Ma3DC_KG4: Kuželosečky a kvadriky Plán ► elementární (geometrické) definice, ekvivalentní vymezení, vlastnosti ► analytické (algebraické) vyjádření, invarianty, klasifikace ► příklady, užitek, srovnání Zakončení ► aspoň polovinu písemně (a uspokojivě) vypracovaných úloh ► aspoň polovinu bodů u závěrečné písemky Poslední aktualizace: 22. listopadu 2015, Vojtěch Žádník Geometrie 1 Úvod 2 Elipsa 3 Ostatní kuželosečky 16 Cvičení 20 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Kuželosečky jsou rovinné řezy kuželové, příp. válcové plochy.1 Nedegenerované (regulární) kuželosečky jsou vyseknuty rovinou, která neprochází vrcholem kužele: ► elipsa (spec. kružnice) — žádný nevlastní bod, ► parabola —jeden nevlastní bod, ► hyperbola — dva nevlastní body. Degenerované {singulární) kuželosečky jsou určeny rovinou, která obsahuje vrchol kužele._ 1 Válec je kužel s nevlastním vrcholem. Uvažovaný kužel/válec nemusí být nutně rotační. I. i ■ i j_ r i r1 ■ Geometrie ipsa: ekvivalentní definice EiiPsa Elipsa je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky; (B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní součet vzdáleností od dvou bodů E a F: |EX| + |XF| = konst.; (C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž \XF\ : \Xd\ = konst. < 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) 2 P 2 x2 y2 y = 2px - -x% resp. — + — = 1; a a2 b2 (E) afinní obraz kružnice. Související pojmy Geometrie Elipsa ► Body E a F jsou ohniska, přímka d je řídící přímka elipsy, ► elipsa je souměrná podle dvou navzájem kolmých os, a = délka hlavní poloosy, b = délka vedlejší poloosy (a > b), ► elipsa je souměrná podle středu = průsečíku jejích os, ► konstanta v (B) je rovna 2a, ► konstanta v (C) je rovna § = (numerická) výstřednost, kde e = Va2 - b2 = (lineární) výstřednost, ► kvadratická rovnice v (D) je tzv. vrcholová, resp. středová rovnice elipsy,2 kde P = y = Parametr- Poznámky Ekvivalenci (A) <^=> (E) známe z Konstrukční geometrie. Ostatní ekvivalence a podrobnosti k uvedeným číselným charakteristikám ukážeme za chvíli (s. 9-11). 2Pojmenováno podle umístění počátku odpovídající souřadné soustavy. Věta Apollóniova Geometrie Elipsa Uvažme kužel s kruhovou podstavou a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom pro libovolný bod A na elipse platí A/W2 = EM-ME, (1) kde M je pata kolmice z A na A E a E je bod na úhlopříčce pevného přiloženého obdélníku se stranami A E a EQ, kde EQ je určená vztahem AE : EQ = AK2 : (BK-KV).3 3Za chvíli bude patrné, že velikost EQ je rovna právě dvojnásobku parametru p. Důkaz věty Apollóniovy Geometrie Elipsa Z definující rovnosti pro úsečku EQ a podobností několika trojúhelníků plyne: AM _ AE _ AK AK _ EM AM ~M= ~ Ě0 ~ BÄČ7ČT ~ MU ~MP' Levou stranu rozšíříme ME, aby poměry na obou stranách měly stejný čitatel. Odkud plyne rovnost jmenovatelů ME • ME = /Wn • MP. Rovina AľlP je rovnoběžná s podstavou, tudíž řezem kuželové plochy touto rovinou je kružnice a ľlP je její průměr. Podle Thaletovy věty je úhel ľl AP pravý. Podle Eukleidovy věty o výšce platí Mn-MP = MA2. Dosazením do předchozí rovnice dostáváme (1). □ Věta Dandelinova-Queteletova Uvažme rotační kužel a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom ohniska této elipsy jsou právě body dotyku kulových ploch, které se dotýkají jak kužele, tak roviny řezu. Důkaz věty Dandelinovy-Queteletovy Geometrie Elipsa 8 Chceme ukázat, že platí \EX\ + \XF\ = konst., tedy že E a F jsou právě ohniska elipsy: Všechny tečny z daného bodu k dané kulové ploše jsou stejně dlouhé. Proto \EX\ = \DX\ a \XF\ = \XH\, a tudíž \EX\ + \XF\ = \DX\ + \XH\ = \DH\. Kužel je rotační, tedy vzdálenost \DH\ je stále stejná pro všechny povrchové přímky. □ Důsledky: ekvivalence (A) a (D) Přímo z věty Apollóniovy: Označíme |E0| =: 2p, |EA| =: 2a, \EM\ :=xa |/WA| Z podobnosti trojúhelníků ©EA a E/WA plyne |EM| = -(2a-x). a Rovnici (1) pak můžeme přepsat jako což je právě vrcholová rovnice elipsy v (D). Odtud se snadno vyvodí středová rovnice... Důsledky: ekvivalence (A), (B) a (C) Geometrie Elipsa 10 Z věty Dandelinovy-Queteletovy přímo plyne (A) <^^> (B). Ke zdůvodnění (A) <^^> (C) stačí ukázat, že průsečnice p = p n a je právě řídící přímkou elipsy, tedy že pro ohnisko F a pro libovolný bod X na elipse platí \XF\ : \Xp\ = konst. < 1: \XP\ = |Xp|, kde P je pata kolmice z X na p (v bočním průmětu nezkresleně). \XF\ = \XH\ (v bočním průmětu vidíme jako \X0H0\). Odtud plyne \XF\ : |Xp| = IXqHqI : |XP|. Trojúhelníky AH0P a AX0X jsou stejnolehlé, takže |X0H0| : |XP| = \AH0\ : \AP\ = konst. < 1. □ Upresnení (s. 4) ► Dosazením souřadnic vedlejšího vrcholu do vrcholové rovnice (D) snadno ověříme, že p = y- ► Obdobným způsobem z téže rovnice plyne, že ^ Je délka poloviny tětivy, která prochází ohniskem a je kolmá k hlavní ose. ► Rozepsáním vlastnosti (C) pro dva specifické body zjišťujeme, že 2 vzdálenost řídící přímky d od vedlejší osy je ► Vzdálenost řídící přímky d od ohniska F je ^. ► Z uvedeného zejména plyne, že konstanta v (C) je skutečně rovna f. (C.3) Geometrie Elipsa 11 Poznámky: ohniskové vlastnosti Z ohniskových vlastností elipsy lze vyvodit několik dalších poznatků, které jsou užitečné např. při (eukleidovských) konstrukcích tečen... Poznámky: ohniskové vlastnosti ... nebo při kreslení elipsy jako takové... i-N ' i r r* ■, Geometrie Poznámky: osová afinita ENPsa u Pomoci vhodné osové afinity umíme některé konstrukce redukovat na jednodušší konstrukce s kružnicí, viz např. tečny nebo průsečíky s přímkou... Poznámky: sdružené a hlavní průměry Geometrie Elipsa 15 U obecné osové afinity jsme uměli najít hlavní průměry, tj. navzájem kolmé sdružené průměry... Geometrie Ostatní kuželosečky 16 Většinu výše uvedených poznatků o elipse lze snadno modifikovat pro ostatní regulární kuželosečky, tj. pro hyperbolu a parabolu. Uvádíme několik ekvivalentních definicí v duchu s. 3, jejichž zdůvodnění a upřesnění necháváme čtenáři jako doporučené cvičení...4 (C.3) 4K čemu asi slouží tento obrázek? ■ i li i • i , r i r ■ ■ Geometrie Hyperbola: ekvivalentní definice ostatní kuželosečky Hyperbola je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě dvou; (B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní rozdíl vzdáleností od dvou bodů E a F: \EX\ - \XF\ = konst.; (C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž \XF\ : \Xd\ = konst. > 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) 2 P 2 x2 y2 y = 2px + -x% resp. — - — = 1; a a2 b2 (E) projektivní obraz kružnice se dvěma nevlastními body. i—> i i i ■ i , r i r ■ ■ Geometrie Parabola: ekvivalentní definice ostatní kuželosečky 18 Parabola je (A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě jedné; (B) - (C) množina bodů v rovině, jež mají stejnou vzdálenost od bodu F a přímky d, tzn. \XF\ : |Xcř| = 1; (D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě) y2 = 2px; (E) projektivní obraz kružnice s jedním nevlastním bodem. Singulární kuželosečky Geometrie Ostatní kuželosečky Singulární kuželosečky jsou sjednocením nebo průnikem dvou přímek. Podle vzájemné polohy řezné roviny a kuželové/válcové plochy mohou nastat tyto případy: ► dvě různé přímky (různoběžné/rovnoběžné), ► bod,5 ► dvě splývající přímky. Každá z těchto kuželoseček je určena kvadratickou rovnicí (vhledem k vhodné souřadné soustavě): ► y2 = k2x2, resp. y2 = k2, ► y 2 0. kde k je nějaká nenulová konstanta. 5Tento případ budeme interpretovat jako průsečík dvou imaginárních (komplexně sdružených) přímek. Cvičení Geometrie Cvičení (C.1) Dokažte, že algebraická vyjádření v (D) jsou skutečně dvojím vyjádřením téže kuželosečky, napište odpovídající transformaci souřadnic a vše ilustrujte výmluvným obrázkem. (C.2) Odvoďte některé z vyjádření v (D) bez Apollóniovy věty, tzn. přímo z (B), (C) nebo (E). (C.3) Dovysvětlete některá upřesnění na s. 11, některé z poznámek na s. 12-15 a některé z ekvivalencí na s. 17-18. (C.4) Dokažte, že numerická výstřednost kuželosečky je rovna \XF\ : \Xd\ = sin a : sin/3, kde a = odchylka podstavy kužele od roviny řezu a/3 = odchylka podstavy kužele od jeho tvořících přímek. Geometrie 1 Mezihra 21 Kanonické tvary 22 Příklady 25 Závěry a výhledy 31 Cvičení 35 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Mezishrnutí: kanonické tvary Kanonické tvary 22 Následující rovnicová vyjádření jsou tzv. kanonické tvary. Jedná se o vyjádření všech možných kuželoseček vhledem k vhodně zvoleným (kartézským) souřadným soustavám (viz s. 3, 17-19): x2 y2 a2 b2 x2 y2 — + — - 1 =0 elipsa (příp. kružnice) a^ bd x2 y2 — - — - 1 =0 hyperbola a^ y2 - 2px = 0 parabola y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2 - k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + k2x2 = 0 bod y2 + k2 = 0 0 y2 = 0 jedna (dvojnásobná) přímka Mezishrnutí: obecná rovnice Mezihra Kanonické tvary Rovnicové vyjádření kuželosečky závisí na zvolené souřadné soustavě. Každá z výše uvedených rovnic se vzhledem k obecné afinní transformaci x' = kx + ly + o, y' = mx + ny + q (2) změní na rovnici tvaru Ax'2 + 2Bx'y' + C/2 + 2Dx' + 2E/ + F = 0, (3) kde koeficienty A, 6,..., F závisí na /c, /,..., q (a na koeficientech a,b,p,...). Naopak, pokud rovnice tvaru (3) má řešení, potom určuje nějakou kuželosečku. Druh této kuželosečky lze nejlépe rozpoznat tak, že rovnici nějak upravíme do kanonického tvaru. Přitom každá z provedených úprav představuje nějakou (afinní) transformaci souřadné soustavy (viz závěry na s. 31-32). Mezishrnutí: obecná úmluva Mezihra Kanonické tvary Při manipulacích s danou kuželosečkou často končíme s obecnou souřadnou soustavou. Vždy však předpokládáme, že: Úmluva Rovnice kuželosečky v zadání každé úlohy je vyjádřena vzhledem ke kartézské souřadné soustavě. Mezipříklad 1 Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí 4y2 - x2 - 4x - 8 = 0. Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto: 4y2-x2 - 4x - 8 = 4y2-(x + 2)2 + 4 - 8. Nahrazením x' = x + 2, / = y (4) dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky 4/2 - x/2 - 4 = 0. Odtud již snadno rozpoznáváme hyperbolu. Souřadnice středu jsou zřejmé z (4)... Použitá transformace je pouhým posunutím, tedy shodností. Proto po dodatečné úpravě y 4 umíme určit velikosti hlavní a vedlejší osy... Mezihra Příklady 25 Mezipříklad 2 Mezihra Příklady 27 Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí y2 + xy - 2x - 2y - 1 = 0. Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto: y2 + xy - 2y - 2x - 1 = y+lx-1 \2 1 p - -x2 + x- 1 - 2x - 1. 4 Nahrazením 1 y+-x-1 x =x, y = dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky y'2 - -x'2 - x' - 2 = 0. 4 (5) To je právě zadání příkladu 1, odkud víme, že se jedná o hyperbolu, Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 1 a transformace (5). Mezipříklad 3 Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí xy - 2x - 1 = 0. Na levé straně postrádáme kvadratický člen, ke kterému si však lze dopomoci např. dosazením x = x' + y', y = y', neboli x' = x - y, y' = y. (6) Takto dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky (x' + y')/ - 2(x' + /) - 1 = y/2 + xY - 2x' - 2y' - 1 =0. To je právě zadání příkladu 2, odkud víme, že se jedná o hyperbolu. Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 2 a transformace (6)... Mezihra Příklady 29 Mezivýsledky: kanonický tvar Mezihra Závěry a výhledy 31 Zobecněním úvah z předchozích příkladů zjišťujeme, že. ... jakoukoli rovnici typu Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (7) lze vždy upravit do kanonického tvaru, a to opakováním úprav dvojího druhu: (1) doplnění do čtverce a následná substituce (předp. A + 0) Ax2 + 2Bxy + 2Dx + = A B D \2 x + —y + — A A B2 p 2BD y + ^ry + = Ax'2 - A2 B2 A2 y'2 + A2 2BD ~Ä2~ A< + , D2 y+A~2 + (2) substituce x = x' + y',y = y' (pokud A = C = 0) Bxy H----= B(x' + y')y' H----= B/2 + Bx'y' + Mezivýsledky: transformace a dál? Závěry a výhledy 32 Postupným skládáním použitých substitucí lze vždy určit výslednou transformaci souřadnic. V případě, že kuželosečka je středová, lze odtud vyjádřit střed kuželosečky. Pokud je transformace shodností, potom lze z kanonického tvaru zjistit také směry os a číselné charakteristiky kuželosečky. Příklady 1-3 Na rozdíl od transformace (4) není transformace (5), resp. (6) shodností. Proto určení hlavní a vedlejší osy hyperboly v příkladu 2, resp. 3 není tak bezprostřední jako v příkladu 1... » i r i i lil ' v ■ Mezihra Výhled: hlavni