(PWoV u, ^ladUy^cC vj.qXím^&2 Sfl^ftJbr. 0^ (Rl^.^c. k xx ž 2 r. o s s č k r : -——-'-—--:-
Název: kugelosegka - řez roviny s kruhovou kuželovou plochou. Ňechín. je rotační kužeiová plocha, © rovina a 7^§  /viz obr.V
■  \      IflT /
A\   I   / Označme; T La"
/S =
Je-li  oc</!> , protíná rovina 9 všechny tvořící přímky, kuželové, plochy a řezem je elipsa,
Je-li  oc =/3 , je rovina ^ rovnoběžná práve s jednou tvořící přímkou plochy a řezem je parabola,
Je-li 06 >/2> , je rovina ^ rovnoběžná se dvěma rSznoběžnjíaii tvořícími přímkami plochy a řezem je hyperbola.
roznáška: Pro V€£   může být průnikem § s kuželovou plochou bod, přímka, dvě různoběžné přímky /nazýváme je singulární nebo složené kuželosečky/.
VSta 1 /Definice/
Kuželosečka zvané elipsa /parabola, hyperbola/ je množina bodů v rovině, které 21ají poměr vzdáleností od daného bodu F /zvaného ohnisko/ a dané přímky p /zvané řídící přímka neboli direktrix/ neprocházející bodem F roven kladnému reálnému číslu k, pro které platí k< 1 /k =1, k>i/.
Číslo k se nazývá numerická výstřednost neboli excentricita kuželosečky.
Důkaz /pro elipsu, tj. oc    /l> /
Do části kuželové plochy ve které leží V vepíšeme kulovou plochu » tak, aby se dotýkala roviny § v bodě F/viz obr. 2/ Kuželová a kulová plocha se dotýkají podél kružnice 1, která leží v rovině <? kolmé k ose o uvažovaného rotačního kužele.
Obr. 2
Označme p = §       , zvolme Xe e, kde e je průnik roviny g s kuželovou plochou /v obr. Xj/. Platí: /Xp/ = /XG/ = fl^l. (i) Dále platí: /XF/ - /XV - délka-tečny z bodu X ke 3e ,   f 2)
(ii Cli      x .
/X?/ : /Xp/ = /XV : /Xp/ = /CxMLViVXoGg/ = /X^/: /XgG,/.
otočeno • ^ ~
Pro trojúhelník X~3 /z obr.2 a Xg^Gj =AX»S/ dle sinové věty platí: /XV : /XG/ = /X-i^/ : /X2 GV = sinic : šin(V -/" +«o/J = = sin«: sin[T - /<* +     <</] = sin oc : Sin/T -/S/ = sin« : sin /3<1, nt=bot 0 < <?C < íh <■ j ..
Dostáváme tedy /XF/ -. /Xp/ = sin«:: sin (b ~ k<it roznášky:
1. Obdobný závěr dostaneme i pře
parabolu: sinoc : sin/5 = k = 1 4>/XF/ = /xp/
hyperbolu:-* >ň> - sin      : sin A = k > 1 = /XF/>/Xp/.
2. řro oc r A platí, že také do druhé části kuželové plochy určené rovinou 5 /pro eliptický řez do té, v níž. neleží bod V - viz obr.3/
-  lze vepsat kulovou ploshu, která se dotýká rovinyg v bodě 3, jenž je pro prásečnou křivku /elipsu nebo hyperbolu/ druhým ohniskem. Tuto skutečnost vyjadřuje věta auetelet-Dandelinova' : VepíS&te-li do rotační kuželové plochy kalové plochy tak, aby se dotýkaly roviny protínající tuto kuželovou plochu, pak dotykové body kulových ploch s rovinou řezu jsou ohniska průsečné křivky.
1
	{ú/f		
	Ak! f \ i		
		**\ \	
Qbr. 3
ELIPSA
x£ra elipsu /oí</3/ platí /viz obr. 3/:
AF/ + A2/ = /2CL/ + AK/ = /(X) (L) / + /(X)(£)/ = = délky tečen z X ke «. otočeno
-■ = konst. , kterou označíme 2a.
Pro délky tečen z bodu Á ke »c platí:
/AF/ = ML)/   ^/3?/-f/AtLV-cAK)CLV = 2a. Tedy /i3V < 2a.
Z předchozí úvahy plyne:
Jsou-li dány body i, f ? a čísla 2a >/KF/, pak množinou všech bodu X roviny obsahující body 2, F, pro které platí
/3KJ + /FX/ = 2a
je elipsa s ohnisky S, F a s hlavní osou o velikosti 2a.
^vnice_elipS2 .
Ueeh^ je v eukleidovské rovině dána elipsáVs ohnisky 2, F a velikostí hlavní osy 2a. Zvolme KASS tak, aby osa x procházela body 3, F a po- -čátek KASS byl středem úsečky 2. F.
Souřadnice ohnisek označme 3 = £-e, OJ, F = [e, o], /obr. 4/. *>°
-	
	
	
	
Qbr. 4
Jestliže je bod X = [x, y] bodem elipsy jt/ , pak platí AV + AF/ = 2a, (1) . •
tj.
^i(x - e^2 -Vfy - OÝ   = 2a /2
2. -2 = 4a2 4a2
\(x + e}2 + (y - O}2__
(x-t-e)2 + y2 t (x-ef + y2 ->• 2 ^x+e)2'+ y2 fx-e^+y
2(x2+e2+y2) + 2 1(x2 + y2 + e2)2   - 4é'
1(x2 + y2 + e2)2 - 4e2x2    = 2a2-(x2v e2^2)/2 '22
Po umocnění, dalších úpravách a označení   a" - e . = b dostáváme pro souřadnice x, y bodu X elipsy X/ vztah
2
5> - l
Í2)
Obrácením postupu ověříme, že každý bod X, jehož souřadnice x, y splňují vztah (2^) je bodem elipsy JU .
3íslo b ve vztahu (2}se nazývá velikost vedlejší poloosy elipsy.*/ , číslo e lineární výstřednost - excentricita elipsy xs . Vztah (2) nazýváme normální, též kanonickou rovnicí elipsy v .
Yěta 2 /upřesnění věty 1 pro elipsu/
elipsa o rovnici(2")je množinou všech bgdi v rovině i^, které nají od bodu F = [e,d]a od přímky p; x = -| , poměr vzdáleností roven číslu k = -|   , kde e = la2 - b2.
Důkaz provezte jako cvičení.
- 1 -
Obecná rovnice kuželosečky
Nehomogenní kvadratickou formou v proměnných x-j_, Xg nazýváme každý mnohočlen.
ŕfc^xj) = a1;i2E^+ + a^xf + 23^X3^ + 2a2^z + a33, íll
kde a-j /l-i-j^3/ jsou libovolná reálná čísla splňující podmínku
^all'a12'a22^ * (0.0,0). (21 ŕro a-j_.j = ag-j =       = O nazýváme mnohočlen (1) homogenní, kvadratickou formou. -
Nehomogenní kvadratickou formu (1) lze zapsat pomocí matic takto:
3í2)=fx1, li
a12 a22 \a13 a23
stručněji
ffx-L, x21 = XTA X , kde XT = (Xl> Xg, 1) .
Jediný prvek matice XTA X typu (l,l)je roven ffx-L,x2) - což zjednodušeně zapisujeme ve tvaru (3) •
( 3;
iiatice A v (3) se nazývá matice kvadratická for&y (1) . Determinant i AI'se nazývá diskriminant kvadratické forcy (l) ,
respektive rovnice fíx-^^^ O.
(4)
*33
= /all a12\ la12 a22/
nazýváme maticí kvadratických členi formy (1) .
Determinant lA-^l nazýváme diskriminantem kvadratických členu, nebo táž malým diskriminantem.
Kvadratická forsa, jejíž diskriminant je roven nule /je různý od nuly/ se nazývá singulární /regulární/.
- 2 ~
Jádrem kvadratické formy (lY/též nulovou množinou/ nazýváme množinu váech uspořádaných dvojic, které jsou řešením rovnice (4) *
Bodovým jádrem kvadratické f o my Cl) nazýváme množinu všech bodů v rovint jejichž uspořádané dvojice souřadnic [x-j_, Xg] náležejí do jádra kvadratické formy ( li .
Souvislost kvadratických forem s kuželosečkami £lipsa se středem S = [m,nl má. rovnici
_±-        +  -i--=■ -1 .
Její úpravou dostáváme
bZ(x-f - Zmx-L + m2)+f x| - 2nx2 + n2)a2- a2b2 =0.
Levá strana této rovnice je speciálním případem kvadratické formy v proměnných x^, Xg. Bodovým jádrem této.kvadratické formy je kuželosečka /elipsa/. Položme si tedy otázku:.Co je bodovým jádrem kvadratické formy (1) v obecném případě?
Protože na tuto otázku nedovedeme odpovědět, pokusíme se jinou, vhodnou volbou souřadné soustavyzjednodušit rovnici (41 tak, aby z transformované rovnice odpověS vyplynula. Uvažovat budeme eukleidovskou rovinu s KASS. Abychom nemuseli používat indexy, zavedeme v kvádra-tická formě (l)nové označení, Rovnice U)pak bude mít tvar
0   ,  (a, b, c) t (.0, 0, C) . C5)
2 2 ax  + 2bxy + cy  + 2dx +■ 2ey + f
Dél viz ai. Sekanina a kol.: Geometrie I, kap. 3.2, stí
i-74.
Shrnutí výsledku; Ke každé rovnici (5) lze zvolit novou JCASS tak, že původní souřadnice bodu splňují rovnici C5) právě tehdy, když jeho nové souřadnice splňují rovnici ? = 0, přičemž P = 0 iná jeden z dále uvedených tvarů - ukaždého je vždy uvedeno označení ^noiiny všech bodů, jejichž souřadnice x, y rovnici spiuují.
-        2 2 -1*    xj.y i
—2 2 + 1=0 mnoiina prázdna , imaginární elipsa a b
2        2 2
—, + 2-> ~ 1 = 0   elipsa, pro a = b kružnice
- 3
3. i = o
hyperbola
4.
5. ó.
7.
8.
9.
■f- - 2px = 0  /p>0/ parabola y2 - k2*2 = 0   /k>Q/   dvě riznoběžky y2 + Ä2 = 0   /k>0/ bod y2 - r2 = Q      /r;>0/   dvě razné rovnoběžky
přímka /splývajíc! rovnoběžky/ /r>0/  množina prázdná
y2=0
2 2 y   + xT = 0
Bodovým jádrem každé Kvadratické fomy.je tedy právě jedna z uvedených, devíti množin bodu. Protože všechny tyto bodové množiny můžeme dostat jako průnik roviny s kruhovou kuželovou plochou, rozumíme kuželosečkou každou z devíti uvedených množin.' V případech 8 a 9 uvažujeme kuželovou plochu s nevlastním vrcholem-tj. kruhovou válcovou plochu.
Rovnici (4") ev.(^) nazýváme obecnou rovnicí kuželosečky. Poznámky;
1. Rovnicím F = 0 /č. 1 - 9/ říkáme kanonické nebo též normální rovnice kuželosečky.
2. Kuželosečky uvedené pod 5. 1 a 5 nazýváme formálně reálné - jsou určeny rovnicemi s reálnými koeficienty, ale neobsahují žádné reálné body, tj. body, jejichž souřadnice jsou reálná čísla.
3. Kuželosečky uvedené pod č. 1 až 4 jsou tzv. regulární /jednoduché/. Kuželosečky uvedené pod č. 5 až 9 jsou tzv. singulární /sležené/.
Cvičení:
Určete Kanonickou rovnici kuželosečky dané rovnicí
* *
2 2 9x   - 4xy + 6y   + 6x - 8y + 2 = 0.
Hornice pro otočení KASS
Určíme sinoc , cosoc :
cos&c =, %" 0   ,, = i f4b*+(a-cr 5
sin
od
-f
cos 2oc
Í5
x = x cosoc - y since y = x'sinoí -t- y'cosoc
. n 2b
, Sin2<K - i   m  ■ n
W+Ca-tfT , [cosool=f
1 + cos2 —5-
. 2 '<5
- 4 -
1 2 "
Zvollme-li sinoc = —   , cos oc = _ i. /sin2a<0/. j^o dosazení do *
5 5 a odtud do * * po úpravách dostáváme: 10x'2 + 5y'2 - 4-Í5" x'+ 2-Í51 y'+ 2 =0.
Po další úpravě /"doplnění na čtverce'/ a další transforsiaci KASJ /posunutí počátku/ dostaneme:
"2 "2
0,1 0,2
což je normální rovnice elipsy.../'
2. Určete normální rovnici kuželosečky dané rovnicí a/ 5x2 + 8xy2+ ?y2 - 18x - 18y + 9 = 0
[x2 + I    =   ľ, elipsa]
b/ 5x   +• 12xy - 22x -12y -19 = 0 •
2      2 T -v.  = 1 , hyperbolaj
c/ 2x2 - 4xy + 2y2 +.3x - 5y + 2 = 0
[2 (f 1 y   =   ^ x, parabola!
d/ 2xy - 4x + 3y -
2 2
x   - y   =0, dvojice riznobšžek;   x + y =
e/ 50x2 - 8xy +35y2+ iCOx - 8y + 57 = 0
- y = o]
|x2 + 3y2
+ 1 = 0, imaginární elipsa] C
f/ 5x2 - 2xy + 5y2 - 4x + 20y + 20
[2X2 + 3y2 = 0, bod]
g/ x2 - 2xy -r y2 - 12x + 12 y - 14 = 0
{y2 - 25, dvojice rovnoběžek: y = ?, y 4x -6y + i = c
V 4x2 + 12xy + 9y2
[x2 - 0, dvojnásobná přímka]
2
i/ J-ox
r„2
24xy
.„2
ióCx -r i2Cy + .,25 = 0
--1, prázdná nnožina]
Ortogonální invarianty kuželoseček
Pojmy:
Nehomogenní kvadratická forma
ffx.y') = a^x2 + Za^sy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33
Obecná rovnice kuželosečky f (x,7) = Q
Siaticový zápis (l> XTA X = f (x,y} ilaticový zápis (2"}   XTA 2 = 0
/aii «12 «33\
(1)
(2)
x = y j xT=(xyi)
A =
a12 ^ a23 Val3 ^3 a33^
matice kvadratické formy Cl)
Diskriminant kvadratické formy (l)     1A1 = li
1 A( = D   též diskriminant rovnice (2)a kuželosečky určené rovnicí (2)
Diskriminant kvadratických členi
all a12
'33
12 a22
též malý diskriminant kvadratické formy (i), malý diskriminant rovnice (2} , malý diskriminant kuželosečky určené rovnicí (2).
Regulární kvadratická forma, regulární kuželosečka: D t Q, Singulární - " - , singulární    - " -      :    3 = 0.
Věta 1 : Pro diskriminant D, malý diskriminant        kuželosečky určené rovnicí (2) a číslo J = axi + a^   platí, že jsou nezávislé na volbě KASS.
roznáška: Protože se čísla D, D.^, J nemění při transformaci JCAS3 /ma-
33'
33'
tice přechodu je ortogonální/, říkáme, že D, D^, J jsou ortogonální invarianty rovnice kuželosečky
Důkaz:
JCASS^ <P, x, y>—> KASSj: <?, x, ý> Transformační rovnice   x = xcosoc   - ysinoc + o. ^\
y - xsinoc  + ýcosoc + n
můžeme zapsat maticovou rovnicí x = c x ,
kde
(4)
rx\ /x\ ŕ cos     -sin ia\
II '  Mi)' 2 = Vla  T ?)•
nebot po vynásobení matic CX dostaneme I x \      [xcos   - ysin    + m^
li
\2sin + ýcoa \ 1
(5)
Z. (5) plynou rovnice (3) a rovnost 1=1, která může být chápána jako rovnice Ox + Oý + 1 = 1    =   soustavy (3)   a (5) jsou ekvivalentní
a/ Transformací (4)přejde rovnice (2^ •
xTA x = 0 v rovnici (cix?A(c %) = 0 ■■"
x^tajQx -o .
