ještě následující vlastnost:
• Přiřazení (v1;..., vfc) i->- V(v1;..., vfc) definuje pozitivně-multilineárnízobrazení^ x ... x
~Ě —>• M>o-
Přívlastek po^iíráné-multilineární znamená, že zobrazení se chová jako absolutní hodnota nějakého multilineárního zobrazení. Na vysvětlenou několik konkrétností pro k — 2, viz obr. 12.22:
V(vi, avi) = 0,
V(vi, v2) = V(vi, v2) + V(vi,avi) = V(v1; v2 + avi), V(vi,&v2) = |6|-V(vi,v2),
kde vi, v2 jsou libovolné vektory a a, b libovolná reálná čísla.
o-=>-*    - o
Obrázek 12.22: Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu.
12.2   Gramův determinant
Začneme s malým kouzlem: Vyberme náhodně vektory v1; v2 v nějakém eukleidovském prostoru. Podle (10.13) na str. 76 umíme obecně vyjádřit kolmou projekci w2 vektoru v2 do
v2 . Vl
w2 — V2--Vl.
Vl . Vl
Velikost tohoto vektoru, resp. její druhá mocnina, je rovna <gj)
ii       ||2       ||     ||2 (Vl-V2)2
w2      =   V2----— .
Vl 2
92
III   Eukleidovská geometrie
Dosazením do definující rovnosti V(vi, v2) — V(vi,w2) — ||vi|| • ||w2||, dostáváme
V(V1;V2) = V||v1||2||v2||2-(v1.v2)2,
což můžeme interpretovat jako odmocninu z determinantu jisté matice:
V(vi, v2)
V1.V1 Vi.V2 V2 . Vl    v2 . v2
(12.20)
Matice pod odmocninou na pravé straně je tzv. Gramová matice, její determinant se zove Gramů v:
Definice. Gramův determinant určený fc-ticí vektorů vi,...		, Vfc je determinant	
	Vl . Vl      ... Vl	Vfc	
G(vi,... ,vfc) :=			
	Vfc . Vl     ... Vfc	Vfc	
Předchozí výsledek nyní snadno zobecníme — jedná se nejobecnější a poměrně elegantní způsob určení objemu obecného rovnoběžnostěnu v obecném eukleidovském prostoru:
Věta. Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí
V(v1;...,vfc) = VG(v1;...
, Vfcj.
Sledovat předchozí zdůvodnění pro více než dva vektory může být trochu problém. Proto nabízíme alternativní zdůvodnění, které je odvozeno ze základních vlastností determinantu.
Důkaz. Pro přehlednost formulujeme pouze pro trojici vektorů, následné zobecnění by mělo být zřejmé. Vzhledem k výše užívanému značení platí:
G(vi,v2, v3)
Vl . Vl v2 . Vl v3 . Vl
vi . Vl
W2 . Vl W3 . Vl
Vl . V2    Vl . v3
v2 . v2 v2 . v3 v3 . v2   v3 . v3
Vl . W2     Vl . w3
w2 . w2 w2 . w3 w3 . w2   w3 . w3
Vl . Vl W2 . Vl W3 . Vl
Vl . Vl
o o
Vl . v2 w2 . v2 w3 . v2
o
w2 . w2
o
Vl . v3 w2 . v3 w3 . v3
o o
w3 . w3
Vl
|w2|
|w3|
V těchto úpravách se nejprve odkazujeme na vlastnosti determinantu, tedy jeho antisymetričnost a multilinearitu. Odtud zejména plyne, že hodnota determinantu se nezmění, když k libovolnému řádku/sloupci přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních. To je přesně úprava, kterou jsme postupně dělali nejdřív s řádky, poté se sloupci:
w2 — v2 + avi,   w3 — v3 + bvi + cv2.
Závěr plyne z toho, že vektory Wj nejsou jen tak ledajaké vektory uvedeného tvaru, ale právě kolmé průměty v j do (vi,... Vi-i)^. Všechny skalární součiny v Gramové matici mimo hlavní úhlopříčku jsou tedy nutně nulové... □
12   Obsahy, objemy a další
93
12.3   Vnější a vektorový součin
Ve speciálních případech, jež se týkají výhradně počtu určujících vektorů, je možné k vyjádření objemu použít některou z následujících algebraických konstrukcí...
Vnější součin
Na obr. 9.3 na str. 68 je ukázáno, že obsah rovnoběžníku v eukleidovské rovině je roven determinantu matice tvořené souřadnicemi určujících vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bázi. Zobrazení, které dvojici vektorů (u, v) přiřazuje onen determinant, jsme nazvali vnějším součinem a označili [u, v]. Hodnota obsahu je vždy nezáporná, hodnota vnějšího součinu může být jakákoli. Z uvedeného vyplývá, že pro libovolné dva vektory u, v ve dvourozměrném eukleidovském prostoru platí:
V(u,v)= |[u,v]|.
Zobecnění tohoto výsledku ve výše uvedeném duchu přestává být názorné, poohlédneme se tudíž po jiném argumentu. Obecná definice vnějšího součinu n-tice vektorů v eukleidovském prostoru dimenze n je uvedena na str. 67; vlastnosti vnějšího součinu jsou následující:
Věta. Pro n-tici vektorů v n-rozměrném eukleidovském prostoru platí:
>vn) ^ [vi,---,vn] definuje antisymetrické multilineární zobrazení
(1) Přiřazení (v1; ~Ě x ... x ~Ě -
(2) [vi,..., v„] = 0 ^> vektory v1;
(3) |[vi,...,vn]| = V(vi,...,vn).
, v„ jsou lineárně závislé.
Důkaz. Tvrzení (1) a (2) plynou přímo z definice vnějšího součinu, tzn. z vlastností determinantu. Tvrzení (3) plyne z Cauchyovy věty o součinu determinantů a z věty 12.2:
[vi,..., v„]  = det(vi,..., v„)2 = det(vi,..., v„)T • det(vi,..., v„) =
V! . V!      ...      Vi . V„
= det ((vi,... ,v„)T • (vi,..., v„)) =
G(v!,...,vn). □
V„ . Vl    ...    v„.v
Ze třetí části věty je zřejmé, proč se vnějšímu součinu přezdívá též orientovaný objem...
Vektorový součin
Pojem vektorového součinu bezpečně známe pro dva vektory v trojrozměrném eukleidovském prostoru. Jedná se o operaci, která dvojici vektorů (u, v) přiřazuje vektor u x v. Názorná geometrická charakterizace vektoru u x v je na obr. 9.4 na str. 69 a v jeho blízkém okolí.
Analyticky lze tentýž vektor vyjádřit ze souřadnicového vyjádření u — (ui,u2,u3) a v — (t>i, t>2, t>3) vzhledem k nějaké ortonormální bázi takto:
u x v —
u2	V2			Vl			
U3	«3	•t	U3	«3	•t	U2	v2
94
III   Eukleidovská geometrie
Z uvedeného zatím není jasné, proč by uvedené dva přístupy měly být ekvivalentní, což rozhodně chceme napravit. Při počítání vektorového součinu jsme zvyklí si pomáhat následovně:
u\     1>l x\
u2 v2 x2 u3   v3 x3
u2	v2						Vl
		x\ —			x2 +		
u3	u3		u3	u3		u2	u2
x3.
(12.21)
Jedná se Laplaceův rozvoj determinantu matice, která je tvořena souřadnicemi daných vektorů u,v a obecného vektoru x (v tomto pořadí!). Koeficienty u xí potom bereme jako souřadnice vektorového součinu u x v. Tuto rovnost nyní musíme nějak koncepčně (bezsouřadnicově) interpretovat — na levé straně vidíme vnější součin trojice vektorů (u,v,x), na pravé straně je skalární součin vektorů u x v a x. Vektorový součin u x v je tedy vektor jednoznačně určený rovností
[u, v, x] = (u x v) . x,
která má platit pro libovolný vektor x.
Tento postřeh bereme jako obecnou definici, dříve uvedené geometrické vlastnosti záhy snadno odvodíme.
Definice. Vektorový součin (n — l)-tice vektorů (vi,..., v„_i) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je vektor w splňující
[vi,.. ., v„_i,x] =w.x pro všechna x e 7; značíme w — vi x ... x v„_i.
Z definujícího požadavku vyplývá, že vektorový součin je určen jednoznačně. Souřadnicové vyjádření vektorového součinu lze obecně určit úplně stejně jako v úvodním příkladu, tzn. pomocí Laplaceova rozvoj determinantu podle posledního sloupce... Vlastnosti vektorového součinu jsou následující:
Věta. Pro (n — l)-tici vektorů v n-rozměrném eukleidovském prostoru platí:
(1) Přiřazení (v1,...,v„_1) >->• vi x ... x v„_ 1 definuje antisymetrické multilineární zobrazení 7 x ... x 7 —>• 7.
(2) vi x ... x v„_i — o ^=^> vektory vi,..., v„_i jsou lineárně závislé.
(3) vi x ... x v„_i je kolmý ke všem vektorům vi,..., v„_i.
(4) Pokud jsou vektory vi,..., v„_i lineárně nezávislé, pak n-tice (vi,..., v„_i, w) tvoří kladnou bázi prostoru 7.
(5) ||vi
v„-i|| = V(vi,..., v„_i).
Důkaz. Tvrzení (l)-(3) plynou přímo z definující rovnosti a vlastností vnějšího součinu, tzn. determinantu. Tvrzení (4) v podstatě také:
det(vi,..., v„_i,w) = [vi,..., v„_i,w] = w . w > 0.
12   Obsahy, objemy a další
95
Tvrzení (5) je pro ||w|| — 0 platné triviálně. Případ ||w|| ^ 0 zdůvodníme tak, že ještě trochu rozepíšeme předchozí vztah:
||w||2 = [vi, .. ., v„_i,w] = V(vi,. .. ,v„_i,w) = V(vi, .. ., v„_i) • ||w||,
kde odkazujeme postupně na větu 12.3, předchozí nerovnost11 a před chvílí zdůvodněné tvrzení (3). Po dělení ||w|| dostáváme požadovanou rovnost. □
Poznámky
Ve speciálním případě n — 3 můžeme doplnit ještě několik známých, příp. zajímavých věcí:
(1) Vektorový součin je podle tvrzení (1) bilineární antisymetrické zobrazení
což můžeme chápat jako binární operaci na množině ~Ě. Tato operace však není asociativní. Neasociativita plyne z následující rovnosti (kterou lze dokázat např. v souřadnicích): <gí)
(u x v) x w — (u . w)v — (v . w)u. (12.22)
Odtud také vyplývá platnost tzv. Jacobiho identity:
(u x v) x w + (v x w) x u + (w x u) x v — 0. (12.23)
Trojrozměrný eukleidovský prostor s operací vektorového součinu je tedy příkladem velice užitečné struktury, které se říká Lieova algebra.
(2) Podle tvrzení (5) je velikost vektorového součinu u x v rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory u a v. Pokud tento obsah vyjádříme podle (12.19), potom vidíme, že platí
||u x v|| = ||u|| • ||v|| - siná, (12.24)
kde a je odchylka vektorů u a v.
12.4   Shrnutí a užitek
Stručné shrnutí
Z předchozích odstavců vidíme několik způsobů, jak určovat objem obecného rovnoběžnostěnu, které jsou zpravidla mnohem efektivnější než počítání podle definice 12.1:
• Věta 12.2 je univerzální a pracuje s Gramovým determinantem, jež má právě takový řád, jaký je počet vektorů ve hře (tedy naprosto nezávisle na dimenzi okolního prostoru).
• Objem n-rozměrného rovnoběžnostěnu v n-rozměrném prostoru můžeme určit pomocí vnějšího součinu vektorů podle věty 12.3.
• Objem (n — l)-rozměrného rovnoběžnostěnu v n-rozměrném prostoru můžeme vyjádřit pomocí vektorového součinu vektorů podle věty 12.3(5).
Všechno je kladné, takže absolutní hodnoty psát nemusíme.
96
III   Eukleidovská geometrie
Objem simplexu a mnohostěnu
Obecné (myšleno i šikmé) hranoly, příp. libovolné mnohostěny lze vždy rozložit na jednodušší objekty, u nichž umíme objemy vyjádřit. Tady zpravidla narážíme na jehlany, resp. simplexy, o kterých jsme se zatím nezmiňovali, proto přikládáme několik poznámek.
/j-rozměrným simplexem se myslí konvexní obal k + í bodů v obecné poloze. Dvourozměrným simplexem je samozřejmě trojúhelník, trojrozměrný simplex je trojboký jehlan neboli čtyřstěn. Obsah trojúhelníku je roven polovině obsahu opsaného rovnoběžníku; objem čtyřstěnu je roven třetině objemu opsaného hranolu, tzn. šestině objemu opsaného rovnoběžnostěnu. Zobecnění těchto faktů je následující:
Věta. Objem k-rozměrného simplexu je roven -k objemu opsaného rovnoběžnostěnu.
Zdůvodnění tohoto tvrzení pro obecné k je úplně analogické těm, které známe pro k — 2 a 3, zejména pokud bereme jako fakt, že dva simplexy se stejnou základnou a stejnou výškou mají také stejný objem. To je sice v duchu našich úvodních pozorování v odst. 12.1, avšak elementární zdůvodnění tohoto faktu kupodivu neexistuje už pro k — 3. Pro podrobnosti odkazujeme na Dodatek 24, kde jsou připomenuta také některá relevantní tvrzení z [Eu].
