Ma3DC_KG4: Kuželosečky a kvadriky Plán ► elementární (geometrické) definice, ekvivalentní vymezení, vlastnosti ► analytické (algebraické) vyjádření, invarianty, klasifikace ► příklady, užitek, srovnání Zakončení ► aspoň polovinu písemně (a uspokojivě) vypracovaných úloh ► aspoň polovinu bodů u závěrečné písemky Poslední aktualizace: 22. listopadu 2015, Vojtěch Žádník Geometrie Úvod Elipsa Ostatní kuželosečky Cvičení Mezihra Opakování Algebra Užitek Poznámky 1 2 3 16 20 21 36 45 63 103 Uvod Kuželosečky jsou rovinné řezy kuželové, příp. válcové plochy.1 Nedegenerované (regulární) kuželosečky jsou vyseknuty rovinou, která neprochází vrcholem kužele: ► elipsa (spec. kružnice) — žádný nevlastní bod. parabola —jeden nevlastní bod. ► hyperbola — dva nevlastní body. Degenerované {singulární) kuželosečky jsou určeny rovinou, která obsahuje vrchol kužele._ 1 Válec je kužel s nevlastním vrcholem. Uvažovaný kužel/válec nemusí být nutně rotační. lipsa: ekvivalentní definice Elipsa je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky; (B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní součet vzdáleností od dvou bodů E a F: \EX\ + \XF\ = konst.; (C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž \XF\ : \Xd\ = konst. < 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) y2 = 2px —x2, resp. — + — = 1; a ad bz (E) afinní obraz kružnice. Body E a F jsou ohniska, přímka d je řídící přímka elipsy, elipsa je souměrná podle dvou navzájem kolmých os, a = délka hlavní poloosy, b = délka vedlejší poloosy (a > b), elipsa je souměrná podle středu = průsečíku jejích os, konstanta v (B) je rovna 2a, konstanta v (C) je rovna § = (numerická) výstřednost, kde e = Va2 - b2 = (lineární) výstřednost, kvadratická rovnice v (D) je tzv. vrcholová, resp. středová rovnice elipsy, kde p = ^ parametr. Poznámky Ekvivalenci (A) (E) známe z Konstrukční geometrie. Ostatní ekvivalence a podrobnosti k uvedeným číselným charakteristikám ukážeme za chvíli (s. 9-11). 2Pojmenováno podle umístění počátku odpovídající souřadné soustavy. Věta Apollóniova Uvažme kužel s kruhovou podstavou a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom pro libovolný bod A na elipse platí AM' 2 _ — M-ME, (1) kde M je pata kolmice z A na A E a E je bod na úhlopříčce pevného přiloženého obdélníku se stranami AE a E6, kde EQ je určená vztahem AE : E6 = AK2 : (BK-KT).3 3Za chvíli bude patrné, že velikost EQ je rovna právě dvojnásobku parametru p. Důkaz věty Apollóniovy Z definující rovnosti pro úsečku EQ a podobností několika trojúhelníků plyne: AM _ AE _ AK AK _ EM AM IvE ~ EQ ~ BK~KT ~ MŤT MP' Levou stranu rozšíříme ME, aby poměry na obou stranách měly stejný čitatel. Odkud plyne rovnost jmenovatelů ME • ME = Mil • MP. Rovina AľlP je rovnoběžná s podstavou, tudíž řezem kuželové plochy touto rovinou je kružnice a n P je její průměr. Podle Thaletovy věty je úhel ľlAP pravý. Podle Eukleidovy věty o výšce platí Mľl • MP = M A2. Dosazením do předchozí rovnice dostáváme (1). Věta Dandelinova-Queteletova Uvažme rotační kužel a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom ohniska této elipsy jsou právě body dotyku kulových ploch, které se dotýkají jak kužele, tak roviny řezu. )ůkaz věty Dandelinovy-Queteletovy Chceme ukázat, že platí \EX\ + \XF\ = konst., tedy že E a F jsou právě ohniska elipsy: Všechny tečny z daného bodu k dané kulové ploše jsou stejně dlouhé. Proto \EX\ = \DX\ a \XF\ = \XH\, a tudíž \EX\ + \XF\ = \DX\ + \XH\ = \DH\. Kužel je rotační, tedy vzdálenost \DH\ je stále stejná pro všechny povrchové přímky. Důsledky: ekvivalence (A), (B) a (C) Z věty Dandelinovy-Queteletovy přímo plyne (A) (B). Ke zdůvodnění (A) <==> (C) stačí ukázat, že průsečnice p = p n a je právě řídící přímkou elipsy, tedy že pro ohnisko F a pro libovolný bod X na elipse platí \XF\ : \Xp\ = konst. < 1: \XP\ = \Xp\, kde P je pata kolmice z X na p (v bočním průmětu nezkresleně). \XF\ = \XH\ (v bočním průmětu vidíme jako |X0H0|). Odtud plyne |XF| : \Xp\ = \X0H0\ : \XP\. Trojúhelníky AH0P a AX0X jsou stejnolehlé, takže |X0H0| : |XP| = \AH0\ : \AP\ = konst. < 1. □ Důsledky: ekvivalence (A) a (D Přímo z věty Apollóniovy: Označíme |E9| =: 2p, |EA| =: 2a, \EM\ := x a |MA| =: y. Z podobnosti trojúhelníků 6EA a EMA plyne \EM\ = -(2a - x). 3. Rovnici (1) pak můžeme přepsat jako y2 = ^2p - ^xjx, což je právě vrcholová rovnice elipsy v (D). Odtud se snadno vyvodí středová rovnice... □ (C.1) I Upřesnění (s. 4) Elipsa Dosazením souřadnic vedlejšího vrcholu do vrcholové rovnice (D) snadno ověříme, že p = ^. Obdobným způsobem z téže rovnice plyne, že ^ Je délka poloviny tětivy, která prochází ohniskem a je kolmá k hlavní ose. Rozepsáním vlastnosti (C) pro dva specifické body zjišťujeme, že vzdálenost řídící přímky d od vedlejší osy je ^. Vzdálenost řídící přímky d od ohniska F je Z uvedeného zejména plyne, že konstanta v (C) je skutečně rovna ' (C.3) oznámky: ohniskové vlastnosti Poznámky: ohniskové vlastnosti Z ohniskových vlastností elipsy lze vyvodit několik dalších poznatků, které jsou užitečné např. při (eukleidovských) konstrukcích tečen... nebo při kreslení elipsy jako takové. Poznámky: osová afinita Elipsa I Poznámky: sdružené a hlavní průměry Elipsa Pomocí vhodné osové afinity umíme některé konstrukce redukovat na jednodušší konstrukce s kružnicí, viz např. tečny nebo průsečíky s přímkou... U obecné osové afinity jsme uměli najít hlavní průměry, tj. navzájem kolmé sdružené průměry... Ostatní regulární kuželosečky Geometrie Ostatní kuželosečky 16 Většinu výše uvedených poznatků o elipse lze snadno modifikovat pro ostatní regulární kuželosečky, tj. pro hyperbolu a parabolu. Uvádíme několik ekvivalentních definicí v duchu s. 3, jejichž zdůvodnění a upřesnění necháváme čtenáři jako doporučené cvičení...4 (C.3) 4K čemu asi slouží tento obrázek? Hyperbola: ekvivalentní definice ostatní kužeľosečky Hyperbola je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě dvou; (B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní rozdíl vzdáleností od dvou bodů E a F: \EX\ - \XF\ = konst.; (C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž \XF\ : \Xd\ = konst. > 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) y2 = 2px + -x2, resp. — - — = 1; a a^ b (E) projektivní obraz kružnice se dvěma nevlastními body. Parabola: ekvivalentní definice Ostatní kuželosečky I Singulární kuželosečky Ostatní kuželosečky Parabola je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě jedné; (B) - (C) množina bodů v rovině, jež mají stejnou vzdálenost od bodu F a přímky d, tzn. |XF|:|Xd| = 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) y2 = 2px; (E) projektivní obraz kružnice s jedním nevlastním bodem. Singulární kuželosečky jsou sjednocením nebo průnikem dvou přímek. Podle vzájemné polohy řezné roviny a kuželové/válcové plochy mohou nastat tyto případy: ► dvě různé přímky (různoběžné/rovnoběžné), ► bod,5 - dvě splývající přímky. Každá z těchto kuželoseček je určena kvadratickou rovnicí (vhledem k vhodné souřadné soustavě): ► y2 = k2x2, resp. y2 = k2, ► y2 = -k2X2, ► y2 = 0. kde k je nějaká nenulová konstanta. 