Pro diskriminant !B[ transformované kuželosečky platí:
(B| = [CTi CI = [CT1! AllCl = (cos2«. +'. sin2oc)lAÍ(cos2o< + sin2^") = = lA I = D je invariant.
b/ Transformací (4) se nezmění ani
"33
ail a12 a12 a22
1M I , kde lí
řall al2 0
a12 Hz 0 \ 0   C 1
iiaticevse obdobně jako v případě a/ transformuje v matici ä a platí
[I! =Ictí; cl = leníte! = i.Ie!. i = d33.
c/ Invariantnost J =       + a22 dokážeme takto;
Do rovnice (2") dosadíme za x, y,z transformačních rovnic (3) a určí-
.   . 2    _2 •
me ioeficienty u x , y , které označíme a^, ä^-,:
a^Cxcosoc - y sin°c + a)2 + 2a12(xcos<=<. - ysin<*- + £).
. (xsinoc + ycoso<. + n) + a22(xsinoc + ycos^ + a)2 + ... = o (6)
Z (ó~) je zřejmá, že čísla m, n 7 závorkách nemohou ovlivnit koeficienty u kvadratických členi x2, y2, Sy - mohou ovlivnit pouze koeficienty ostatních členi, které nás nyní nezajímají, Při určování koeficientů. ail5 *22 m,^eme proto předpokládat, že m = n = 0. Dalšími úpravami posiéze dostaneme "a-^ + "á^2   ~   a^ + a?2.
Včta 2:/O semiinvariantu     D^ + D22 rovnice kuželosečky/
Pro kuželosečku určenou rovnicí (2} , pro kterou je D = D,^ = C,
7 -
je číslo
a22 ^ZZ a33
invariantem při transformaci KASS otočením.
C22 ■"
all a13 al3 a33
Důkaz se provede obdobně jako v případě c/. Viz též Svoboda, K.: Analytice geometrie H, SPN Praha 1968, str. 124-.
Poznámky:
1/ Je-li   f(x,y)= 0 U)
rovnice kuželosečky k a je-li £ f 0 reálné Síľío, jo také
íŕ(x,y>= O (7) •
rovnicí téže kuželosečky k.
2/ Pro diskriminanty D a D' a malé diskriminanty D^-j a I>33 poradě rovnic (21 a (7)piati
D'=\ihi      D33 = 22D33 . (8)
3/ Ze (8)3 věty 1 plyne: Pokud je malý diskriminant rovnic (2) a (7) různý od nuly, je znaménko malého diskriminantu kuželosečky vyjádřené těmito rovnicemi nezávislé na tom, kterou z rovnic   je kuželosečka vyjádřena.
4/ Pro di s kriminality rovnic (2) a (7) a čísla
J = all + *Z2>   J'= * ^2 »
pokud jsou různá od nuly, obdobné tvrzení neplatí, protože pro !<0 mají čísla D a B'i čísla J a j'znaménka opačná.
5/ Ze 4-/   =^   pokud jsou součiny DJ a D'j'různé od nuly, pak mají stejná znaménka.
5/ Pro seiiiinvarianty        + D22   a 3^ +        poradě rovnic (2)    a (7)
platí d£t_ + 3^ = 2?(i>2X + D22^* ■?roto " po^d Je součet        + S„ ^ 0, nezávisí jeho. znaménko na tom, jakou rovnicí je kuželosečka vyjádřena. Závěry:
(S)
> 0, DJ < 0 ,     DJ = 0 ,
1/ Platnost některého z výroků
D.
D - C , D33< 0 ,
'33
0 ,
'33'
DJ>0,
Dli + 322< °' Dli    322 = C» Dll + 322>0   nezávisí na tom, jakou rovnicí je kužeiosečka*Vyjádřena, ale závisí pouze na kuželosečce k. 2/ Pro každou z devíti kuželoseček uvedených v tab. i jsou v pravé části této tabulky uvedeny příslušné pravdivé výroky typu (9).
o
B " St
i	. o	
! '■	tt	
		
ť   :- :	w	
i ■ '■■ i-	+	CM
i.	TT	
	O	
i	+i	
		
Í5 1
o
"n.
- 9 -
Z této tabulky je zřejmé, že podle těchto výroků lze rozhodnout o tom, o jakou kuželosečku se jedné, bez ohledu na to, jakou rovnici je vyjádřena. Viz též tabulku 2.
10 -
			£ u ž e Í <	> s e £ t a				
a ŕ o regulárni				2=0 singulární				
0 středová			csstředová	středová		nestŕedorrá		
B33>0 elipsa		333<0 hyperbola	parabola	dve rOizaoběžiy	3.»	Íli+a22-íÍC dvi		
DJ>0 imaginární 0	DJ<0 reáiná				Sod	rcvnobeliy		
Tabiiiia 2
Poznámka; Kuželosečka, pro kterou je 1)23 r 0 se nazývá středová. Pro stredové kuželosečky vyjádřené normá-uií rovnicí /viz. tab. 1/ platí; Pro každý bod X =[x,y], jehož souřadnice jsou řešením rovnice kuželosečky platí, že také souřadnice bodu souměrného s ním dle počátku íCASS, tj. bodu X'=[-x,-y], jsou řešením rovnice kuželosečky. Pro imaginární elipsu tento výrok rovněž platí, nebot množina bodů X, jejichž souřadnice splňují její rovnici, je prázdná. Počátek XASS je tedy středem, přesněji středem souměrnosti uvažovaných kuželoseček. Podobně lze ukázat, že souřadné osy x, y jsou osami souměrnosti těchto kuželoseček. Uvažujte reáiná středové kuželosečky /tj. všechny, krčme imag. elipsy/ a dokažte, že i^aždá ná právě jeden střed.
1. Středové kuželosečky- určení aora. rovnice užitím ortoir. invariantů
Poznali jsme, že vhodnou transformací KAS3 lze dosáhnout toho, že střed kuželosečky k,
k = a12x2 + 2ai2xy + a^y2 + 2ai3x + 23^ + a33 = 0 (lg)
a její dvě osy splynou s počátkem a s osami nová XAS5. Po provedení této transformace je
aÍ2 = a13 = *2Z = °»
takže rovnicí kuželosečky- k v nové' KASS je rovnice
k. s a^x'2 + a^y'2 +       = 0. (2;)
Abychom se vyhnuli čárkám a dvojitým indexim, označme
aíi =*1 >    *22 ~%2 »      a33 ~ *3 *
Hovnici (2|)"    budeme psát ve tvaru . „2 ^ 2
<«0
^3_x~ Důsledek věty 1:
Rovnice (ls)a (2s) mají. tytéž ortogonální invarianty}   proto plat
=    Ä, Ä,
2 (3^ a (4S) plyne
2-    = >
"33
(4S) (5S)
7*2   ~~   J - ^
Z (5S) plyne Po dosazení ze (?s)  do (^dostaneme;
VJ - V
^1     i ■ -33
Když do CO dosadíme    1 = J - ^2 /plyne z (5^/, dostaneme
*2 " J*2 + 333   = °- (Ss) 2 (8s)a (9/] plyne, že ^t_»A2 jsou kořeny kvadratická rovnice
jj
2 provedené úvahy plyne
- n -
Věta 3 : /O normálním tvaru rovnice středové kuželosečky/ Rovnici každé střecwvé kuželosečky lze vhodnou transformací KASS upravit na tvar
kde Äx>        jsou kořeny kvadratické rovnice
P2 - ja  + d33 = 0 (n)
2. Charakteristická rovnice kuželosečky Rovnici (II) můžeme zapsat ve tvaru
312
*22
- >v
0,
Call ~       ( ^2 - a12 =
(II' )
2
a22^>  + aHa22 " alZ =
J33
Protože (II')je charakteristická rovnice matice 'all a12
A33. ^a-^
/což je matice kvadratických čienů. kvadratické formy (l), ev. rovnice kuželosečky (2)/ můžeme ji zapsat ve tvaru
|A33 - >3i= 0 . II'
Definice; Rovnice (n')se nazývá charakteristická rovnice kužeľosečky určené rovnicí (2)/též kvadratické formy (l) /.
Věta 4:   Sořeny charakteristické rovnice kuželosečky určené rovnicí (2) jsou ortogonálními invarianty rovnice (2).
Dlkazi Tvrzení plyne z věty 1, neboí d33 a J jsou ortogonálními invarianty rovnice (21.
Věta j: Všechny kořeny charakteristické rovnice kuželosečky jsou reálné.
Důkaz:
a/ Středové kuželosečky: Pro diskriminant d kvadratické rovnice (II) platí
d = j2 -4d33 =.....= /a-^ - a^/2 + 4a|2^0 (lo)
2       2 2
Pro kružnici, jejíž rovnici lze psát ve tvaru x  + y   = r , je a-Q_ = a   a^ =     ^e d = 0 a příslušná charakte-
ristická rovnice má v tomto případě dvojnásobný kořen.
b/ Kestředové kuželosečky: V tomto případě je d33 = 0, a tedy charakteristická rovnice "(II) je v tomto případě ryze kvadratická. Je tedy jeden její kořen např.. >^ = O a >j = J« ■
Úloha 1. Určete druh a normální rovnici kuželosečky k, určené rovnicí 2x2 + 12xy - 3y2 + 20x - 24y -40 = 0'.
Poznámka
Určení normální rovnice kuželosečky.užitím-transformace KASS má výhodu v tom, že pomocí transformačních rovnic můžeme určit souřadnice významných bodů/napr. středu, ohnisek, vrcholů/ kuželosečky v původní XASS. Řešení téhož úkolu pomoci ortogonálních invariantů je pohodlnější a rychlejší, ale vše máme vyjádřeno pouze v nové KASS. Tuto nevýhodu pro^tředové kuželosečky, částečně odstraňuje . věta 6.
Věta 5: /o souřadnicích středu středové kuželosečky/
Nechi S = £a,n] je střed středové kuželosečky k určené rovnicí
a^x2 +.2a;i2xy + ^gy2 + 2al3x + 2a23y + a,3 = 0. • rak pro čísla m, n platí
ailffi + a12n + a13 = 0» a^m + a22n + a23 = 0.
(11)
Důkaz: Protože jde o středovou kuželosečku, 4« d    f o , což pro soustavu lineárních rovnic (11) v proměnných a, n znamená, že má jediné řešení. Z věty 3 plyne, že rovnici středové kuželosečky lze užitím vhodné transformace KASS upravit na tvar (i). Střed S kuželosečky pak splývá s počátkem a a^3 = a^-, = 0. Pro bod S = [0,0ltedy plití, že jeho 'souřadnice jsou řešením soustavy (il) . Je-li střed kuželosečky v bodě S = [m,h\ a (m,ri)r(C(C), provedeme posunutí KASS tak, aby nový počátek byl v bodě S. Rovnice kuželosečky se transformuje na tvar
a-jj/x+m/2-- 2a^/xW/y+n/ -r a^gjin/2 + 2a13/x+a/ + Za^/y+n/ + a
33
- 13 -
řři této transformaci je
2a13
2a^ = ža^m. + Za^n + . •
Je-li však počátek nové SASS v bode S, je a£3 = e£3 = 0. Čísla m., n jsou tedy řešením soustavy (11) .
Úloha 2. Určete souřadnice středu kuželosečky /hyperboly/ z úlohy 1.
3. Nestředové kuželosečky - určeni normální rovnice užitím
ortogonálních invariant*
a/ Begulámí kuželosečky, tj. parabola
Ukázali jsme, že užitím vhodné transformace SáSS lze parabolu vyjádřit rovnicí
y2 = 2px   ,   p>0. f J-«.)
Je-li £ ý 0 reálné číslo, je také rovnice
íy2 = 2plx
rovnicí téže paraboly. Úpravou dostáváme: ty2 - 2plx = 0.
Y této rovnici je koeficient a^ = £, a^ = -pí, všechny ostatní
koeficienty jsou rovny nule.
Platí:
o o -p; o i o ?ío o
j = o + £ = £
	= -P2*3	
D	= -pV /	
-D	= pV	
02	_ -D	
P		
	_   -D _	
?		IJ\ 1
33
= O
'(20
J v j
?o dosazení za p do rovnice (ij dostávame J
(TLI')
14 -
o/ singulární kuželosečky
Ukázali jsme, že užitím vhodné transforatace KAS3 lze každou z tSchto kuželoseček vyjádřit některou z rovnic
y2 ± r2 = 0 , kde r > O. (3 )
Je-li Í ý 0 reálne číslo, jsou rovnice
*y2 * Ír2 = 0, žy2 - Ír2 =0    , r > 0, rovnicemi těchže kuželoseček.
Pro koeficienty v těchto rovnicích platí:       = í, a^~ = i Ir2, všechny ostatní jsou rovny nule,; tj. •
D - {AI
'0 0 0 0 -Ž 0. 0    0 +£r'
=>  2 = Djj = 0,    . J = 2
(V)
Pro součet       +      .platí :   D-^ + 322 = ±£2r2
• ,2- -+ 11 "22
Po dosazení do dostaneme nomiáinl rovnici nestředové singulár-
ní kuželosečky
3,- +
^2
ve které zvo-LÍae znaaénko + nebo - podle tab. i vzhled
Dli + D22
c£i á. SOUCtU
Č-i-oha 4.   Určete norsiální rovnice kuželosečky k,
k5x'
-xy-^y   - x - y - 5
Ú-Loha 3. Určete norxáiní rovnici kuželosečky k, ksx2 + 2xy + y2 ■*- 2x + y = 0.
Určeni os regulárni kuželosečky
Středem elipsy a hyperboly je vlastni bod, jedná se o středové kuželosečky. Parabola nemá vlastní střed, proto je kuželosečkou nestředovou. Za nevlastní střed paraboly mažeme považovat nevlastní bod její osy. '
Průměrem kuželosečky budame rozumět každou přímku, která prochází jtíjím středem /pro parabolu nevlastním/.
Poznámka: Z konstrukční geometrie známe definici sdružených průměrů elipsy. Obdobně se definují i sdružené průměry hyperboly. Protože všechny průměry paraboly jsou navzájem rovnoběžné, nelze pro ni ' obdobně definovat sdružené průměry. Zavedeme tedy pojem sdružené směry kuželosečky.
Pro sdružené směry platí:
Tečny elipsy a hyperboly sestrojené v jejích průsečících s průměrem, který není asymptotou, jsou rovnoběžné s průměrem s ním sdruženým. Sdružené průměry elipsy a hyperboly určují jejich sdružené směry.
Tečna paraboly v je jím. daném bodě má směr sdružený s průměrem paraboly, který tímto bodám prochází.
Definice: Směr, který je vzhledem ke kuželosečce sdružen se směrem k němu kolmým, se nazývá hlavní směr kuželosečky.
0 hlavních směrech kuželosečky platí tato tvrzení:
1. Každá kuželosečka má aspoň jednu dvojici navzájem kolmých hlavních směrů /elipsa, hyperbola a parabola právě jednu, kružnice nekonečně mnoho /.
2. Víme, 2e všechny kořeny charakteristické rovnice jsou reálné. Dále platí, že charakteristické vektory, příslušné ke dvěma různým charakteristickým kořenům této rovnice jsou ortogonální.
3. Charakteristické vektory příslušné ke dvěma různým charakteristickým kořenům charakteristické rovnice kuželosečky určují hlavní směry kuželosečky /elipsy, hyperboly, paraboly/.
4. Charakteristická rovnice kružnice má dvojnásobný charakteristický kořen /viz. str. 12/, kterému odpovídají všechny směry jako hlavní. Kružnice má nekonečně mnoho dvojic hlavních směrů.
5- Vlas tni průměr sdružený s hlavním směrem se nazývá osa kuželosečky. Každá osa kuželosečky je "její osou souměrnosti.
S. Průměr sdružený s hlavním směrem kuželosečky je její osou tehdy a jen tehdy, když příslušný kořen charakteristické rovnice je nenulový /proto má parabola pouze jednu osu - viz str. 12/.
Úloha 5.   Určete osy hyperboly z úlohy i.
Geomatrie Literatura:
Sekanina, k. a kol.: Geometrie I. SřN,?raha-iSSč« Sekanina, Jí. a kol.: Geometrie II. SřN,Praha i$£8. Svoboda, '£..: Analytická geometrie II, skriptum. SHÍ, ŕraha • Hejny, Iá. a kol.: Geometria I. SIN,Bratislava 1S85. Klapka,J.: Analytická geometrie. SKTL,íraha 1-3=0. 3udinský, 3., Charvát, J.: j^taoatika' I. SIíTl/AlFi', řraha 1987. „eašík,        Setzer, 0.: Deskriptivní geometrie I. SlľľL, Praha 127í