Vzdálenosti podprostorů
V odst. 11.2 poblíž obr. 11.14 jsme formulovali nápad, jak interpretovat vzdálenost podprostorů jakožto výšku vhodného rovnoběžnostěnu. Zobecnění uvedeného nápadu vypadá následovně:
Věta. Pro afinní podprostory B a C v eukleidovském prostoru £ uvažme libovolné body X e B a Y e C a nějakou bázi ui, u2,... součtu zaměření . Potom vzdálenost podprostorů
je rovna velikosti výšky rovnoběžnostěnu určeného vektory XY, u1; u2,... na stěnu určenou vektory ui, u2,.... Krátce:
v(xy,Ul,u2,...)
V(B,C) = -—-r-.
V(ui,u2,...)
Všimněte si, že nestačí tupě dosazovat vektory z parametrického vyjádření podprostorů — v takovém případě by se mohlo stát, že změříte nulovou vzdálenost, přestože je ve skutečnosti nenulová! (?)—í> Umíte si představit nějaký takový příklad?
Normála nadroviny
Z věty 12.3(3) víme, jak je možné najít vektor, který je kolmý k n — 1 vektorům v n-rozměrném prostoru, aniž bychom řešili soustavu rovnic! Tato dovednost se dá použít např. při určování rovnicového vyjádření libovolné nadroviny v libovolném eukleidovském prostoru.
12.5 Cvičení
(1) Ve standardní eukleidovské rovině jsou dány body
K= [1,3], L= [0,5], M= [1,4].
12   Obsahy, objemy a další
97
Alespoň čtyřmi různými způsoby určete obsah trojúhelníku KLM.
(2) Řešte tutéž úlohu v prostoru £ — M3:
K = [1,3, -5], L = [0, 5, -3], M = [1,4, -3].
(3) Pro pětici bodů A, B, C, D, E ze cvičení 7.5(1) určete:
• obsah trojúhelníku ABD, objem čtyřstěnu ABDE, objem mnohostěnu ABCDE,
• vzdálenost bodu E od roviny ABD, vzdálenost přímek AD a BE,
• rovnicové vyjádření roviny ABC.
(4) V eukleidovském prostoru £ — R4 jsou dány vektory:
V! = (3, 2, 0,1), v2 = (1,0, 0, 0), v3 = (1, 0, 2, 0). Určete vektorový součin vi x v2 x v3 a objem rovnoběžnostěnu určeného vektory v1; v2, v3.
(5) Pro vektorový součin v prostoru dimenze 3 dokažte (12.22), příp. (12.23).
(6) Uvědomte si, že vektorový součin je formálně definován také pro jeden vektor v eukleidovském prostoru dimenze 2. Určete výsledek např. pro vi — (—1,2).
98 III   Eukleidovská geometrie
KAPITOLA IV
Geometrická zobrazení
O různých geometrických zobrazeních jsme se pomerne zevrubně bavili již v kurzu konstrukční geometrie, viz [Zá, zejména kap. III]. V tomto kurzu odkazujeme právě na tyto znalosti, pročež jsme si mohli dovolit začít rovnou s obecnými pojmy. Zatím jsme si postupně připomněli dennice afinních (odst. 4.5), projektivních (odst. 8.5), shodných, podobných a ekviafinních zobrazení (odst. 9.2) a současně jsme zformulovali jejich ekvivalentní (algebraické) definice.
V této kapitole doplníme analytická vyjádření všech zmiňovaných typů zobrazení a naučíme se je podle toho rozeznávat. Zejména se budeme soustředit na transformace, tj. zobrazení nějakého prostoru do sebe, a jejich charakterizace pomocí samodružných prvků. Zvláštní pozornost věnujeme tzv. základním transformacím a jejich skládání. Na závěr uvádíme jemnější klasifikace shodností v rovině a v prostoru a několik dalších poznámek.
13   Analytická vyjádření a charakterizace
Před tím, než se naučíme vyjadřovat zobrazení analyticky, si všechny probírané typy zobrazení a jejich podstatné vlastnosti stručně zopakujeme. V hlavním odstavci této podkapitoly (odst. 13.4) se je potom naučíme na základě takového vyjádření rozeznávat...
13.1 Opakování Projektivní
Projektivní zobrazení je zobrazení mezi projektivními prostory, které zobrazuje přímky na přímky nebo body. Základní věta projektivní geometrie nám říká, že každé projektivní zobrazení / : V(W) —>• V(W) je určeno nějakým lineárním zobrazením
F : W W'
mezi zastupujícími vektorovými prostory, a to tak, že obraz X' — f(X) je reprezentován vektorem x' — F(x), kde x e W je libovolný vektor reprezentující bod X e V(W) (viz definice 8.5). Dva různé vektory xi,x2 reprezentují jeden a ten samý bod X právě tehdy, když se liší o nějaký
100
IV   Geometrická zobrazení
nenulový násobek. Proto dvě různá lineární zobrazení F±, F2 zadávají jedno a to samé projektivní zobrazení / právě tehdy, když F\ — k ■ F2 pro nějaké k ^ 0. Z uvedeného mimo jiné vyplývá, že projektivní zobrazení je jednoznačně určeno obrazem n + 2 bodů v dostatečně obecné poloze, přičemž n — dimV(W) — dimW — 1 (viz větu 8.5 na str. 56).
Obrázek 13.1: [Ku] Základní kolineace v rovině je osová kolineace.
V tomto kurzu nepracujeme s obecnými projektivními prostory, ale výhradně s projektivními rozšířeními afinních prostorů, V(W) — A — A n oo^. Báze ve W proto vždycky volíme stejně jako v odst. 8.3, tzn. tak, abychom snadno rozpoznali body vlastní od nevlastních. Naše konvence je taková, že tyto rozlišujeme podle první (lépe řečeno nulté) souřadnice. To znamená, že afinní prostor A C A si představujeme jakožto nadrovinu ve W určenou rovnicí x0 — 1.
Afinní
Afinní zobrazení je zobrazení mezi afinními prostory, které zobrazuje přímky na přímky nebo body a zachovává rovnoběžnost přímek (ekvivalentně, zachovává dělicí poměry trojic kolineárních bodů). Základní věta afinní geometrie nás dovedla k charakterizaci afinních zobrazení / : A —>• A' v rámci všech projektivních zobrazení mezi projektivními rozšířeními A —>• A' jako takových zobrazení, která zobrazují vlastní body na vlastní, což je totéž jako nevlastní na nevlastní (viz poznámky na konci odst. 8.5). To je ekvivalentní požadavku, aby zastupující lineární zobrazení F : W ->• W zobrazovalo podprostor A C W do podprostoru A' C W. Zúžení F\:
je potom právě indukované lineární zobrazení k afinnímu zobrazení /, o kterém se mluví v definici 4.5. Z této definice také plyne, že obraz libovolného bodu X e A lze vyjádřit ve tvaru
f(X)^7(0Í) + f(0), (13.1)
kde O e A je jeden vybraný referenční bod (obvykle počátek souřadné soustavy). Tzn., že obecné afinní zobrazení / : A —>• A' je jednoznačně určeno lineárním zobrazením mezi zaměřeními a obrazem jednoho vybraného bodu. To v důsledku znamená, že afinní zobrazení je jednoznačně určeno obrazem n + 1 bodů v obecné poloze, kde n — dim A
13   Analytická vyjádření a charakterizace
101
Obrázek 13.2: [Ku] Základní afinita v rovině je osová afinita.
Pokud jsou afinní prostory, mezi kterými zobrazujeme, navíc eukleidovské, rozlišujeme další typy zobrazení:
Ekviaflnní
Ekviafinní zobrazení jsou taková afinní zobrazení, která zachovávají obsahy, resp. objemy, viz deinici na str. 71. Objemová forma v eukleidovském prostoru je určena vnějším součinem vektorů, viz odst. 12.3. Proto můžeme ekviafmní zobrazení charakterizovat následovně:
• zobrazení f : £ —>• £' je ekviafinní právě tehdy, když indukované lineární zobrazení ~f* : zachovává vnější součin až na znaménko.
Z definice je zřejmé, že není možné zobrazit větší prostor do menšího ekviafmním způsobem. Dimenze prostoru £' je proto nutně větší nebo rovna dimenzi £. Pokud je dim £ — dim £', je každé ekviafinní zobrazení nutně bijektivní. V případě, že dim£ < dimf, je každé ekfiafinní zobrazení injektivní. Abychom mohli mluvit o zachovávání vnějšího součinu i v takovém případě, uvažujeme samozřejmě vnější součiny v £ a na jeho obraze, tj. v eukelidovském prostoru /(£) c £'...
Obrázek 13.3: [Eui] Typická ekviafinita je elace.
Shodná
Význačnou podmnožinou ekviafinních zobrazení jsou samozřejmě zobrazení shodná. Shodná zobrazení jsou zobrazení, která zachovávají eukleidovskou metriku. Algebraická charakterizace v odst. 9.2 nám říká, že shodná zobrazení jsou právě taková afinní zobrazení, že indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin vektorů. Protože skalární součin je bilineární operace,
1 Objem je vždy nezáporný, vnější součin být libovolné číslo...
102
IV   Geometrická zobrazení
je tato podmínka ekvivalentní s požadavkem, aby se nějaká (následně potom každá) ortonormální báze zaměření     zobrazovala na ortonormální bázi ~£*'.
Obrázek 13.4: [Se] Základní shodnost je souměrnost podle nadroviny.
Podobná
Podobná zobrazení jsou zobrazení, která zachovávají eukleidovskou metriku až na konstantní nenulový násobek (tzv. koeficient podobného zobrazení). Ta lze algebraicky charakterizovat jako afinní zobrazení, jejichž indukované lineární zobrazení zachovává skalární součin až na nenulový násobek. To je ekvivalentní podmínce, aby se nějaká (následně potom každá) ortonormální báze zaměření ~Ě zobrazovala na bázi ~Ě', která je ortogonální a jejíž vektory jsou stejně dlouhé (ovšem ne nutně jednotkové).
Obrázek 13.5: [Be] Základní podobnost je stejnolehlost.
Poznámky
(1) Shodná zobrazení jsou právě podobná zobrazení s koeficientem 1. Shodná zobrazení lze taky charakterizovat jako podobná zobrazení, která jsou současně ekviafmní. Kromě toho, tři posledně jmenované typy zobrazení mají něco společného:
(Ei>      • Každé ekviafinní, podobné, resp. shodné zobrazení je nutně injektivní, neboli prosté.
13   Analytická vyjádření a charakterizace
103
To v důsledku znamená, že každé ekviaŕinní, podobné, resp. shodné zobrazení mezi prostory stejné dimenze je nutně bijektivní.
(2) Složení dvou zobrazení stejného typu je opět zobrazení téhož typu. Proto množina všech ekviafinních, podobných, resp. shodných transformací eukleidovského prostoru (s operací skládání zobrazení) tvoří grupu. Ta je podgrupou grupy všech afinit, jež je podgrupou v grupě všech kolineací rozšířeného projektivního prostoru. Struktura uvedených vložení je znázorněna na obr. 13.6; pro připomenutí jsou na schématu další dva typy zobrazení, které dobře známe, avšak na tomto místě nediskutujeme.
I
-a, j- i n n i
p 0 cl o k
Obrázek 13.6: Hierarchie geometrických zobrazení (v závorce uveden typický představitel z každé skupiny).
(3) Přehled dosavadních poznatků shrnujeme v tabulce tab. 13.1. Jako obvykle, £ značí obecný eukleidovský prostor, A afinní prostor a A — A U oo_4 projektivní rozšíření A. Dále W je zastupující vektorový prostor pro A, tzn. A = T(W). Pokud je / afinní, potom F\^ = je právě indukované lineární zobrazení "/*.
Jediný sloupec, který v této tabulce zatím nemusí být srozumitelný, se týká analytického vyjádření. Všechny případné otazníky odstraníme v následujících několika odstavcích...
jméno	definice	další vlastnosti	algebraická charakterizace	analytické vyjádření	příklady
projektivní	zobrazuje přímky na přímky nebo body	zachovává dvoj poměry čtveřic bodů	určeno lineárním zobrazením F : W -> W	(a h\	osová kolineace, středové promítání
afinní f:A^A'	projektivní, které zachovává rovno-běžnost přímek	zachovává dělicí poměry trojic bodů	F zobrazuje ~X C W na ~X' C W	'■(::)■	osová afinita, rovnob. promítání
ekviafinní	afinní, které zachovává obsahy, resp. objemy		~f zachovává vnější součin až na znaménko	detD = ±1	šikmá souměrnost, elace
podobné	afinní, které zachovává vzdálenosti bodů až na konstantní násobek: \X'Y'\ = k ■ \XY\	zachovává odchylky	~f zachovává skalární součin až na násobek	DT • D = k2 • E	stejnolehlost
shodné	podobné s koeficientem k — 1	zachovává vzdálenosti, odchylky, obsahy, ...	~7 zachovává skalární součin	DT • D = E	osová souměrnost
13   Analytická vyjádření a charakterizace
105
13.2   Značení a jiné konvence
Analytické vyjádření jakéhokoli zobrazení závisí na volbě souřadných soustav. V afinním prostoru A uvažujeme afinní souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (O; ei, e2,...). Pokud je navíc afinní prostor eukleidovský, pak zpravidla předpokládáme, že vektory ei,e2,... jsou ortonormální; odpovídající souřadná soustava se pak jmenuje kartézská.
