9. Těleso komplexních čísel V 8. kapitole (věta 8.2 (b)) jsme viděli, že v tělese reálných čísel nemá binomická rovnice xn = a řešení pro záporné reálné a a sudé přirozené číslo n (n > 2). Speciálně nejjednodušší taková rovnice x2 + 1 - 0 nemá řešeníi.v reálných číslech. Proto se konstruuje nadtěleso tělesa reálných čísel - těleso komplexních čísel, ve kterém rovnice x2 +1 = 0 řešení má. Ukazuje se pak, že v tomto tělese komplexních čísel má každá binomická rovnice n-tého stupně právě n řešení. Hlavní důvod pro konstrukci komplexních čísel však spočívá v tom, že pomocí nich je možné řešit některé úlohy, jejichž formulace i řešení jsou z oboru reálných čísel. Příkladem jsou Cardanovy vzorce (9.23), pomocí nichž je možné spočítat, reálné kořeny kubického polynomu s reálnými koeficienty. 9.1. Věta. Těleso reálných čísel x2 + 1 —0 řešení. Důkaz. Položme C = RxR = {[a,6]|a€ P — [ c, d ] e C, kde a, b, c, d € M, položíme lze vnořit do tělesa, ve kterém má rovnice ,b G R}. Pro ««= [o,b a + ŕ) - [a + c,b f d ], [ ac — bd, ad + bc Pak + a • jsou zajisté operacemi na množině C. Zřejmě (C, +) je komutativní grupa, neboť [0,0 ] je její nulový prvek a pro libovolné a = [a, 6 ] g C je opačným prvkom -a = [ -a, —b ]. Dále je vidět, že (C, •) je komutativní grupoid s jednotkovým prvkem [1,0 ] a lze ukázat, že tento grupoid je asociativní. Operace + a ■ jsou svázány distributivním zákonem, a tudíž (C, + , •) je komutativním okruhem s jednotkovým prvkem [1,0]. Ukažme, že okruh (C, + , •) je tělesem. Nechť a — [ a, b ] e C, a ^ 0. Pak a2 + b2,jí 0, a tudíž můžeme položit £ s [-yi^,--^ ]. Pak a-f = f-a = [1,0], tudíž je opravdu vnořením tělesa 1 do tělesa C. Věta je tím dokázána. 9.2. Definice. Těleso C = (C, + ,■) zkonstruované v důkazu předchozí věty se nazývá těleso komplexních čísel, označuje se písmenem C a pivek z množiny C se nazývá komplexní číslo. Vnoření xji nazveme kanonické vnoření te.le.sa R do C. Reálné číslo r se ztotožňuje se svým obrazem při kanonickém vnoření ip. Tudíž r = [ r, 0 ] a těleso reálných čísel je proto podtělesem tělesa komplexních čísel (R C C). Prvek [ 0,1 J se označuje symbolem i a nazývá sc imaginární jednotka. Za této úmluvy pak pro komplexní číslo a = [ o, 6 ] platí: a = [ a, 0 } + [ b, 0 ] • [ 0,1 ] = n + bi. Kap. 9. Těleso komplexních čísel 67 Dostáváme tak tzv. algebraický tvar komplexního čísla. Je-li a = a + bi, P = c + di, kde a, b, c, d 6 R, pak pro operace s komplexními čísly platí následující vztahy: a + P = {a + c) + (b + d)i, a-P = (ac-bd) + {ad + bc)i, pro q ^ 0 je ~ a2 + b2 a2+b2 ' Těleso komplexních čísel je v následujícím smyslu nejmenší těleso, do kterého lze vnořit těleso R a ve kterém rovnice x2 + 1 = 0 má řešení. 