!
" #$ #%
&' ( ) *
2
! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
1.1 The metric of Space-Time................................................................................................................... 5
1.2 The redshift ......................................................................................................................................... 6
1.3 Distances ............................................................................................................................................. 7
1.4 Angular Size........................................................................................................................................ 8
1.5 The Volume......................................................................................................................................... 9
1.6 How to compute ω............................................................................................................................... 9
1.7 The scale parameter R ....................................................................................................................... 10
1.8 Time scales........................................................................................................................................ 11
# $ $ %& Λ' """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
2.1 General characteristics....................................................................................................................... 12
" The solution of R and t in parametric form ....................................................................................... 12
2.3 The Hubble and deceleration parameters .......................................................................................... 14
2.4 Relation between ω and ψ................................................................................................................. 14
" Expressing ψ in the observables q0 and z ......................................................................................... 14
"( The geometric distance...................................................................................................................... 15
2.7 The co-moving volume...................................................................................................................... 16
2.8 Time Scales ....................................................................................................................................... 17
2.8.1 The look-back time τ ............................................................................................................... 17
2.8.2 The age of the Universe (t0) expressed in H0 and q0................................................................. 18
) #% % ' Λ≠ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
3.1 Introductory Remarks........................................................................................................................ 20
3.2 The general solution .......................................................................................................................... 21
3.3 H0, q0 and t0 in terms of the parameter A........................................................................................... 23
3.4 H, q and τ in terms of A and z........................................................................................................... 23
3.5 The geometric distance and volume elements................................................................................... 26
* % % + ≠ Λ≠ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ,
4.1 Zero-density model with q0 > 0 ........................................................................................................ 28
4.2 The Lemaître model: Λ>0 and k=+1 ................................................................................................. 30
- & . $ $/ % """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" )(
A.1 The Metric............................................................................................................................................. 36
A.2 The Einstein Equations ......................................................................................................................... 36
A.3 General Relations.................................................................................................................................. 37
- 0& # $ $ %Λ' """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ),
B.1 General Relations (q0 ≥ 0) .................................................................................................................... 38
B.2 k = −1; 0 ≤ q0 < 1/2............................................................................................................................... 39
B.3 k = +1; q0 > 1/2..................................................................................................................................... 40
B.4 k = −1; q0 = 0......................................................................................................................................... 40
B.5 k = 0 ; q0 = 1/2....................................................................................................................................... 41
B.6 k = +1; q0 = 1 ........................................................................................................................................ 42
- 1& #% % ' 2 Λ 3 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *)
- 4& 5 % 6 %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" **
D.1 Zero-Density Model with q0 > 0 ........................................................................................................... 44
D.2 The Einstein model ............................................................................................................................... 45
D.3 The De Sitter model.............................................................................................................................. 45
D.4 The Lemaître model.............................................................................................................................. 46
3
.
!$ $ $ $ % % $ % + $
% ! % + $ 7 %$
%$ % 7/ $ " $ % + % + %
- % $ %
+ " 5 $ 5 % - $ % /
+ $ % - $ % 5 8( 5 8( /"
% %% $ % + % % /
+ %% $ - +
.1 / 7+ + / $ $ / % %
+ % $ - $ % 9 - 5: $ " !
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6/ ; $ ! 0 % "
+ $ : $% 88( +
% + % $ % + 7< $ % % " !
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%+ +
= " $ / +
% 7 % /%
% % 1 0" 5 $ % / %
% $ $ + %%" %% + $
> $ %? / $ %&
$ + %% /% / % + $ 1 0
% / / $ 4
@ 7< $ % % % %
$ $ - " %
% $ A 2 $ /
. /% * "
$ '+ρ + + " $ % $ % /
/ $ % % " " % $
/%$ 2 % $
/ + % $ /
$ % % % $ 9 $/ "
! $ $ / / % A
$ % % $ " !%$ $ % %
' % ! % $ %
% %"
! %+ / 7 % $ 7 $ % +
+ + $ $" # !