V projektivním rozšíření A — A U oo_4 afinního prostoru A budeme pracovat výhradně s homogenními souřadnicemi, které jsou tzv. standardním rozšířením nějakých souřadnic afinních. Všechny konvence a značení jsou stejné jako v odst. 8.3: rozšířená báze (e0, ei, e2,...) zastupujícího vektorového prostoru W je právě taková báze, že vektory ei,e2, • • • e A^ jsou jako výše a vektor e0 ^ A^ reprezentuje právě bod O...
Uvažujme projektivní zobrazení / : A —>• A' mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů. Odpovídající lineární zobrazení mezi zastupujícími vektorovými prostory značíme F : W —>• W. Každé lineární zobrazení F je vzhledem k vybraným bázím určeno maticí F tak, že
pro libovolný vektor x e W, resp. jeho souřadnice psány do sloupce. Pokud je dim.4 — m a dim A' — n, pak matice F má m + 1 sloupců a n + 1 řádků. Obraz libovolného bodu X e A značíme X' e A' a vzhledem k předchozím konvencím jej budeme vyjadřovat jako
kde a je reálné číslo, b je m-tice čísel v řádku, c je n-tice čísel ve sloupci a D je matice o rozměrech n x to. Důvod, proč rozdělujeme matici F právě na takovéto bloky, bude zřejmý za chvíli...
13.3   Důležité poznámky
(1) Je-li F matice zastupujícího lineárního zobrazení F vzhledem k vybraným bázím, pak v této matici po sloupcích postupně čteme souřadnice obrazů bázových vektorů e0,ei,.... Vzhledem k předchozím konvencím:
• v prvním sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu počátku afinní souřadné soustavy,
• ve druhém sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu nevlastního bodu první souřadné osy,
• ve třetím sloupci jsou homogenní souřadnice obrazu nevlastního bodu druhé souřadné osy,
Tento jednoduchý postřeh má velice užitečné důsledky jak při interpretaci zobrazení / daného maticí F, tak při určování této matice v případě, že / je zadáno např. obrazy několika bodů; viz cvičení 13.6 a další.
(2) Analytické vyjádření (13.2) bývá často vyjádřeno přímo v homogenních souřadnicích. Jedná se jen o jinou formu zápisu, takže tady není třeba hledat žádný problém — z maticového vyjádření lze vždy snadno určit souřadnicové a naopak. Pro představu, např. obecná projektivní transformace přímky
F(x) = F x
(13.2)
• atd.
f(xo : x{) — (kxo + lx\ : mxo + nx{)
106
IV   Geometrická zobrazení
ze cvičení 8.7(4) je reprezentována maticí
F =
(
m
k l
n
(3) Předpokládejme, že f a, g jsou projektivní zobrazení, F a G jsou zastupující lineární zobrazení a F a G jsou jejich matice. Pokud lze tato zobrazení složit,2 potom složené zobrazení g o f je reprezentováno lineárním zobrazením G o F, jehož matice je právě součinem matic G • F. Při skládání zobrazení je proto obvykle výhodnější pracovat s odpovídajícími maticemi než se souřadnicovým vyjádřením.
(4) Zobrazení / je injektivní, surjektivní, resp. bijektivní právě tehdy, když zastupující lineární zobrazení F má tutéž vlastnost. Na základě jednoduchých poznatků z lineární algebry můžeme směle tvrdit, že projektivní zobrazení / reprezentované maticí F je
• injektivní, právě když F má triviální jádro,
• surjektivní, právě když hodnost F je rovna počtu jejích řádků,
• bijektivní, právě když matice F je čtvercová a det F^O.
Zobrazení s netriviálním jádrem se nazývají singulární; typickými příklady jsou různá promítání většího prostoru do menšího. Matice F je čtvercová, právě když / zobrazuje mezi prostory stejné dimenze. V případě obecných projektivních zobrazení, nemá hodnota det F žádný geometrický význam (rozlišujeme pouze, zdaje determinant nulový či nenulový).
13.4 Charakterizace
Nyní konečně umíme nabídnout charakterizaci jednotlivých typů zobrazení podle jejich analytického vyjádření.
Věta. Předpokládejme, že projektivní zobrazení f mezi projektivními rozšířeními afinních prostorů je v homogenních souřadnicích vyjádřeno jako v (13.2). Potom platí, že
• f je afinní právě tehdy, když a ^ 0 ab — 0.
Důkaz. Zobrazení / je afinní, právě když zobrazuje všechny nevlastní body na nevlastní a všechny vlastní body na vlastní. Z první podmínky vzhledem k předchozím volbám plyne, že b musí sestávat ze samých nul. Ze druhé podmínky plyne, že a ^ 0 (jinak by se úplně všechny body zobrazovali na nevlastní body). □
Pokud tedy je zobrazení / afinní, můžeme je reprezentovat jednoznačně určenou maticí F, ve které platí a—l:
(13.3)
2Pokud je obraz / obsažen v definičním oboru g.
13   Analytická vyjádření a charakterizace
107
Pro vzory tvaru x — (1, x\, x2,...) jsou také obrazy tvaru x' — (1, x[, x'2,...), takže celá první (nultá) složka v předchozím vyjádření je vlastně zbytečná. (13.3) je proto ekvivalentní následujícímu vyjádření v afinních souřadnicích:
X' = D X + c. (13.4)
Afinní zobrazení mezi prostory stejné dimenze dále rozlišujeme takto:3
• pokud det D > 0, pak / je přímá afinita,
• pokud det D < 0, pak / je nepřímá afinita.
Determinant det D se nazývá modul afinního zobrazení /. Uvědomte si, že pro transformace, tj. zobrazení / : A —>• A, modul nezávisí na volbě souřadné soustavy! Absolutní hodnota modulu <gj) odpovídá tomu, jak se mění obsahy, resp. objemy. Znaménko modulu je kladné/záporné, právě když afinita zachovává/mění orientaci prostoru.
Věta. Předpokládejme, že afinní zobrazení f mezi eukleidovskými prostory je v kartézských souřadnicích vyjádřeno jako v (13.4), resp. v rozšířených homogenních souřadnicích jako v (13.3). Potom platí, že
• f je ekviafinní právě tehdy, když det D — ±1,
• f je podobné s koeficientem k právě tehdy, když DT • D — k2 ■ E,
• / je shodné právě tehdy, když DT D — E,
Aby první tvrzení věty mělo vůbec nějaký význam, musí být matice D čtvercová. Zobrazení / je tedy buď zobrazením mezi prostory stejné dimenze, nebo se uvažuje jeho restrikce na obraz. Pro zbylé dvě části žádný takový předpoklad nepotřebujeme. Jako obvykle, E značí jednotkovou matici (jejíž rozměry odpovídají dimenzi cílového prostoru).
Důkaz. Všechny tři části plynou přímo z algebraických charakterizací, jež jsme připomněli v úvodním opakování v odst. 13.1, a ze znalosti pojmu matice lineárního zobrazení. V matici D jsou totiž po sloupcích shromážděny souřadnice obrazů bázových vektorů ei,e2,.... Tyto vektory podle předpokladu tvoří ortonormální bázi, tzn. . e3■ — 1 nebo 0 podle toho, zda i — j nebo i ^ j. Bázové vektory tvoří krychli s objemem 1.
Absolutní hodnota det D je rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného obrazy e'1; e'2,... bázových vektorů; odtud plyne první část věty.
V součinu matic DT • D se na z-tém řádku a j-tém sloupci nalézá právě hodnota skalárního součinu e ■ . e'j; odtud plynou zbylá dvě tvrzení. □
13.5   Obzvlášť jednoduché případy
Tady jmenujeme zobrazení s nej jednoduššími analytickými vyjádřeními. Ve všech případech se jedná o afinní transformace, jejichž indukované lineární zobrazení je násobkem identity. V dalších odstavcích jsou tyto transformace zmiňovány jako takové základní transformace, které mají samodružné všechny směry. Jinými slovy můžeme tyto transformace charakterizovat jako takové afinní transformace, které zobrazují libovolnou přímku na přímku s ní rovnoběžnou (nebo bod).
Nej základnějším zobrazením v následujícím seznamu je stejnolehlost, všechny ostatní položky lze chápat jako její speciální, resp. mezní případy.
3Vzhledem k vyjádření (13.3) je det F = det D.
108
IV   Geometrická zobrazení
Definice. Stejnolehlost je afinní transformace určená středem S a koeficientem k e R, a to tak, že
SX^h-Sli,   neboli   X' = S + k-ŠŽ.
Obrázek 13.7: Stejnolehlost se středem S a koeficientem k = 2.
Vedle jména a obecného analytického vyjádření uvádíme také matici zastupujícího lineárního zobrazení:
• posunutí o vektor v:   X' — X + v,   F —
• stejnolehlost se středem S a koeficientem k:
1 0 v   E,
X' = kX + (1 - k)S,   F = I      1 ° I, (13.5)
(1 - k)S kE
• středová souměrnost se středem S:   X' — —X + 25, F
1 0
2S -E,
promítání do bodu 5:   X' — 5,    F —
1 0 S 0
Identita, středová souměrnost, resp. promítání do bodu jsou speciálními, resp. degenerovanými případy stejnolehlosti odpovídající hodnotám k—í, —1, resp. 0. Posunutí je možné interpretovat jako stejnolehlost se středem v nekonečnu (a tedy koeficientem k — 1)...
Identita, posunutí a stejnolehlost s koeficientem k > 0 jsou přímé afinity. Stejnolehlost s koeficientem k < 0 je přímá právě tehdy, když dimenze afinního prostoru je sudá. Promítání do bodu je maximálně degenerované (singulární) zobrazení, často přezdívané jako nulové zobrazení.
14   Analytická vyjádření a charakterizace
109
Ve všech těchto případech jsme schopni během několika sekund rozhodnout o druhu zobrazení, známe-li jeho analytické vyjádření. V ostatních případech se tomu budeme učit, a to zejména analyzováním tzv. samodružných prvků...
13.6 Cvičení
O
(1) Projektivní transformace v rovině jsou dány maticemi zastupujících lineárních zobrazení:
2   0   l\    / 3     0     0\/l0    0\/l0 0\ 0   2   0,-2    1    -2,1    3    4,0   0 -1. 0   0   6/    \-3   -3    0 )    \-l   4-3/    \2   1    0 /
V každém z těchto čtyř případů:
• začněte s obrázkem a pokuste se odhadnout typ transformace,
• určete typ transformace a rozhodněte, zda je transformace regulární/singulární,
• v případě afinit určete modul a rozhodněte, zdaje transformace přímá/nepřímá/upřímná,
• určete obraz několika dalších bodů, např. bodu E — [1,1] či nevlastních bodů odpovídajících souřadným osám.
(2) Další čtyři projektivní transformace jsou dány obrazy bodů
A =[0,0], 5= [2,0], C=[0,2], D = [2,2],
a to následujícími způsoby:				
• A'	= [6,2],S'	= [9,2],C" =	[7, 4], D'	= [9,3],
• A'	= [6,2],S'	= [9,2],C" =	[7, 4], D'	= [10,4],
• A'	= [9,4],S'	= [9,1],C" =	[6, 4], D'	= [6,1],
• A'	= [9,4],S'	= [9,2],C" =	[7, 4], D'	= [7,2].
Určete analytická vyjádření těchto transformací a řešte předchozí sérii úloh.
(3) Určete analytické vyjádření osové souměrnosti v rovině (resp. v prostoru) podle osy určené body A = [2, 0] a B = [0, 2] (resp. A = [2, 0,0] a B = [0,2, 0]).
(4) Určete analytické vyjádření středového promítání se středem S — [0,0,4] trojrozměrného prostoru do roviny a — {x\ + x2 — 3}.
(5) Pokud toho ještě nemáte dost, složte některé z výše uvedených transformací a řešte znovu některé z předchozích úloh.
(6) Konfrontujte svoje předchozí výsledky s nějakou vhodnou názornou pomůckou.4
4Viz např. http://www.geogebratube.org/student/mWpijCH4E
110
IV   Geometrická zobrazení
14   Samodružné prvky
Ve zbytku této kapitoly diskutujeme téměř výhradně transformace / : A —>• A projektivního rozšíření nějakého afinního prostoru A, tj. zobrazení takového prostoru do sebe. Velmi užitečnou informaci o druhu dané transformace poskytují samodružné, neboli invariantní prvky. Několik příkladů klasifikací podle samodružných prvků uvádíme v podkap. 16.
Samodružná podmnožina M c A transformace / je taková podmnožina, která se zobrazuje sama do sebe, tj.
/(M) C M.
Speciálně, samodružné body jsou právě pevné body transformace. Samodružné body mohou být jak vlastní, tak nevlastní. Nevlastním samodružným bodům se říká samodružné směry.
Nezapomeňte, že je nutné rozlišovat mezi samodružnými podmnožinami a podmnožinami (Ei> samodružných bodů!
14.1   Samodružné body (a směry)
Bod X e A je samodružným bodem transformace /, pokud
/PO = x,
což je ekvivalentní podmínce
F(x) = A ■ x, (14.6)
kde x e Wje vektor reprezentující bod X e A, F : W —>• W je lineární transformace odpovídající projektivní transformaci / : A —>• A a A je nějaké reálné číslo. To znamená, že:
• Samodružné body projektivní transformace f odpovídají právě (nenulovým) charakteristickým vektorům zastupující lineární transformace F.
