34
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
5. Okruh celých čísel
5.1. Definice. Nechť Q = (G,-), H = (H,-) jsou grupoidy. Řekneme, že grupoid Q lze vnořit do grupoidu Ti, jestliže existuje vnoření (tj. injektivní homo-morfismus) / grupoidu Q do grupoidu ri.
Vyřešíme nyní otázku, kdy komutativní grupoid lze vnořit do nějaké grupy. (Nekomutativní případ přesahuje rámec tohoto textu.)
5.2. Věta. Nechť Q = (G, •) je komutativní grupoid. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(a) Grupoid Q je asociativní a piati v něm zákon o krácení.
(b) Grupoid Q lze vnořit do nějaké grupy.
Důkaz. Nejdříve ukážeme implikaci „(b)=^(a)". Nechť tedy existuje grupa %'« (if,•) a vnoření / grupoidu Q do grupoidu fi. Pak pro libovolná a,6,c G G můžeme psát: /(o-(b-c)) = f(a)-f{b-c) = f (a)-(f (b)-f (c)) = (f (a) ■ f (b))-f (c) = = f (a-b)- f (c) ň f ((a-b)-c) a z injektivnosti zobrazení / plyne a-{b-c) = (a-b)-c. Grupoid Q je tudíž asociativní. Nechť dále platí a ■ c = b ■ c. Pak f (a) ■ f (c) = = f (a • c) — f (b - c) — /(6) ■ /(c) a jelikož v grupě platí zákon o krácení, dostávame f {a) = f (b), z čehož plyne a — b. Platí výrok (a).
Nyní dokazujeme implikaci „(a) (b)". Předpokládejme tedy, že grupoid Q je asociativní a platí v něm zákon o krácení. Prvek a — [a,b ] £ G x G nazveme zlomkem grupoidu Q a na množině G x G všech zlomků grupoidu 5 definujeme relaci ~ následující podmínkou: pro a = [ a, !)]eGxGa/3 = [c, d] e G x G položme a ~ p, jestliže a - d = bc.
Snadno se nahlédne, že relace ~ je reflexivní a symetrická. Sami si dokažte, že její tranzitivnost plyne zezákona o krácení. Zlomky a,/3 6 G x G, a ~ p" nazývame ekvivalentní. Rozklad na G x G příslušný relaci ~ označme T. Prvek z T je pak třída ekvivalentních zlomků grupoidu Q.
Na množině T budeme definovat operaci o . Pro A.BeT nechť a = [a, b ] € A, f3 - [crd ] e B & nechť G e T je třída určená podmínkou [a-C,b á J € ú. Jestliže cti = [ai,h ] 6 A, fa = [cudi ] G B, pak dŕ ~ a{, \$ <* p\, tudíž a ■ fcj = ai • 6, c-di = Ci -d. Odtud plyne a-c-ôi-efi = ai Ci -bd, tedy [a-c, 6-d] ~ [ai -ci.fci -<ii ], tudíž [ oi ■ ci, h ■ di } £ G. Třída C nezávisí na volbě reprezentantů a, /3 tříd A,B, a je tedy jednoznačně určena třídami A, B. Můžeme pak položit A o B = C. Tím je definována operace o na množině T.
Snadno se ověří, že (r, o) je komutativní grupa. Jednotkovým prvkem je třída E = {[g,g } \ g e G} a pro Aeľ je A'1 - {[b,a ] \ [a,b ] e A}.
Pro g e G je Ag = {[ g ■ x, x ] | x £ G} prvek grupy (r,-o). Nyní definujme zobrazení tp : G P vztahem ip{g) = Ag pro g e G, o kterém se snadno přesvědčíme, že je vnořením grupoidu Q do grupy (F, o). Pro libovolné g,h 6 G totiž platí [ g ■ g, g ] £ Ag, { h ■ h, h ] 6 Ah, odkud [. (g ■ h) ■ (g '• h), g ■ h } £ Ag o Ah. Současně {{g-h)-{g-h),g-h} £ Ag.h, a tedy AgoAh = Ag.h. Dokázali jsme, žei^je
homomorfismus. Sami si dokažte, opět s využitím zákona o krácení, že zobrazení ij) je prosté.
Věta je dokázána.
5.3. Definice. Grupa (r, o ) konstruovaná v důkazu věty 5.2 se nazývá podílová grupa grupoidu Q. Vnoření ip se nazývá kanonické vnoření grupoidu Q do jeho podílové grupy.
