Zápočtová práce

Práci odevzdejte do 31. ledna 2015.


1.  Rozhodněte, které z následujících vět jsou výroky:

a)      Říjen má 31 dní.                                              d)  Každý rovnoběžník je
čtyřúhelník.

b)      Sněží.                                                             e)  10  <  7

c)      Základy matematiky.                                       f)  x^2 = 25


2.  Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků:

a)      5 . 6 = 30     8 je liché číslo

b)      5 . 6 = 30     8 je liché číslo

c)      5 . 6 = 30     8 je liché číslo

d)      5 . 6 = 30     8 je liché číslo

e)      5 . 6 = 30     8 je liché číslo

f)        (20 – 5 = 10   12 je násobkem 3)   17 <  30

g)      20 – 5 = 10   (12 je násobkem 3    17 <  30)

h)      20 – 5 = 10   (12 je násobkem 3    17 <  30)

i)        20 – 5 > 10   (12 je násobkem 3    17 =  30)


3.  Paní učitelka řekla: „Kdo ten příklad správně spočítá, dostane dnes jedničku.“

     Příklad správně spočítali jen Marek, Eva, Jirka, Honza a Pavla.

     Jedničku dnes dostali jen Marek, Eva,  Jirka, Pavla, Olina, Zdeněk a Linda.

     Splnila paní učitelka svůj slib? Zdůvodněte.



4.  Maminka říká Jindrovi: „Jestli si nenapíšeš úlohu, nebudeš se dívat na televizi.“

     Kterou situaci by maminka neměla připustit?



5.  Proveďte pravdivostní ohodnocení  výrokových formulí a přesvědčte se o tom, že

     v každém řádku  jsou dvojice ekvivalentních výrokových formulí.

     (Výrok A´  je negací výroku A.)

a)       (A  B)´ ;       A´  B´

b)       (A  B)´ ;      A´   B´

c)       A  B  ;      B´  A´


6.  Využijte ekvivalentní výrokové formule z  5a) a b)  k jiné formulaci výroků:

a)      Není pravda, že přijde Petr a Eva.

b)      Není pravda, že přijde Petr nebo Eva.

c)      Není pravda, že nepřišla Lucie a přišla Olga.

d)      Není pravda, že nepřišel ani Petr ani Eva.


7. Ve kterých z následujících případů jde o výrokovou formu?

a)      x > 6 + y

b)      23 < 5 . 6

c)      Číslo x je prvočíslo.

d)      (7 + a) – (b + 6)

e)      Pan ……… je studentem PedF MU.

f)        Každému čtverci lze opsat i vepsat kružnici.


8. Rozhodněte, které z následujících výroků jsou obecné výroky a které existenční výroky.

    Dále zformulujte negaci každého z výroků:

a)      Každá žena má ráda květiny.

b)      Někteří obyvatelé Brna jsou cizinci.

c)      Všichni studenti PedF MU budou učiteli.

d)      Nikdo z naší studijní skupiny nebyl na Aljašce.

e)      Někdo z naší skupiny se nepodepsal na prezenční listinu.

f)        Každý z nás rád sleduje fotbal a tenis.


9. Zapište množiny výčtem prvků:  ( Pozn. N je množinou přirozených čísel včetně nuly.)

A = {x  N;  x je liché číslo menší než 5}

B = {x  N;  x je dělitelem čísla 10 }

C = {x  N;  x^2 =  x}

D = {x  N;  x^3 <  30  x je liché číslo}


10. Určete,  jaký je vztah mezi množinami A až D z úlohy 1. (Tzn. rozhodněte, zda některá

      množina  je podmnožinou jiné, příp. zda se některé množiny rovnají.)



11. Jsou dány množiny  K = {1, 2, 3, 4, 5} ,  L = {0, 2, 4}.  Určete výčtem prvků množiny:

      a)   K  L            b)  K  L          c)  K – L         e)  L – K         f) K  L


12. Nakreslete množinový diagram pro libovolné dvě podmnožiny A, B základní množiny Z a

       zakreslete do něj prvky  a, b, c, d, e, f   tak, aby splňovaly podmínky:

            a  A  B                 b   A  B´              c   A´  B´

            d  A – B                   e    A – B´                f   (A  B)´


13. Pomocí množinových diagramů ověřte platnost následujících rovností:

a)       (A  B) C  =   (A  C)  (B  C)

b)      (A   B)  C  =  (A  C)  (B  C)



Pomocí množinových diagramů řešte úlohy  14. – 16.:

14. Z 28 žáků třídy chybělo v pondělí 5 žáků a v úterý 6 žáků. Čtyři žáci chyběli pouze

      v úterý. Kolik žáků v tyto dny nechybělo vůbec? Kolik žáků bylo ve třídě v pondělí?

      Kolik žáků chybělo v pondělí i v úterý?


15.  Na výletě bylo  32 žáků. U stánku s občerstvením si jich 16 koupilo limonádu a  23

       oplatky. Čtyři žáci si nekoupili ani limonádu ani oplatky. Kolik žáků si koupilo oplatky

       i limonádu? Kolik žáků si koupilo oplatky, ale nekoupili si limonádu?


16. Výzkum jazykových znalostí jisté skupiny lidí přinesl tyto výsledky: Ze 102 zkoumaných

      osob ovládá angličtinu 38 lidí, ruštinu 36 lidí a němčinu 32 lidí. Ruštinu a němčinu zná 12

      lidí, ruštinu a angličtinu 18 lidí, angličtinu a němčinu 7 lidí a všechny tři jazyky 5 lidí.

      Kolik lidí neovládá žádný z uvedených jazyků?

      Kolik lidí ovládá jen jeden z těchto jazyků?



17. Jsou dány množiny A = {1,2,3,4}, B = {x, y}.  Zapište kartézské součiny  B x A  a  B x B.


18. Na množině M =  {0,1,2,3,4} jsou definovány binární relace   S, T, V.  Zapište je výčtem

      prvků:

S = {[x,y]  M x M;  x + y = 5}

T = {[x,y]  M x M;  x < y  x + y = 4}

V = {[x,y]  M x M;  x = y  x = 2.y}.

      Dále zapište výčtem prvků relaci inverzní   T^-1  k relaci  T  a relaci doplňkovou  V´

      k relaci V.


19.  Určete vlastnosti binárních relací   S, T a V v množině M z úlohy 18.


20. Doplňte co nejméně uspořádaných dvojic do binární relace   R = {[2,2], [1,1], [4,4]

    [2,3] [3,2] [1,4],   …                      }  tak,  aby byla ekvivalencí na množině M =
{1,2,3,4}.

    Nakreslete si její uzlový graf.  Pak zapište rozklad množiny M určený  ekvivalencí R.


21. Je daná  množina M = {a, b, c} a její rozklady T[1 ]= {{a,c}, {b}} a  T[2 ]= {{a}, {b}, {c}}.

     Zapište k těmto rozkladům příslušné relace ekvivalence R[1   ]a [ ]R[2]  .


22. Jsou dány množiny  K = {1, 2, 3, 4, 5},  L = {k, l, m, n, o}.

      Zapište vždy dvě binární relace z množiny K do množiny L, které

a)      jsou prostým zobrazením celé množiny K na celou L

b)      jsou zobrazením celé K na necelou L, které není prosté

c)      nejsou zobrazením.