Určit charakteristické vektory lineární transformace F bychom měli umět z lineární algebry. Pro jistotu si základní myšlenky stručně připomeneme...
Algebraická odbočka
Podmínka (14.6) je v souřadnicích ekvivalentní soustavě lineárních rovnic
(F - AE) ■ x = 0, (14.7)
kde F je matice zobrazení F a E je jako obvykle jednotková matice. Tato soustava má netriviální řešení právě tehdy, když
det(F - AE) = 0. (14.8)
Determinant na levé straně je polynom v proměnné A, jehož kořeny jsou tzv. charakteristická čísla transformace F.5
Charakteristické vektory odpovídající příslušným charakteristickým číslům získáme řešením soustavy (14.7), kam postupně tato čísla dosazujeme za A. Zejména, charakteristické vektory odpovídající témuž charakteristickému číslu tvoří vektorový podprostor ve W. Naopak, nenulové charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou nutně lineárně nezávislé.
6Místo přívlastku charakteristický/-o/-é se v algebře zpravidla stručněji říká vlastni. Z pochopitelných důvodů se raději držíme prvního pojmenování.
14   Samodružné prvky
111
Afinní případ
Pokud je transformace / afinní, pak vzhledem k charakterizacím z odst. 13.4 můžeme soustavu (14.7) psát jako
0 VH=Í°V o")
D — AEy   \JÍJ \oj
Odtud vidíme, že vlastní samodružné body (x0 — 1) afinní transformace / nutně odpovídají charakteristickému číslu A = la jsou řešením soustavy
(D - E) ■ X = -c, (14.10)
zatímco samodružné směry, tj. nevlastní samodružné body (x0 — 0) mohou odpovídat jakýmkoli charakteristickým číslům A a jsou řešením soustavy
(D-AE)-X = 0. (14-11)
Všimněte si, že (14.10) je ekvivalentní s (13.4) po dosazení X' — X...
14.2   Jednoduchá pozorování
Z předchozího výkladu bezprostředně vyplývá několik geometricky zajímavých výsledků s velmi jednoduchým algebraickým zdůvodněním. Samodružný bod bez dalšího přívlastku může být jak vlastní, tak nevlastní; tyto případy rozlišujeme pouze tam, kde to je nutné.
Projektivní a afinní
Věta. (1) Každá projektivní transformace projektivního prostoru sudé dimenze má aspoň jeden samodružný bod.
(2) Samodružné body odpovídající témuž charakteristickému číslu, tvoří projektivní podpro-stor.
Důkaz. (1) Matice zastupujícího lineárního zobrazení má rozměry o 1 větší než je dimenze prostoru. To znamená, že charakteristický polynom (14.8) je lichého stupně. Protože je to polynom s reálnými koeficienty, má nutně aspoň jeden reálný kořen. Pro každý takový kořen máme garantováno netriviální řešení soustavy (14.7), jež určuje samodružné body transformace.
(2) Samodružné body odpovídající charakteristickému číslu A jsou určeny řešením homogenní soustavy lineárních rovnic (14.7). Všechna tato řešení tvoří vektorový podprostor v zastupujícím vektorovém prostoru W, jenž zastupuje projektivní podprostor v projektivním prostoru V(W).
□
Povšimněte si, že neříkáme nic o samodružných bodech odpovídajícím různým charakteristickým číslům. Úplně klidně se tak může stát, že projektivní transformace má několik izolovaných navzájem různých samodružných bodů. (Tyto body pak nutně odpovídají různým charakteristickým číslům, takže jich nemůže být víc než je dimenze zastupujícího vektorového prostoru...)
112
IV   Geometrická zobrazení
Věta. (í) Projektivní rozšíření každé afinní transformace afinního prostoru libovolné dimenze má aspoň jeden samodružný bod (vlastní nebo nevlastní).
(2) Projektivní rozšíření každé afinní transformace afinního prostoru liché dimenze má aspoň jeden nevlastní samodružný bod.
(3) Pokud má afinní transformace nějaké vlastní samodružné body, pak všechny tyto body tvoří afinní podprostor.
Důkaz. (1) Matice zastupujícího lineárního zobrazení je tvaru (13.3). Odtud plyne, že A — 1 je vždy kořenem charakteristického polynomu, viz též zápis (14.9).
(2) Nevlastní samodružné body jsou řešením soustavy (14.11). Charakteristický polynom det(D— AE) je polynom s reálnými koeficienty a je lichého stupně. Proto má aspoň jeden reálný kořen.
(3) Vlastní samodružné body jsou určeny jakožto řešení (nehomogenní) soustavy lineárních rovnic (14.10). Množina všech vlastních samodružných bodů je proto buď prázdná, nebo tvoří afinní podprostor y A. □
Z uvedeného mimo jiné vyplývá, že pokud má afinní transformace dva různé vlastní samodružné body, potom jsou samodružné také všechny body na přímce, která tyto body spojuje. Pro nevlastní samodružné body (samodružné směry) něco podobného platí, pouze když odpovídají témuž charakteristickému číslu, viz předchozí diskuzi...
Podobné a shodné
Nyní zúžíme naši pozornost na podobnosti a shodnosti. V následující větě jsou shodnosti zahrnuty jakožto podobnosti s koeficientem k — 1:
Věta. Pro každou podobnost f : £ —>• £ s koeficientem k platí:
(1) Modul transformace / je roven ±kn, kde n — dimf.
(2) Je-li A reálné charakteristické číslo transformace ~f*, pak A — ±k.
(3) Samodružné směry odpovídající různým charakteristickým číslům jsou navzájem kolmé.
(4) Je-li U C ~é samodružný podprostor transformace /*, pak také kolmý doplněk U1- je samodružným podprostorem.
Důkaz. (1) Modul / je podle definice právě determinant det D, přičemž matice D je tvořena obrazy vektorů ortonormální báze. Modul / je tedy (orientovaný) objem obrazu jednotkové krychle. Pokud je / podobnost, může to být jedině ±kn.
(2) Indukované zobrazení /* zachovává velikosti vektorů až na konstantní násobek k.
(3) Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé; vybrané vektory označíme u a v. Přitom charakteristická čísla jsou v našem případě pouze
15   Základní transformace
113
k a —k, tudíž jeden z vektorů se zobrazuje na svůj fc-násobek a druhý na — fc-násobek; řekněme u' — ku a v' — —kw. Odchylka vektorů se zachovává <(u, v) — <(u', v') a současně
7T = <(v, v') = <(v, U) + <(U, v') = <(v, U) + <(ll', v').
Odtud plyne, že <(u,v) = <(u',v') = §.
Obrázek 14.8: Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé
(4) Uvažme libovolný vektor w e U-1, tzn. w _L U. Podle předpokladu je také w' _L U', kde U' C U značí obraz podprostoru U. Zúžení podobnosti na jakýkoli invariantní podprostor je zase podobnost (tedy bijekce), proto je obrazem U tentýž podprostor (tedy nikoli nějaký menší podprostor). Proto je w' _L U, neboli w' e U-1. □
Díky druhému tvrzení nemusíme při určování samodružných směrů podobných (tedy i shodných) transformací pracně hledat kořeny charakteristického polynomu! Stačí jenom ověřit jediné <gj) dva možné kandidáty X — k a X — —k.
Věta. Každá podobná transformace, která není shodností, má právě jeden vlastní samod-ružný bod.
Důkaz. Vlastní samodružné body jsou řešením soustavy rovnic (14.10). Tato soustava má jednoznačné řešení právě tehdy, když determinant matice D — E je nenulový.
Kdyby byl tento determinant nulový, znamenalo by to, že indukovaná lineární transformace by měla charakteristické číslo 1. To by však bylo v rozporu s tvrzením (2) v předchozí větě. Proto je det(D - E) ^ 0 a soustava má jednoznačné řešení. □
(1) Pro každou transformaci ze cvičení 13.6 určete všechny její samodružné body.
(2) Zapřemýšlejte, zda některý z předchozích výsledků neumíte vymezit konstrukčně.
(3) Udejte příklad projektivní transformace v rovině (včetně analytického vyjádření), která má vlastní samodružný bod B — [1,0] a bod C — [0, —1] zobrazuje na C — [3,2].
V
14.3 Cvičení
15   Základní transformace
Z dřívějška známe několik příkladů základních transformací, a to zejména v rovině. V této části tento přehled okomentujeme, doplníme a jako obvykle zobecníme.
114
IV   Geometrická zobrazení
15.1   Základní transformace v rovině
Základní bijektivní (regulární) transformace v rovině jsou:
• osová kolineace (základní kolineace),
• osová afinita (základní afinita),
• stejnolehlost (základní podobnost),
• osová souměrnost (základní shodnost).
Důvod, proč těmto zobrazením říkáme základní, tkví v tom, že skládáním základních transformací je možné vyjádřit všechny transformace určitého typu (viz odst. 15.3). Kromě toho všechny transformace v uvedeném výčtu mají něco společného — všechny základní transformace mají:
• osu — přímku samodružných bod,
• střed — samodružný bod takový, že každá přímka jdoucí tímto bodem je samodružná.
Osa a střed mohou být jak vlastní, tak nevlastní a podle toho taky můžeme jednotlivé typy základních transformací rozlišovat. Před tím, než tak učiníme, připomeneme si několik základních informací o úplně nejzákladnější transformaci v rovině, tj. o osové kolineaci. Všechny ostatní základní transformace chápeme jako speciální, resp. limitní případy osové kolineace. Mezi takové mezní případy samozřejmě patří:
• středové promítání do přímky (projektivní),
• rovnoběžné promítání do přímky (afinní).
Tyto příklady chápeme jako základní singulární transformace v rovině. Obě tyto transformace mají přímku samodružných bodů, tedy osu. Střed promítání však není středem ve výše vyme-(Ei> zeném smyslu — obraz tohoto bodu není vůbec definován, tudíž nemůže být samodružný! Tyto poznatky nebudeme v dalším zrovna důsledně opakovat, měli bychom je však mít vždy důsledně na paměti...
Osová kolineace
Konstrukci obrazu bodu X v osové kolineaci určené osou o, středem S a obrazem jednoho dalšího bodu A připomínáme na obr. 15.9. Konstrukce je odvozena z následující definice (a Pappovy věty).
Definice. Osová kolineace je transformace projektivní roviny určená osou o, středem S a obrazem A' bodu A (A £ o, A ^ S), a to tak, že pro obraz X' libovolného bodu X platí
XX' n AA' — S    a    (X'XX0S) = (A'AA0S) = konst., (15.12)
kde X0, resp A0, značí průsečík přímky XX', resp. AA', s osou o.
Konstantě (A'AA0S) se říká charakteristika nebo modul osové kolineace.6 V obecné projektivní rovině umíme rozlišovat pouze následující tři případy:
6Definici dvojpoměru čtveřice bodů najdete v odst. 8.4. Pojmenování modul se může zdát vzhledem k předchozímu užití pro afinní transformace nevhodné — níže vysvětlujeme, že tomu tak není.
15   Základní transformace
115
3
Obrázek 15.9: Obraz bodu X v osové kolineaci určené osou, středem a obrazem bodu A.
(1) A' e o, tzn. A' — A0 a (J4'J4J40S') = 0:   v tomto případě je obraz libovolného bodu X na ose o a transformace je promítání ze středu S do přímky o.
(2) 5 G o, tzn. 5 = A0 a (A'AA0S) — 1:   v tomto případě se jedná o regulárni zobrazení, kterému budeme říkat projektivní elace.
(3) 4' ^ o a 5 ^ o:   obecná osová kolineace.
V projektivním rozšíření afinní roviny můžeme rozlišovat další případy podle toho, zda určující prvky osové kolineace jsou vlastní/nevlastní:
(a) S nevlastní, o vlastní:   osová afinita s modulem (A'AA0Soo) — (A'AA0).
(b) S vlastní, o nevlastní:   stejnolehlost se středem S a koeficientem (A'AA0ooS) — (A'AS).
(c) S nevlastní, o nevlastní: posunutí.
Obrázek 15.10: Obraz bodu X v osové afinitě určené osou, směrem a obrazem bodu A.
116
IV   Geometrická zobrazení
Přehled
Přehled všech základních transformací v rovině podle typu a vzájemné polohy určujících prvků je v tab. 15.2. V tomto přehledu navíc rozlišujeme podle specifických hodnot modulu. Všimněte si, že v případě, že základní transformace je afinní, je tento modul totéž co modul afinní transformace § ve smyslu definice na str. 107.
Případ identické transformace, resp. promítání do bodu uvádíme v závorkách, protože se jedná o triviální, resp. degenerovaný případ, který do tohoto přehledu sice patří, ale není základní transformací ve výše vymezeném smyslu. Termín „harmonická souměrnost11 není úplně obvyklý, pročež je raději v uvozovkách; v tomto případě je modul roven —1, což znamená, že každá čtveřice (X', X, X0,S) je v harmonickém poměru. Šikmá souměrnost je harmonická souměrnost s nevlastním středem a osová souměrnost je navíc charakterizována tím, že směr souměrnosti je kolmý k ose.