Jelikož není nebezpečí nedorozumění, často označujeme operaci o na T stejným symbolem jako operaci na grupoidu Q. Užíváme-li aditivní zápis operace, mluvíme o rozdílové grupé (místo podílové) a místo názvu zlomek se užívá název rozdíl.
Často se prvek g £ G identifikuje se svým obrazem i/j(<j) = {[g -x,x ] | X £ G}. Pologrupa (G, •) je potom podgrupoid své podílové grupy (r, ■).
5.4. Poznámka. Jestliže pro a — [a,b ], /3 = [c, d] € G x G definujeme a ■ P — [a ■ c,b ■ d }, pak ekvivalence ~ na G x G definovaná v důkazu věty 5.2 je kongruence na grupoidu (G x G, ■) a rozklad P je vytvořující rozklad na tomto grupoidu. Podílová grupa (P, ■) je pak faktorgrupoid grupoidu (G x G, • )•
Všimněme si ještě, že pro [ a, b ] 6 A 6 ľ platí A — yj(a) ■ ij)(b)~L. Mezi grupami, do kterých se dá uvažovaný grupoid vnořit, má podílová grupa význačné postavení charakterizované následující větou.
5.5. Věta. Nechť (V, ■) je podílová grupa asociativního a komutativního grupoidu Q = (G, •), ve kterém platí zákon o krácení. Nechť ip je kanonické vnoření grupoidu Q do grupoidu (P, •) a nechť / je homomorfísmus grupoidu Q do nějaké grupy (Po,-)- existuje právě jeden homomorfísmus f grupy (P, •) do grupy (r0, •) tak, že f ojp z= f. Jestliže f je vnoření, pak f je taktéž vnoření.
Můžeme pak říci, že diagram na obrázku S komutuje.
(IV)
y\
Q i 7
(IV)
Obr. 5.
Důkaz. Ukážeme nejdříve, že pro x,y e G platí f{x)-f(y) = f(y)-f(x) a f(x) ■ ■ /(í/)~\= f{y)~l ■ f{x). Skutečně z x ■ y = y ■ x plyne f {x) ■ f (y) = f {y) ■ f (x)., z čehož dostáváme taktéž /(y)-1 ■ f (x) = f (x) ■ f{y)~l.
Nechť A G P je libovolné. Pro a = [a, b ] 6 A, cni = [<Ji\b\ ] G A máme a ~ a\, tudíž &i ■ a — fli • b, odkud plyne /(č>i) • f (a) — f(ai) ■ f (b), z čehož dostávame
Kap. 5. Okruh celých čísel
35
36
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
f (o) ■ /(i)"1 = /(fci)-1 • í(ai)j= /(oi) • /(Ôi)-1. Hodnota /(a) • f(b)~l závisí jen na třídě A a můžeme položit f (A) - f (a) • /(6)_1. Pak / je zobrazení F do T0.
Buď á,s e r, a = [o,6 ) 6 A, 0 « [cá ] e B. Pak /(X) = /(a) ■ /(Ď)-1, /(£) = /(c) • /(d)"1, a protože [ o • c, 6 ■ d ] 6 A - B, platí /(A • B) = /(o • c) ■ • f(b ■ d)"1 = /(a) ■ /(c) • [f(b) • /(d)]~1 « /(a) • f(c) ■ [f(d) ■ fib)}-1 a /(a) • /(c) • ' /(k)"1 ■ = /(«) ■ /í6)"1 • /(c)' fW'1 = ?(A) ■ f(B). Zobrazení / je tudíž
homomorfismus grupy (F, •) do (Po, •).
Nechť g eG. Paktp(g) = {[g ■ x,x ] | x £ G}, odkud plyne (položíme-li x = g)
(/o V)(ff)_= /(ff ' 9) ■ /(A)"1 = f (9) ■ f (9) ■ f (9)-1 = m- Tedy /     = /•
Buď Ji homomorfismus grupy (r,-) do (To,) takový, že /i = /. Buď A e r,o = [o:,b ] £ A Pak /(A) = /(a) • /(Ď)"1 = K(fW*)) • MWK' = = /iM«0) ■ flďib)-1) = fiWý ■ = Ä(AJ (podle 5.4). Tudíž / = Ju
Buď / injekce, A, B £ T, f (A) = f (B), [ a,6 ] e A, [ c, d ] £ B. Potom /(a) ,/(6)-i = /(C) . /(d)-1, tedy /(ft)"1 • /(a) = /(c) • /(d)"1. Odtud plyne f (a)-f (d) = f (b)-f (c), a tedy /(o-d) = f {b-c), z čeliož díky tomu, že / je injekce, dostávame a-d — b-c, A = B. Zobrazení / je tedy též injekce. Věta je dokázána.