5Tento případ budeme interpretovat jako průsečík dvou imaginárních (komplexně sdružených) přímek. (C.1) Dokažte, že algebraická vyjádření v (D) jsou skutečně dvojím vyjádřením téže kuželosečky napište odpovídající transformaci souřadnic a vše ilustrujte výmluvným obrázkem. (C.2) Odvoďte některé z vyjádření v (D) bez Apollóniovy věty tzn. přímo z (B), (C) nebo (E). (C.3) Dovysvětlete některá upřesnění na s. 11, některé z poznámek na s. 12-15 a některé z ekvivalencí nas. 17-18. (C.4) Dokažte, že numerická výstřednost kuželosečky je rovna \XF\ : \Xd\ = srna : sin/?, kde a = odchylka podstavy kužele od roviny řezu a j3 = odchylka podstavy kužele od jeho tvořících přímek. Geometrie Mezihra Kanonické tvary Příklady Závěry a výhledy Cvičení Opakování Algebra Užitek Poznámky 21 22 25 31 35 36 45 63 103 Mezishrnutí: kanonické tvary Následující rovnicová vyjádření jsou tzv. kanonické tvary. Jedná se o vyjádření všech možných kuželoseček vhledem k vhodně zvoleným (kartézským) souřadným soustavám (viz s. 3, 17-19): 0 0 0 elipsa (příp. kružnice) 0 hyperbola 0 parabola X2 + 1 a2 " f b2 X2 + y- - 1 a2 + b2 X2 y2 - 1 a2 Ď2 y - 2px y2 - k2x2 y2-k2 y2 + k2x2 y2 + k2 ,,2 0 dvě různoběžné přímky 0 dvě rovnoběžné přímky 0 bod 0 0 0 jedna (dvojnásobná) přímka Mezishrnutí: obecná rovnice Rovnicové vyjádření kuželosečky závisí na zvolené souřadné soustavě. Každá z výše uvedených rovnic se vzhledem k obecné afinní transformaci x' = kx + ly + o, y' = mx + ny + q (2) změní na rovnici tvaru Ax'2 + 2Bx'y' + Cy'2 + 2Dx' + 2Ey' + F = 0, (3) kde koeficienty A,B,...,F závisí na k, /,..., q (a na koeficientech a,b,p,...). Naopak, pokud rovnice tvaru (3) má řešení, potom určuje nějakou kuželosečku. Druh této kuželosečky lze nejlépe rozpoznat tak, že rovnici nějak upravíme do kanonického tvaru. Přitom každá z provedených úprav představuje nějakou (afinní) transformaci souřadné soustavy (viz závěry na s. 31-32). I Mezishrnutí: obecná úmluva Při manipulacích s danou kuželosečkou často končíme s obecnou souřadnou soustavou. Vždy však předpokládáme, že: Úmluva Rovnice kuželosečky v zadání každé úlohy je vyjádřena vzhledem ke kartézské souřadné soustavě. Mezipříklad 1: obrázek y' x' , -' '0' - - """--^ Mezipříklad 1 Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí 4y2 - x2 - 4x - 8 = 0. Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto: 4y2-x2 - 4x - 8 = 4y2-(x + 2)2 + 4 - 8. Nahrazením x' = x + 2, y' = y dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky 4y'2 - x'2 - 4 = 0. Odtud již snadno rozpoznáváme hyperbolu. (4) Souřadnice středu jsou zřejmé z (4)... Použitá transformace je pouhým posunutím, tedy shodností. Proto po dodatečné úpravě y'2 - y = 1 umíme určit velikosti hlavní a vedlejší osy. Mezipříklad 2 Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí y2 + xy - 2x - 2y - 1 = 0. Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto: y2 + xy - 2y - 2x - 1 = íy + ^x - 11 - ^-x2 + x - 1 - 2x - 1. Nahrazením x' = x, y' = y + -x - 1 (5) dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky y'2 _ 1X'2 _ x> _ 2 = Q. To je právě zadání příkladu 1, odkud víme, že se jedná o hyperbolu. Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 1 a transformace (5). I Mezipříklad 2: obrázek y" Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí xy - 2x - 1 =0. Na levé straně postrádáme kvadratický člen, ke kterému si však lze dopomoci např. dosazením x = x' + y', y = y', neboli x' = x - y, y' = y. (6) 0" Takto dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky (x' + y')y' - 2(x' + y') - 1 = y'2 + x'y' - 2x' - 2/ - 1 = 0. To je právě zadání příkladu 2, odkud víme, že se jedná o hyperbolu. v ; Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 2 a transformace (6)... Mezipříklad 3: obrázek X " \ e e' C Mezivýsledky: kanonický tvar Zobecněním úvah z předchozích příkladů zjišťujeme, že... ... jakoukoli rovnici typu Ax2 + 2Bxy+Cy2 + 2Dx + 2Ey+F=0 (7) lze vždy upravit do kanonického tvaru, a to opakováním úprav dvojího druhu: (1) doplnění do čtverce a následná substituce (předp. A ± 0) Ax2 + 2Bxy + 2Dx H----= B D\2 B2 p 2BD Ax '2 ^!y'2 - D2 2BD , D2 V H-- A2 A2 A2 Y A2 (2) substituce x = x' + y',y = y' (pokud A = C = 0) Bxy- B(x' + y')y' By'2 + Bx'y' Mezivýsledky: transformace a dál? Mezihra Závěry a výhledy 32 Postupným skládáním použitých substitucí lze vždy určit výslednou transformaci souřadnic. V případě, že kuželosečka je středová, lze odtud vyjádřit střed kuželosečky. Pokud je transformace shodností, potom lze z kanonického tvaru zjistit také směry os a číselné charakteristiky kuželosečky. Příklady 1-3 Na rozdíl od transformace (4) není transformace (5), resp. (6) shodností. Proto určení hlavní a vedlejší osy hyperboly v příkladu 2, resp. 3 není tak bezprostřední jako v příkladu 1... Výhled: nástroje Obecnou rovnici (7), 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0, budeme zapisovat pomocí matic takto (x y 1) A B DN Y B C e y [d e f, (8) Levá strana je vyčíslením kvadratické formy F : R3 -> R na vektoru x = (x,y,1). Vektor x = (x, y, 1) představuje homogenní souřadnice bodu v rovině s (afinními) souřadnicemi X Í5>2 [x, y]; zde uvažujeme projektivní rozšíření f(R3) afinní, příp. eukleidovské roviny R2. příslušné F vzhledem Matice v (8) je maticí polární