Seminář z geometrie 1 – úlohy k procvičení:
1. Které geometrické útvary mohou vzniknout jako průnik dvou polopřímek, které jsou součástí téže
přímky?
2. Vyšetřete všechny možné vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. Znázorněte a
popište.
3. Jsou dány tři různé body A, B, C.
i. Kolik úseček, polopřímek a přímek je určeno těmito body? Jak závisí tyto počty na
poloze daných bodů?
ii. Které bodové množiny mohou být průnikem dvou z těchto úseček (polopřímek,
přímek)? Znázorněte a proveďte diskuzi.
4. Nechť bod R leží mezi body P, Q. Vyberte z polopřímek PR, PQ, RP, RQ, QR, QP dvojice, které a)
splývají, b) jsou opačné, c) jedna je částí druhé, d) jejich průnikem je úsečka.
5. Definujte podobným způsobem jako v definici polopřímky a polopřímky opačné polorovinu opačnou
k polorovině pA.
6. Podobným způsobem jako v definicích polopřímky a polopřímky opačné zapište symbolicky definici
poloroviny opačné a poloprostoru opačného.
7. Dokažte tvrzení:
i. Přímkou a bodem, který na ní neleží, je určena jediná rovina.
ii. Dvěma různoběžnými přímkami je určena jediná rovina.
8. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem:
a) úsečky a poloroviny,
b) polopřímky a poloroviny,
c) přímky a poloroviny.
Všechny případy uvažujte v jedné rovině. Znázorněte a popište.
9. Určete, které útvary mohou vzniknout průnikem dvou polorovin. Obě poloroviny uvažujte v jedné
rovině. Znázorněte a popište.
10. Uvnitř jedné poloroviny určené přímkou p zvolte body A, B. Uvnitř poloroviny opačné zvolte body
C, D tak, aby přímky AB a CD byly s přímkou p různoběžné. Na přímce AB zvolte bod M, na přímce
CD zvolte bod N. Jak je nutno zvolit body M, N, aby úsečka MN obsahovala bod přímky p ležící
mezi body M a N?
11. V rovině je dáno n přímek, z nichž každé dvě se protínají a žádné tři neprocházejí týmž bodem.
Kolik existuje průsečíků?
12. Kolik různých přímek je určeno n body, které leží v jedné rovině a žádné tři neleží na jedné přímce?
13. Které různé bodové množiny mohou vzniknout jako průnik dvou poloprostorů? Pro které z těchto
případů se užívá názvů vrstva a klín?