(Ei> Uvědomte si, že podmínky v jednotlivých sloupcích nejsou úplně nezávislé! Z předchozího např. víme, že pokud S e o, potom je modul nutně roven 1. Taky se jistě nemůže stát, aby S i o byly nevlastní a současně S ^ o...
střed S	osa o	Seo	modul	druh
vlastní	vlastní	ne	0	středové promítání do přímky
		ano	1	projektivní elace
		ne	-1	„harmonická souměrnost"
		ne	jinak	osová kolineace
nevlastní	vlastní	ne	0	rovnoběžné promítání do přímky
		ano	1	elace
		ne	-1	šikmá, resp. osová souměrnost
		ne	jinak	osová afinita
vlastní	nevlastní	ne	0	(promítání do bodu)
		ne	1	(identita)
		ne	-1	středová souměrnost
		ne	jinak	stejnolehlost
nevlastní	nevlastní	ano	1	posunutí
Tabulka 15.2: Klasifikace základních transformací v rovině
15.2   Základní transformace obecně
V předchozím přehledu základních transformací v rovině jsme začali postřehem, že každá taková transformace má osu a střed. V tomto odstavci ukážeme, že existence těchto prvků spolu velmi úzce souvisí. Úvodní definice vypadají takto:
Definice. Střed projektivní transformace je samodružný bod takový, že každá přímka procházející tímto bodem je samodružná.
15   Základní transformace
117
Nadosa projektivní transformace je nadrovina samodružných bodů. Projektivní transformace, která má nadosu, se nazývá základní transformace.
Jinak můžeme říct, že:
• Základní transformace jsou neidentické transformace s maximálním možným podprostorem samodružných bodů.
Nejzákladnější transformací v obecném projektivním prostoru je nadosová kolineace a podobně modifikujeme ostatní pojmenování z předchozího odstavce. Základní singulární transformací je promítání do nadroviny. Klasifikace základních transformací je až na tyto změny v názvosloví úplně stejná jako v tab. 15.2, proto se jí dále nezabývat nebudeme.
Místo toho dokážeme dvě obecná tvrzení, jež jsme zatím přehlíželi. Jedná se o působivé zobecnění Desarguesovy věty:
Věta. Předpokládejme, že f je neidentická regulární projektivní transformace. Potom platí:
(1) f má nadosu právě tehdy, když f má střed.
(2) f má buď právě jednu nadosu (a právě jeden střed), nebo žádnou nadosu (a žádný střed).
Nejdřív trochu značení: dimenze projektivního prostoru je n, tzn. dimenze zastupujícího vektorového prostoru je n + 1 (což je také stupeň charakteristického polynomu (14.8)).
Důkaz. (1) Nadosa O je nadrovina samodružných bodů, jež odpovídá všem řešením soustavy (14.7). Odpovídající charakteristické číslo A proto musí být kořenem charakteristického polynomu s násobností alespoň n. Protože má tento polynom reálné koeficienty a známe n jeho reálných kořenů, musí mít ještě jeden reálný kořen, který si označíme třeba [i.
(a) Pokud je [i ^ A, pak charakteristický vektor odpovídající [i je lineárně nezávislý vzhledem ke všem vektorům odpovídajícím číslu A. To znamená, že tento vektor reprezentuje samodružný bod S, který neleží v nadose O. Libovolná přímka jdoucí bodem S protíná nadrovinu O v bodě, který je samodružný. Proto je libovolná přímka jdoucí bodem S samodružná, tudíž S je střed.
(b) Pokud je ii — X, pak střed musí ležet v nadose O a v následujícím jej vymezíme. Uvažme libovolný bod A £ O a jeho obraz A'. Protože transformace není identita, platí A' ^ Aa, tyto dva body určují přímku, kterou označíme a. Přímka a protíná nadosu O v samodružném bodě Sa, a proto je a samodružná. Podobně pro libovolný jiný bod B £ O platí, že b — BB' je samodružná přímka; průsečík b s nadosou O označíme S^. Protože a i b jsou samodružné přímky, je jejich průsečík samodružným bodem, a proto musí ležet v nadose O. Odtud plyne, že Sa — Sb je hledaný střed.
Naopak, předpokládejme, že S je středem transformace /. Uvažme n + 1 libovolných bodů Ai,A2,... takových, že spolu s bodem S jsou v nejobecnější možné poloze (tzn. žádná (n + 1)-tice neleží v jedné nadrovině). Podle předpokladu se aspoň jeden z těchto bodů musí zobrazit někam jinam než sám na sebe; řekněme, že A[ ^ A\. Nyní postupně uvažujeme dvojice přímek
118
IV   Geometrická zobrazení
Obrázek 15.11: Pokud existuje nadosa O, potom existuje střed: (a) S £ O, (b) S G O jakožto společný bod Sa — S b — S'b — S'a.
Pi — A\Ai ap'i — A\A\, kde i — 2,3,.... Protože každý bod A\ leží na přímce SAí, patří každá dvojice přímek pi, p\ do nějaké roviny. Proto se pi a p ■ protínají, a to v samodružném bodě, který § označíme Oi. Z úvodních předpokladů lze vydedukovat, že body 02,03,... tvoří nadrovinu O,
jejíž každý bod je samodružný. Proto je O nadosou.
s 11
Obrázek 15.12: Pokud existuje střed S, potom existuje nadosa O jakožto nadrovina určená body 0\, 02, ■ ■ ■
(2) Přemýšlejme, co by se stalo, kdyby transformace / měla dvě různé nadosy: Uvažme dvě libovolné přímky a a b jdoucí libovolným bodem C, který neleží ani v jedné nadose. Jak a, tak b by protínala každou z nados v samodružných bodech, proto by jak a, tak b byla samodružnou přímkou. Odtud by plynulo, že C by byl samodružný bod, což by v důsledku znamenalo, že transformace by byla identická. (?)—í> Podobně, se by se dalo zdůvodnit, že kdyby transformace měla dva různé středy, pak by to nutně byla identita, což by opět bylo ve sporu s předpokladem věty. □
Tvrzení věty lze rozšířit také pro singulární projektivní transformace, ovšem střed v takovém případě má trochu jiný význam, než jak jsme jej vymezili výše (zejména nemusí mít definován obraz). Z pochopitelných důvodů toto téma dál rozvádět nebudeme...
15   Základní transformace
119
15.3   Skládání základních transformací
Na úvod začneme s tvrzením, které zobecňuje sérii pozorování v rovině, jimiž jsme se bavili v konstrukční geometrii.
Věta. (1) Každá regulární projektivní transformace v prostoru dimenze n lze vyjádřit jako složení nejvýše n + 2 základních transformací.
(2) Každá afinní transformace v prostoru dimenze n lze vyjádřit jako složení nejvýše n + 1 základních transformací.
Maximální počet základních transformací ve zmiňovaném rozkladu zřejmě souvisí s určeností projektivních, resp. afinních zobrazení, viz větu 8.5 na str. 56, resp větu 4.5 na str. 20:
Idea důkazu je poměrně prostá — v podstatě zobecňuje celkem jasnou konstrukci v případě shodných transformací, kterou připomínáme na obr. 15.13. Zdůvodnění pro afinní transformace lze najít např. v [Sek, str. 38-39 ve II. díle]. Uvědomte si, že čím obecnější je typ transformace, tím více máme volnosti v možných rozkladech... <gj)
Obrázek 15.13: [Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností.
Poznámky
(1) Vzhledem k předchozí jemnější klasifikaci základních transformací se můžeme ptát, co lze získat skládáním základních transformací jistého druhu. Úvahy tohoto typu doporučujeme jako užitečné cvičení. Jistou nápovědou může být, že v afinním případě je modul složené transformace <gj) roven součinu modulů transformací, z nichž je tato složena. Na ukázku uvádíme jeden z možných výsledků:
• Každá ekviafinita v prostoru dimenze n lze vyjádřit jako složení nejvýše n + 1 šikmých souměrností.
Šikmá souměrnost je tedy o něco „základnější" ekviafinita než oblíbená elace.
(2) Skládáním základních transformací, které mají stejnou nadosu, musí být zase základní transformace s toutéž nadosou. Speciálně, složením transformací s nevlastní nadosou (posunutí, stejnolehlost) dostáváme transformaci se stejnou vlastností. Jinými slovy, posunutí a stejnolehlost (a její speciální, příp. degenerované podoby) jsou jediné transformace, které mají všechny
120
IV   Geometrická zobrazení
směry samodružné, a jejich skládáním nemůžeme dostat nic typově jiného. Triviálním poznatkem tohoto druhu je:
• Složením posunutí o vektor u a posunutí o vektor v je posunutí o vektor u + v. Méně triviální poznatek je zformulován v následující větě:
Věta (o skládání stejnolehlostí). V libovolném eukleidovském prostoru uvažujme stejnolehlosti hi se středy Si a koeficienty ki (i — 1,2); složené zobrazení h2 o h\ označíme h.
(a) Pokud kik2 — 1 a Si — S2, potom je h identita.
(b) Pokud k\k2 — 1 a S\ ^ S2, potom je h posunutí o vektor v — (1 — k2)S\S2.
(c) V ostatních případech je h stejnolehlost s koeficientem k — k\k2 a středem
S   — Sl +--;——SlS2.
1 - kxk2
Konstrukční zdůvodnění téměř celé věty v eukleidovské rovině známe z kurzu konstrukční geometrie.7 Všechno najednou a úplně obecně dokážeme z explicitního vyjádření složeného zobrazení pomocí (13.5).
Důkaz. Stejnolehlost h\, resp. h2 je určena předpisem h\(X) — k\X + (1 — ki)Si, resp. h2(X) — k2X + (1 — k2)S2. Složené zobrazení h — h2o h\ je tedy určeno předpisem
h(X) = h2 (kxX + (1 - k^Si) = ... = k2kxX + k2(l - kijS! + (1 - k2)S2.
Odtud postupně vyvozujeme:
(a) Pokud je k\k2 — 1 a 5i — S2, potom po dosazení dostáváme
h(X) =X + 0,
což jsou transformační rovnice identického zobrazení.
(b) Pokud je kik2 — 1 a 5i ^ S2, potom po dosazení a úpravě dostáváme
h(X)=X+(l-k2)(S2-S1), což jsou transformační rovnice posunutí o vektor v — (1 — k2)S\S2.
(c) V ostatních případech je h obecná stejnolehlost s koeficientem k — k\k2. Pokud S značí střed stejnolehlosti h, pak její transformační rovnice jsou h(X) — kX + (1 — k)S. Porovnáním s předchozím vyjádřením h dostáváme
a_k2(l-k1)a Ml-k2
což je ekvivalentní s vyjádřením ve větě. □
Všechny stejnolehlosti, posunutí a identické zobrazení tvoří grupu, které se říká Mongeova grupa. Bezprostředním důsledkem předchozí věty je tzv. Mongeova věta (o středech stejnolehlostí tří kružnic v rovině)...
7Podstatná část tvrzení (3) tkví v tom, že střed S leží na přímce SiS2-
16   Další klasifikace a poznámky
121
15.4 Cvičení
d
(1) Pro každou transformaci ze cvičení 13.6 rozhodněte, zda je nebo není základní; pokud je, tak ji pojmenujte.
(2) Udejte příklad transformace v rovině (včetně analytického vyjádření), která má vlastní osu, nevlastní střed a modul — 1.
(3) Transformace eukleidovské roviny je dána analytickým vyjádřením:
f{x1,x2) = (x2 + 4, -xi). Dokažte, že / je shodnost a vyjádřete / jako složení osových souměrností.
(4) Jsou dány dvě transformace v rovině:
/i — stejnolehlost se středem Si — [2,1] a koeficientem ki — 2, f2 — stejnolehlost se středem S2 — [4, —1] a koeficientem k2 — |.
Určete druh a určující prvky transformace f2 o flt resp. fi o f2.
16   Další klasifikace a poznámky
V této části doplníme ještě několik postřehů k jednotlivým typům transformací, zejména ke shodnostem a podobnostem.
16.1 Shodnosti
Již od útlého mládí známe všechny shodnosti v rovině a navíc je umíme pojmenovat. V tomto odstavci nabízíme zdůvodnění, proč jich není víc, představíme jejich klasifikaci pomocí samod-ružných prvků a současně řekneme něco o jejich analytickém vyjádření. Poté naznačíme, jak to vypadá se shodnostmi v obecném eukleidovském prostoru.
Klasifikace shodností v rovině
V rovině rozlišujeme následující druhy shodností:
(1) identita,
(2) posunutí,
(3) otáčení,
(3') středová souměrnost,
(4) osová souměrnost,
(5) posunutá souměrnost.
122
IV   Geometrická zobrazení
Obrázek 16.14: [Mar] Posunutá souměrnost.
Středová souměrnost je otáčení o přímý úhel, proto ji podřazujeme obecnému otáčení. První tři transformace jsou přímé, poslední dvě nepřímé. Při prvním pokusu o vyjmenování všech shodností v rovině se obvykle zapomíná na posunutou souměrnost, což je složenina osové souměrnosti a posunutí (ve směru osy).
