Ma3DC_KG4: Kuželosečky a kvadriky Plán ► elementární (geometrické) definice, ekvivalentní vymezení, vlastnosti ► analytické (algebraické) vyjádření, invarianty, klasifikace příklady, užitek, srovnání Zakončení ► aspoň polovinu písemně (a uspokojivě) vypracovaných úloh ► aspoň polovinu bodů u závěrečné písemky Poslední aktualizace: 22. listopadu 2015, Vojtěch Žádník Geometrie 1 Úvod 2 Elipsa 3 Ostatní kuželosečky 16 Cvičení 20 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Kuželosečky jsou rovinné řezy kuželové, příp. válcové plochy.1 Nedegenerované (regulární) kuželosečky jsou vyseknuty rovinou, která neprochází vrcholem kužele: ► elipsa (spec. kružnice) — žádný nevlastní bod, ► parabola —jeden nevlastní bod, ► hyperbola — dva nevlastní body. Degenerované (singulární) kuželosečky jsou určeny rovinou, která obsahuje vrchol kužele._ 1 Válec je kužel s nevlastním vrcholem. Uvažovaný kužel/válec nemusí být nutně rotační. Elipsa: ekvivalentní definice Elipsa je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky; (B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní součet vzdáleností od dvou bodů E a F: |EX| + |XF| = konst.; (C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž \XF\ : |Xd| = konst. < 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) ? P ? x2 y2 yd = 2px - -x\ resp. — + — = 1; a a2 b2 (E) afinní obraz kružnice. Související pojmy Geometrie Elipsa Body E a F jsou ohniska, přímka d je řídící přímka elipsy, elipsa je souměrná podle dvou navzájem kolmých os, a = délka hlavní poloosy, b = délka vedlejší poloosy (a > b), elipsa je souměrná podle středu = průsečíku jejích os, konstanta v (B) je rovna 2a, konstanta v (C) je rovna J = (numerická) výstřednost, kde e = Va2 - b2 = (lineární) výstřednost, kvadratická rovnice v (D) je tzv. vrcholová, resp. středová rovnice elipsy,2 kde p = ^ = parametr. Poznámky Ekvivalenci (A) <=> (E) známe z Konstrukční geometrie. Ostatní ekvivalence a podrobnosti k uvedeným číselným charakteristikám ukážeme za chvíli (s. 9-11). 2Pojmenováno podle umístění počátku odpovídající souřadné soustavy. Věta Apollóniova Uvažme kužel s kruhovou podstavou a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom pro libovolný bod A na elipse platí AM2 = EM-ME, (1) kde M je pata kolmice z A na AE a E je bod na úhlopříčce pevného přiloženého obdélníku se stranami AE a EQ, kde EQ je určená vztahem AE: EQ = AK2 : (BK-KV).3 3Za chvíli bude patrné, že velikost EQ je rovna právě dvojnásobku parametru p. Důkaz věty Apollóniovy Z definující rovnosti pro úsečku EQ a podobností několika trojúhelníků plyne: AM _ AE _ AK AK _ EM AM ~MĚ ~ĚQ ~BK~KŤ ~ W\~MP' Levou stranu rozšíříme ME, aby poměry na obou stranách měly stejný čitatel. Odkud plyne rovnost jmenovatelů ME • ME = MU-MP. Rovina AľlP je rovnoběžná s podstavou, tudíž řezem kuželové plochy touto rovinou je kružnice a n P je její průměr. Podle Thaletovy věty je úhel ľlAP pravý. Podle Eukleidovy věty o výšce platí MY\ • MP = M A2. Dosazením do předchozí rovnice dostáváme (1). □ Věta Dandelinova-Queteletova Geometrie Elipsa 6 Uvažme rotační kužel a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom ohniska této elipsy jsou právě body dotyku kulových ploch, které se dotýkají jak kužele, tak roviny řezu. Důkaz věty Dandelinovy-Queteletovy Chceme ukázat, že platí \EX\ + \XF\ = konst., tedy že E a F jsou právě ohniska elipsy: Všechny tečny z daného bodu k dané kulové ploše jsou stejně dlouhé. Proto \EX\ = \DX\ a \XF\ = \XH\, a tudíž \EX\ + \XF\ = \DX\ + \XH\ = \DH\. Kužel je rotační, tedy vzdálenost \DH\ je stále stejná pro všechny povrchové přímky. □ Důsledky: ekvivalence (A) a (D) Přímo z věty Apollóniovy: Označíme |E0| =: 2p, |EA| =: 2a, \EM\ := x a |MA| =: y Z podobnosti trojúhelníků QEA a EMA plyne \EM\ = -(2a -x). a Rovnici (1) pak můžeme přepsat jako 2p--x)x, což je právě vrcholová rovnice elipsy v (D). Odtud se snadno vyvodí středová rovnice. □ (C.1) Důsledky: ekvivalence (A), (B) a (C) Geometrie Elipsa 10 Z věty Dandelinovy-Queteletovy přímo plyne (A) <=> (B). Ke zdůvodnění (A) <=> (C) stačí ukázat, že průsečnice p = p n a je právě řídící přímkou elipsy, tedy že pro ohnisko F a pro libovolný bod X na elipse platí \XF\ : |Xp| = konst. < 1: \XP\ = \Xp\, kde P je pata kolmice z X na p (v bočním průmětu nezkresleně). \XF\ = \XH\ (v bočním průmětu vidíme jako \X0H0\). Odtud plyne \XF\ : |Xp| = |X0Ho| : |XP|. Trojúhelníky AH0P a vAX0X jsou stejnolehlé, takže |X0H0| : |XP| = \AH0\ : \AP\ = konst. < 1. □ Upř Upřesnění (s. 4) Geometrie Elipsa 11 Dosazením souřadnic vedlejšího vrcholu do vrcholové rovnice (D) snadno ověříme, že p = ^. Obdobným způsobem z téže rovnice plyne, že ^ je délka poloviny tětivy, která prochází ohniskem a je kolmá k hlavní ose. Rozepsáním vlastnosti (C) pro dva specifické body zjišťujeme, že vzdálenost řídící přímky d od vedlejší osy je ^. Vzdálenost řídící přímky d od ohniska F je ^. Z uvedeného zejména plyne, že konstanta v (C) je skutečně rovna |. (C.3) Poznámky: ohniskové vlastnosti Geometrie Elipsa 12 Z ohniskových vlastností elipsy lze vyvodit několik dalších poznatků, které jsou užitečné např. při (eukleidovských) konstrukcích tečen... Poznámky: ohniskové vlastnosti Geometrie Elipsa 13 ■ nebo při kreslení elipsy jako takové. Poznámky: osová afinita Geometrie Elipsa 14 Pomoci vhodné osové afinity umíme některé konstrukce redukovat na jednodušší konstrukce s kružnicí, viz např. tečny nebo průsečíky s přímkou... 