Axiomatická výstavba geometrie


Axiom – základní tvrzení, věta, která se přijímá bez důkazu a považuje se za pravdivou.


Axiomatizace – způsob výstavby vědecké teorie.



Soustava axiomů eukleidovské geometrie (David Hilbert (1862 – 1943))


v 5.skupin:

·      axiomy incidence

·      axiomy uspořádání

·      axiomy shodnosti

·      axiomy spojitosti

·      axiom rovnoběžnosti



Axiomatické pojmy – pojmy, jejichž pojmenování, vlastnosti a vztahy jsou uvedeny v axiomech. Jsou
zavedeny pouze užitím axiomů, nedefinujeme je obvyklým způsobem.


            Axiomatické pojmy jsou dvojího druhu

                        Základní - axiomatické objekty (bod, přímka, rovina)

                        Základní – axiomatické vztahy

·      incidence

·      uspořádání

·      shodnosti

·      spojitosti

·      rovnoběžnosti



Požadavky na soustavu axiomů : bezespornost, nezávislost, úplnost


AXIOMY  INCIDENCE


Axiomy incidence zavádějí vzájemné vztahy bodů, přímek a rovin, které obvykle vyjadřujeme slovy
„bod leží na přímce (v rovině), přímka (rovina) prochází bodem apod.



I[1] :    Dvěma navzájem různými body prochází jediná přímka.


I[2] :    Na každé přímce leží alespoň dva různé body.


I[3] :    Existuje alespoň jedna trojice bodů, které neleží na téže přímce.


I[4] :    Třemi body, které neleží v téže přímce, prochází jediná rovina.


I[5] :    V každé rovině leží alespoň jeden bod.


I[6] :     Jestliže dva různé body přímky leží v rovině, pak v této rovině leží

            všechny body této přímky.


I[7][ ]:     Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společný ještě alespoň    jeden další
bod.


I[8] :     Existuje aspoň jedna čtveřice bodů, které neleží v žádné rovině.




AXIOMY  USPOŘÁDÁNÍ


Uspořádání tří bodů na přímce se zakládá na vztahu „bod leží mezi jinými dvěma“. Vlastnosti tohoto
vztahu vyjadřují axiomy uspořádání.


U[1] :   Leží-li bod B mezi body A, C, jsou A, B, C tři různé body přímky a platí        též, že
bod B leží mezi body C, A.


U[2] :   Jsou-li A, B dva různé body, pak na přímce procházející body A, B     existuje aspoň jeden
bod C takový, že bod B leží mezi body A, C.


U[3] :   Ze tří různých bodů přímky leží nejvýše jeden mezi zbývajícími dvěma.


U[4] :   (Paschův axiom) Jsou-li A, B, C tři body, které neleží v přímce, p přímka    roviny určené
body A, B, C, která neprochází žádným z bodů A, B, C a           obsahuje jistý bod D ležící mezi
body A, B, potom přímka p obsahuje           buď jistý bod E ležící mezi body B, C, nebo jistý bod
F ležící mezi body    A,C.