$ % $ ; / 7: % $
@ " ! $ / % +
- $ % % + B< $ $"
4
$ $ %
$ % %$ %"
6/ % ! %% % - / %
$ % 2 + ! $ $
+ $ %" / $ %$
% - $ % + $ %% % + $ $
$ %$ % % % "
! + % / + %
%%+ % " .% % $ $$ @7$ %
" C " " 2 $ $ : @0& $ D $
. &
http://www.ira.inaf.it/~deruiter"
E $ $ $ % $ +
+ % + % "
+ + $ % 2 $ : @0 @7
$ % "
5
1 Introduction
/ % - 7 % $ %+ $
$ % % % - $ % / $ %
$ %- % $
$ " 6/ % + %% % $ % %
$ %" 6 + %% $ % $ $ % FF+
$ %+ D ' $ 7 7 ' G HH" ! 7
$ % + 7< $ % % / $ %
% / % $ % + Λ %
% 7 / + %
/ % + $ % /%" $ % $
$ + + $ % 7/ $ "
% < %%+ " # ! $ %
/ $ $ %
/%$ ; / 7: % $
@ " ! &
!+ % + - / % $ %
+ / $ ! $
$ %"
5 $ % / 1 ) # $ $ %
* % $ % $ % "
$ % % / / /
% $ %"
% $/ % - " $ $ $ %
% $ - 0 1 4"
1.1 The metric of Space-Time
! % $ $ 7 $ %%
; / 7: % $ &
/% θ φ 2 $ /
;'; " 7$ θ φ
$ /I + %% - % 7$
"
$ / < / + % %
+ /% % 7 B " ! '− %
+ % 'B 2 ' % "
+
++
−= 22
222222
2222
4
1
)(
kr
dsinrdrdr
tRdtcds
φθθ
6
$ % $ $ / /
ω &
# 'B ω' ' + % '− +
/ + $ $ % &
; $ $/ / - G ' - - ' -"
+ %$ → ' "
= $ $ + + + $ &
$ + + %% %+ %%+ "
1.2 The redshift
# $ $ 1 " + $$ % ;"
: ; % % $
; % $ $ "
+ %%/ /
. & ' ω $ - + % +
θ'φ' &
4
1
sin 2
r
r
+
=ω
4
1
sinh 2
r
r
−
=ω
4
1
sin 2
kr
r
k
k
+
=
ω
1
0
1
R
R
z =+
=
0
1
t
t R
dt
cω
)}sin(
sin
){( 222
2
22222
φθθ
ω
ω dd
k
k
dtRdtcds ++−=
7
+ % $ $
/ + " # + + &
∆ G∆ ' ; G; " 0 ∆ % ν ∝ G∆
%%+ &
1.3 Distances
! + % /
√ ωG√ " 6 + + % %
% + / " $ %$
+ $ 5'.G*π4 5 %- . %$
+ - 4 $ " %
/ 8( " ()77 ( "
! % %- %+ +
+ $ + / " !
@ % 4 + /
&
D + $ 1 " % % +
$ 7 &
+ ω " /
% / + %- + $ / &
1% % % J√ ωKG√ + %%
$ "
1
We put the observer at ω and the source at zero, but in the end put back the observer at zero; this can be
done because space-time is homogeneous and isotropic
=
∆+
∆+
00
11
tt
tt
R
dt
cω
1
0
1
R
R
z
obs
em
==+
ν
ν
==
π π
πφθθ
0
2
0
22
4)sin( DddDA
=⋅⋅=
π π
ω
πφθθ
ω
0
2
0
2
2
0
2
2
0
sin
4sin
sin
k
k
Rdd
k
k
RA
.
/)sin(4 2
0 kkR
P
A
P
S
ωπ
==
8
: + / + $ + %%
" 1 %%ε $ ' ν $ $ " !
$ %∆ $ $ $ + . $ '
ε $ G∆ $"
# & + %
ν / 'ν $G B< ε / ' ε $G B< "
5 $/ & + %% %+ "
+ %∆ $2 / ∆ $ ' ∆ / G B<
$ / B< $ % %"
+ %% FF/ HH + $ %$
. / + &
# %%&
: %$ 4 &
/ / %$ %- + 2 + /
%$ / + % /
$ / + / B< % ν
+ $ ν B< "
1.4 Angular Size
% $ % % < ∆θ & ∆θ ' 9G θ + 9 % <
θ + + + "
+ 0 + 7$ ω θ φ ω θ+∆θ φ "
0 % / - $ % + $ /% " :
$ $ $ $ 0 $ 2
0 + / %% " % % 9
$ / / ' ω' φ' ∆ ' −9 ' −; ∆θ &
.)1/( 2
zP
t
n
P em
obs
obsobs +=
∆
×= ε
⋅
+
= 222
)1(4 go
em
rRz
P
S
π
grRzD 0)1( +=
9
: $ θ ' ; G B< + %% +
$ % 5'.G*π4 ∆θ ' 9G θ $ $/ &
1.5 The Volume
7$ /I / - " 1 %
$/ /I 7$ %$
$ %$ %
$ " " %$ " # $ $ 1 " + &
! ω θ φ + %$ ω&
+ $ ω < + + ω' ω < 2 %
%$ %% $ % G < <"
1.6 How to compute ωωωω
9 / $ $ / % θ
φ" 5 ' +
+ ω ' "
! + 7 - $ D < +
% ω ' ω D < %$ " + $ D
<"
.
)1(
0 grR
Lz+
=∆θ
)1(
)1(0
z
D
dzrR g
+
=+= θ
2
)1( z
D
d
+
=θ
φθ
ω
θ
ω
ωϕθω d
k
k
Rd
k
k
RdRdV sin
sinsin
),,( 000=
=
ω
ω
ω
πω
0
2
3
0
sin
4)( d
k
k
RV
=
0
1
)(
t
t tR
dt
cω
10
1.7 The scale parameter R
: % %; G; ' B< " % ;';
$ @ + ! + &
! %%+ % &
+ ρ Λ $ % % "
@ / / 7
$ $ $ "
! $ % % % / +
+ ρ + %% Λ" % $ %
+ 7< / % % - $ % $ %
% ∝ ργ
$ %% ' @ / $ &
% &
!$ $ D //% $ % $ &
Λ−+=
•
2
2
2
2
33
8
R
R
R
kc
Gρπ
0)(
3
2
3
=+
dt
dR
c
p
R
dt
d
ρ
Λ+−−−=
•••
2
2
2
2
2
0
R
kc
R
R
R
R
0)()( 33
== R
dR
d
R
dt
d
ρρ
R
R
H
•
=
2•
••
−=
R
RR
q
Λ+−−−=
•••
2
2
2
2
2
2
8
R
kc
R
R
R
R
c
p
Gπ
Λ−+=
•
2
2
2
2
33
8
R
R
R
kc
Gρπ
11
1.8 Time scales
1 %% $ $ 2 / / $ D " " ' D
% % / $ %" D 7 %%
D //% $ / % / $ # $ $ % Λ'
%+ ≤ D 7 "
$ $ $ % 7/ $ τ
We see that t1=t0→τ=0, and t1=0→τ=1. The name look-back time
is obvious.
