Kapitola II
POLYNOMY JEDNÉ PROMENNŽ
§1 : OKRUH POLYNOMŮ
Definice : Nechť R je okruh: pak poly no m e m (/ e.d n e' p r o ■ menné) nad okruhem R budeme nazýval každou nekonečnou posloupnost
(D • f - («„,«,»«,, .....)
kde afER i 1 = 0,1,2,.... , .pri čemž od jistého indexu n počínaje jsou všechny prvky ak rovny nule okruhu R, t.j. a = O, pro k> n .
Prvky- oj,', a,, aj, ... posloupnosti (1) nazývame k o e f f c l e n l y polynomu f ; koeficient      nazýváme a b s o I u t n !m členem polynomu f. Polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny 0R nazýváme nulovým po -l y n o m e m a označujeme jej symbolem o .  Tedy :
o - (0, 0,0, .'...... )
Polynom, jehoí absolutní Sien je roven \R a ostatní koeficienty jsou rovny QR nazývame jednot k o v ý m po l y n o m e m a označujeme jej symbolem j. Téäy; ■ ...
'/ = (1,0, 0........)
Množinu vsech polynomä jednč proměnny nad okruhem R označujeme R[x].
Poznámka : zrejme"je vzdy R[x] =ŕ 0 (neboŕ napr. o 6 R[x]). Je-li R iwtriviálm okruh, pak R[x] obsahuje zrejme^hekonec'ne'mnoho prvků, bez ohledu na to, je-li okruh R konečný iiebo nikoliv. Je-li R triviálni ojcruh, pak zrejme" R[x] *  [o ). Tento p/ípa^d budeme v dalšim vylučovat.
Definice: Nechŕf J) je nenulový polynom nad R , nech ŕ n je celé nezáporné číslo s vlastnostía„ ŕ 0 ; o, = 0 pro k> n , t.j.
f * ( <Va......o„,0,0----)
Pak tíkáme, že polynom f j e stupne n a písane : s t [f] » n .
16
Koeficient an pak nazývame vedoucím koeficientem polynomu f. Je-lí vedoucí koeficient polynomu f roven \R, pak Kkame, ze polynom f fe normovaný.
Poznámku : v předchozí"definici byl stupeň přiřazen každému polynomu, s výjimkou nulového polynomu o ■ Abychom tuto neúplnost odstranili, položíme : st (o)  = - °o
kde — oo chápeme formálne jakožto jistý symbol, pridaný k množine všech celých čísel, pro nějŽ definujeme :
— «■ < n ; + (—=*>) = (~°°) + n = n + (—«*) =        pro kaíáé celé Číslo n .
Tímto způsobem máme nyní definován pojem stupně polynomu pro líbovolňís ftž R[x).
Poznámka : polynomy stupne' menšího mí l (t.j. polynomy stupnjs nula a nulový polyncm) obvykle nazýváme konstantní polynomy nebo tézr konstanty. Při tom je tfeba si dobré uvčdomit rozdíl mezi nulovým polynomem,a polynomem stupne nula ! Dále, polynomy stupne J (resp. stupne" 1, resp. stupnf 3.).naz£yáme lineárni (resp; kvadratické', resp. kubické) polynomy. ■,**.'«:.%
Na množine' R[x] definujeme nyní dvě'operace, sčítaní a násobeni; ktere^budeme označovat symboly + a . , t.j. stejnými symboly jako sčítaní a násobenfv okruhu R . Z dalšího bude vsak patrné, že v teto souvislosti nerhuze dojít k ŕMbwaimCnŕ
Definice : Necht" f-- ( a0, u,, . . . ) , g = (*0,*lf ...).€ R[x\. P.ají -' součet f + g   definujeme :
(2) f + g = (n0 f w v- • • > •
í o u c i n f. g definujeme
■ W • ■■ • /:«.=( vci>«i........>
A*'
b   » 2 arb.
Poznámka: J + gfi zřejmí polynomem, nebořpro m > max srU) ]
dostáváme am + b   - 0 a tedy v posloupnosti (2) je pouze konečné rnřldho nenulových prvku. Podobně pro součin f.g ; Je-li m >si(f) + rí(jf). pak pro každý součin arb. , kde i + j = r,i musí být l>st(f)  nebo /' >«*(/') a tedy a( _ 0 nebo   /;= U . V důsledku toho je pak t   = 0  a tedy. v posloupnosti (3) je opět
- 17
Pouze konečnímnohonem,lovrchprek„vid^ "a ninořlnií /^j _
jma operace
Veta l.l. ; Množina R\x\ s operacemi sčítáni a násobeni polynomu,je. okruh (t.j. komutativní okruh s jedničkou), Stručne budeme hovořit o okruhu polynomů jedné proměnné nad li.
[Důkaz :  nechf /= ( aQ, a,, . .   ) , g = K bQ, b]f . . . ) , h = ( cfl ,c,, . . . . ) G R[x) . 7, definice je ihned vidíít, ze operace sčítání Bolynomú je asociativní a komutativní. Nulový polynom o je nulovým prvkem a polynom (~í*0-_^i'
je opačným prvkem k / .. Je tedy + ) abelovskou grupou,
Dokazme nyní asociativitu operace násobení. Oxnacme :
'< = U<,       • ■ • ) :   f(g.h)=ís'ots\,. ..)
Potom je ;
s., " X    n    r   =   z   ( S   a. .ÄJ . c =   2    (a. . í>. ) ■ C,
2 p,
HM '
W JS'"e d0k3'7-a,i : tm.*-f,i gj,)
Z definice nfebenf polynomu bezprostředná vyplývá   & ide D "f a & jednotková ,    .... ' ° ^'"omutativ-
■) je jedničkou. Je tedy
n( a z'e jednotkový polynom / =( j ,0,0 komutativní pologrupa s jedni&ou. Zbývíovffi, pIalllost íj!tritailni,0 zákoM ( : f ^ + ^ _
odltud plyne, íe       +      = f.g + f.h
Dohromady jsme tedy dokázali, ze R[x\ - (R\x\, 4. ■ ) Je okruh   J .
Poznámka : polynomy stupne menšího nez 1 jsme výse nazvali konstantními polynomy. Pro sčítania násobení těchto polynomu platí:
. ( v o,...) + ( b„, o,. .) - <v'V C • • •)
(í,, 0, .,.) ■ (*o>0. . ..) = (flj. fc„ ,0, ...» . Pak ovsem zobrazení >p : R -* R\x], definované   tahem :
.v.'":,-://'--. ■
f (ŕ) «•< r, O, O,...)   ,  pro lib. í' G R je bomomoriizniem okruhu R <Ío okruhu R[x) , Navíc jc ziejmé zobrazení <p injcktivní, neboť pro r,s G R , r =t* s je ^>(r)     i^íj) . Tedy <p je vnorením okruhu 7-í"'do okmhu R[x] a můžeme ztotožnit prvky okruhu R sjirňbdpovf-dajícími konstantními polynomy (pH zobrazení >p ), resp. rnuzeme okruh R povahovat za unitární podokruh okruhu R\x\. Pokud jde o . označil vŕní konstantních polynomu, muzeme tedy místo t/,0,0, . . . ) psát stručne' pouze symbol r a hovořit o "prvku r " ..
Nyní zavedeme zjednodušeny bČíní známe' ozjíacova'ní polynomů a.operací s nimi. Uvažme nejprve, Že z definice součinu polynomu vyplývá následující pravidlo pro násobeni polynomu /= t °0'ať *■••■) prvkem rG.R, t.j. konstantním polynomem f * ( ř, 0, 0,. ..) :
r. f = (', 0, 0,   , , ) . ( v V V ■ ' ' > ■ ( r.a0,r.arr.at, ...)•. Dále označme polynom (0, 1, 0, 0, ... ) nejakým pevným symbolem, napr symbolem x .   Z definice násobení'polynomů plyne, že :
x2 ■ x.x ■ (0, 0, 1, 0, ... )  ,    *? - (0, 0, 0, 1,0, . . . ) , atd. Nectil nyní / - ( a0, af, a r . . . )   jc polynom slupne mensiliô nebo rovného n . Vynásobíme-li polynomy /, x, x7, dostaneme ;
, x"  postupne prvky «0-
( u0> 0, 0----)
( 0, 0, . - . ) (0, 0, a7,Q,..)
a^x
+ . . . + ů"'.Xn'
f o.....o, ťfř(, o,..) - amJr
odkud sečtením dostávame ;
( <í0, a,.....«„. 0,   .) =■ a0+alx -i
t. zn.. polynom / můžeme tedy vyjádřit ve tvaru : (4) / = a0 + atJÍ + arxl + . . . + anxn
}a vidět, ze vyjádření polynomu / ve tvam (4) je jednoznačné, neboť* dva zápisy tohoto typu sc mohou lišit jedině formálneho sčítance tvaru 0.jr*. Poznamenejme jeste", ze suuieta součin polynomu, definovaný drive, splývrpfí zápisu polynomfi
ye .tvaru (4) s obvyklým součtem a součinem, známým ze střední' školy pro polynomy nad li   . Vzhledem ke komutativite operace + není zřejmí poradísčítanců ve (4) pevne dáno. Obvykle budeme sčítance uspořádávat podle mocnin x bud" vzestupné nebo sestupné. Dále, pro polynom / budeme podle potřeby používat téz označení f(x).
V dalším si blíže všimneme některých vlastnosti stupné polynomu. Především, z poznámky za definicí součtu a součinu polynomů vyplývá, ze pro f,g £ je:
(5) sttj + g) < max ( slij), si(g) )
(6) st {f.g )   < sl{f) +
pri cemž' v řádné z nerovností (5) a (6) obecné nenastane rovnost, jak ukazuje následující příklad.
Příklad 1.1: Nechť R = Z4, nechť /= g = (0, 1, 2, 0, 0, . . . JeŽJxJ,tzn-«(/) = J'(í) - 2.
Potom : /"+ g = (0| 2, 0, . . . ), t. zn. síCŕ+g) « I < m<w (.!((/), sr(g)) , resp. f.g   ■ (0, 0, 1,0,. .), t. zn. ,r/(/g) = Í< íttfif st(g) . Abychom doslali silncjsT výsledky, bude tedy třeba klást jisté dodatečné podmínky buďna polynomy fg nebo na okniri R , jäk ukáží následující vrty.
Veta 1.2: Nechť R je okruh ; f,g.Ě R[x], Jestliže vedoucí koeficient polynomu f nebo polynomu g není dělitelem nuly v R , pak st (J.g) = st </) + jí (g) .
|D ů k a z : nechť platí předpoklady vety; je-li g ■= o nebo /= o  , pak f.g- o   a tvrzení vety platí. Nechf tedy fg ^ o , pri cemz jf(/) - ni , i/(g) = n   a nechť f.g = (c0, c.....) . Pak jé :
> (C- •*;+•••+«_:••»- ■)+ "m k + («m.,- Vi* • •■ + aóA„„)-
Všechny souřiny v prvé i druhé závorce jsou nulové, neboť a = 0 pro k > m
Y '
resp. .fr, -0 pro k> n . Tedy ^ = af. bn * 0' podle předpokladu vety ledy je sl (f.g) S» m + /i * st (f) + * (») , odkud vsak vzhledem'k (6) dosta'-vanie žádanou rovnost. | '■ ■
pH„uWkoefiäe„, polynomu / i K Je díliteUsm nuly t »'
Důsledek:
Nechť # jc obor integrity. Pak pro libovolné' f.g S R[x\ plati « tfř) - tt (/) ♦ »/ <*) • |D ú k a t : je-li f"gm o , pak tvrzení zřejmě platí Je-li alespoň jeden z polynomu f,g nenulvvý, pak jde o přímý důsledek předchozí vety. ]
Vřla t J: Nechť K je okruh . rtech ŕ /€ R[x] je nenulový polynom. Potom f je dělitelem nuly v R\x) <• existuje c SR, c -ŕ- 0 tak. že c.j = o.
(D ú k a Z : " <=* " zrejme, neboť" e G R, c 0 lze cllápat jako nenulový polynom B /([jc]
"    označme /U) " "o + "ix * ■ ■ ■ *       • ?oc"5, P'edpo kladu existuje polynom g e R{x\, g* o takový, ze f.g -o. Nechf « (x) = Je-li j/(g) = 0, pak je tvrzení dokázáno. .Nechť .
- o,
, a.gM ■
tedy st <j) > I ■ Nyní stačí dokázat, že existuje polynom h e R[xii h # o , 5( (/l) < S( (g) tak, Se /. /i = o , neboť pak po konecnřr.i počtu kroků stejnou úvahou dojdeme k zadanému tvrzení.
Uvazíme-li polynomy (7) «o g(x) , a, gtx) , .
pak mohou nastat dvě možnosti :
1) všechny polynomy v (7) jsou nulové a tedy mimo jine platí :
odkud pak dostavíme, ze b   ■ fí.x) = 0 . Stačí tedy v tomto případe' položit
* W -im ■ .
2) existuje index r (0 < r K n) takový, ze
(8) ar . g (x) o
a dále pak :     a^, . £ U) ■      . g U) = ....= an. g (x) = a Pak ale je :
(9) o = (ťz0 + íí,.t +,..„+ anxn) . g (x) - (aD + . . . + a/1") .'£{*).
- 21
Polozme : h (x) = ar g {x) . Pak z (9) plyne, ze jŕ (Ji) < st (g), nebol" jinak by totiž; polynom na pravé strane (9) nebyl nulový. Podle (8) je A :# o > Při tom /. /( - ar . f. g - o , t. zn. h je hledaný polynom. ]
Poznámka: z předchozí věty je vidět, zé je-li / polynom, jehbT alespoň jeden koeficient není dělitelem nuly v R  , pak / není'dělitelem nuly v R[x].
Důsledek:   R je oborem integrity   ■» R[x) ie oborem integrity.
[D. u k r z : ."■»*' je přímým důsledkem předchozí' vety^. ***»" : plyne z toho, že prvky z Ä lze chápat jako (konstantní) polynomy z /*[*]. Je-li tedy r.s G R  ; ris     0, pak musí byt r.s =r 0 , ponevadzpodle předpokladu
Je oborem integrity. ]
Poznámka ; okruh polynomu R[x] hcmúz'e být v žádném .pnpade^telesem, neboť napr. polynom / {x) = jc je nenulový a v R[x] knemu, neexistuje inverzní prvek. Zabyvame-li se otázkou existence jednotek v R[x) (tj. polynomů, k nimž existují v R[x] inverzní), vidíme, ze kazda'jednotka okruhu R (chapana'jakoi'to konstantní'polynom) bude Jednotkou okruhu ÄJxj.! Obécne'ovsem i k nekonstan-t-ním polynomům múze v R[x] existovat inverzní, häprľý Zi[x] je ;
Cl + 2x) . (I + 2x) = 1 t. zn.-lineární' polynom / = 1 4- 2x je jednotkou v
Omezíme-U se vsak na obory integrity, pak se situace zjednoduší, jak ukazuje nasle-dujía.véta.
Veta 1.4. : Nedlí'R je obor integrity. Pak fednotka/ni okruhu R[x] jsou práve jednotky okruhu R . 's
[D ú k a z : jednotky okruhu R jsou zřejmě jednotkami' R[x). Naopak, nechť polynom / je jednotkou R[x), t. zn. existuje 'g e'R[x) tik, že f.g = j. Podle důsledku V.1.2. je :
st {f.g) = st(f)+ st (g) = 0 ' odkud vsak plyne, ze st CO = st (g) - 0 , t. zn. / i g jsou konstanty z R. Tedy   /  je pak jednotkou R ].
Poznámka:   je-li R oborem integrity, pak i R[x] je oborem integrity a
ledy v K|x| platí zákony a krácení ípodle V.1.1 kapitoly I), t.j. je-li f.g.h G /<[.v], pak 1*0, f g " f.h =■       g ~ ti
Predpoklndy tohoto tvrzení lze vsak Ještě poněkud zeslabit, jak ukaznje následující veta,
vílu I.S.: 'Nechť R j c. okruh; f. g. h S R\x\. Jestliže alespoň jeden koeficient polynomu f není dělitelem n\tly v R , pak lze polynomem f hatit. tm. platí implikace :
■ f ■ g ~ ľ ■ h      •*      g ■ h
[D u k a z ;; rovnost f.g ~ f.h. lze přepsat dp tvaru    fig? h) = o . Jestliže alespotí jeden koelicient polynomu / není dělitelem truly v R , pak / # o a podle V. 1.3.  / nenřdělitelem nuly v R[x\. Pak tedy g—li a o , neboli "ŕ - h ] .
Pojení dělitelnosti, zavedeny v kapitole i pro okruhy si nynf preformulujeme specielně pro okruh polynomu fí\x\.
Definice : ,/Ver/j/'R je okruh, necht'f, g e. R\x]. Existuje-ll polynom h 6 R|x| í vlastností :
r • g h
pak tikáme, ze polynom g de'lí polynom f a píšeme : g>f. V o-pacnem prípadetikáme, ie g nedél.f í opíšeme: gttf.
Poznámka : stejne jako v obecném prípade, je-li /"= o ; pak zríjmŕ g\o , pro kaz"dy polynom   g e R[x\. Naopak, je-li  g = o , pak, pif jedine v prí-
ľ t/
pade, ze  / = o .
Vzhledem k tomu, že R[x] ie okruh, k tety nemusr.být oborem integrity, a h véisína vlastností'dělitelnosti byla odvozena pro obory integrity, nelze obecní všechny výsledky § 2, kap. 1 přenést na polynomy.
«.'l >, ,
il
JSm.
§ 2 : DĚLENÍ SE ZBYTKEM DVOU POLYNOMU
Definice : Nechť l< je okruh; ,/, g S R[x\ Říkáme, íc v R[x] lze pro »nl d e I e n I s e zbytkem polynomu f polynomem g , jestlife existují polynomy   q, r e R [x), splňující:
i; f ■ g. ? + r
2. si (/-) < »( (s)
Polynom q \ resp. r, se potom nazývá podíl , resp. zbytek tohoto dělení.
Poznámka : je virlít, že pro g = o nelze (pro ííůný polynom !) deienfsc zbytkem provést, nebot" nemúze být splněna podmínka 2. V dalším se budeme zajímat o to, zda pro g <č o déíení se zbytkem provést lze, resp. zda podíl q a zbytek r jsou určeny jednoznační'. Následujícřjednoduché příklady ukazují, íe odpovídaje v obou případech obecné' negativní.
Příklad 2.1.' V okruhu polynomů Z[x] uvalme, polynomy fjf, 3X , g ■ 2\. Pak zřejmí rrelze najít-polynomy q* t O 7<\x\ tak, aby platilo ,(_ , 3x = (2x), q + t   ; st (i) < .1 * slig).
Přiklad 2.2.: V okruhii polynomů Z,[x] vezmřme polynomy :
/= 2x3 + ix l- 2 ; g = 2x' + 1 .       *•**'   11 ' Pak zřejmé platí: ,, .
ix' + 3* +2 • (2x» + 1).(* r 2),+ 2* =,(2*? + 1), 3» + 2 » (2X1 + 1). .(2x2 + x + I) + C2x +1.) , atd,, t. zn. délenř,se zbytkem/.tle prove'st lze, ale podií a zbytek, nejsou určeny jednoznačný .
Vňa 2.1.: Nechť R je okruh, nechť f.g 6 R[x\. Je-li vedoucí koeficient polynomu g jednotkou okruhu R, pak v R[x] lze provést deleníse zbytkem polynomu f polynomem g.
lD u k a z :  označme   /= (/0  r atx + .
s = /;„ + b,x + .
. + atix" ■ * h.. X"
Podle predpokladu je hm jednotkou R ,   t zn. v R  existuje prvek b''
24
Tedy je st ig)     O . Vŕítu dokážeme indukcí vzhledem k st (/) .
Je-li   st (/) < 51 (g), pak vííta platí, neboť stačí* položit q = o,i  - f. Nechť tedy je st <f) > ti (g) . 1. zn. st (J) = i/ (g) +   , kde k > 0 je cele cYslo. Při t = 0 (I. zn. «(/)-« <g) ) položíme í;(x) = a„./£ , r(»)"/W- «„    ' . * U). 1'ak zřejmí f-g.q * r • »»(') < t((g),Jak plyne z konstrukce polynomu r (x).
Nyní předpokládejme, že víta plutí pro st (/) «; <l (g) t * (ft> O cel/cYslo) a dokažme Jeji platnost pro »*(/)■ W (g) + k < 1 Položme
d) /, (jt) ?/(*)-«„• »;'/M.*w
Tak 7,řejmé ji (/,) < sí ( /) , t. zn. podle indukčního předpokladu existujípoly-nomy í|,(xj, r, (x) s vlastností :
(2)      /,(x) = g<x)   q,(x) '< r,(x)      ;    sl (r,) < JI (g) Z (1) a (2) vsak plyne ;
/U) ■ /,(x) + «„.*;' Jt*" g ti) « g (x), <»,(*) + a„ fr;'.       + f,(i»j . Poloiúne-li <i(x) = 4,(x) + u,.fri re«P- '(x) ■ r,(jc) , dostáváme tak hledané
polynomy, c. b. d.  | .
Poznámka : důkaz vrty 2.1. je konstruktivní", t. zn. je z nějivitiťt postup pio získaní podán a zbytku při dflenf polynomu / polynomem g (za předpokladu, uvedeného ve vít6). Tento postup je v podstate shodný s algoritmem
ení reálnych
polynomů, zna'mým ze stfední skuly, roimfílnřzpůsob za'pisu, který budeme používat, si ukalme na následujícím pKíkladu.
Příklad 2.3.: V okruhu Z4[x| provedte dřleníse zbytkem polynomu f - 2x3 + 3jc' + 1x * 3 polynomem g ■ 3x' * 3x ► 2 . lúäení: J je jednotkou v okruhu Z,, t. zn. dMni lze provést.