5.6. Poznámka. Věta 5.5 skutečně charakterizuje podílovou grupu, neboť lze dokázat i opačnou implikaci. Přesněji platí: Nechť f:: Q -4 H je vnoření komutativního grupoidu Q = (G, •) do grupy (H, •) takové, že ke každému vnoření g grupoidu Q do libovolné grupy (B0, ■) existuje jediné vnoření h grupy (H, ■) do grupy (HQ,-) s vlastností h o / = g. Potom (H,-) je izomorfní podílové grupě grupoidu Q.
5.7. Definice. Rozdílová grupa pologrupy (N, + ) se nazývá aditivní grupa celých čísel a značí se (Z, + ). Prvek množiny Z se nazývá celé číslo. Celé číslo je tedy třída ekvivalentních rozdílů [ a, b ] £ N x N pologrupy (N, +),
Přirozené číslo n £ N identifikujeme s jeho obrazem v Z při kanonickém vnoření, tudíž n=([« + i,i]|i6N}, Množina N je pak podmnožina Z a pologrupa ; (N, + ) je podgrupoid grupy (Z, +). Připomeňme, že nulovým prvkem této grupy je třída {[ x,x ] | x £ N}, která se označuje symbolem 0 a nazývá se číslo nula nebo jen nula. Pro z £ Z je -z — {[6,a ] \ [a, b ] £ z).
5.8. Definice. Na množině Z definujeme operaci násobení následujícím způsobem. Pro a, p £ Z, [a, b }, £ a, [ c,d } £ 0, klademe a ■ 0 = 7, kde 7 £ Z je třída určená podmínkou [ ac + bd, ad + bc ] € 7.
Jestliže [u,v] e a, [r, s]e P jsou jiní reprezentanti tříd a, 0, pak [o, b ] ~ [u, v ], [c,d]~[r,s], tudíž a + v = u + b, c + s = d + r, odkud plyne co + cv = cu + cb, db + du = do + dv, uc. + us = ud + ur, vd + vr = vc + vs. Sečtením a užitím zákona o odečítání 4.7 dostaneme ac + bd + us + vr = ad + bc + ur '4- sv, což znamená, že rozdíly [ ac + bd, ad + bc ] a [ur + sv, us + vr ] jsou ekvivalentní. Třída 7 nezávisí tudíž na volbě reprezentantů tříd a,    Definice operace násobení je tudíž korektní.
Zřejmě pro přirozená čísla a, P je součin a-P rovea dříve definovanému součinu na N. Stejně jako na množině přirozených čísel při zápisu operace násobení často vynecháváme symbol ■, píšeme tedy aP místo a ■ p.
5.9. Tvrzení. Grupoid (Z,-) je komutativní, asociativní a má jednotkový prvek, který je roven přirozenému číslu 1. Pro n,p,y 6 Z, 7 j= 0 platí
a • 7 = P ■ 7 => a = /í/
(tzv. omezený zákon o krácení).
Důkaz. Platnost komutativního zákona plyne ihned z definice.
Buď a.faj € t,[a,b ] e a,[c,d ] € 0, [e,/ ] 6 7.
Pak [ ac + 6d, ad + 6c ] e a • 0, [ ce + df, c f + de ] £ 0 ■ 7. Tedy
[ (ac + bd)e + (ad + 6c)/, (ac + bd)f + (ad + bc)e } £ (a • 0) ■ 7, [ (ce + d/)a 4- (cf + de)b, (ce + df)b + (cf + <ife)a ] 6 a • (0 ■ 7).
Jelikož se oba tyto rozdíly rovnají, platí (a ■ 0) ■ 7 = a ■ (P ■ 7).
Nechť x £ N. Pak [l+x,x)€l, tudíž [a(l + ar) + te,6(1 + x) + ax ] 6 1 • a. Jelikož [ a(l + x) -f- bx, 6(1 + x) + az ] ~ [ a, 6 ], platí 1 • a = a.