0
1
1
t
t
−=τ
12
2 The standard (Friedmann) model: ΛΛΛΛ=0
2.1 General characteristics
# $ $ % $ $ $ % %$ % %$
- % % / % $ " 5 Λ' + $
$ % @ &
/ $ / Λ' $ % 'σ
@ " L
# $ $ % %+ ≥ / σ ρ %+ ≥ "
@ % / + ; D &
'± " ! %%+
• ' B → > M
• ' → ' M
• ' − → ≤ < M
The solution of R and t in parametric form
% # $ 7@ + %% + $ %
% $ " ! FF % $ HH % ψ
+ + ;'; ψ ' ψ "
; $ $/ &
2
But negative pressure now has become a definite possibility, since the Quintessence models have been
proposed. I should get around discussing these too.
2
2
2
2
3
8
R
R
R
kcG
•
+=
ρπ
02 2
2
2
2
=++
•••
R
kc
R
R
R
R
00
0
12 H
c
q
k
R
−
=
1−
•
=
ψψ d
dt
d
dR
R
13
G ψ ' ;G + &
% &
5 ' ;G ψ&
% % %% &
• # ' − + - ' - - G ' - &
; '− ' J ψ − K
'− ' G J ψ −ψK
• # ' B + &
; 'B ' J− ψ K
'B ' G Jψ− ψ K
• # ' + + √ ψ ' − ψ G √ ψ G√ ' ψ B ψ)G(
$ + %%/ < + %$ → " &
; ' ' ψ G
' ' ψ)G (
! + % $ ; / % GD 2
+ $ + % " @%$ ψ +
- + %$ / D ' G) $ ; '
GD " : ' )G* + %% + &
−=
−
••
2
2
2
22
/
/
ψψ
ψ
ψψ d
td
ddt
ddR
d
Rd
d
dt
R
02 2
2
22
=+−− kRR
d
Rd
d
dR
ψψ
).cos1( ψk
k
a
R −=
.
sin
−=
k
k
kc
a
t
ψ
ψ
3/23/23/23/1
3/2
2
6
)0( ttcakR ∝==
3/2
00
)0( ==
t
t
H
c
kR
14
2.3 The Hubble and deceleration parameters
= D 1 / % % &
$ $ $ % &
- % % '− 'B / + %% / "
# ' + / % / + ; 1 "
%$ → $ % " 0 $ &
D ' ' G) G) ' ≡ G "
2.4 Relation between ωωωω and ψψψψ
$ % % / + % 7$ ω
% $ % ψ" 5 G;' ψ G 1 " + + &
&
ω ψ $ < 7 & ω $
+ / ω' + % ψ / % %
;' + ψ' "
Expressing ψψψψ in the observables q0 and z
5 √ ψ ' 7 G ψ / - $ ;2 ; '; G B< +
+ &
≠ G &
2
2
2
)cos1(
/)sin(
ψ
ψ
ψ k
kk
a
ck
d
dR
R
c
H
−
==
q
q
k
k
q
−
=⇔
+
=
1
cos
cos1
1
ψ
ψ
==
0
1
0
1
t
t
d
R
dt
c
ψ
ψ
ψω
10 ψψω −=
z
zk
k
+
+
=
1
cos
cos 0
1
ψ
ψ
15
: $ % + % %% /%$ & ω / +
% $ % / - D <"
% / + $ %$ "
- ' + %$ %
% % " %% % $ % %
/ % - $ / /% %
# $ $ % + 7 $ % " !
% Λ ≠ "
The geometric distance
N / % ' √ ω G√ + + &
: +% 1 " / $ &
/ √J 7 G K' G ; D &
$ $ % 8 , " 5 %
$ %+ # $ % 8 H
%% $/ $ - + <" ! %%
+ % $ % % / )"
% %$ → - H $ %
$ %% / / $ $
< " %% 8OO / % / $ H $ %
% . 88O" # + %$ 4 ' ; B<
+ $/ &
' 7 B < G 0' 7 <B G G "
3
Mattig's formula was derived without any reference to particular values of k, or q0, and indeed, it is valid for
all k and all q0 ≥ 0. For q0 = 0 we can take the limit by expanding the square-root term in powers of q0z up to
the second order. Zero- and first order terms in q0 in the numerator cancel exactly, so the limit exists.