( 2x« + ix' + Ix + 3.) : ( 3x! + 3x + 2 ) | 2x t 3
-2x'± 2x'____
x1 + 2x + 3 -x1 t   x +.2
x + 1
ledy / = f 'I + ' ■ kdc   1 = 2* + 3
ill :
Víta 2.2, ta^ «, ,« okruh ; nechŕ s s «„) ye
»,,,Wä„.....,,„ /v . Pak pro tib. A€ Ä„j exUtu/. ^ ^
dtOftee polynomů  q , r lat, ze
e f|
í' (r) < K (g)
+ 1
[Dukát ; necht" platí předpoklady vety a nechl' q, r resp. q. r jsou dví dvojice polynomů požadovaných vlastností t. zn. platí : (S) / = «■</■+'■    "    g . <(' + r'
kde si (r) < jl (g) ,   sl (r') < sl (g)   Odtud víák plyne, le ; H) Jl(r'-i) < ií(g)
Pfépeanlín vztahu (3) dostaneme : g (q q') = c' - r , t. zn. podle V.1.2. je :
.   sur'-r) p jí (g) + st (q-q') . Ze (4) a (5) pak dostávame : jí (g) + jl trp—í/') < st {g) , pri Sennf «(*).> 0 . Tedy nmsf byt ; st (q-q') =■'-«•, t. zn. q = q' . Odsud pak vzhledem k (3) dostáváme, že r = ľ' , c. b. d. j .
Veta 2.3. : Nech ŕ R fe okruh, nech ŕ x e^UI JE* polynom, jehoz.ye.dou-cíkoeficient je jednotkou okruhu R . Pak pro lib. /;e R[x] lze prove'st dělení se zbytkem polynomu f polynomem g , ph.'cémž podíl a zbytek tohoto delení jsou určeny jednoznačná ; :
[Důkaz :  tvrzení víty plyne ihned z předchozích dvou vet vzhledem k tornu, íe jednotka okruhu R neiiŕnikdy dělitelem'rilily v R ].
Důsledek:1 Nechť R je teleso. Pak delenŕse zbytkem .polynomu /,,polyno-mém   g   lze provést pro libovolné polynomy   f, g ě R\x\ , kde g j= o , pfi cemiť podíl a zbytek jsou určený Jednoznačné^
[Důkaz '. tvrzeni plyne ihned z předchozrvety vzhledem k tornu, zé v telese je kai^dý nenulový prvek jednotkou   | .
Poznámka: Je-li R   teleso a jsou-li /, g S R\x] . g #o , pak pFí děleni polynomu /  polynomem 'i  jsou podíl q,  a zbytek r   opit polynomy Z jak plyne ŕ: algoritmu delení. Tedy, je-li S libovolné' nad teleso telesa R  a deííme-li
- 26 -
v S\x] dva polynomy, jejichž koeficienty jsou z íi , dostavíme .podii a zbytek, jejichž koeficienty jsou opět í /?.
I 3 :  HODNOTA POLYNOMU, KOŘEN POLYNOMU
Definice : Nech ľ R je okruh; f - aa + a',x +'.'..* í . t" je polynom z R[£] ; c e/? je pevný pn'ek.Potom prvek:
n0 + atc + ......+ a^ť" € /? '
označujeme symbolem Ac) u nazývame h o ú n a l o u p o t y n o m u f v b o d e c . -
Je-ll f (c) = On , pak prvek c nazývame k o ľ e n e m polynomu  f .
Poznámka :      z definice je bezprostředně videí, že kazdy prvek-.c, 5 R je kořenem nuluvého polynomu o , resp. polynom atupně^nula naopak nemí.nikdy řádný kořen.
Lineární polynom  / e \R\x\ , t. j. polynom tvani :.,. ..     .„ ■ ,,-t
f" aa + a,x .  í a, * O .,
v prípade, že  «,   je jednotkou oknihu R , ma jediný kořen, »,fj5i\ Jk£i9al Je-li tedy specielně' R   (Klesem, pak každý lineární polynom z R[,*|rná pravé jeden kořen. Polynomy vyssTch stupňu pak obecné kořeny mít mohou, ale také' nemusí, při cemzfpodstatne'zálezTna okruhu R . Problém nalezení kořenu poly-nomu je jedníin ze základních problému celí algebry. Obecne vsak neexistuje algoritmus, který by umožňoval kořeny daného polynomu .určit. ,htUíÍK.i
Věta 3.1.: Nechť'R je okruh; necht1' f, g e R[xlJ'akplalŕ;
1. ie-li f - g , pak je   f Ir) ■ g (r)    pro každé r SR
2. (/ + *).</) - /w *r W • ••' (/   f) (r) ■ /'<>■)    g (r)               pro každé' r B R --.(.i (Jg ) 10 - /C') .|(f)
[U S k a t : ad I   plyne ihned z předchozí definice, ... . .
ad 2 ; dokáže se přímým rozepsáním,,; provedme,,ši .toto napr
■m
27
pro squč'in f. g .
Necht tedy /=(«„, a....., a , 0, .'.   );»-(„   » ,,     „ .„
» . '* ■ I,? ».:.?!•■ '■!?„,»",...). Potom
/  g - <."„h0, «„&,+ »,/;„, .
t /'
odkud :
if$ ) (r) -d,*, f o, *„).;■
V") •», +<*,*•        • • + «„/»). 'v + 4,/. t,.. *a/j^
=%      + ... + «/ ).«>„ + ŕy + . ..t^). = /(,) ,glr) j
.••*t»\tv*)i»«*...-
VÉtn 3.2. : Nechť R je okruh, ľuk prvek c S R je koľenem polynomu /G/ijxJ práve když polynom (A'-cl dílí f .
[D ú k a z :  l, nechf c je kořenem polynomu /. Polynom (x -c) je normovaný, stupne' I, t. zn. podle V.2,3. existuje.práYČ jedna, dvojice polynomu1 q. r § lt[x\ :
f - (*-ť).  <l + r ; . si (r) < 1
protože vták /(c) » 0 , musí byt   r « o , a.tcdy   (.v--c) 1/
11. nechť (x-c)\f, t. zn. / * (.t-c)l, /i , kde h E fllxj. Pak ale /(c).« 0 . ft(c).= 0
t. zn. e je kořenem polyno.niu /.,.].,
Definice: Nechť.R je okruh, nechť/k ,je pľirozené číslo., .ľrvek c £ R ,ie nazýva^ k 'násobný k o Če n-.   i nebo lez k o fe n násobností   k } polynomu f GR[x\ . jestliže platr: (/) (x--c)'   I /
(//) (x-ef*'if
Poziiiíiiikn ; pri * » I budeme mŔtó " 1-násobný kbFcn" říkat té'ž' "jednoduchý koreň". Dale, t definice dělitelnosti polynoniú ihned plyne platnost následující
implikace: . / v.   Y/, . ,:.
O—er I / P'" pevne pfir. cislo s * [x—cr 1/ pro lib. Ks ,
/ i>řir. číslo. Specielní' tedy (podle V.3^2.) : kaídý   k - iiísobný kořen polynomu
f je kořenem /' ve Smyslu puvodni definice.■•     •' .• .-. •
Dále. jestliže platí: Lx-cf \f pro piSjake přirozené'číslo s , pak můžeme, říct, že
r je alespoň    - násobným koŕénem polynomu /(t. zn. kořenem násobnosti ,v
nebo vysíí}. Při tom vsak zřejmě' násobno.st libovolného kořene nenulového polynomu / nemiížc být vétsí ne{ stupciľ tohoto polynomu.
Víta 3.3 : Nechť R fe okruh. Pak pivek c e R fe k - násobným kofenetn polynomu f fc R\x\ pravé1 kttyz existuje polynom hGR\x] takový, ze: f ■ (x <)*. A a        h ic) * (I
[ T) u k a z :  I. nechť" c Je k - násobným kořenem /. Pak (x-ť)fc 1/ , t. zn. existuje /i£Ä|.t| tak. ze   / - t.v-t)*   A   Kdyby A.(c) « 0, pak poille V.3.2. U--c) ! It . t. zn.   h " (,\--c)  A(. a po domem:
/ = (x-cl* . (r--c) . A,  = (*-c)*». li i t. zn. prvek c by byl alespoň (ft+l) - násobným kořenem polynomu /, coiťje .spor s předpokladem. Tedy A(t) & 0.
II. nechť /= (x-f)V h , kde h (c)* 0 .Je tedy bt~t)*\f. Dale, kdyby (x-r)**'1/, pak /«(*-<•)*". »- (x ■ c)* (x - c) . g , t. zn. dostávame : (jt-ř)* . A » (.»-«)* • Ur-c) • ř
odkud podle V, 1.5., po zkra'uení polynomeni (r cfř dostáváme : A = (x-c).j? , t. in.   A (c) = 0, coit je spor. Tedy musí být (x-cfXf a dohiomady dostáváme, ze c Je fc - násobným kořenem polynomu f \ ■
Vžla 3.4. :   Nechť K le obor Integrity ; nechť f e R[x\ , ) * o Jsou-li c,, c,, . . . , <: navzájem různé kotítiy polynomu [ o násobnostech klt Aj, ... , kn. pak polynom f le dělitelný polynomem :
C-KT-fl )*!■{.*-ť,)*l - ■ • • • •(* ■■(•„)*»
II) u kaz: provedeme matematickrm indukcí vzhledem k číslu /j . Je-li 9=1. pak tvrzeni'plyne z definice ft - násobného kořene. Předpokládejme, že tvrzení vety platí pro  1,2,-.., n- 1   Pak tedy ;
U ■ 11 )*l.....(A-'-,, i'*" ' 1
t.zn. (I) /' = tJ-C,l
Prvek   r  pak musí být kořenem polynomu A, nebol
0 « /((„ > = U'„ -r,) 1
/(  je obor integrity plyne : A U;,)
/, (c ) , odkud, vzhledem k tomu, iíc P. Nechť tedy c„ je t - libným kofeneBi h
■ r
1 /íl
1
M;
29
Pak podle V. 3.3. lze psa't :
12) h = (t -t;,)' . A,
Podle předpokladu víty a V.3.3. lze psa't :
(3) . f = (x-ej" . A, ;        /i,(C(i) ^ 0 Tedy dosazením (2) do (1) a porovnaním s (3) dostávame :
(4) íx-c,)V . . .-(.v-c;,.,)*"-'. U-c)'. A, - {x-cJ'.. . li1 . Jestliže   kti > t, pak po zkráceni polynomem (x-ť )' dostávame :
(x-c,)' . . . (*-<;., ?«-'. h,' tx-cj-' - h,        - • •' což" však vzhledem k V.3.1. vede ke sporu (neboť hodnota polynomu na leve'strení v bode cn je nenulová, kdekto na pravé straní:'je nulová). Analogicky dojdeme ke sporu při ktl < t. Tedy musí být kH - t. Pak ovsem ze (4) dostávame :
(x-ť, )*'... (x--t„_ ,)*"-'. U-c )"" i r ].
Důsledek: Necht R je obor integrity. Pak každý polynom fSR[x\, stupní m > 0 , má nanejvýš m koremi.
Přesněji řečeno, jsou-li ť]cn navzájem ruznŕí kořeny polynomu '/ o násobnostech fc,, ... ,_k , pak platí :
*,+...+ Aj, < m
[D Ä k a z : nechť c,, . . . , t jsou navzájem různé kořeny polynomu /
o násobnostech *......k . Podle předchozí víty lze polynom '/ vyjádřit
ve tvaru : h k
/■ (Jt-t|)1 . . - U-c„)" . h , h e.R[x], kde zřejmě' h <t* o.
Tedy :
OK m *| •+ ... + An+ it (A), kde ale sf (A) > 0 . Pak je ale
m^fc, + .... + /c , coifje zadaná nerovnost. ]
Předchozí veta a její díísledek nepláli obecne pro libovolný okruh R , t. zn. předpoklad o neexistenci dělitelů   nuly y R   nelze vynechat. Jak ukazují'následující pŕľklady.
Přiklad 3.1. :   V okruhu Z4I.rJ uvažme polynom / - jr.3 + 2x = At-t1^ 2) . resp. polynom g = lv. Pak ;
1) polynom /' má dva jednoduché' kořeny Q a 2, avšak součin .r.U-2) nedělí /'
2) polynom j? je stupni I, ale má dva různé kořeny 0 a 2.
30
Příklad 3.2.: V okruhu (ZXZ) |.vj uvařme polynom f = (l,0)x. Vidíme, ťe polynom / je stupmT l , ale mí nekonec"hé"mnoho různých kořenů, neboťzr'ejme' každý prvek (voru (O, a), kde a 6 Z , je kořenem /.
Vŕta 3.5 .: Necht" R je nekonečný obor integrity ; nechť f £ R\x], f   o . Pak existuje prvek r G R lakový. íe f {r) & O .
(Důkaz : je-li / ^ o , pak podle předchozího důsledku mí polynom / nejvýše m .různých kořenů, kde m ■ st (/) je pevní cele nezáporní číslo. 7? má víak podle předpokladu nekoneční mnohoprvků, t,.zn..musí existovat prvek rG R , který není kořeném /. , a pro néji"je tedy / (r) ..^=0 ] ,
Definice: Nechť R je okruh, f E R[x\ polynom. Pak zobrazení: <!>, : R -* R
definovaná.vztahem .^.(r) ~ f {r), pro libovolné r^R, se nazýya.polynomlální funkce polynomu f.
Je-li   ♦ ,:. R    R nějaké zobrazení, pak * se nazývápolyrtonualnífynkce, je-li polynomiálnífunkcí nejakého polynomu, z R[x], l.j. jestliže existuje f e R\x] lak, Že   * = "J^.
Oznaténŕ; nocliř R je okruh ; symbolem RR označujeme okruh funkcí' (viz příklad 1.2, kap. I.). Dále nechť?' znaíf zobrazeníokruhu R[x\ do okruhu
RR , definované'vztahem :
Pif) = itf   ,    pro. lib. fSRlx)
t. j zobrazeni' kteří kařdemu polynomu přiřazuje jeho polynomiální funkci.
Víta 3.6.: Nechť platí výší zavedené oznactnť Polom : \: zobrazeníS" ■ R[x\ ■*. R" je okruhový'homomorflzinus ......
2, mnoíina 9" U<[x\), sestava/fnz polymimlálních.funkcí, je unitárním podokruhem okruhu RH ■ [Un.ki! : ad 1. : nechť /. g 6A|x| . pak pro libovolné ľ G R je :
ďif+sn (rj - 'i'/„c) ■ Cf +») to" /W + tto =
ledy. platí:?"(/ Hy) -        13"gl
- 31 -
Stejným způsobem se ukázc, zcf(Jg) -~i\J) -S^ig) , t. znS"jc homomor-lizmus okruhu R[.x\ do okruhu R" . ad 2 :,. z 1: a z V.1.3 kapitoly I. plyne, ze Sľttltatft' je podokruhem R" . Zbývá tedy ukázat, ze je unitárním podokruhem . To viak plyne ze vztahu :
£</) = I     eSfaljtl) • kde  / 6 ft(.řj zračí jednotkový polynom ). • '
Poznámka : zobrazeníí^obecní nemusí být Injektiynfa tedy nemusí být vnořením. Ovčím v radé důležitých případů (na pK pro R ='Z, resp. Q, resp. K) vnořením je, jak dále ukájíeme. V těchto případech pak můžeme polynom ztotožnit s jeho polynomiální funkcí.
Definice: Nechť' R f, okruh. Říkáme, 'za dva polynomy fg e RMjsou funkěnr rov „ / , je-li ,V) . ^ /mf„ libovolné r <= R.
Inymi slovy, je-lt f[r) = g (r) , pro
Poznámka : dva rovné polynomy / ■ g jsou podle V.3.1. (část 1) vždycky funkční'rovní, opak vsak obecné platit nemusí! Vezmeme-li na pfTv Zt[x] polynomy  f=x3*x+l    ;   g = Zx ■+ 1   , pak zrejmí f* g, ale/(O) = g(0)= 1, fW " I (i) * "i f 11)" g (2) "2 , l. zn. polynomy / a ,s jsou funkční rovní. Následující veta udává dostatečnou podmínku pro to, kdy oba tyto pojmy splývají.
Víta 3.7. : Je-li R nekonečny obor integrity, pak dva polynomy z R[x] jsou rovnápráv f kdyťlsou funkčnC rovná.
[D ů k a z : předpokládejme, tt R je nekonefiiý obor integrity. Nechť polynomy f.g & R[x\ jsou funkčné"rovne', t.j. / (r) = g(r) pro lib. r e/i. Uvažme polynom h - f - g. ZféjmoTje :
h (r)- (A-í) (r) -/(#•) -i (r)- 0 pro kařde' r   R, odkud podle V.3.5. je h - o , t. zn. /"--<; = o a polynomy / g  jsou rovní! Naopak, dva rovne polynomy jsou vždy ťunkcíií'rovno pocite í. fästi V.3.1. ] .
Důsledek : Necht" R je nekonečny'obor integrity. Pak zobrazeni"& z V.3.6. je vnoŕcníín okruhu   R [.x\ do okruhu RR .
w   - ,- , u v T f,  V 3 7. a definice zobrazeni S 1 ■ ,D S k a z ; jde o prímy dudcdek V.3.6.,
x í  „horem integrity můťeme ztotoínit dan/ Vidíme tedy, ft nad nekonečným — £~ ^
an0,„. kde ae s obecnSji „ ^ z—i
ľ       ' 'eňwm'' "SP; ctselnym okruhem nebo cfelným
provést napíT nad kaídým (netrmalním) uselnym
coi obojOsou nekonefne-obory integrity. , fc
32 -
í r
lil
mam
- 33 -
§ 4 : DĚLITELNOST rOLYNOMLJ, NEJ.VÉTÍrsPQLEČNY DĎJTEL.
ÚMLUVA : všude v tomto paragrafu predpokladáme, & R znacľtélefo.
Pojem déiitelnosti polynom& byl definován nad libovolným okruhem na konci § 1. Je-li väak R tíleso, pak R [x] je obor integrity a můžeme tedy použít všech výsledků, které jsme obecného dělitelnosti odvodili v § 2 kapitoly 1.
Poznámka: Je-li S libovolné^nadtéleso telesa R , pak mfizéme polynomy J. g e R[x] zřejmé'uvazovat téřjako polynomy v S[x] i; vyšetřovat jejich dělitelnost v S[x\. Nedostaneme vsak nic nového, neboť při délenf polynomu s koeficienty z téíesa R dostaneme podíl i zbvtek opét s koeficienty z R t j. vlastnost polynomu g být dělitelem / nezávisfna tom, vysetřujemc-li ji nad téíesem R nebo nad libovolným jeho nadtélesem o1 .
Veta 4.1. : nechť f, g 6 R[x] jsou polynomy takovel íe f+ b a g\f. Pak platí: sl (s) «S st (ý)
[Důkaz : je-li g\f, pak existuje A 6 Rlx] tak, íó f=g.h. Ponevadi' f * o , musí být g, li ^ o , t. zn. stupni' viech tří"polynomů jsou celá^nezaporntT čísla, při cemz podle důsledku V. 1.2, je : st U) = st Cř) + st (ři). Je tedy st (fí > st (g) J,-
Véta 4.2.: Nechť f, g E R [x] ; pak následujícívýroky jsou ekvivalentní":
(a) f* i
(b) f\g,g\f
(c) existuje prvek c € Ä, c^O toÄ, že : f = c.g
[D ú k a z : veta bezprostředné vyplýva z definice asociovaných prvku, z V. 2. 3. kapitoly I. a z V. 1.4., uvářňne-li, & v telese je jednotkou kaáfdy
- 34 -
Vítat 4.3.:' Nechrlím povitom v z A'1*1 platí: g      .'.v,-j f'fi [kile k
je pevnépriruzenécislo) a nechť /i,.....hy jsitu libovolné polynomy z R[X].
Puk: '■■    '   ■■■      '•■'■■•■ -.'. ,, .
$\tf,.ll, * .. . + /,./it)
•• I Důk á z..: tvrzení je.specielním případem V.2.1. (část 2) kapitoly .1.1 ■
Take pojmy společný dělitel a nejvčtíí společný dělitel množiny M , studované vkapitole I.,lze opet přirozeným způsobem přenést na polynomy nad tělesem R . Omezíme .se .tentokráte, na případ, že fll je konečná množina.
,, Definice: Nechť h, I,,fk<=R\x] ; je-li li\j] (/- I,..'.,*),' 'pak polynom M. se nazýva   společný délítel  polynomu f;...,fk.
Definice: Necítí j\.....fk<SR[x) . Pak   nej ví lil m společným
dělitelem   I zkrácené: n. s. d. J polynomu fít.-.,fk nazýváme polynom d e R \x j, pro néjz ptali:
(i) d je společným dělitelem polynomu j\, ■ ■ ■ ,fh
(li) je-li h(žR{x] společným dělitelem /i,..,/?, pakte h | </.
Víta 4.4.: K libovolným polynomům j,,. . . ,fkSR[x\ (k přirozené'číslo) existuje nejvétU společný dělitel.
[Důkaz: je-li f,■'« & « ...f » e , pak zřejmé o je jejich ncjvétš!
společný dělitel. Neclif altapon jeden z polynomů /',.....fk je nenulový.
Označme:
M = [/,      + . ,. + fk.h, I /I,-----/i»6/?[jr) lib. }
Množina M má zřejmě lyto vlastnosti:
(«) /, S M . / - 1.....A:
((I)  je-lí K, ,fi6M , pak též g, tg., 6 M
t7) je-li .i;S M , i/6«|.vjlib.. pak g i/P.M Vzhledem k lál obsahuje množina M nenuloví polynomy; mezi nimi existuje alespoň jeden nejmenSího slupne. Označme jej c/U) .
- .15
Nechť, s g.M lib., pak podle důsledku V.2.3. existují ij. r t£ R|.v| lak, :
g ■ </.</ t '       :   .<< Ir) < a/ (J) /. IP) a (,7) vrak .plyne* ze r (c M, a vzhledem k.tpmu. ja,k byl vyhrán pojynom d, musí být r= p. Pak d I g, t. zn. specielní1 d\fl,i=\,....k,,Jxily/djt společný dělitel /,.... ,fk .
Je-li h 6 R\x\ společným dělitelem JT,......f    pak podle V.4.3. /rlj-pro
libovolný polynom g e M, Specielní tedy; h\d.
Dohroniady dostávame, lé: d(x) je ňl-s..d. polynomů ■•/,, ... . . f \.
Vito 4.5.: Množinu vXecli ncjvéi.tíícli spolcčíiých dcíitclíi polynomu-fit •-'-ift 6 lt[x\ obdržíme jako[množinu v.ťec/t nenulových konstantních násobků Jednoho (libovolného) nejyélXího společného délllelě polynomů
f>.....4- "'
fDítu-fc.a-z :,v'.,Veta,jeiSRCcielnini případem V 2,b.^r-piíoly.!. uyědomime-h si, ze-kipolynomu ď^i R\x\-: jso.u.aspdp.v^riy.pr^ ,. kde
r: e Ä, c    0 1, ....