formy f: R3 x R3 k odpovídající souřadné soustavě. Výh hled: hlavní věta Předchozí typ uvažování je poměrně pracný, což nás motivuje k dalšímu zevrubnému studiu. Od nynějška směřujeme k důkazu hlavní věty celého kurzu: Věta S trochou algebry je všechno velmi snadné. I Cvičení (C.5) Podle předchozího návodu rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2 + 2xy+y2+2x+y = 0 nebo 8x2 + 4xy+5y2 + 16x+4y = 28. Vyjádřete celkovou transformaci souřadnic, pokuste se identifikovat střed a číselné charakteristiky kuželosečky a doplňte obrázek. Geometrie 1 Mezihra 21 Afinní přímka má jeden nevlastní bod = bod „v nekonečnu". Opakování Projektivní rozšíření Dvojpoměr a základní věta Cvičení 36 37 42 44 .... ■■■■V"" • Algebra Užitek Poznámky 45 63 103 Nevlastní body obecného afinního prostoru Ji, ozn. oom, jsou reprezentovány skupinami navzájem rovnoběžných přímek v Ji, neboli směry6 v zaměření Ji. Projektivní rozšíření afinního prostoru Ji je množina Ji := Ji u oom. °směr — vektor „až na násobek" — jednorozměrný vektorový podprostor Opakování Projektivní rozšíření směr (a) = (SA) Projektivní rozšíření Přiřazení bod A h-» přímka a = A + S určují bijektivní zobrazení mezi množinami: {body v projektivním rozšíření Ji = Ji u oo^J = = {přímky v afinním prostoru Ji + S procházející bodem SJ I směry ve vektorovém prostoru Ji + S Přitom nevlastní body v Ji jsou charakterizovány takto: Deco^ <^> d II Ji ^> d£j\. Projektivizace Opakován Projektivní rozšířen Obecný projektivní prostor je definován takto: Definice Projektivní prostor s vektorovým zástupcem V (nebo projektivizace vektorového prostoru V) je množina všech směrů ve V; značíme f(V). Poznámky Projektivní rozšíření Ji afinního prostoru Ji je projektivní prostor s vektorovým zástupcem V = Ji + S, neboli j\= P(Ji + S). Uvědomme si, že óimPiV) = dim V - 1. Afinní vs. homogenní souřadnice Opakování Projektivní rozšíření 40 Uvažme afinní prostor Ji s afinní souřadnou soustavou (O; ei,e2,...). Afinní souřadnice bodu X e Ji jsou souřadnice vektoru ÔX e jft vzhledem k bázi (e-\, e2,...). Píšeme X = [x1?x2,...], což znamená X = O + x^i + x2e2 H---- Pro projektivní rozšířením = f(V), kde V d Ji, uvažme rozšířenou bázi (ei,e2,... ,£o), kde e0 e V \ Ji. Definice Homogenní souřadnice bodu X e Ji zastoupeného vektorem x e VJsou souřadnice tohoto vektoru vzhledem k bázi (ei, e2,..., eo). Píšeme X = {x-\ : x2 : • • • : x0), tzn. x = x^i + x2e2 +----h x0e0. Pozor Homogenní souřadnice nejsou určeny jednoznačně; každé dva zastupující vektory jsou však kolineární, proto X = (xt : x2 : • • • : x0) = (ax-i : ax2 : • • • : ax0) pro lib. a ± 0. Afinní souřadnou soustavu (O; ei,e2) roviny Ji rozšíříme o vektor e0 = SO € j\. Vlevo: vlastní bod A = O + 3e^ + e2 = S + e0 + 3e^ + e2 má afinní souřadnice [3,1] a homogenní souřadnice (3:1 : 1) = (-6 : -2 : ^2) = • • • . Vpravo: nevlastní bod zastoupený přímkou se směrovým vektorem a = -2ei + e2 nelze vyjádřit v afinních souřadnicích, jeho homogenní souřadnice jsou (-2:1 : 0) = (-6 : 3 : 0) = • • • Dvoj poměr Opakování Dvojpoměr a základní věta I Definice Pro čtveřici (A, B, C, D) vlastních, kolineárních a navzájem různých bodů je dvojpoměr této čtveřice roven podílu dělicích poměrů: {AB CD) (AB C) AC AD (AB D) O) BC BD Poznámky Dvojpoměr je základním (definujícím) invariantem projektivních zobrazení. Je-li bod D nevlastní, potom (Aß DM) = Jim (AB D) = 1, a proto platí (AB CDM) = (AB C). Pokud je náhodou (AB CD) = -1, říkáme, že čtveřice bodů je v tzv. harmonickém poměru.7 7Tedy např. čtveřice A, B, střed úsečky AB a nevlastní bod přímky AB (v tomto pořadí) je vždy v harmonickém poměru. Základní věta projektivní geometrie Opakování Dvojpoměr a základní věta Bijektivní lineární zobrazení U' : V -» V indukuje zobrazení mezi projektivními prostory ifr: V (V) -» P(V'), a to tak, že (/r«x» = , pro lib. nenulový x e V. (10) Toto zobrazení je zřejmě bijektivní a projektivní. Naopak: Věta Každé bijektivní projektivní zobrazení i// : f(V) -» f( V) je určeno nějakým bijektivním lineárním zobrazením U' : V -» V jako v (10). Poznámka Projektivní zobrazení i// : Ji -» Ji' je afinní <==> i// zobrazuje oo^ c Ji do co^, c Ji'8 <=^> V : V -> V zobrazuje Ji c V do Ji' c V. 8nevlastní body na nevlastní (tzn. vlastní na vlastní; (C.6) Zopakujte si všechny pojmy které používáme a budeme používat bez vysvětlení, jako např. vektorové prostory a (multi-)//'neárn/' zobrazení, charakteristická čísla a vektory, afinní prostory a zobrazení, ... Bilineární a kvadratické formy Definice Zobrazení F : V -> R vektorového prostoru V do tělesa R se zove kvadratickou formou, pokud platí F(x) = ŕ(x, x), pro lib. x e V, kde f: V x V -> R je nějaká symetrická bi-lineární forma. Forma ŕ je tzv. polárni forma kvadratické formy F. Poznámka Forma ŕ je jednoznačně určuje F a naopak: 1 ŕ(x,y) = -(F(x + y)-F(x)-F(y)). Geometrie Mezihra Opakování Algebra Kvadratické formy Polarita Hlavní vektory Cvičení Užitek Poznámky 1 21 36 45 46 49 54 62 63 103 I Bilineární a kvadratické formy Z bilinearity f plyne souř. vyjádření (vzhledem k bázi (ei, e2,...)) ŕ(x, y) = x1y1fu+ x^yzUz + *2yi ŕ2i + x2y2ŕ22 + • • • = (fn ŕi2 ■ 0 íyil x, x2 ...)• ŕ22 y? V ■ 'J + ---,y = y1e1 + y2e2 + a f] -- kde x = x-te-t + x2e2 Ze symetričnosti f plyne = ŕJ( pro všechna /' a y. Rovnost (11) schematicky zapisujeme ŕ(x, y) = xTFy, kde F = (fjj) značí matici formy f vzhledem k bázi (ei,e2,. (11) (12) egulární/singulární formy Algebra Kvadratické formy 48 Definice Vektor u e V je singulárním vektorem bilineární formy f: V x V ->I pokud lineární forma ŕ(u, -) : V -> R je nulová.9 Bilineární forma f je regulární, pokud její jediný singulární vektor je nulový vektor; v opačném případě je forma f singulární. Singulární vektory a regularita/sigularita kvadratické formy F : V -> jsou odvozeny od její polární formy f. Poznámky Všechny singulární vektory tvoří vektorový podprostor ve V. Forma je regulární <==> odpovídající matice (vzhledem k lib. bázi) je regulární. 9tzn. f(u, x) = 0 pro lib. x e V O polární bázi Věta Každá kvadratická forma má polární bázi. Důkaz. Je-li F = 0, potom každá báze je polární. Je-li Fí 0, potom uvažujeme induktivně: ► Pokud dim V = 1, potom lib. vektor tvoří polární bázi. ► Předpokládejme, že tvrzení platí pro lib. prostor dimenze n, a uvažme dim V = n+ 1: Protože Fí 0, existuje vektor u e V takový, že F(u) + 0. Zejména u není singulární, a proto množina (13) je nadrovinou, tzn. má dimenzi n. Podle předpokladu má zúžení F\u polární bázi. Když onu bázi U doplníme o vektor u, dostaneme bázi V (u e V \ U), která je polární (každý vektor z U je polárně sdružen s u). □ Polární sdruženost Definice Vektory u, v e V jsou polárně sdružené vzhledem k f, resp. F, pokud ŕ(u, v) = 0. Báze (ei, e2,...) prostoru V se jmenuje polární bází vzhledem k f, resp. F, pokud f(ei,ej) = 0 pro všechna /' + j. Poznámky Matice f, resp. F vzhledem k polární bázi je diagonálni. Všechny vektory, které jsou polárně sdruženy s daným vektorem u e V, tvoří vektorový podprostor U Q V: - pokud u je singulární, potom U = V, - pokud u není singulární, potom Uje nadrovina ve V; rovnicové vyjádření této nadroviny je U= {x e V : r(u,x) = 0). (13) I Poznámky Důkaz předchozí věty představuje návod k nalezení polární báze. V každém kroku máme značnou volnost ve výběru u tak, aby F(u) + 0; polárních bází je proto nepřeberné množství. (C.8) Pokud je f: V x V -» R skalární součin, potom F je právě norma vektoru a pro každé u + o platí F(u) > 0. Podmínka F(u) + 0 z důkazu věty o polární bázi je splněna automaticky a podprostor v (13) je právě kolmý doplněk U = u-1. Polární báze skalárního součinu proto není nic jiného než ortogonální báze. Matice kvadratické formy F v polární bázi (ei,e2,...) je diagonálni, přičemž na diagonále jsou čísla ŕ„ = ŕ(e„e,) = F(e,). Ozn. p ■= počet kladných a q := počet záporných čísel na diagonále. Uspořádaná dvojice (p, q) se nazývá signaturou kvadratické formy F. Je zřejmé, že p + q < dim V a navíc tento součet nezávisí na zvolené polární bázi (neboť p + q = hodnost matice formy F). Ukážeme, že samotná čísla p a q na polární bázi také nezávisí: Věta Signatura kvadratické formy nezávisí na zvolené polární bázi. Předpokládejme dvě různé polární báze se signaturami (p, q) a (p', q'): (e1,...,ep,ep+1,...,en) a (e'v...,e'p,,e'p,+v...,e'n). Báze máme uspořádány tak, že pro každý vektor u e P := 0 a pro každý vektor v e Q' := (e'p,+v. ..,e'n) je F(v) < 0. Proto P n Q' = {o} a podle věty o součtu a průniku vektorových podprostorů platí p + (n - p') = dim P + dim Q' = dim(P + Q') + dim(P n Q') < n + 0. Odtud plyne, že p < p'. Pro opačnou volbu Q := a P' := p'. Celkem tedy platí p = p', a proto také q = q' (neboť p + q = p' + q'). □ O kolmé polární bázi V eukleidovském vektorovém prostoru V, tj. ve vekt. prostoru se skalárním součinem . : V x V -» R, uvažme kvadratickou formu F : V -» R (s polární formou ŕ: V x V -> R a maticí F). Ptáme se, zda existuje polární báze vzhledem k F, která by byla současně ortogonální, neboli kolmá? Odpověď zní ANO, viz větu na s. 60. Hlavní vektory Vektory tvořící ortogonální polární bázi jsou tzv. hlavní vektory: Definice Vektor se nazývá hlavní, pokud je polárně sdružen s každým vektorem, který je k němu kolmý. Poznámka Jinak řečeno, vektor u e V je hlavní, pokud pro lib. xeV platí u.x = 0=> ř(u,x) = 0. (14) Nejdřív si však musíme uvědomit několik věcí. Symetrická zobrazení Bilineární forma f: V x V -> R jednoznačně určuje lineárni zobrazení O : V -> V, a to následujícím způsobem: ŕ(x, y) = x . O(y) pro lib. x, y e V. (15) Jak f, tak . jsou symetrické formy proto pro lib. x, y e V platí: x . 0(y) = 0(x). y. (16) Definice Lineární zobrazení s vlastností (16) se nazývají samoadjungovaná nebo prostě symetrická. Poznámka Předchozí rovnosti lze vzhledem k lib. ortonormální bázi vyjádřit10 xT F y = xT (F y) = (F x)T y = xT FT y. Tedy zobrazení 0 je symetrické <==> jeho matice F vzhledem k lib. ortonormální bázi je symetrická. 10matice skalárního součinu vzhledem k ortonormální bázi je jednotková O hlavních a charakteristických vektorech Algebra Hlavní vektory 57 Lemma Vektor u je hlavním vektorem formy f <==> u je charakteristickým vektorem zobrazení 0. Důkaz. Obraz lib. vektoru u vzhledem k 0 můžeme vyjádřit jako 0(11) = cu + x pro nějaké celaxeu1 Pokud je u hlavním vektorem formy f, potom platí: 0 = ř(u, x) = 0(u). x = (cu + x).x = cu.x + x.x = x.x. Odtud plyne, že x = o, tedy 0(11) = cu; tzn. u je char. vektorem 0. Naopak, pokud je u char. vektorem zobrazení 0, potom pro lib. x platí: ř(u, x) = 0(u). x = Au . x = A(u . x) pro nějaké leR. Odtud plyne (14), tzn. vektor u je hlavní. r. O symetrických zobrazeních Symetrická zobrazení mají několik zajímavých vlastností: Lemma Pro každé symetrické lineární zobrazení 0 : V -> V platí: (a) kolmý doplněk invariantního podprostoru je invariantní podprostor, (b) všechna charakteristická čísla jsou reálná, char. vektory příslušné různým char. číslům jsou navzájem kolmé, (d) char. vektory příslušné char. číslu s násobnosti k tvoří vektorový podprostor dimenze k. (C.9) Důkaz věty o symetrických zobrazeních (a) Předp. U c V je invariantní, tj. 0(u) e U pro lib. u e U. Pro lib. vet/1 platí 0 = 0(u). v = u . 0(v). Tzn. 0(v) e UL, tedy UL je taky invariantní. (b) Předp. 0(u) — Au pro nějaké AeC. Potom pro lib. x platí11 Mgebra Hlavní vektory 59 f(u,x) — Au.x a f(u,x) — f(ú,x) — ÄÚ.x. Odtud dostáváme Au . u — f (u, u) — f {ú,u) — Äú . u, tedy (A-A)u.ú = 0. Pro u + o je u . ů > 0, proto A —Ä, neboli A e R. (c) Předp. 0(u) — Au a 0(v) — kv. Potom platí Au . v = f (u, v) = f (v, u) = kv . u, tedy (A - k)u . v = 0. Z předpokladu A + k plyne u . v — 0. (d) Plyne z (a) a (b). 11 zde uvažujeme komplexní rozšíření V, f, Nyní konečně odpovídáme na otázku ze s. 54: Pro obecnou kvadratickou formu je kolmá polární báze určena jednoznačně až na násobky hlavních vektorů. (C.8) Věta o kolmé polární bázi bude představovat nejúčinnější nástroj k hledání os kuželoseček (a kvadrik) včetně jejich velikostí. Důkaz. První část je bezprostředním důsledkem tvrzení na s. 57 a 58. V druhé části si stačí připomenout, že pokud je O(u) = Au, potom platí F(u) = r(u, u) = O(u). u = Au . u. □ Veta Každá kvadratická forma F v eukleidovském vektorovém prostoru má ortogonální polární bázi, a ta je tvořena char. vektory matice F. Pokud je tato báze normovaná, potom matice formy F vzhledem k oné bázi je diagonální s char. čísly matice F na diagonále. Cvičení (C.7) Udejte příklad regulární/singulární kvadratické formy a určete všechny její singulární vektory. (C.8) Pro formy z předchozího cvičení určete jejich polární báze: (a) podle návodu na s. 50, (b) podle návodu na s. 60. (C.9) Dokažte větu o kolmé polární bázi pro dim V = 2 přímo rozepsáním |F - AE\ = 0 a FT = F... [Sek, li, s. 196-7] Geometrie Mezihra Opakování Algebra Užitek Příklad Projektivní vlastnosti Afinní vlastnosti Metrické vlastnosti Cvičení 1 21 36 45 63 64 73 87 94 102 Poznámky 103 V příkladu 2 na s. 27 jsme uvažovali kuželosečku určenou rovnicí y2 + xy - 2x - 2y - 1 = 0, (17) kterou jsme uměli upravit do kanonického tvaru ve dvou krocích: y'2 - \x'2 - x' - 2 = 0, y"d - \x"á -1=0. Přitom výsledná transformace souřadnic byla neboli x" = x + 2, y"=±x + y-1, x = x"-2, y=-lx" + y" + 2. (18) (19) Z (18) umíme rozpoznat, že se jedná o hyperbolu. Z (19) umíme určit souřadnice nového počátku (tj. středu hyperboly), O" [-2,2], (20) a nových bázových vektorů (tj. směrů dvou význačných průměrů) e'; = (1,-l), e£ = (0,1). (21) Odtud a z koeficientů v (18) lze vydedukovat, že směry asymptot jsou (22) ni =e7 + ie£ = (1,0), n2 = e'1'-ie^' = (1,-1). Odtud lze dále určit směry os, které půlí úhly určené asymptotami, h! = a/211! +n2 = (V2 + 1,-1), h2 = - n2 = (a/2-1,1). (23) Příklad: reformulace Vzhledem ke konvencím ze s. 34 (a dál) zapisujeme rovnici (17), y2 + xy - 2x - 2y - 1 =0, pomocí matic takto xT • Fx = (x y i) v \ 1 -1 y (-1 -1 -1j (24) Vektor x představuje homogenní souřadnice X = (x : y : Y) bodu v afinní rovině Ji s afinními souřadnicemi X = [x, y]; F je matice kvadratické formy F na trojrozměrném vektorovém prostoru V d Ji. Obecný bod v projektivní rovině Ji = 'P(V) má homogenní souřadnice X = (x : y : x0); dosazením do (24) máme vyjádření kvadratické formy F, tj. homogenní verzi rovnice (17): y + xy - 2xx0 - 2yx0 0. (25) Příklad: regularita a asymptoty (i) Hyperbola je regulární kuželosečka; to souhlasí s poznatkem, že odpovídající kvadratická forma s maticí (24) je regulární:12 (s. 48) detF (ii) Asymptoty hyperboly ukazují právě na její nevlastní body; ty lze určit jako průnik kuželosečky (25) s nevlastní přímkou x0 = O:13 y2 + xy = y(y + x) 0. Tato rovnice má dvě řešení, ty = (1 : 0 : 0), ty = (1 : -1 : 0), což jsou právě homogenní souřadnice směrů z (22). Asymptoty jsou určeny těmito směry a středem hyperboly. (s. 40) 12obecnosti na s. 76 13obecnosti na s. 90 (iii) Střed hyperboly (20) má homogenní souřadnice O" = (-2 : 2 :J_); odtud je patrné, že zastupující vektor o" je polárně sdružen s vektory (S. 49) zastupujícími všechny nevlastní body: xT-F-o" = (* * O) (0 5 -1] -2' í °' 1 1 -1 2 0 = 0 (-1 -1 -1J U J Tedy střed O" = (x : y : x0) je řešením soustavy rovnic14 {y ~ xo = 0, \x + y - x0 = 0. 4obecnosti na s. 88 Příklad: sdružené směry (iv) Rovnice (18) je v diagonálním tvaru; to znamená, že příslušné vektory (21) tvoří polární bázi podprostoru Ji c V: 3»T.F.e£ = (l -1 0) '0 \ *\ i 1 * * * * 1 loj (1 -\ 0) 2 1 Přitom koeficienty u x", resp. y" v rovnici (18) jsou rovny e'/' -F-e'/ resp. e^-F-e^' (s. 50) Tedy pro e2' jako výše jsou všechny polárně sdružené vektory obsažené v Ji c V řešením soustavy rovnic15 ix + y = 0, x0 = 0. 15obecnosti na s. 77 a dál Příklad: hlavní směry, osy (v) Směry os jsou tzv. hlavní směry; to znamená, že příslušné vektory (23) tvoří ortogonální polární bázi podprostoru Ji c V: (s. 54) hi7-F-h2 = (V2 + 1 -1 0) h1T-h2 = (V2+1 -1 0) 1 1 * * * * V2--0 1 0 rv2-ť 1 { 0 J Vektory a h2 jsou charakteristickými vektory matice formy F zúžené (S. 57) na Ji c V, viz dále. Příklad: hlavní směry, osy Charakteristický polynom, = -,1(1 -Ä) -Ä 2 1 2 1 -Ä má kořeny A-, — 2 ^ ^Á — 2 Odpovídající charakteristické vektory jsou řešením soustavy (1 - Ai)x + \y = 0, \x + (1 - Aj)y = 0, pro /' = 1 a 2; po dosazení vskutku dostáváme h! = (V2 +1,-1) a h2 = (V2- 1,1). Navíc v normované bázi má forma F|^ matici ^ j, jejíž determinant je -\\ odtud lze vyvodit, že délky poloos hyperboly jsou16 a = 4-= 0,910 a Ď = ^= = 2,197. (s. 60) 6podrobnosti a obecnosti na s. 99 s s >^ By y O určenosti kuželosečky Kvadratická forma F na vektorovém prostoru dimenze 3 je určena 6 koeficienty fy e R. (s. 47) Věta Kuželosečka je jednoznačně určena 5 body v dostatečně obecné poloze. Důkaz. Dosazením 5 bodů, Ak = (ak), dostáváme soustavu 5 lineárních rovnic a 6 neznámých, F(ak) = 0, k = 1,..,5. Pokud jsou určující body navzájem různé a žádné 4 neleží na jedné přímce, potom je řešení této soustavy určeno jednoznačně až na násobek... [Ja-Se, věta 12.2] □ Kuželosečky Užitek Projektivní vlastnosti 73 Vzhledem k úvodním definicím (s. 2), jejich ekvivalentním vyjádřením (s. 3, 17-19) a následným úpravám a úvahám (s. 23 a dál) můžeme obecnou kuželosečku algebraicky vymezit následovně.17 Definice Kuželosečka v projektivní rovině 'K . I Příklad Předpokládejme, že kuželosečka 'K c f>(V) obsahuje body A-\ = (-2 : 1 : 1), A2 = (-2 : 3 : 1), A3 = (-1 : 0 : 2), A4 = (1 : -1 : 0), A5 = (1 : 0 : 0) a odpovídající kvadratická forma je tvaru ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxx0 + 2eyx0 + fx2 = 0. Po dosazení dostáváme soustavu rovnic: 4a - 4b + c - 4d + 2e 4a - 12b 9c + f=0, + f=0, 4f= 0, f- c = 0, a = 0, jejíž všechna řešení jsou a = 0, b = lib., c = 2b, d = Kuželosečka 'K je určena např. rovnicí (pro b = \): 4d + 6e a - 4d + a-2b- f = -2b. xy + y - 2xxQ - 2yxQ 0. iegulární/singulární kuželosečky Projektivní vlastnosti 76 • Definice Bod B e TCje singulárním bodem kuželosečky 'K c f(V), pokud zastupující vektor b e V je singulárním vektorem odpovídající kvadratické formy F : V -> R; bod B e "K, který není singulární se zove regulární. (s. 48) Kuželosečka 7C je regulární, pokud sestává pouze z regulárních bodů; v opačném případě je 7C singulární. Poznámky odpovídající kvadratická forma je Kuželosečka je regulární < regulární. Všechny singulární body singulární kuželosečky tvoří projektivní podprostor vf (V), tj. přímku nebo bod. Pól/polára Definice Přímka p z předchozí poznámky se nazývá polámu bodu B a bod B se nazývá pólem přímky p vzhledem ke kuželosečce "K. Poznámka Z definice polární sdruženosti18 a singulárního bodu vyplývá, že: Bod A leží na poláře bodu B <=> bod B leží na poláře bodu A. - Polára lib. (nesingulárního) bodu obsahuje všechny singulární body kuželosečky. Polární sdruženost Užitek Projektivní vlastnosti 77 Definice Body A, B e P(V) jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce "K, pokud jsou jejich zastupující vektory a, b e V polárně sdružené vzhledem k odpovídající kvadratické formě F : V -> R. (s. 49) Poznámky Všechny body, které jsou polárně sdruženy s daným bodem B e f (V) vzhledem ke 7C, tvoří projektivní podprostor p c f(V): ► pokud B je singulární, potom p = P(V), + pokud B není singulární, potom p je přímka; rovnicové vyjádření této přímky je p = {XeP(V):í(b,x) = 0), (27) kde f: V x V -> R je polární bilineární forma kvadratické formy F. (s. 46) I O poláře v regulárním bodě Jak vypadá polára regulárního bodu obecné kuželosečky 7C? Předp., že ß e 'K je regulární bod p je jeho polára. Protože, B e 7C, platí F(b) = ř(b, b) = 0, a proto ß e p; bod B je tedy společným bodem 'Kap. Buď je B jediným společným bodem 'Kap, nebo je celá přímka p obsažena v 'K: Věta Je-//' 7C regulární, potom p je tečnou 'K v bodě B. Je-li 'K singulární, potom p je její tvořící přímkou obsahující bod B. 'tedy ze symetričnosti formy f O poláře v requlárním bodě Důkaz. Uvažme obecný společný bod P e 'K n p. Přitom podmínky P eTC, P e p a B eTCznamenají ŕ(p,p) = ŕ(b,p) = ŕ(b,b) = 0. Celkem tedy pro lib. a,p e R, platí f(ap + ySb, trp + j3b) = a2 f (p, p) + 2ar/Jŕ(b, p) + yS2ŕ(b, b) = 0. Pokud B ž P, potom tato rovnost znamená, že celá polára p = BP patří do 'K; to je možné, pouze když 'K je singulární. Pro 'K regulární je proto P = B jediným společným bodem 'Kap, tzn. p ie tečnou 'K v bodě B. □ O poláře obecně Jak vypadá polára obecného bodu vzhledem k regulární kuželosečce 'K? Z předchozího víme, že ► P e poláře bodu T <==> T e poláře bodu P, ► R e 'K => polára bodu R = tečna ke 'K v tomto bodě. Názorná interpretace Ozn. Q, R (resp. U, V) body dotyku tečen z P (resp. T) ke kuželosečce 'K. Potom přímka QR je polárou bodu P; přímka UVje polárou bodu T; neoznačený průsečík těchto dvou přímek je pólem přímky PT; apod. T \ v. -P (M) R X 0 r' (C. 12) Příklad Určete tečnu kuželosečky xy + y2- 2xx0 - 2yx0 - x2 procházející bodem B = (2 : -1 : 0). Polára p bodu B je v homogenních souřadnicích určena rovnicí (27): xT-F-b = (x y x0) -1 '2N -1 loj = - -2). -lx-x0 = 0, 1-1 -1 -1. neboli x = -2x0 (v afinních souřadnicích x = -2). Průsečíkem této přímky s kuželosečkou jsou body dotyku tečen; ty obdržíme řešením rovnice -2x0y + y2 + 4x2 - 2yx0 - x2 = y2 - 4x0y + 3x2 = 0. Ta pro x0 = 0 nemá vyhovující řešení; pro x0 ± 0 dostáváme y 4 + 2 buď 3, nebo 1. Příklad: pokračování Body dotyku tedy jsou 7! = (-2 : 3 : I) a 72 = (-2 : 1 : ±] Tečna v bodě T-i je polárou tohoto bodu: xT-F-t1=(x y x0) 0 1 -n 2 -2' 1 2 1 -1 3 = |x + y - 2x0 = 0 -1 -1 -1, U J Podobně určíme tečnu v bodě 72... Tečny kuželosečky procházející (nevlastním) bodem B jsou v afinních souřadnicích určeny rovnicemi19 y = -ix + 2 a y 19srovnejte závěry s obrázkem na s. 65 Projektivní klasifikace Druh kuželosečky podle seznamu na s. 22 není projektivně invariantní: Při projektivních zobrazeních mohou být libovolně zaměňovány vlastní a nevlastní body proto např. elipsa, hyperbola a parabola jsou projektivně nerozlišitelné, neboli ekvivalentní.20 Věta Každá kuželosečka v projektivní rovině je vzhledem k vhodně zvolené bázi vyjádřena některou z následujících rovnic: 0 0 (imaginární regulární kuželosečka) 0 regulární kuželosečka 2 2 y - x 0 dvě přímky y2 + X2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních přímek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Zde jsou kuželosečky rozděleny podle míry degenerovanosti: regulární (hodnost 3), singulární hodnosti 2 a singulární hodnosti 1. 20viz též položky (E) v definicích na s. 3, 17 a 18 Znovu o polaritě Užitek Projektivní vlastnosti 85 Přestože druh kuželosečky se při projektivních zobrazeních nezachovává, polární sdruženost ano: Věta Ozn. A', B' a 7C' obrazy bodů A, B a kuželosečky 'K vzhledem k nějakému (bijektivnímu) projektivnímu zobrazení. Potom body A a B jsou polárně sdružené vzhledem ke "K <==> body A' a B' jsou polárně sdružené vzhledem ke 7C'. Důkaz. Plyne ze základní věty projektivní geometrie (a předchozích definicí) □ (s.43) Naposledy o polaritě Odtud a z předchozí interpretace polární sdruženosti vyplývá: (s. 81) Věta Ozn. p poláru obecného bodu P vzhledem k regulární kuželosečce 7C. Pro lib. přímku procházející P ozn. U, V a Q její průsečíky s 7C ap. Potom platí, že tyto body jsou v harmonickém poměru, tzn. (s. 42) (PQUV) = -1. Důkaz. Stačí uvažovat nějaký velmi specifický případ a obecné projektivní zobrazení... < OBR > O středu V důkazu předchozí věty jsme operovali se středem kružnice a uvědomili jsme si, že to není projektivní invariant. Střed kuželosečky (= její střed souměrnosti) je však zachován při afinních zobrazeních a platí Věta Střed kuželosečky je pólem nevlastní přímky. Průměr kuželosečky je polárou nějakého nevlastního bodu. Poznámky Regulární kuželosečka má právě jeden střed, singulární kuželosečky mohou mít středů víc.21 Středové kuželosečky mají (aspoň jeden) vlastní střed, nestředové nemají (žádný) vlastní střed. zejména každý singulární bod je středem 0 středu Užitek Afinní vlastnosti 88 Uvažme kuželosečku 'K určenou rovnicí ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxx0 + 2eyx0 + fx2 = 0, tzn. matice odpovídající kvadratické formy je a b ď| b c e d e f ozn. F a b b c Bod S = (x : y : xq) \e středem kuželosečky 'K, právě když platí xT-F-s = (* * O) (a b ď b c e y = o, [d e f, tedy právě když je řešením soustavy rovnic í y\ a b d b c e x y (28) (29) (30) Užitek Afinní vlastnosti 1 Věta Kuželosečka 'K má právě jeden vlastní střed det F t 0. Důkaz. Střed S je vlastní <==> x0 + 0. V takovém případě má soustava (30) jednoznačné řešení determinant matice soustavy je + 0. Poznámky Pokud 'K nemá vlastní střed, potom nutně det F = 0. Pokud det F = 0, potom 'K nemá vlastní střed (např. parabola) nebo má vlastních středů víc (např. dvojice rovnoběžek). O nevlastních bodech Nevlastní body kuželosečky jsou její průsečíky s nevi. přímkou x0 = 0. Tedy bod N = (x : y : 0) je nevlastním bodem kuželosečky (28), právě když platí ax" + 2bxy + cy" = 0. (31) Věta Kuželosečka 'K má - žádný nevlastní bod (dva komplexně sdružené) <= ► dva různé nevlastní body <==> det F < 0, ► jeden nevlastní bod (dvojnásobný) <==> detF = 0. det F > 0, Důkaz. Nemůže být současně x = 0 a y = kvadratickou rovnicí vzhledem k ^, 0; po dělení x, resp. y je (31) resp. f, jejíž diskriminant je D = 4b - 4ac -4 det F. Poznámky Pokud je F = k ■ F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí detF' = k3- det F a det F = k2 ■ det F. Zejména det P a det F mají stejná znaménka, takže předchozí diskuze vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Tečna v nevlastním bodě kuželosečky je její asymptotou. Díky všem těmto vymezením se určování středů, průměrů a asymptot neliší od určování pólů, polár a tečen...22 konkrétní ukázky jsou v úvodním příkladu na s. 67-69, viz též s. 82 A, Afinní klasifikace Užitek Afinní vlastnosti 92 Afinní klasifikace kuželoseček se neliší od seznamu na s. 22, akorát konstanty a, b, p ak nemají výše uvedený význam. Věta Každá kuželosečka v afinní rovině je vzhledem k vhodně zvolené afinní souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: x2 + y2 4- 1 = 0 0 (imaginární elipsa) x2 + y2 - 1 = 0 elipsa 2 2 x - y - 1 = 0 hyperbola y2- 2x = 0 parabola y2- x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2 - 1 = 0 dvě rovnoběžné přímky y24 x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 4- 1 = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) > Afinní klasifikace Užitek Afinní vlastnosti 93 Vzhledem ke značení a pozorování na s. 88-90 můžeme předchozí klasifikaci zpřehlednit následovně: detF + 0 det F = 0 detF > 0 elipsa (re, im) bod detF < 0 hyperbola různoběžky detF = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámka Případy „re" a „im" značí existenci reálných bodů („im" znamená 0). Případ „=" značí jednu dvojnásobnou přímku; to je singulární kuželosečka hodnosti 1. V klasifikaci neuvažujeme singulární kuželosečky, jejichž tvořící přímka je nevlastní; takové kuželosečky nelze vyjádřit v afinních souřadnicích. Metrické vlastnosti S metrickými záležitostmi jsme celý kurz zahajovali, takže se nemusíme opakovat. Zejména osy, hlavní průměry a jejich velikosti, excentricita, ohniska, řídící přímky apod. jsou všechno pouze metrické invarianty. Pro zajímavost doplňujeme: Věta Ohnisko je pólem řídící přímky, řídící přímka je polárou ohniska. Důkaz. Plyne z předchozího popisu, viz též upřesnění na s. 11. □ (C.13) Poznámky Ohnisko a řídící přímka byly definovány pouze pro regulární kuželosečky, a to vztahem23 \XF\ : \Xd\ = konst., kde F je ohnisko, d řídící přímka a X lib. bod na kuželosečce. Je zajímavé, že v tomto duchu lze charakterizovat také (některé) ostatní kuželosečky... [Ja-Se, věta 18.4] F id Fed konst. < 1 elipsa (re) bod konst. > 1 hyperbola různoběžky konst. = 1 parabola rovnoběžky (=) Viz položky (C) v definicích na s. 3, 17 a 18 Metrici- etrická klasifikace Užitek Metrické vlastnosti 96 Metrickou klasifikaci známe ze s. 22; pro pořádek ještě zopakujeme: Věta Každá kuželosečka v eukleidovské rovině je vzhledem k vhodně zvolené kartézské souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: x2 y2 Y2 + b~2 + ' = 0 0 (imaginární elipsa) a2 b2 = 0 elipsa, příp. kružnice (pro a = b) x2 y2 a2 b2 = 0 hyperbola y2 - 2px = 0 parabola y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2-k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + k2x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 + k2 = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) esnění: charakteristická čísla Užitek Metrické vlastnosti 97 Hlavní vektory kuželosečky jsou charakteristickými vektory matice F. Charakteristický polynom lze vyjádřit takto24 det(F - AE) = Ä2 - trF-/1 + detF = 0, kde tr značí stopu matice, tj. součet čísel na diagonále. Kořeny, tzn. charakteristická čísla, označíme A-\ a A2; tedy (s. 57) det F = /li • A2 tr F = Ai + A2 Zejména znaménko, příp. nulovost det F souvisí se znaménky, příp. nulovostí A.-\ a A2, viz dále. 4viz (C.9) a příklad na s. 71 Upřesnění: klasifikace Vzhledem k dosavadním značením a pozorováním můžeme předchozí klasifikaci formulovat následovně: det F ^ 0 det F = 0 sgn/l! = sgn/l2 elipsa (re, im) bod sgn/l! = -sgn/l2 hyperbola různoběžky A-\ = 0 nebo A2 = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámky Speciálně, pokud platí A-\ = A2, potom je každý směr hlavní, tzn. každý průměr určuje osu souměrnosti (např. u kružnice). Pokud je A-t = 0 nebo A2 = 0, potom odpovídající směr ukazuje na nevlastní střed kuželosečky (např. u paraboly). Upřesnění: středové Jaký je vztah mezi charakteristickými čísly matice F a číselnými charakteristikami kuželosečky 7C? Středová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici A-t x2 + A2y2 + t = 0 pro nějaké feR. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se det F ani det F nezmění, tedy detF = Ay-A2-i a det F = Ay-A2. Odtud vyjádříme t a předchozí rovnice má tvar A^x2 + A2y2 detF detF 0. Porovnáním s kanonickými tvary na s. 96 zjišťujeme, že detF det F-/li a b detF detF-/l2 resp. k (32) Regulární nestředová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici A2y2 + 2mx = 0, pro nějaké mel. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se det F (ani det F = 0) nezmění, tedy det F = -A2 ■ m2. Odtud můžeme vyjádřit m; porovnáním s kanonickým tvarem na s. 96 zjišťujeme, že det F 4 (33) Pokud je F = k ■ F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí detF' = k3■ detF, detF' = k2■ detF, A'=k-Ai a A'=k-A2 Tedy předchozí úvahy a zejména závěry v (32) a (33) vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Pro singulární nestředové kuželosečky je det F = det F = 0, tedy vztah mezi A2 a k z kanonického tvaru není zřejmý... Cvičení (010) Podle návodů z této kapitoly rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2 + 2xy+y2 + 2x+y = 0 nebo 8x2 + 4xy+5y2 + 16x+4y = 28. Určete nevlastní body, střed, hlavní směry (osy) a číselné charakteristiky kuželosečky. Doplňte obrázek a porovnejte se závěry cvičení (C.5). (C.11) Pro kuželosečku z předchozího cvičení určete tečnu v nějakém jejím regulárním bodě. (012) Ukažte, že rovnice polár na obrázku na s. 81 jsou správně. (013) Dokažte tvrzení na s. 94. Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Obecné kvadriky 104 Úloha Apollóniova a pod. 107 Cvičení 113 Obecné kvadriky Poznámky Obecné kvadriky 104 Díky velmi obecnému algebraickému základu tušíme, že pojem kuželosečky má vícerozměrné analogie: Definice n-rozměrná kvadrika v projektivním prostoru QCP(V) dimenze n + 1 je množina všech bodů, jejichž zastupující vektory ve V jsou nulovými vektory nějaké (nenulové) kvadratické formy F : V -> R, tzn. a = (XeP(ť):F(x) = 0). (34) Poznámky 1- rozměrné kvadriky jsou právě kuželosečky. 2- rozměrné kvadriky jsou např. sféry, elipsoidy, hyperboloidy; kužele, válce; dvojice rovin apod. Průnikem roviny s kteroukoli 2-rozměrnou kvadrikou je (zpravidla) nějaká kuželosečka. Obecně: průnikem n-rozměrné kvadriky Q s n-rozměrným projektivním podprostorem je (n - 1)-rozměrná kvadrika.25 25pokud Q onen podprostor neobsahuje (s. 73) Většina poznatků, které jsme formulovali pro kuželosečky (n = 1) zřejmá zobecnění: maji n-rozměrná kvadrika je jednoznačně určena \{n + 4)(n + 1) body v dostatečně obecné poloze; (s. 74) regulární/singulární body a kvadriky beze změny; (s. 76) polární sdruženost beze změny, akorát místo polár máme polární nadroviny a místo tečen tečné nadrovinu; (s. 77) středy a průměry beze změny, akorát místo asymptot máme asymptotické nadroviny; (s. 87) osy, hlavní průměry a jejich velikosti beze změny. (s. 99) Podstatnější rozdíly pozorujeme pouze při klasifikacích — myšlenky jsou stejné, akorát se musíme zorientovat ve více možnostech; podrobnosti a ostatní zajímavosti lze najít např. v [Ja-Se, Sek]... n = 2: klasifikace Poznámky Obecné kvadriky Náznak afinní klasifikace 2-rozměrných kvadrik je na následujícím obrázku: Double Planes \ Intersecting Planes N Elliptical Cylinders Parabolic Cylinders Hyperbolic Cylinders Elliptical Paraboloids Cones Hyperbolic Paraboloids erbolic Paraboloi I X Ellipsoids Hyperboloid* (J sheet) Hyperboloids (1 sheet) Úloha Apollóniova Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 1 107 Úkolem obecné Apollóniovy úlohy je sestrojit kružnici (resp. cyklus),26 která se dotýká tří daných kružnic (resp. cyklů). Středy cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů tvoří vždy nějakou kuželosečku (k) — pro cykly a, b se středy A, B a poloměry ra, rb platí: Věta ► Je-li \ra - rb\ > \AB\, pak k je elipsa s ohnisky A, B a délkou hlavní osy Va - rb\. + Je-li \ra - rb\ < \AB\, pak k je hyperbola s ohnisky A, B a délkou hlavní osy\ra - rb\. Zde uvažujeme ra, rb e R jako orientované poloměry, tzn. znaménko ra odpovídá orientaci cyklu a. Ve speciálních, resp. mezních případech může být kuželosečka k kružnicí nebo přímkou... °cylkus = orientovaná kružnice Řes ešení pomocí průniku kuželoseček Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 1 08 Gerqonovo řešení Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 109 (1) Středy cyklů, které se dotýkají tří dvojic daných cyklů, tvoří tři kuželosečky; (2) středy hledaných cyklů (Mi a M2) jsou společnými body těchto tří kuželoseček; (3) dotykové body jsou na spojnicích středů. Jiné řešení Apollóniovy úlohy je založeno na polární sdruženosti (vzhledem k daným kružnicím). Zdůvodnění následující konstrukce plyne z těchto poznatků: (a) spojnice (li) dvojic dotykových bodů na každém cyklu prochází společným bodem (P), jež je potenčním středem daných tří kružnic; (b) póly (Li) těchto spojnic vzhledem k odpovídajícím kružnicím leží na jedné přímce (ch), jež je právě chodrálou dvou kružnic řešení; (c) přímka ch je osou podobnosti tří daných cyklů-27 (d) protože L, e ch a L, je pól /,-, musí pól ch vzhledem ke každé z daných kružnic ležet na odpovídající přímce I,. 7tj. spojnice tří středů stejnolehlosti Gergonovo řešení Poznámky Úloha Apollóniova a pod. | Lieova kvadrika Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 1 Jiné řešení úlohy Apollóniovy je založeno na identifikaci cyklů v eukleidovské rovině s body na 3-rozměrné tzv. Lieově kvadrice a polární sdruženosti (vzhledem k této kvadrice): Cyklus c se středem (Ci : C2 :1) a poloměrem rc určuje bod ve 4-rozměrném projektivním prostoru C :— (Ci : C2 : rc : C2 rz - rz u2 rc 1), a ten navíc leží na 3-rozměrné kvadrice Q cf(V) určené kvadratickou formou F : V -> R s maticí (1) chab,chbc, chac jsou chordály tří dvojic daných kružnic, jež prochází jejich potenčním středem P; (2) Oab, Obc, Oac jsou středy stejnolehlostí tří dvojic daných cyklů, jež leží na jejich ose podobnosti; (3) Pa, Pb, Pc jsou póly této přímky vzhledem k daným kružnicím; (4) dotykové body jsou na spojnicích PPa, PPb, PPC. 1 0 o o 1 o 0 0-1 0 0 0 0 0 0 o o o o _1 2 o o o _1 2 o) ieova kvadrika Přiřazení cyklus c v eukleidovské rovině i-> bod Č na Lieově kvadrice je injektivní;28 přímým rozepsáním se přímo ověří, že Věta Cykly c ad se dotýkají <==> body Č a Ď jsou polárně sdružené. Tedy algebraické řešení úlohy Apollóniovy vypadá takto: (1) Pro tři dané cykly a, b, c29 uvažme odpovídající body Á, B, Č na Lieově kvadrice QcP(V); (2) všechny body v f{V), které jsou polárně sdružené k Á, B, Č vzhledem ke Q, tvoří přímku (řešení soustavy 3 lineárních rovnic); (3) tato přímka protíná kvadriku Q ve dvou bodech M, Ň (řešení 1 kvadratické rovnice); (4) tyto body odpovídají dvěma hledaným cyklům m, n. 28lze rozšířit také pro body (r — 0) a přímky (r — oo)... 29v dostatečně obecné poloze (ve spec. případech může být řešení víc nebo taky žádné) Literatura Poznámky Cvičení 114 J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, MU, 1996, http://www.math.mimi.cz/~janyska/LAKUZ.pdf F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996 K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968 M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988 Z. Šír, Řecké matematické texty, OIKOYMENH, 2011 P. Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf (C.14) S využitím poznatků tohoto kurzu zpracujte jakýkoli (váš oblíbený) příklad, a to nejlépe interaktivní formou.30 viz např. http: //geogebra. org