)1(
1
cos
0
00
1
zq
zqq
k
+
+−
=ψ
)1(
)12)(1(1
2
0
2/1
0000
00 zq
zqqqzq
HR
c
rg
+
+−+−+
=
k
kkkk
k
k
rg
101010 sincoscossin)(sin ψψψψψψ −
=
−
=
)1(
)12)(1(112
2
0
2/1
0000
2/1
0
zq
zqqqzq
k
q
rg
+
+−+−+−
=
16
: + + −0 ∝ < B1< & + + 4' GD < B<G
% $ % / + %%/ " ! % $
+ A' B < G + &
% % % $ + B <BA G B <BA + %% %%H
% $ %&
2.7 The co-moving volume
% $ % %$ / $$ %&
: % % ω + $ D < " %
% + % + % $ - % %
/ /% ! + /% $ % + %
/ $/ $ & + $ % % %
$ % % ω $ % 1 "* "
% / " D + $ % % +
%$ / % + $ %" : %+
/ %+"
• ' % $ %" 5 ω ' <B< G G B< - '
%J√ - B B-K&
$ $ $ % P G ω' ω ωQ&
−+
−
+= )1(
1
1 02
0
0
0
Qzq
zq
q
H
cz
D
+++
−
+= 2/1
00
0
0 )21(1
)1(
1
zqzq
qz
H
cz
D
−=
k
k
k
R
V
2
2sin2
)(
3
0 ω
ω
π
ω
)1ln( z+=ω
+−
+
−+
= )1ln(
)1(
1)1(
4
1
2)( 2
4
3
0
z
z
z
H
c
zV π
3
223
0 )1(
)
2
1
1(
4
z
z
H
c
dz
dV
+
+
= π
17
• ' G ' @ 7 5 $ %" %$ $ ω $ %&
= H $ %
: &
• " = ω ' ω 7 ω G &
In all other cases we use ω and V(ω).
2.8 Time Scales
2.8.1 The look-back time τ
By definition
! $ %< ' → τ' ' → τ' " # $ %
$ ψ 1 " τ / +
33
0
3
4
)( ωπω RV =
{ }2/1
)1(12 −
+−== zrg ω
3
2/1
3
0 )1(
1
1
3
32
)(
+
−=
zH
c
zV π
{ }
2/5
22/1
3
0 )1(
1)1(
16
z
z
H
c
dz
dV
+
−+
= π
+
+
−
+
= 2
2/1
3
0 )1(
)21(
1
arcsin2)(
z
zz
z
z
H
c
zV π
0
10
t
tt −
=τ
kk
kk
/sin
/sin
1
00
11
ψψ
ψψ
τ
−
−
−=
2/13
2
3
0 )21()1(
4
zz
z
H
c
dz
dV
++
= π
18
%$ + ψ ψ $
/ /% D <" 0 %+ ! - % - τ
/ /% ' G "
• ' " %$ → / % &
$ $ + / % $ %& ' $ %
;G ' ;' %&
% $$ % - τ"
• ' M" # $ 1 " &
&
• ' B " ψ ' 7 G ' ψ ' πG " % ψ '
ψ B< G B< '<G B< &
2.8.2 The age of the Universe (t0) expressed in H0 and q0.
- D $ ψ 1 " ")
+ &
z
z
+
=
1
τ
z
t
t
R
R
+== 1
1
0
1
0
3
0
1
1−=
ψ
ψ
τ
( ) 2/3
1
1
1
z+
−=τ
1
2
1
1
1
arccos
1
2/12
−
+
−−
+
−=
π
τ
z
z
z
z
)/sin(
12
00
2/3
0
0
00 kk
q
k
k
q
Ht ψψ −
−
=
19
• ' " % % ; ' ; ' GD
/ % / / %$ → %
$ %"
• ' G " N / 1 " + % &
• ' " % % $ % + ' ' &
: $ % # $ $ % $ % "
100 =Ht
3/200 =Ht
1
2
00 −=
π
Ht
20
3 Flat Models (k=0, ΛΛΛΛ≠≠≠≠0)
3.1 Introductory Remarks
: - @ 7 5 $ % % $ % '
$ " < $ % %
% $ % % + + /
$ %% / % + + % %%
$ "
L % + 7 $ % / $ % +
$ % " = %% % % + /
$ 7# $ $ %
% $ " FF % HH
+ $ %+ Λ ≠ &
% $ % % $ + %%/ & %
$ 0R 8,, " % $ + % /
% "
$ $ % / % % $
/ %%$ / Λ /
/ % / + " : $ % $ %
+ $ % % $ + $
/ / % $ %$
%% " ! %
% $ % + % $ + Λ 2 % !
+ $ %+ Ω ' G) ΩΛ ' G)
/ %+ $ % % / $
$ % "
! + + % % / % @ / + $
$ D //% $ % $
$ σ ' *πNρ G )D 2 &
! + $ %
$ % σ Λ2 Ω ' σ ΩΛ ' ΛG)D " !
$ / Ω B ΩΛ ' ' " +
$ + %%/ - % / ' Ω GΩΛ"
)(3 00
2
0 qH −=Λ σ
13 00
2
00
−−= q
HR
c
k σ
21
Figure 1 The q0-σσσσ0 plane. The lines representing Friedmann models and flat models are drawn.