■ %Miíi  í^\j i 1 . ,.'|'.\, >.
Důsledek : K libovóliíym * polynomům /,, ... ,'/k'ě'/([x], z nichf alespoň jeden je nenulový*, existuje praví* jedeři norméiřan^'ň'ejVÍtst's^bltítSi^*-",-''í dělitel. Tento normovaný nejvřtsT spolčený" deíiťéí budeme V'dáiSl%'oznaíbvat'~
symbolem (/*,,
; lilii)
[D ů k a z : jde o primy důsledek pfedchozfVety ].-.     ' »«»>»**>.;
Pbžh/niko': ViUřfííc, áe n.-s. díkoqečne'hp.,póptu,polynbn)0, vždy exiluje, [ ále že není určen jednoznačne (s výjimkou případu, z*e R je dvouprvková teleso, sestávající" z Dal), resp. je určen jedlioznačne^aíffla aspeiovanost. Navíc, důkaz V!4.'4. nebyl konstruktivní' t.1 zri: nepodal-návod1 k výpoctu,n.,s. d. ;Ť.ento si.nyní" UVeUeth'é'fftíř ďvá polyhbmy        é R(.vJ,../. nichží.átesp^rí.jeden je nenulový. I'c.'uílttť'nietbdŕí.kiera'je založena na opakq.vaiienTděícn;. polynomů, se jgaxyn lilikleklův algoritmus. ,:.-i/v-.|.
0022
36 -
37
Vypočet n.s.d. polynomů f,gCR[x) Eukleldovým algoritmem:
Nechť f,gSR[x] anechťnapř. g=tt>   Pak podle důsledku V 2 3. mažeme provést následující d&lení polynomů:
/ u g r/, -t r, . sHr,)<st.<g) í - r, q, + r, , ,r(r,) <jf(r,) <■>   * rr    'h *»j . sHr})<sl(r,)
'».,• í* + s'('»)<"('».,)
přj cemz'zbytek v posledním delení je nulový. Po konečném počtu krokuímusíme skutečné'k nulovému zbytku dojít, neboť porovnaním'nerovností na prave'strane'.-vztahů (1J dostáváme : ' ' A.
si (r,) > si (r,) > .....> i/ (c ,) > í( (r,) .
Dokážeme nyní, ie polynom rfc ,t. zn. poslední nenulový* zbytek v posloupnosti delení* ( 1) je hledaný n. s.^d. polynomů /a g. .
(0 : z poslední rovnosti v (I) plyne, in rfc I rk_ (. tlvázíme-lí, řfc triviálné'platí r. \rk, pak z předposlední*rovnosti,'podle V.4.3. plyne, ie rfc I rk2. Analogicky dostávame, ie r, I r^j, . . . atd, aŕ r^ I g a rt! /. Tedy rt je společný'dělitel polynomu f a g. . '
(U) : nechť )ľ€ Ŕ\x\, pri Čcmz h\í';'h \ g . Pak první rovnost z (I) niůíen^ přepsat-ve tvaru .     ,. ,..Jl;,.,    . ,.
=/+« (-<7i> '.
a užitím V.4.3. dostáváme, ře Air,. Podobní z druhé'rovnosti, vzhledem k tomu, ze k'i'g'í li Ir,. uiltSii V.4 3. dostáváme, ie Air,. TaktD postupujeme daje, tfnakonec z předposlední'rovnosti v (11 dosta'va'me, ie h I rt. Tedy ukázali jsme, řc polynom r4 je nejvitSim společným dělitelem polynomu /. a g
Poznámka : vzhledem k tom
u, ie Kukleidfiv alaoritmus uzTva pouze delení"
polynomů, nejvítsí společný^dělitel dvou polynomťl f. g G R\x\ nezávisí na tom, vysetřujcme-li jej v R[x\ nebo y S\x], kde S je libovolné' nadlčleso, tílesa R. Přesněji řečeno, je-li (V, nejv&sím společným dělitelem polynomů / a Ä v •?(*), pak existuje nejvetíí společný' dělitel cl polynomů / a g, který je asociován s d, a je t7 e R|jfJ.
Poznámka : v Eukleidové'algoritmu 0) používame pouze délenídvou polynomů. V konkrétních případech se pomerne často stává, že v průběhu takove'ho delení dojdeme k "nepříjemným" zlomkům. Na př. mámc-li nad poiem R reálných čísel deiit polynom / - x4 + x2 — x + I polynomem g - \5x2 + 5x t 10, pak :
( x'          + x'	- x + 1 )
-3e4'3V-V*%» ..-     3 3	
	-.*.+ 1
*jx>*±x2	9
9	-Si * j' 9
'K	±i-»- ± _s . 27
-25* + -19 27 27	
TL x'---
15' 45
4 135
Z V.4.5. a ze vztahu (1) je vidň. ře v Eukleidovfalgoritmu je jedno] zda k výpočtu užíváme zbytek r( anebo jakýkoli jeho nenulovy'konstantní na'sobek. Tedy, v kterémkoliv kroku kteréhokoliv délcnfv Eukleidové'algoritmu lze násobit kterýkoliv z polynomu libovolným nenulovým prvkem z telesa Ä. Na předchozím příkladu ukážeme, jak se tím urychlí výpočet, zejména při ručním počítání Z úve<lenelio buue patrný i způsob zápisu.
- 30 -
U4._____+.,r.,.::jL.t...ll: US*.* 4 ijr.+JK) |x', v, -4
3.x"      4 3*' -3x i  3       3x! +  r + 2
M*J£íte____
-x'+ x3- 3x + 3 3x3-3x! + 9x   - 9
-Iv3* v' 12x_____
-.12x3 + 21x-27
25x^ 1;9 » /
pfi tom   r - 25x - 19 je polynom asociovaný k zbytku po dělení polynomu / polynomem g. Dále Je ovsem vidět, ře uvedenými upiavami Re''ziiehodnotí" podíl daného dělení, coř vsak vypočet n. s. d. neovlivní, nebol" v Guklóidovětalfioritmu pracujeme pouze se zbytky.
Příklad 4.1. : V Q\x\ nalezněte n.s.d. polynomfl f a g , kde ; /- x" + 3x3 - x' - 4x - 3 ,  g • }x> + I0x' + 2x - 3 .
riešení :
( v" + 3x3 -   x1   - 4x     3) : ( 3x3 + lOx1 + 2x'- 3 ) | x] I
3x" + 9x3 - 3x! - 12x- 9 ■ 3x'±\0x'  t  2x' f 3x
X ,.1 • • -5x: ■■    ftj ' ''
3.v3 r ',5x' + 27x+27 _3x3  ±  |px2 *   2x + 3
(5*1 + 25* +30) - r,
- 39 -
( 3x3 + I0x" + 2x - 3 ) : ( 5x'. + MfjjäOJ | 3x,-5
-3x3..± I5x' t I8x.__x2 +   5x + 6
- Sx1 -I6x- 3 T   Sx1 T- 25x *30
• ( 9x +27) = r7
( x3 + 5x +61 : t?x_+_'2J)_ | x, 2
-x3 ± 3x_ x+ 3
2x +6 - 2x ± 6
Tedy, r, - 9x + 27 je nejvřtsím společným dělitelem polynomů / a g, resp. normovaným n. s. d. těchto polynomu je pak (/,£) = x + 3
Veta 4.6.: Necht" f, g SR |x), z nichž alespoň jeden je nenulový. Potom:
1. existuji polynomy ií,ľEfl[r] tukové, le platí: ' .: (2)                         /. u + g. v = (/g)               ■ '
2. je-li navíc st(f),st(g)> I , pak lze polynomy, u, v vevýrazu (2) vybrat tak, že:
«/(/),>srď), sí(ř)>líí(u)
'•• (DÄ.kaz : ad I : necliř na př. pro ; pak z rovnic (1) Euklěidova algoritmu dostáváme :
;.       rj,~ /   g.ř/i, = /.'/i +g:ľi , oznaČune-li u, = 1 , f, = — t7i ' r5 = g -</«| +gi'i.Wi =*?>)+Í0-V|Tj+*.»• ■ oznaíííne-li lij = ~utq7, ľj - 1 —  ]t72 . Tímto postupným dosazováním pokračujeme dále, aŽ nakonec dostávame (po patřičném oznaícní) : f,-/«»+»»».
Podle předchozího je vŕíak  r   n. s. d. polynomu fng. Necht c je vedoucí koeficient polynomu ŕ . Pak :
-  40 -
(fa) = ("' r, •/.<<? '.«,) + g((.     = /„ + ,
oznacniie-li n- ť 'm.,    ľ - ť ' r, . ad 2 : nechť- sl (J), sl Ig) > I  a nechť 11. v jsou polynomy "plřlujici (2> Necht" sl (k) > sl <g). Podle důsledku V 2.3. lze psál :
« " g. q' + r , kde sl (r)< jMg) Dosazením do (2) dostávame :
< f.g)- f («••'/ + ') + *!■ 'f.r + g(fy + v) kde polynom r má jiř poradovanou vlastnost. Tedy mfiřeme předpokládat, ze u. ľ jsou polynomy splňující (21, pfi cení)1, if (g) > Jf(w). Dále sporem ; nechť sl ď) > af (/). PBk Je :
sl (g) + sl (v) > sl (u) + .vi (/), neboli sl (g.ť) > jí (/u) , odkud plyne, íe musí být : v/ (/« ♦ j,r) » « Ijř).
Pak ale ; sl ((f.g)) - »» í/u + £.F ) » .« (g.vl » jí (*) t Jí (v) > 1+Jí<0 > sl (fl , (.oj je spor, neboř podle V.4.1. Je sl ((f.g)) < Jí ( f). Tedy jf (/) > .tr (v), c.b.d | .
Poznámka : z důkazu I. íástl předchozí víty je viclett, íc pfi konstrukci polynomů u.v splňujících (2) používáme kromS zbytků i podíly díleníz Euklel-Jova algoritmu Pfi konkrétním výpočtu nelze tedy v proběhu delení násobit libovolní nenulovým prvkem z R , jak lomu bylo pri hledání n.s.ď.
Príklad 4.2. : V (>|x| naleznäle polynomy u.v. splňující 12), je-ll dano : /= x3 - .v' + 3x - 10    ,   g - x3 + 6xJ - 9x 14
áeíení: pomocí Eukleidova algoritmu hledíme n. s. d. polynomu ftg. při cenit si průb&fné' oanačujeme nalezené podíly a zbytky. Zde dostaneme tpo výpočtu) :
f ■ 'i   + "*|J f) • W» »i « " | * -     • r' ' x-i
Tedy : tyli) » r, = x- 2 , při řem*1 snítnyni výpuJtoni najdeme polynomy U.V
235 4W
235
:
41
Pak
49 49
49
54 235
235
235
Definice: Polynomy f.g 5 R{x) nazývame ncsoud&n/, je-li (f,g) = 1
Víta 4.7. : Nechť f.g S R(x| ; pak polynomy f,g jsou nesoudéln^prďvp ■ když existují polynomy u,v e R[x], splňující: . ,.. '.
(3) f.u+gv =1 ■ ,   ■ ,'-4.
[D ů k a z : jsou-li /,g nesoudělné' pak z předchozí definice a z V.4.6. plyne (3). Naopak, nechť existují polynomy H.ľ e R[x], splňující"^). Pak zřejmí ales-poiíjeden z polynomu f.g je nenulový a tedy existuje normovaný n. s. d. (f.g). Z definice n. s. d. a z V.4.3. plyne, ze (f,g) \fu + g. v = 1, a tedy (/,g)= 1 ] .
Vřta 4.8. : Nechť f.g,h e R \x\ Pak platí:
1. (fa)" 1  ■   ,   tt'i>= 1        -        Cf.*W" I
2. /i I fg        .   (h.f) =1        ->        íi I g
3. g I/, h I/,   (g,/i)= ľ       "       g./i 1/
|D ú k a z : ad I ; je-li (f.g) = l.pak podle V.4.7. existují u,v6A[x), splříujícř(3). Po vynásobenř(3) polynomem h dostáváme : (4) f.u.h t g. v. h - h
Nechť qeRlx) je polynom, pro nřj£ q\f; q Ig.h. Pak ze (4), podle V. 4.3. je q I ft. Tedy také' q I        « 1, odkud väak dostávame, ře (f. g.h) • I.
ad 2 : Z předpokladu (/i,/) = l podle V.4.7. plyne, že existují u,ve/![xj tak, ře
».«+/.» »1 odkud po vynásobenřpolynomem g dostáváme : (5) h.gu + f.g. v   " g ■
Ale   h I Ji . h I/g, t. zn. z (5) podle V.4.3. plyne, ú h I g
ad 3 : podle předpokladu je g 1/ , 1. zn. existuje polynom q. S R[x) tak, ze f= g.q,
7418
. dfo podie predpok.adu i. /. I.„, . Pfi vl,k (,./■) - .. Tedy pod., přiví dokázané UM 2. M U,. "•*>" «, - "í. - P* «' £ *l"'
Po dosazení dostáváme :
Na záver jeslť"poznamenejme, Ŕ Jsou-ll ta«JI|.l P*-™ neaoudeW v.^. pak íf jsounesoudeVrovníív S[x], kde S Je libovolné nadtSíesp tílesa R,, (jak plyne z Euk.eldov. algoritmu a , definice nesoudných polynomu,.
Bi V,"
v
I
ľí:l,
- 43
§ 5 : IREDUCID1LN1 POLYNOMY, ROZKLAD POLYNOMU.
ÚMLUVA ; Vfude v tomto paragrafu predpokladáme, ife R značí téícso.
Pojem reduclbilního, resp. ireducíbilnino prvku, definovaný v kapitole I., lze opft přirozeným způsobem přenést na polynomy. UvSdomme si jen, fe je-li R teleso, pak jednotky oboru integrity R[x] jsou práve'všechny polynomy stupne 0, resp. navzájem asociovane polynomy musími't stejný stupetí (plyne z V.1.4., V .4.2. a z důsledku V. 1.2).
Definice : Nechť f eR[x\;st(f)> 1 . Řekneme, le polynom f je   r edu-cibiln! v R[x] (nebo te'S nad tžlesem R), jcstlile existuji polynomy g,hBR[x\, \<Z,si(g),st'h)<st(f) takové.leptali: } /-
V opaéi\ém pfípadl Hkéme. ie polynom f je treducibtlttt v R{x]'<nebo téi nad télesem R).
Poznámka : Vidine, Že předchozí definice je specielním případem definice rtdu-cibllnfho(rěsp. Ireducibilního) prvku z §2, kapitoly 1-Pak tedy na pří nazákladé V.2.5. kap. I můžeme říci, ťe polynom / Je lreducibilníířespi reducibilni) nad Rpravé kdyf c.f Je ireducibilní(resp. reducibilní) nad R , pro lib. rSífďO.
Přiklad 5.1.: kaídý lineární polynom /6/í[x] je ireducibllní nad tílesem R, jak vyplýváVřímo z definice.' ",
ÓpáSna'implikací obecnrneplatř.Jak ukazuje následující příklad.
■   Příklad 5.2.: y R][x] uvažme kvadratický polynom / = x* +1. Pak /je zřejmá' ireducibilní nad teletem R,
Uvažujemc-li tentýž"polynom f = x' + 1 jako polynom z X[x),'pak /je reducibilní nad fC, neboť" / = (x + l)(x-l)
Poznámka ; 1 předchozího přikladu Je vldít, ío při zjiífováníreducibillty £i ire-ducibillty podstatné záleíTňa telese, nad nfmf pracujeme a je tedy nutnej zejména v případech, kdy by mohlo dojít k nedorozumení výslovnťuvelt, nad kterým tělesem je daný polynom reducibilní resp. ireducibilnL*
Obecne pak platí následující veta.
Vila 5.1.: Nechťfe /S(xl " nechťR, je libovolnénadlélesu tilesa R Pak ptali:
1. je-li f reduclbilnív R[x\, pak je reducibilnív R,\x\
2. fe-lif ireducibllníy R ^x], pak je Ireducibilnťv R[x).
[D ú k a z :' 1. čašt vély plýné ihned z definice á1 2. ťašt je pouze iogickýhi důsledkem l.ČáStí'].- ' ,i.y;j;^,^v     ::;;*ť ^
Véla 5.2.: Nechťf.g 6R\x] ; nechť f ji: lreducibilní nad R. Pakle bucť (f,g)'= 1 neboje f\g. ■" *
ID úkaz: netliCplat/pftdpoklad víty a nadít' ,ifjr\ r 1-.P<* ^u«íbyt. st ((/») > I-ZřejmřOze psa-!- (/,«)../; protoře vSák J* Jo iredireJbUnípolynom, musíbyt jr(<7) = 0. Označíme-li ((i)'tes, p»!; c ± 0 a můžeme pj/t; fóf) ■«"'./,«.»!. ZféjmerjB (/;£)lg a z transitlvity relace dělitelnosti pak
plyne : /lg J.
Víta 5.3, : AffcAř/egljJ [pak nesledujícív/růky jsou epfvalenfní.*.
W f je lreducibilní v.R[x]   .      .. . . ....._   ■    ř, .
(b) JeW/-./1*ft, iete g./i e/clx], pak f\g nebo f\h ... .
.[ Q,5k azl.:.."(«)1-».(bjf.f; nechť /. jejreduclbilijí a nechř/Jf./i, ./J/g . Pak podle V.5.2. je (/,g)=l , t. zn. podle V.4.8. (Síst 2) je/|A.
?,;Jiíi"(b)."» (a).'.' : isporem; nechťplatf (b) » nechťXjg reduc.ilMTni. Pak existují polynomy /i e /! [jc ] 1 <j/(gj, Jf(Aj <.'(/) takové, že platí: f = g.h. Tedy triviálně je "á podle" V^lT/tg,     jř /t.^iloetiVitóipor > platliortí
(b). Polynom / musí tedy být lreducibilní. )
Důsledek: Nechť / je lreducibilní v «1x1 a nechť g,, ...,gséR \x]!ťák, že: Pak existuje přirozené číslo k: 1 .«í  .< f tak.ie f\,gk .
[ D S k a ž : důsledek plyne bezprostředné z V.5.3. užitím matematické Indukce.)
■
- 45
Víta 5.4.: (" Véla o existenci a jednoznačnosti rozkladu na ireducibitnlpolynomy") . Nechť f S Slxl slíf)> 1. Pak :
1. polynom f lze vyjádřil jako součin konečného počtu ireducibilních polynomu nad R, t. zn
0)V=Pi----P, -aw.-s: '
*rf* p,/'e lreducibilní polynom v R[x], i = 1,... ,r' ' irr-'i/.i'
2. rozklad (I) /e jednoznačný ať na pořadí činitelů a asociovanou, i. zn. Je-li • (2) /• ?■.....<?,
fcc/e <7,/e lreducibilní polynom v R\x}. i - i......s, /jux/e K = 's a po vhodném
pfeďslováhíčinileläv (2) je /?, "\/ <?,;'(= 1r s' . - - :-'»;v«   'í. :
(Dftkaz : ad 1 : existenci rozkladu (1) dokážeme matematickou indukcí vzhledem k stupni polynomu /.Je-li st(/)~ l.pak podle příkladů 5.1. je / iredu-eibilní. r .»n.Je vo tvaru (I). Předpokládejme.-ze tvrzarrťplafťprpřioly.nomv stůpnťTl. 2.
3. . . . j rt— 1. Nechťjr (/) = n. Je-li /ireducibilní, pak je ji/ v zdanení tvaru: Nechť tedy f Je icdutibllní. Pak exlBtujfpolynomy g,!i S/?[x]j 1 < st (g), j<(A) < jr(/)=n
tak,že f-g.h. PodleIndukfnlíio(predpokladu exlstujílreducibílnípolynomy
, ..pre rtlxitak.že:
jf "P, • ■••■P,   •       A = »j„ ...p, odkud po dosazení dostavíme : / «p, . .. ■■• pr, t. zn. /je.ve tvaru (1).
ad 2 : jednoznačnost rozkladu dokážeme opřt matematickou^inďukcí' vzhledem k stupni /. Je-li st(f)a\, pak jednoznačnost rozkladu (T) je zřejmá.-Přédpokláilejme, ie tvrzenío jednoznačnosti platřpro polynomy stupní i, 2,.., n—1. Nechť jř (/) = n a nechť (1) a (2) jsou dva rozklady polynomu /na ireáucíbilnf polynomy, t. zn. pak :
í'-'.i'v   . i:.v': - '■
(?) „fi.i-Pt     -P, " 1\-<li----1,
odkud plyne, £e p, |f, ... ft. Podle důsledku V.5.3. vsak existuje přirozená cislo 'o CjtifMir**) tak,z"e p, I ^ . Přečíslujme polynomy ?, tak, ie bude pjlflj. Z definice íreducibilního polynomu vsak potom plyne, ze pl1^ qltí. zn. existuje c| ě.ř?, c| t*jfl tak, íe íi =c,.pl'. Po dosazenído (3) a vykracenŕpoiynomem' p, pak dostáváme :
P1P3 ■ ■  P, ~c,.q,.qs . . . qt Podle indukčního předpokladu vsak odtud dostávame, ze r~-1 = s-1 , neboli r ■ s
! 7
j!,.
apo vhodném přečíslování: p7 -v c,<j,, t. zn. rovníŕ p2 "V <;3 a d íle pak p^Vifc,, ..... ,pr "v j'! TÍmje vňa dokázaná, | .....
Pozna'mka ; z dosavadních výsledků tohoto paragrafuje vidít značná'podobnost mezi úvahami o rozkladu polynomů na ireducibilní polynomy v oboru integrity R[x\ a známý'mi,uÁ'ahatm\p,r.ozkladu,,celeho fisla A.a prvočísla. Skuteční', obecní lze ukázat, že okruhy R[x] aZ jsou specielními prípady t. zv. okruhu sjednoznaíriym rozkladem, Na rozdíl od rozkladu přirozených nebo celých čísel na prvočísla je viak prakticky vypočet rozkladu (1) pro dany' polynom /6 R [x ] obvyklé pfiMkomplikovaný. Je dokoncB mnohdy velmi obtížné'vůbec rozhodnout o polynomu /G/i[.v) zdaje naď tějésém ' R "ŕ'éiiuóibilhííl Ireducibilní, t. zn. podat pro dane'téleso • A vyčcrpa'-vajícŕcharakte'rížaci iŕeducibilních polynomu z R[x\ V dalstŕň se nám to v některých konkrétních případech podařilnapr pro R -K, R 'R) a v níkteŕ/ch hlktiliv (napŕT pro R' Q). •'
Dále se nyni budeme zabývat takovými télesy, nad nimi/je charakterizace iredu-clbiiních polynomů jistým způsobeni nejjednodussí
Definice : Tíkso Ŕ nazývame  algebraicky uzavřené, jestliíe kaSdý polynom fŠR[x], >((/)>! , má v R alespoň'leden kuřin:
Véla 5.5 : Nechť R je teleso; pak následující'výroky jsou ekilťaleilMÍ ty teleso R je algebraicky uzavretie '' •'•
(b) kaídýpolynom feR[x],'st (f)> l,*be vyjadril ve tvarii soucímt Iméánifch polynomů z R [x ] .
