MA2BPPGE, 20. ledna 2016
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
a =[0,1,0],   B =[0,5,3],   e = [0, —2,4],   G =[5,2,7].
+ Určete souřadnice bodů c,d,f,h tak, aby všechny tyto body tvořily vrcholy rovnoběžnostěnu
s podstavami abc d a efgh. + Dokažte, že tento rovnoběžnostěn je krychle. + Určete vzdálenost bodu e od roviny abg. + Určete objem čtyřstěnu abeg.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[1, 3, 0, 0] + r(2, 0, 0,1) + a(2, 0,1, 6) | r, s e R},
C = {[Xl, 2ľ2, X3, x4] I X\ — 3aľ2 = 4, 5aľ3 — X4 = 2}.
+ Určete dimenze B a C, parametrické vyjádření C a rovnicové (neparametrické) vyjádření B. + Určete společné body, resp. směry a vzájemnou polohu B a C. + Rozhodněte, zda jsou podprostory B a C kolmé.
3. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad dvou netriviálních podprostorů, které mají vzdálenost 20.
4. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
Vl = (0,4,3),   v2 = (5,l,7).
+ Určete vektorový součin vi x v2 a ukažte, že platí
||vi x v2||2 = H Vi H2 • ||v2||2 - (vi . v2)2. + Dokažte, že předchozí rovnost platí obecně.
5. Transformace v rovině je dána předpisem
[x,y] ^ [-x + 2y + 2, 2x-y-2}.
+ Rozhodněte, zdaje tato transformace projektivní/afinní/ekviafinní/podobné/shodné. + Určete samodružné body, resp. směry transformace a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
6. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad neidentické afinní transformace, která má modul roven 1.
7. Dokažte, že pro podprostory B a C v obecném afinním prostoru platí:
Průnik B D C je neprázdný právě tehdy, když pro libovolné body BeB&CeCje vektor bÓ obsažen v součtu zaměření