# $ % % % + %%/ / + <
5 $ % 1 *" @ 7 5 $ %
1 "
! " + + 7σ % " % + Ω 3 ΩΛS
" : < & + % σ ' Λ'
)σ ' B ' + % $ % % % $ % %
% 1 1 " % % + %% % /
/ / % %$ + % 1 * %
/ / $ % / % / + + "
!% / $ % $ % + ' Λ≠ " !
+ %% + % % - %% % $ % %
% Λ $ + $ % % % # $ $ %"
3.2 The general solution
+ @ + ' &
33
8
2
2
3
3
00 Λ
−=
•
R
R
R
RGρπ
22
! / % % $ + &
! Λ3 → ε'− ΛS → ε'B 2 % &
N / 1 )" + &
• Λ S & ΛG)D ' 7 σ σ3 G + % T' σG σ− 3 "
• Λ3 & σS G % − T' σG 7 σ 3 "
: % + % % D τ " + %
Λ3 + %% / %% / %+& σ 3 G
$ % % - %
% $ # $ $ % + 3 G
$ % " $ + + + %% %
Λ3 " : + + &
D + ' − T&
5 % % $ % + 7 $ % % %%+
% ; $ 2 / % / $ %
/ % + 7 + $ $ /%$
$ /% - $ %$ " ! + %%/
Λ=+
•••
2
2
2
R
R
R
R
( )
3/2
0
3/1 sin
=
∗
∗
ε
γ
ε
t
RAR
Λ−
=∗ 08 ρπG
A
Λ−=∗
3
2
1
γ
)(sinh 3/2
0
3/1
tRAR γ=
ΛΩ
Ω
=
Λ
= MG
A 08 ρπ
ΛΩ=Λ= 0
2
3
3
2
1
Hγ
23
+ %%+ % $ - " L %
% $ % $ %"
% $ % + / $ + %
% $ + / / $ %/% & Ω ' G)
ΩΛ' G) ' G " $ % $ 1 $ %"
&
3.3 H0, q0 and t0 in terms of the parameter A
# $ % % + $$ % Λ3 / γ ' − G
γ ' J B G K G &
# &
! / % → ∞ %@ 7 5 +
+ % D → ,πNρ G) → G D → G)" # → +
D → √ ΛG) → − D → ∞ + 5
1 *" " 5 $ % $ % / / Λ S "
3.4 H, q and ττττ in terms of A and z
)
2
3
(sinh
2
1
0
3/2
0
3/1
tHRR =
ΛΩ
Λ
=+
Λ
=
3
)1(
3
2/1
0 AH
0
0
0
21
1
2)31(
2
1
1
2
2
1
q
q
A
A
A
q
−
+
=⇔Ω−=
+
−
= Λ
Ω
Ω+
Ω=+++= Λ−
Λ
−−
2/1
2/1
2/12/112/12/1
00
1
ln
3
2
})1(ln{)1(
3
2
M
AAAHt
5.00 −=q
2
0
Λ
=H
933.03/240.100 =×=Ht
24
$ % + $ % - D < <
% 7/ $ τ < 2 Λ 3 &
L $ / $ $ + + < 2
+ % % +
% " ! $ %+ ' "
< ' ' " ,O"
# % 7/ $ + &
Figure 2 The look-back time for some flat models with positive cosmological constant. The full lines
represent models with: A=0.1, 0.5, 1.0. The A=0.5 model is close to the Concordance model.
Also shown are standard q0 = 0 and q0 = 1/2 models (lower and upper full lines respectively).
Λ=− 2
)21( Hq
2/13
0
2/13
1
)1(1
})1(1{
3
)(
+
++
=++
Λ
=
A
zA
HzAzH
AA
AzzA
ln
2
1
})1(1ln{
ln
2
1
)1ln(
2
3
]})1(1ln[{
1
2/1
2/13
−++
−+−++
−=τ
3
)1(1
3
)(21
zA
zq
++
=−
25
26
# ' " &
<'∞ → " / ' − " "
: τ < ' " % $ "
τ % " "
5 $ % $ % Λ S " $ B< )
$ % $ % " + %%/ % $
%%+ + + $ "
3.5 The geometric distance and volume elements
0 $ % $
% $ " ! + &
1 $ < B< '; G; + $
$ % &
! % → ∞ @ 74 5 +
→ &
2/1
3
0
2
3
)1(
2
1
1
)(
++
=
z
HzH
++
+−
=
3
3
0
)1(
2
1
1
)1(
4
1
1
)(
z
z
qzq
==
0
1
0
1
3/2
0
3/1
sinh
t
t
t
t
g
tRA
dt
c
R
dt
cr
γ
++
+=
z
g
A
d
A
HR
c
r
0
2/13
2/1
00 })1(1{
)1(
ζ
ζ
}
)1(
1
1{2 2/1
00 zHR
c
rg
+
−
27
$ % " % % $ %
$ % % % $ % $ %
+ " # $ + $$ % %
%$ '*π ; ) )G % %$ G < ' *π; ) <"
< % " )"
Figure 3: The geometric distance as a function of redshift, for A=0.1,0.5, 1.0 and 2.0. For comparison
also the Friedmann models with q0=0 and 0.5 are shown
z
HR
c
rg
00
28
4 A selection of Models with k≠≠≠≠0, ΛΛΛΛ≠≠≠≠0
4.1 Zero-density model with q0 > 0
% $ % % / σ ≡ %% $
& %%+ / + % $ $ / $
$ %% σ ' - $ " $$ %
% $ 1 )" $ % $/ σ + σ S
$ % Λ S " Λ % +
