9. Derivace funkce
Repetitorium z matematiky
Podzim 2012
Ivana Medková

Osnova:
•1 Pojem derivace
•2 Geometrický význam derivace funkce
•3 Derivace základních funkcí
•4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí
•5 Vzorce pro derivaci složené funkce
•6 Aplikace – vyšetřování průběhu funkce
• 6. 1 Vyšetřování monotónnosti funkce užitím derivací
• 6. 2 Vyšetřování lokálních extrémů funkce užitím derivací
•
•
2

1 Pojem derivace
•Derivace funkce f v bodě xo  je tedy číslo:
•
•
•Pozn.: Při označení x = xo  + h a x – xo  = h:
3
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0004.jpg
Je-li funkce f definována v okolí bodu xo a existuje-li limita
potom tuto limitu označujeme f`(xo) a nazýváme ji derivací funkce f v bodě xo.

4
Pro směrnici tečny kT ke grafu funkce f v bodě T [xo,yo] platí:

2 Geometrický význam derivace funkce
Rovnici tečny pak můžeme psát ve tvaru:
Platí totiž: směrnice sečny ST je
Pokud se bude bod S přibližovat k bodu T, bude se poloha sečny „blížit“ poloze tečny v bodě T [xo,
yo].
Pro směrnici tečny tedy dostaneme:
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0004.jpg

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0006.jpg
5
3 Derivace základních funkcí

6
4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí
Jestliže funkce f: u = f(x), g: v = g(x) mají derivaci v každém bodě x є M, pak pro derivaci
součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí platí pro všechna x є M (u podílu g (x) ≠ 0)
následující vzorce:
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0005.jpg
Úlohy:
Vypočtěte v přípustných bodech derivace funkcí daných funkčními předpisy:
a) y = x5  + x3 d) y = x2 sin x
b) y = 3x4  - 2x3  + x – 1 e) y = (x - 1) / (x + 1)
      c) y = x3 + ln x – sin x f) y = (1/x2) ex

7
5 Vzorce pro derivaci složené funkce
Jestliže je dána složená funkce F: y = f(g(x)), přičemž vnitřní funkce g má derivaci v každém bodě
x є M a vnější funkce f má derivaci f` v každém odpovídajícím bodě u = g(x), pak složená funkce F =
f ° g má derivaci F` v každém bodě x є M, pro niž platí:
F` (x) =  f` (u) g` (x)
Úlohy:
Vypočtěte derivaci složené funkce:
a) y = sin (7x)
b) y = (3x2  - 2)4
      c) y = 5 sin 2 x
d) y = cos (1 – 2x)

6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce
•
•6. 1 Monotónnost funkce
•
•Nechť funkce f je spojitá na intervalu <a,b>  a má v každém bodě x є (a; b) derivaci f`(xo). Pak
platí:
•
•  Je-li f`(xo) > 0 pro každé x є (a;b)      f je rostoucí na <a,b> .
•  Je-li f`(xo) < 0 pro každé x є (a;b)      f je klesající na <a,b> .
•
•
•
8
Úlohy:
Určete intervaly, v nichž jsou rostoucí, resp. klesající funkce
a) f : y = x3 - 5x2 + 3x
b) f:  y = x3  - 12x
      c) f:  y = x2 + 4x - 5

6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce
•
•6. 2 Extrémy funkce
•Má-li funkce f v bodě xo derivaci a je-li  f`(xo) = 0, pak xo nazýváme stacionárním bodem. V tomto
bodě xo  může, ale nemusí mít funkce lokální extrém – jedná se o bod „podezřelý “ z extrému.
•
•Nechť f`(xo) = 0 a nechť existuje v bodě xo druhá derivace. Pak:
•
•  Je-li f``(xo) < 0        má funkce f v bodě xo ostré lokální maximum.
•  Je-li f``(xo) > 0        má funkce f v bodě xo ostré lokální minimum.
•
•
•
9
Úloha:
Vyšetřete průběh funkce f : y = x3 - 3x2  a načrtněte její graf.

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha:
Prometheus, 1997.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
10