veta závěryavýhledy 33 Předchozí typ uvažování je poměrně pracný, což nás motivuje k dalšímu zevrubnému studiu. Od nynějška směřujeme k důkazu hlavní věty celého kurzu: Věta S trochou algebry je všechno velmi snadné. Výhled: nástroje Mezihra Závěry a výhledy 34 Obecnou rovnici (7), Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0, budeme zapisovat pomocí matic takto (x y 1) f a b d) b C e • y (d e f) [v 0. (8) Levá strana je vyčíslením kvadratické formy f : r3 —> R na vektoru x = (x,y,1). Vektor x = (x, y, 1) představuje homogenní souřadnice bodu v rovině s (afinními) souřadnicemi X = [x,y]; zde uvažujeme projektivní rozšíření R2 = p(r3) afinní, příp. eukleidovské roviny R2. Matice v (8) je maticí polárni formy f: R3 x R3 —> R příslušné F vzhledem k odpovídající souřadné soustavě. Cvičení Mezihra Cvičení (C.5) Podle předchozího návodu rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2+2xy+y2+2x+y = 0 nebo 8x2+4xy+5y2 + 16x+4y = 28. Vyjádřete celkovou transformaci souřadnic, pokuste se identifikovat střed a číselné charakteristiky kuželosečky a doplňte obrázek. Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Projektivní rozšíření 37 Dvojpoměr a základní věta 42 Cvičení 44 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Projektivní rozšíření Opakování Projektivní rozšíření 37 Afinní přímka má jeden nevlastní bod = bod „v nekonečnu". '4,-, A. v \ 1 / A, Nevlastní body obecného afinního prostoru JI, ozn. oo^, jsou reprezentovány skupinami navzájem rovnoběžných přímek v Jí, neboli směry6 v zaměření Jí. Projektivní rozšíření afinního prostoru Jí je množina J\ := Ji u oo^, 6směr = vektor „až na násobek" = jednorozměrný vektorový podprostor i—> ■ i ■ 1 ' v r\f r Opakování PrOjektlVni rOZSireni Projektivní rozšíření 38 Přiřazení —> bod A i-> přímka a = A + S h> směr (a) = (SA) určují bijektivní zobrazení mezi množinami: [body v projektivním rozšíření JI = JI u oo^J = = [přímky v afinním prostoru JI + S procházející bodem s] = = [směry ve vektorovém prostoru Jí + SJ. Přitom nevlastní body v JI jsou charakterizovány takto: D eoo^ <^> d || JI <^> del Projektivizace Obecný projektivní prostor je definován takto: Definice Projektivní prostor s vektorovým zástupcem V (nebo projektivizace vektorového prostoru V) je množina všech směrů ve V; značíme P(V). Poznámky Projektivní rozšíření JI afinního prostoru JI je projektivní prostor s vektorovým zástupcem V = Jl + S, neboli JÍ = P(Jl + S). Uvědomme si, že dimP(V) = dim V - 1. A ř1 ' I ' v I ■ Opakování Afinní vs. homogenní souřadnice projektivní rozšírení 40 Uvažme afinní prostor s afinní souřadnou soustavou (O; ei, e2,...). Afinní souřadnice bodu X e jsou souřadnice vektoru ÔX e ~9( vzhledem k bázi (ei, e2,...). Píšeme X = [x-|,x2,...], což znamená X = O + x^i + x2e2 H----. Pro projektivní rozšíření= P(V), kde I/d^, uvažme rozšířenou bázi (e1,e2,...,en_), kde e0 e V\Jl. Definice Homogenní souřadnice bodu X e JI zastoupeného vektorem x e V jsou souřadnice tohoto vektoru vzhledem k bázi (ei, e2,..., e0). Píšeme X = (x-i : x2 : • • • : x0), tzn. x = x-iei + x2e2 H-----h x0eo. Pozor Homogenní souřadnice nejsou určeny jednoznačně; každé dva zastupující vektory jsou však kolineární, proto X = (x1 : x2 : • • • : x0) = (ax1 : ax2 : • • • : ax0) pro lib. a ŕ 0. Afinní souřadnou soustavu (O; e-i,e2) roviny & rozšíříme o vektor Vlevo: vlastní bod A = O + 3e^ +e2 = S + eo + 3e^ +e2méL afinní souřadnice [3,1] a homogenní souřadnice (3:1 : 1) = (-6 : -2 : ^2) = • • • . Vpravo: nevlastní bod zastoupený přímkou se směrovým vektorem a = -2e^ + e2 nelze vyjádřit v afinních souřadnicích, jeho homogenní souřadnice jsou (-2 : 1 : 0) = (-6 : 3 : 0) = • • • . ■-v ■ v Opakování U VOJ PO ITIGr Dvojpoměr a základní věta 42 Definice Pro čtveřici (A, 6, C, D) vlastních, kolineárních a navzájem různých bodů je dvojpoměr této čtveřice roven podílu dělicích poměrů: ,An„^ {ABC) AC AD Poznámky Dvojpoměr je základním (definujícím) invariantem projektivních zobrazení. Je-li bod D nevlastní, potom (AB Doo) = lim (AB D) = 1, a proto platí D—>oo (AB CDoo) = (AB C). Pokud je náhodou (AB CD) = -1, říkáme, že čtveřice bodů je v tzv. harmonickém poměru.7 7Tedy např. čtveřice A, B, střed úsečky AB a nevlastní bod přímky AB (v tomto pořadí) je vždy v harmonickém poměru. r i i i ^ v , 'li1 ^ , ■ Opakování Základní veta projektivní geometrie Dvojpoměrazákladna 43 Bijektivní lineární zobrazení v|/ : V —> V indukuje zobrazení mezi projektivními prostory ifr :P(V) -> P(V), a to tak, že t/r«x» = , pro lib. nenulový x e V. (10) Toto zobrazení je zřejmě bijektivní a projektivní. Naopak: Věta Každé bijektivní projektivní zobrazení ifr : ^(V) —> P(V) je určeno nějakým bijektivním lineárním zobrazením vl/ : V —> V jako v (10). Poznámka Projektivní zobrazení ifr: JI —> 3\! je afinní <^=> t/r zobrazuje oo^ c do oo^ c j^/8 <^> vl; : v V zobrazuje^cl/do^c V. nevlastní body na nevlastní (tzn. vlastní na vlastní) Cvičení Opakování Cvičení 44 (C.6) Zopakujte si všechny pojmy, které používáme a budeme používat bez vysvětlení, jako např. vektorové prostory a (rr\u\\\-) lineárni zobrazení, charakteristická čísla a vektory, afinní prostory a zobrazení, ... Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Kvadratické formy 46 Polarita 49 Hlavní vektory 54 Cvičení 62 Užitek 63 Poznámky 103 Bilineární a kvadratické formy Algebra Kvadratické formy y 46 Definice Zobrazení F : V -> R vektorového prostoru V do tělesa R se zove kvadratickou formou, pokud platí F(x) = ř(x,x), pro lib. x g V, kde f: V x V -> R je nějaká symetrická bi-lineární forma. Forma f je tzv. polární forma kvadratické formy F. Poznámka Forma f je jednoznačně určuje F a naopak: ř(x,y) = l(F(x + y)-F(x)-F(y)). Bilineární a kvadratické formy Z bilinearity f plyne souř. vyjádření (vzhledem k bázi (ei, e2,...)) ř(x, y) = xiyifu+ xi y2ri2 + x2yi ř2i + x2y2fe2 + • • • = fřii ři2 • • • • • • • y2 • • • • • v (11) kde x = x^i + x2e2 H----, y = + y2e2 H----a fl} = ř(e,-, ey). Ze symetričnosti ř plyne fy- = řy/ pro všechna / a y. Rovnost (11) schematicky zapisujeme r(x,y) = x7.F.y, (12) kde F = (fjj) značí matici formy f vzhledem k bázi (ei, e2,...). Algebra Kvadratické formy Regulární/singulární formy Algebra Kvadratické formy Definice Vektor u e V je singulárním vektorem bilineární formy f: l/xl/^]R, pokud lineární forma ř(u, -) : V —> R je nulová.9 Bilineární forma f je regulární, pokud její jediný singulární vektor je nulový vektor; v opačném případě je forma f singulární. Singulární vektory a regularita/sigularita kvadratické formy F : V -> R jsou odvozeny od její polární formy f. Poznámky Všechny singulární vektory tvoří vektorový podprostor ve V. Forma je regulární <^^> odpovídající matice (vzhledem k lib. bázi) je regulární. 