% $ / 3 $ "
# + / @ ρ ' &
5 + 3 %%+ $ @
+ 1 )" )σ − − ' − − S ' − "
@%$ Λ $ + @ / + &
/ + $ % /% &
@ $ % %%+ - % % ; ' ; /
% / $ % ; ' / " : &
+ / &
0
33
2
2
2
2
=Λ−+
•
R
R
R
kc
0
2
2
2
2
2
=Λ−++
•••
R
kc
R
R
R
R
022
=+−
•••
cRRR
0
2/1
0
0
)1(
1
H
c
q
R
+
=
)sin( 2/1
002/1
00
tqH
qH
c
R =
2/1
0
02/1
00
1
)sin(
+
=
q
q
tqH
29
D //% % $ &
&
5 $ $$ &
• $ % % % % $ '− & ;
$ - $ $ G D G ' πG D G <
' πG D G "
• % $ $ ' D ' G √ D ' πG*"
• ! + $/ % /
&
$ % -G - ' % -G -G ' -G - B
- ' %J√ - 7 B-K / % % + &
% H $ % - $ %" L
→ + % ' $ % % / σ≡
Λ∝ σ − → " ! / % %$ → /
$ % - "
% 7/ $ / + &
&
$ % $ %"
)cot( 2/1
00
2/1
00 tqHqHH =
)(tan 2/1
00
2
tqHq =
( )
)}](sin{)}([cos{
1
1
0
2/1
00
2/1
00
2/1
00
0
2/1
0
ttqHqttqH
H
c
q
R −+−
+
= −
0
2/1
0
2
0
00
)1(})1)(1{(
sinh
q
zqzq
HR
c
rg
+−−++
== ω
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
1
arcsin
)1()1(
arcsin
1
+
++
−=
q
q
zq
q
τ
2/1
0
2/1
0
00
tanarc
q
q
Ht =
30
4.2 The Lemaître model: ΛΛΛΛ>0 and k=+1
0 9 $ U $ % + $ % $ %
% / / % / % % % "
• @ $ %" $ % %$ % /
@ " D % %- + %
/ $ / D //%
$ % % Λ / %" ; ;' +
;G ' ;G ' " @ / $ &
! %%+ ,πNρ ' G; ' ρ> Λ3 " :
• 4 5 $ %+ + % 1 )
%$ % $ %" ! % $ $
% %$ 9 $ U $ %" : $$ <
$ % &
9 $ U $ %+ $ $ $ % 8) H +
$ / 8( $ + $ - %
2
2
3
8
R
kc
G =Λ+ρπ
Λ=2
2
R
kc
Λ
=
c
RE
Λ=2
2
R
kc
1−≡q
)(
0
00 ttH
eRR −
=
3
Λ
=H
31
% < ' "
$ % / %+" # $ $ - $ % . 8(O"
! 9 $ U $ %+ + ' B Λ 3 I % @
$ %" D + + % % $ $ & 9 $ U
$ % /% %% % @ $ %
/ " $ $ / $
+ %+ + - $ % % +
/ % % "
! %%+ : / 8O " ! + %
$ $ @ ;@ - ≡ ;G;@" : $
$ @ % ρ@ ρ;) ' +
+ ;) ' ρ-);@) ' αρ@;@) + α 3 " &
@ - α / $ &
% / % / $ / &
• -SS + &
&
/ @ 74 5 $ %& # S- S
9 $ U $ %/ @ 74 5 $ %"K
• # - 33 +
33
E
4x Gxπ
ααρ
ρ
Λ
==
)23(
3
3
2
α+−
Λ
=
•
xx
x
x
)(
3
3
2
α−
Λ
=
••
x
x
x
3/23/1
)3( tx Λ= α
t
H
3
2
=
2/1=q
2
2
3
1
xx Λ=
•
32
&
# - 33 9 $ U $ %/ 4 5 $ %" L
+ $$ + % $ % + Λ 3
1 )" 9 $ U $ %
$ -&
• - " # $ @ + -G
$ $ $&
$ ' " 5 + % + ' G
2 + %% %% / $ − - + %%
% " / %%+ & %
+ $ % % % -$ ' α G)
" # $ $ + %% % % " D +
$ - % -G
$ 3 " $ $ + ;−)
$ % % " ! ρ → +
4 5 $ % "
: -G $ / $ / % % < / % α → "
# α % + &
&
3
Λ
=H
1−=q
)1( 3/2
2
−Λ=
•
αx
3/2
min α=x
23/13/2
22
min
2
)(
3
)
3
2
3
( αα
α
−
Λ
≈−+Λ=−
••
x
x
x
xx
33
/ % -'α G)B 0 7 $ +
5 FF HH / + &
+ %%
5 + $ − $ ' ∆ % " + %% $ $ %%∆<
% + + / % α → " ! +
% + ∆< $ %%"
! + / $ % + / $ - %
<' + $ %& $ % +
<' " 9 / + %
7 - 9 $ U $ % "
6 $ $$ & + %%/ / $ %
$ % % $ % $
$ % "
$ % 9 $ U $ %"
23/13/2
2
)(
3
)1( αα −
Λ
+−Λ≅
•
xx
2/13/2
)1(3 −= αA
2/1
3
Λ
=B
3/1
3/1
1
10
α
α−
=
−
=∆
x
R
RR
z
)
3
2
3
(
3
32
α
+−
Λ
=
•
x
x
x
2/13/2
)1(
3
)}(
3
sinh{ −−
−
∆
=−
Λ
α
z
tt m
34
0 /%
" 0R N" 8,, !" # $# % $ 5 7
% & 0 % D %/ L + E
" 1 " #$ # & % #' $ ( $
) ##* + "9 " 1 $$ * (
)" : " 8 , " L " ,* 8
*" N"1" 8( , - $ $! % # ! 1 $
D %%& 9
" . /% ." "@" V 0 ; ) # #$ $
%. / !+; " ". " O 8
(" . 0" " 88O 0$ %* $ $ $ , $ (*
1 $/ = .
O" . " 5 % @" V 5< ." 8(O *O
," 5 " 8( )) )
8" 5 " 8( / )* 8 (
" %%" 8OO $" " . " * ,(8
" : / 5" 8O , $$ % # ! : %
5 & L + E
35
36
Appendix A: Parameters and symbols
used
General Symbols
• <&
• & $
• 4& %$
• ∆θ& % < 9 % <
• & %$ 7$
• τ& % 7/ $ − G <
• ψ& % $ % # $ $ % Λ'
A.1 The Metric
• ω& % 7$
• θ& % 7$
• φ& % 7$
• ; & % $
L"0" 7$ - %% %- "
A.2 The Einstein Equations
• ρ& $ 2 % σ ' *πNρG )D
• & 2 + % '
• Λ& $ % %
• D& D //% $ D' ;G G;
• & % $ ' −J ;G ;KG ;G
++−= )sin(
sin
)( 222
2
22222
φθθ
ω
ω dd
k
k
dtRdtcds
Λ−+=
•
2
2
2
2
338
R
R
R
kc
Gρπ
Λ+−−−=
•••
2
2
2
2
2
28
R
kc
R
R
R
R
c
p
Gπ
37
A.3 General Relations
• B< ' ; G; &
• ω ' G; $ & %
• ' √ ωG√ & $
• 4 ' B< ; & %$
• ∆θ ' B< 9G ; & % <
• ω ' *π; ) P J√ ωKG√ Q ω $ ω %$
38
Appendix B: The Friedmann model
(ΛΛΛΛ=0)
5 1 $ $ % "
B.1 General Relations (q0 ≥≥≥≥ 0)
)1(
)12()1(1
2
0
0000
00 zq
qqqzq
HR
c
rg
+
+−+−+
=
(deg)
)1(
3.57
0 grR
Lz+
=∆θ
−=
k
k
k
R
V
2
2sin2
)(
3
ω
ω
π
ω
)cos1( ψk
k
a
R −=
)
sin
(
k
k
kc
a
t
ψ
ψ −=
0
0
0
1
cos
q
q
k
−
=ψ
z
zk
k
+
+
=
1
cos
cos 0
1
ψ
ψ
10 ψψω −=
0
2/1
0
0
12 H
c
q
k
R
−
=
2/1
002
2
)21)(1(
)cos1(
/sin
zqzHH
k
kk
a
ck
H ++=⇔
−
=
ψ
ψ
zq
z
qq
k
q
0
0
21
1
cos1
1
+
+
=⇔
+
=
ψ
39
dz
d
d
dV
dz
dV ω
ω
=
00
11
sin
sin
1
ψψ
ψψ
τ
k
k
−
−
−=
−
−
=
k
k
qk
qk
Ht 0
02/3
0
0
2/3
00
sin
)12(
ψ
ψ
B.2 k = −−−−1; 0 ≤≤≤≤ q0 < 1/2
)1(cosh −= ψaR
)(sinh ψψ −=
c
a
t
0
0
0
1
cosh
q
q−
=ψ
z
z
+
+
=
1
cosh
cosh 0
1
ψ
ψ
10 ψψω −=
0
2/1
00 )21(
H
c
qR −
−=
2
)cosh1(
sinh
ψ
ψ
−
=
a
c
H
ψcosh1
1
+
=q
−= ωωπω 2sinh
2
1
2)( 3
0RV
dz
d
R
dz
dV ω
ωπ )12(cosh2 3
0 −=
00
11
sinh
sinh
1
ψψ
ψψ
τ
−
−
−=
40
)(sinh
)21(
002/3
0
0
00 ψψ −
−
=
q
q
Ht
B.3 k = +1; q0 > 1/2
)cos1( ψ−= aR
)sin( ψψ −=
c
a
t
0
0
0
1
cos
q
q−
=ψ
z
z
+
+
=
1
cos
cos 0
1
ψ
ψ
10 ψψω −=
0
2/1
00 )12(
H
c
qR −
−=
2
)cos1(
sin
ψ
ψ
−
=
a
c
H
ψcos1
1
+
=q
−= ωωπω 2sin
2
1
2)( 3
0Rv
dz
d
R
dz
dV ω
ωπ )2cos1(2 3
0 −=
00
11
sin
sin
1
ψψ
ψψ
τ
−
−
−=
)sin(
)12(
002/3
0
0
00 ψψ −
−
=
q
q
Ht
B.4 k = −−−−1; q0 = 0
ctR =
41
)1ln( z+=ω
1−
= tH
z
zz
rg
+
+
=
1
2
1 2
+−
+
−+
= )1ln(
)1(
1)1(
4
1
2)( 2
4
3
0
z
z
z
H
c
zV π
3
22
3
0 )1(
)2/(
4
z
zz
H
c
dz
dV
+
+
= π
z
z
+
=
1
τ
100 =Ht
B.5 k = 0 ; q0 = 1/2
3/2
00
=
t
t
H
c
R
+
−= 2/1
)1(
1
12
z
ω
1
3
2 −
= tH
ω=gr
3
2/1
3
0 )1(
1
1
3
32
)(
+
−=
zH
c
zV π
{ }
2/5
22/1
3
0 )1(
1)1(
16
z
z
H
c
dz
dV
+
−+
= π
2/3
)1(
1
1
z+
−=τ
3/200 =Ht
42
B.6 k = +1; q0 = 1
+
−=
z
z
1
arccos
2
π
ω
z
z
rg
+
=
1
+
+
−
+
= 2
2/1
3
0 )1(
)21(
1
arcsin2)(
z
zz
z
z
H
c
zV π
2/13
2
3
0 )21()1(
4
zz
z
H
c
dz
dV
++
= π
1
2
1
1
1
arccos
1
2/12
−
+
−−
+
−=
π
τ
z
z
z
z
1
2
00 −=
π
Ht
43
Appendix C: Flat Models (k = 0; ΛΛΛΛ > 0)
5 1 ) $ $ % "
tRAR γ3/2
0
3/1
sinh=
Λ
= 08 ρπG
A
Λ= 3
2
1
γ
)1(
3
0 AH +
Λ
=
−
+
=⇔
+
−
=
0
0
0
21
1
2
1
2
2
1
q
q
A
A
A
q
})1(ln{)1(
3
2 2/112/12/1
00
−−
+++= AAAHt
Λ=− 2
)21( Hq
})1(1{
3
)( 3
zAzH ++
Λ
=
3
)1(1
3
21
zA
q
++
=−
++
+=
z
g
A
d
A
HR
c
r
0
2/13
2/1
00 })1(1{
)1(
ζ
ζ
AA
AzzA
ln
2
1
})1(1ln{
ln
2
1
)1ln(
2
3
]1})1(1ln[{
1
2/1
2/13
−++
−+−+++
−=τ
44
Appendix D: A Selection of Other
Models
5 1 * $ $ % "
D.1 Zero-Density Model with q0 > 0
0≡ρ 0<Λ
)sin( 2/1
002/1
00
tqH
qH
c
R =
2/1
0
0
0
2/1
00
1
)sin(
+
=
q
q
tqH
+ / + &
)}](sin{)}([cos{
)1(
0
2/1
00
2/1
00
2/1
002/1
00
ttqHqttqH
qH
c
R −+−
+
= −
2/1
0
0
2/1
0
0 1
arcosh)1(
1
arcosh
+
−+
+
=
q
q
z
q
q
ω
)cot( 2/1
00
2/1
00 tqHqHH =
)(tan 2/1
00
2
tqHq =
0
2/1
0
2
0
00
)1(})1)(1{(
q
zqzq
HR
c
rg
+−−++
=
)2sinh
2
1
(2)( 3
0 ωωπω −= RV
( )
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
1
arcsin
)1(1
arcsin
1
+
++
−=
q
q
zq
q
τ
2/1
0
2/1
000 arctan qqHt −
=
45
D.2 The Einstein model
1+=k
0>Λ
Λ
=
c
RE
G
E
π
ρ
4
Λ
=
0==
•••
RR
0≡= qH
D.3 The De Sitter model
0=k
0>Λ
0≡ρ
)}(exp{ 000 ttHRR −=
z
HR
c
=
00
ω
3
Λ
=H
1−≡q
z
HR
c
rg =
00
3
3
03
4
)( z
H
c
zV =
π
46
D.4 The Lemaître model
1+=k
0>Λ
ER
R
x =
E
x
ρ
ρ
α 3
=
@ &
/ &
• - SSα G) / @ 74 5 $ %"
• - 33α G) / 4 5 $ %"
)}(exp{ 000 ttHxx −=
3
0
Λ
=H
)23(
3
32
α+−
Λ
=
•
xx
x
x
)(
3
3
2
α−
Λ
=
••
x
x
x
3/22/1
3/1
2
3
tx Λ=
α
1
3
2 −
= tH
2
1
=q
47
1−≡q
• - ≈ α G) #$ 1 #&
)(
3
sinh)1( 0
2/13/23/1
ttx −
Λ
−+≈ αα
&
|)1{ln(| 3/22/1 −−
−Λ≈∆ αt
: $ / % % / ∆ → ∞ α → "