Čtyřúhelníky


Jsou dány v rovině čtyři různé body A, B, C, D, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce.
Čtyřúhelník ABCD je sjednocení trojúhelníků ABD a BDC, právě když jejich průnikem je úsečka BD.

Obr. 1             D                                   C



                           A                             B

Základní pojmy: vrcholy, stran, vnitřní úhly, úhlopříčky.

Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je úhel plný.

Součet velikostí všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°.

Klasifikace čtyřúhelníků:  A)  Konvexní, nekonvexní

Obr. 2





Klasifikace čtyřúhelníků:  B) podle vzájemné polohy stran

                                      Čtyřúhelníky

S různoběžnými stranami                      alespoň jedna dvojice rovnoběžných stran

Různoběžník                právě jedna dvojice rovnoběž. stran           dvě dvojice rovnoběž.
stran

(např. deltoid)                        lichoběžník
rovnoběžník

Obr. 3

           sousední strany jsou kolmé        nejsou kolmé
                     pravoúhelník                                   kosoúhelník

                                             Sousední strany jsou shodné  nejsou shodné

                                               Čtverec                 Obdélník
kosočtverec     kosodélník


Rovnoběžníky

Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má dvě dvojice protějších stran rovnoběžných.

AB || CD    BC|| AD.


V 1. Protější strany rovnoběžníku jsou shodné.

AB || CD    BC|| AD  AB  CD    BC AD

D. Obr. 4 Sestrojíme úsečku BD a dokážeme shodnost trojúhelníků ABD a CDB (usu).


V 2. Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné.

D. Viz V1.

V 3. Úhlopříčky rovnoběžníku se půlí.

D. Obr. 5  Dokážeme shodnost trojúhelníků ABS a CDS (usu).


 V4. Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je úhel plný (součet velikosti vnitřních úhlů čtyřúhelníku
je 360 °).

D. Součty vnitřních úhlů trojúhelníků ABD a CDB – každého z nich je 180°.

Všechny rovnoběžníky jsou středově souměrné.


Obdélník

 Obdélník je rovnoběžník, jehož sousední strany jsou na sebe kolmé a nejsou shodné.

Platí V 1 – V4 a navíc:

V 5. Úhlopříčky obdélníku jsou shodné.

D. Obr. 6  shodnost trojúhelníků ABD a ABC (sus)

Obdélníku lze opsat kružnici. Obdélník má dvě osy souměrnosti.


Čtverec

Čtverec je rovnoběžník, jehož sousední strany jsou shodné a na sebe kolmé.

Platí V 1 – V 5 a navíc

V 6. Úhlopříčky čtverce jsou na sebe kolmé.

D. Obr. 7  shodnost trojúhelníků ABS a BCS (sss), vedlejší úhly shodné, tedy pravé.

Čtverci lze opsat i vepsat kružnici. Čtverec má 4 osy souměrnosti.


Lichoběžník

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má jednu dvojici protějších stran rovnoběžné a jednu dvojici
protějších stran různoběžné.

Obr. 8

Základní pojmy:  AB|| CD  - základny  (a, c)  ,       BC, AD – ramena (b, d)

Vnitřní úhly – grafický součet vnitřních úhlů na témž rameni lichoběžníku je úhel přímý.

Výška – vzdálenost přímek, na kterých leží základy  (kolmice k základnám)

Střední příčka   úsečka, jejímiž krajními body jsou středy ramen  s =

Druhy lichoběžníků: pravoúhlý, rovnoramenný


Čtyřúhelník tečnový  - čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici, strany jsou tečnami.

Čtyřúhelník je tečnový právě tehdy, jestliže součty délek jeho protilehlých stran sobě rovnají,

a + c = b + d. obr. 9

 Čtyřúhelník tětivový – čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, strany jsou tětivami.

Čtyřúhelník je tětivový právě tehdy, jestliže součet velikostí dvou protějších úhlů je 180°.

Obr. 10

Čtyřúhelník dvojstředový – čtyřúhelník, kterému lze kružnici opsat i vepsat.

Obvod čtyřúhelníku

Obvod obdélníku

Obvod čtverce


Obsah obdélníku

Obsah čtverce

Obsah rovnoběžníku


Obsah lichoběžníku