9tzn. f(u,x) = 0 pro lib. xe V Polární sdruženost Algebra Polarita Definice Vektory u,ve V jsou polárně sdružené vzhledem k ŕ, resp. F, pokud ř(u,v) = 0. Báze (ei, e2,...) prostoru V se jmenuje polární bází vzhledem k ŕ, resp. F, pokud f(eiyej) = 0 pro všechna / ^ y. Poznámky Matice ŕ, resp. F vzhledem k polární bázi je diagonální. Všechny vektory, které jsou polárně sdruženy s daným vektorem u e V, tvoří vektorový podprostor U Q V: ► pokud u je singulární, potom U = V, ► pokud u není singulární, potom U je nadrovina ve V; rovnicové vyjádření této nadroviny je U = {xe V: ř(u,x) = 0}. (13) Algebra Polarita 50 Věta Každá kvadratická forma má polární bázi. Důkaz. Je-li F = 0, potom každá báze je polární. Je-li Fí 0, potom uvažujeme induktivně: ► Pokud dim V = 1, potom lib. vektor tvoří polární bázi. ► Předpokládejme, že tvrzení platí pro lib. prostor dimenze n, a uvažme dim V = n + 1: Protože Fí 0, existuje vektor u e V takový, že F(u) ^ 0. Zejména u není singulární, a proto množina (13) je nadrovinou, tzn. má dimenzi n. Podle předpokladu má zúžení F\u polární bázi. Když onu bázi U doplníme o vektor u, dostaneme bázi V (u e V\U), která je polární (každý vektor z U je polárně sdružen s u). □ Poznámky Algebra Polarita Důkaz předchozí věty představuje návod k nalezení polární báze. (C. V každém kroku máme značnou volnost ve výběru u tak, aby F(u) ^ 0; polárních bází je proto nepřeberné množství. Pokud je f: l/xl/^]R skalární součin, potom F je právě norma vektoru a pro každé u ^ o platí F(u) > 0. Podmínka F(u) ^ 0 z důkazu věty o polární bázi je splněna automaticky a podprostor v (13) je právě kolmý doplněk U = u^. Polární báze skalárního součinu proto není nic jiného než ortogonální báze. O signatuře a setrvačnosti Algebra Polarita Matice kvadratické formy F v polární bázi (ei, e2,...) je diagonální, přičemž na diagonále jsou čísla ŕ„ = ŕ(e,-,e,-) = F(e,). Ozn. p := počet kladných a q := počet záporných čísel na diagonále. Uspořádaná dvojice (p, q) se nazývá signaturou kvadratické formy F. Je zřejmé, že p + q < dim V a navíc tento součet nezávisí na zvolené polární bázi (neboť p + q = hodnost matice formy F). Ukážeme, že samotná čísla p a q na polární bázi také nezávisí: Věta Signatura kvadratické formy nezávisí na zvolené polární bázi. |"n ° I v j. j_ v j. 1 Algebra Důkaz vety o setrvačnosti pointa 53 Předpokládejme dvě různé polární báze se signaturami (p, q) a (p', g'): (©1,. . . , ©p, ©p_l_1,. . . , ©n) a (©-|,. . ., ©p/, ©p/_|_-|,..., Báze máme uspořádány tak, že pro každý vektor uGP:=(e1,...,ep)je F(u) > 0 a pro každý vektor v e Q' := (ep,+1,..., e'n) je F(v) < 0. Proto P n Q' = {o} a podle věty o součtu a průniku vektorových podprostorů platí p + (n - p') = dim P + dim Q' = dim(P + Q') + dim(P n Q') < n + 0. Odtud plyne, že p < p'. Pro opačnou volbu Q := (ep+i,... ,en> a P' := (eí,,... ye'p,) obdobně odvodíme p > p'. Celkem tedy platí p = p', a proto také q = g' (neboť p + q = p' + g')- D O kolmé polární bázi V eukleidovském vektorovém prostoru V, tj. ve vekt. prostoru se skalárním součinem . : V x V —> R, uvažme kvadratickou formu F : V —> R (s polární formou f: l/xl/^Ra maticí F). Ptáme se, zda existuje polární báze vzhledem k F, která by byla současně ortogonální, neboli kolmá? Odpověď zní ANO, viz větu na s. 60. Nejdřív si však musíme uvědomit několik věcí. Algebra Hlavní vektory Vektory tvořící ortogonální polární bázi jsou tzv. hlavní vektory: Definice Vektor se nazývá hlavní, pokud je polárně sdružen s každým vektorem, který je k němu kolmý. Poznámka Jinak řečeno, vektor u e V je hlavní, pokud pro lib. xe V platí u.x = 0^>f(u,x) = 0. (14) Symetrická zobrazení Hlavní vektory 56 Bilineární forma f: l/xl/^R jednoznačně určuje lineárni zobrazení 0 : V —> V, a to následujícím způsobem: ř(x, y) = x . 0(y) pro lib. x, y g V. (15) Jak ŕ, tak . jsou symetrické formy, proto pro lib. x, y g V platí: x. 4>(y) = 4>(x). y. (16) Definice Lineární zobrazení s vlastností (16) se nazývají samoadjungovaná nebo prostě symetrická. Poznámka Předchozí rovnosti lze vzhledem k lib. ortonormální bázi vyjádřit10 x7 F y = x7 (F y) = (F x)7 y = x7 F7 y. Tedy, zobrazení je symetrické <^^> jeho matice F vzhledem k lib. ortonormální bázi je symetrická. 10matice skalárního součinu vzhledem k ortonormální bázi je jednotková O hlavních a charakteristických vektorech Algebra Hlavní vektory Lemma Vektor u je hlavním vektorem formy f <^=> u je charakteristickým vektorem zobrazení 0. Důkaz. Obraz lib. vektoru u vzhledem k 0 můžeme vyjádřit jako 0(u) = cu + x pro nějaké ceRaxeu1. Pokud je u hlavním vektorem formy ŕ, potom platí: 0 = ř(u, x) = 0(u). x = (cu + x).x = cu.x + x.x = x.x. Odtud plyne, že x = o, tedy 0(11) = cu; tzn. u je char. vektorem 0. Naopak, pokud je u char. vektorem zobrazení 0, potom pro lib. x platí: ř(u, x) = 0(u). x = lu . x = A(u . x) pro nějaké Ä e R. Odtud plyne (14), tzn. vektor u je hlavní. □ Algebra Hlavní vektory 58 Symetrická zobrazení mají několik zajímavých vlastností: (C.9) Lemma Pro každé symetrické lineární zobrazení : V —> V platí: (a) kolmý doplněk invariantního podprostoru je invariantní podprostor, (b) všechna charakteristická čísla jsou reálná, (c) char. vektory příslušné různým char. číslům jsou navzájem kolmé, (d) char. vektory příslušné char. číslu s násobnosti k tvoří vektorový podprostor dimenze k. Důkaz věty o symetrických zobrazeních Hlavní vektory 59 (a) Předp. U c V je invariantní, tj. (u) e ^ pro lib. u e U. Pro lib. veíi1 platí 0 = (u). v = u . ^(v). Tzn. (v) e U±, tedy je taky invariantní. (b) Předp. (u) = Au pro nějaké AeC. Potom pro lib. x platí11 ŕ(u,x) = /lu.x a f(u,x) = f(u,x) = lu . x. Odtud