(c) ireducibilnípolynomy v R[x] jsou práve1''všechny lineárnípolynomy.
(D u k a z : "(kj>* (b)": dokazujeme matematickou indukcí vzhledem , k st (/). Je-li-st (f) - l.pak / je lineárnípolynom a výrok (b) platí, . Předpokládejme, íé (o) platí pro polynomy stupni" 1, 27. . '; , n-1. rfeefrt sKfl*H Podle (a) existuje kořen cS /< polynomu / , t. zn. lze psát : fm ix-c) . a, kde a S R[x], st Ul) =        Podle indukčního predpokladu lze vsak polynom q napsat jako součin lineárních polynomů z R[x) , t. zn. po dosa-
47 -
žení dostáváme žádané vyjádření. ........ :■
"(b) ■» (c)" : kaídý Iinea'rní polynom je v R\x] ireducibilní(viz příklad 5.1.). Naopak, z (b) ihned vyplýva', Že kazily ireducibilní polynom z R(xJ je lineární'.
"(c)   ■» (a)" : nechť f 6 R\x\, st (f)> ). Provedeme-li podle V.5.4. rozklad polynomu / na ireducibilní polynomy
f" Pi ■ ■ ■ ■ -: P, ■ ■ ■■-'•-■'-
pak podle (c) jsou polynomy p, lineární., Vezmeme-li libovolný z nich, napf. p,, pak p, mav R kořen (á to jediný, podle poznámky za V.3*.l.), který'je zřejmí také" kořenem polynomu f\ .
VĚta 5.6.: Nechť' R je algebraicky uzavřené těleso. Pak kaid/polynom f € R\x\ st (/) ='■(! <» 1 má v R pravé n kořenů, poŽítďme-li kaídy kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
(Důkaz: podle časti (b) předchozí víty lze polynom '/ napsat jako součin lineárních polynomů, kterých vSak musí*byt pŕ'a'vé' n (Vzhledem k důsledků V.1.2.) a každý' z nich mrv R právé'jedon kořen, kieryje žaVoveř!' kótén&fŕí '/.Odtud ' pak užitím definice násobného kořene plyne tvrzení j.    "'  ' ":
Vidíme, že z nejběžněji používaných těles :napŕ. tííésa R .a Q :nejsou algebraicky uzavř^há'(neboť napi\ polynom f= x?.* l^zrejmí.nema'žá'dnýjcoŕen v R ani V Q). Rovněž*" tělesa zbytkových tříd Zf  (p prvočíslo) nejsou algebraicky uzavřena, jak plyne z následující vety.
Vŕta S.7.: Nechť R je konečné teleso (t. zn. R má konečné mnoho prvku). Pak teleso R není algebraicky uzavřené. "» ..... v.
[D ů kaz: nechť R je téíeso o n prvcích (n ;»2), kde R *?,[at ,■■■£„ )■ Pák polynom :
/ =(.v-a, )(*-«,) . . .(*-«„).+ 1 . ,.
zřejmé'patří do R[x\, platí st (/) > I a při tom /nemí v R žádný kpren, neboť /ty) =1 * 0 , pro každé" a, G R ■},
5548
§ 6 : DERIVACE POLYNOMU,TAYLOROV ROZVOJ. HORNEROVO SCHÉMA
ÚMLUVA :   vSude y tomto paragrafu predpokladáme, ze R značí tňeso charakteristiky 0.
Definice: Nechť f e R\x\. kde (I) f=a0 + atx+a1x1 + ... + anx"- ■ •>>•.
Pak   derivací polynomu  f rozumíme polynom  f € R [x j,
"'-v        A(rá b-jny -
definovaný vztahem
(2)
' v i\ * 2a,x +....+ n. a
je-li .ll(f)<0 je-li sHf)>i
Poznámka : pojem derivace polynomu j.rsáinc z matematické analýzy, kde Je definován Jako jista funkční limita, V algebře zrejme' tímto způsobem postupovat nemôieme, neboťpojem limity Je vázán na tťleso R reálných čísel, resp. pó Jistých rozšířeních jeŠte' na těíeso K komplexních čísel Zavádíme tedy pojem derivace ryze formálním způsobem a ťisté algebraickými prostředky. Nicméně1 Je vidň, íe pro   R = R   oba bojmy splývají a lze tedy očekávat, íe i niklere základní vlastnosti derivace budou zde stejné', jak  nakonec v dallím ukážeme. „
vl-laó.l. : Nechť f e ; st [f)'n>l   řak derivace f' /e poly-
nom stupně n- I.
[D ů k a z      je-li /   tvaru (I), kde un * 0 , pak vzlileden) k tomu, ie R je charakteristiky nula, jc n.a„ ^ 0 a tedy st (/') -ni | .
Poznámka : Sttmotnou definici derivace by zrejmí bylo možné stejným způsobem jako výse vyslovit i pro polynomy nad tělesem libovolné'.charakteristiky. V takovém případe by viak nebyly splnény základní vlastnosti, které'na derivaci obvykle poradujeme, napí. neplatila by předchozí víta (nad tělesem R charakteristiky ;i, kde /; |e prvočíslo, by pak derivací polynomu /"» xf + 1 byl nulový polynom, i kdyiť si (/) = /< > I ). Vidíme tedy, ie podstatnou roli v naítch úvahách bude hnít píedpoklad, ze teleso R ie charakteristiky 0
Vňa 6.2. : Pro polynomy z R\x\ a jejich derivace ptali',•
(/'«)'        ' /' ?-/.<•• ,
(/*)' -
, 3. ■ 4. 5.
[Důkaz :. část 1. a 3. se dokt& bezprostředním rozepsínín, z, definice derivace ; číst 2f;re,p, 4, plyne z. |. r.?p. 3. uřitfin matematické'indukce a část 5, je přímým důsleJkem 4. Pro ilustraci si dokazme 3. c"íit vŽy ľ " ad 3 í maiťf-a, + a,x 4\ .... + an'X" -  £ á^vtj.
ř = *o + u,jr +  .... + b
£,*r-v' ,tj.*'= f v.*,*'-'
Potom ;
Da'le :
/ä " S*" (S a.blx1  , t. zn. (/•)> %* KS    s .fcl Vt1 odkud je vid^t, že platí dokazovaná" rovnost j.
iiVÍi  Poznámka : ( ojbyyklyni induktivním' způsobem definujenie derivace vyŠÚch . fý^l* .daného polynomu  jf e/?(*], tvaru (J). Je-U k přirozené" Číslo, pak definujeme (/c+l)-ní derivaci polynomu / jako polynom :
při Amí pro     = 1  platí (2).
Pak zřejmí pro k <, n mtf k-tú derivace polynomu (l) tvar :
rk) " k\k~)Y- ■ • 2.l-ťifc + (k+l).k .... 2. aktl.x + .... ... (n -** I ).u.. a" '
1
m
50 -
resp. pro k > n je: f") =■ a. ■ . -. .-,■■'/
Definice: Nechť fix) e R[x] i c e R . Je-li
/(x)-o, + «,(*-?)* o,(x-c)J +:....* fln(jr-cr.    !io(6 « pa^: pravou síranu (3) nazývám Ta y i o ŕ u v r o z v o! o s t r'e d u c polynomu  f .       "V' ■ >
Vŕta 6.3.: /Vec/i^/e Ä[x), jf (/) - /i^ í j nechci 6 «.        : "'" Vak existuje praví jeden ŤayhrUv rozvó/ o stredu c polynomu f , a sfcé':''
W     •/(»)•=/W+'^U-O+^U-c)1. t. ....+ (^(xtc)". m
[O u'k .a i : I. existence í Proveďme opakovane' dŕjení lineárním polynomem (x-c) takto :
/ " <•.*-<:)•?i +,a0      . ,    4 ,           .   :  „, .,. q,-(x r).i7, + a, , .........„-.
(5)
kde zřejmí a„, a,, . . . , a      jsou konstanty, resp. </;','. '.'". ,','q^JšbU
polynomy stupne" n-1.....1,0.  Tedy qn je konstantní polynom, který označme
symbolem a„. Dále, v (5) vynásobme druhou rovnost polynomem (i'^-c), tFetí polynomem (x-c)1, atd., aí poslední rovnost polynomem (x-ŕ)'"" 1 á tak^tb upííyeneT
je pak secíŕme. '"'"I. ....
Po upravŕdostávame : ! ^..^'v
/ =■ a0 4-'o,(x-c) + . .. +a„   ,(x-cr " ' +an(x-c)", coz"je Tayloruv rozvoj (3).
[f, jednoznačnost :
Nechť'polynom  / ma Taylorův rozvoj (3). Pak postupným tvořením derivací'
Ír:
i ., 1
II1
51 -
dostáváme :
f (X)     = fl, + 2aj(xTc) + . . . + n,on(x- c)" 1
/"(x)     » 2a2 + 3.2.«j(x-c) + , . . + n.(n-\)^iÁx-čf'
/'"'(x)   ■ n !a„
Potom tedy :    /je) - o. ! /'(<•) ■«,;/"(c) - 2.a, /<">(c) = nlj'.
odkud pak :
být tvaru ,(4).
,1!
•.71.
/'"'CcJ- TČ'ínJ'CŠ) musí •./'J:' ...   ,** •.
Poznámka :   zavedeme-li novou proměnnou y vztahem : ,
.... .""   .'y=x—c neboli     ■    t«;t( " j
pak lze vztah (4) pFepsat d? t¥jni :<t- ..,;......-,,„,   •,., ,,,,
W   ft*d =/(0 i J-[f f* /-tv).,.' , :..•+ /'"Itó- -V 'v
Tohoto obratu se Žasto,učívá"při praktických výpočtech.
Pfi výpořtu koeficientů Taylorova rozvoje a 1 jinak jé v praxí cašto potreba provádít dílenídaního polynomu   /  lineárním polynomem' tvaru (x-c), kde c í=,R  Je tedy potřeba určit koeficienty podílu a zbytek tohoto dílení(který" je zrejmí roven  / (c) ). Obí úlohy Jlzé fesít Jednoduše početním; postupem nazvaným ilprnemvo schéma. Nechřje tedy CG R libóvolrie'a /(x) € R[x\, st Sfl.ř n > 1, je tvaru ; .
(7) -------fix) ^arx?...* ani, ,x":.'.*.....      >«,» ;,.a0   . . ;Vl>,
kde   a( e R . an ŕ 0. Pak je :' ,,;„•...,_..,
,8, : (V) " (X ./(.vj • />        J ...
kde b S R a platí: A -/(c).. Nívíc íf («) - nr-l. t..in. .necht ..
q (.v) « A, .,«""•' + • • • + 6|Jt + í'o
fíV.
12126018
52
Po dosazení za a do (8) a porovnání koeficientů v (7) a (8) dostáváme :
a,   -    />0 - č''i í»o    ""ttfci + a,
á0   ■    S - c.fc, h      - c./;0 + a0
odkud jsou koeficienty podílu u I zbytek 6 ■ /(c) jednnduíé určeny. Při praki, keni výpoftu budeme používat přehledne'tabulky tvaru :
	a		• v.	•>.....
6'	*»" K-		■ . &»',+ a,=4„	
kde do horního Ifídku vypisujeme všechny koeficienty a, (HS» i >' 0) polynomu /? tedy.i prípadne nulové"koeficienty a ve spodním fádku postupní vypočítáváme koeficienty b. podílu a zbytek í>.
Příklad 6.1.: V R\x\ dílte polynom /(x) - 2x'-18x3 + 5x + 7 polynomem |**3) a nájdite f (,-})■
Ře&ní:  ubijeme Homérova schématu pro r= 3
U -4		18,	0	.5	..7 ,
' "!	■i ~3 2;). -6(	0	0	5	8
tedy.! o (x.) -2x1 - 6x» + 5  | ;y resp. . /(- 3). = .:;«
Homérova schématu s výhodou využívanie v cele radí dalŽích úloh, na pí.' pň hledání! aylorova rozvoje nebo hodnot derivací daného polynomu v dnnérn bodí, jak ukazuje následující příklad. '>'• *
Příklad 6.2 : V K[x\ nalezníte Taylorův rozvoj o středu t =-/ polynomu / . kde fix) - v4 + <l+/)x> -2x l <7t<)
- 53
Reáenf: opakovaným užitím Hornerova schématu, vzhledem k důkazu V.6.3. dostáváme :
l+í
-2
7+i
-2í -3/
U,4i=a,
i     -1 [2t2feBo
-2+/      12r=a, :J±híh
\\-a.
Tedy je.: / (x) = (7+2/) + 21 (x+í) + (-S+OU+O' - fífcř+flí + .(x+i)4.
r^avíc, ponévadí a, .=   ^ffi    , můřeme ihned uriBt hodnoty yfech derivací
polynomu /   v bodí c =. —/. ;
Je pak: /(-/)-7+21; / '(-0=2/ ; / "(-0 = -10+2/. /""(-/j=-24/„ ^.4>(-/)=24.
Na závír paragrafu uveďme nyní níktere' výsledky, týkající se vzájemné'souvislosti mezi kořenem, resp. jeho násobností a derivací ilanehd polynomu.: " ' *  s'
Víta 6.4. : Nechř f e. R{x\ a nechť c S Ŕ je k-násobným kbľeném polynomu f.
Je-ll k=\  ,   pak c není kořenem f'
le-lt k > 1 ,  pak c je (k--i)-nóšobnym kořenem f.
[Důkaz : podle předpokladu a podle V.3.3. existuje polynom h (x) S R[x] takový, ze :
fix) = (x-cÝ.h (x)   ,    při černí /i (c) * 0 Pak je : fix) « *. (x-c)*"''. A (x) + (x-ř)*./i'(x) , t. zn. po upraví : (9) /'(x) ■ (x-c)4''.|fc/>(x) + (x-<:)./i'(x)J
Nechť' '*«); pak (9) nabývá tvaru : fix) = A(x) + (x-c)./i'(x), ti zn. /' \c) - hic)    0 , a tedy r není kořenem /'. .
Necht A:> I ; pak označme í(x) - k.hix)+ (x-c).Ä'(X). Při tomto oznaíení dostíva"me podle (9) : /'(x) = (X-cl*" '  í(x), při ŕemz Hc) = k hic) t 0 a tedy podle V.3.3. je c (/r-I)- násobným kořenem polynomu /" ].
- 54
Poznámka : obrácení předchozí vety zřejmé neplatí; je-li nnpF. I\x) " + l 6 S R[.v], pak /■'(.«•) = 3x'. Tedy 0 je dvojnásobným kořenem /", ale není vůbec kořenem
Veta 6.5 : Neclu" Rx) e R[x] ; c S R ; néchľ k> I je přirozenéčíslo. Pak: c jc k-nášobným kořenem f(x) » c je {k-\)-nihobným kořenem polynomu (/,/').
'•f" : necht /(c)-/'(cl = : . .-/**-'>(c) = 0 ; /'"(c) fO". Nechť / je ve tvani (I). Pak Taylorfiv rozvoj o středu c polynomu ■ f. ma' tvář :
fix) = 0 + . . . + 0 + -í^-^- (x-c)k + . . . + /"-"'ft). (x~c)" AI. ni .
A! '
m
[Důkaz: :  nechť  c* je A-na'snbnym kóřehem" ft kde k> 1. Pak
podle předchozí věty je prvek c (A-l)-násobným kořenem / '. Tedy platí : <x-e)» I/, (jr-c)M,í/, !.*-«)*•' 'I/'. ix-O" -f /", odkud dostáváme, Že (x-ci*" 1 I (/ /"). Dale spbřem ; necllťfjt-e)* | (/./"> Ale if,f')\f' S z transitivity relace dělitelnosti pák plyile; Že U-«0*j/' , čožj* spoř. Tedy musi být (x-c)k XfJ, f') a dohromady dostáváme, že c je (A-l.i-násobným kořeném polynomu (/ /').
... *'*■ " ;, nechť c je (A - l)-násobným kořenem {f, f), t, zn. (jt -C)*''l (./i/); (jt-c)*/(/,'/'), Kdyby (x-cýff, pak by tedy c bylo (A-1 )-hasobným kořenem ■ polynomu /. t. zn. podle V.6.4. (x -c)*'^/" , což je spor. Tedy platí': (x-c)k\f. Dále,je-li (x c)*»'|/, pak c je alespoň (A+l)-násobným kořenem polynomu f. t. zn. podle V.6.4. je c alespoň A-násobným kořenem polynomu /' ,t.žn. (x - cflif ■ Výie.jsme vsak dokázali, že (x-c)*|/ , t. zn. dohromady pak dostáváme, že (x-c)* | (/,/') , což Je spor s předpokladem. Je tedy U-c)**'+/ a dohromady tedy dostáváme, že c je A-násobný kořen /].
Víta 6.6. • Nechť /e R [x] ; c E R : nechť k je přirozené'ctslo: Pak platí: é je k-násobným kořenem polynomu f — /(£■) =/'(c) » ... =/l*~"("c)=0 ; /*'(<:) * 0 :
[D ú kaz : "->" ; je-li prvek, c A-násobným kořenem /, pák je f(c)-0. Opakovaným užitím V.6.4. pak dostaneme žádané' tvrzení, neboť podle V.6.4, je c, (A-1 (-násobným kořenem       t. zn.  /"(«) - 0 . atd- • •* c Je jednoduchým kořenem ,/í*;".t.zn. /<*'V) =    a o není kořenem /<*), t. zn. /<"(c) * 0 .
při čemž zřejmé c   není kořenem polynomu v hranaté závorce. Podle V.3.3. je pak prvek c   A-násobným kořenem polynomu  /. ]
Poznámka :, poslední vetu spolu s Homérovým schématem používáme.k.praktickému zjiSfovaní násobnosti dane'ho kořene c polynomu / .   Z příkladu 6.2 je vidět, že pri opakovane'm delení lineárním polynomem tvaru (x-c) dostáváme jakožto zbytky hodnoty rj =   ŕ'Mcl   , podle předchozí věty je pak násobnost kořene c   rovna poctu nulových,zbytků těchto dělení. .i .
Příklad 6.3. : Zjistěte, zda c- l-í je kořenem polynomu '/£ K[x\'a pokud ano, určete Jeho násobnost. Při tom : f(x) - x* — íxs 4- x4 + 4x3'4x^ 4- 4' Řešení: podle předchozí poznámky opakovaně užijeníe Hbrncróvá schématu :
	1     -2        1 4	-4	8 4
1-/	1    -l-í    -1 3+(	-21	-2-2/|o_
1-/	1   -31      -3-2/ -2+2/	li	li.
1-/	1    1-3/    -5-6/ -13+/	-12+16/ *0	
Tedy číslo ť ~ \-i je dvojnásobným kořenem polynomu /.
- 56 -
§ 7 ; POLYNOMY NAD TĚLESEM KOMPLEXNÍCH CISEL, ZAKLADNl'VETA ALGEBRY.
V tomto paragrafu budeme studovat základní'vlastnosti polynomu s komplexními, resp. reálnými koeficienty. Pripomeňme, že každé číselné těleso (specielně' tedy K a R) je charakteristiky 0, t. zn. můžeme použít všech výsledků, dokázaných drive v teto kapitole.
Veta 7.1. ("Základní'veta algebry ")
Každý, poly nom^-fix) e K\x\, slupne alespoň jedna, má v K alespoň:jeden kořen.
(Důkaz: neuvádíme. 1
Poznámka: t; zvržákladnř věta algebry říká, že teleso K komplexních čísel je algebraicky uzavřené. Veta mela opravdu základní význam pro algebru v dobách, kdy se.tato omezovala na. algebru komplexních čísel. Její důkaz nelze provést cistě algebraickými prostředky a je vždy nutne v menší Či větší míre využít topologických vlastností reálných a komplexních čísel (t.j. vlastností, souvisejících se spojitostí). Důvodem je to, že v samotná definici reálne'ho Čísla se vyskytují pojmy, které nejsou algebraické (pojem spojitého uspořádání). Poměrné jednoduchý dflkaz.V.7.1. bude uveden v základní přednášce o analytických funkcích.
Důsledek :  Ireducibilními polynomy jsou v K[x] práve lineární polynomy-
[Důkaz
:  tvrzení je přímým důsledkem základní vety algebry ;a V.5^5. ]
Věta 7.2.: Necítí f e K[x], st (f) = n > \   je polynom tvaru :
(1) / = aQ + «,*+;...+ anxn      , an # O'"'"' ' Pak platí :
1. polynom f lze vyjádřit jako součin n lineárních normovaných polynomů a nenulové konstanty ve tvaru
(2) f - an.{x-ci) ... .(x-í:n); c} & K, i = 1, .... n
2. vyjadrení {2) je jednoznačné, az na poradí faktorii
3. polynom f tuá presne n kořenů. pocítáme-H každý kořen tolikrdt. kolik je jeho násobnost.
(Důkaz : ad 1 : plyne ihned ze základní vety algebry a z V. 5.5.
ad 2 : plyne z V.5.4. vzhledem k tomu, že ireducibilními polynomy v K [x\jrou pravé lineární polynomy a ?,e na pravé' straně (l) vystupují normovane polynomy.
ad 3 : plyne ze základní vety algebry a z V..5.6. ] '
Poznámka : ze vztahu (2) je vidět, že polynom f lze, po vhodne'm přečíslování hodnot c(1 přepsat do tvaru :
(3) /= o^.U-c./'-U-Ca/1----(x-cj'
kde Cj.... , C   jsou navzájem různá komplexní čísla a platí : ), .,..+!,- n .
Je-li polynom   /  vyjádřen ve tvaru (3), pak z V.3.3. plyne, ze ck je i^- násobným kořenem / , pro k - 1, .... r.
Definice :    Vyjádření polynomu /e K[x] ve tvaru (3) se nazývá kanonický rozklad polynomu   f.
Veta 7.3.: Necht" f, g G K\x) jsou polynomy, bující kanonický rozklad : f = a- (ac-C,)'1 . . - (x-c;)'r g - b. <*-</,/' . ... ix-dj'
Nechť c, = d, , . . . , e, - </,. resp.  r(+,.....cr, d((,   .   , dt fsoú navzájem
různá čísla Pak pro nvjvetšíspolečný dělitel polynomů f a   g platí:
if.g) = U-c,)*' . - ix-c/' kde   Jfc, = min ď, jt).....*f ■ min U,jt).
[Důkaz :     nechťplatí označení, předpokládané' ve. větě; Označme dále :
h = (x—t."j > 1 (x-C,) '
Zrejmé je: h\ f; h \ g , í. zn. h je společným dělitelem polynomu / a g. Dokážeme, že h je největším společným dělitelem / a g. Necht tedy q e A"!*] je polynom, pro nějž je q\f, q\g a necht"kanonický rozklad polynomu q je tvaru :
ma
50
q = p . (Jc-c,. . . (x-em"m . Pak ale (x-e,) 'I/, (x-e,) ' I g, t. zn. e, musí' být rovno některému společnému kořenu polynomů / a g , řekneme, že   «, =c,. Pritom však u,< i,, u,</,,
t. zn. u,< min V\J\)= k,. Analogicky pro e,.....e   , coí vlak znamená ,
že q \ h. Dohromady pak dosta'váme, že h = {f.g) . ]
Poznámka : známe-li všechny kořeny i s násobnostmi dvou polynomu z K[x], pak nejvetäí společný dělitel técjito polynomů zjistíme podle V.7.3. prakticky okamžite a nemusíme používat pracného výpočtu Eukleidovým algoritmem. V praxi vlak obvykle kořeny daného polynomu neznáme a jejich nalezení býva většinou velmi pracné a obtížné a v obecném případe algoritmicky neřešitelné. Následující vety pomohou tyto problémy řešit alespoň částečné, využitím vlastností násobných kořenů, resp. vztahů mezi kořeny a koeficienty daného polynomu.
Víta 7.4.: Nechť T je číselné teleso, /s T\x). st[f)> \. Nechť dále q S T[x] je polynom splňující: (4) /-(/./')■ q-
Pak polynom q má stejné' kořeny jako polynom f, ale každý pouze jednoduchý.
[Důkaz: z Eukleidova algoritmu a z konstrukce dílení polynomů se zbytkem plyne, že polynom q splňující (4) existuje, při čemž if,f'),q^T[x). Polynom / můžeme zřejmé uvažovat jako polynom nad K. Nechť pak kanonický rozklad polynomu / ma tvar (3), t. zn.
/= an. (x-c,)'1 . . . (x-crY .
Pak z V.6.4. plyne, že :
-je-li t = 1 , pak ct není kořenem derivace f , resp. • Je-li ř. > 1 , pak ct je (/, -1 )-násobným kořenem /' , odkud podle předchozí vety dostáváme :
(/./') p (x-c,)''"' .... U-C,1'~ ' kde faktorem s nulovým exponentem rozumíme číslo 1. Potom tedy zřejmé (5) q » u„ • <x-c,) . . . (*-*,),
t. zn. polynom q má* požadovanou vlastnost. ]
I.
m
mi
i;;v
■\í'
-  59 -
,. Důsledek :. Nechť. T je.číselné těleso, nechťpolynom f e HxJ je ireducibil-níjn. polynomem.nad T. .            ..  , , .. .-.>-. *,..,■..'>.
Pak polynom / má pouze jednoduché kořeny (v K)>- .....
[Důkaz: je-li sl (/)■!, pak polynom / ma'jediný kořen a tvrzení platí. Nechť tedy sl [f) ~ n > 2 a nechť/' uvažovaný jako polynonl nad K má kanonický rozklad tvaru (3). Nechť q je polynom z předchozí vety, splňující :
/ = «/'). q      . kde (/;/'), q S T\x\. Poněvadž je však   sl (fjf') < n , pnk z ireducibility / plyne, že musí být »■'!//') = 0. t. zn. (/;/')= I. Pak ale f=q, t. zn. f je tvaru (5), odkud plyne tvrzenř. j
Příklad 7.1. : Využitím vlastností násobných kořenů naleznete kořeny (i s jejich násobnostmi) polynomu f B R[x], kde :./ = xi 4- x4 — Sx3 — x2 + Hx — 4 .
Řešení : k výpočtu užijeme tvrzení V.7.4. Uvažme derivaci . /' = 5x' + 4x' — I5x2 — 2x + 8 a pomocí Eukleidova algoritmu vypočítame nejvetší společný dělitel polynomu / a       Po výpočtu (ve dvou krocích) vyjde : (/.7") = x3 - 3x + 2 .
Nyní vydělením polynomu / polynomem (f.f') obdržíme polynom q z V.7.4. (zajímá nás podíl tohoto dělení,a: proto'během výpočtu nelze násobit nenulovými prvky z R jako u Eukleidova algoritmu 1).^- íiiíi >,.■■. t •
( x' :+ X* - 5x> - x2 + 8x -
-x' T 3x> í 2x'
' x4- 2x3.-:'3x*"+ Sx - 4
■   -x4_1 3x2 ± 2x
"./I- " .....■;
,          2x3          > (>x - 4
í 2xf ,. .: ,, ±, 6x T 4
j : ( x3— 3x + 2 ) \x2. + x
Tedy q = x' + x - 2 = (x- l)(x+2), t. zn. polynom   /. má dva kořeny :
f'i ~ I, c7 ~ —2. Jejich násobnosti zjistíme Homérovým schématem, při čemž zde
vyjde, že c, - I Je trojnásobný, resp. c, = -2 je dvojnásobný kořen polynomu /.
i A
60
Poznámka : Věta 7.4 zíejmě neposkytuje universální algoritmus pro výpočet kořenu daného polynomu / . Má-li napr. polynom / pouzejednoduchě kořeny (pak q - /') , nebo je-li polynom   q   príliš" vysokého stupne, pák je V.7.4. pro výpoíet kořenu polynomu / neúčinná.
Víti 7.5.: Ňickŕ f <ék\á\'- y<jf)»n> 1 , kde
/- + •   ■*a~ >*~) +a-x"
c   jsou kořeny polynomu f.
a nech: c,, Pak platí '
(6)
r, - .... t c, • .      .   <!   ;•■:■'! •
c,c, + c,c, + .....+ li** CiC, .+ ... + c-_,c
(- l)r*-S=
Je
■ c,.c2.
[D B k a z : polynom / vyja'dŕíme podle V J.2. .ve. tvaru (2),,.t.j, Jako součin lineárních polynomů. Pak :     .   j. :■.)•!
/» «„.(x-c,)U-c-i) -; • • (*-«„) = 9, + <i,x + . . . + un.,x":' + a„x", Porovnánfm koeficientu u jednotlivých mocnin x dostáváme pak přímo vztahy (6)|.
Příklad 7.2. : V K[x\ nalezněte normovaný polynom / , který má za kořeny trojnásobky kořenů polynomu li = X3 + 5x + 2 .
Řešení : polynom h ma v Ä právě 3 kořeny, kterě označme (.,,c3.Cj : Pak zřejmě / bude tvaru / ■ x3 + /tx3 + Bx + C , kde /l.fl.C 6 K. při tom, podle zadání, / má kořeny : 3c,, 3cít 3c3. Ze (61 pak plyne : O = c, + c2 + cj -A ■ 3c,+3c,+3c3 = 3.U-,+t,+c'j>"3.0 » O
5 ■ c, c,+r,f,+ľ,i j  resp.     fl = 3c, 3C] +3t, .3c3 + 3tj 3i, ■
<t 9.U, Cj ItiCj+tjCj) - 9.5 ■ 45 -2 - c. C, c3 -C - 3c, .3r,.3<., - 27 . U,c,t,) = 27.1-2) - -54
Tedy hledaný" polynom je tvaru : / = x3 + 45x + 54 .
■f í; i
y;-"í
Nynísi v.?lmneme některých specifických vlastností těch polynomů z rT[x |, jejichž koeficienty jsou reálna čísla. Je-li /(x) ■ a„ + a,x + . . . + «„x" takový polynom, pak jej můžeme chápat jako komplexní funkci, jak plyne ze závěru §3. Húdeme-li dále komplexně sdružené číslo k číslu z S Ä označovat symbolem z , pak užitím známých vlastností komplexne sdružených čísel dostávame : /'(x) "s ti0 + a,x *..'.+ a x* - "o + íi,x + ... i- ii X '-,'""
protože   a{ jsou reálna čísla, t. zn. je áj=al .
Věta 7.6. : Nechť* jlx) G >V(x] je polynom s reálnými koeficienty a nechť e íe k-ndsobným kořenem polynomu J
Pak take'číslo č je k-násobným kořenem polynomu f.
1 D ú k a z :  nechr / (x) = « .(.r—c,)''. . . (jt-c )í' je kanonický rozklad polynomu /. Přechodem ke komplexně sdruženým číslům dostáváme :
/(í)=/(x) =an.(x-c,)' . .(x-čj' Ale tento vztah platí pro každé komplexní číslo x ; můžeme.tedy x zaměnit za X   a dostáváme :
/(x) - an . (x-e,)''... (x-čr)'' odkud již plyne tvrzení věty. ]
Poznámka : I předchozí vety m.j. plyne, že polynom z Ä|x], s reálnými .koeficienty, musí mít vždy sudý počet imaginárních kořenů. Je-li navíc lichého stupně, pak musí mít lichý počet reálných kořenů.
Dále se zabývejme otázkami ireducibility v Rif ]., Již.dříve Jmie uvedli, že těleso R není algebraicky uzavřené, t. zn. , že v R[x] existují ireducibilnípolynomy stupně vyššího než  I. Následující věta podává vyčerpávající charakterizaci ireduci-líllních polynomů v R[x].
Vela 7.7. : Ireducibilními polynomy t R[x] jsou právě všechny lineární polynomy a všechny kvadratické' polynomy se záporným diskriminantem.
|D ú k a z : je-li j \x) e. R\x\ lineární polynom nebo kvadratický polynom se záporným diskriminantem, pak / je zřejmě ireducibilní v R\x\. Naopak, necht* j 6. R\x\ je ireducibilní polynom nad R. Pak st (j) 1.
Bií-.;;
64
7308
1
Předpokládejme, že pplynpm / není lineární. Polynom /" pak nemá .Žádný reálný kořen, ale musí mít imaginární kořen, který označme c - a t bi (b¥=0). Podle V.7.6. je však kořenem f rovněž číslo č"«? a~bi. Protože je c ^ č, je polynom /    v K[x\ dělitelný polynomem :
h = ix-c) . {x -c) = xa + 2ax +      + 6a) Zřejmě je vsak /0 e Ä[.v] a tedy /B1/ v R[x], jak plyne s algoritmu delení se zbytkem. Podle predpokladu je vsak polynom / ireducibilní v H[x], t. zn. je /o ^ / v ä[jc].  Existuje tedy reálné číslo )=v* 0 tak, že : /- p /o
Tedy / je kvadratický polynom, jeliož diskriminant D = •íaV1 — A.r.i:(aí-r*r)2)= = —4i1,3 fr2 je záporný, c.b.d. ]
Důsledek : 1. Každý reálny polynom, t.j. polynom z R[x], stupni alespoň 3, je nad tělesem' H reducibilní.
2. Každý reálný, polynom / lze vyjádřit jako součin reálne'ho čísla a konečného poctu reálných normovaných lineárních polynom**, a reálných normovaných kvadratických polynomu se zápornými diskriminanty. Je-li f¥=o, , pak je toto vyjádření jednoznačne, až na pořadí činitelů.
Důkaz:  tvrzení plyne ihned z předchozí vety, resp. 2. Sástjestž z V.5.4.]
■ij'iijj. 1
V experimentálních oborech a v praxi vůbec se často setkáváme s úlohou najít (alespoň přibližně) funkci, např. y = F {x), charakterizující nejaký déJV-ktéry pozorujeme nebo měříme. Znamená' to, Že pro konečný počet hodnot x jsou stanoveny (naměřeny) odpovídající hodnoty y. Funkci F {x) presne hezhamé,: a proto ji nahrazujeme funkcí jednodušší, obvykle polynomem f (x)t "po rierhž požadujeme, aby se v daných hodnotách x shodoval s hledanou funkcí presne*, v ostatních' hodnotách pak přibližně (viz obrázek). Říkáme, že provádíme interpolaci nebo teŽj že funkci F (x) aproximujeme polynomem / (x). Polynom /' (.t) se pak nazývá interpolační polynom.
V dalším se na. problém interpolace podíváme čisté algebraicky jako na úlohu nad libovolným Číselným tČlesem T (jehož,speciclňím;pfípadem jesamozřejmS í těleso reálných čísel). Zcela stranou .ponecháváme otázky, související.s, přesností takovéto aproximace.
Věta 7.8. : Nechť T je číselne' teleso, nechť fige Ť [x] ; st (/),« (£) < n , kde ň je pevné přirozené číslo.
Jestliže f, g nabývají stejných hodnot v alespoň (n+1) různých bodech, pak je /=!■
[D íl k a z : necht" c,, . . . , c    e T jsou navzájem rSzná čísla, při čemž /('.-,)-«(e,), f- I.....;i +1.
Uvažme polynom h -/-g. Zřejmě je st (.h) <n, přičemž h má alespoň (ii+l) různých kořenij. Podle V.7:2; (část 3) však nemůže být st (!<)■> 1. Zřejmě taká št (A) # 0. Tedy musí být st (A) = - «■ , t. zn. li = o , odkud.dostávame / - * I
.Víta 7.9. : Nechť T /e číselné teleso, nechť c,.....<£,,€ T jsou navzájem
různá čísla, resp.  »,,...,4,6 T jsou libovolná čísla.
Pak existuje práve jeden polynom f e T[x] lakový, že st (f) < n.ti platí:
/>,) = y, , í= 1, ....«+ 1 -
|[> Skaz.  I, existence :
zvulnle / (.v)  takto :
í-t-c, Kx-c3). ...-ty-cu, >
(x-eiHx-c,r..Ax-c_)
(7)  /'(x) = v. ■ p "|Aj-^>-..,.^-tu.> . (x-c,Xx-r,).....(x-<u.)
(S,tl-ci)(Vi -c>)--r(e„„-(;)
Pak zřejmě /(x)e r[x,, if (f) < „ (nebol"každý sčítanec je bud* o nebo polynom stupně « ) a dosazením dosta'váme /(c-(l = ",./= 1, .... n + I
II. jednoznačnost :
plyne přímo z V.7.8. J.
Poznámka : vyjádření polynomu / ve tvaru (7) se nazývá LagrangeSv tvar Interpolačního polynomu.
I když V.7.y. dokazuje jednoznačnost interpolačního polynomu / , můžeme zřejmě tento polynom formálně rozepsat různými způsoby, např. podle toho, jak je to pro naše konkrétní účely výhodná. Na základe následující věty ukážeme ještě jednu možnost zápisu interpolačního polynomu.
Věta 7.10. : Nediť T je číselné těleso, nechť c....., vn e. T. Pak polynom
/ - a„ + a,x + . . . r anx" S 7'      ke vy/a'dŕit ve tvaru : (ti)          / (x) - o„ + fe,(x c,) + /',(x-c, >(x-i,) + . . . + fr„U-ť, )<x -c,).. .....<x-c„).
|P 3 k a i : postupným dělením polynomu / , resp. částečných podílů,
lineárními polynomy tvora (x-c,), í« I.....n dostáváme :
/'= /)„ + (x c,).o, =•/>„ i (x-ř,)'      + (í-Cj)íři | = í;„ + í)|(x-f,) +
+ lA-c,) (x-( j )•«, =.....■ ».•+», (x-c,)+ . . .4 o„(x -r, )•....
. . . .'(x-í^) ,     cozju žádaný tvar. ]
Mějme nyní zadána navzájem různá čísla c,.....cn>|e 7' a jim odpovídající hodnoty /'((,)...../<<;„, )• Těmito hodnotami jednoznačně určený polynom
/  z věty 7.9. lze na základě předchozí věty vyjádřit ve tvaru (8). Koeficienty A0,
.....bn při toni získanie postupným dosazováním hodnot c. (/=!,     /t+1) za
x  do vztaiiu (81. Takte získané' vyjádření polynomu /  ve tvaru (8) se pak na-
zývá Newtonäv tvar interpolačního polynomu.
Připomeňme ještě, že každý z obou zmiňovaných tvarů interpolačního polynomu má v praxi svoje výhody i nevýhody. LagrangetW tvRr je možné okamžité napsat, ovšem při zvýšení n (t.j. např. při zvětšení počtu měření) je nutné jej celý znovu sestavil. Na druhé straně, u Newtonova tvaruje nutno počítat koeficienty b{ , ovšem při zvětšení n se pouze přidá jeden člen, při zachování všech členů předchozích.
§ 8 :POLYNOMY NAI CELÝCH ČÍSEL.
líM RACIONÁLNÍCH CISEL A NAD OKRUHEM
V tomto paragrafu budeme nejprve studovat ireducibilitu polynomů nad Q a nad Z, Předem je ovšem nutné opět připomenout, že Z není tělesem, ale pouze oborem integrity (který má dvě jednotky, a to čísla +1,-1, t. zn. k polynomu
/ e Z tx] jsou asociovány právě polynomy /a -/), a tedy v Z[x] nemůžeme obecně použít ty definice a věty, v nichž se předpokládalo, že R je teleso. Specielní tedy pro Z[x\ nelze použít definici reducibilního polynomu, uvedenou v § 5, nýbrž je třeba vzít obecnou definici z § 2 kapitoly 1, podle níž polynom /SZ[x) je reducibilní (resp. ireducibilní) nad Z, jestliže f =t o, f i* ± 1, přičemž / mi (resp. nemá) vlastní dělitele, t.j. dělitele různé od i 1 a od i /.
V dalším pak ukážeme, ze ireducibilita nad Z a nad Q spolu velmi úzce souvisí, i když oba pojmy samozřejmí obecní nesplývajf; na př. polynom
/ (x) = 3x + 6 = 3. (x + 2) je zřejmě ireducibilní nad Q (viz příklad 5.1), ale nad Z je reducibilní.
Definice : Polynom /»«, + u,x + . . . +      ,   j celočíselnými koeficienty, se nazývá   p r i m i t i v n í, jestliže jeho koeficienty Jsou nesoudělné'. I. zn. ( <!„, «,,...,((,)= I.
Věta 8.1. : Nechť f = a„ + a, x + polynom.  Potom :
1.   polynom f lze vyjadril ve tvaru (!) /
+ u x" S Z [x I je libovolný nenulový
Mp z S. Z a f* /e pt\milivt\! pulywwi
2. vyjádření M) /> jednoznačnéaž na usuciovunost, t. zn. je-li <2j /"?./* = *, »/,♦
kde z,Z| e 4 u /!•./,* jsou prtmitivnípolynomy, i>akz,Z) j.iqu asociovaný v Z a f: /, * jsou asociovaný v Z\x] .
u!'i
IPukaz: Hft ) : symbolem z označnre nejyětší společný dělitel (v Z) viech kpeflcieplú pplyripniH f, t. zn. z - (a,,. a,,. . . ,«n). Koeficienty pplynpntu.f* pak obdižíme i ^nínifch, koeficientu polynormt / vydělením čf^lern z. Zíejpiépakje /íprirn.itiytiía platilI).
ad. 2: nech ť platí (2^ kd,e ,,?| eZ. a /*, /',* jspu primitivní polynomy.
Pak ale z, l.u, pro. t == Q, 1.....n, t.zn. také z, l(a0,cr,, ...,,<i ) = ž . Nechítedy
z»í,c,kde. c 6 Z . Podp,s.a,zení: z, cf* = z, /, \ t.zn. f f* =   * a tedy ?felp c dělí všechny koeficienty polynomu f,» , který je však primitivní. Pak ale p « ťf,'"t. zn. z.= iz, , resp, /,« » ±jf«,cpi je Jídané tvrzení].
Veta 8.2.: IVaussoyo. lemma')
Nechť f,g e / [x 1 /,wi< primitívni jmlynomy. Puk jejich součin f. g je také primitivním polynomem,
[ D.ú,k a.z pro.vedemešppreín, t. zp. necht"/;g jsou prim^ivníap/edpokládejrrie, že /■« n.enípi;irnitíyoípolenom, Pak ale existuje prvočíslo, p., kter,é dělí všechny koeficienty součinu /'..£,
Označme,; jf - «„ + a,x + ...+ <i„x" „<..
S = *o +      + „,+ é JT1"
Vzhledern, k rjíednpkladu, p. nedelí všechny koeficienty polynomu f resp. polynomu g. Nechřtedy ar,rcsp. bs je koeficient polynomu / , resp. g s i.tejmenším indexem, který není dělitelný číslem, p.
Dálei označme koeficient u mpeniny. x'*' polynomu f.g symbpleih c . Pak:
(3)
c - a f, .b . + < .b. = C   Ur, .b
t. zn.
■t,. .b„
s7
Zřejmí p dílíkaždý člen na pravé' straní rovnosti (3), t. zn. pak take' p\ar.bt. Podle predpokladu vsak p3(aypjfh a p je prvočíslo,t. zn: pXar:hf , což jé spor.Tedy polynom f .g je primitivní).
Důsledek: součin libovolného konečného počtu primitivních polynomů je primitivní polynom.
[Důkaz: tvrzení plyne z Gaussoya lenimatu užitím matematické'indukce ] Poznámka: je-li gGQ [x] libovolný polynom s racionálními koeficienty.
Í
L
pak po vynásobení společným jmenovatelem c-b^.b, ...b^ můžeme psát: g = c'./i, kde /i6Z[x). Podle V.8.1. však existuje d£Z a primitivní polynom /iTeZ[x]tak, že li-d.Ir. Dohromady tedy lze polynom «6(3 [x) psát ve tvaru: .
(4) g.= c;'., í/./!*., Mj,.c.íte?^'.!W?r?vI?J»ÍWíWľnr'
Vyjádření(4) užijeme v riáslěíliijícf větě; která čhařakténzůjb-ireďučibilňípolyiiomy'
nad Z ■ ; r" : "<'Vi-i>'i'?t :"ť':'"'K
I;
i i v,
I
Veta 8.3.: Ireducibilníml prvky v Z[x \ jsou právi tyto polynomy:, .
- všechny ireducibilní prvky v Z t
- viechny primitivní polynomy stupni alespoň I , které jsou ireducibiimnad polem Q racionálních čísel.
[Důkaz: je-li /eZ|x), .!((/) > 1 a / není primitivní, pak podle V',8.1. tz« psát: /=z ./■* , kde /»je primitivní a tedy z + ± .1.. Zrejmé ani z ani/» neníjed-notkou v Z[x[, t. zn. polynom f je réducibilnív Z\x\. lreducibilními polynomy nad Z mohou tedy být jen konstantní polynomy anebo primitivní polynomy stupně alespoň I,
Nenulová'konstanta, c.eZ však.y Z.\x\ může být součinem pouze celých čísel, a tedy.c je iredti.cibilním,pr.vkem v 7,\x,\ právíjdyž | c | je pryočíslOi.t. zn. pravé když c je ireducibilním prvkem v Z . «Mtt "W.
Dále, necht" feZ |.v | je primitivní polynom stupně alespoň 1. je-li / reducihil-ním prvkem v Z [.vj.pak (vzhledem k tomu, že je primitivní) je réducibilní i v Q[x\. Naopak, nechť / je réducibilní v Q [.v j. Pak platí: / - g,kde g,,g,eQ [,v],
- SB
69
1 f*l\t,),tHti) <sl{f) Polynomy gt,g, lze však pq<lle poznámky před větou psal yc tvaru (4), t. j.:
Si » cj'.d, .«r .  íi - (','.■', ./£
kde <.■,,(/,6Z, A(eZ|x] je primitivní <( = 1,2), Po dosazenídostáváme: / = í','.<:','.</, .(/,./(, /i'.t.zn.;
c, .f, ./= í/, .<Vj .
Ale / jeprimltlvnÍBpbdletíaussúvalemmatujei ň*./t* primitívni', t. zn. podle V .8.1. musí být polynomy / a asociovaný v z [x |, t. zn. /= e ,h'.H* , kde e = ±l.
Poněvadž zřejmé jé "Mg/) - tíih*); í »'1.2, znamená' to, že / je ret)ucií)ilní v Z [x]. Tím je dokázána i 2. část tvrzení, j
Poznámka: pro polynomy s celočíselnými koeficienty stupně > 1 předchozí víta ukazuje úzkou souvislosi triezl irediicíb'íiitou nad z a nad Q . přesněji řeČenb, je-ll takový polynom lreducibilní nad! Z , pak je ireducibilní riad Q , résp. je-li riavfc jeáté pri-. mitivní, palfjé ireducibilní Had Ž , praví kdýžje lreducibilní nr.i Ď . "
"Z ppé'dních dvou pbznámek vyplývá, že vyšetřování ireducibility póiynomB v „CfeJ, lz?i.y.p.?dsta|5 pJevŕsf na vyäetrovárrl Jreducibility polynomu ,v,^|xj, Následující víta udává dostatečnou podmínku pro to, aby polynom s celočíselnými koeficienty byl ireducibilní nad tělesem racionálních čísel.
Víta 8.4.: (Eisensteinpvo kriterium irediiclbllíty)
Neclu" "•    " J
<J>f "f'aa + a,x+... + allxn;     a/ŮZ ,  1 = 0,],...,n ľ"':
/e polynom, »<(/)»«?» 1 . Neclu existuje prvočíslo p , pro nez platí
('      P\a.   ,     / = 0; I.    ji -1 . . ,,
(6) i        P'a„ ■ ■' '
p''Jra„
Pak polynom f je Úexltlcilúílií nati télesem Q raclonálňlcfi čísel. ■ ''*'*
t D ú ká i : provedeme sporem; néchf polynom / splňuje, predpoklady věty a riechťyjeretlucibilnínad tělešerh Q .Pak / je reducibilnínad Z (podle V.83.) a tedy existují polynomy g,hez\x\, I <S st{g), sl(lt) < šHj i, tvaru:
g = /)0 + /j|.v+      hixr;   h = c0 + r,.v + ...*ťx'. lakové, že./-.e. A. Pak ale     =    .£•„ a z (6) plyne, že plb().t„ , t. zn, pi/;,, nebo
p\c„. Nechť(edy napf. p | íi0 . Pak ale p-fc,,, protože podle predpokladu pVflo . Dále nechť A. je koeficient s nejnižším indexem polynomu g , který není dělitelný prvočíslem // (takový koeficient jistě existuje, lleboťpodle (6); p>an = bf.ct ,t.z.n. pJ(hr). Navíc je zřejmé I «s k *í n -1 . Platí vsak:
í7> .        ,   "* "V* + "+6''c*        . ....
Ale pj A( , |» 0, .„11 a dále p^ft , rjJ/cj, a tedy.ze (7) plyne, že p/uk , při čemž
je 1 «S,.Í< «rl , cožje ale spfjr. I •
Důsledek: Existuje polynom libovolného stupně n(tt > 1), s celočíselnými koeficienty',-který je iřéducibilnřiíad tělesem Q: '
| D u k a z : vezmeme například polynom f(x) == x" + 2 ; n > 1 lib. ; pak podle Eisensteinova kriteria (pro p = 2) dostáváme, že / je ireducibilní nad Q. J
Poznámka: Eisensteinpvo kriterium je pouze dostatečnou, nikoliv vsak nutnou podmínkou iredupbilitypolvnomu /■ Nanř. polynom /•x*+ I s.celými koeficienty zřejmí nesplňuje předpoklady EisensteinQya kriteria a. přesto, je ireducibilní nad Q.
Kromě Eisensteinova kriteria existuje jestí řada dalších, me'né významných dostatečných podmínek pro ireducibilítu polynomu nad Q . Existuje dokonce metoda (vypracovaná již Kroneckerem) pomocí níž lže 0 lib. pólynoirius celými koeficienty rozhodnout, zda jé ireducibilní nad tělesem Q ■-nebo'nikoliv. Jevsak prňiS komplikovaná a těžkopádná, takže je.prakticky nepoužitelná.'w .■.>.--.•.•.'.' i! Wěkdy nelzcEjsenStejiiova kritéria použít přímena polynom fis celými koeficienty), ule lze jej použít na polynom /(x + a)-, kde -a €Z. Poněvadž však ireducibi-lita polynomu f{x) je ekvivalentní ireducibillté polynomu "./(i* i).V můžeme .tímto způsobem dokázat ireducibilitu ještě dalších polynomu, jak ukazuje následujícípří-klad: ■ :     "   s»' :
Příklad 8.1.: Nechť.p je pevne'prvočíslo, Ukažte, že polynom fix) =x"' + x'"I+ ...+ x+ 1 je ireducibilní nad tělesem Q.
Řešení: je vidět, že na polynom fix) nelze aplikovat Eisensteinovo kriterium.
Zřejmé však /(x) lze napsat ve tvaru: /(x) ■
x I
a položíme-li x = y + I , došlá-
70
71
- 1
(y+l)-l »•«
*<.p>=Aj'+.> (>'+tl)-j^, + (2^ + .M + (/|).ř+l-l)-
odkud vidíme, že prvočíslo    délívšechny koeficienty polynomu g , krom* vedoucího '.a p2 nedělí absolutní člen: Tedy podle Elseňsleinova kriteria je polynom g ireduclbilní nad fl.t.zn.i / je ircducibilnínad Q , nebbřje-li: f [x) • h,W :«,(*), pak je £(;.)"
V záveru tohoto paragrafu se budeme ?abýyat lileda'ním racionálních kořenů polynomu s racionílnfmi.koeficienty. Na rozdíl od předchozí Části tentokrát podáme úplne'a ,píj tom poměrné jednoduché tešení.
Poznámka: necht"/(x) 6Q [x ] je polynom tvaru: ;' "    f\x) - a„ + sjj: + ,.;.taní" * •■
kde tedy «,,«,'.....«„<=£•. Ôznačňnc-li součiil jmeiíbvatelu vŠecli koeficientu polynomu f (x) symbolem ií'.pák' polýnoih: 1 " ř*'.*""-r *"• '"'
...    . ^í^j = «r.a„ + rf.a,i+ LVt?'ily»«'' 'Y' má.Tiřojm.é víechny koeficienty celpčfselné.
Z VJ..2. pak bezprostředné vyplývá, že číslo e.efl je kořenem polynomu /•(*) právě když c je kořenem polynomu d.f{x) . Tedy polynomy f «t<í,/t majív Q , stejné kořeny,a problém nalézcňf radonalníchkořenu polynomu.s racionálními koeficienty Jsme tňnto obratem.převedll na problém nalezení racionálních kořenu polyno->jnB s celými koeficienty. . ,     , ., ,<ot.,,,.
Véla 8.5.: Nedli1
(8) /U)-«, + a,x+...+ «„*« ; a,éz. a,* O
/e polynom s celými koeficienty a nechť racionální číslo - (kde ŕ, s jsou nesoudélná)
, ' ■ s
je kořenem f.
. Pak plutí: r\a„ ; s\un . • ' ' ; .
i [ D 8 k az : je-li -~ =0 (t.zn. r * O, s= 1) kořenem polynomu./., pak musí být a„ = 0 a tvrzení věty platí.
Předpokládejme tedy,Že '—(1. Pak po dosazenído / dostávame:
'íl
^;iř
i
(9)
a0 + a, . - +
0. "' r
Vynásobením (9) číslem .v""1 a převedením posledního členu na pravou stranu dostá-váhie: "
(10)
«„. i""1 + a..r.s"
Ale na levé straně výrazu (10) je celé číslo,,t. zn. musí být: s\a- .r" , Podle předpokladu jsou s,r nesoudělná, t. zn. s,r" jsou také nesoudělnáa tedy musí platit s\on Zbývající část tvrzení dostaneme apalogicky vynásobením (9) Číslem — . Pak je:
, ..i .r"1 + a ./•""' = 0
"o- TT-íi"!.'*"'1 ♦ a,.. *!■•*. r +
11 .snl + a2 .snl.r + ... + dn t. zn. r | aa ..t" , odkud stejně jako výše plyne, že r | a0
t.zn. al.sni +a3.snl.r i- ... + dn.ŕ"'' ——-,,ťedy —-— niusťbyt čele cislo,
Důsledek: 1. Je-li celé číslo e kořenem polynomu (8).s1celými,kpe1ficie.n.ty,.nakj..-
.      2. Je-li ifolynom tg). p^«mo»»un»ř ,_jt}a H^aíjtjjř racionální kořen /je cele
t .   :;. ... Jgjcj,   ' . , ... ',
11) E k a z : I. i 2. jsou bezprostředními důsledky předchozí včiy. J
Poznámka: Pomocí V.8,5, lze najít .všechny ^ipnáiiíkoftiW.UbayaiJ^O.Jlgly-nomu fSQ[x] . Nejprve vhodným vynásobením převedeme polynom / na polynom s ;elými koeficienty, tvaru (8): Pak žjistítne vsechhjí'délitele ŕ absolutníiio členu aD a všechny dělitele i vedoucího koeficientu an a vytvoříme všechny možné zlomky tvaru -':,kfeřýé'n'jé zřejmé konécriěWHůHtíaVžéchnýraciónalHi''kořeny pOlyiitiřnu f je nutné hledat mezi nimi (výpočtem hodnoty f(.fí'\ např/ptířnbcřrldřlilíraVá schématu). VzhlJdem k tomu, žé koeficienty o0,: résp. aň mohou rrtít velký počet dílí-lelfl, mtžé:'b|?t,,.^tO'Jn.e|oda někdy velmi fffqi^^tíkft^jf<^}f, r|ioln/«h r»- . cionálnřch kWenJ polynomu / slouží následující věta.
Véla 8.6.: Nechť racionální cislo - (r,s ncsóudflná) je kořenem polynomu (8) s celými koeficienty; nechť m je cele'číslo, Pak:.., . ,.„,■..
'       (r m.tll/lwn i -v
i. zn. specielně platí:
(r -.v) 1/(1);   (r + j)l/(-l)
■ 'ľ
- 7Í
Kapitola III
POLYNOMY VICE PROMĚNNÝCH
§ I ! OKRUH POLYNOMŮ n PROMĚNNÝCH
V S I kapitoly II jsme ukázali konstrukci pomocí níž lze nad libovolným okruhem " konstruovat okruh R\x] polynomů jedné'proměnné'Tuto-konstrukci lze zřejmě opakgvat (vezmenie-li ,R [x\ za výchozí okruh) ä to libovolně konečně rnh^'íi'ôkät, což vede k nísledujíoídelínici. ;<:>:'•■ „-m -
Definice: Nechť R /e okruh a tierfl" n je perné přirozené číslo. Okruh, kléry získáme z R . pouiijeme-li ii-král konstrukci okruhu polynomu"jedné'proměnné' nazýváme okruh polynomů n proměnných n id R a Označujeme jej R[x.....,x ]. •• Mí' •.
Prvkyokruhu Äji,, nazýváme   polynomy   n   pro me'n n ý t h
nad   R   (nebo téz' polynomy n proměnných skoeficienty i R J. Nulový pŕvik'
okruhu R [x......jej nazýváme   nulový polynom   a označujeme jej o
nebo ta o(x{, ...,xn).
Poznrimka: rozeberme nyní podrobněji předchozí definici pro některá' konkrétní n .
Necht n ■ 1 ; pak dostáváme známý okruh polynomů jedné proměnné, studovaný v kapitole II.
Necht" n - 2 ; uvázíme-li že polynomy jedné proměnné'jsou nekonečné posloupnosti tvaru (a0, a,,....), kde a(SR, *( #0 pouze pro konečný počet indexů i , pak polynomy dvou proměnných jsou nekonečne' posloupnosti
<(a0o,"ni,    > ,    (oio.iu .  ••) . ................)
jejichž členy jsou rovněž posloupnosti (tj. polynomy jedné proměnné'), při černi pouze konečný počet těchto posloupností je různý od nulové posloupnosti, t j. (0,0.....).
Vidíme tedy, že polynom dvou proměnných si můžeme vyjádřit jako jis.ou nekonečnou matici (a,,) i krje i, j probíhají nezávisle množinu všech celých nezáporných čísel, v nfí pouze konečný počet prvků je různý od nulového prvku (L . Do řádků této 'mulice' vypisujeme postupně polynomy jedné proměnné, které jsou členy posloup-
79
nosti určující daný polynom. Operace + nebo . pak můžeme zapsat následujícím způsobem: .,.   , r:    . .
v**
kde d,
Při tom zřejmě nulovým polynomem jě polynom, v jehož zápisu se vyskytují pouze 0R a jednotkovým polynomem je polynom (e), kde řj,
Nechť n = 3 ; pak polynomy tří proměnných jsou posloupnosti, jejichž členy jsou výsé popsané polynomy dvou proměnných. Jo Vidět, Že íákovetb posioújiriósti lze vyjádřit Indexováním prvků z R třemi indexy, t.j. ve tvaru (al/k), kde I, j,k''! nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných Čísel, při čemž a^&R"*** pouze konečný počet prvků al/k je různý od 0fl .
Výíe uvedené úvahy lže nyní zobecnit, na případ n proměnných, t. tri; polynom
n proměnných lze uvažovat jako posloupnost tvaru (a
j, kde ř,,ln nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných čísel, při čemž a, ,   ,"6/\ á pbu-
.'   -  '■ \ 't'a.-.'M
ze konečný počet prvků a      j= 0 .
'"i
Věta 1.1.: Jt-U okruh R oborem Integrity, pak okruh R[x,.....xn] je lak'é -
oborem Integrity.
[Důkaz: provedeme matematickou indukcí vzhledem k n. Pro n.= .l tyrzeni
plyne z důsledku V. 1.3, kapitoly II. Nechť tedy tvrzení platí pro 1,2.....n -1. Pak je
R\X,,       ]•»(R[xt v'..:,\., l)[*„l.pr' čemž.podlé.indMRčníhopředpokíaduj.e.V R[x„ ...,*„,) oborem Integrity. Tedy opět podle důsledkUiV.l ia.vkapitolyill^je pak R[x,, oborem Integrity.]
Definice: Nechrf*lat( )<£R[x....., xn] je polynom n proměnných nad
okruhem R , Stup něm: po.ly.no m u  f. tmý.*ámt.ni^tä.t^^*4%*"^
+ C , kde a, .   , * 0, resp.
v případe, že f. je nulový polvnotn. Stupckpolý.n^
nm f budeme označovat symbolem st i f). .      /, :»k.
Polynomy stupně nula a nulový polynom nazývame konstantní poly-n o m y ; polynomy stupně'ledna nazýváme   lineární polynomy.
Poznámka: symbol eo je definován stejným způsobem jako'tehtýž sýmbol,zá-vedený.vjj 1, kapitoly II. pro polynomy Jedné'proměnné. RbVriéž vlastnosti st(f) " pro polynomy n proměnných budou analogické vlastnostem stupněpblynomu jedné proměnné,
72 -
( D 8 k a i ; delíme polynom / lineárním polynomem (x m),t.zn.pak (II) f M ■*(*- m). r/U) +/(m)
při čemž í/(a) = <)„ + t>,x + ...+ !•„.**" musí být polynomem s celočíselnými koefU cientyjajť plyne z Homérova schématu. Dosaďme hodnotu x =~ do( 111. Dostáva'-
0 - /í j)«(j - «)(*w + é, - + ... f oM •    ) t/(m)
odkud pak
(12) ,2i'(ft».tí>,.'ft... + 6...-^.
Vidíme,že pro r-ms je /t«ti »0 , t.zn. (r-ma) j/On) a veta platí, Necht" tedy
r * /;t,r . Vytiasobímeli (12) výrazem
, dostávame:
--.(** ./"•■• + ». .r.i-'+...t*..,r-') kde náprave straní je cele číslo, t. zn. musí být (r-m*) |jt*-j/.((b) . ■•'
Ale r-ms,s" jsou nesoudělná čísla, neboťjinak existuje prvočíslo p s vlastností: p I r ms ;' "p ji" rbdkuďvlák plýrie.že p | i (potiívaďž p ie prvočíslo) Pak ale ta-' ke p |.(r-tfií) +wí " r . Maímetedy: p|r, p|s , což je spor s předpokladem vety. Jsou tedy r-ms , s" nesoudělná, t. zn.ze vztahu (r-nit) | s".f(m) dostávame, Že (r-mf)lAm).)
Príklad 8.2.: Náleinété racionální kořený póiyňbmú: .»<=
'     ' ' "   "'J-     f" - * '-1
ifW.....•'•     'i':     /(X) =-jXÍ +X1 .<   j.,+ .V .. ............„       „ŕtu-fii t,-. .
■M-    -.'.tv.:-  r   **n:*k> 1-. .. ... .        y    .if-. *y>(l;>^ ■ s
Řešení: po vynásobení číslem 5 dostávame polynom g (x) s celými koeficienty, s nímž budeme.dále.prac.ovat.Tedy: v i • .... jĹ ...
• •  • '•   ř(x) = 3x4 + 5.v' + x,+ Sx-,2 . . .. .
Jis-li * racionálním kořenem polynomu g (a tedy i polynomu/), p«1kjdié\Vi8.S.:
r | - 3   =*  r = 1.: 1.2. 2 »13     - s = 1.3
(zřejmě u jednoho z čísel r, s stačí uvažovat pouze kladné dělitele). Dále ;vypíseme všechny možné hodnoty | a pod ně pak hodnoty r + s , resp. r -s :
I
- 73
s - Y- {■ l i- P'X
r+ s r - s
2 ,    * .
0     '2 ,
0 ,
1A,.
I ; s(0=8 ■5 ;    ifl) - 12
Užitím V 8 6. vidíme, že z původních osmi hodnot     zbývají k ověření pouze tři: j , - 2. 3'otoovéfeníprovedemenapř llornerovým schcniatem:
ft  | 0       ■» ^ je kořenem g
>      r- -~í není kořenem e
-» -2 je kořenem g
Tedy polynom/(x) ma' dva racionální kořeny: «, -2
Víta. 1.2.: Necht"R je okruh, n /c nemé přirozené"číslo. Prtk:
1. Mi.-ňinu nech konstantních polynomů troftimdokruhokruhu R{.\,.....x'|, který lze ztotožnit s okruhem !t
2. Ml {'»......*„) tib. neprázdnápodmnožina (1.2.....n). puk polynomy
1"     'j.. i„)£R'    •**.I ľ'0 "a "i, ..i ~ 0 ' /''■>"'* i, v"U pro n,";.,-'.' sýr l*......) • Mpodokruh okruhu K [x,......^ ]. Tento podokruh lze ztotožnil v okruhem polynomů m proměnných nad R .
[ D ä k a t: obě tvrzení plynou, z V 1.3., kapitoly I a j( na'sleduj/ci'poína'mky,
neboť:
1. zobrazení
•p: K - S I*......*„l
definovaně pro lib. ue« vztahem: »;(«) = (o,i(j  ( ) ,kde uM..„=u , resp. u(i   , = 0 . je-li alespoň jeden z Indexu rfizný od nuly,je vnorením.
2. zobrazení
.....*«J ~ K,A......
definované pro lib (a,       ICKIx.......\   J vztahem iMln,    ,   )) = («,   , ),
V '*i„ ' "m '».■   'l 'l"'„
kde
0 jestliže i^O pro níjaké sfC'k....., km)
jinak
je vnořením, j
Stejné jako u polynomu Jedné proměnné, můžeme I zde zavést zjednodušený způsob zápisu polynomů z R [x......x I. JeHI I «S A: <. n , pak polynom (ř>, ,   ,),. kde
» 'f's-'rt
' I   je-li ik = I a řf= 0 pro j*k
0 Jinak , .  . ,
označíme pevným symbolem, např. xk (pří tom žádáme pouze, aby symboly odpovídající různým indexům k byly různé). Pak libovolný polynom f" (a.   ,) lze na-psal ve tvaru
(I) /- La,ih^'x,1....^
při čemž sumace se provádí přes libovolnou konečnou množinu n-tic indexů /,,...,/„ takovou, že obsahuje všechny /i-llce pro něž « ,.#0. Dvě vyjádření polynomu / ve tvaru (I) se tedy mohou liíit nanejvýš fprmálně o sčítance tvaru 0. xť... x,". Dále vidíme, že pošloupmxst indexů koeficientu at    f v (I) a odpovídající posloupnost
exponentů u jednotlivých xft jsou shodné ánení tedy nutné koeficienty indexovat. Budeme tedy polynom / častěji psát ve tvaru: . *'i
/ = Ea.x, ...xj"
Definice: Nechť R je oki-u/i; pak výraz 'i   'i '„
(2)
nazýváme   členem o n proměnných   neho stručně cleném. Je-li f~ « i a.x'l ...xj' SR[x,, .-,xj, pak (2) nazýváme   cleném polynomu f; prvek n€ R pak nazýváme   koeficientem clenu   (2).     , ,t Stupněm clenu   x''...x|" nazýváme číslo (, + ,..+ íB. Polynom, jehož všechny cleny mají.lenlýi'stupen, s nazýváme   h o m o g en n í pol y npjn^Jsfupně s).
Poznámka: z předchozí definice a z definice stíf) plyne, že stupeň nenulového polynomu / je roven maximálnímu ze stupňů jeho členů s nenulovými koeficienty.
Přiklad I.I.: ■■■ rití*S.
a) v rV|x,,.v,,x,,x,] je /= {2-l).x',x}-x,xi: 3.x?x,x33 + (I + 21) polynomem stupně 6, který Je nehomogénni'.
b) v Z4[X|,x,,x,l Je g-2x?x,+ 3xfxJ + X|,XjX, ,ľhomqgenním polynomem s.tup-ní 3.
Poznámka: při.vyjádření.polynomuz.Alx,x„] ,ye tvaru(I.) a,při,operaach s nimi se mohou. ve: vyjádření( 1) objevit, dva stejné členy s. nenulovými, koeficienty (při tom předpokládáme, že nezáleží na pořadí proměnných, t. zn. n.apř. xLX] JFX1xl, atd.), které vsak rnůžeme, sečíst, nebpf zřejmé je: .),,],'■•■'■•« ■■■ - '       b.X\:..x'Z*c,x\'.i.xl'~(.b + c).x\'...x'z ."■ íí«-._
Na základě léto ďvahy budeme nynfväucle v dalším předpokládat, že při vyjádření po-, lynomu zR(x,, .;.,x,,l ve tvaru (I) se nevyskytují stejné členy, anj čjeny.s koeficientem rovným .0 . Bude-li třeba tuto úmluvu zvláíťzdůraznit, řekneme, že daný^ppjy-honvjevěstandarlhím tvaru. ■      ... :.,„ ,■
•Věta 1.3.: Každý polynom feR\x......x„] lze napsal ve tvaru spučltclipmogeii-
ních polynomů navzájem různých slupnťl, při četní toto vyjádření je jednozuachěíaz na pořadí).
82
[ D S k a z: hledaní-vyjádření obdržíme tak, že sdružíme dohromady vždy členy polynomu /, mající stejný stupeň. Jednoztnčnost daného vyjadrení plyne z toho, že väechny polynomy předpokládáme zapsané* ve slandartním tvaru. |
Definice: Nccliť f- E tí..v','... x" dR[x......xj a necítí" (b,.....Ii^le prvek
kartézského součinu R" (t.j. uspořádáni n-tice prrkO z R): Pak      ■' '■''''
fe prvek okruhu R , který nazýváme   hodnota polynomu  f  v bode"
M>......*„) a označujeme /(o,»„). Je-li /(*,.....bn) = uľ; fikáme, té'
(*i....."„)■ fe  kořenem polynomu /.      -•;•'''•*•"' '-'''
Poznámka: z definice bezprostřední vyplývá, že pro libovolné polynomy f.gER[x,.....xn\ platí:
(?)            (/*|«f>,,..,*,)«/(*,'...-..'bjisib,';.':.;*„)   ",:' ":| (*) v-gw>.....,*)=/■<*,,..,y ,*(»,.».",&„)
Nechť R je okruh; symbolem R" značíme kartézský součin R,X...X>V?, (n-krát). Pŕb'lib. fER[x,, — xj definujeme zobrazení: : x., .,
*f:Rň-r R takto: pro lib. (/;....., bJéR" položíme
(5) */((>,.....bn))=f(h......bn)
Zobrazení A budeme nazývat polynomiální'funkce■polynomu ■.{.. Ještližek néjake'-mu zobrazení > :R" -> R existuje polynom f-^R\^\'XtXh\rlůi,-U'-.= •!>!, pak i> budeme nazývat polynomiální funkce.  - ..     w,   ■ n.. ,  .5.,. .. ;:3;
Analogicky jako u polynomů1 jedni proměřme lze ukázat, že polynomiální funkce tvoří unitární podokruh okruhu (i?("">,+, ■) z příkladu 1.2, kap. I. a Že zobrazení
■'■  ■ ľ:R\x,,...,xJ^RV") .., ~v,,:-^x-^
definované vztahem /•'(/) - Q, pro lib. /e'fi[x|, :.,.xj, Je okruhovým homomor-fizmem. Tento homomorflzmus vlak obecní nemusí být injektivní, tj.nemusí být vnořením. V dalším pak ukážeme dostatečnou podmínku pro to, aby vnořením,byl.
Veta 1.4.: Ncfhľ A'„ je nekonečný obor integrity, nechť f \X\ , ..;,x )£/$[x, ,..,.v | je nenulový polylwm. Pak existuje prvek (/>,, ...íi )e/?J íuA, ;*,- /'(ri,        3* 0.
(Důkaz,: provcdeme.matematickou indukcí vzhledem k n i ŕiovnt-'l'''tvrzení víty platí (viz V.3.5., kap. II.). Předpokládejme, že tvrzen! vety plutí pro všechny riíkoriéSné1 obory integrity R a okruhy polynomu n- \ promíhpých ^[x,, ...,x ,], tóié n>'2. Poněvadž R„\x,,. , <c ] = (/?„ [v,.....x„ . |)[jc„ l.pfi čeníz'Ŕ „ [x i, )
„   ,        . . ••. >, :i.,'.:. i., ■■ ^hi ' >|(>:.'.'I-■■ KlíU . (.-lllS uífcr.'SJtH
jé nekonečny obor integrity, pak z I. časti důkazu plyne, ze existuje prvek
■ ■-.'I- , '■..   . ■.   ■' ři- .'•=". .f."..'.•'    '. #».JV'Vlf»n OMj Jjč:' liUt.'lu ,,Hí\ .'jyt\U®ei
g = g(x,, ..:.xal)e.R„[x.......r,., 1 tak, ze fix,, ,.rx . ,g)¥=olx......x ).Oznac-
r* ii * * *' -'ií*'J "  '"■''   ■ i' >li!^:!,i R ,ř.,/i;.'íil.'(.
me / (X|,x ,) «/(x,,x Pale / eÄ„[x,, ...,xn ] a z indukonilio predpokladu plyne, že existují prvky *,......bn,GR„ tak,ž? /*!*,,..., b   ) =ŕ 0 , t. zn.
/(''i......;/','.u' u. cbd.; ' ""'
i
Víta I.5.: Nechť R je nekonečný obor integrity. Pak zobrazení F:Á[x,, ...,'xj -» /!<""! . popsaná výše, je. vnořením. ' i,
[Důkaz   vzhledem k předchozímtóváhá n žbývípoůzédokázat, ?e p |» Injektivní zobrazení. Nechť tedy /; geí! (x,, ...,x„J jsou polynomytakově! ží^-Pifj^ Píg), t. zn. Podle (5) tedy pro lib. (6,, ...,ftn)e7<" platí /(&,,..,*„) =       .., íi,),
ť. zn.'podle :(3)'je pák':' Xf-g,(Ú^,f.'.,'Ěy^'6 '. 'odtutlVíáťpéďíeyV.l .4.'pi'yné,'íe polynom f-g musíbýtřoven nulovému'polynomu, t. zh. f'=g. Zobrázertf^jr jéiéciy injektivní.:] "" " "'"^
' Důsledek: Nechť R je nekonečný oborintegrityvnécltť' fígeR[x, i'.'.'/ix^ f*Z P'áväkdyž /(*,.....»)-»(*......í> ), pro každé (»,,••..!«/©«»&
,Pak
■ [ D B k a ž : jé-li "f (b,      f)p'= í (ftí,.... A„) pro každé (b, idit^l ek"\ pak *<Iv\ neboli /r(/)/'(J) a podlé V.ľ.5. je r^g .■ Opáí«á'implikúce!je triviálni-.']
Pnznámka: V okruhu R [x.......vj můžeme rovněž studovat otázky dělitelnosti
a ireduelbility. Např. z VI .4. kapitoly II. užitím matematické indukcé-píy.ne, žeje-li R oborem integrity, pak jednotkami okruhu í! [x,, jsou právíjednotky okruhu R . Tedy k polynomu fGR [x,.....X4| jsou'v tomto přípaďíásócioyáhy praví
víéchny polynomy tvaru :n/-vkdc ;■ S.R. je jednotka okruhu. i/í-iíiNaidruhíjStraní ale např. otázka charakterizáce'ireducibiliiích poIyuomfi../i,promě'rtných je značně'kom-plikovaná a lo i ve speciálních případech, např. pro R.=,K , kdy-ireducibimiipolyno-my jedné proměnní umíme jednoduše popsat. Obecně lze totiž ukázat, zé pro libovolné těleso /( a pro n > 1 exislují v okruhu R |:v,.....x'] ireducibilní polynomy libo-
volního stupně m>i (např. polynom jtf+.jj ,jp* fi |,tj., ,-,«,.* | ireducibjlní).
Při studiu polynomu n proměnných je často potřeba mít cleny daného polynomu lineárne uspořádány- U polynomu jedné promínné jsme, aniž to bylo nějak zy!á|ť Zdůrazňováno, uspořádávali jednotlivé mocniny proměnné V buďto vzestupní nebo sestupní, tuto metodu však přbpoiynomy n proměnných (ii > 2) zřejmé nelze
.nMí-TH.'"     ,-. ..n,   !■ ! ;t .    ,   t.l\ ■• >J ■ .    .' ,      .   I .-.'1      - i 7 -
aplikovat ä musíme tedy užil jiného postupu,
Dcfiliice: TVcť/ir/I =>*'... x*", Bjsou dm l-leny o h pmmčnných. Řekneme, že   clen   A   je p ť c d členem   H (nebo líi", it clen B je za členem A), exlsluje-li index i. !<(</!, spliuijlcl:
k. =j.
t, > i,
Jestliže člen A je před členem B nebo A * B , plserne pak: A> R .
VA» > Je, relaciIhteúrullio lúpbte'ho) i\spór~a\Júu'na mnočinč všech,celeni o n promennýdi ......
(D&kaz: > Je zřejmí relaeína (nekonečné) pinoŽiné všech členu o i\ promiň-ných, hjechfAjt ff'vf 5ŕ • T-lCv1, ^"*l.-rfV inaíť lib. cleny on pioinSn-
ných. Relace > je pak;
(i) reflexivní, neboť /I = /i , t. zn. je /l >• /4 • .(ii) antisyrpetrickrí, nehol'rU'(I! A>U. B>A nemohou pak. .4, ť, být rflzné.
(iii) tranzitivní', neboťje-ll A > B,B> C , pak pokud jsou nřkterí dva z tíchto ,,.|  'členů rovní,, musí být zrejmé A >C. Předpokládejme led/, ře členy A,B, C : i^lr.^:vj^S^.Wffltffíspi^S^iT^*to ^^tm^fut,2^^4t jjB před ti .i /) je před ^.Tedy existují indexy ;. ; splňující:
Pak při /*»./je,\ x, ;=,<,, ..,*(1.f <M , ft, p> /■, .       „..!;'.„ . .
a P'l i k, -t......*,,"',.,.*,>',.       (v! . •':■>'" /
5«»i . tedý v každém případe jc A PC,. ',i;;'..j ,• ., ....
liv) lineární(ŕiplná|,neboťje-li /I =ŕÄ , pak existuje nijaký exponent* v nímž se obá cleny-li.sí. Vezmeme-li pivní takový' exponent, dostaneme, ze bud* 4 Je ■ "před B' nebo H je před A, Ŕäy buďje A>B nebo    *• /< .» ] •. ,
Definice: Kr/nn > nazýváme   r eI a c iI e x-ik.og t-.a.f ic,.k,e',lto ,,us,p o -rád dni členit o   n   p r o in i n n ý c li.   Vyšetřujemc-ll pouze členy daniho ■polynomu fix,,xtl). /tak hovoříme o   I e i i k o g r'a fi c k i'm uspořádaní členit polynomu  f. Clen polynomu f, který je před všemi ostatními členy tohoto polynomu nazýváme   vedou dni členem   polynomu'f..
Příklad 1,2.: Polynom / S/í [x,, x,, x,, x, ] tvaru
/= 5.vf + 3xÍxixt~x}xjx\ + 5x,xjxj +2x, + x}x, 2 je lexikograficky uspořádán a jeho vedoucím členem je clen xf . "
Veta 1.7.: Nechť RL je opor integrity a nechť f,gSR{Xí, ...,xn\ jsou lib. nenulové polynomy. Pak součin vedoucích členit polynomů fa g je vedoucím členem součinu f.g.
[ D fi k a z : nechí A ■*/... * " je vedoucí člen /, rěsp. A' - «J" ■!■*„ je iib. ' další člen polynomu f. Pak existuje í, 1 '<J<n tik, ii-'k, ■m(V—ríjX'4 ' kf > m( . Nechřpodobné, B ■ x','-.x'" je> vedoucí člen polynomu g , resp. Ä'- = = x','... x'* je lib. další člen g . Pak existuje / : f,      , „ , j ; = / (, s;      «; ,''->,
Plat/víak: 4.5-x^1    ...x*"*'"; iť.fl'-x1-^'''!^""",o&udjelrledlidit, že A.B'je před Stenem A'.B' ■ Podobní se ukáže, že A.B je rovněž přeď'M.5!;i před A'.B . Koeficient u ílenu A.B v f.g je víak součinem koeficientu u Á i B , Čzn. je nenu|oyý, neboř fi je podle předpokladu obor integrity. Tedy A.B je vedouc! člen polynomu f.g .]
Poznámka: Nechť R je téleso; pak R\x......xj je obor integrity, pro který mfl-
řeme stejnou metodou jako ,v § 9 kapitoly. II. sestrojit podíloví tíleso, které oznacuje-me, .R\X, i,... x„). a nazýválme tgliporaýonalnkh funkci n promínných nad R . Při 'tom racionální   funkcí n prpméunýeh (nad/i) rozumíme výraz
f<!xl--x„) ' "
gix,,:..;x„) ■--<■■■ ■ - * »>•>
kde/,g6fi[x......xJ » i&OXX, ,....,#„). Rovnost racionálních funkcí n promínných a operace na množině R(x,,    x ) vřfécti tříd navzájem rovných racionálních funkcí ii proměnných definujeniestejní jako v § 9 kapituly'íl: Platí pák i analogické
výsledky,t. zn. R\x.......v|(| můžeme chápat jako podokruh tělesa raclúnálníchTunk-
cí R{.\.....,x t a libovolný prvek z Rt.v,......r ) můžeme pak vyjádřit jako podii dvou
prvku.z Rix.......v, I .
S 2: SYMETRICKÉ POLYNOMY
OMLUVA: víude v tomto paragrafu předpokládáme, že R značí teieso.
Definice: Polynom f (x,......ir^eAW.....*„1 w nazývá  t y m e I r leky",
jestliže M nezmenížádnou jiermulaeí promčnných, I. zn. pm libovolnou permutaci («|.....ty indexů 1,2,...,« platí:
iX, )=/<x,,   ...r) .
Mnoitnu nhcH symetrických polynomů n promčimých nad R budeme označovat symbolem RAix......xj(J .
Přiklaď 2,1.: V q [x,, ,*,,) polynomy /= jjjŕj Xj + 2jt,*} + , resp. í - 3 jsou symetrická, kdežto polynomy /i = xf, resp. Jt = x, + 2 x,Xj symetrické nejsou.
,Vͻt.2.l.: R((x,, ..,xn) je podokruhem oboru Integrity R[x,.....x \, tedy/e
to obor Integrity, který navíc obsahu/e teleso H .
113 Sk a z   jsou-ll /ja/, symetrické polynomy, pak i f,+f,,f, -f,, f,.f, se nemení žádnou.permutací.promfnných, t. zn. jsou to symetrické1 polynomy Tedy /{^[x,     xj je podokruhem oboru integrity Ä (x,, —iX\ ■ '-■ zn. je také oborem integrity. Zbytek tvrzení je zřejmý, neboť konstanto'polynomy jsou symetrické'. |
Veto 2.2.: Nechť A - X\.i, ...**" /ri vedoucítČlensyrhctrlckčho polynomu' fix......x„). Pakplatt:
k,>k,>...>ku
[Důkaz: provedeme sporém; nechť A je vedoucí Člen / a nechťexlstuje index /, KK» I, takový, že kf<iklll. Vzhledem k tomu, že polynom / je symetrický, musí obsahovat i člen Jí ■ i?..'x^xJ^Z'')?''^ jří* ..Vx^'x^l:.}x^:'fotém vrak člen B je před členem A , což je spor. ]
Věta. 2.3.:rNecld' A - x,1 .,, x*" je člen o n proničimých. Pak existuje pouze konečná mírnilo vedoucích členů symetrických polynomů o n promŽnných/kicrájsoti za členěni A .
[Důkaz: nechť x*1 ..v]1... .v*" je vedoucí člen nijakého symetrického polynomu o n proměnných, který je za členem A (pří lexikoaraficke'm uspořádání členů ó n
proměnných). Pak musí platit:
1) existuje /, \<Kn tak,že: .... *  = j  , ^ > «
2) í, >.v, > ... >sn (podle V.2.2.J
Odtud vidíme, že musí jisté platit: i <fc,, i - 1, n , t. zn. vedoucích člerifrsyiriet-rickýcli polynomů, které jsou za členem A je jistě méně běž f*|+-l V*,!ť. zn. kohecnč mnoho. ] •"' -"'
Definice: Polynomy z ř?|.V|, ...,X(| j tvaru:
■ , «i(x.....+ x, +.-ýxn . : ; ,,;
o,(X|......r I T-x,x, + .V|X3+ ... + .V|.v(| + x3x3 + ...+ xf||xrt
o,U......x) = <d-      x ..v ...jr
°jx>......v •••*»,
nazýváme   el e m e n t ár n í., symetrické1 poly n o.my, ,(n pronjénnýcji).
Poznámka: Je bezprostředné vidét.že výše.deľinovanc polynomy o,(x,, ,-i.x„). jsou skuteční symetrickými polynomy. S těmito polynomy jsme se setkaii již dříve (při poněkud odliínám označení, což je však nepodstatné), ve V,7,5. kapitolyill., kte: rá udávala vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomu f&K[x] ■ MŮŽémeteďýrípi, že koeficienty polynomu jedné'proměnné (nad AC) jsou.aŽ na konstantní násobek, elementárními symetrickými polynomy jeho kořenil:
V daläím budeme řešit otázku, zda libovolný symetrický polynom f&tjjľ,,■■'•f\\ lze vyjádřit jako polynom v proměnných o,,..... o, , resp. kolika způsoby. Vyčerpávající odpoyěďnatuto otázku dává následující věta.
Vč(a 2.4.: (Hlavní věta o symetrických polynomech.) Každý symetrický polynom fix,, ...■*„) , .....r,J lze vyjádřit jako polynom
n proměnných o......«, nad R , t. zn.
/(X, ,...,.»„) =l/)(0,.....o,)
přičemž toto vyjádření je jednoznačné.
[Důkaz: I. existence; nechť/U.......v„) je symetrický polynom nad R a
nechť
»i   «i *» (2) « 'r   <i •„
je jeho vedoucí člen s koeficientem «6K,iirO, Podle V.2.2. jc: kt»k%> ... > *„ •
I í
Uvažme polynom:
(3) ýi    "-"i    -°i ■•■■°„j
Pak podle předchozího jsou všechny exponenty v (3) celá nezáporná čísla a navíc po
d.psazení z (1) je ip, symetrickým polynomem v proměnných x........v (plyne z V.2.1.
neboťpak je f\ součinem symetrických polynomů proměnných x,, ...,x ). Napišme nyní vedoucí člen (i s koeficientem) polynomu p,. Podle V.1.7. je to:
(4) a.x,    .(x,*,l     ....(x,.tj ....!„.,) " 1 ".<x, .x2...xn) " = a.j-,V- V Vidíme, že je roven (i co do' koeficientu) vedoucímu členu polynomu / . Utvořme polynom: . . -
(5) /, = /-*
Pak / je symetrickým polynomem v proměnných xl,...,xr) nad R , při čemž vedoucí člen f, stojí za vedoucím členem polynomu /Jak plyne z (2),(4) a (5). Dále, vy-jdeme-li z vedoucího clenu polynomu /|, zkonstruujeme analogicky polynom \p7 a označíme: /j = f, - ^a . Pak vedoucí člen /, stojí za vedoucím Členem polynomu f, a platí: <n'i f "Vl + /i - tPl + *3 +/j ř" — -
Takto postupujeme dále, až obdržíme / =o , což podle V.2.3. po konečném počti) kroku musí nastat. Po dosazení pak dostáváme: "-p '•
f'<Pi + *s+ •~+-%*$*!.ft t ŕi + ■-. + ¥>, = p(a,., -,an) což je hledané vyjádření.
II. jednoznačnost: dflkaz jednoznačnosti hledaného vyjádření provedeme sporem. Necht": f {x......xn) " ^(Pi.....a„) "= d> (Q|, ...,an), při čerriž' ifi'^ ý1'-,
t. zn, polynomy yj a ^ se jiší alespoň v jednom koeficientu u stejného členu. Označme: "' "* "*
r (o,,     on) = y(a......on) - <li(o.....,0^)
Označíme-li g(x,......xtl) polynom získaný z r(o,.....an) substitúcií\), pak je zřejmé g(xt , ■■■,xn) - o . Podle předpokladu je t(o, , .... on) ^ o(o,.....ort) , t.zn.
alespoň jeden koeficient u některého členu polynomu t je nenulový. Nechť
(6) a. o',', o,1.... i/" . kde a ^ (I
vystupuje v t(u,      o ). Po dosazení( I) do (6) dostáváme zřejmě symetrický polynom v proměnných .v,.....v , jehož vedoucí člen nechťje:
(7) X?.£~x?