251 Poznámky: sdružené a hlavní průměry Geometrie Elipsa 15 U obecné osové afinity jsme uměli najít hlavní průměry, tj. navzájem kolmé sdružené průměry... Geometrie Ostatní kuželosečky 16 Většinu výše uvedených poznatků o elipse lze snadno modifikovat pro ostatní regulární kuželosečky, tj. pro hyperbolu a parabolu. Uvádíme několik ekvivalentních definicí v duchu s. 3, jejichž zdůvodnění a upřesnění necháváme čtenáři jako doporučené cvičení...4 (c.3) 4K čemu asi slouží tento obrázek? « ■ i li i ■ i i'ií1" Geometrie Hyperbola: ekvivalentní definice ostatní kuželosečky 17 Hyperbola je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě dvou; (B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní rozdíl vzdáleností od dvou bodů E a F: |EX|-|XF| = konst.; (C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž \XF\ : |Xd| = konst. > 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) D X2 V2 y2 = 2px + -x2, resp. — - — = 1; a a2 b2 (E) projektivní obraz kružnice se dvěma nevlastními body. i i i ■ i ■ r i r1 ■ Geometrie Parabola: ekvivalentní definice ostatní kuželosečky is Parabola je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě jedné; (B) - (C) množina bodů v rovině, jež mají stejnou vzdálenost od bodu F a přímky d, tzn. \XF\ : |Xcř| = 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) y2 = 2px; (E) projektivní obraz kružnice s jedním nevlastním bodem. Singulární kuželosečk Singulární kuželosečky jsou sjednocením nebo průnikem dvou přímek. Podle vzájemné polohy řezné roviny a kuželové/válcové plochy mohou nastat tyto případy: ► dvě různé přímky (různoběžné/rovnoběžné), ► bod,5 ► dvě splývající přímky. Každá z těchto kuželoseček je určena kvadratickou rovnicí (vhledem k vhodné souřadné soustavě): ► y2 = k2x2, resp. y2 = k2, - y2 = -k2x2, ► y2 = 0. kde k je nějaká nenulová konstanta. 5Tento případ budeme interpretovat jako průsečík dvou imaginárních (komplexně sdružených) přímek. Cvičení (C.1) Dokažte, že algebraická vyjádření v (D) jsou skutečně dvojím vyjádřením téže kuželosečky, napište odpovídající transformaci souřadnic a vše ilustrujte výmluvným obrázkem. (C.2) Odvoďte některé z vyjádření v (D) bez Apollóniovy věty, tzn. přímo z (B), (C) nebo (E). (C.3) Dovysvětlete některá upřesnění na s. 11, některé z poznámek na s. 12-15 a některé z ekvivalencí na s. 17-18. (C.4) Dokažte, že numerická výstřednost kuželosečky je rovna kde a = odchylka podstavy kužele od roviny řezu a j3 = odchylka podstavy kužele od jeho tvořících přímek. \XF\ : |Xd| = sin a : s\nß, Geometrie Mezihra 21 Kanonické tvary Příklady Závěry a výhledy Cvičení 22 25 31 35 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Mezishrnutí: kanonické tvary Kanonické tvary 22 Následující rovnicová vyjádření jsou tzv. kanonické tvary. Jedná se o vyjádření všech možných kuželoseček vhledem k vhodně zvoleným (kartézským) souřadným soustavám (viz s. 3, 17-19): x2 y2 a2 b2 x2 y2 — H—- - 1 =0 elipsa (príp. kružnice) az bz x2 y2 — - — - 1 =0 hyperbola y2 - 2px = 0 parabola y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2 - k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + k2x2 = 0 bod y2 + /c2 = o 0 y2 = 0 jedna (dvojnásobná) přímka Mezishrnutí: obecná rovnice Rovnicové vyjádření kuželosečky závisí na zvolené souřadné soustavě. Každá z výše uvedených rovnic se vzhledem k obecné afinní transformaci x' = kx + ly + o, y' = mx + ny + g (2) změní na rovnici tvaru Äx/2 + 2BxY + Cy'2 + 2Dxr + 2Ey' + F = 0, (3) kde koeficienty A, B,..., F závisí na k, /,..., q (a na koeficientech a,b,p,...). Naopak, pokud rovnice tvaru (3) má řešení, potom určuje nějakou kuželosečku. Druh této kuželosečky lze nejlépe rozpoznat tak, že rovnici nějak upravíme do kanonického tvaru. Přitom každá z provedených úprav představuje nějakou (afinní) transformaci souřadné soustavy (viz závěry na s. 31-32). Mezihra Kanonické tvary 23 Mezishrnutí: obecná úmluva Mezihra Kanonické tvary 24 Při manipulacích s danou kuželosečkou často končíme s obecnou souřadnou soustavou. Vždy však předpokládáme, že: Úmluva Rovnice kuželosečky v zadání každé úlohy je vyjádřena vzhledem ke kartézské souřadné soustavě. Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí 4y2 - x2 - 4x - 8 = 0. Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto: 4y2-x2 - 4x - 8 = 4y2-(x + 2)2 + 4 - 8. Nahrazením dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky 4y'2 - x'2 - 4 = 0. Odtud již snadno rozpoznáváme hyperbolu. Souřadnice středu jsou zřejmé z (4)... Použitá transformace je pouhým posunutím, tedy shodností. Proto po dodatečné úpravě Mezipříklad 1 Příklady 25 Mezihra x' = x + 2, ý — y (4) umíme určit velikosti hlavní a vedlejší osy... Mezipříklad 1: obrázek Mezihra Příklady 26 Mezipříklad 2 Rozpoznejme Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto: y2 + xy - 2y - 2x - 1 = íy + -x - 1 ] - -x2 + x - 1 - 2x - 1. Nahrazením x' = x, / = y+-x-1 (5) dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky y'2 - -x'2 - x' - 2 = 0. 4 To je právě zadání příkladu 1, odkud víme, že se jedná o hyperbolu. Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 1 a transformace (5)... Mezipříklad 2: obrázek Mezihra Příklady 28 Mezipříklad 3 Mezihra Příklady 29 Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí xy - 2x - 1 = 0. Na levé straně postrádáme kvadratický člen, ke kterému si však lze dopomoci např. dosazením x = x' + y', y = y\ neboli x' = x - y, y' = y. (6) Takto dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky {x' + /)/ - 2(x' + /) - 1 = y'2 + x'y' - 2x' - 2/ - 1 = 0. To je právě zadání příkladu 2, odkud víme, že se jedná o hyperbolu. Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 2 a transformace (6)... Mezipříklad 3: obrázek Mezihra Příklady 30 Mezivýsledky: kanonický tvar Mezihra Závěry a výhledy 31 Zobecněním úvah z předchozích příkladů zjišťujeme, že... .. .jakoukoli rovnici typu Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (7) /ze vždy upravit do kanonického tvaru, a to opakováním úprav dvojího druhu: (1) doplnění do čtverce a následná substituce (předp. A # Oj Ax2 + 2Bxy + 2Dx H----= / B D\2 B2 p 2BD D2 A2 Y A2 A /2 B2 /2 2BD , D2 vAx--y H--/ H-- (2) substituce x = x' + y',y = y' (pokud A = C = 0) Bxy H----= B (x' + y')y' H----= By/2 + Bx'y' Mezivýsledky: transformace a dál? Mezihra Závěry a výhledy 32 Postupným skládáním použitých substitucí lze vždy určit výslednou transformaci souřadnic. V případě, že kuželosečka je středová, lze odtud vyjádřit střed kuželosečky. Pokud je transformace shodností, potom lze z kanonického tvaru zjistit také směry os a číselné charakteristiky kuželosečky. Příklady 1-3 Na rozdíl od transformace (4) není transformace (5), resp. (6) shodností. Proto určení hlavní a vedlejší osy hyperboly v příkladu 2, resp. 3 není tak bezprostřední jako v příkladu 1... Výhled: hlavní věta Mezihra Závěry a výhledy 33 Předchozí typ uvažování je poměrně pracný, což nás motivuje k dalšímu zevrubnému studiu. Od nynějška směřujeme k důkazu hlavní věty celého kurzu: Věta S trochou algebry je všechno velmi snadné. Výhled: nástroje Obecnou rovnici (7), Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Fy + F = 0, budeme zapisovat pomocí matic takto A B D 'x' B C E • y [D E F) (V Levá strana je vyčíslením kvadratické formy F : r3 -» r na vektoru x = (x,y,1). Vektor x = (x, y, 1) představuje homogenní souřadnice bodu v rovině s (afinními) souřadnicemi X = [x,y]; zde uvažujeme projektivní rozšíření r2 = p(r3) afinní, příp. eukleidovské roviny IR2. Matice v (8) je maticí polárni formy f: r3 x r3 -» r příslušné F vzhledem k odpovídající souřadné soustavě. Mezihra Závěry a výhledy 34 Cvičení Mezihra Cvičení 35 (C.5) Podle předchozího návodu rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2+2xy+y2+2x+y = 0 nebo 8x2+4xy+5y2 + 16x+4y = 28. Vyjádřete celkovou transformaci souřadnic, pokuste se identifikovat střed a číselné charakteristiky kuželosečky a doplňte obrázek. Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování Projektivní rozšíření Dvojpoměr a základní věta Cvičení 36 37 42 44 Algebra Užitek Poznámky 45 63 103 Projektivní rozšíření Opakování Projektivní rozšíření 37 I Afinní přímka má jeden nevlastní bod = bod „v nekonečnu". . 'a. -X- Nevlastní body obecného afinního prostoru Jí, ozn. oo^, jsou reprezentovány skupinami navzájem rovnoběžných přímek v Jí, neboli směry6 v zaměření Jí. Projektivní rozšíření afinního prostoru Jí je množina Jí := Jí u oo^. 6směr = vektor „až na násobek" = jednorozměrný vektorový podprostor Projektivní rozšíření Přiřazení bod A i-» přímka a = A + S i-» směr = <Š^> určují bijektivní zobrazení mezi množinami: [body v projektivním rozšíření J{ = Ji u oo^ Opakování Projektivní rozšíření 38 přímky v afinním prostoru Jl + S procházející bodem S směry ve vektorovém prostoru Ji + Š . v*. b ^7 ftfl Přitom nevlastní body v jsou charakterizovány takto: Decoy, oř || Ji del Proiektivizace Opakování Projektivní rozšíření 39 Obecný projektivní prostor je definován takto: Definice Projektivní prostor s vektorovým zástupcem V (nebo projektivizace vektorového prostoru V) je množina všech směrů ve V; značíme P(V). Poznámky Projektivní rozšíření JI afinního prostoru Ji je projektivní prostor s vektorovým zástupcem V = Ji+Š, neboli <Ř= P{Ji + S). Uvědomme si, že dimP(V) = dim A _£■ ' i ' v I ■ Upakovani Afinní vs. homogenní souřadnice projektivní rozšíření 40 Uvažme afinní prostor Ji s afinní souřadnou soustavou (O; ei, e2,...). Afinní souřadnice bodu X e Ji jsou souřadnice vektoru OX e vzhledem k bázi (ei, e2,...). Píšeme X = [xl5x2,...], což znamená X = O + x^ + x2e2 H----. Pro projektivní rozšíření Ji = p(V), kde V d jí, uvažme rozšířenou bázi (ei,e2,...,ep_), kdee0eV\Ji. Definice Homogenní souřadnice bodu X e JI zastoupeného vektorem x e V jsou souřadnice tohoto vektoru vzhledem k bázi (ei, e2,..., e0). Píšeme X = (xi : x2 : • • • : x0), tzn. x = x-[e-\ + x2e2 H-----h x0e0. Pozor Homogenní souřadnice nejsou určeny jednoznačně; každé dva zastupující vektory jsou však kolineární, proto X = (xi : x2 : • • • : x0) = (ax-[ : ax2 : • • • : ax0) pro lib. a # 0. Vlevo: vlastní bod A = O + + e2 = S + e0 + 3e-\ + e2 má afinní souřadnice [3,1] a homogenní souřadnice (3:1 : 1) = (-6 : -2 : ^2) = • • • . Vpravo: nevlastní bod zastoupený přímkou se směrovým vektorem a = -2ei + e2 nelze vyjádřit v afinních souřadnicích, jeho homogenní souřadnice jsou (-2:1 : 0) = (-6 : 3 : 0) = • • • . i-^ ■ v upaKovani UVOJpOíTIGr Dvojpoměr a základní věta 42 Definice Pro čtveřici (A, B, C, D) vlastních, kolineárních a navzájem různých bodů je dvojpoměr této čtveřice roven podílu dělicích poměrů: {ABC) ÄC ÄD Poznámky Dvojpoměr je základním (definujícím) invariantem projektivních zobrazení. Je-li bod D nevlastní, potom (AB D^) = lim (AB D) = 1, a proto platí {AB CDo.) = (AB C). Pokud je náhodou (AB CD) = -1, říkáme, že čtveřice bodů je v tzv. harmonickém poměru.7 7Jedy např. čtveřice A, B, střed úsečky AB a nevlastní bod přímky AB (v tomto pořadí) je vždy v harmonickém poměru. r ■ i i ' v ■ "li" ' i" Opakování Základní veta projektivní geometrie D^měrazákladna 43 ■ Bijektivní lineární zobrazení i|/ : V -» V indukuje zobrazení mezi projektivními prostory \p : V (V) -» f (V), a to tak, že i/,«x» = <\|/(x)>, pro lib. nenulový x e V. (10) Toto zobrazení je zřejmě bijektivní a projektivní. Naopak: Věta Každé bijektivní projektivní zobrazení \p : V( V) -» P(V) je určeno nějakým bijektivním lineárním zobrazením : V -» V ya/co v (10). Poznámka Projektivní zobrazení ^ : JI -» je afinní <=> ^ zobrazuje oo^ c JI do oo^, c j!* V : V -» V zobrazuje3cl/do5'c V. nevlastní body na nevlastní (tzn. vlastní na vlastní) Cvičení Opakování Cvičení 44 (C.6) Zopakujte si všechny pojmy, které používáme a budeme používat bez vysvětlení, jako např. vektorové prostory a (mu\\\-) lineárni zobrazení, charakteristická čísla a vektory, afinní prostory a zobrazení, ... Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Kvadratické formy 46 Polarita 49 Hlavní vektory 54 Cvičení 62 Užitek 63 Poznámky 103 Bilineární a kvadratické formy Algebra Kvadratické formy 46 Definice Zobrazení F : V -» r vektorového prostoru V do tělesa r se zove kvadratickou formou, pokud platí F(x) = f(x,x), pro lib. x e V, kde f: V x V -» r je nějaká symetrická bi-lineární forma. Forma f je tzv. polární forma kvadratické formy F. Poznámka Forma f je jednoznačně určuje F a naopak: f(x,y) = ±(F(x + y)-F(x)-F(y)). Bilineární a kvadratické formy Algebra Kvadratické formy 47 Z bilinearity f plyne souř. vyjádření (vzhledem k bázi (e1,e2,...)) f(x, y) = xiyi řii + x^fe + x2yi f2i + x2y2f22 H----= írl1 fl2 7r Xi x2 . . •)• ř22 • v • ' v y2e2 + a f li -- Ze symetričnosti ř plyne fy = fy pro všechna /' a j. (11) Rovnost (11) schematicky zapisujeme f(x,y) = xT F y, kde F = (fy) značí matici formy f vzhledem k bázi (ei, e2,...). (12) Regulární/singulární formy Definice Vektor u e V je singulárním vektorem bilineární formy f: V x V -» r, pokud lineární forma ř(u, -) : V -»IR je nulová.9 Bilineární forma ř je regulární, pokud její jediný singulární vektor je nulový vektor; v opačném případě je forma f singulární. Singulární vektory a regularita/sigularita kvadratické formy F : V -» r jsou odvozeny od její polární formy f. Poznámky Všechny singulární vektory tvoří vektorový podprostor ve V. Forma je regulární <=> odpovídající matice (vzhledem k lib. bázi) je regulární. 9tzn. f(u,x) = 0 pro lib. x e V Polární sdruženost Algebra Polarita 49 Definice Vektory u,v e V jsou polárně sdružené vzhledem k f, resp. F, pokud f(u,v) = 0. Báze (e1,e2,...) prostoru V se jmenuje polární bází vzhledem k f, resp. F, pokud f {ej,ej) = 0 pro všechna /' # j. Poznámky Matice f, resp. F vzhledem k polární bázi je diagonálni. Všechny vektory, které jsou polárně sdruženy s daným vektorem u e V, tvoří vektorový podprostor U Q V: ► pokud u je singulární, potom U = V, ► pokud u není singulární, potom U je nadrovina ve V; rovnicové vyjádření této nad roviny je (J={xe V: f(u,x) = 0}. (13) O polární bázi Algebra Polarita 50 Věta Každá kvadratická forma má polární bázi. Důkaz. Je-li F = 0, potom každá báze je polární. Je-li F ŕ 0, potom uvažujeme induktivně: ► Pokud dim V = 1, potom lib. vektor tvoří polární bázi. ► Předpokládejme, že tvrzení platí pro lib. prostor dimenze n, a uvažme dim V = n+ 1: Protože F ± 0, existuje vektor u e V takový, že F(u) # 0. Zejména u není singulární, a proto množina (13) je nadrovinou, tzn. má dimenzi n. Podle předpokladu má zúžení F\u polární bázi. Když onu bázi U doplníme o vektor u, dostaneme bázi V (u e V\U), která je polární (každý vektor z U je polárně sdružen s u). □ r i Algebra Poznámky pointa 51 I Důkaz předchozí věty představuje návod k nalezení polární báze. (c.8) V každém kroku máme značnou volnost ve výběru u tak, aby F(u) # 0; polárních bází je proto nepřeberné množství. Pokud je t: V x V -»IR skalární součin, potom F je právě norma vektoru a pro každé u # o platí F(u) > 0. Podmínka F(u) # 0 z důkazu věty o polární bázi je splněna automaticky a podprostor v (13) je právě kolmý doplněk U = ux. Polární báze skalárního součinu proto není nic jiného než ortogonální báze. O signatuře a setrvačnosti Algebra Polarita 52 Matice kvadratické formy F v polární bázi (ei, e2,...) je diagonální, přičemž na diagonále jsou čísla r„ = f(e/,e,-) = F(e,). Ozn. p := počet kladných a q := počet záporných čísel na diagonále. Uspořádaná dvojice (p, g) se nazývá signaturou kvadratické formy F. Je zřejmé, že p + q < dim V a navíc tento součet nezávisí na zvolené polární bázi (neboť p + q = hodnost matice formy F). Ukážeme, že samotná čísla p a q na polární bázi také nezávisí: Věta Signatura kvadratické formy nezávisí na zvolené polární bázi. Důkaz vety o setrvačnosti Algebra Polarita 53 ■ Předpokládejme dvě různé polární báze se signaturami (p, q) a (p', q')\ (ei,...,ep,ep+i,...,en) a (e^,... , ep,,ep,+1,..., e^,). Báze máme uspořádány tak, že pro každý vektor u e P := je F(u) > 0 a pro každý vektor veQ' := (eP'+i > • • • > en> Je F(v) < 0. Proto PnQ' = {o}a podle věty o součtu a průniku vektorových podprostorů platí p + (n - p') = dim P + dim Qr = dim(P + Qr) + dim(P n Qr) < n + 0. Odtud plyne, ze p obdobně odvodíme p> p'. Celkem tedy platí p = p', a proto také q = q' (neboť p + q = p' + g')- □ O kolmé polární bázi Hlavní vektory 54 Algebra V eukleidovském vektorovém prostoru V, tj. ve vekt. prostoru se skalárním součinem . : V x V -» r, uvažme kvadratickou formu F : V -» r (s polární formou f: V x V -»IR a maticí F). Ptáme se, zda existuje polární báze vzhledem k F, která by byla současně ortogonální, neboli kolmá? Odpověď zní ANO, viz větu na s. 60. Nejdřív si však musíme uvědomit několik věcí... Vektory tvořící ortogonální polární bázi jsou tzv. hlavní vektory: Definice Vektor se nazývá hlavní, pokud je polárně sdružen s každým vektorem, který je k němu kolmý. Poznámka Jinak řečeno, vektor u e V je hlavní, pokud pro lib. x e V platí Hlavní vektory Hlavní vektory 55 Algebra u .x = 0 => f(u,x) = 0. (14) i-\ i ■ i r i r Algebra Symetrická zobrazení mavmvektory 56 Bilineární forma f: V x V -» R jednoznačně určuje lineárni zobrazení 0 : V -» V, a to následujícím způsobem: f(x, y) = x . 0(y) pro lib. x, y e V. (15) Jak f, tak . jsou symetrické formy, proto pro lib. x, y e V platí: x . jeho matice F vzhledem k lib. ortonormální bázi je symetrická. 