MA2BPPGE, 1. února 2016
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[-1,1,1],   B =[-1,5,4],   C =[4,5,4],   H = [4,-2,5].
+ Určete souřadnice bodů D,E,F,G tak, aby všechny tyto body tvořily vrcholy rovnoběžnostěnu
s podstavami ABCD a EFGH. + Určete souřadnice bodu K, který je souměrný s bodem H podle přímky AB. + Určete odchylku přímky H B od roviny ABC.
+ Rozhodněte, zda počátek souřadné soustavy leží uvnitř mnohostěnu ABCH.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[-2,1, 0, 3] + r(0,1,1, 0) + s(2, 0, 0, -1) \r,se R},
C = {[3,l,0,6] + Í(l,l,-1,0) | íef}.
+ Určete dimenze těchto podprostorů a jejich rovnicová vyjádření. + Určete vzdálenost B a C.
+ Určete parametrické vyjádření nějakého podprostorů V, který je kolmý jak k B, tak C.
3. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad dvou podprostorů, které mají netriviální průnik a odchylku 45°.
4. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
Vl = (1,1,-1,0),   v2 = (2,0,0,-l),   v3 = (0,l,l,0).
+ Určete vektorový součin vi x v2 x v3 a ukažte, že tento vektor je kolmý ke každému z daných vektorů.
+ Dokažte, že předchozí vlastnost platí obecně.
5. Transformace v rovině je dána předpisem
[x,y] ^ [2a;-2, 3 + 2y].
+ Rozhodněte, zdaje tato transformace projektivní/afinní/ekviafinní/podobné/shodné. + Určete samodružné body, resp. směry transformace a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
6. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad afinní transformace, která má aspoň 2 různé samodružné body a modul roven 2.
7. Definujte, co je podobné zobrazení, a dokažte, že každá podobná transformace, která není shodností, má právě jeden vlastní samodružný bod.