dostáváme lu . u = f(u, u) = f(u, u) = ľlu . u, tedy (/l - ľl)u . u = 0. Pro u ^ o je u . u > 0, proto A = A, neboli AeR. (c) Předp. (u) = Au a (v) = kv. Potom platí lu . v = f (u, v) = f(v, u) = kv . u, tedy (A - k)u . v = 0. Z předpokladu /l ^ plyne u . v = 0. (d) Plyne z (a) a (b). n zde uvažujeme komplexní rozšíření V, f O kolmé polární bázi! Algebra Hlavní vektory 60 Nyní konečně odpovídáme na otázku ze s. 54: Věta Každá kvadratická forma F v eukleidovském vektorovém prostoru má ortogonální polární bázi, a ta je tvořena char. vektory matice F. Pokud je tato báze normovaná, potom matice formy F vzhledem k oné bázi je diagonální s char. čísly matice F na diagonále. Důkaz. První část je bezprostředním důsledkem tvrzení na s. 57 a 58. V druhé části si stačí připomenout, že pokud je 0(u) = Au, potom platí F(u) = ř(u, u) = 0(u). u = Au . u. □ Pro obecnou kvadratickou formu je kolmá polární báze určena jednoznačně až na násobky hlavních vektorů. Věta o kolmé polární bázi bude představovat nejúčinnější nástroj k hledání os kuželoseček (a kvadrik) včetně jejich velikostí. (C.7) Udejte příklad regulární/singulární kvadratické formy a určete všechny její singulární vektory. (C.8) Pro formy z předchozího cvičení určete jejich polární báze: (a) podle návodu na s. 50, (b) podle návodu na s. 60. (C.9) Dokažte větu o kolmé polární bázi pro dim V = 2 přímo rozepsáním |F - AE\ = 0 a F7 = F... [Sek, n, s. 196-7] Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Příklad 64 Projektivní vlastnosti 73 Afinní vlastnosti 87 Metrické vlastnosti 94 Cvičení 102 Poznámky 103 Pv/i i i i r r Užitek r i klad: opakovaní pnkiad 64 V příkladu 2 na s. 27 jsme uvažovali kuželosečku určenou rovnici y2 + xy - 2x - 2y - 1 = 0, (17) kterou jsme uměli upravit do kanonického tvaru ve dvou krocích: y/2 - |x/2 - x' - 2 = 0, y//2-lx//2-1 =0. (18) Přitom výsledná transformace souřadnic byla x" = x + 2, y" = \x + y - 1, neboli x = x"-2, y = -^x" + y" + 2. (19) Příklad: upřesnění Užitek Příklad Z (18) umíme rozpoznat, že se jedná o hyperbolu. Z (19) umíme určit souřadnice nového počátku (tj. středu hyperboly), O" = [-2,2], (20) a nových bázových vektorů (tj. směrů dvou význačných průměrů), e7 = (1>-2)> e£ = (0,1). (21) Odtud a z koeficientů v (18) lze vydedukovat, že směry asymptot jsou n1 = e'/ + Ie£ = (1,0), n2 = e'/ - \^ = (1,-1). (22) Odtud lze dále určit směry os, které půlí úhly určené asymptotami, h1 = V2n1 + n2 = (V2 + 1,-1), h2 = V2n1 -n2 = (V2-1,1). (23) Příklad: reformulace Užitek Příklad 66 Vzhledem ke konvencím ze s. 34 (a dál) zapisujeme rovnici (17), Vektor x představuje homogenní souřadnice X = (x : y : 1_) bodu v afinní rovině JI s afinními souřadnicemi X = [x,y]; F je matice kvadratické formy F na trojrozměrném vektorovém prostoru V d JI. Obecný bod v projektivní rovině Jl = P(V) má homogenní souřadnice X = (x : y : x0); dosazením do (24) máme vyjádření kvadratické formy F, tj. homogenní verzi rovnice (17): y2 + xy - 2x - 2y - 1 pomocí matic takto (24) y2 + xy - 2xx0 - 2yx0 - Xq = 0. (25) Příklad: regularita a asymptoty Příklad 67 (i) Hyperbola je regulární kuželosečka; to souhlasí s poznatkem, že odpovídající kvadratická forma s maticí (24) je regulární:12 (S. 43) det F = \ ± 0. (ii) Asymptoty hyperboly ukazují právě na její nevlastní body; ty lze určit jako průnik kuželosečky (25) s nevlastní přímkou x0 = O:13 y2 + xy = y(y + x) = 0. Tato rovnice má dvě řešení, Ni = (1 : 0 : 0), N2 = (1 : -1 : 0), což jsou právě homogenní souřadnice směrů z (22). Asymptoty jsou určeny těmito směry a středem hyperboly. 12obecnosti na s. 76 13obecnosti na s. 90 Příklad: střed Užitek Příklad 68 (iii) Střed hyperboly (20) má homogenní souřadnice O" = (-2 : 2 : 1_); odtud je patrné, že zastupující vektor o" je polárně sdružen s vektory zastupujícími všechny nevlastní body: (s. 49) T-F-o" = (* * O) '0 1 2 v-1 1 _ 2 1 - -1 - '-2N • 2 (* * o) '0N o v-1/ = 0. Tedy střed O" = (x : y : x0) je řešením soustavy rovnic 14 - x0 = 0, Íx + y-Xo = 0. 4obecnosti na s. 88 Příklad: sdružené směry Užitek Příklad 69 (iv) Rovnice (18) je v diagonálním tvaru; to znamená, že příslušné vektory (21) tvoří polární bázi podprostoru Ji c V: e'^-F-e^' 0 4 o) (0 1 2 1 2 1 • 1 l* loj (i 4 o) 2 1 V*/ 0. Přitom koeficienty u x"resp. y" v rovnici (18) jsou rovny e.| • r e-| = • • • = -t, resp. e2 • r- e2 = • • • = 1. (s. 50) Tedy pro jako výše jsou všechny polárně sdružené vektory obsažené v^cl/ řešením soustavy rovnic15 ±x + y = 0, x0 = 0. 5obecnosti na s. 77 a dál Příklad: hlavní směry, osy Užitek Příklad 70 (v) Směry os jsou tzv. hlavní směry; to znamená, že příslušné vektory (23) tvoří ortogonální polární bázi podprostoru & c V: (s. 54) h/ F h2 = (V2 + 1 -1 o) 'o \ \ 1 h1T-h2 = (V2 + 1 -1 O) V2- 1 1 0 íV2--n • i = • • • = 0, ( o J 0. Vektory h1 a h2 jsou charakteristickými vektory matice formy F zúžené (S. 57) na^ c V, viz dále. Příklad: hlavní směry, osy Užitek Příklad 71 Charakteristický polynom -A 1 2 1 2 1 - A = -A)-\=A2-A-\=0, má kořeny A i 1 + V2 a h 1-V2 2 ~ 2 ■ Odpovídající charakteristické vektory jsou řešením soustavy (1 -Ai)x+±y = 0, £x + (1 -A,)y = 0, pro / = 1 a 2; po dosazení vskutku dostáváme h1 = (V2 + 1,-1) a h2 = (V2- 1,1). Navíc v normované bázi má forma F-> matici ji 0 A2 jejíž determinant je -\\ odtud lze vyvodit, že délky poloos hyperboly jsou16 (s. 60) VI1 = 0,910 a b = 2,197. 16 podrobnosti a obecnosti na s. 99 Kuželosečky Vzhledem k úvodním definicím (s. 2), jejich ekvivalentním vyjádřením (s. 3, 17-19) a následným úpravám a úvahám (s. 23 a dál) můžeme obecnou kuželosečku algebraicky vymezit následovně.17 Definice Kuželosečka v projektivní rovině % c P(V) je množina všech bodů, jejichž zastupující vektory ve V jsou nulovými vektory nějaké (nenulové) kvadratické formy F : V —> R, tzn. <7C = |XgP(V) : F(x) = 0}. (26) Užitek Projektivní vlastnosti 73 Poznámka Pokud se dvě kvadratické formy liší o nějaký násobek (F = k- F), zadávají tutéž kuželosečku. 