Nechť7^0aa-7 = /3'7. Pak [ ae + bf, af + be } ~ [ce + df,cf + de }, tudíž ae + bf 4- cf + de = a/ + 6e + ce 4- d/, odkud plyne
(a + d)e 4- (6 4- c)/ = (6 + c)e -1- (a 4- d)/ (*).
Jelikož 7 ^ 0, platí e 7^ /, a pak e < / nebo / < e. Existuje tudíž n £ N tak, že / = e 4-u nebo e — f + n. Dosazením do rovnosti (*) dostaneme v obou případech pomocí zákona o odečítání 4.7 rovnost n(64-c) = n(a + d), z čehož užitím 4.25 (U) plyne b + c — a + d, tedy [a,b ] ~ [c,d ] a a'= /?. Tvrzení je tím dokázáno.
Sami si dokažte, že operace 4- a • na Z jsou svázány distributivním zákonem, z čehož pak podle 5.9 plyne:
5.10. Věta. Trojice (Z, 4-, •) je obor integrity, jehož jednotkový prvek je roven přirozenému číslu 1.
5.11. Definice. Pro celá čísla a, 0 nechť [a, 6 ] £ a, [c, d ] £ p. Položme a < P, jestliže a 4- d < 6 4- c.
Vztah ct < P nezávisí na volbě reprezentantů tříd a,/?: pokud [u,v ] £ a, [r, 3 ] £ P, pak [a, b ] ~ [u, v ], [ c, d ] ~ [r. s ],•■ tudíž a + v = b + u, d + r = c -\- s, odkud dostaneme sečtením a + d + r + v = b + c + u + s. Je-li a 4- d = 6 4- c, pak u 4- s = r 4- v. Jestliže a + d < b + c, pak existuje přirozené číslo ti tak, že platí a + d + n = b + c, tedy r + v = u + s + n, odkud plyne u + s < r + v. Ověřili jsme, žeza4-d<64-c plyne u + s < r + v; analogicky je možné ověřit opačnou implikaci. Výše uvedená definice relace < je proto korektní.
Kap. 5. Okruh celých čísel
38
Obory přirozených, celých a rac/onúin/cJi čísel
Tím je definována na množině Z relace <, která zřejmě pro přirozená čísla souhlasí s dříve definovanou relací < na množině N. Pro celá čísla a, 0 6 Z klademe a < 0, jestliže a < 0 & a ^ 0. O číslu a řekneme, že je kladné (resp. záporné), jesliže 0 < a (resp. a < 0). V opačném případě hovoříme o čísle nekladném (resp. nezáporném).
5.12. Věta. Rela.ce < na množině Z je lineární uspořádání.
Důkaz. Zřejmě je relace < reflexivní. Nechť a, 0,y £ Z, [a, 6 ] 6 a, [c,d ] 6 /3, [«,/ ] €7-
Jestliže a < 0, 0 < a, pak platí a + d<fa + c, Ď + c<a + d, tudíž a + d = b + c, odkud plyne [ a, b ] ~ [ c, d ], a tedy a = 0. Relace je antisymetrická.
Nechť a < 0, 0 < 7, potom a + d < b + c, c + f < e + d. Sečtením těchto nerovností (podle 4.12 (b), (d)) dostaneme a + f < b + e, tudíž a < 7. Relace < je tranzitivní.
Platí a + d < b + c nebo b + c < a + d. V prvním případě dostaneme a < 0 a ve druhém 0 < a. Relace < je úplná. Věta je tímto dokázána.
5.13. Tvrzení. Při identifikaci provedené v 5.7 platí {z e Z I 0 < z] = N,
{Z £ Z j z < 0} = {-71 I 71 6 N}.
Důkaz. Nechť z 6 N. Pak [z + 1,1 ] 6 ž,[l,l ] £ 0. Jelikož l + Kz + l + l, platí 0 < z.
Nechť z £ Z, 0 < z. Buď [a, i ] 6 z. Jelikož [b, b ] £ 0, platí fa+ & < a + fa, tudíž existuje n 6 N tak, žefa+b + 7i = a + fa, odkud plyne [ a, 6 ] ~ [ n + b, b j, tudíž
z = n e N.
Dostáváme .pak {z 6 Z | 0 < z} = N.
Nechť existuje n 6 N tak, že z — —n. Jelikož [ l,n + 1 ] 6 z, [ 1,1 ] 6 0 a 1 +1.< l'+ 1+ n, pak platí z < 0.
Buď z £ Z, z < 0, [ o, b ] £ z. Pak o + & < b + b, tudíž existuje přirozené číslo ji tak, žea + b + n = b + b, odkud plyne [ a, b ] ~ [ 6,6 -tn ], tudíž z = -n.
Dostáváme pak {z 6 Z | z < 0} = {-n | n € N}.
5.14. Tvrzení. Pro přirozené číslo n 6 N položme /(n) = — n. Pak f je bijekce množiny N na množinu {-n | n £ N} s vlastností: a, & 6 N, a < fa      /(fa) < /(a).
Důkaz. Pro a, 6 6 N, a < fa platí nerovnost a + a + a < a + b + a. Jelikož [a, a + a ] £ -a,[a,a + b ] £ -b, pak -6 < -a, tedy /(fa) < f (a). Odtud se již snadno dokáže, že / je bijekce splňující uvedenou podmínku.
5.15. Poznámka. Nechť (P, <), (Q,<) jsou lineárně uspořádané množiny, / bijekce P na Q. Zobrazení / se nazývá antiizomorfismus uspořádané množiny (P, <) na (Q, <), jestliže platí: a, b £ P, a < b /(b) < /(a). Zobrazení / z 5.14 je tudíž antiizomorfismus uspořádané množiny (N, <) na uspořádanou množinu ({-n I n £N},<).
5.16. Věta. Nechťa,0,y,ň £ Z. PaJc platí
(a) a < 0      « + 7 < 0 + 7,
(b) a <   -^=J- a + 7 < 0 + 7,
(c) jestliže u < 0,7 < 5 nebo a < 0,-y < ô nebo a < 0,y < 5, potom a + 7 < 0 + 5,
(d) a<,9,7<J=řa + 7</3 + <5,
(e) pro 0 < 7 platí: n < /? -í=> a • 7 < 0 • 7, cv < 0 <=> a • 7    jfl • 7,
(f) pro 7 < 0 platí: q < 0 <=> p1 • 7 < a • 7, 4=> /? • 7 < n■ • 7. Důkaz. Nechť [ a, fa ] 6 a, [ c, d ] £ 0, [ e, f } £ 7.
Jestliže a < 0, pak a + d < li + c a z 4.12 (a) plyne a-He-f d 4- / < b+ f+c + e. Jelikož [a + e, & +/ ]£« +7, [c + e,d + f ] (z 0 + y, pak q '+ 7 < 0 + 7.
Je-li a + 7 < /3 •!- 7, potom podle předchozího a = (a + 7) + (-7) < {0 + 7) + + (—7) —    Platí tudíž (a), odkud se snadno odvodí výroky (b), (c), (d).
Nechť 0 < 7. Pak / + / < e + / a z 4.12 (a) dostáváme / < e, tedy existuje 71 6 N tak, že / + ti — e. Nerovnost a < 0 platí právě tehdy, když a + d < b + c, což nastane podle 4.25 (a) právě tehdy, když (a + d)n < (6 + c)n. Tato nerovnost je ekvivalentní s nerovností (a + d)e + {b + c)f < (b + c)e + (a + d)f, která platí, právě když a ■ 7 < 0 -7. Odtud pak plyne druhá ekvivalence ve výroku (e). Výrok (f) plyne z (e) a z tvrzení 5.14.
5.17. Definice. Pro celé číslo a £ Z položíme
a,	pro a > 0,
~a,	pro a < 0,
1,	pro q >c0,
0,	pro a = 0,
-1,	pro a < 0.
Číslo |a| se nazývá absolutní hodnota čísla a a zřejmě |a| > 0. Číslo sgna se nazývá znaménko (signum) čísla a.
Zřejmě platí:
5.18. Tvrzení. Proa,0 £ 1platí\a-0\ = |a|-|/3|, \a\ ' a-sgna, a = |a|-sgna.
5.11). Věta (o dělení dvou celých čísel se zbytkem). Nechť a,0 jsou celá čísla, 0^0. Pak existují celá čísla 7, g tak, že platí: a — 0 ■ y + q, 0< o < \0\. čísla ~f,Q s těmito vlastnostmi jsou určena jednoznačně.
Důkaz. Položme M = {ct - 0 ■ x \ x e Z,ct— 0 ■ x > 0}. Ukážeme, že u - 0 ■ • (-sgn/3) • \a\ 6 M. Skutečně a- 0- (-sgn/3.) • \a\ = a + \0\ ■ \a\ > a + \a\ > 0, neboť \0\ > 1. Tedy M ■£ 0 a podle 4.15 má množina M nejmenší prvek g. Pak existuje 7 6 Z takové, že a - 0y = g, tedy a = 0y + g. Pokud \0\ < g, pak Q < Q — \0\ = a — 0(y + sgn/3) a tudíž g — \0\ 6 M, což je spor, neboť g byl nejmenší prvek M. Odtud plyne g < \0\.
Kap. 5. Okruh celých čísel
38
Ukažme nyní jednoznačnost čísel -y,Q. Buďte 7,71, Q,Q\ e Z, a = Pf + g — = Pii + Qi, 0 < 8 < \P\, 0 < 01 < \0\, pak (8(7 - 71) = Ol - 8> Vzhledem k -\p\ < -e < 0 máme -\P\ < Qi - q < \P\, tzn. \qi -t q\ < \0\. Odtud plyne \P\ > 1/3(7 - = \P\ ■ Í7 - 7i[, ľož vzhledem k [|j > 0 dává I7 - Til < 1. Tedy 7 = 7i,z čehož plyne také g — Q\.
Věta je dokázána.
5.20. Definice. Číslo 7 z věty 5.19 se nazývá (neúplný) podíl po dělení čísla a číslem ft a číslo g se nazývá zbytek po dělení čísla a číslem p.
Jestliže zbytek po dělení čísla a číslem p je roven 0, říkáme, že číslo P dělí číslo a a píšeme P \ a. Číslo P se pak nazývá dělitel čísla a a číslo a násobek čísla p.
Každé číslo a má dělitele 1, —1, a, —a. Tito dělitelé se nazývají nevlastní dělitelé čísla q, ostatní dělitelé se nazývají vlastní dělitelé čísla a. Zřejmě číslo 1 má pouze dva nevlastní dělitele. Jestliže celé číslo p > 1 nemá vlastní dělitele, nazývá se prvočíslo. Prvočísla jsou 2,3, 5, 7,... . Dělitel celého čísla a, který je prvočíslem, se nazývá prvočinitel čísla a.
Z věty 5.19 o dělení dvou celých čísel se zbytkem se dá odvodit následující veta o jednoznačnosti rozkladu celého čísla na prvočinitele. Důkaz této věty lze nalézt např. v [4, věta 2.3. v kap. 3].
5.21. Základní věta arittnstiky celých čísel. Každé celé číslo m =jí 0 lze jednoznačně, až na pořadí, psát ve tvaru m — spi1 .. .p^*, kde pi,... ,pu jsou navzájem různá prvočísla, íti,..., a* přirozená čísla, £ e {1, -1} a k > 0 celé číslo.
5.22. Poznámka. Výrazy typu p\l .. .pj^, a: + ■ • ■ + a* a pod. se definují rekurentně. Pro k = 0 rozumíme výrazem ep"1.. .p^k číslo e.
5.23. Definice. Pro celé číslo m jí 0 se tvar čísla 771 v 5.21 nazývá kanonický rozklad čísla m na prvočinitele. Z 5.21 pak plyne, že množina prvočinitelů m je rovna množině {pi,... ,Pfc}.
Buď p prvočíslo. Jestliže p je prvočinitel čísla m, položme vp(m) = aj, kde p = pi. Není-li p prvočinitel čísla m (tj. p nedělí m), položíme up(m) = 0. Hodnota Vy(in) se nazývá exponent čísla m příslušný prvočíslu p.
Je tedy vp zobrazení množiny celých nenulových čísel na množinu celých nezáporných čísel.
Pro celá nenulová čísla o, 6 a prvočíslo p platí vp(a ■ b) == vp(a) + vp(b). Dále pro a,b £ Z,ají 0 ť£ b platí: a = ±b právě tehdy, když vp(a) = vp{b) pro každé prvočíslo p.
Celé nenulové číslo m budeme často vyjadřovat ve tvaru tzv. formáhiě nekonečného součinu:
kde e G {1, -1} a 7? je množina všech prvočísel. Uvědomte si, že všichni činitelé v tomto součinu s výjimkou konečně mnoha se rovnají jedné.