Skládáním shodností můžeme dostat zase jenom shodnost — skládáním všech možných dvojic výše vyjmenovaných shodností lze ukázat, že tento výčet je úplný. <gí)
Alternativní zdůvodnění téhož plyne z faktu, že každá shodnost v rovině je jednoznačně určena (shodným) obrazem a'b'c nějakého trojúhelníku abc. Postupně můžeme uvažovat všechny typově různé (shodné) obrazy úsečky ab, obraz bodu c je pak určen dvojznačně s tím, že jedna možnost odpovídá přímé shodnosti, druhá nepřímé. Tímto způsobem umíme vyčerpat všechny druhy shodností z výše uvedeného seznamu, viz obr. 16.15.
Obrázek 16.15: Přehled shodností v rovině pomocí obrazů trojúhelníku: (a) a'b' — ab, (b) a' = a a b' + b, (c) a' ^ a a b' + b, (ci) a^b' = JÉ, (c2) a^b' = bÁ.
Klasifikace podle samodružných prvků
Při předchozím důkladném rozboru jsme si mohli povšimnout, že všechny typy shodností lze jednoznačně identifikovat podle samodružných prvků. Tento postřeh představuje možný návod k rozpoznávání shodností, a to zejména v případech, kdy jsou tyto dány transformačními rovnicemi. Přehledné shrnutí je v tab. 16.3.
16   Další klasifikace a poznámky
123
ľN.      Samo družné 1 . směry BSamodrnžné^s,^ I body \-	Žádný	Právě dva na sebe kolmě	Každý
Žádný		Posunutá souměrnost	Posunuti
Právě jeden	x, = f cosa -sina \^ P i sina cosa ) a*ku,    k celé' Rotace o úhel <x se středem v počátku-		Středová souměrnost podle počátku
Vyplní přímku		Souměrnost podle osy x	
Každý _-		• /	Xř- X P Identita
Tabulka 16.3: [ŘÍ2] Klasifikace shodností v rovině podle samodružných prvků.
Analytické vyjádření, určující prvky a kanonický tvar
V tabulce 16.3 je o něco víc informací, než jsme zatím diskutovali. Obsahuje také transformační rovnice v tzv. kanonickém tvaru, což jsou nejjednodušší možná analytická vyjádření vzhledem k obzvlášť vhodně zvoleným souřadným soustavám. Takové volby úzce souvisí s určujícími prvky toho kterého zobrazení, a ty jsou následující:
(1) k identitě není co dodat,
(2) posunutí je určeno vektorem,
(3) otáčení je určeno středem a úhlem,
(3') středová souměrnost je určena středem,
(4) osová souměrnost je určena osou,
(5) posunutá souměrnost je určena osou a vektorem posunutí.
Vhodných souřadných soustav lze vždy najít více (nikoli však libovolně mnoho). Návod k určení takové soustavy tkví v porozumění pojmu matice zastupujícího lineárního zobrazení, viz odst. 13.3. Na základě předchozího přehledu určujících prvků by mělo být snadným cvičením zvolit souřadnou soustavu pro každou shodnost tak, aby transformační rovnice byly v kanonickém tvaru.
124
IV   Geometrická zobrazení
Analytické vyjádření shodnosti vzhledem k obecné kartézské souřadné soustavě není o moc komplikovanější než výše uvedené. Podmínka
DT D = E
z druhé věty v odst. 13.4 je natolik omezující, že matice D může být pouze dvojího typu, a to
buď   D+=(COSa   ~SÍnaV   nebo   D   = (C°Sa    SÍna V (16.13) ysm a    cos a J \sm a   — cos a J
kde a G M a znaménka zřejmě rozlišují shodnost přímou a nepřímou. Názornou interpretaci parametru a najdete na obr. 16.16.
Obrázek 16.16: Přímý a nepřímý obraz ortonormální báze podle (16.13).
Z uvedeného by mělo být zřejmé, že pro jakoukoli shodnost v rovině je velmi snadné určit její (Eř> transformační rovnice, viz cvičení 16.4.
Shodnosti v prostoru
Shodností v prostoru je o něco víc než v rovině, jejich klasifikace se však velmi rychle redukuje na předchozí klasifikaci v rovině. Stačí si všimnout, že:
• Každá shodnost v trojrozměrném prostoru má aspoň jeden samodružný směr.
(To je důsledkem druhé části věty 14.2 na str. 111.) Kolmý doplněk k tomuto směru má dimenzi 2 a je to nutně samodružný podprostor (viz čtvrtou část věty 14.2 na str. 112). Zúžení shodnosti na tento podprostor je opět shodností, takže to musí být některá z výše diskutovaných shodností v dimenzi 2. Klasifikace shodností v prostoru je tedy odvozena z předchozí klasifikace v rovině — úplný výčet je následující:
(1) identita,
(2) posunutí,
(3) otáčení,
(3') osová souměrnost,
(4) posunuté otáčení,
(4') posunutá osová souměrnost,
(5) souměrnost podle roviny (zrcadlení),
16   Další klasifikace a poznámky
125
(6) posunuté zrcadlení,
(7) otočené zrcadlení,
(7') středová souměrnost.
Prominentní postavení základní shodnosti v prostoru zaujímá souměrnost podle roviny neboli zrcadlení. Osová souměrnost v prostoru je přímá transformace, jakožto speciální případ otáčení kolem přímky. Středová souměrnost v prostoru je transformace nepřímá, zde chápaná jako speciální případ otočeného zrcadlení, což je složenina otočení a zrcadlení podle roviny kolmé k ose otáčení...
Stejně jako v rovině platí, že všechny druhy shodností v prostoru je možné charakterizovat podle jejich samodružných prvků — přehled je uveden v tab. 16.4.
Transformační rovnice v této tabulce jsou opět v tzv. kanonickém tvaru. Shodnost v prostoru má aspoň jeden samodružný směr, který je generován vektorem odpovídajícím charakteristickému číslu ±1. Bereme-li takový vektor jako první a doplníme k němu další vektory do ortonormální báze celého prostoru, pak matice indukovaného lineárního zobrazení ke každé shodnosti vzhledem k takto vybrané bázi bude mít některý z následujících tvarů:
kde bloky D± jsou právě matice (16.13). (Aby to bylo zajímavější, v tabulce 16.4 vystupuje D+ pod pseudonymem BQ.)
Shodnosti obecně
Obecné závěry v eukleidovském prostoru obecné dimenze se dají vytušit z předchozí zkratky v dimenzi 3 a cvičení 16.4(2):
Charakteristický polynom může mít za reálné kořeny jedině ±1 a komplexní kořeny jsou vždy v (komplexně sdružených) párech. Každý polynom má nad komplexními čísly právě tolik kořenů (včetně násobností), jaký je jeho stupeň, tzn. jaká je dimenze okolního prostoru. Reálným kořenům odpovídají reálné charakteristické vektory, které určují samodružné směry shodnosti. Komplexně sdruženým kořenům odpovídají dvojrozměrné samodružné podprostory takové, že zúžení na tyto podprostory je právě otáčení o úhel rovný argumentu odpovídajícího komplexního charakteristického čísla.
Na první pohled není zcela jasné, jakou roli hrají vyšší algebraické násobnosti kořenů, což na tomto místě nehodláme rozklíčovat. Bez dalšího zdůvodňování uvádíme následující charakterizaci, viz [Zl]:
Věta. Zobrazení f : £ —>• £ je shodnost právě tehdy, když platí, že zaměření je pnmým součtem navzájem kolmých jedno- a dvourozměrných invariantních podprostorů takových, že zúžení"/" na kterýkoli jednorozměrný podprostor je ± id a zúžení na kterýkoli dvourozměrný podprostor je otáčení o úhel rovný argumentu odpovídajícího komplexního charakteristického čísla.
Libovolnou shodnost lze tedy ve vhodné souřadné soustavě vyjádřit maticí, která má na hlavní diagonále právě čísla ±1 nebo bloky D± a jinak samé 0... <gj)
126
IV   Geometrická zobrazení
právžjeden
alespoň dva různé ale ne každý
každý
žádný
	
x +	0
	
	'1	0			
X'=	0.	1	0	x +	d
	v°	0	-h		
a *■ ht, k celé, c& 0
Přemístění po šroubovici s osou X\
(c, d) * (0,0) Posunuté zrcadlení
se samodružnou rovinou p^^O
'1 0			
0 -1	0	x +	0
<° 0	-i		
X1-
c*0
Posunutá osová souměrnost se samodružnou přímkou xi
X' = X + C C * O Posunutí
právě jeden
a í* Ajt, A celé Otočené zrcadlení složené z otočení kolem osy Xi o úhel a a souměrnosti podle roviny p h xi = 0
Středová souměrnost se
, středem v počátku
vyplní přímku
r-l1-.--*!*
q B a^far, ä- celé Otočení kolem osy X]
o úhel a
X'=
'l 0 o" 0-10
V
o o
Souměrnost podle osy x\
-r------i
vyplní rovinu
N
X'=
'10    0 ^ 0 1 o v° o -1 ,
X
Souměrnost podle roviny p gy3=0
každý
X' = X Identita
Tabulka 16.4: [Ří2] Klasifikace shodností v prostoru podle samodružných prvků.
16   Další klasifikace a poznámky
127
16.2 Podobnosti
V tomto odstavci doplníme několik typických poznámek k podobnostem, které by bylo škoda opomenout.
Rozklady podobností
Pokud obecnou podobnost / : £ —>• £ s koeficientem k složíme s nějakou stejnolehlostí h : £ —>• £ s koeficientem i, pak výsledná transformace g :— h o / je zřejmě shodná. Protože každá stejnolehlost je invertibilní, platí / — h^1 o g. Protože inverzní transformace ke stejnolehlosti je opět stejnolehlost, právě jsme zdůvodnili následující tvrzení:
Věta. Každou podobnost lze vyjádřit (mnoha různými způsoby) jako složení shodnosti a stejnolehlosti.
Ve čtvrté větě v odst. 14.2 jsme dokázali, že každá podobnost, která není shodností, má právě jeden vlastní samodružný bod. Tento bod může hrát docela zajímavou roli při rozkladech zmiňovaných v předchozí větě:
Uvažme podobnost / s koeficientem k a samodružným bodem S. Chceme vyjádřit / jako složení nějaké shodnosti g a stejnolehlosti h tak, aby platilo např. f — ho g. To lze samozřejmě realizovat tisícerým způsobem, ale pokud zvolíme střed stejnolehlosti h právě ve význačném bodě S, pak nutně musí být S také pevným bodem shodnosti g. Pro tento specificky zvolený rozklad navíc platí, že je jedno, v jakém pořadí stejnolehlost a shodnost skládáme, což rozhodně nemůžeme tvrdit obecně! Jinými slovy, pro takto (a právě takto) zvolený rozklad platí: <@j)
/ = /io g = go h.
Klasifikace podobností
Odtud také plyne, že klasifikace podobností v libovolném eukleidovském prostoru se omezuje pouze na kompozice stejnolehlosti a shodnosti s nějakým pevným bodem. Např. v rovině tak dostáváme pouze tři typy podobností:
(1) stejnolehlost,
(2) stejnolehlost složená s otáčením (kolem středu stejnolehlosti),
(3) stejnolehlost složená s osovou souměrností (jejíž osa prochází středem stejnolehlosti).
Bez ohledu na znaménko koeficientu stejnolehlosti platí, že první dva případy představují přímé podobnosti, třetí je nepřímá.
16.3 Afinity
Většinu afinit nemáme vůbec pojmenovánu. Přitom všechny, které pojmenovány máme, jsme zmínili mnohem dříve. Pro zajímavost a porovnání přikládáme přehled všech afinit v rovině podle jejich samodružných prvků, viz tab. 16.5. Seznam je pořád relativně malý a jen mírně rozšiřuje/zobecňuje klasifikaci shodností, která je v tab. 16.3. Všimněte si zejména míst, která byla v přehledu shodností prázdná. <gj)
Transformační rovnice v tabulce jsou opět v tzv. kanonickém tvaru, tj. vzhledem k velmi vhodně zvolené afinní (ne nutně kartézské) souřadné soustavě...
128
IV   Geometrická zobrazení
	/..nli i v i.IíílI ■ i ■■ n	:■ r. i i.ili i !i Jdn-adv J í ■ í smrť	:■ Il—.j^■ ■ m dh ;i ni/iiť smŕtr ale ne Laldý	i antú družný
Ž,ädov f •umcrdmänv bod		i r    ■.- n	2 x'* x 4- p v'- rfv	3 .r * v'» P + i
		b ŕO	jiřO,i/íO,iíitl_	(0,0)
::  !■■ >.  |. >ll li -.111 "ill  LŽI ■■ bod	4 j h" íjjr + by u'- -ŕl* 1 ÍÍV	5 V '" av	6 ľ' íí':	7 J ■ ii r V'* uť
			,.■,/■■::.,,■ i*if ,/ i 1	a pi.0, ď ŕ 1
IihlhúikUoLJ *Sŕŕfl ^.iii.-i-.I i ■!/ n.--. h bodů Je peiraki		S i'« j; + V - ť	9 i ■' iiv	
káŕdý had .........h .iŕi:;				10
]. Afinita tlůžená z tlače a translace
1. Afinita Jlaiená z osové afinity a translace
3. Tramlace
4. Afinita tloíenä z ratacea stejníiiehlnsti
5. Afinita iloiená z elace a stejnolehlosti
6. Afinita ilúÄná z osové afinity a stejnolehlosti
7. Stejnolehlost S. Elace
9. Osová afinita ] n. identita
Tabulka 16.5: [Ŕí2] Klasifikace afinit v rovině.