10matice skalárního součinu vzhledem k ortonormální bázi je jednotková O hlavních a charakteristických vektorech Hlavní vektory 57 Lemma Vektor u je hlavním vektorem formy f <=> u je charakteristickým vektorem zobrazení Důkaz. Obraz lib. vektoru u vzhledem k 0 můžeme vyjádřit jako (u) = cu + x pro nějaké ceRaxeu1. Pokud je u hlavním vektorem formy f, potom platí: 0 = ř(u, x) = 0(u). x = (cu + x).x = cu.x + x.x = x.x. Odtud plyne, že x = o, tedy (u) = cu; tzn. u je char. vektorem 0. Naopak, pokud je u char. vektorem zobrazení 0, potom pro lib. x platí: f (u, x) = 0(u). x = Au . x = A(u . x) pro nějaké AeR. Odtud plyne (14), tzn. vektor u je hlavní. □ O symetrických zobrazeních Algebra Hlavní vektory 58 Symetrická zobrazení mají několik zajímavých vlastností: Lemma Pro každé symetrické lineární zobrazení : V -» V platí: (a) kolmý doplněk invariantního podprostoru je invariantní pod prostor, (b) všechna charakteristická čísla jsou reálná, (c) char. vektory příslušné různým char. číslům jsou navzájem kolmé, (d) char. vektory příslušné char. číslu s násobnosti k tvoří vektorový podprostor dimenze k. (C.9) Důkaz věty o symetrických zobrazeních (a) Předp. U c V je invariantní, tj. (u) e U pro lib. ueU. Pro lib. veU1 platí 0 = ct>(u). v = u . (v). Tzn. (v) e U±, tedy L/-1 je taky invariantní. (b) Předp. (u) = Au pro nějaké A 0, proto A = A, neboli A(u) = Au a (v) = kv. Potom platí /iu . v = ř(u,v) = f (v, u) = kv . u, tedy (A-k)u.v- Z předpokladu A + k plyne u . v = 0. (d) Plyne z (a) a (b). 0. 0. n zde uvažujeme komplexní rozšíření V, f, O kolmé polární bázi! Algebra Hlavní vektory 60 Nyní konečně odpovídáme na otázku ze s. 54: Věta Každá kvadratická forma F v eukleidovském vektorovém prostoru má ortogonální polární bázi, a ta je tvořena char. vektory matice F. Pokud je tato báze normovaná, potom matice formy F vzhledem k oné bázi je diagonální s char. čísly matice F na diagonále. Důkaz. První část je bezprostředním důsledkem tvrzení na s. 57 a 58. V druhé části si stačí připomenout, že pokud je (u) = Au, potom platí F(u) = f(u, u) = 0(u). u = Au . u. □ Poznámky Algebra Hlavní vektory 61 Pro obecnou kvadratickou formu je kolmá polární báze určena jednoznačně až na násobky hlavních vektorů. Věta o kolmé polární bázi bude představovat nejúčinnější nástroj k hledání os kuželoseček (a kvadrik) včetně jejich velikostí. (C.8) Algebra Cvičení 62 (C.7) Udejte příklad regulární/singulární kvadratické formy a určete všechny její singulární vektory. (C.8) Pro formy z předchozího cvičení určete jejich polární báze: (a) podle návodu na s. 50, (b) podle návodu na s. 60. (C.9) Dokažte větu o kolmé polární bázi pro dim V = 2 přímo rozepsáním |F - AE\ = 0 a FT = F... [Sek, n, s. 196-7] Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Příklad 64 Projektivní vlastnosti 73 Afinní vlastnosti 87 Metrické vlastnosti 94 Cvičení 102 Poznámky 103 Příklad: opakování Užitek Příklad 64 V příkladu 2 na s. 27 jsme uvažovali kuželosečku určenou rovnicí y2 + xy - 2x - 2y - 1 =0, (17) kterou jsme uměli upravit do kanonického tvaru ve dvou krocích: y'2 - \x'2 - x' - 2 = 0, y"2 - \x"2 -1=0. Přitom výsledná transformace souřadnic byla x" = x + 2, y" = \x + y - 1, (18) neboli x = x" -2, y = -|x,r + y" + 2. (19) Příklad: upřesnění Užitek Příklad 65 Z (18) umíme rozpoznat, že se jedná o hyperbolu. Z (19) umíme určit souřadnice nového počátku (tj. středu hyperboly), O' [-2,2], (20) a nových bázových vektorů (tj. směrů dvou význačných průměrů), e'/ = (1,-l), e2' = (0,1). (21) Odtud a z koeficientů v (18) lze vydedukovat, že směry asymptot jsou ni .// , i _// ie2' = (1,0), n2 = er-le2/ = (1'-1)- (22) Odtud lze dále určit směry os, které půlí úhly určené asymptotami, hi = V2ri! +n2 = (V2+ 1,-1), h2 = - n2 = (V2 - 1,1). (23) Užitek Příklad 66 Vzhledem ke konvencím ze s. 34 (a dál) zapisujeme rovnici (17), „2 , pomocí matic takto xT-F-x = (x y i) ' - 2y - 1 = 0, (0 1 2 -ť V 1 2 1 -1 • y 1-1 -1 -v (V 0. (24) Vektor x představuje homogenní souřadnice X = (x : y : 1_) bodu v afinní rovině Ji s afinními souřadnicemi X = [x,y]; F je matice kvadratické formy F na trojrozměrném vektorovém prostoru V d JI. Obecný bod v projektivní rovině Jl = P(V) má homogenní souřadnice X = (x : y : x0); dosazením do (24) máme vyjádření kvadratické formy F, tj. homogenní verzi rovnice (17): y2 + xy - 2xx0 - 2yx0 - x2 = 0. (25) Príklad: regularita a asymptoty Užitek Příklad 67 (i) Hyperbola je regulární kuželosečka; to souhlasí s poznatkem, že odpovídající kvadratická forma s maticí (24) je regulární:12 (s. 48) detF (ii) Asymptoty hyperboly ukazují právě na její nevlastní body; ty lze určit jako průnik kuželosečky (25) s nevlastní přímkou x0 = O:13 y2 + xy = y(y + x) = 0. Tato rovnice má dvě řešení, ty = (1 : 0 : 0), N2 = (1 : -1 : 0), což jsou právě homogenní souřadnice směrů z (22). Asymptoty jsou určeny těmito směry a středem hyperboly. 12obecnosti na s. 76 13obecnosti na s. 90 Příklad: střed Užitek Příklad 68 (iii) Střed hyperboly (20) má homogenní souřadnice O" = (-2 : 2 : 1_); odtud je patrné, že zastupující vektor o" je polárně sdružen s vektory zastupujícími všechny nevlastní body: (s. 49) xT F o' (* * o) 0 1 2 1 2 1 -1 -1 -1 '-2 • 2 h J (* * o) '0^ o v-1/ 0. Tedy střed O" = (x : y : x0) je řešením soustavy rovnic 14 \y - x0 = 0, \x + y - x0 = 0. 14obecnosti na s. 88 Příklad: sdružené směry (iv) Rovnice (18) je v diagonálním tvaru; to znamená, že příslušné vektory (21) tvoří polární bázi podprostoru c V: e;'T-F.^' = (l -i o) (0 1 2 '0' 1 2 1 * • 1 V* * loj (1 -i 0) /1\ 2 1 V*/ Přitom koeficienty u x", resp. y" v rovnici (18) jsou rovny e'/T-F-e'/ -t, resp. epT-F-e Užitek Příklad 0. 69 (s. 50) Tedy pro e2' jako výše jsou všechny polárně sdružené vektory obsažené v ~!k c V řešením soustavy rovnic15 \x + y = 0, x0 = 0. 