6. Těleso racionálních čísel
6.1. Definice. Nechť K = (#, + ,•), S = (£, + ,-) jsou okruhy. Vnořením okruhu 1í do okruhu S rozumíme injektivní homomorfismus okruhu 1Z do okruhu S, tj. injektivní zobrazení / množiny R do množiny S takové, že pro libovolná a, b e R platí:
f (a + b) = /(a) + /(&),   /(a ■ 6) = /(a) ■ /(&).
Jestliže existuje vnoření okruhu 72 do okruhu S, řekneme, že okruh 72 lze vnořit do okruhu S nebo že okruh 72 je vnořen do okruhu S.
Vyřešme nyní otázku, kdy lze komutativní okruh vnořit do tělesa.
6.2. Věta. Nech( 72 = (R, + , ■) je komutativní okruh. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(a) V okruhu 72 platí omezený zákon o krácení, tj. pro libovolnou trojici x, y, z S R, x / 0 tátovou, že x • y = x ■ z, platí y = z.
(b) Okruh 72 lze vnořit do tělesa.
Důkaz. Budeme postupovat jako v důkaze věty 5.2.
Nechť platí (b). Pak existuje těleso T = (T, + , ■) a vnoření f : R-tT. Buďte dále x,y,z g R,x ^ 0 taková, že x-y — x-z. Pak f(x)- f(y) — f(x)-f(z), f(x) ^ 0, tudíž f(y) — f (z), odkud plyne rovnost y — z.
Předpokládejme nyní naopak, že v okruhu 72 platí omezený zákon o krácení. Jelikož nulový okruh lze vnořit do každého tělesa, můžeme předpokládat, že okruh 72 je nenulový.
Prvek a — [a,b ] £ R x (R - {0}) nazveme zlomkem okruhu 'IZ. Na množině všech zlomků R x (R — {0}) okruhu 72 definujeme relaci ~ následujícím způsobem: pro a = [a,b ],/3 = [c,d ] 6 R x (R - {0}) položme
a ~ P        a - d— b- c.
Promyslete si sami, že z komutativity násobení a z platnosti omezeného zákona
0 krácení plyne, že relace ~ je ekvivalence na množine R x {R — {0}). Rozklad příslušný této ekvivalenci označme T. Zlomky a,ft & R x (R — {0}) takové, že a ~ (3, nazveme ekvivalentní. Pro A,B &T nechť [ a, b } £ A, [ c, d ) e B a nechť C, D € T jsou určeny podmínkami [ ad + bc, bd ] e C,[ac,bd] e D. Snadno se ukáže, že třídy C, D nezávisí na volbě reprezentantů tříd A a B. Skutečně, je-li též [ o', ň' ] 6 A, [ c', ď ] G B, pak platí o ■ b1 = a' ■ b, c ■ ď — c' ■ d,, odkud plyne {a-c)-(b'-ď) = (a'-c')- (6-d), (a • d 4-Z> • c) - (&' • ď) = (a'-ď + b'-c1) ■ [b-d), tedy
1 [ o' ■ ď + &' ■ c', 6' ■ ď ] 6 C, [ a' • c', h' • ď ] 6 D."Můžeme proto položit
A + B = G,   A-B = D.
Tím jsou na množině T definovány operace + a • a snadno se zjistí, že T = (T, + , ■) je těleso. Jednotkovým prvkem tohoto tělesa je třída E = {[r,r ] | r e R — {0}}
42
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
a nulovým prvkem je třída {[Q,r] | r 6 A- {0}}. Pro A G T je opačným prvkem třída -A = {[ -a, b ] | [ a, & ije A}. Inverzním prvkem pro A G T, A i 0 je třída A"1 = {[M ] ! [a,H e A}.
Pro r 6 iž je množina /lr = {[?•• x, x ] | a; G R {0}} prvkem rozkladu T. Promyslete si sami, že zobrazení i/j : R -> T definované vztahem ip(r) - Ar pro libovolné r 6 i?, je vnořením okruhu 71 do tělesa T (pro důkaz injektivity ij> je třeba využít omezeného zákona o krácení). Veta je tím dokázána.
6.3. Definice. Pro nenulový komutativní okruh 71 nazveme těleso T konstruované podle důkazu.věty G.2 podílové těleso okruhu %. Uvedené vnoření ij> nazveme kanonické vnoření okruhu 71 do jeho podílového tělesa. Pro [a, b } G A e T zřejmě platí: A = ip(a) ■ ^(b)"1. Prvek r z okruhu Ti se ztotožňuje se svým obrazem ip(r) v podílovém tělese. Na základě tohoto ztotožnění můžeme považovat okruh 71 za podokruh jeho podílového tělesa T.
Podílové těleso má význačné postavení mezi tělesy, do kterých lze okruh vnořit. Tato vlastnost je charakterizována následující větou.
6.4. Věta. Nechť T je podílová těleso nenulového komutativního okruhu 71 s omezeným zákonem o krácení a nechť yj je kanonické vnoření R. do T. Buď f vnoření okruhu 71 do nějakého tělesa U. Pak existuje jediné vnoření f tělesa T do tělesa U takové, žc f o tp = /. <<
Můžeme říci, že diagram na obrázku 6 komutuje.
71
1
U
Obr. G.
Důkaz. Nechť U = (R, +, •), T = (T, +, •),U = (U, +, •).
Protože homomorfismus / je prostý, a protože /(O) = 0, existuje pro libovolné x G R, x 5^ 0 inverze prvku f {x) v tělese U.
Buď A € T, [a, 6 ], [ c,d ] G A. Potom a ■ d = b ■ c, odkud plyne f (a) ■ f (d) = = /(&) ■ f {r), tudíž f (a) ■ f(b)jl = /(Ď)-1 • f (a) - f (c) ■ f (d)-1. Můžeme proto korektně definovat zobrazení / množiny T do množiny U vztahem
/(J4)=/(a)/(6)-1.
lift:
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
43
Promyslete si sami, že z toho, že / je vnoření okruhu 71 do tělesa U plyne, že / je vnořením tělesa Tdo tělesa U a platí: f otp - f.
Dokážeme, že / je jediné vnoření s požadovanou vlastností. Nechť g je vnoření tělesa T do tělesa U takové, že platí: 301/; = /. Buď [ a,b ] G A G T. Potom f (A) = f(a)-f{b)-1 = 0Ma))-[ff(V(&))]-1 = sOM"/^)-1) = 9{A)- Dostáváme pak / = g a věta je dokázána.
6.5. Poznámka. Podobně jako v případě grup podmínka v předchozí větě skutečně charakterizuje podílové těleso, neboť platí následující: Buď f vnoření komutativního okruhu K do tělesa T takové, že ke každému vnoření g okruhu 71 do tělesa U existuje vnoření g tělesa T do tělesa U s vlastností g o f = g. Potom T je izomorfní podílovému tělesu okruhu 71.
, + , •) se nazývá těleso ■) se nazývá racionální
6.6. Definice. Podílové těleso okruhu celých čísel (2 racionálních čísel a značí se (Q, + , • )• Prvek tělesa (Q, + číslo.
0.7. Poznámka. Můžeme tudíž říci, že racionální číslo je třídou ekvivalentních zlomků okruhu celých čísel. Celé číslo 2 G Z se identifikuje se svým obrazem v Q při kanonickém vnoření, tedy celé číslo se považuje za číslo racionální: Z C Q. Okruh celých čísel je pak podokruhem tělesa racionálních čísel.
Pro A 6 Q.[ a,b 1 6 A dostáváme
• r> =
Každé racionální číslo lze tudíž psát ve tvaru f, kde a, b G    b ^ 0. Těleso racionálních čísel se často značí pouze symbolem Q.
6.8. Definice. Nechť A, B e Q jsou libovolné a [a, b ] G A, [c, d ] e B. Jelikož [ a, 6 ] ~ [ -a, -6 ] a [ c, d } ~ [ -c, -d ], můžeme předpokládat, že b > 0, d > 0. Položíme nyní
A < B o - d < b ■ c.
Uvedená definice nezávisí na volbě reprezentantů tříd A, B. Skutečně, je-li též [k,l ] G A,[m,n] G B,l > 0, n > 0, pak k- b = o- l,m- d = c ■n. Z a-d < b-c pak vynásobením číslem i n > 0 podle 5.16 (e) plyne l-n-a-d <l-n-b-c ■& dosazením dostaneme k ■ n ■ b ■ d < l ■ m ■ b ■ d. Opět dle 5.16 (e) máme k ■ n < l ■ m, neboť bd> 0.
Tím je tedy definována relace < na množině Q.
6.9. Věta. Heiace < na množině Q je lineární uspořádání. Pro celá čísla je tato relace rovna dříve definované relaci < nämnožině Z. Důkaz. Reflexivita relace < je zřejmá.
Buďte A,B,C G Q, [a, žij 6 A, [c,d } G B, [e, f ] G C, kde b > 0,d > OJ > 0. Jestliže A < Ě a B < A, pak ad < bc, bc < ad, tedy ad = bc, odkud plyne [a,b } ~ [c,d ]. Pak A = B a relace < je tudíž antisymetrická.
46
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
Závěrem tohoto odstavce si provedeme úplnou diskusi řešení binomické rovnice v okruhu celých čísel a tělese racionálních čísel.
6.19. Tvrzení. Nechť'JI — (R, + ,-) je okruh celých čísel nebo těleso racionálních čísel, n přirozené číslo, a6i!ia<0.
Je-li n sudé číslo, pak binomická rovnice x" = a nemá žádné řešení v okruhu
71.
Je-li n liché číslo, pak 0 e R je řešením binomické rovnice i" = qvK právě tehdy, když —0 je řešením binomické rovnice xn = —a v okruhu TZ .
Důkaz. Nechť n je sudé, tedy n = 2m, kde m je přirozené číslo. Jestliže existuje § G R takové, že fP = a, pak -y2 = a, kde 7 = 0m € R. Podle 6.10 (e), (f) je pak 0 < 72 = q, což je spor. Tudíž binomická rovnice xn — a nemá v 72. řešení.
Nechť n je liché a p € R. Je-li 0 řešení rovnice 1" = a, pak 0n = a. a jelikož (-1)™ = -1, dostáváme (-0)" = -a. Tedy — 0 je řešení rovnice xn = -a.
Je-li ~p řešením rovnice xn = -a, pak —a — {—0)n = {-l)nj3n = —0n, tudíž fin = a a /3 je řešením rovnice i" = a. Tvrzení je tím dokázáno.
6.20. Poznámka. Podle 6.18 a 6.19 se můžeme v okruhu celých čísel a tělese racionálních čísel omezit jen na binomické rovnice s „kladnou pravou stranou". Diskuse řešení těchto rovnic je provedena v následující větě.
6.21. Věta. Nechť71 — (R, + , ■) je okruh celých čísel nebo těleso racionálních čísel, n přirozené číslo, a € R, a > 0. Binomická rovnice xn — a jé řešitelná v TZ právě tehdy, když n\vp{a) pro každé prvočíslo p. V tomto případě má rovnice xn — a právě jedno řešení 0 s vlastností 0 > 0. Toto 0 je rovno číslu
P
n p-
per
■ a. Pak
Jede m(p) = ^Vp(a).
Je-li n liché, pák číslo 0 je jediným řešením rovnice x" = a. Je-li n sudé, palí rovnice a;" = a má právě dvě řešení 0 a —0. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že 0 e R je řešením rovnice xn
H p"p(q) = a = 0n = ± J| pnv'W psv Pev
a z jednoznačnosti vyjádření racionálního čísla pomocí formálně nekonečného součinu (věta 6.16) pak plyne vp(a) = nvp{0), tedy n\vp(a) pro každé prvočíslo p. Uvědomme si, že opět podle 6.16 je touto podmínkou číslo 0 až na znaménko jednoznačně určeno.
Předpokládejme nyní naopak, že pro každé prvočíslo p platí n | vp(á). Položíme m(p) = &v(a) 3-0 = UpSpP"l{v)- Pak 0 £ R,0 > 0,0" = a, & tedy 0 je řešením rovnice xn = a.
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
47
p.
Je-li n sudé, pak zřejmě (-p)n - 0n = a. Nechť 7 6 R, 7 < 0, 7" = a. Je-li n sudé, pak -7 > 0, (-7)" = a, tudíž -7 = 0 a 7 = -0. Je-li n liché, pak j" < 0, což je spor. Věta je tím dokázána.
6.22. Příklad. Nechť n je přirozené číslo větší než 1. Jelikož pro každé prvočíslo P je vp(j>) — 1 a njl, nemá binomická rovnice xn = p v okruhu celých čísel ani tělese racionálních čísel žádné řešení.
6.23. Cvičení.
1) Lze okruh (Z6, + ,■), resp. (Z7, + , ■), vnořit do tělesa? Pokud ano, popište podílové těleso. Pokud ne, zdůvodněte, proč podílové těleso zkonstruovat nelze.
2) Uvažme okruhy Z[x] (resp. Q[a;]) polynomů s celočíselnými (resp. racionálními) koeficienty. Tvoří 1\x\ nebo Q[a;] těleso? Popište jejich podílová tělesa.
3) Dokažte, že v okruhu TI = (R, +, ■) platí omezený zákon o krácení právě tehdy, když 71 neobsahuje dělitele nuly, tj. když pro každé x,y 6 R z toho, že x ■ y = 0, plyne x = 0 nebo y = 0.
4) Ve větě 6.4 jsme na rozdíl od věty 5.5 požadovali navíc injektivitu zobrazení /. Promyslete si, proč bez této podmínky nelze větu dokázat. Zkonstruujte neinjektivn^homomoríismus / z okruhu Z do vhodného tělesa T a dokažte, že neexistuje / : Q -> T požadovaných vlastností.
5) Dokažte tvrzení uvedené v poznámce 6.5.
6) a) V definici 6.8 relace < na množině- Q jsme předpokládali b > 0, d > 0. Rozmyslete si, co je na následujícím textu, kde jsou tyto podmínky vypuštěny, špatně. Na množině Q pro [ o, b ] G A, [ c, d ] € B zavedeme relaci < podmínkou
A< B
a ■ d < b ■ c.
b) Na množině Q budeme definovat relaci < podmínkou: A < B právě tehdy, když existují reprezentanti [o, b ] e A, [c, d ] 6 B tak, že a■ d < b■ c. Jaké vlastnosti relace o splňuje? (Je to relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná?)
7) Označme m = {q 6 Q | 0 < a < 1 v 2 < a < 3}. Rozhodněte, zda (M, <) a (Af U {2}, < ) jsou hustě uspořádané množiny, kde < je uspořádání racionálních čísel (přesněji jeho zúžení na dané množiny).
8) Nechť (M, < ) je konečná lineárně uspořádaná množina. Dokazte, že (M, < ) není hustě uspořádaná.
9) Nechť .A = {fs- I m e Z,n e N}. Dokažte, že {A, < ), kde < je uspořádání racionálních čísel, je hustě uspořádaná množina.
10) Buď p prvočíslo a a, P libovolná racionální čísla, taková, že a ^ 0, 0 0, a + 0 j= 0. Dokažte, že pak platí vp{a + 0) > min {vp{a),vp{0)}.
44
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
Nechť A < B, B < C. Pak ad < bc, cf < ed, odkud podle 5.16 (e) dostávame adf < bcf,bcf < bed a tudíž adf < bed. Odtud opět podle 5.16 (e) dostávame af < be, tudíž A < C. Relace < je tranzitivní.
Z 5.12 plyne, že buď ad < bc nebo bc < ad. V prvním prípade dostaneme A < B, v druhém B < A. Relace < je tedy lineárním uspořádáním na Q.
Nechť jsou A, B € Z. Pak pro libovolné x e Z, x > 0 platí [ ax,x ] e A — a, [bx, x] € B — b. Podle 5.16 (e) je a < b v původně definované relaci < na Z, právě když ax2 < bx2, tudíž právě když A < B. Věta je tím dokázána.
6.10. Věta. Nechť a, f), y, ó G Q. Pak plutí:
(a) q < 0 <=í> a + 7 <-0 + 7,
(b) q < /3       a 4- 7 < # + 7,
(c) jestliže a < p, -f < S nebo a < d, 7 < 5 nebo a < 0, 7 < <5, potom a + j < 0 + Ô,
(d) a < 5,7 ^ í ==* a + 7 < 0 + 5,
(e) pro 0 < 7 platí: a < 0 <=> a • 7 < /3 • 7, a < /3 -ŕ^> a • 7 < /? • 7,
(f) pro 7 < 0 piati: a < 0      0 • 7 < a • 7, a < /3 <=i- /3 • 7 < a • 7. Důkaz. Nechť [a, ô ] e a, [c, d } 6 /3, [e, / ] e 7, 6 > 0, d > 0, / > 0. V průběhu
důkazu užijeme několikrát větu 5.16, promyslete si sami kdy. Nejprve dokážeme platnost výroku (a).
Jestliže a < 0, pak ad < bc. Dále [af + be, b f ] e aA-j, [c f + ed,df ] G 0 + 7. Platí (af + be)fd = af2d + befd < bf2c + befd = bf(cf + ed), tudíž a+ 7 < /3 + 7.'
Naopak, jestliže platí a + 7 < $ + 7, pak podle předešlého dostáváme nerovnost a = a + 7 + (-7) < 0 + 7 4- (-7) = p\
Platí tedy (a). Odtud se snadno odvodí platnost výroků (b), (c) a (d).
Nyní dokážeme platnost výroku (e). Nechť 0 < 7. Jelikož [0,1 ] €,.0, platí, že 0 • / < 1 • e, tedy e > .0. -
Je-li a < 0, pak ad < bc, tudíž adef < bcef, odkud plyne a • 7 <0 • 7.
Naopak předpokládejme, že a • 7 < /3 • 7. Jelikož [ /, e ] € 7"', je 0 < 7_1 a podle předešlého tedy a = (a ■ 7) ■ 7-1 < (0 ■ 7) • 7-1 = /3.
Platnost ekvivalence a < 0 -4=S> 0-7 < /? • 7 pak již z předešlého zřejmě vyplývá. Platí tedy výrok (e).
Výrok (f) se snadno odvodí z implikace 7 < 0 0 < -7, která plyne například z (a). Věta je tím dokázána.
6.11. Definice. Lineárně uspořádaná množina [M, < ) se nazývá hustě uspořádaná, jestliže má alespoň dva prvky a platí:
m\ e M, m.2 e M, m1 < 1x1% => 3 m 6 M : m\ < m < 7713.
6.12. Tvrzení. Množina racionálních čísel (Q, < ) je hustě uspořádaná. Důkaz. Nechť [ a, b ] 6 a 6 Q, [ c, d ] € 0 G Q, b > 0, d > 0, a < 0. Pak
aci < bc, odkud plyne ad + 1 < 6c, tudíž 2qd + 1 < 2ad + 2 < 26c. Nechť. 7 e Q,
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
45
[ 2ad + 1,26d ] e 7. Jelikož 2a6d < 2a6d + b, je a < 7. Obdobně (2ad + l)d < 26ca!, tudíž 7 < 0. Tvrzení je tím dokázáno.
6.13. Příklad. Množina celých čísel (Z, < ) není hustě uspořádaná, neboť např. pro rol = lam3=2 neexistuje m e Z takové, aby 1 < m < 2.
6.14. Tvrzení. Pro každé číslo g € Q existuje přirozené číslo n talcové, že —n < g < n.
Důkaz. Nechť [ a, b } g g, b > 0. Položme n=\a\ + 1. Pak n je přirozené číslo a platí bn > n > jaj > a, odkud plyne g < n, neboť [ n, 1 ] g n. Z nerovnosti \a\ < bn dostáváme -bn < -\a\ < a. Protože [ -n, 1 ] e -n, je -n < g.
6.15. Definice. Nechť p je prvočíslo, [ a,b ] g g G Q; 0 # 0. Pak definujeme exponent čísla g příslušný prvočíslu p takto:
vP{g) = vp(a) -vp(b).
Tato definice je korektní, neboť pokud [c,d] e g, pak a^O^c, ad = b-c. Podle 5.23 tudíž vp(a)+vv{d) - vp{b) +vp{c), odkud vp[a)-vp(b) - vp(c)-vP(d). Číslo vp(a) - vp(b) nezávisí na volbě reprezentanta [a,b] racionálního čísla g.
Potom vp je zobrazení množiny nenulových racionálních čísel na množinu celých čísel.
Pro nenulová racionálni čísla a, 0 a prvočíslo p pak zřejmě platí:
vp{a-0)=vp(a)+vp{0).
Dále pro a,0 6 Q, a / 0 ^ 0 máme: a = ±0 právě tehdy, když vv(a) = vv(0) pro každé prvočíslo p. <
Ze základní věty aritmetiky celých čísel 5.21 se snadno odvodí následující věta.
6.16. Věta. Každé' nenulové racionální číslo a lze jednoznačně psát ve tvaru formálně nekonečného součinu
per
kde e =G {1, -1), V je množina všech prvočísel, vp{a) ^ 0 jen pro konečně mnoho prvočísel p.
6.17. Definice. Nechť TZ = (R, + ,-) je okruh, u € Ä a n přirozené číslo. Binomickou rovnicí n-tého stupně v okruhu TZ rozumíme rovnici tvaru:
Zřejmě platí následující tvrzení:
6.18. Tvrzení. Pro obor integrity 71 má binomická rovnice xn = 0, Jccie n je přirozené číslo, právě jedno řešení x = 0.