Literatura: Svoboda, K.: Geoaetrie kvádri*. S2K, řraha 1983. KTijaiKI , * Keaomogenni kvadratická forsa ve třech, proměnných x, 7, 2 : f(x,y,s) = a^x2 + a^y2 + a-,,22 + Za-^xy + 2a13xz + 2a23yz + + 2aux + 2a24y + 2a34z + a+4 , í i) ide a,-- /i-i-j-4/ jsou libovolná reálná čísla špicující podziínku (ali,a22,a33,a-l2,a13>a2-^r (0,0,0,0,0,0) Kvadratická plocha, krátce kvadrika = bodové jádro kvadratická fgnny (i). Rovnice kvadriky : ŕ(x,y,z) = 0 älatice kvadratická forsy (l): (Z) /aIl «J2 a13 aU1 A = í a12 °22 ^3 a24 1 a13 a23 a33 a34 \al4 ^4 a34 a44- ilatice A je symetrická. Kovnici kvadriky f(x,y,z") = Q lze zapsat ve tvaru: X,TA X = 0, kde X =|f j . Diskriaxaant /veiky/" kvadratické forsy D = lil. jôalý diskriminant kvadratická foray = diskriminant kvadratických členů C44=' ali a12 al3 aÍ2 "*2Z *2Z a13 a23 a33 D+4= { A.+S , A44 se nazývá aatice kvadratických členi. Lineárni invariant kvadratické forsy (i^ : Jl ~ ali + ^22 * a33 • KV^t^tigkv Invariant kvadratická faray (l): =(3i3)44 ^22)44 -^liK4, ká (2ij);4= 2d:lor ŕ"'01 aij v A44 Ortogonální invarianty kvadratické for-y /nemění se při trsnsfomaci SA3S/ : D, D>4J J^,' J2 ■ 3esiinvarianty /hwzlní se při transformaci 2áSS otoSealV: alla12 aL a13 *22 + a13 a33 + a12 ^2 'a23 a33 S3 = D33 + D22 + 3U > S2 = ali al4 ai4 a44 + *22 ^4 a-, a,, .^4 . 44 a33 a34 334 a44 Charakteristická rovnica k7aarati ;ké foray -. as! = = 0 - jx*2 + J"2> -244 = 0 " Všechny kořeny charakteristické rovnice jsou reálná a jscu ortogonálními invarianty kvadratické fany (1). Lineární faktory kvadratická forzy: Svgdraticiiou fomu (l)ise vyjádřit násiečujícíi Z-iiscoen: f(x,y,z) = au22+a22y2+a3 s2^ 2a12xy-2a,-xs+2a.,yz+2a, . ^2a. .-.^a, . 2+fi = sfa^a^ra^zřa^) ^(a^x^y+a^z+a,,) t " v--- ^-^--U -1 4 +z(a1;.2+a2Jyi-a,3z+a34}+ a^a^y+a^z+a^ = v „ .-J ».-^--' Výrazy i - 1,2,3,4 nazývané lineárni faktory kvadratická fcray fC^yjzl - koeficienty lineárního faktoru L. jsou z i-tsao řádku matice "A. 2£ ťozaáaka: Váechay uvedené pojay ▼stahující se ke kvadratické íarsě (ľ)se vztahují též k rovnici kvadriky C2^ , ev. ke kvadrice, určená rovnicí C^V - t j. 3 nazývané táž diskriminantem rovnice (,2) , ev. kvadriky určené rovnicí (2) podobně 2^, atd. Kvadrika, jejíž diskriminant 3 je rizný od muy, se nazývá regulární, v opačném, případě singulární. Kvadrika, jejíž" malý diskriminant 3^ je rizný od nuly se nazývá středová, v opačaáa případě nestředová. Souřadnice střtdú S - [x,y,z] středová kvadriky ^2,7,3) = c jsou řešením soustavy lineárních rovnic = Q TŕX0xa 1. Je dana kvadrika 5 rovnicí 1^+ óy2* 5z2- +X7 - -02- 24y + -Ss -<■ 1S = C. Orčete, zda je kvadrika 1 regulární a středová. tteáeai: ' 2.Y 7-2 a -3 í G -2 5 9 -3-i2- 3 13 7-2 0 -2 5-2 0-2.5 * - 2315 ; O v" ivadrika i je rs^ S-ÍÓ2./-0. ^ i"5driia 1. je rscova Souřadnice středu 3 - s,y,z : 7x -2y -Z ~ O —Zx ^óy -2z—*2 - O -2y -5z +9 = C Jesení: x = .*» y = 2» z 3> 3 = t, 2, -i] . Hlavni sairy a hlavni prdsěrové roviny kvadriky T§ta: Je-li dána kvadrika q = fíx.y.z') = O a vektor u = (u^^.u--), pak pro každou přiažu rovnoběžnou s vektorech, která_protíná Z ve dvou bodech A, 3 plaťí: střed tětivy £3 leží v ruviaä Definice; Hcviria <» z předcházející věty se nazývá prúaěrová rovina sdružená s vektorem, "u. Definice; Je-li vektor, u koixsý k průměrové rovina s aís sdružená vzhl ďsm k daná kvadrice-, říkáme, že vektor U* určuje hlavní smór táto kvadriky. Příměrová rovina s ním. sdružená se nazývá hlavní prusärová rovina. Poznámky; 1. Z předchozích' definic plyne, že hlavní prisérová rovina kvadriky je její osou, souměrnosti. . 