5obecnosti na s. 77 a dál Příklad: hlavní směry, osy Užitek Příklad 70 (v) Směry os jsou tzv. hlavní směry; to znamená, že příslušné vektory (23) tvoří ortogonální polární bázi podprostoru Ji a V: h/ F h2 = (V2 + 1 -1 O) h1T-h2 = (V2 + 1 -1 O) 0 \ * 1 1 * * * * V2-1^ 1 0 'V2-ť • 1 { o J 0. o, (s. 54) Vektory h-\ a h2 jsou charakteristickými vektory matice formy F zúžené (S. 57) nají c V, viz dále. Příklad: hlavní směry, osy Charakteristický polynom, -A 1 2 1 -A -A^-A)- 1 = A2-A-1=0, má kořeny M = 1±fi a A2 = ^fi. Odpovídající charakteristické vektory jsou řešením soustavy (1 -^.)x+ly = 0, |x + (1 -/l/)y = 0, pro /' = 1 a 2; po dosazení vskutku dostáváme = (V2 + 1,-1) a h2 = (V2 - 1,1). Užitek Příklad 71 ■ matici í^1 ® J, jejíž determinant Navíc v normované bázi má forma F je -\\ odtud lze vyvodit, že délky poloos hyperboly jsou16 2,197. (s. 60) a = -j=- = 0,910 a b = -rJ= 16 podrobnosti a obecnosti na s. 99 Kuželosečky Užitek Projektivní vlastnosti 73 Vzhledem k úvodním definicím (s. 2), jejich ekvivalentním vyjádřením (s. 3, 17-19) a následným úpravám a úvahám (s. 23 a dál) můžeme obecnou kuželosečku algebraicky vymezit následovně.17 Definice Kuželosečka v projektivní rovině % c P( V) je množina všech bodů, jejichž zastupující vektory ve V jsou nulovými vektory nějaké (nenulové) kvadratické formy F : V -» R, tzn. odpovídající kvadratická forma je regulární. Všechny singulární body singulární kuželosečky tvoří projektivní podprostor vf (V), tj. přímku nebo bod. Polární sdruženost Užitek Projektivní vlastnosti 77 Definice Body A, B e P( V) jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce 9C, pokud jsou jejich zastupující vektory a, b e V polárně sdružené vzhledem k odpovídající kvadratické formě F : V -» R. (s. 49) Poznámky Všechny body, které jsou polárně sdruženy s daným bodem B e V(V) vzhledem ke bod B leží na poláře bodu A. ► Polára lib. (nesingulárního) bodu obsahuje všechny singulární body kuželosečky. 18tedy ze symetričnosti formy f ■ O poláře v regulárním bodě Užitek Projektivní vlastnosti 79 Jak vypadá polára regulárního bodu obecné kuželosečky 7C? Předp., že B e % je regulární bod p je jeho polára. Protože, B e %, platí F(b) = f(b, b) = 0, a proto B e p; bod B je tedy společným bodem "Kap. Buď je B jediným společným bodem "Kap, nebo je celá přímka p obsažena v T e poláře bodu P, ► R e % => polára bodu R = tečna ke % v tomto bodě. Názorná interpretace Ozn. Q, R (resp. U, V) body dotyku tečen z P (resp. T) ke kuželosečce 7C. Potom přímka QR je polámu bodu P; přímka L/V je polámu bodu 7; neoznačený průsečík těchto dvou přímek je pólem přímky PT; apod. T (-5,6) (C. 12) Příklad Určete tečnu kuželosečky xy + y2 - 2xx0 - 2yx0 - x2 0. procházející bodem B = (2 : -1 : 0). Polára p bodu B je v homogenních souřadnicích určena rovnicí (27): 2 1 '0 1 2 -1 -1 -1 -\x - x0 = 0, xT-F-b = (x y x0) neboli x = -2x0 (v afinních souřadnicích x Průsečíkem této přímky s kuželosečkou jsou body dotyku tečen; ty obdržíme řešením rovnice ,2> • -1 loj = - -2). -2x0y + y2 + 4x2 - 2yx0 - x2 = y2 - 4x0y + 3x2 = Ta pro x0 = 0 nemá vyhovující řešení; pro x0 # 0 dostáváme y 4 + 2 0. buď 3, nebo 1 Príklad: pokračování Užitek Projektivní vlastnosti 83 Body dotyku tedy jsou h = (-2 : 3:1) a T2 (-2 Tečna v bodě je polámu tohoto bodu: xT-F-ti = (x y x0) • (0 \ -X\ 1 1 -1 • 3 1-1 -1 -1J h J \x + y - 2x0 = 0. Podobně určíme tečnu v bodě T2... Tečny kuželosečky procházející (nevlastním) bodem B jsou v afinních souřadnicích určeny rovnicemi19 y=-7;X + 2 a y = -\x. 9srovnejte závěry s obrázkem na s. 65 Projektivní klasifikace Projektivní vlastnosti 84 Druh kuželosečky podle seznamu na s. 22 není projektivně invariantní: Při projektivních zobrazeních mohou být libovolně zaměňovány vlastní a nevlastní body, proto např. elipsa, hyperbola a parabola jsou projektivně nerozlišitelné, neboli ekvivalentní.20 Věta Každá kuželosečka v projektivní rovině je vzhledem k vhodně zvolené bázi vyjádřena některou z následujících rovnic: 2 2 2 X + y + XQ = 0 0 (imaginární regulární kuželosečka) x2 + y2 - Xq = 0 regulární kuželosečka y2 - x2 = 0 dvě přímky 2 2 y + X =0 bod (průsečík dvou imaginárních přímek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Zde jsou kuželosečky rozděleny podle míry degenerovanosti: regulární (hodnost 3), singulární hodnosti 2 a singulární hodnosti 1. 20viz též položky (E) v definicích na s. 3, 17 a 18 i "i v Užitek ZnOVU O pOlarite Projektivní vlastnosti 85 I Přestože druh kuželosečky se při projektivních zobrazeních nezachovává, polární sdruženost ano: Věta Ozn. A', B' a%' obrazy bodů A, B a kuželosečky % vzhledem k nějakému (bijektivnímu) projektivnímu zobrazení. Potom body A a B jsou polárně sdružené vzhledem ke % <=> body A' a B' jsou polárně sdružené vzhledem ke %'. Důkaz. Plyne ze základní věty projektivní geometrie (a předchozích definicí). □ (s. 43) Naposledy o polaritě Užitek Projektivní vlastnosti 86 Odtud a z předchozí interpretace polární sdruženosti vyplývá: (s. 81) Věta Ozn. p poláru obecného bodu P vzhledem k regulární kuželosečce □ O středu Užitek Afinní vlastnosti 87 V důkazu předchozí věty jsme operovali se středem kružnice a uvědomili jsme si, že to není projektivní invariant. Střed kuželosečky (= její střed souměrnosti) je však zachován při afinních zobrazeních a platí Věta Střed kuželosečky je pólem nevlastní přímky. Průměr kuželosečky je polámu nějakého nevlastního bodu. Poznámky Regulární kuželosečka má právě jeden střed, singulární kuželosečky mohou mít středů víc.21 Středové kuželosečky mají (aspoň jeden) vlastní střed, nestředové nemají (žádný) vlastní střed. 21 zejména každý singulární bod je středem O středu Užitek Afinní vlastnosti Uvažme kuželosečku % určenou rovnicí ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxx0 + 2eyx0 + rx2 = 0, tzn. matice odpovídající kvadratické formy je det F # 0. Důkaz. Střed S je vlastní <=> x0 # 0. V takovém případě má soustava (30) jednoznačné řešení <=> determinant matice soustavy je # 0. □ Poznámky Pokud det F > 0, ► dva různé nevlastní body <=> detF<0, ► jeden nevlastní bod (dvojnásobný) <=> detF = 0. Důkaz. Nemůže být současně x = 0 a y = 0; po dělení x, resp. y je (31) kvadratickou rovnicí vzhledem k \, resp. * jejíž diskriminant je x y D = 4b2 - 4ac = -4 det F. □ Poznámky Užitek Afinní vlastnosti 91 Pokud je F = k • F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí det Fr = k3 • det F a det T = k2 • det F. Zejména det P a det F mají stejná znaménka, takže předchozí diskuze vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Tečna v nevlastním bodě kuželosečky je její asymptotou. Díky všem těmto vymezením se určování středů, průměrů