MA2BPPGE, 10. února 2016
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích nějakého eukleidovského prostoru.
Každý úkol je hodnocen 6 body, maximální možný zisk je 84 bodů; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 42 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[0,-1,0],   S =[0,3,3],   C =[5, 3, 3],   D =[5,-1,0],   E = [0,0,7].
+ Dokažte, že body A, B, C, D leží v jedné rovině a že bod E v této rovině neleží. + Rozhodněte, zda jsou body B a, D souměrné podle přímky AC. + Určete vzdálenost bodu E od roviny ABCD. + Určete objem mnohostěnu ABCDE.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[x1,x2,x3,x4] | xi - 2x4 = 3},
C = {[1,2, 0, -1] + í(l, 0, -1,0) + a(0,1,1, -1) + r(0,1,1,0) \t,r,se K}.
+ Určete dimenze B a,C, parametrické vyjádření B a rovnicové (neparametrické) vyjádření C. + Určete společné body, resp. směry a vzájemnou polohu B a,C. + Určete odchylku podprostorů B a,C.
3. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad dvou dvourozměrných podprostorů, které mají netriviální průnik a vzdálenost 2.
4. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
u =(5,4,3),   v =(5,-4,-3).
+ Určete vektorový součin u x v, odchylku a = <(u, v) a ukažte, že platí
||u x v|| = ||u|| • ||v|| • sin a. + Dokažte, že předchozí rovnost platí obecně.
5. Projektivní transformace v rovině je dána obrazy bodů
[1,1][0,5],    [-1,1] ^ [-4,5],    [-1,-1] ->[-4,l],    [1,-1] ->[0,1].
+ Dokažte, že toto zobrazení je podobné, a určete obraz obecného bodu [x\, x2]. + Určete samodružné body, resp. směry transformace a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
6. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad transformace, která má právě dva samodružné body, resp. směry.
7. Definujte, co je podobné zobrazení, a dokažte, že samodružné směry odpovídající různým charakteristickým číslům jsou navzájem kolmé.