Počítání s      decibely    (není třináctá komnata matematiky)
Hlavním úkolem decibelů je zjednodušit a zpřehlednit výpočty s nimi prováděné a ne prožívat 
studentské útrapy u tabule, při písemných pracích a u maturitních zkoušek. K tomu slouží 
následující   dokument,   jehož   cílem   je   přispět   k   osvojení   tak   jednoduché   matematicko   ­ 
elektronické operace, jako je počítání s decibely. 
Rozsah zpracovávaných výkonů ve sdělovací technice je obrovský – od výkonů řádu pW
dodaných anténou na vstup přijímače, až po MW vyzářeného výkonu u velkých vysílačů.
Použití prostých poměrů výkonů nebo napětí vede k nepřehledným výpočtům s velkými čísly.
Proto je výhodné použít logaritmického vyjádření v decibelech.
Decibel je bezrozměrná jednotka, zlogaritmovaného poměru dvou hodnot.1
Bel je příliš
velký, proto používáme decibel. Jedná se o desetinu jednotky bel, nazvané po Alexandru
Grahamu Bellovi. Její měřítko kopíruje logaritmickou závislost, směrem k větším hodnotám
se tedy zhušťuje. Původně byl decibel použit v akustice, neboť vnímání intenzity zvuku
lidským uchem má také logaritmickou závislost. Jednotka byla poprvé použita techniky
v Bellových laboratoří v roce 1923.
Při počítání v decibelech je postup následující:
1. vypočítáme podíl dvou stejných veličin - veličina výstupní / veličina vstupní
2. tento poměr zlogaritmujeme (dekadický logaritmus)
3. vynásobíme číslem 10 (pro výkon) případně 20 (pro napětí nebo proud)
4. decibel (dB) je na světě - jak snadné!
Podle velikosti vypočteného poměru ihned usuzujeme na zisk nebo ztrátu. Teoreticky
mohou vyjít 3 možnosti:
 poměr > 1 - jedná se o zisk a ten v dB má kladné znaménko
 poměr = 1 - zisk je nulový (0dB)
 poměr < 1 - jedná se o útlum (ztrátu) a ten v dB má záporné znaménko
1
Např. vyjádříme číslo 1000. Dá se napsat jako 10.10.10 = 103
. Jinak řečeno, při základu 10 je logaritmus 1 000
roven 3. To předurčuje decibely pro snadné počítání s velkými číselnými rozsahy.
Platí v orámovaném poli 3 základní vzorce výpočtu:
VÝKON
 ( )
1
2
log.10
P
P
G dB = [dB;W,W] P1 - vstupní výkon P2 - výstupní výkon
NAPĚTÍ a PROUD
Vypočítáme vztah pro napětí pomocí známého vzorce
R
U
P
2
=
( )
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
log.20.2.log.10log.10log.10log.10
U
U
U
U
U
U
R
U
R
U
P
P
G dB =====
Obdobně lze odvodit vztah pro proud. Pro napětí a proud tedy počítáme podle vzorců:
 ( )
1
2
log.20
U
U
G dB = [dB;V,V] U1 - vstupní napětí U2 - výstupní napětí
 ( )
1
2
log.20
I
I
G dB = [dB;A,A] I1 - vstupní proud I2 - výstupní proud
Pro zpětný výpočet u výkonu použijeme (odlogaritmování) ve kterém žáci nejvíce chybují,
častěji vůbec nereagují a proto je vzorec uveden v „NADŽIVOTNÍ VELIKOSTI“.
( )
10
1
2
10
dBG
P
P
=
Pokud odlogaritmujeme z poměru napětí, pak vzorec je úplně stejný, jen ve jmenovateli
exponentu u základu 10 je místo čísla 10 číslo 20.
JAK PROSTÉ JE POČÍTÁNÍ S DECIBELY!
Decibely se však kromě srovnání dvou výkonů často využívají i k vyjádření zisku a útlumu
vzhledem k referenční veličině P1. V elektronice je nejběžnější vztažnou hodnotou 1mW
a takto získaná hodnota se označuje dBm (decibel nad miliwattem) a platí:
1W = 0dBW = 30dBm = 60dBµW
Obdobně se používají decibely pro porovnávání zisku antén. Za vztažnou se uvažuje buď
izotropní anténa (dBi) nebo půlvlnný dipól (dBd) a platí:
dBi = 2,16 + dBd
Stejně jako u výkonu můžeme pro decibel nad voltem napsat:
1V = 0dBV = 60dBmV = 120dBµV
Praktický výpočet
Příklad č. 1
Zesilovač má na vstupu 20mW a jeho výstupní výkon je 3,5 W. Jaký má zisk v dB?
dBG 4,2224,2.10175log.10
10.20
5,3
log.10 3
==== −
Pokud je logaritmus kladné číslo a tedy výsledek v dB je kladný, mluvíme o zisku nebo zesílení.
Příklad č. 2
Na vstup koaxiálního kabelu je přiveden od vysílače výkon 150 W a na výstupu byl naměřený
výkon pouze 112 W. Jaké ztráty v dB má koaxiální kabel?
( ) dBG 27,1127,0.10747,0log.10
150
112
log.10 −=−=== 2
Pokud je logaritmus záporné číslo a tedy výsledek v dB je záporný, pak se jedná o útlum (negativní zisk) nebo-li
o ztráty např. na vedení.
Pokud nemáme po ruce kalkulačku je dobré si pamatovat:
Výkon:
2
Logaritmus čísla menšího jak 1 je záporné číslo! Pro nulovou a zápornou hodnotu není logaritmus definován!
• pokud je poměr roven 2, pak zesílení je 3 dB
• pokud je poměr roven ½, pak ztráty jsou -3 dB3
• pokud je poměr roven 10, pak zesílení je 10 dB
• pokud je poměr roven 1/10, pak ztráty jsou -10 dB
Napětí a proud:
• pokud je poměr roven 2, pak zesílení je 6 dB
• pokud je poměr roven ½, pak ztráty jsou -6dB
• pokud je poměr roven 10, pak zesílení je 20 dB
• pokud je poměr roven 1/10, pak ztráty jsou -20 dB
Příklad č. 3
Máme komunikační řetězec s vysílačem o výkonu 10W, koaxiálním kabelem s útlumem
0,7dB a anténou se ziskem 13dB. Přijímací anténu se ziskem 11dB a kabel se ztrátami 1,4dB.
Jaký bude přijímaný výkon, když ztráty v atmosféře budou činit 137dB?
a) Převedeme watty na decibely (vztaženo k 1W):
dB101.1010log.10
1
10
log.10 ===
b) Sečteme jednotlivé zisky a ztráty:
10dB - 0,7dB + 13dB - 137dB + 11dB - 1,4dB = -105,1dB
c) Výsledek převedeme zpět na výkon (odlogaritmujeme):
pWP 9,3010.09,310 1110
1,105
=== −
−
Kdybychom namísto decibelů použili k výpočtu zisky a útlumy, bylo by zapotřebí jednotlivé
veličiny násobit pomocí kalkulačky. Při počítání s decibely stačí jen sčítání a navíc vyjádření
velmi velkých a velmi malých hodnot je přehlednější a pohodlnější.
Příklad č. 4
Vysílací řetězec podle obrázku obsahuje:
3
Označení „half - Power Point“ při popisu frekvenční charakteristiky.
BUDIČ → KONCOVÝ STUPEŇ → SDRUŽOVAČ → NAPÁJEČ → DĚLIČ → ANTÉNU
A - počítání klasické
• původních 100W (budič) x 100 (zesilovač) = 10 000 W
• útlum sdružovače ubere desetinu výkonu = 9 000 W
• napáječ ubere desetinu výkonu = 8 100 W
• dělič ubere desetinu výkonu = 7 290 W
• dělič dělí výkon na čtvrtiny 7 290 / 4 = 1 822,5 W
• anténní jednotka má zesílení 10 x = 18 225 W = 18,225 kW
B - počítání s decibely
• budič = 100W = 20dBW
• koncový stupeň = 20dB → 40 dBW
• sdružovač + napáječ + dělič = 3 x 0,45dB → 40 - (3 x 0,45) = 38,6 dBW
• dělič bude dělit výkon do 4 jednotek → 38,6 - 6 = 32,6 dBW
• anténní jednotka 10dB → dBW6,42
Kontrola:
18 225 W převedeme na dBW → 10. log 18 225 = 42,6 dBW
Příklad č. 5
100 W
Zesílení koncového stupně 100 x
Zeslabení 0,9 x
Výkonové zesílení anténní
jednotky je 10 x
Dělení
do 4 jednotek
Nízkofrekvenční zesilovač má zisk 60 dB a jmenovitý výstupní výkon 2W na odporu 8 Ω. Jak
velké napětí musíme přivést na jeho vstup pro jmenovitý výstupní výkon?
Výstupní napětí U2 = VRP 4168.2. ===
mVU
U
410.4
1000
4
10001010
4 3
1
320
60
1
===⇒=== −
Příklady k řešení
Příklad č. 1
Výkonový VF zesilovač má tři stupně o zisku 10 dB, 6 dB a 5 dB. Výstupní dolní propust má
útlum 1 dB. Na vstup zesilovače přivádíme výkon 100 mW. Jaký výkon zesilovač odevzdá
do antény?
Příklad č. 2
Návrh radiové trasy. Výkon na výstupu WiFi karty je 10 dBm, citlivost přijímače je -90 dBm.
Na obou stranách spoje jsou použity směrové antény se ziskem 8 dB, útlum v kabelech
a konektorech je na každé straně 1,5 dB. Spoj je veden na přímou viditelnost, první
Fresnelova zóna je volná. Vzdálenost stanic je 3,5 km, kmitočet 2,4 GHz.
Útlum ve volném prostoru vypočítejte podle vzorce:
Lp = 92,45 + 20 ⋅ log10 f + 20 ⋅ log10 d [dB; GHz, km]
1) Vypočítejte vyzářený výkon na vysílací straně a určete, zda nebyl překročen maximální výkon určený
generálním povolením ČTU (100 mW).
2) Jaká bude výkonová úroveň na vstupu přijímače a určete, zda je dostatečná pro spolehlivý spoj při uvedené
citlivosti přijímače WiFi karty.
Příklad č. 3
Linkový zesilovač má vstupní i výstupní impedanci 600 Ω. Na vstup přivádíme napětí
100 mV, na výstupu jsme naměřili napětí 1,55 V. Vypočítejte zisk zesilovače v decibelech.
Příklad č. 4
UTP kabel má impedanci 100 Ω a útlum 15 dB. Na vstup přivádíme napětí 1V. Jaké napětí
naměříme na výstupu?
Závěr:
Pomocí decibelů se počítá velmi jednoduše. Pokud známe útlum kabelu v dB, zesílení
zesilovače v dB nebo útlumy slučovačů také v dB, jednoduše hodnoty pouze sčítáme nebo
odčítáme.
• použití decibelů zjednodušuje a zpřehledňuje výpočty
• decibelová stupnice má jemné rozlišení u malých hodnot, směrem k větším hodnotám
se zhušťuje
• kladná hodnota údaje v decibelech znamená zisk, záporná útlum
• zisk vícestupňového zesilovače určíme jako součet zisku jednotlivých stupňů
Otázka na závěr: „Co to je neper?“
Jednotka neper4
(Np) je analogická k jednotce bel. Jednotka bel je odvozena od základu 10
a neper používá základ e (2,71828). Převod lze uskutečnit následovně.
1 Np = elog.20
10ln
20
= = 8,685 889 dB 1 dB =
elog20
1
20
10ln
= = 0,115 129 Np
4
Neper je bezrozměrná jednotka, která se používá pro vyjádření poměru dvou hodnot. Rovná se přirozenému
logaritmu podílu dvou porovnávaných hodnot jedné veličiny. Byla pojmenována po Johnu Napierovi, objeviteli
logaritmu. Jednotka má symbol Np. Neper byl často používán k vyjádření poměrů napětí a proudů, zatímco bel
pro vyjádření výkonu. Nyní je tato jednotka nahrazována jednotkou decibel (dB), která však využívá logaritmus
dekadický.