2. Prúsečnice hlavních pr-mtšrcvých rovinjtvadriky /pokud existují/ jsou osami, souaěraosti kvadriky. Tžtat Směr generovaný vsitorea it je hlavním acišrea kvadriky tehdy a jen tehdy, je-li cnarakteristickýn vektorem matice A. . jejich kvadratických Slanú. Poznéfliky; 1. Všechny charakteristická kořeny matice i jsou rsdlné, charakteristická vektory příslušná ke dvčsa různým charakteristickým iořenis jsou navzájem kolmá. 2. Vzhledem k tomu, že charakteristická rovnice matic& A je třetího stupně, nuže sít a/ tři rlzaé charakteristická kořeny - jiz. odpovídají tři různá hlavní sašxy kvadriky, které určují směry jejích os /souměrnost I^ždými dvěaa /kolaýai/ osami je určena hlavní pr-iměrová rovina která j«s rovinou souměrnosti kvadriky. /.*apř. nerotačaí eii,;soi b/ jeden dvojnásobný kořen í12 - ls němu přísluší charakteristický podprastor dimenze 2, který mažeme považovat .za zašeření jistá roviny ý . 2ašdý vektor u« 2 (§7 určuje hlavní směr. lácht hlavnícii sažrů je nekonečně onoho a jia přísluší nekonečně aao-ho hlavních- příměrových rovin. S charakteristic£é:-u kořeau A ^ pŕísluáí charakteristický veitor t£j JL 5 , který určuje směr osy která leží ve všech hlavních příměrových rovinách příslušných Ä1 k hlavníc sxSria rovnoběžným se ZCs") ./řříklady: rotační elipsoid, rotační hyperboloid, rotační kuželová a rotační válcové plocha./ c/ trojnásobný kořen » každý sm5r v Z(Sj) je hlavnia smšreia. Kvadrika na nekonečně" nnoho os a rovin souaěrnosti. /Příklad; kulová plocha./ 75 ta: Hlavní průměrová rovina je vlastni rovinou tehdy a jen tehdy, když vektor u = ( u-^Ug .Oj) , určující hlavni směr, přísluší charakteristickému kořenu rúznéau od nuly. Jinak, řečeno: k charakteristickému tořenu C přísluší hlavní sicšr, k neaul příslušná hlavní rovina je nevlastní. Příklad: elipticky paraboloid. Středová krsdrikyi D44 i 0 2.2- J2 • ,TBM 0 : ' Kvadrl ks formální roToice Špeciálni případy Rovnice po traasforoaci <0 t ŕ *ŕ *% i >0. = 0 cl- <ŕ + J ..7- 7 „A 1 1 = 0'\ Sestřtdové kvadriiy: - 0 D f2 »133 Kvadrika Horaálirí rovnice Speciální přípedy* Rovnice po transformaci >0 = 0 >0 <Ú 1. .'. * /■ /rátame V = 0 = 0 <0 to = 0 = 0 *o = 0 <0 >0 = 0 (jitál-íA) IS _ ..... -3. ^u!iču> jlw a^cyloÍ^-im. &~*Íu*jl. Aŕ^wvc-J /«niiy ^yji-CU^ť-^ , ,Jvuí>£wwľ £2, (*Z — t. _t. ( /í 7 S^cU,^.: CUcay^' o^to^u^X. UUj^ iqgH, irU. '1^- 4«!L 8.2. Ifetri^ fclwlXltocf fcT^flfc Podobní Jako u kuialoe»íok najdem» noJJodaoduJSži tvary rovnic* kradrlky v kartéseké eouatftvS souř*dnla. Yýtft QT2.1. Rovnlol k&ld* kvadriky 1» vhodnou volbou taurt«iak4 oouatavr aoufolnlo uróat na práva Jadon t tSohto tvarti _2 2 2 . i i a o to) aT*^i*"í5-1"0' htcLL^ jMyj*^^ Ji 9 2 ( OSJ) • + l. -0, ^AoUaocíjÚCvu^ A^j(aA« -toA.' cO Z Z 2 ř (K5) ™+-^~ - 2» » 0 (p > o, q >0), ^JyJUlc^ ^cvuHs^yto^cL. '.2 2 ' 0, q > 0), X^YJ>JrotC,o3^(-^,0, v5 x + ä3 *ia--o- .... 3 S - Ľ 0,0,0*1 , f>*-r A«^