9.3. Věta. Nechť / je vnoření tělesa R do nějakého tělesa P, ve kterém existuje prvek ir, který je řešením rovnice x2 + 1 = 0. Pak existuje jediné vnoření f tělesa komplexních čísel C do tělesa P tak, že f o ý = / a /(i) = vr. Můžeme říci, že diagram na obrázku 8 komutuje: \ P Obr. 8. Důkaz. Nechť 7r € P je řešením rovnice i2 + l = 0v tělese P, tedy ir2 = -1. Definujme zobrazení / : C -+ P tak, že pro a = [ a,b } = a + bi 6 C (a,b € 1) položíme 7(a) =/{a)+*■/(&). Dokažme nyní, že / je injektivní zobrazení. Nechť a - [ a, b }, P = [ c, d } e C, /(a) =/(/?). Pak/(o)+jr-/(6) = f{c)+ir-f{d), odkud plyne ir-f {b-d) = fic-a). Jestliže 6 f d, je také f {b - d) # 0, a pak tt,= /(f=f). Tudíž reálné číslo ffi je řešením rovnice z2 + 1 = 0. To však není možné, neboť rovnice x2 + 1 = 0 žádné řešení v R nemá. Musí tedy být b = d, a pak 0 = f (c - a), z čehož plyne c-a, tudíž a = P a / je tedy injekce. Nyní ukažme, že / je homomorfismus. To, že / zachovává operaci + , se úkaze snadno. Podobně lze ukázat, že / zachovává i operaci • , neboť pro a - [a, b ], 63 Reálná a komplexní čísla. 0 = [c,d] platí, že/(a) • /(/?) = (/(a>+ tt -/(k))(/(c) + tt ■ /Je/)) = /(ac- bd) 4-4- 7t • f(bc+ ad) — f (a ■ 0). Dohromady tedy dostáváme, že / je vnořením tělesa C do tělesa P a pro r e R máme f(t/j(r)) - f {[r,Q ]) - f (r). Ukážeme ještě jednoznačnost vnorení /. Buď g vnoření tělesa C do tělesa P takové, že g(i) = 7r a g o ip = /, Pro libovolně zvolené komplexní číslo a = [a,b ] je pak g(a) = y([o,0 ] + [6,0 ] - i) = g(a) + ir ■ g(b) = f (a). Věta je tím dokázána. 9.4. Tvrzení, ftovnice x2 4-1 = 0 má v tělese komplexních čísel právě dvě řešení {i Důkaz. Zřejmě oba prvky ±i jsou řešením rovnice x1 4- 1 = 0 v tělese C. Ukažme, že žádná další řešení tato rovnice v množině C nemá. Nechť £ = [u,v ] = — u 4- vi € C (u,v 6 K) vyhovuje rovnici x2 4- 1 = 0. Pak f2 = [u2 — v2, 2uv } = = [ -1, 0 ], tudíž u2 — v2 = 1 a 2uv — 0. Z druhé rovnice dostáváme u — 0 nebo v = 0. Jestliže u = 0, pak v2 = 1, a tedy v = ±1 a £ = ±». Je-li u = 0, pak musí být u2 = -1, což však není v tělese reálných čísel možné. 9.5. Poznámka. Na tělese komplexních čísel C neexistuje lineární uspořádání < takové, aby platila základní početní pravidla, na která jsme zvyklí z množiny reálnych čísel. Tím máme na mysli, aby pro každé q, 0,7 g C platilo: (a) a 0, a < 0 £==*■ a ■-y < 0 -7. Muselo by totiž .potom platit, že i > 0 nebo -i > 0, což by znamenalo, že i2 > 0 a také í4 > 0. Dostali bychom pak -1 > 0 a současně 1 > 0, což není možné. Vlastnosti množiny reálných čísel vzhledem k uspořádání nám dovolují představit si množinu reálných čísel jako přímku, přičemž uspořádání reálných čísel odpovídá přirozenému uspořádání bodů na této přímce. Množinu komplexních čísel si můžeme představit jako rovinu a to následujícím způsobem. 9.6. Definice.'Nechť jsou v rovině zvoleny dvě navzájem kolmé přímky (číselné osy) x a y. Pak každý bod této roviny je jednoznačně určen dvojící reálných čísel, která značí souřadnice tohoto bodu. Komplexní číslo a — [ a, b } = a + bi znázorňujeme bodem o souřadnicích a, b (viz obr. 9). Uvažovaná rovina se nazývá Gaussova rovina. Osa .