a asymptot neliší od určování pólů, polár a tečen...22 konkrétní ukázky jsou v úvodním příkladu na s. 67-69, viz též s. 82 Afinní klasifikace Afinní vlastnosti 92 Afinní klasifikace kuželoseček se neliší od seznamu na s. 22, akorát konstanty a, b, p ak nemají výše uvedený význam. Věta Každá kuželosečka v afinní rovině je vzhledem k vhodně zvolené afinní souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: x2 + y2 -f 1 = 0 0 (imaginární elipsa) x2 + y2 -1 = 0 elipsa 2 2 x - y -1 = 0 hyperbola y2- 2x = 0 parabola y2- -x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2 - 1 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + -x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 + 1 = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Afinní klasifikace Užitek Afinní vlastnosti 93 Vzhledem ke značení a pozorování na s. 88-90 můžeme předchozí klasifikaci zpřehlednit následovně: det F + 0 det F = 0 detF > 0 elipsa (re, im) bod detF < 0 hyperbola různoběžky detF = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámka Případy „re" a „im" značí existenci reálných bodů („im" znamená 0). Případ „=" značí jednu dvojnásobnou přímku; to je singulární kuželosečka hodnosti 1. V klasifikaci neuvažujeme singulární kuželosečky, jejichž tvořící přímka je nevlastní; takové kuželosečky nelze vyjádřit v afinních souřadnicích. Metrické vlastnosti Užitek Metrické vlastnosti 94 S metrickými záležitostmi jsme celý kurz zahajovali, takže se nemusíme opakovat. Zejména osy, hlavní průměry a jejich velikosti, excentricita, ohniska, řídící přímky apod. jsou všechno pouze metrické invarianty. Pro zajímavost doplňujeme: Věta Ohnisko je pólem řídící přímky, řídící přímka je polámu ohniska. Důkaz. Plyne z předchozího popisu, viz též upřesnění na s. 11. □ (C.13) Poznámky Užitek Metrické vlastnosti 95 Ohnisko a řídící přímka byly definovány pouze pro regulární kuželosečky, a to vztahem23 \XF\ : |Xd| = konst., kde F je ohnisko, d řídící přímka a X lib. bod na kuželosečce. Je zajímavé, že v tomto duchu lze charakterizovat také (některé) ostatní kuželosečky.. . [Ja-Se, věta 18.4] F£d Fed konst. < 1 elipsa (re) bod konst. > 1 hyperbola různoběžky konst. = 1 parabola rovnoběžky (=) viz položky (C) v definicích na s. 3, 17 a 18 Metrická klasifikace Metrické vlastnosti 96 Metrickou klasifikaci známe ze s. 22; pro pořádek ještě zopakujeme: Věta Každá kuželosečka v eukleidovské rovině je vzhledem k vhodně zvolené kartézské souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: Upř x2 y2 H a2 b2 = 0 0 (imaginární elipsa) x2 y2 a2 b2 = 0 elipsa, příp. kružnice (pro a = b) x2 y2 a2 b2 = 0 hyperbola y2 - 2px = 0 parabola y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2-k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + k2x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 + /c2 = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Upřesnění: charakteristická čísla Metrické vlastnosti 97 ■ Hlavní vektory kuželosečky jsou charakteristickými vektory matice F. (s. 57) Charakteristický polynom lze vyjádřit takto24 det(F-^E) = A2 -trF-^ + detF = 0, kde tr značí stopu matice, tj. součet čísel na diagonále. Kořeny, tzn. charakteristická čísla, označíme A-\ aA2; tedy detF = /i1-/i2 a \rF = A-\+Ä2. Zejména znaménko, příp. nulovost det F souvisí se znaménky, příp. nulovostí A-\ a A2, viz dále. viz (C.9) a příklad na s. 71 Upřesnění: klasifikace Vzhledem k dosavadním značením a pozorováním můžeme předchozí klasifikaci formulovat následovně: det F + 0 det F = 0 sgnÄ-\ = sgnA2 elipsa (re, im) bod sgnÄ-\ = -sgnÄ2 hyperbola různoběžky A-\ = 0 nebo A2 = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámky Speciálně, pokud platí A-\ = Ä2, potom je každý směr hlavní, tzn. každý průměr určuje osu souměrnosti (např. u kružnice). Pokud je A-\ =0 nebo A2 = 0, potom odpovídající směr ukazuje na nevlastní střed kuželosečky (např. u paraboly). Upř Upřesnění: středové Užitek Metrické vlastnosti 99 Jaký je vztah mezi charakteristickými čísly matice F a číselnými charakteristikami kuželosečky 7C? Středová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici Ai x2 + A2y2 + i = 0 pro nějaké i e IR. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se det F ani det F nezmění, tedy det F = A^ -A2-i a det F = M -h- Odtud vyjádříme l a předchozí rovnice má tvar A^x2 + A2y2 det F det F 0. Porovnáním s kanonickými tvary na s. 96 zjišťujeme, že Upresnení: nestředové Užitek Metrické vlastnosti 100 Regulární nestředová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici A2y2 + 2mx = 0, pro nějaké m e IR. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se detF (ani detF = 0) nezmění, tedy det F = -A2 • m2. Odtud můžeme vyjádřit m; porovnáním s kanonickým tvarem na s. 96 zjišťujeme, že detF 4 (33) Pro singulární nestředové kuželosečky je det F = det F = 0, tedy vztah mezi A2 a k z kanonického tvaru není zřejmý... Poznámky Užitek Metrické vlastnosti 101 Pokud je F = k • F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí det F' = k3 • det F, det T = k2 • det F, X\=k-M a A'2 = k-A2. Tedy předchozí úvahy a zejména závěry v (32) a (33) vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! (C.10) Podle návodů z této kapitoly rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2+2xy+y2+2x+y = 0 nebo 8x2+4xy+5y2 + 16x+4y = 28. Určete nevlastní body, střed, hlavní směry (osy) a číselné charakteristiky kuželosečky. Doplňte obrázek a porovnejte se závěry cvičení (C.5). (C.11) Pro kuželosečku z předchozího cvičení určete tečnu v nějakém jejím regulárním bodě. (C.12) Ukažte, že rovnice polár na obrázku na s. 81 jsou správně. (C13) Dokažte tvrzení na s. 94. Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Obecné kvadriky 104 Úloha Apollóniova a pod. 107 Cvičení 113 S"\ I 'I I ■ I Poznámky Obecne kvadriky obecné kvadriky 104 Díky velmi obecnému algebraickému základu tušíme, že pojem kuželosečky má vícerozměrné analogie: (s. 73) Definice n-rozměrná kvadrika v projektivním prostoru Q c P( V) dimenze n + 1 je množina všech bodů, jejichž zastupující vektory ve V jsou nulovými vektory nějaké (nenulové) kvadratické formy F : V -»IR, tzn. £ = {XeP(V) : F(x) = 0}. (34) Poznámky 1 -rozměrné kvadriky jsou právě kuželosečky. 2-rozměrné kvadriky jsou např. sféry, elipsoidy, hyperboloidy; kužele, válce; dvojice rovin apod. Průnikem roviny s kteroukoli 2-rozměrnou kvadrikou je (zpravidla) nějaká kuželosečka. Obecně: průnikem n-rozměrné kvadriky Q s n-rozměrným projektivním podprostorem je (n - 1)-rozměrná kvadrika.25 25pokud Q onen podprostor neobsahuje Poznámky Obecné kvadriky 105 Většina poznatků, které jsme formulovali pro kuželosečky (n = 1), mají zřejmá zobecnění: ► n-rozměrná kvadrika je jednoznačně určena \ {n + 4)(n + 1) body v dostatečně obecné poloze; (s. 74) ► regulární/singulární body a kvadriky beze změny; (s. 76) ► polárnísdruženost beze změny, akorát místo polár máme polární nadroviny a místo tečen tečné nadrovinu; (s. 77) ► středy a průměry beze změny, akorát místo asymptot máme asymptotické nadroviny; (s. 87) ► osy, hlavní průměry a jejich velikosti beze změny. (s. 99) Podstatnější rozdíly pozorujeme pouze při klasifikacích — myšlenky jsou stejné, akorát se musíme zorientovat ve více možnostech; podrobnosti a ostatní zajímavosti lze najít např. v [Ja-Se, Sek]... n = 2: klasifikace Poznámky Obecné kvadriky 106 Náznak afinní klasifikace 2-rozměrných kvadrik je na následujícím obrázku: Double Planes \ Intersecting Planes Elliptical Cylinders Parabolic Cylinders Hyperbolic Cylinders Elliptical Paraboloids Cones Hyperbolic Paraboloids 1 \ 1 Ellipsoids Hyperboloids (2 sheet) Hyperboloids (1 sheet) Úloha Apollóniova Úloha Apollóniova a pod. 107 Úkolem obecné Apollóniovy úlohy je sestrojit kružnici (resp. cyklus),26 která se dotýká tří daných kružnic (resp. cyklů). Středy cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů tvoří vždy nějakou kuželosečku (k) — pro cykly a, b se středy A, B a poloměry ra, rb platí: Věta ► Je-li \ra - rb\ > \AB\, pak k je elipsa s ohnisky A, B a délkou hlavní osy Va - rb\. ► Je-li \ra - rb\ < \AB\, pak k je hyperbola s ohnisky A, B a délkou hlavní osy\ra-rb\. Zde uvažujeme ra, rb e IR jako orientované poloměry, tzn. znaménko ra odpovídá orientaci cyklu a. Ve speciálních, resp. mezních případech může být kuželosečka k kružnicí nebo přímkou... 26 cylkus = orientovaná kružnice Řešení pomocí průniku kuželoseček Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 108 (1) Středy cyklů, které se dotýkají tří dvojic daných cyklů, tvoří tři kuželosečky; (2) středy hledaných cyklů (M-\ a M2) jsou společnými body těchto tří kuželoseček; (3) dotykové body jsou na spojnicích středů. I Gerg onovo reseni Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 109 Jiné řešení Apollóniovy úlohy je založeno na polární sdruženosti (vzhledem k daným kružnicím). Zdůvodnění následující konstrukce plyne z těchto poznatků: (a) spojnice (lj) dvojic dotykových bodů na každém cyklu prochází společným bodem (P), jež je potenčním středem daných tří kružnic; (b) póly (Lj) těchto spojnic vzhledem k odpovídajícím kružnicím leží na jedné přímce (ch), jež je právě chodrálou dvou kružnic řešení; (c) přímka ch je osou podobnosti tří daných cyklů;27 (d) protože Lj e ch a Lj je pól /,, musí pól ch vzhledem ke každé z daných kružnic ležet na odpovídající přímce lj. tj. spojnice tří středů stejnolehlosti Gergonovo řešení Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 110 (1) chab, chbc chac jsou chordály tří dvojic daných kružnic, jež prochází jejich potenčním středem P; (2) Oab, Obe, Oac jsou středy stejnolehlostí tří dvojic daných cyklů, jež leží na jejich ose podobnosti; (3) Pa, Pb, Pc jsou póly této přímky vzhledem k daným kružnicím; (4) dotykové body jsou na spojnicích PPa, PPb, PPC- Lieova kvadrika Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 111 Jiné řešení úlohy Apollóniovy je založeno na identifikaci cyklů v eukleidovské rovině s body na 3-rozměrné tzv. Lieově kvadrice a polární sdruženosti (vzhledem k této kvadrice): Cyklus c se středem (Ci : C2 :1) a poloměrem rc určuje bod ve 4-rozměrném projektivním prostoru Č := (Ci : C2 : rc : C2 + C22 - rc2 :1), a ten navíc leží na 3-rozměrné kvadrice Q c P(V) určené kvadratickou formou F : V -» r s maticí '1 0 0 0 0 N 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 2 lo 0 0 1 2 oj Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 112 Přiřazení cyklus c v eukleidovské rovině i-» bod C na Lieově kvadrice je injektivní;28 přímým rozepsáním se přímo ověří, že Věta Cykly c ad se dotýkají <=> body Č a Ď jsou polárně sdružené. Tedy algebraické řešení úlohy Apollóniovy vypadá takto: (1) Pro tři dané cykly a, b, c29 uvažme odpovídající body Á, B, Č na Lieově kvadrice (2) všechny body v P(V), které jsou polárně sdružené k Á, B, Č vzhledem ke Q, tvoří přímku (řešení soustavy 3 lineárních rovnic); (3) tato přímka protíná kvadriku Q ve dvou bodech M, Ň (řešení 1 kvadratické rovnice); (4) tyto body odpovídají dvěma hledaným cyklům m, n. 28lze rozšířit také pro body (r = 0) a přímky (r = oo)... 29v dostatečně obecné poloze (ve spec. případech může být řešení víc nebo taky žádné) Lieova kvadrika Cvičení Poznámky Cvičení 113 (C.14) S využitím poznatků tohoto kurzu zpracujte jakýkoli (váš oblíbený) příklad, a to nejlépe interaktivní formou.30 viz např. http://geogebra.org J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, MU, 1996, http://www.math.muni.cz/~janyska/LAKUZ.pdf F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996 K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968 M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988 Z. Šír, Řecké matematické texty, OIKOYMENH, 2011 P. Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf