MA2BPPGE, 8. ledna 2016
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[6,7,0],   B =[-2,7,6],   C = [-2, -3, 6],   D = [6, —3,0],   E = [—4,2, —5].
+ Dokažte, že body A, B, C jsou v obecné poloze, avšak body A, B, C, D nikoli. + Určete souřadnice bodu F, který je souměrný s bodem E podle roviny ABCD. + Určete vzdálenost bodu E od roviny ABCD. + Určete objem jehlanu ABCDE.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[xi,X2,X3,X4] | xi - x2 - 2ľ4 = 1, x3 = 1},
C = {[3,1,3,4]+í(l, 1,2,0) | íel}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + Určete vzájemnou polohu B a C. + Určete odchylku B a C.
3. Ve vhodném prostoru udejte příklad dvou podprostorů, které jsou kolmé a mají vzdálenost 8.
4. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (0,1,0,3),   v2 = (0,l,0,0),   v3 = (2,0,l,0).
+ Určete vektorový součin v! x v2 x v3 a ukažte, že tento vektor je kolmý ke každému z daných vektorů.
+ Dokažte, že předchozí vlastnost platí obecně.
5. Transformace v rovině je dána předpisem
[x,y\    [y-3, x + 3].
+ Rozhodněte, zdaje tota transformace projektivní/afinní/ekviafinní/podobné/shodné. + Rozhodněte, zda je tato transformace základní, příp. popište její určující prvky.
6. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad afinní transformace, která má samodružné všechny směry a modul různý od 1.
7. Dokažte, že pro přímku p a podprostor B v obecném eukleidovském prostoru platí:
Pokud p není kolmá k B, potom odchylka přímky p od B je rovna odchylce vektoru ue jtod jeho kolmého průmětu do 1$.