-r se nazývá reálná osa, osa y se nazývá imaginární osa (popř. mluvíme o ose reálných čísel a ose imaginárních čísel). Pro komplexní číslo a = [ a, b ] = a 4- bi definujeme absolutní hodnotu \a\ jako reálné číslo |q| = Va2 4- 62 (> 0). Číslo q komplexně sdružené s číslem a je komplexní číslo ÔT = a — bi. i i-| Kap. 9. Téleso komplexních čísel 39 Obr. 9. Reálná část Re a komplexního čísla a je Re a = a, imaginární část Im a komplexního čísla a je Im a ~ b. Argument arga komplexjdho čísla a ^ 0 je definován jako reálné číslo ||a|-|/JH, (f) pro/3^0je|f| = {fj, (g) |a[2 = a ■ a, (h) a 4- /3 = 57 4- j3, (k)oT^3 = a-A (i) Re a = j(a 4- a),Ima = — j(a — a), (j) pro a 7^ 0 je a = |a|(cosv5 4- isinv?), kde

+ isini/>) komplexní číslo v goniometrickém tvaru, pro které platí x" = a. Pak je xn = \x\n(cosntp + iainnip) = |a|(cosy + t siny), tudíž x = |, ni/i =s y + 2lir, pro vhodné Z € Z, odkud dostáváme ip — £^—JL. Jestliže k € 2, D < k < n — 1, k s l (mod n), pak = S2i|2E + 2/nr, pro nějaké celé číslo h. Tedy a; — xk a věta je dokázána. 9.15. Důsledek. Pro přirozené číslo n má rovnice xn = 1 v tělese komplexních čísel právě n různých resenj x u,..., x-n—í dsuiych vztahem Xk = coslbL + i Sin2bzt kde k = 0,1,..., n -í. 9.16. Poznámka. Komplexním číslům xk == cos Ste + t'sin2^ z předchozí věty, kde Q < k < n - l, odpovídají v Gaussově rovině vrcholy pravidelného rt-úlielníka vepsaného jednotkové kružnici tak, že jeden z jeho vrcholů je roven bodu o souřadnicích [ 1,0 ]. Každé z čísel xq, ■ ■., in-i se nazývá n-tá odmocnina z jedné. Z vět 9.14 a 9.15 ihned dostávame následující tvrzení. 9.17. Tvrzení. Množina řešení binomické rovnice xn = a v tělese komplexních čísel, kde n je přirozené číslo a a nenulové komplexní číslo, je rovna množině čísel xQ ■ £, kde z probíhá všechny n-té odmocniny z 1 a x0 je libovolné pevně zvolené komplexní číslo, které splňuje rovnost Xq = a. 9.18. Poznámka. Každé číslo Xo ■ e z předchozího tvrzení se nazývá n-tá odmocnina z čísla a (pro a = 0 rozumíme n-tou odmocninou z 0 číslo 0) a často se značí ^/a(\/Q = 0). Je však nutné zdůraznit, že se vždy jedná o nějakou 72 Reálna a komplexní čísla ■m n-tou odmocninu z a, aby nedošlo k záměně s jednoznačně definovanou 7j-tou odmocninou z reálneho čísla a, totiž s číslem pro a 6 R. definovaným v 8.3! Ukažme si, jak se dá řešit rovnice x2 = a v případě, že q není v goniometrickém tvaru. 