17 V je vektorový prostor dimenze 3; P( V) je jeho projektivizace, tedy projektivní prostor dimenze 2; pro bod X e R; bod 6 e 9C, který není singulární se zove regulární. (s. 48) Kuželosečka je regulární, pokud sestává pouze z regulárních bodů; v opačném případě je singulární. Poznámky Kuželosečka je regulární <^=> odpovídající kvadratická forma je regulární. Všechny singulární body singulární kuželosečky tvoří projektivní podprostor v P(V), tj. přímku nebo bod. Polární sdruženost Definice Body A,B eP(V) jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce 9C, pokud jsou jejich zastupující vektory ayb e V polárně sdružené vzhledem k odpovídající kvadratické formě F : V —> R. (s. 49) Poznámky Všechny body, které jsou polárně sdruženy s daným bodem B eP(V) vzhledem ke 9C, tvoří projektivní podprostor p QP(V)\ ► pokud 6 je singulární, potom p = P(V), ► pokud 6 není singulární, potom p je přímka; rovnicové vyjádření této přímky je p = {XeP(V): f(b,x) = 0}, (27) kde f: V x V —> R je polární bilineární forma kvadratické formy F. (s. 46) Užitek Projektivní vlastnosti 77 i-N ' \ I \ ' Užitek r 01/PO I£1 Tel Projektivní vlastnosti 78 Definice Přímka p z předchozí poznámky se nazývá polárou bodu 6 a bod 6 se nazývá pólem přímky p vzhledem ke kuželosečce <7C. Poznámka Z definice polární sdruženosti18 a singulárního bodu vyplývá, že: ► Bod a leží na poláře bodu 6 <^^> bod 6 leží na poláře bodu a. ► Polára lib. (nesingulárního) bodu obsahuje všechny singulární body kuželosečky. tedy ze symetričnosti formy f O poláře v regulárním bodě Jak vypadá polára regulárního bodu obecné kuželosečky %1 Předp., že B e % je regulární bod p je jeho polára. Protože, 6 e <7C, platí F(b) = ř(b, b) = 0, a proto Bep; bod B je tedy společným bodem "Kap. Buď je 6 jediným společným bodem "Kap, nebo je celá přímka p obsažena v 7 e poláře bodu P, ► R e % => polára bodu R = tečna ke % v tomto bodě. Názorná interpretace Ozn. Q, R (resp. U, V) body dotyku tečen z P (resp. 7) ke kuželosečce <7C. Potom přímka QR je polárou bodu P; přímka UV je polárou bodu 7; neoznačený průsečík těchto dvou přímek je pólem přímky P7; apod. Užitek Projektivní vlastnosti 82 Určete tečnu kuželosečky ty + X2 - 2**o - 2yx0 - Xq = 0. procházející bodem 6 = (2 : -1 : 0). Polára p bodu 6 je v homogenních souřadnicích určena rovnicí (27) x7-F-b = (x y x0) '0 1 2 v-1 1 _ 2 1 - -1 - neboli x = -2x0 (v afinních souřadnicích x = -2) <2S • -1 loj — - -2). -\x - x0 = 0, Průsečíkem této přímky s kuželosečkou jsou body dotyku tečen; ty obdržíme řešením rovnice -2x0y + y2 + 4Xq - 2yx0 - x^ = y2 - 4x0y + 3Xq = 0. Ta pro x0 = 0 nemá vyhovující řešení; pro x0 ^ 0 dostáváme 4 + 2 y_ x0 buď 3, nebo 1. P~, , I | v r r Užitek riklad: pokračovaní projektivní vlastnosti 83 Body dotyku tedy jsou ^=(-2:3:1) a T2 = (-2 : 1 : 1). Tečna v bodě Ti je polárou tohoto bodu T-F-ti = (x y x0) '0 1 2 v-1 1 _ 2 1 - -1 - '-2N • 3 h J = \x + y - 2x0 = 0. Podobně určíme tečnu v bodě T2... Tečny kuželosečky procházející (nevlastním) bodem 6 jsou v afinních souřadnicích určeny rovnicemi19 y = -\x + 2 a y = -^x. 9srovnejte závěry s obrázkem na s. 65 Projektivní klasifikace Projektivní vlastnosti 84 Druh kuželosečky podle seznamu na s. 22 není projektivně invariantní: Při projektivních zobrazeních mohou být libovolně zaměňovány vlastní a nevlastní body, proto např. elipsa, hyperbola a parabola jsou projektivně nerozlišitelné, neboli ekvivalentní.20 Věta Každá kuželosečka v projektivní rovině je vzhledem k vhodně zvolené bázi vyjádřena některou z následujících rovnic: ,2 , „2 , .,2 X +y + Xq = 0 0 (imaginární regulární kuželosečka) ,2 ^0 x2 + y2 - Xq = 0 regulární kuželosečka y2 - x2 = 0 dvě přímky 2 2 y + X =0 bod (průsečík dvou imaginárních přímek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Zde jsou kuželosečky rozděleny podle míry degenerovanosti: regulární (hodnost 3), singulární hodnosti 2 a singulární hodnosti 1. 20 viz též položky (E) v definicích na s. 3, 17 a 18 Ži ■ i v Užitek nOVU O pOlarite Projektivní vlastnosti 85 Přestože druh kuželosečky se při projektivních zobrazeních nezachovává, polární sdruženost ano: Věta Ozn. A', B' a%' obrazy bodů A, B a kuželosečky % vzhledem k nějakému (bijektivnímu) projektivnímu zobrazení. Potom body A a B jsou polárně sdružené vzhledem ke % <^=> body A' a B' jsou polárně sdružené vzhledem ke %'. Důkaz. Plyne ze základní věty projektivní geometrie (a předchozích definicí). □ (s. 43) Užitek Projektivní vlastnosti 86 Odtud a z předchozí interpretace polární sdruženosti vyplývá: (s. 81) Věta Ozn. p poláru obecného bodu P vzhledem k regulární kuželosečce %. Pro lib. přímku procházející P ozn. U, V a Q její průsečíky s% ap. Potom platí, že tyto body jsou v harmonickém poměru, tzn. (s. 42) (PQ UV) = -1. Důkaz. Stačí uvažovat nějaký velmi specifický případ a obecné projektivní zobrazení... □ O středu Užitek Afinní vlastnosti 87 V důkazu předchozí věty jsme operovali se středem kružnice a uvědomili jsme si, že to není projektivní invariant. Střed kuželosečky (= její střed souměrnosti) je však zachován při afinních zobrazeních a platí Věta Střed kuželosečky je pólem nevlastní přímky Průměr kuželosečky je polámu nějakého nevlastního bodu. Poznámky Regulární kuželosečka má právě jeden střed, singulární kuželosečky mohou mít středů víc.21 Středové kuželosečky mají (aspoň jeden) vlastní střed, nestředové nemají (žádný) vlastní střed. zejména každý singulární bod je středem O středu Užitek Afinní vlastnosti 88 Uvažme kuželosečku % určenou rovnicí ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxx0 + 2eyx0 + rx2 = 0, tzn. matice odpovídající kvadratické formy je a b d b c e e f ozn. F 'a b\ vb c, Bod S = (x : y : x0) je středem kuželosečky 9C, právě když platí T-F-s = (* * O) tedy, právě když je řešením soustavy rovnic (a b ď 'x" b c e • y = 0, (d e f) U J / a b b c e y V*0, (28) (29) (30) Oi v i Užitek StľGQU Afinní vlastnosti 89 Věta Kuželosečka % má právě jeden vlastní střed <^^> detF^O. Důkaz. Střed S je vlastní <^^> x0 ŕ 0. V takovém případě má soustava (30) jednoznačné řešení <^^> determinant matice soustavy je ^ 0. □ Poznámky Pokud 7C nemá vlastní střed, potom nutně det F = 0. Pokud det F = 0, potom % nemá vlastní střed (např. parabola) nebo má vlastních středů víc (např. dvojice rovnoběžek). O nevlastních bodech Afinní vlastnosti 90 Nevlastní body kuželosečky jsou její průsečíky s nevi. přímkou x0 = 0. Tedy bod N = (x : y : 0) je nevlastním