16.4 Cvičení
(1) Pojmenujte všechny dosud nepojmenované shodnosti z předchozích cvičení.
(2) Odvoďte charakterizaci (16.13) přímým výpočtem. Vyjádřete charakteristická čísla a charakteristické vektory transformací určených těmito maticemi a porovnejte výsledek s obr. 16.16.
(3) V eukleidovské rovině určete transformační rovnice
• otáčení kolem bodu S — [0,2] o úhel a — +60°,
• osové souměrnosti podle přímky určené rovnicí 2x — y — 2.
• posunuté souměrnosti určené osou y — x + 1 a vektorem v — (—1,1).
(4) Všechny podobnosti z předchozích cvičení vyjádřete jako složení shodnosti a stejnolehlosti.
(5) Řešte tutéž úlohu tak, aby rozklad nezávisel na pořadí dílčích transformací.
(6) Podle tab. 16.5 klasifikujte všechny afinity z předchozích cvičení.
KAPITOLA V
Dodatky
17 Pseudo-eukleidovské prostory
pseudo-skalární součin, pseudo-shodnosti apod., ...
18 Další geometrická zobrazení
konformní a kontaktní zobrazení, nějaká katrografická zobrazení
-!50-120*-90"-SO'-SO*  0°   30° 60' 90* 120' 150" 180*
19   Kuželosečky a kvadriky
přehled metrické/afinní/projektivní klasifikace,
130
V Dodatky
20 Kleinova geometrie přímek
prostor přímek, průnik a vzdálenost přímek, průnik přímky s rovinou, ...
21 Lieova geometrie kružnic
prostor kružnic, dotyk a úhel průniku kružnic, Apollóniovy úlohy, cyklografie, ...
řig. IS. Flf. Jí,
22   Grupové akce
22.1   Působení grupy na množině
Všechny bijektivní transformace na (jakékoli) množině X tvoří grupu (s operací skládání zobrazení), kterou značíme Sx-1 Grupa Sx, stejně jako jakákoli její podgrupa G C Sx, přirozeně působí na množině X; jedná se o nejjednodušší příklady akce grupy na množině. Např. grupa symetrií krychle působí na vrcholech krychle jakožto podgrupa S$, grupa lineárních izomorfismů vektorového prostoru V je podgrupou Sy apod.
Obecnou akcí grupy G na množině X se myslí přiřazení, kdy každému prvku grupy G odpovídá nějaká bijekce na množině X tak, že násobení v G korepsonduje se skládáním odpovídajících bijekcí. Stručněji můžeme říct, že
Definice. Akce grupy G na množině X je grupový homomorfizmus <f> : G —>• Sx-
Akci (nebo působení) konkrétního prvku g G G na X, obvykle zapisujeme jako x i->- g(x) místo správnějšího x i->- <f>(g)(x).
1 Pokud je množina X konečná a má n prvků, místo S x zpravidla píšeme Sn a mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací.
23   Frízové a tapetové vzory
131
22.2 Další příklady
d
(1) Přirozená akce GL{V) (— grupa lineárních izomorfismů vektorového prostoru V) na V indukuje také akci na množině všech /j-rozměrných podprostorů ve V.
(2) Grupa 0(n + 1) (— grupa shodností eukleidovského prostoru M™+1) působí na sféře Sn c Rn+1, a to zúžením přirozené akce na Rn+1.
(3) R* (— R \ {0} s operací násobení) působí na libovolném reálném vektorovém prostoru V takto: r(v) — rv.
(4) V (vektorový prostor jakožto komutativní grupa) působí na každém afinním prostoru A se zaměřením A — V takto: v(A) — A + v.
(5) Libovolná grupa G působí sama na sobě, a to buď zprava g (ti) — hg, nebo zleva g(h) — gh.
(6) Sx působí na množině všech zobrazení X do Y takto: g(f) — f o g.
22.3 Orbity, tranzitivní a efektivní akce
Orbita prvku x e X vzhledem k akci grupy G na X je podmnožina
G(x) = {g(x) \geG}<ZX.
Dvě různé orbity se nikdy neprotínají a sjednocení všech orbit je celá množina X. Akce grupy na množině tedy definuje relaci ekvivalence, jejíž třídy rozkladu jsou právě orbity akce. Např. akce grupy symetrií krychle na množině jejích vrcholů má jedinou orbitu (každý vrchol krychle lze zobrazit na kterýkoli jiný), akce GL(V) na V má dvě orbity (jednoprvková orbita {o} a komplementární podmnožina V \ {o}) apod.
Akce G na X je tranzitivní, pokud má jedinou orbitu. Jinými slovy, jeden vybraný (ekvivalentně, každý) prvek z X lze zobrazit na kterýkoli jiný působením nějakého prvku z G. Množina X s tranzitivní akcí grupy G se jmenuje homogenní prostor grupy G. Každá orbita je tedy homogenním prostorem.
Akce je efektivní (nebo věrná), pokud jediný prvek z G, který působí jako identita na X, je neutrální prvek grupy G. Ekvivalentně, odpovídající homomorfizmus <j> : G —>• Sx je injektivní.
Rozhodněte, zda výše zmiňované akce jsou efektivní a tranzitivní; pokud nejsou tranzitivní, <gj) určete jejich orbity.
23   Frízové a tapetové vzory
Specifickým příkladem grupové akce je akce grupy symetrií nějaké podmnožiny v eukleidovském prostoru: Symetrie podmnožiny X C Rn je shodnost v Rn, která zobrazuje X na sebe. Všechny symetrie X (s operací skládání) tvoří grupu, která může mít různé vlastnosti podle typu podmnožiny X.
Frízové a tapetové vzory v M2 lze celkem jednoduše charakterizovat podle odpovídajících grup symetrií, které jsou sice nekonečné, ale diskrétní. Grupa symetrií frízového, resp. tapetového vzoru se nazývá frízová, resp. tapetová grupa. (Často se také mluví o jedno- a dvourozměrných krystalografických grupách, což naznačuje, že toto téma má přirozené vícerozměrné analogie.) Srozumitelný úvod do problematiky najdou zájemci např. v [Po].
132
V Dodatky
Věta. Až na izomorfismus existuje právě 7 frízových a právě 17 tapetových grup.
U/    \V    *Xr    A,     sl^     .L sL
s*   s> ^  ^   ^ ^
^ ^ ^ ^
Obrázek 23.1: Sedm frízových vzorů s různými grupami symetrií.
24   Třetí Hilbertův problém
Tady doplňujeme diskuzi, kterou jsme vyprovokovali za větou 12.4 na str. 96, jež popisuje objem /j-rozměrného simplexu jako -g objemu jím určeného rovnoběžnostěnu. Připomínáme, jak klasikové nahlížejí tento problém pro k — 2 a 3; veškeré nespecifikované citace jsou z [Eu]:
k — 2: Jinými slovy můžeme říct, že úhlopříčka v rovnoběžníku jej rozděluje na dva trojúhelníky se stejným obsahem. To je přesně obsahem tvrzení 1.41, jež odkazuje na 1.37. Těmto tvrzením perfektně rozumíme z kurzu konstrukční geometrie, a to s pouhým pravítkem, kružítkem a nůžkami v ruce!
k — 3: V tomto případě stačí ukázat, že trojboký (obecně šikmý) hranol lze rozdělit na tři čtyřstěny se stejným objemem, což je právě tvrzení XII.7, viz obr. 24.2. Toto tvrzení se odkazuje na větu XII.5, jejíž zdůvodnění je však překvapivě mnohem komplikovanější než analogický výsledek v dimenzi 2.
Věta XII.5 je dokázána Eudoxovou exhaustivní metodou, což je technicky poměrně komplikovaná procedura, která je v podstatě ekvivalentní s infinitezimálními úvahami, jak je známe z matematické analýzy. Přirozenou otázkou je, zda to nejde udělat lépe. Právě tato pozorování jsou prazdrojem velice zajímavého Hilbertova problému č. 3: 2
http: //cs. wikipedia. org/wiki/Hilbertovy_probl'/,C3'/,A9my
24   Třetí Hilbertův problém
133
Obrázek 24.2: [Ha] Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu opsaného hranolu.
• Platí pro libovolné dva mnohostěny se stejným objemem, že jeden lze rozstříhat na konečný počet menších mnohostěnů, z nichž lze složit ten druhý?
Odpověď (z roku 1900) je záporná:
• Mnohostěny, pro které je toto možné, musí mít stejný tzv. Dehnův invariant.
Řešení je veskrze algebraické; celou zápletku i s rozumnými podrobnostmi lze najít např. v [Ha, podkap. 27].
134 V Dodatky
Návody a řešení
Kapitola II
4.4, str. 18 — Cvičení
(3) Všechna řešení uvedené rovnice jsou {c\e2x cosx + C2e2x s'mx + 2 \ c\,C2 G R}. 6.2, str. 30 — Zdůvodnění věty
(1) t a ~Z jsou komplementární, pokud — {o}. Z první rovnosti plyne, že každý vektor patří do + ŕ , tudíž podprostory se protínají. Z druhé rovnosti plyne dim(^ n ~Č) — dim(£> n C) — 0, tudíž průnikem je bod.
(2) Jistě je dim£> a dimC > 1, jinak by B a C byly rovnoběžné.
Z mimoběžnosti také plyne B n C = 0, což podle předchozí věty a rovnosti (4.2) znamená, že dim(£> + C) — dim(É + C) + 1. Dále zřejmě platí dim 3 > dim(£> + C). Podle (6.8) můžeme psát:
dim 3 > dim(S + é) = dim(^ + ~Č) + 1 — dim ~Š + dim 1? - dim(^ n "?) + 1.
Z mimoběžnosti dále plyne, že nem roven ani ~Š ani     (jinak by B a C byly rovnoběžné),
tzn. jak dim B, tak dim C je > dim Jinými slovy jak rozdíl dim tak
rozdíl dim ^ - dim(^ n ^) je > 1. Dosazením do pravé strany v předchozím výrazu vidíme, že platí jak dim .4 > dim S + 2, tak dim .4 > dim C + 2.
(3) Protože C je nadrovina a B je s ní různoběžný podprostor, platí B + C — A. Odtud také plyne dim(^ + ~Č) — dim A Podle (6.8) můžeme psát:
dim(^ n "čf) — dim ~É + dim "č? — dim(^ + ~C~) — dim ~É + dim 3 — 1 — dim 3 — dim ~É — 1, což se mělo dokázat. □
136
Návody
Obrázek 24.3: [Ma] Příčky ke dvěma mimoběžkám, jež jsou rovnoběžné s danou rovinou, tvoří tzv. parabolický hyperboloid.
6.5, str. 34 — Cvičení
(4) viz obr. 24.3.
7.5, str. 44 — Cvičení
(6) viz obr. 24.4:
Xl + x2+x3+x4     2^±3^ + 2^a
8.6, str. 59 — Dvojpoměr pro malíře
Jsou-li a, b, c, d kolineární body takové, že ab — bÓ — cd, pak jejich dvojpoměr podle (8.25) vychází
2   2 4 (abcd) = \. §4
Kapitola III
10.1, str. 74 — Zdůvodnění věty
Místo píšeme U C V.
• U1- je vektorový podprostor (plyne z definicí a bilinearity skalárního součinu):
xjel/1 => x.u = 0   a   y.u — 0 (pro lib. u e U) => (ax+6y).u — 0 => ax+6y e t/-1.
a řešení
137
x2 +x3
Obrázek 24.4: [Be] Konstrukce bodu \(x\ + x2 + x3 + x4)
• U n U1- — {o} (plyne z pozitivní defmitnosti skalárního součinu):
u e U   a   u e U± => u _L u => u — o.
• U + U1- — V (plyne z dennice a věty o součtu a průniku vektorových podprostorů):
Je-li dim U — k, dim V — n a Ui,..., je nějaká báze U, pak U1- je určeno soustavou k (nezávislých) rovnic v n neznámých:
U1- = {x e V | x. ui = 0,..., x . ufc = 0}.
Proto je dim U1- — n — k. Navíc platí
dim(í/ + U^) = dim U + dim U1- - dini(£7 n U^) = k + n-k-0 = n. Protože n — dim V, musí být U + U1- — V. □
10.2, str. 75 — Podivné vlastnosti kolmosti
Uvažme 4-rozměrný eukleidovský prostor £ a nějakou kolmou bázi (ei, e2, e3, 64) zaměření ~Ě. Stačí zvolit např. podprostory B,C C T C £, jejichž zaměření jsou ~É — (ei,e2), ~Č — (ei,e3) a 7 = (ei,e2,e3).
V eukleidovském prostoru     platí ~É   — (e3) c (e1; e3) =     tedy S a C jsou kolmé v T.
Avšak v eukleidovském prostoru 7 pozorujeme: ~Š — (e3,e4), což v žádném případě neobsahuje, ani není obsaženo v (ei, e3) — C , tedy B a C nejsou kolmé v f.