9.19. Tvrzení. Nechť a — a + bi je komplexní číslo (a,b 6 řešení rovnice x2 = a je dána čísly *Í/$(° + V5rW + w/\/s(-a + V^TP), kde£,r] e {1, -1} a Paic množina 1, je-li b >0, -1, je-li b <0. Zde symboly i/~ značí jednoznačně definované druhé odmocniny nezáporných reálných čísel. Důkaz. Z tvrzení 9.17 plyne, že rovnice x2 — a má dvě řešení Xi a x2 = — arj. Položme xi = i£ + vi. Dosazením do rovnice se zjistí platnost rovností v? - v2 — a a luv = b. Umocníme-li obě tyto rovnosti na druhou a sečteme je, dostaneme {u2 - v2)2 + iu2v2 — (u2 + v2)2 -■- a2 + b2, tedy, vzhledem ktomu, že a2 + b2 >.0, platí rovnost u2 + v2 = \/a2 + b2. Odtud a ze vztahu u2 — v2 = a dostaneme u2 = l(o + Va2 +b2), v2 = |(-a + V a2 + b2). Tudíž u = ±\/\(a + V^+b2), v = ±yJl{-a + Va2 + b2). Znaménka + nebo — v těchto vztazích určíme z rovnosti 2uv = b. Odtud již plyne dokazované tvrzení. 9.20. Definice. Nechť o, b, c jsou komplexní čísla, a 0. Rovnice * ax2 + bx + c = 0 se nazývá kvadratická rovnice (nad tělesem komplexních čísel) a číslo D — b2 — 4ac se nazývá diskriminant kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0. 9.21. Věta. Nechť a, b, c jsou komplexní čísla, a / 0. Pak množina všech řešení kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 v množině komplexních čísel je rovna množině {xl}x2},kde Xi = --(-b I- \/b2 - 4uc), x2 = — (—b - \ftí* — 4ac). 2a 2a Přitom odmocninou y/~ se rozumí nějaká pevně zvolená druhá odmocnina z komplexního čísla b2 — 4ac. Pro čísla xi,x2 platí xi = x2, právě když diskriminant uvedene' kvadratická rovnice je roven 0. I I' I Kap. 9. Těleso komplexních čísel 73 Důkaz. Nejprve ukažme, že čísla X\,x2 jsou kořeny dané kvadratické rovnice. Evidentně platí, že ax\ + bxi. + c = -i-(62 - 2by/& - 4ac + b2 - 4ac) + r-(-6+ \/i>2 - 4ač) + c = 0 4a 2a a analogicky ax\ + ta2 + c = 0. Nechť je nyní x0 komplexní číslo, pro které platí ax$ + bxo + c = 0. Pak po úpravě dostaneme x0 + — = ±^-Vb2~4ac, 2a 2a odkud plyne, že xu = x± nebo Xo = x2. Každý kořen kvadratické rovnice tedy lze napsat ve tvaru x\ nebo x2. Zbylá část věty je zřejmá. Z předchozí věty přímo plyne následující tvrzení o kvadratické rovnici s reálnými koeficienty. 9.22. Tvrzení. Nechť D je diskriminant kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 s reálnými koeficienty a {xi,x2} je množina všech řešení této rovnice v tělese C. Pak platí: (a) a?i jí x2, xi,x2 eR D > 0, (b) »1 7í 12, si, xi = -4p3-27ga = -108 se nazývá diskriminant kubické rovnice x3 + px + q — 0. 9.25. Věta. Nechťp,q jsou komplexní čísla. Pak množina, všech řešení kubické rovnice x3 + px + q = 0 v íěJese icompiexn/di číseJ je rovna množině {a*!, »2,0:3}, Jede #i = a + /?, x2 = ea + e20, x3 = e2a I- y3 3 4- + fy značí něJ:terou pevné zvoienou druhou odmocninu z komplexního čísla. V + ff) dáie « znač/ některou pevně zvolenou třetí odmocninu z čísla. 2 V 4 27 a /3 značí tu třetí odmocninu z čísJa - § - i/f + pro kterou platí, že ct-/3 = — |, tudíž /5 = í+5- P 3." Čfeio £ značí některou pevně zvolenou třetí odmocninu z 1 různou od 1. 9.26. Poznámka. Císlô e je rovno buď číalu ě== cos 3?+ťsin^ = -i+f^ nebo číslu £ = cos ^ + i-sin 4f = V obou případech je množina {l,e,E2} rovna množině všech třetích odmocnin z 1. Je-li Po některá třetí odmocnina z čísla - §- ^£ + If i Pak podle 9.17 je mno- žina {/3o,e0o, £2po} rovna množině všech třetích odmocnin z čísla -1 ■ Z__l X 4 ^ í7' Platí, že (a-ft)3 a množina {-§, -§e, -f e2} je množina všech třetích odmocnin z čísla Tudíž existuje j 6 {0,1,2} takové, že q • /30 ■ eJ' = -|. Odtud plyne v případě p / 0 existence i jednoznačnost třetí odmocniny /J z čísla -f - v/? + fž talí0vé, že platí a • p = -f. Poznamenejme ještě, že vzorce pro řešení kubické rovnice uvedené ve věté 9.25 se nazývají Cardanovy vzorce. Důkaz věty 9.25. Dosazením čísel xi,x2,xi do rovnice x3 + px + q = 0 se snadno zjistí, že čísla xi,x2,x3 jsou řešením kubické rovnice x3 + px + q = 0. Nechť xn je komplexní číslo, pro které platí: x% + px0 + q — 0. Buďte 7, S řešení kvadratické rovnice x2 - x0x - g = 0 v tělese C, takže podle tvrzení 9.23 platí: 7 + (5 = x0a7-c5 = -g. Pak tedy (7 + S)3 + p(-y + ô) + q = 0, odkud dostáváme Kap. 9 Těleso komplexních čísel po úpravě a dosazení za 7 • <5 = — g Tudíž 73,<53 jsou řešeními kvadratické rovnice x2 + qx - £ = 0, odkud plyne 75 ,2 „3 4 27' 2 V 4 27 (druhá odmocnina z £ + fy značí stejnou druhou odmocninu z tohoto čísla jako u čísla a), a tedy 7 e {a,ea,eaa}, á e {/3,e^,e2/3}. Jelikož 7 • J = -f = a ■ /3, dostáváme tyto tři možnosti: (a) 7 — a m. s = 0, X'o * *1 (b) 7 = ea => s = e2č, x0 = x2 (c) 7 = e2a => í = £/?, x0 == x3 Věta je tím dokázána. 9.27. Tvrzení. Nechť M je množina všech řešení kubické rovnice x3 + px + q — 0 2 3 s Jeompíexními koeficienty p, q nad tělesem komplexních čísel a D = -108(^- + fy) je diskriminant této kubické rovnice. Pak pJatí: (a) M je tříprvková množina D ^ 0, (b) JV/ je dvouprvková množina D = 0, q ý= 0, (c) M je jednoprvková množina D = 0,5 = 0. V případě (c) je pak jediné řešení rovno 0. Důkaz. Užijeme označení z věty 9.25. Pak M = {xi,x2,x3}. Nechť M má méně než tři prvky. Ukážeme, že pak nutně D = 0. Jelikož (ea-l)3 = (e2(l-e))3 = (1-e)3 Ž 0. dostáváme z libovolné z rovností xi = x2, xi = x3, x2 = x3 umocněním na třetí vztah a3 = fi3. (Např. xj - x2 a=> a+0 = ea+£2j3 a(l-e) =/3(s2-l) =*• a3 = P3.) Odtud však vzhledem k definici čísel a a. p přímo plyne, že £ + gy = 0, což znamená, že D = 0. Nechť nyní naopak D = 0. Pak a = {/^| a ^ = Q • £J', kde j € {0,1,2}. Tudíž xi = o^l + e3), x-2 = ea(l-r-eí+1), x3 = ea(e + e3). 76 Reálná a komplexní čísla Uvědomíme-li si, že 1 + e + e3 = D, dostáváme pro různé hodnoty j následující výsledky: i = o J-l Í = 2 Xi = 2a, x'2 = 3:3 = —a, a-'i = x-i = -e2a: x3 — 2e2a, Xi = x3 = —ea, x2 = 2ta. Množina M má tedy méně než tři prvky. Navíc je zřejmé, že M má jeden prvek právě tehdy, když a = 0, což nastane, právě když q = 0. V tomto případě pak také p = 0 a M — {0}. Tvrzení je tím dokázáno. Na závěr provedeme úplnou diskusi řešení kubické rovnice s reálnými koeficienty. 9.28. Věta. NecM x3 + px + q = 0 je kubická rovnice s reálnými koeficienty p, q nad tělesem komplexních čísel. Nechť dále D značí diskriminant této kubické rovnice. Pak platí: (a) D > 0 rovnice má 3 různé reálné kořeny, (b) D < 0 rovnice má 1 reálný a 2 tompiexně sdružené kořeny, (c) D = 0, q ^ 0 => rovnice má 2 různé reáíné iořeny, (d) D - 0, g = 0 ==a> rovnice má jediný kořen rovný 0. Důkaz. Užijeme opět označení z věty 9.25. Pak množina kořenů kubické rovnice x3 4- px + q = 0 je M = {xi, x2, x3}. Nechť D > 0. Podle 9.27 (a) je M tříprvková množina. Stačí tedy ukázat, že xi,x2,x3 e K. Platí, že (a3) = /33, tedy (a)3 = /?3, odkud plyne, ze /? = äeJ, kde i 6 {0,1,2}. Jelikož a/3 je reálné číslo a a/3 = |a|V, dostáváme, že j = 0. Tudíž j3 = ä". Odtud jjlyne, že £1 a + /3 = a + /3 = /3 + a es xi, ěa + £2/? = e2(S + ect = x2, £2ô7 + e/3 = ej5 + e2a x3, tudíž ai,a.'2,x'3 6 K. Nechť D < 0. Podle 9.27 (a) je množina Af tříprvková. Ukažme tedy, že jeden z kořenů je reálný a zbývající dva komplexně sdružené. Číslo V + 27 Je kladné reálné, a tudíž i yV + ff je reálné číslo. Číslo a můžeme zvolit tak, že je rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z reálného čísla — § + y^+f?-Jelikož a • ji = -§, je také číslo /3 reálné, a je tedy rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z reálného čísla —§ — \/^r + ff- P9-^ Xi = a + /3 je reálné číslo. i, Kap. 9. Těleso komplexních čísal Jelikož D 5a 0, je a # /?. Pro čísla x2, »3 dostáváme při £ = 77 £2 : ea + e2/3 = (-i + i#)a + (-i - i^)j8 = -|(a + /3) + i#(a - «, *3 - e2a + s/9 = (-1 - if )a + (-1 4- i$)fi = -|(a + 3) + i^Q9 ■a). Tudíž Iinx2 = -Inixs = &{a - 0) ^ 0,Rex2 = Rex3- To znamená, že čísla x2 a x3 jsou komplexně sdružená a výrok (b) tedy platí. Je-li D = 0, položíme a rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z čísla -|. Pak j8 je reálné číslo, tudíž a = j3. Odtud plyne, že xi - 2a, x2 = «s = = -a, z čehož přímo plynou výroky (c) a (d). Tím je věta dokázána. 9.29. Příklad. Řešme kubickou rovnici x3 + x - 2 = 0. Pro diskriminant této rovnice platí D = -108(1 +27) = ~112- Rovnice má tudíž podle věty 9.28 jeden reálný a dva komplexní kořeny. Budeme-li při řešení vždy volit reálné odmocniny, dostaneme, že pro reálný kořen Xi rovnice x3 + x - 2 = 0 platí xt-\ll + + 1 Snadno se však vidí, že kořenem rovnice je číslo 1. Dostáváme tedy, že platí /28 zl /28 1 ř27 + V1-V2Ť = L x1 = \Jl + Podobně pro komplexní kořeny rovnice x3 + x - 2 = 0 dostáváme x2 = \ 1 + e+ 1 e2 =---\-i 27 2 2 .s/7 x3 = + /28 9 3 / e = — .V? 2-^2 kde £ = —5+1-^ je třetí odmocnina z 1. Z příkladu je vidět, že význam Cardanových vzorců je spíše teoretický, neboť zpravidla bývá obtížné získané vyjádření kořenů dále upravit. 9.30. Cvičení. 1) Najděte všechna řešení následujících binomických rovnic a) xe = -2, b) x4 = -V3 + -M. 2) Dokažte, že 7 J[(cosf +tsin!f) = 1. n=l