MA2BPPGE, 26. ledna 2016
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A= [-1,0,1],   B= [-1,3,7],   C= [1,2,9],   D= [-3,4,5].
+ Dokažte, že body A, C, D jsou v obecné poloze, avšak body A, B, C, D nikoli. + Rozhodněte, zda jsou body C a D souměrné podle přímky AB. + Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a ABD. + Určete souřadnice těžiště trojúhelníku ACD.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[xi,x2,x3,x4] | xi — x2 = 2, xi + x2 — x3 = 1, x4 = 4},
C = {[0, 0, -1, 2] + r(l, 1,0, 0) + s(l, 0, 0,1) | r, s e K}.
+ Určete dimenze BaC, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + Určete společné body, resp. směry a vzájemnou polohu BaC. + Určete odchylku BaC.
3. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad dvou podprostorů, které jsou kolmé a mají společný směr.
4. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
Vl = (3,1,0,0),   v2 = (1,0, 0,-1),   v3 = (1,1,0,2).
+ Určete vektorový součin vi x v2 x v3. + Dokažte, že obecně platí:
Vektorový součin je nulový právě tehdy, když určující vektory jsou lineárně závislé.
5. Projektivní transformace v rovině je dána obrazy bodů
[1,0][0,1],    [1,-1] ->[-l,l],    [0,-1][-1,2],    [0,0][0,2].
+ Dokažte, že tato transformace je afinní, a určete obraz obecného bodu [xi,^]. + Určete samodružné body, resp. směry transformace a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
6. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad neidentické transformace, která má aspoň tři různé samodružné body.
7. Dokažte, že obecně platí:
Pokud má afinní transformace nějaké vlastní samodružné body, potom všechny tyto body tvoří afinní podprostor.