138 Návody
Literatura
[Ar]       B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999
[Be]       M. Berger, Geometry I, II, Springer, 1987
[Co]       H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1989
[Dv]      T. Dvořáková, Přínos Jánoše Bolyaie k základům neeuklidovské geometrie, UK Praha, 2012
[El]       J. Elbelová, Vektorové metody v euklidovské geometrii, MU Brno, 2011, http://is.muni.cz/th/13813/prif_d/dizerJE.pdf
[Eu]       Eukleides, Základy, Alexandrie, —300
(pro specifická vydání viz [Eui, Eu2, Eu3] níže)
[Ha]       R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000
[Ha2]     R. Hartshorne, Teaching geometry according to Euclid, Notices of AMS, 2000, http://www.ams.org/notices/200004/fea-hartshorne.pdf
[Hi]       D. Hilbert, The Foundations of Geometry, 1902,
http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf
[HiCV] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the imagination, Chelsea, 1999
[HoJa] P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, Brno, 1997
[Ku] F. Kuřina, Deset geometrických transformací, Prometheus, 2002
[LiSch] S. Lie, G. Scheffers, Geometrie der berůhrungstransformationen, Teubner, 1896
[Ma] F. Machala, Plochy technické praxe, Olomouc, 1986
[MaSl] F. Machala, V. Slezák, Geometrie grup kolineací, Olomouc, 2001
[Mar] G.E. Martin, Transformation geometry, Springer, 1982
140
Literatura
[Po]       A. Pokorný, Tapetové vzory a grupy, MU Brno, 2008
http://is.muni.cz/th/106039/pedf_b/tapetove_vzory.pdf
[Rek] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968
[Rí] O. Říha, Konstrukční geometrie I, II, Brno, 2002
[Ří2] O. Říha, Pomocné materiály do geometrie, Brno, 2000
[Sek] M. Sekanina a kol., Geometrie I, II, SPN, 1986
[Se] O. Sekora, Brouk Pytlík, Albatros, 1969
[St] J. Stillwell, The four pillars of Geometry, Springer, 2005
[S] J. Simša, Archimedova statika v geometrii, Brno, 1993
[Zl]        P. Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011,
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf
[Zá]       V. Zádník, Konstrukční geometrie, 2014,
http://is.muni.cz/el/1441/j aro2014/MA2BP_PKG/um/osnova.pdf
*   * *
[Eui]     Euclid's elements, interaktivní edice D. Joyce podle překladu T. Heatha (1908-28), http://alephO.čiarku.edu/~dj oyce/j ava/elements/elements.html
[Eu2]      The elements of Euclid, atraktivní vydání prvních 6 knih od O. Byrneho (1847), http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html
[EU3]     Eukleides, Základy, Knihy I-IV, české vydání prvních 4 knih, jež zpracoval a komentářem opatřil P. Vopěnka podle překladu F. Servíta (1907), O.P.S., 2008
Seznam obrázků
1.1 Eukleidův dodatečný postulát............................. 8
3.2 Hierarchie geometrií.................................. 12
4.1 Kritérium rovnobežnosti přímek............................ 13
4.2 Axiómy obecné afinní struktury............................ 14
4.3 Průnik a součet afinních podprostorů......................... 16
4.4 Charakterizace neprázdného průniku podprostorů.................. 17
4.5 Osová afinita...................................... 19
4.6 Afinní zobrazení indukuje lineární zobrazení mezi zaměřeními............ 19
4.7 Definice afinního zobrazení .............................. 20
4.8 Středové promítání mezi rovinami........................... 21
5.9 Afinní souřadnice.................................... 22
5.10 Přechod mezi dvěma afinními repéry......................... 23
5.11 Dvojí vyjádření téže roviny.............................. 24
5.12 Obecné vyjádření přímky............................... 25
5.13 Podprostor jako průnik nadrovin........................... 26
5.14 Několikeré vyjádření téže přímky........................... 26
5.15 [Rek] Interpretace konstant z různých vyjádření přímky.............. 28
6.16 Vzájemné polohy afinních podprostorů........................ 30
6.17 [LiSch] Ke dvěma mimoběžkám existuje oo2 různých příček............. 33
6.18 [Ma] Krov hradní věže ve Štramberku........................ 34
7.19 Uspořádání bodů na přímce.............................. 36
7.20 Afinní poloprostor................................... 36
7.21 Konvexní množina................................... 37
7.22 Konvexní obal množiny ................................ 37
7.23 Bod X na přímce AB................................. 38
7.24 Nejednoznačnost vyjádření bodu X na přímce ABC................ 39
7.25 Redukční princip.................................... 40
7.26 [Be] Těžiště mnohoúhelníku obecně není totéž co těžiště bodové hmotné soustavy 40
7.27 Rovnoběžník je určen bodem a dvěma vektory.................... 43
7.28 Stopy .......................................... 44
8.29 Středové promítání.................................... 45
142
Seznam obrázků
8.30 Středová projekce je projektivní zobrazení...................... 46
8.31 Projektivní rozšíření afinní přímky má jeden nevlastní bod............. 46
8.32 Na projektivní přímce relaci „mezi" nemáme .................... 47
8.33 Projektivní rozšíření afinnho prostoru ........................ 48
8.34 Homogenní souřadnice................................. 52
8.35 [Be] Ukázka z Lambertovy Perspektivy (1759).................... 54
8.36 Charakterizace projektivního zobrazení........................ 57
8.37 Projektivní zobrazení přímky............................. 57
8.38 Vyjádření nadroviny v projektivním prostoru.................... 59
8.39 [St] Která čtveřice bodů je projektivním obrazem stejně vzdálených bodů? .... 60
8.40 [St] Perspektivní průmět čtvercového dláždění roviny................. 60
8.41 [Be] Porovnání perspektivních průmětů téže roviny................. 60
9.1 Skalární součin..................................... 65
9.2 Kosinová věta...................................... 67
9.3 Obsah rovnoběžníku a determinant.......................... 68
9.4 Vektorový součin.................................... 69
9.5 [Eui] Trojúhelníky jsou shodné, právě když se shodují ve všech stranách...... 69
9.6 [Eui] Trojúhelníky jsou podobné, právě když mají po dvou shodné vnitřní úhly,
což je ekvivalentní s tím, že strany u shodných úhlů jsou úměrné.......... 71
9.7 [Eui] Rovnoběžníky se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah....... 72
10.8 Kolmé podprostory v eukleidovském prostoru.................... 73
10.9 Kolmý průmět vektoru v do podprostoru U...................... 75
lO.lOKolmý průmět vektoru do jednorozměrného podprostoru.............. 76
11.11 Vzdálenost bodu od podprostoru........................... 78
11.12Vzdálenost podprostoru................................ 79
11.13Vzdálenost bodu od nadroviny............................. 81
11.14Vzdálenost bodu od roviny a výška rovnoběžnostěnu................ 82
11.15K definici odchylky................................... 84
11.160dchylka přímek..................................... 84
11.170dchylka přímky a obecného podprostoru....................... 85
11.18 Odchylka přímky a nadroviny............................. 86
11.190dchylka nadrovin.................................... 86
11.20K obecné diskuzi o odchylce............................... 88
12.21K objemu rovnoběžnostěnu................................ 90
12.22Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu .... 91
13.1 [Ku] Základní kolineace v rovině je osová kolineace.................. 100
13.2 [Ku] Základní afinita v rovině je osová afinita..................... 101
13.3 [Eui] Typická ekviafinita je elace............................ 101
13.4 [Se] Základní shodnost je souměrnost podle nadroviny................ 102
13.5 [Be] Základní podobnost je stejnolehlost........................ 102
13.6 Hierarchie geometrických zobrazení.......................... 103
13.7 Stejnolehlost se středem S a koeficientem k = 2................... 108
14.8 Charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům jsou lineárně nezávislé...................................... 113
15.9 Obraz bodu v osové kolineaci............................. 115
15.10Obraz bodu v osové afinitě .............................. 115
15.11Pokud existuje nadosa, potom existuje střed..................... 118
Seznam obrázků 143
15.12Pokud existuje střed, potom existuje nadosa..................... 118
15.13[Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností.   . . . 119
16.14[Mar] Posunutá souměrnost............................... 122
16.15Přehled shodností v rovině pomocí obrazů trojúhelníku............... 122
16.16Přímý a nepřímý obraz ortonormální báze...................... 124
23.1 [www.oswego.edu/~baloglou/103/crystal.htmlJSedmfrizovychvzoru..... 132
24.2 [Ha] Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu opsaného hranolu..... 133
24.3 [Ma] Parabolický hyperboloid............................. 136
24.4 [Be] Konstrukce bodu ^(x-i + x2 + x% + x4)..................... 137
144 Seznam obrázků
Seznam tabulek
13.1 Přehled geometrických zobrazení........................... 104
15.2 Klasifikace základních transformací v rovině..................... 116
16.3 [ŘI2] Klasifikace shodností v rovině podle samodružných prvků........... 123
16.4 [Rí2] Klasifikace shodností v prostoru podle samodružných prvků.......... 126
16.5 [ŘI2] Klasifikace afinit v rovině............................. 128
146
Rejstřík
úhel, 36 úsečka, 35
afinita, 19, 127
ekvi-, 119
nepřímá, 107
osová, 19, 101, 115
přímá, 107 afinní
obal, 17
podprostor, 15
poloprostor, 36
prostor, 14 standardní, 15
repér, 22
souřadnice, 22
zobrazení, 19, 100 Archimédés, 43
bod
nevlastní, 47 samodružný, 110 vlastní, 47 Bolyai, J., 11
Cantor, G., 11 charakteristický
číslo, 110
polynom, 110
vektor, 110
cvičení, 15, 18, 21, 23, 28, 34, 44, 61, 72, 76, 89, 96, 109, 113, 121, 128
Dedekind, R., 8, 11 Dehn, M., 133 Desargues, G., 11, 117
Descartes, R., 10 determinant
Gramův, 92 doplněk, 30
kolmý, 73 dvojpoměr, 52
ekviafinita, 72 elace, 101, 116
projektivní, 115 Eudoxos, 132 Eukleides, 7 Euler, L., 11
Frobenius, F.G., 32
Gauss, C.F., 11
geometrie
absolutní, 9 afinní, 9, 13-45 eukleidovská, 9, 63-97 hierarchie —, 12 neeukleidovské, 9 projektivní, 9, 45-61
Gergonne, J.D., 11
Gram, J.P., 90, 92
grupa
akce, 15, 130 frízová, 131 tapetová, 131 transformační, 10
Hamilton, W.R., 11 Hilbert, D., 8, 132 hyperboloid
eliptický, 35
148
Rejstřík
parabolický, 35
incidence, 8
Jacobi, C.G.J., 95
Klein, F., 10, 11 kolineace, 54
nadosová, 117
osová, 100, 114 kolmý
doplněk, 73
průmět, 74 kolmost, 7, 65, 73-75 Komenský, J.A., 1 konvexní
množina, 37
obal, 37
Lapiace, P.S., 94 Lie, S., 10, 95 Lobačevský, N.I., 11
Möbius, A.F., 11
mimoběžnost, 29
modul
afinní transformace, 107 osové kolineace, 114
Monge, G., 120
nadosa, 117 nadrovina, 15 nerovnost
Cauchyova-Schwartzova, 65
trojúhelníková, 65
obal
afinní, 17
konvexní, 37 objem, 89-97 obsah, 89-97 odchylka, 67, 83-89 orbita, 131 osa, 78, 114
nad-, 117
páka, 38 příčka, 33 Pappos, 11, 55 Pascal, B., 11 Plücker, J., 11
podobné
zobrazení, 102 podobnost, 71, 127 poměr
dělicí, 18
dvoj-, 52
harmonický, 52 Poncelet, V., 11 postulát, 8
posunutí, 15, 108, 115, 120 projektivní
podprostor, 48
prostor, 48
repér, 51
rozšíření, 47, 58
zobrazení, 54, 99 prostor
afinní, 14
eukleidovský, 66
metrický, 64
polo-, 36
projektivní, 48
rovnoběž-
-ky, 13, 18
-nik, 43, 89
-nost, 8, 16, 29, 50, 82
-nostěn, 89
Schmidt, E., 90
shodnost, 8, 63, 69, 121-125
simplex, 37, 96
součet, 16, 49
součin
skalární, 65
vektorový, 94
vnější, 68
vnitřní, 65 souřadnice
afinní, 22
barycentrické, 41
homogenní, 51
kartézské, 105 souměrnost
šikmá, 116, 119
harmonická, 116
osová, 102, 116
posunutá, 122
středová, 108
Rejstřík
149
spojitost, 8 střed, 114, 116 Staudt, K. von, 55 Steiner, J., 11
stejnolehlost, 102, 108, 115, 120
těžiště, 38, 41 trúba
štramberská, 34 transformace, 110-128
základní, 113-121
uspořádání, 8, 35 věta
kosinová, 66
o existenci a poloze těžiště, 41 o Gramově determinantu, 92 o nadose a středu, 117 o odchylce podprostorů, 84, 87 o samodružných bodech, 111-113 o skládání transformací, 119, 120 o určenosti zobrazení, 20, 56 o vektorovém součinu, 94 o vnějším součinu, 93 o vzájemných polohách podprostorů, 32, 50, 82
o vzdálenosti podprostorů, 78, 96
o zachovávání dvojpoměru, 55
základní, 21, 55 velikost
úhlu, 66
úsečky, 66
vektoru, 65 vyjádření podprostorů
neparametrické, rovnicové, 25
parametrické, 24 vzdálenost, 77-82, 96
Weyl, H., 11
Základy, 7-8 zaměření, 14 zobrazení
afinní, 19, 100
ekviafinní, 71, 72, 101
podobné, 71, 102
projektivní, 54, 99
shodné, 69, 70, 101