P.pdleV. 1.7. je však:. .
odkud po úpravě pravě strany dostáváme:
v, = r,+ (, + ... + /„
,"i -    .   .'j t--+'„
■-lattAtuM !=': rs
což jinak zapsáno dává:
'2 =',j-'-.'3
(8)
i-l       n-l n
Vidíme tedy, Že exponenty /,, ...,tn fSlenu (6) lze jednoznační zkonstruovat zexpo-nentS vl,...,vn vedoucího Členu (7). Tedy, různě číeny polynomu t(0| ,...,on), uvažované jako symetrické polynomy y x,,x " (t. zn. pp substituci (1 )j musí mít různě vedoucí členy (jinak totiž podle (8) z rovnosti vedoucích členu (7) plyne i rovnost původních člen3-(6)). -••>*■ •■        •<."-,'v *»J
Uvažme nyní všechny, členy a nenulovými koeficienty r^r^ip^^^id^jZji^l substitucí (i) převeďme na polynom v pramenných x,, _,,x í vezmčme vždy vedou-cíčiéří tohoto polynomu. Dostaneme UkneprfzdnůurhnóŽinů navzájem různých čle-'-Ifiykterf^
člen, pak tento musí být před vůbec všemi členy, které při substituci tl)'ao>(pi',í;i:i'„) dostaneme j pf ÍÁOttí Jeho' kbeflcienťje žréjme 'jaaa!^iyiíf^^'-jMÍ'ň^''-Í^i~<.x„'i ''defihovíihý yýiše je hehiiiovýicpž>je spor.Musí tedy-tíýť ^(oj, í.:,^)= *(°i >''"'í<7(í'' *'tíiřrÍL-vVjádření pblyrtomu/! vé tvaru'pPlynomupr,pměnných: o, r.-.iíí',, inadl Rjt
SÍ3^ěon'óžnačné^J'!,',I'!<- - ň'«t»i «*.»<^!«v<vl<c-« » i. '«.«(.;->-• mW.)U*i. i;«v4S!* tiwiä V**:-
! - '^''DůSlédek: Nechť/(*, ,*\4*»t"'VÍ»i» ...íffjl^íívyjádrenísymetřického.půlyno-sl,"rna /SÍR |x,, ..sx J pomocí elementárhích.sýmetrlckýchipólýnomu.PakikPencienty polynomu ^ získáme z koeficientů polyrtbmu/pomocí operacísčítánl a odečítáni
(vÄ);""';vi:'"i   ' '        !-ií«u»*»ír«;*Č-.      •' ■: ..
mni nat-i.,      vf^igi-   ■.- :*        ;>-■■! .<ím-.<>j.r>!--' .. *
[ D ú k á z : z první částidftkazu předchozí víty plyne, ze .polynom, yijjnja za 'kocfioieiit přímo koeficient vedoucího Členu polynomu /  Proyed.emerjiiye (3) sub-štituci (l)ipak pó rozepsání dostaneme polynom vpromČnný.chtXi i,;-, 'J?^9,í
koeficienty jsou celými násobky koeficientu vedoucího Zlenu polynomu f. Pík'áié z (5) plyne, fe koeficienty polynomu /; získame z koéflcieň'uVpqlyiioniu / pomoci sčítania odéíítánf a totéž tedy platí pro koeficient polynomu ý, .Podobni piopdly-nomy <p,,m . t. zn. i-pro polynom. *p . J
.(Poznámka: díkazprvní Hati předchozí víty je konstruktivní, t. zn. lze jej aplikovat při konkrétním vypóčtu, jak ukazuje následující příklad.
í...i:ii!.,(;,...t.,:-s juiiíj" 3ř>,^ .Příklad 2.2.: Symetrický polynom /(*,, x,, *,)»jtfjr, i-jtfjrj + x\x, + xjx, + + ijjti '+ xfxj e& [x, ,Aa,.í, ] vyjádřete pomocí elementárních symetrických poíyno-mů.
Řešení: . ' '
ri - l.o/ '.ffj0.(»j? - o,.*-, - (*i + Xi+^)Ui^+*i*j + M.j>* '
$<r*)i.       A -/-tfi,"-3.
PUK u.          •'            S-."!.* ' ■ f     .   .■  s>        M!tJ.-i •>« .lílt-jji JJtrtlOBMOi
-3«i V?*!*.*, ,, , ,H .    ^ Wo:*,-:;,,!;^:: V,
".Pak:.        /, =f\-<ti-n  ■ t|«)ÍMA <khůfiuí-\
«tedy vysiedne vyjádření je tvaru; '/-ví +:ípj '= cr, óí'^3oj'vígi:la.ff4ř?if
.•wl**.     »'«?r»«>'í' • n.rf|».iK.-virmr*' Sfri&ívaíij 11 ifeiflttWut
síS ikŽup.řMaduJe.yidět.ipaejménapň atupflÍHolynpmu^/Jjbud^ »tup,velmi pracný praktickém.výpočtu
ibudefje.dnadUjsXh;^.,,.,.     ;,v , .,lí0v »4,tj,1(.m
Z,dfikazu.hlavm'yěty je vfdřtyže členy JiiedanéhpíP^ jadřovány pomocí vedoucích Slonfi symetrických polynomů j SlPrhtomsye-
■dPUäť cleny polynomů1 ^,...,jf.^ jšou.za vedoucím
kove cleny můžeme vSak lehce vypsat a z posloupnosti jejich exponent * uproiněnnýdi
x......xn můžeme ihned psát jim odpovídající členy hledaného polynomu y)(n,,... on).
Koeficienty, takto nalezených clenu jsou jisté prvky z R , které zjistíme postupným do-sazPVáním konkrétních hodnot (z tělesa.,^) za proměnné, x,x^ . Ijvéděn^ itlitoda se proto nnívlimetodq neurčitých korficienithu,*:J,á„' ■• : ■ i ;i(i,r!n^!,.^ Jo-ll /(.v,, ...v 1 navíc homogenním polynomem slupne1 * , pak polynomy ..,
/,.....f   musí být též homogenní, stupně k a tedy 1 jejich vedoucí členy jsou stupně
kŠtáčítcdy v-tomto-případé vypisovat, pouze vedoucí.členy.stupněr,A,.;, ■, ; :* Ncřií-Iípolynom /(.v,, , ,.v,;l homogenní, pak je zřejmí výhodné'*ozdélitjej,na homogenní části navzájem řízných stupňů a pro každou část provést .yýppčyt iZvlášf
Shrneme-li to, co jsme právě řekli, dostáváme praktický návod k vyjádřen! symcl-lického polynomu / (v,.....r| pomocí elemsym. polynomů o.....o :
1. Polynom / rozdělíme na homogenní části různých stupňů a pro každou z nich řešíme zvlášT.
2. Napíšeme posloupnosti exponentů vedoucího členu A polynomu/ avsčch vědoucích členů symetrických polynomů daného stupně, stojících za A .
3. Ke každé posloupnosti expPnentů vypíšeme odpovídající člen v proměnných o......(7n (viz (3) v důkazu V.2.4.).
4. Hledané vyjádření je lineárníkombinacf členů z 3., při čemž koeficient u prvního z nich je roven koeficientu členu A a.ostatní koeficienty zjistíme postupným.dosazováním vhodných hodnot (z/?) za.x,, ...,xrt . ....
5. Sečtením nalezených vyjádření pro jednotlivé homogenní části dostaneme řešeni.
Příklad 2.3.: Symetrický polynom f(x, ,x,,x,) = (xf + x] )(x' + x?)(xjJ,+ x,') + + (X| + Xi)(x,+ Xi)(Xj + Xj)6 Rlx, ,x, ,x, ] vyjádřete pomocí elem. symetrických polynomů.
Řešení: polynom / rozdelíme na dví homogenní části: f-g+h, kde:
a) í(x,,xJ,xs) = (x' + x|)(xl! + x|)(x1 + xJ) = x?.x2J + .
4 2   0-» o]o] \
4 11-» olo,
3 3   0   -»    o\      >   g = o\ol+A. 0} o3 + B.oj + Co, o3o3 + D.cjl
3 2    1   ■» cTiOjOj I
2 2
«3
(-1, 1, 0) ■» o, «0, c,= 0, ř-   2 =>    2=-fl .tzn.fl
( 2,-1,-1) • o, =0. o, «-3, 0,= 2.g- SO » 50 = -2.(-27)t4/3' .tzn.fl
(-1, 2.  21 -> o, = 3, o, = 0. Ba = -4,g = 200 - 200 M.(27).(-4)-16, tzn A
(I,  I.  i) - 0, = 1, Oj-;l,Oj.--l,ř=   8-    8 = l+2+2+C-l .tzn.C
Tedy: g^o'o1 -2o}u,   2o} i 40,0,0, -oj
b)   /|(X, ,X,,Xj) = (X, +X;)(X, +Xj)(X,+Xj) =x,Jx, + .
a 1 o t b,9, \ .
/I = o, a3 + K o,
I 1  1. •> • o,    • l
(1,1,11 - o, =3,rj, - 3. o., - l./i = 8 - 8 = 9+ K , tzn. Af = -I jedy: /( = yl u, Cj
Dodatek'
ALGEBRAICKÉ ROVNICE
§ 1 i ALGEBRAICKÉ RESENI ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
Problém řešení rovnic je jedním z nejstarlích a pri tom nejdSleíitíjäícli matematických problému .vflbec,.který rovněž souvisí s teqriípolynoŕni. Poznamenejme,Že všechny úvahy, v te'to kapitole budeme provádét nad polem.lAľ íkbmplexníoh čísel, ne-budé-li výslovní řečeno jinak. Dáie, na rozdíl od předchozích kapitol bude podaný výklad tentokrát pouze stručným přehledem, při čemž důkladný rozbor lze najít např. v|6|nebo[8j. - '
Je-li f(x)= anx" + a„.íx"'+ ... + a0 polynom s komplexními koeficienty, stupne n > 1 , pak rovnici
(D /(x) = 0 • á*-.-
budeme nazývat algebraickou rovnicí (n-telio stupne, o jedné nezníme). Při tom (1) bude vyjadřovat příkaz vyhledat všechny (obecní komplexní) Úftnýpolynoínii fix), ktirébudemetéž/nažjřvatkořeny^nebo!feSen(rovnice (1),Jevldét,žepolynornf(x) v (I) lze v tomto případe, bezújmy na obecnosti, předpokládat v normovaném tvaru.
Poznámka: je důležité si uvědomit, ie zápis (1) neznamená tentokrát rovnost dvou polynomů1 (totiž polynomu / a nulového polynomu). Dále pripomeňme, že kromí algebraických rovnic existují i nealgebralcké rovnice, t j. rovnice tvaru (1), kde však f{x) nenípolynom, nýbrž nejaká jiná komplexní funkce. Takovými rovnicemi se zde nebudeme zabývat.
Příklad 1.1,: Rovnice (2) k"  1 <= 0
je algebraickou rovnicí,jejímiž kořeny,jak známo, jsou pravé všechny /i-té odmocni-
ny z jedné, t.j čísla: cos ~* (sin -~.f , k = 0,1...../i-l . V dalším budeme pro
jednu z těchto hodnot používat pevného označení, a sice:
e„ = cos "ji 11 sin ^ .
Při tomto označení pak zřejmě všechny kořeny rovnice (2) jsou: I ,.e , «J.....e*"1.
103
V.dalším nyní naznačíme metody řešení pro někblikvntíjjedriodušiiich, rěsp. specielních typů algebraických rovnic. ;>••!;-.•• <■   '■ .-•:>
• '■'•(«)' Kvúdrattčkařóvnicé       ' -     ' ■     •'•' " : rIii"
t. j. rovnice tvaru i' :4px '+ q^ = 0 (kdé p.q jsou obecně komplexní čísla! j sé dá pře: psitdb tvaru:f;(x + f{"f--0 , odkud ihned dostáváme její kořeny':1' ;; "' '
kde yí^--q znamená libovolnou (ale pevnou) z obouidruhýchodmociiin z,kpms,.,. plexního čísla     - q . Připomeňme, že druh kořenů kvadratické rovnice záleží na hodnotě diskriminantu D polynomu na levé straně (viz .§ 3, kap* III.}. Má-li kvadratická, rovnice navíc reálné koeficienty,:pak.při.      0..má pouze.reálné kořeny, resp, při Z><0 pouze nereálné (irnaginární) kořeny. „, ,    " ,
(b) Kubická rovnice • "
(3) ■-*.-.>-'       23+azV+6Z+1 =0 ' .'
se jednoduchou substitucí:
(4) z=*~f
převede na jednodušší rovnici (samozřejmí ovšem rovněž kubickou) tvaru:
(5) . xt+px + a .. o     ' ■:>.>.'v.yr >ij ,
Stačí nyní tulil všechny kořeny rovnice (5), noboťpak užitím (4) určíme všechny kořeny původní rovnice (3). Po několika úpravách dostáváme näkóňec tento výsledek: necht' /( *yf £ + 27 značí jednu (pevnoulz obpu hodnot napsaného symbolu; nechf dále « znaď libovolnou (pevnou) Ze tří třetích odmocnili \J - J+.K a konečně ľ znqčí tu z třetích odmocnin j/- f-'JT, která splňuje vztah: 3tii'--(i. Potom kořeny rovnice (5) jsou:
(«)
x, - u ^ v ;   x, - e3. u + ej . v
' f,1 .U +- Ej. V
kde e, = cos 2j + / sln ^ =   \+ \ i \/3 . Vzorce (6), pomocí nichž můžemealge-braicky explicitní najít kořeny kubické rovnice, se nazývaj! XJanianovy vior.ee,-.'. ,.i •_• O diuhu kořenů rovnice (5) lze opít rozhodnout podle hodnoty diskriminantu......
D polynomu nalevě.stranč (S), přičemž D.-.: Ap'-llq1. J4k;p!yn.e.z,příkladii 3,3, kap. III.Podle V.3,4.,kap, III.jsou kořeny navzáiem rňzní prá.vě když í).?;-.n., . ...
04
- 104 -
-  105 -
. Qbzv.iá.írdBležitý je případ, kdy koeficienty kubické rovnice (5) jsou reálná íísla. Potom při D <0 dostáváme (rozborem Cardanových vzorpfll,že jeden kořen (5) je reálný a zbývající dva Jsou imaginární (a to komplexně sdružené, vzhledem k V.7.6., kap. 11.). Je-li D > O , pak jsou všechny tři kořeny rovnice (5, reálné arflzné. Carda-npyy vzorce vlak tyto, reálné kořeaiy vyjadřují ve tvaru součtu třetích odmocnin z komplexních čísel, což Je v praxi nepříjemné'. Dokonce lze ukázat, že žádnou metoT dou uiíyajícípouze základních aritmetických operací (t. j. + ,-,.,;) a tvoření aritmetických (reálných) odmocnin heize v tomto případě vyjádřit kořeny rovnice (5) pomočí jejích koeficientu. Tento prahlém je vsak možno Mit poměrně jednoduře pomocí goniometrických funkcř:       -i;.-. ■     .        -.    p'v .<;..:
.. .- .V---*..     • . - ■ -í -.   . .      ' . ;• -..    .;' ■ ■ *,
(i) Rovnice čtvrtého Stupni •'• '« ■'■!<■'
gýsu.:-.v!    - .xi + ixj + (,^i +>jr + </ «0 • >.••'-
se da'opět řešit celou řadou algebraických metod. Například, oznaěíme-íl i,, x,,x5, x4 kořeny rovnice (71 a uvážíme polynom g(x) tvaru:
<j(x) = (x (.v, + x,)).(x-(x, +xs)).(x (x, +x4)).(.v-(x, + xä)).(x-(x,+x,)).(x-(Xi+x,))
- - t .        . -      . i *:
pak koeficienty polynomu g(x) jsou zřejmí symetrickými polynomy koíériu rovnice
• ' i    -,i,:,.t;        .'it>!.l. .;•
(7) . Substituci
■ - i .
(8) x = t - j ■ '
přejde polynom g(x) v polynom F(t) = gU-^) , který obsahuje pouze sude mocniny prornínné r. Položímě-N: ť = u , dostáváme pak kubickou rovnici b neznámí u. Tutp.umíme řešit a z jejich tfíkořěnii «,,«,, ii3 obdržíme ři kořenilrovrílcé fi($wt, a sice ty/Wy, tý/it-i , *ví , odkud pomocí (8) dostaneme 6 icoreňS! or,,<V,', .'lícíc, rpvnice í(x) = 0. Kakbnec.p iiači řešit terifd
jednoduchý systém rovnic: " " ''
x,+x2        , x, + xj = a, , X, + X4 = 0!, ,x, + x3 = o, , x,+x, = o5', x34íij=a, ,' z níhož již snadno vypočítáme     xt, x3. x4 .
(d) Binomickátovnice t', *
je algebraická rovnice tvaru    . : •-
(9) " • •' - x"_~a = f>, . .i■• . . kde a¥=0 je pevne'komplexní číslo, případ a =■ 1 jsme rozebrali v přikladu 1 .1, Obecně, označíme-li libovolnou (bií pevnou) z n-tých odmocnin z komplexního íísla a symbolem s/2 , pak všechny kořeny rovnice (9) jsou: '{/ä , e„-V" . f,,-Vá. ■■• f" 'V" •
I
kde e = cos ^ + f sin ^ , jak bylo zavedeno výše.
(e) Reciproké rovnice Rovnici tvaru: unx" + <L       + ... + 0|X + a0 = O nazýváme reciprokou rovnicí 1. druhu (resp. 2. druhu), jestliže platí: an » a0 .       = a, ,. a , - a,(resp. a„ " -a0 . «„., =  a, , an.a =  a,......).. ,
Zřejmé, má-li reciproká rovnice (ať 1. nebo 2. druhu) kořen c , pak má take'ko-ren y . Dale, reciproká rovnice 1. druhu, lichého stupni, má vždy kořen c. "VuJ -a po jejřm vydělení kořenovým činitelem (x-H). obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu, sudího stupni. Podobné, reciproká rovnice 2. druhu.má vždy kořen Cj-.l. apo vydělení činitelem (x-í) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu. Z těchto úvah vyplývá*, že při studiu reciprokých rovnic se stačí omezit pouze na reciproké rovnice 1. druhu a sudího átupně, hapir. 2/n . Řešeni takoví rovnice lze vsak jednoduchou substitucí preve'st na řešení algebraické rovnice polovičního, t.j. tn-tího stupně a řešeni' m kvadratických rovnic.
Výtle Jsme ukázali, jak lze explicitní vyjádřit kořeny algebraické rovnice z jejích koeficientu 'algebraickými' metodami (t.j. metodami, užívajícími v konečném počtu čtyř základních aritmetických operácia tvoření odmocnin) pro rovnice až do.4. stupni, Problém najít 'algebraické' řešení rovnice 5. stupně se stal po objevu řešen! rovnic 3. a 4. stupně v XVI. století jedním z ústředních matematických problémů, y letech 1700-1701 francouzský matematik Lagrange podal obecnou metodu jak vyjádřit kořeny algebraické rovnice metodou symetrických funkcí pompeř kořenu jiných algebraických rovnic, které nazýváme resolvenwmt. Ukazuje se, že resolvehty rovnic 3. a 4. stupně jsou o jedníčku menšího stupně než daná rovnice, zatímco resolventa' rovnice 5. stupně má stupeň 6. Nesčetní pokusy o obecné 'algebraická' řešeni rovnic stupni pa'tčho. a vyšších selhávaly a vedly nakonec k opačným pokusům, dokázat nemožnost nalezení takové'metody. Správnost druhé'domněnky potvrdil norský matematik II. Abel ve dvacátých letech minulého století. Tím ovsem není řečeno, že by nebylo možno některé speciální typy algebraických rovnic vyjs'/ch stupíú řešit 'algebraickými' metodami. Ucelenou odpověďna otázky tohoto druhu podal francouzský matematik b.tjalois (1811-1832). Z teorie po něm nazvaná plyne, že pro každé''n > 5 existuje algebraická rovnice stupni n , která není řešitelná'algebraickými'metodami,
77
- 106 -
S 2: NUMKKK'Kfí KliŠKNl'AI GKISRAICKYCH ROVNIC
V předchozím paragrafu jsme pouka'zali na nemožnost obecné 'algebraicky' řeži t algebraické rovnice stupne « > 5 . Ale i.metody a vzorce pro řešení algebraických rovnic stupni menšího než 5 mají význam spíše teoretický než praktický/Proto je nutné hledat jiné způsoby výpočtu kořena algebraických rovnic. Při těchto úvahách, které > většinou přesahují rámec, základního kurzu algebry,je obvykle nutné použít aparátu
a metod matematické.analýzy. .. ■■■ -/.:^:.
V dalším alespoň schematicky naznačíme postup získání (přibližných) hodnot reálných kořenu algebraické rovníce s reálnými koeficienty, t.j. rovnicer ;
(1) anx" + an.,*■""'+ ... + u\x + a„ = (i ,     a SR ,
což je sice specielní, ovšem v praxi nejčastější případ. Postup.sestává ze tří kroku:
a) ohraničení kořenů . ,      : . .
b) separace kořenů
c) aproximace kořenů.
Ohraničehthi kdreníí še rozumí nalezení intervalu na reálné ose, v němž leží všechny reálné kořeny dané rovnice (1). Lze například ukázat; že reálné kořeny 'rovnice (1) leží v intervalu  <   (1 + JřjJ.O'* r*i) > , kde M-man {.|;a„ |, ..1,1)1%, I ). Potibb.riých odhadů existuje celá řada. Separace kořenů znamená nalezenrinlervalĎ na reálne' ose, z nichí každý obsahuje právě jederí reálny kořen rovnice (1)1 Obecne metody pro separaci kořenu bývajíďpsti težkopádhe'iii piache. Nekdý'vyStacínie.spoúhym horním odhadem poctil .kořenu, který můzé dokonce vástik preshýřiV ^tídfcflín,' spó-jíme-lijej sdolním oďhatfein poctu kořenu. Posledníodhad lže^■nejjédhbduŠejiprovást pouhým sledováním znaménkových žmSn hodnot pblj/notrlu ha levé strane (1) vlibo-vo.lne konečné posloupnosti bodu. Konecřlě, jestliže jsme liáležli interval obsahující.. právíjeden kořen rovnice (I >, který označíme íiapř. x0 V pak prbva'dírne aproximaci tohoto korene s jistou předem danou přesností. Znamená to zkonstruoval dv& posloupnosti rea'lných čísel: " v ' *' ':'
r|i^<*2 < ....<c < ....<a0 <„..<d    .... =^ť/2 Kdi , obě konvergující k hodnotě. .v0 . existuje opet cehí řada t.zv. približných metod, které' umocňují aproximovat hledaný kořen s libovolnou přesností.
Všechny nuuiĽFickc metody řešení aluebraických rovnic získaly na významu v po-slednídohé především možností využití moderní výpočetní techniky.