Pravděpodobnost jevu
- usilujeme o kvantifikaci náhody
- pokud jsme data získali na základě dobře navrženého výzkumného plánu, můžeme provádět zobecňujícíc úsudky o chování sledovaných proměnných a jejich parametrech v celé uvažované populaci. Metody takového statistického uvažování se opírají o počet pravděpodobnosti.
- "Jak často nastane určitý jev, pokud experiment nebo výběr provedeme mnohokrát?" (pokud užijeme při získání dat náhodu)
Pravděpodobnost, že nastane jev A
■ jistý jev: P = 1
■ nemožný jev: P = 0
- jisté a nemožné jevy se vyskytují pouze v teorii
- lze-Li náhodný jev rozložit na několik disjunktních jevů, pak se jeho pravděpodobnost rovná součtu pravděpodobností těchto jevů
Pro výpočet pravděpodobnosti jevu A používáme pravidlo, které je východiskem definice pravděpodobnosti na základě stejné možnosti:
Jestliže náhodný pokus může vést k r různým elementárním jevům, jež jsou stejně pravděpodobné, pak pravděpodobnost jevu A je:
P(A) = počet elementárních jevů, které vedou k A / r Př.
1. Jaká je pravděpodobnost, že vám padne při hodu běžnou hrací kostkou šestka?
2. Z kolika bodů se skládá pole jevů v otázce 1?
3. Jsou tyto jevy vzájemně disjunktní?
4. Jaká je pravděpodobnost, že nám nepadne šestka?
Dvě pojetí pravděpodobnosti
subjektivní:
• jakou má jev šanci, že se vyskytne?
četnostní (statistické):
• pravděpodobnost je dána relativním výskytem jevu vzhledem k počtu možností, kdy se jev vyskytnout mohl
• z m náhodných pokusů nastal jev A n-krát
• Ze 100 náhodných lidí je 49% mužů -pravděpodobnost že vybraný jedinec je muž, je 0,49
• P (A) = n /m (kolikrát jev nastal/z kolika pokusů)
• platí to, pokud se počet pokusů blíží nekonečnu (populaci)
Jevy a náhodné pokusy
• náhodnost vede k tomu, že jevy, které nás zajímají, se za daných podmínek mohou nebo nemusí vyskytnout
• př. hod mincí - panna/ orel - můžeme pred i kovat jen vyjádřením pravděpodobnosti možností, které mohou nastat (to, že padne orel, vyjadřujeme číslem, které má určitý význam)
Jev
- hodnota proměnných
- vzorek IQ patnácti lidí = 15 jevů
- jev, který se skládá pouze z jednoho výsledku = elementární jev
- kombinace jevů se nazývá složený jev
- jistý jev = obsahuje všechny možné výsledky náhodného pokusu
- pro pole náhodných jevů lze použít vztahy teorie množin
Pole jevů
- všechny možnosti (množina hodnot), kterých může proměnná nabývat
- př. pohlaví - pole je množina možností - tedy 2 (zapomeňme na gender)
- pokud lze při pokusu dostat různé výsledky a přitom:
1. nelze určit který z těchto výsledků získáme
2. pokus lze libovolně často opakovat, aniž se jednotlivá opakování vzájemně ovlivňují
- akt vytáhnutí jednoho jevu z pole jevů (př. akt vybrání a změření jednoho náhodného člověka)
- náhodným pokusem získáváme z pole jevů jev
Počítání s pravděpodobnostmi
NEBO
- součet jevů - nastane jev A nebo jev B (nebo oba, nejsou-lí disjunktní= nemají žádný společný prvek)
P (AUB) = P (A) + P (B) - P (AnB)
- př. disj. náhodně vybraný člověk má základní vzdělání nebo je vyučen
A
- součin jevů - nastane jev A a zároveň jev B (jsou-li A a B nezávislé)
P (AnB) = P (A)  . P (B)
- př. náhodně vybraný člověk je pedagožka (pohlaví=žena, povolání=pedagog)
Šance
- častý způsob vyjádření pravděpodobnosti
- př. šance Komety na vítězství jsou 1:10
O(A) = P (A) / P (A') neboli P(A) /1 - P(A)
- pravděpodobnost toho, že se jev vyskytne, dělená pravděpodobností toho, že se nevyskytne
- šance ve prospěch A = počet výskytů jevu A / počet případů, kdy jev A nenastal
• Šanci x : y lze na pravděpodobnost převést jako p = x / (x+y)
• Např. šance 2:3 je rovna pravděpodobnosti 2/(2 + 3).)
Podmíněná pravděpodobnost
= pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B
t
umíme uvažovat o pravděpodobnosti jednotlivého jevu ( náhodně vybraný člověk bude mít IQ +150), nyní uvažujeme o pravděpodobnosti toho, že náhodně vybraný člověk bude mít IQ +150, pokud bude muž. Podmínka - je to muž. Jaká je pravděpodobnost že má IQ +150? značí se: P{A|B)
B = jev, kterým je to podmíněno
s
Príklad:
Kuřáků je v populaci 30%, tedy P (Kou+) = 0,3.
12% lidí má jak rakovinu, tak návyk na kouření: P (Rak+ O Kou+)=0,12
Jsem-li kuřák, jaká je pro mě pravděpodobnost onemocnění rakovinou?
Kouří-li člověk {nastalýjev B), je riziko onemocnění rakovinou (Pjevu A) P (Rak+ |Kou+) = P (Rak+ n Kou+) / P (Kou+) = 0,12/0,3 = 0,4
P (A|B) = P (AnB) / P (B)
*4
Bayesův teorém
- slouží k vypočítání podmíněné pravděpodobnosti P (A|B) za předpokladu, že známe pravděpodobnosti P (B|A) a P (A)
P(A|B) =
P (A) . P (B|A)
P (A) . P (B|A) + P (A'). P (B|Af)
V čitateli této formule je pravděpodobnost, že současně nastane jev A a jev B, ve jmenovateli je vzorec pro úplnou pravděpodobnost jevu B.
Příklad:
Test na LMD má 15% chybovost: P (T-|L+)=0,15 ; P (T+|L-)=0,15.
Prevalence LMD je 5%: P {L+)=0,05
Dítě má pozitivní výsledek testu. Jaká je P, že má LMD?
P(L+|T+)=?
P (L+|T+) = P M.P (T+|L+) / [P M.P (T+|L+) + P (L-).P (T+|L-)] = = 0,05.0,85 / (0,05. 0,85 + 0,95 . 0,15) = 0,23