bodem kuželosečky (28), právě když platí ax2 + 2bxy + cy2 = 0. (31) Věta Kuželosečka % má ► žádný nevlastní bod (dva komplexně sdružené) <^=> det F > 0, ► dva různé nevlastní body <^=> det F < 0, ► yeder? nevlastní bod (dvojnásobný) <^^> det F = 0. Důkaz. Nemůže být současně x = 0 a y = 0; po dělení x, resp. y je (31) kvadratickou rovnicí vzhledem k resp. jejíž diskriminant je D = Ab2 -Aac = -4detF. □ Poznámky Užitek Afinní vlastnosti Pokud je F = k • F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí det F' = k3 • det F a det F = k2 • det F. Zejména det F a det F mají stejná znaménka, takže předchozí diskuze vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Tečna v nevlastním bodě kuželosečky je její asymptotou. Díky všem těmto vymezením se určování středů, průměrů a asymptot neliší od určování pólů, polár a tečen...22 konkrétní ukázky jsou v úvodním příkladu na s. 67-69, viz též s. 82 Afinní klasifikace Užitek Afinní vlastnosti Afinní klasifikace kuželoseček se neliší od seznamu na s. 22, akorát konstanty a, b, p ak nemají výše uvedený význam. Věta Každá kuželosečka v afinní rovině je vzhledem k vhodně zvolené afinní souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: x2 + y2 + 1 = 0 0 (imaginární elipsa) x2 + y2 - 1 = 0 elipsa x2 - y2 - 1 = 0 hyperbola y2 - 2x = 0 parabola 2 2 y - x = 0 dvě různoběžné přímky y2-1 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 + l = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Afinní klasifikace Užitek Afinní vlastnosti Vzhledem ke značení a pozorování na s. 88-90 můžeme předchozí klasifikaci zpřehlednit následovně: det F ŕ 0 detF = 0 detF > 0 elipsa (re, im) bod detF < 0 hyperbola různoběžky detF = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámka Případy „re" a „im" značí existenci reálných bodů („im" znamená 0). Případ „=" značí jednu dvojnásobnou přímku; to je singulární kuželosečka hodnosti 1. V klasifikaci neuvažujeme singulární kuželosečky, jejichž tvořící přímka je nevlastní; takové kuželosečky nelze vyjádřit v afinních souřadnicích. Metrické vlastnosti Metrické vlastnosti 94 S metrickými záležitostmi jsme celý kurz zahajovali, takže se nemusíme opakovat. Zejména osy, hlavní průměry a jejich velikosti, excentricita, ohniska, řídící přímky apod. jsou všechno pouze metrické invarianty. Pro zajímavost doplňujeme: Věta Ohnisko je pólem řídící přímky, řídící přímka je polárou ohniska. Důkaz. Plyne z předchozího popisu, viz též upřesnění na s. 11. □ (C.13) i-N r i Užitek r O Z PI cl m Ky Metrické vlastnosti 95 Ohnisko a řídící přímka byly definovány pouze pro regulární kuželosečky, a to vztahem23 \XF\ : \Xd\ = konst., kde F je ohnisko, d řídící přímka a X lib. bod na kuželosečce. Je zajímavé, že v tomto duchu lze charakterizovat také (některé) ostatní kuželosečky... [Ja-Se, věta 18.4] F id Fed konst. < 1 elipsa (re) bod konst. > 1 hyperbola různoběžky konst. = 1 parabola rovnoběžky (=) viz položky (C) v definicích na s. 3, 17 a 18 Metrická klasifikace Metrické vlastnosti 96 Metrickou klasifikaci známe ze s. 22; pro pořádek ještě zopakujeme: Věta Každá kuželosečka v eukleidovské rovině je vzhledem k vhodně zvolené kartézské souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: *2 y2 — + — + 1= 0 0 (imaginární elipsa) a2 b2 x2 y2 — + — - 1 =0 elipsa, příp. kružnice (pro a = b) ad bd x2 y2 — - — - 1 =0 hyperbola ad bd y2 - 2px = 0 parabola y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2 - k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky 2 2 2 y + k X =0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) 2 2 y + k = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Užitek Metrické vlastnosti 97 Hlavní vektory kuželosečky jsou charakteristickými vektory matice F. (s. 57) Charakteristický polynom lze vyjádřit takto24 det(F - AE) = A2 - tr F-A + det F = 0, kde tr značí stopu matice, tj. součet čísel na diagonále. Kořeny, tzn. charakteristická čísla, označíme Ai a A2\ tedy det F = A-i • A2 a tr F = A-i + A2. Zejména znaménko, příp. nulovost det F souvisí se znaménky, příp. nulovostí A\ a A2, viz dále. viz (C.9) a příklad na s. 71 Upřesnění: klasifikace Užitek Metrické vlastnosti Vzhledem k dosavadním značením a pozorováním můžeme předchozí klasifikaci formulovat následovně: det F ŕ 0 detF = 0 sgnA-i = sgnA2 elipsa (re, im) bod sgnA-i = -sgnA2 hyperbola různoběžky ^ = 0 nebo Á2 = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámky Speciálně, pokud platí X\ = A2, potom je každý směr hlavní, tzn. každý průměr určuje osu souměrnosti (např. u kružnice). Pokud je X\ =0 nebo A2 = 0, potom odpovídající směr ukazuje na nevlastní střed kuželosečky (např. u paraboly). Upřesnění: středové Užitek Metrické vlastnosti 99 Jaký je vztah mezi charakteristickými čísly matice F a číselnými charakteristikami kuželosečky %1 Středová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici M x2 + A2y2 +1 = 0 pro nějaké l e R. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se det F ani det F nezmění tedy det F = X\ • A2 • l a det F = X\ • A2. Odtud vyjádříme l a předchozí rovnice má tvar det F ďětF 0. Porovnáním s kanonickými tvary na s. 96 zjišťujeme, že a2 = det F det F • Ä- a b2 = det F det F • Ä2 resp. k2 = M Ä2 (32) Upřesnění: nestředové Užitek Metrické vlastnosti 100 Regulární nestředová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici A2y2 + 2mx = 0, pro nějaké m eR. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se detF (ani detF = 0) nezmění, tedy det F = -A2 • m2. Odtud můžeme vyjádřit m; porovnáním s kanonickým tvarem na s. 96 zjišťujeme, že detF P2 = Ä2 (33) Pro singulární nestředové kuželosečky je det F = det F = 0, tedy vztah mezi Ä2 a k z kanonického tvaru není zřejmý... Pokud je P = k ■ F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí detF' = /c3-detF, detF = k2-detF, ^=/c-^ a A^ = k-^. Tedy předchozí úvahy a zejména závěry v (32) a (33) vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Cvičení Užitek Cvičení 102 (C.10) Podle návodů z této kapitoly rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2+2xy+y2+2x+y = 0 nebo 8x2+4xy+5y2 + 16x+4y = 28. Určete nevlastní body, střed, hlavní směry (osy) a číselné charakteristiky kuželosečky. Doplňte obrázek a porovnejte se závěry cvičení (C.5). (C.11) Pro kuželosečku z předchozího cvičení určete tečnu v nějakém jejím regulárním bodě. (C.12) Ukažte, že rovnice polár na obrázku na s. 81 jsou správně. (C.13) Dokažte tvrzení na s. 94. Geometrie 1 Mezihra 21 Opakování 36 Algebra 45 Užitek 63 Poznámky 103 Obecné kvadriky 104 Úloha Apollóniova a pod. 107 Cvičení 113 Poznámky Obecné kvadriky 104 Díky velmi obecnému algebraickému základu tušíme, že pojem kuželosečky má vícerozměrné analogie: (s. 73) Definice n-rozměrná kvadrika v projektivním prostoru QcP(V) dimenze n + 1 je množina všech bodů, jejichž zastupující vektory ve V jsou nulovými vektory nějaké (nenulové) kvadratické formy F : V —> R, tzn. Q = {XeP(V): F(x) = 0}. (34) Poznámky 1- rozměrné kvadriky jsou právě kuželosečky. 2- rozměrné kvadriky jsou např. sféry, elipsoidy, hyperboloidy; kužele, válce; dvojice rovin apod. Průnikem roviny s kteroukoli 2-rozměrnou kvadrikou je (zpravidla) nějaká kuželosečka. Obecně: průnikem n-rozměrné kvadriky Q s n-rozměrným projektivním podprostorem je (n - 1)-rozměrná kvadrika.25 25pokud Q onen podprostor neobsahuje Většina poznatků, které jsme formulovali pro kuželosečky (n = 1), mají zřejmá zobecnění: ► n-rozměrná kvadrika je jednoznačně určena \{n + 4)(r? + 1) body v dostatečně obecné poloze; (s. 74) ► regulární/singulární body a kvadriky beze změny; (s. 76) ► polární sdruženost beze změny, akorát místo polár máme polární nadroviny a místo tečen tečné nadrovinu; (s. 77) ► středy a průměry beze změny, akorát místo asymptot máme asymptotické nadroviny; (s. 87) ► osy, hlavní průměry a jejich velikosti beze změny. (s. 99) Podstatnější rozdíly pozorujeme pouze při klasifikacích — myšlenky jsou stejné, akorát se musíme zorientovat ve více možnostech; podrobnosti a ostatní zajímavosti lze najít např. v [Ja-Se, Sek]... n = 2: klasifikace Poznámky Obecné kvadriky 106 Náznak afinní klasifikace 2-rozměrných kvadrik je na následujícím obrázku: Elliptical Cylinders Parabolic Cylinders Hyperbolic Cylinders i Elliptical Paraboloids Cones í Hyperbolic Paraboloids Ellipsoids Hyporboloids (2 shoott Hyperboloids (1 sheet) Poznámky * I r ■ i uz.iiainr\y UlOľia ApOllOniOVa Úloha ApoHóniova a pod. 107 Úkolem obecné Apollóniovy úlohy je sestrojit kružnici (resp. cyklus),26 která se dotýká tří daných kružnic (resp. cyklů). Středy cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů tvoří vždy nějakou kuželosečku (k) — pro cykly a, b se středy A, B a poloměry ra, rb platí: Věta ► Je-H \ra - rb\ > \AB\, pak k je elipsa s ohnisky A, B a délkou hlavní osy Va ~ rb\- ► Je-H\ra - rb\ < \AB\, pak k je hyperbola s ohnisky A, B a délkou hlavní osy\ra - rb\. Zde uvažujeme ra,rb e R jako orientované poloměry, tzn. znaménko ra odpovídá orientaci cyklu a. Ve speciálních, resp. mezních případech může být kuželosečka k kružnicí nebo přímkou... 26cylkus = orientovaná kružnice Řešení pomocí průniku kuželoseček 108 (1) Středy cyklů, které se dotýkají tří dvojic daných cyklů, tvoří tři kuželosečky; (2) středy hledaných cyklů (Mi a M2) jsou společnými body těchto tří kuželoseček; (3) dotykové body jsou na spojnicích středů. Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 109 Jiné řešení Apollóniovy úlohy je založeno na polární sdruženosti (vzhledem k daným kružnicím). Zdůvodnění následující konstrukce plyne z těchto poznatků: (a) spojnice (li) dvojic dotykových bodů na každém cyklu prochází společným bodem (P), jež je potenčním středem daných tří kružnic; (b) póly (L,) těchto spojnic vzhledem k odpovídajícím kružnicím leží na jedné přímce (ch), jež je právě chodrálou dvou kružnic řešení; (c) přímka ch je osou podobnosti tří daných cyklů;27 (d) protože L, e ch a /., je pól /,-, musí pól ch vzhledem ke každé z daných kružnic ležet na odpovídající přímce /,. Gergonovo řešení tj. spojnice tří středů stejnolehlosti Poznámky Úloha Apollóniova a pod. (1) chab,chbc, chac jsou chordály tří dvojic daných kružnic, jež prochází jejich potenčním středem P; (2) Oab, Obc, Oac jsou středy stejnolehlostí tří dvojic daných cyklů, jež leží na jejich ose podobnosti; (3) Pa, Pb, Pc jsou póly této přímky vzhledem k daným kružnicím; (4) dotykové body jsou na spojnicích PPa, PPb, PPC. Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 111 Jiné řešení úlohy Apollóniovy je založeno na identifikaci cyklů v eukleidovské rovině s body na 3-rozměrné tzv. Lieově kvadrice a polární sdruženosti (vzhledem ktéto kvadrice): Cyklus c se středem (Ci : C2 :1) a poloměrem rc určuje bod ve 4-rozměrném projektivním prostoru C := (Ci : C2 : rc : C2 + C| - r2 : 1), a ten navíc leží na 3-rozměrné kvadrice QcP(V) určené kvadratickou formou F : V —> R s maticí '1 0 0 0 0 N 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 2 lo 0 0 1 9 oj Lieova kvadrika Poznámky Úloha Apollóniova a pod. 11 Přiřazení ✓\ cyklus c v eukleidovské rovině i-> bod C na Lieově kvadrice je injektivni, přímým rozepsáním se primo overi, ze Věta Cykly c ad se dotýkají <^^> body Č a Ď jsou polárně sdružené. Tedy algebraické řešení úlohy Apollóniovy vypadá takto: (1) Pro tři dané cykly a, b, c29 uvažme odpovídající body Á, B, Č na Lieově kvadrice QcP(V); (2) všechny body v P(V), které jsou polárně sdružené k Á, B, Č vzhledem ke Q, tvoří přímku (řešení soustavy 3 lineárních rovnic); (3) tato přímka protíná kvadriku Q ve dvou bodech M, Ň (řešení 1 kvadratické rovnice); (4) tyto body odpovídají dvěma hledaným cyklům m, n. Lieova kvadrika lze rozšířit také pro body (r = 0) a přímky (r = oo)... v dostatečně obecné poloze (ve spec. případech může být řešení víc nebo taky žádné) ■ v r Poznámky OVICeni Cvičení 113 (C.14) S využitím poznatků tohoto kurzu zpracujte jakýkoli (váš oblíbený) příklad, a to nejlépe interaktivní formou.30 viz např. http://geogebra.org _■] J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, MU, 1996, http://www.math.muni.cz/~j anyska/LAKUZ.pdf [5 F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996 [5 K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968 Q M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988 [3 Z. Šír, Řecké matematické texty, OIKOYMENH, 2011 [5 P- Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf