1 URČOVANÍ JEDNOTEK FYZIKÁLNÍCH VELIČIN př.: Určete jednotky veličiny r nazývané refrakce, víte-li, že se spočítá podle vztahu: n -1 1 r = —7--- n +2 p kde p je hustota, kterou jste dosadili v jednotkách g-cm" , n je index lomu. Pravidla určování jednotek: 1) Výrazy log x, ln x, 10x, sin x, cos x, tg x, cotg x, jsou definovány pouze pro bezrozměrná čísla (goniometrické funkce i pro úhlové stupně). Argument i hodnota těchto funkcí jsou bezrozměrná čísla. Píšeme [log x] = 1, [sin x] = 1,... 2) Pokud se ve fyzikálním vzorci vyskytuje číslo (a ne symbol pro konstantu), je toto číslo bezrozměrné. 3) Hodnoty sečítaných nebo odečítaných veličin musejí být ve stejných jednotkách. Výsledek má stejné jednotky jako sečítané (odečítané) veličiny. 4) Jednotky dané veličiny zjišťujeme následovně: Místo symbolů fyzikálních veličin dosadíme do vzorce jejich jednotky (podle bodů 1-3). Symbol veličiny, jejíž jednotky chceme zjistit, napíšeme do hranaté závorky. Běžnými matematickými úpravami (násobení, dělení) vyjádříme, čemu se rovná hodnota v hranaté závorce. Výsledek jsou hledané jednotky. Použití uvedených pravidel si ilustrujeme nenásledujících příkladech: Př.: n -1 1 r = —7--- n +2 p [n2]-í bezrozměrné číslo, neboť ve vzorci je odčítání bezrozměrného čísla. [n2 — 1] = 1 výsledek odčítání bezrozměrných čísel [n2 + 2] — 1 výsledek sečítání bezrozměrných čísel 1 Po dosazení do rovnice.....dosatneme: [n2-l] 1 [' ] = -'r,--- [n2 + 2] [p] í g - cm ' 1 1 3 [r]=-- = g -cm g - cm - —1 3 r refrakce M=g -cm n index lomu p hustota [p]=g-cnr3 Př.: Určete jednotky veličiny G, platí-li G = -RTlnK. Symbolem R je označena molární plynová konstanta. Řešení: [G] = [-l][R][T][\nK] [G] = 1 • / • K~lmor ■ K 1 [G] = J ■ moľ3 G Gibb sov a energie [G]=J-mol ~ R molární plynová konstanta [7?]=J-K_1-moľ T teplota [T]=K Př.:Při stanovení viskozity kapaliny Hopplerovým viskozimetrem počítáme konstantu K ze vztahu t = 7] K ■ (p2 - py) . Určete jednotky veličiny K, víte-li: [t] = [*7h*H/?2-A] s = 10~3Pa-[K]-kg-m~3 Pa...není základní jednotka SI. Pa=[p] F ma P= — = - [p] = S S [m][a] [S] r -. kg-m-s 2 , _! _2 [p]=—--2-= kg-m l-s m => Pa — kg ■ m~[ ■ s~2 2 [í]=[*7H*HA-A] s = 10~3Pa-[K]-kg-m~3 s = 10~3£g ■ m"1 ■ s~2 ■ [K] ■ kg ■ m"3 [K] = 103 -s3 -kg~2 -m4 t čas, [t]=s r| viskozita [?/]=mPa=10 Pa (milipascal) P2 hustota kuličky, [/)2]=kg-m /); hustota vody, [/);]=kg-m Př.: V jakých jednotkách máme dosadit koncentraci c do vztahu pro osmotický tlak? Il = RTc [n] = [/?]• m-[c] [n] [c] = [c] = ; -1 -2 Kg ■ m s J K'1 mor K -2 II osmotický tlak [II]=kg-m ^s R molární plynová konstanta [7?]=J-K ^mol 1 T teplota [7]=K /...není základní jednotka SI. /=[W] W - F ■ s - m - a - s [W] — kg - m- s'2 ■ m = kg ■ m2 ■ s~ ^ J - kg -m2 ■ s 2 kg-m~l-s~2 LCJ =-i-i— J -K -mol K kg-m~l-s~2 [c J---——-— = mol m kg - m -s ■ mol - 3 2 PŘÍMKA, LINEÁRNÍ REGRESE, LINEARIZACE 2.1 ROVNICE PŘÍMKY (SMĚRNICOVÝ TVAR) y = kx + q k = tga y ^^y=kx+q /A=[xi;yi] 0 X B=[x2;y2] k směrnice přímky q velikost úseku na ose y Př.: j = 2x + 3 k = 2 q - 3 t=y2~yi = Ay 2.2 LINEÁRNÍ REGRESE: Experimentálně zjištěnými body chceme „co nejlépe" proložit přímku. Jedna z metod lineární regrese je tzv.: 4 2.2.1 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ: r s5 «4 «2 i (si + s% + s| + s\ + 55) —> minimum 2^2 2:3 a:4 x5 Experimentálními body prokládáme přímku tak, aby součet druhých mocnin (= čtverců) odchylek k mezi y-souřadnicemi exp.bodů a odpovídajících bodů na hledané přímce (tj. Ay), byl co nejmenší. Tomuto požadavku vyhovuje přímka y = kx + q, n n Z-^Z^ -"Zfe -yi) 1=1 1=1 1=1 kde: n n Z^Z^^J-Z^Z^ 1=1 1=1 Z' n \ n Z*«- -^zx v 1=1 y 1=1 E suma (součet) n počet bodů, jimiž je prokládána přímka [x{yi\ souřadnice jednotlivých bodů, jimiž je prokládaná přímka. 2.3 LINEARIZACE = převod vyjádření určité nelineární závislostí na tvar což je rovnice přímky y = kx + q Důvod: lineární (= přímková) závislost se zpracovává snadněji než jiné závislosti. Postup linearizace: Obecný postup neexistuje. 5 Zavádíme vhodnou substituci: původní závislost linearizovaná závislost výraz obsahující jen nezávislou proměnou a čísla X výraz obsahující jen závislou proměnou a čísla y výraz obsahující jen konstanty (i neznámé) k,q Př.: 1) původní závislost: l+COC c nezávislé proměnná (koncentrace) r závislá proměnná rmax,co konstany 2) linearizace: převrácená hodnota obou stran rovnice: 1 l+coc coc úpravy pravé strany: 1 l+CÚ-C ■ + - coc r r coc r coc max max r r i i ---+— co c r 3) linearizovaná závislost y = kx + q : ,.11 1 substituce: — = y, — — x,- r c r ■« Jsou-li dvojce [c,r] a tedy i dvojce [x,y] zjištěny experimentálně, lze pak po provedení linearizace zjistit hodnoty k,q například pomocí metody nejmenších čtverců a pak zpětně vypočíst rmax,co. 6 Př.: Byly naměřeny dvojice [c,r], které mají vyhovovat tzv. Langmanovy izotermě: i ■ w- c r = —^-. Určete hodnoty konstant rmax,co. l + coc c r 1 x - — c 1 y=T 0,001 48 1000 0,0208 0,002 95 500 0,0105 0,005 220 200 0,00455 0,01 300 100 0,00333 0,05 700 20 0,00143 0,1 850 10 0,00115 Z metod nejmenších čtverců:-- £ r a> max Jt = 1,98 -10-5 ^>« = 48 9 = 9,47.10-4=>rinix=1050 Původní závislost r ik íooo-■ 50 -- 0,05 linearizace -► linearizovaná závislost i/r ik 0.02-■ 0,01 -- 0,1 500 1000 1 k,q—>-výpočet konstant v původní závislosti 7 3 VEKTORY Fyzikální veličiny: skaláry ... veličina, k němuž určení stačí udat jen velikost (hmotnost, čas, hustota, ...) vektory ... je nutno udat velikost a směr (rychlost, zrychlení, síla, dipólový moment, ...) F... vektor ...velikost vektoru 3.1 MATEMATICKÉ OPERACE S VEKTORY 3.1.1 NÁSOBENÍ VEKTORU SKALÁREM -3a a 2a Př: G — m- G m tíhová síla hmotnost tíhové zrychlení [G]=kg-m-s- [m]=kg [g]=m-s~2 5 kg 1 g - 9,81m ■ s~ G - 5-9,8l£g -m- s~2 = 43,(W 3.1.2 SCITANI VEKTORU. a a+b+c Pozn. 2 vektory lze sečíst i pomocí tzv. vektorového rovnoběžníka: b a a+b 3.1.3 ODEČÍTANÍ VEKTORU a—b—a + (—i)-b 3.1.4 SKALÁRNÍ SOUČIN DVOU VEKTORŮ (VÝSLEDKEM JE SKALÁR) Skalárním součinem dvou vektorů se nazývá součin jejich velikostí násoben kosinem úhlu jimi sevřeného: a-b - a-b- cos

(p - 0° =>a b - b -a a±b=>p = 90°=>a-b =0 Př: A = F ■ s A práce (skalár) [A]=J F síla (vektor) s dráha (vektor) [s]=m F=50N s=2m A = 50-2-cos0° = 1007 F=50N 30° s=2m A = 50-2-cos30° = 86,6/ Využití skalárního součinu k výpočtu úhlu nebo stran v trojúhelníku (délky vazeb, vazebné úhly,...) c = a + b c2 =a2 +b2 + 2ab c2 =a2 +b2 + 2ab ■ cos y in Př. Dipólový moment vody je 6,13-10 " Cm. Vypočítejte velikost úhlu H-O-H v molekule vody, víte-li, že dipólový moment skupiny OH je 5,04-10" Cm. Ô" H ^oh/^PX^oh Ph20 = Mm + ŕoH + 2roH cos

2-(5,04)2-(10"30)2 6,132 2-(5,04)' ■ -1 = cos (p => cos

"2 0 + 2 = 2 4.1.7 VYPOČET DIFERENCIÁLU FUNKCI VICE PROMĚNNÝCH Uvažujme funkci z =f(x,y). Pro tuto funkci definujeme vztah: Diferenciál označený dz nazveme totální diferenciál z. dz = dx + y dy X Př.: Je dána fce z=2x +y. Vypočtěte totální diferenciál z. = 4* Í-] i => dz - 4-xdx + dy Př: Vnitřní energie uzavřené termodynamické soustavy je funkcí entropie S a objemu V. U=f(S,V). Totální diferenciál vnitřní energie pak je: dU -\^-\ dS + \^—\ dV T ■P = *0 dS dSJy ^ dV dU = TdS - pdV spojení 1. a 2. věty termodynamické 4.1.8 PRÍKLADY POUŽITI DERIVACI 1) Rychlost a zrychlení Nechť s = f (t) Pak: _ds_ dt dv d2s dt dt 2) Průběh funkcí, maxima a minima funkcí 3) další použití ve fyzice:el. proud: I - —^=-. dt s ... dráha v ... rychlost a ... zrychlení t ... čas 14 4.2 INTEGRAČNÍ POČET, PRIMITIVNÍ FUNKCE NEURČITÉHO INTEGRÁLU Až dosud jsme k funkcím hledali jejich derivace. Hledejme nyní naopak k derivaci tu funkci, z niž derivace vznikla. Řekněme, že hledáme primitivní funkci. Př.: Víme, že pro určitou funkci y=f(x) platí — = —. O kterou funkci y=f(x Jsejedná? Řešte dx y pomocí tabulky derivací. a >, . „~ , • , „ , • ^ ~ dQnx) 1 4 . , , ,d(lnx + k) 1 , , Reseni: Víme (viz. tabulka derivaci), ze-= — . Avšak take-= —, kde £=konst. Hledaná primitivní funkce je tedy každá funkce?????? 4.2.1 VÝPOČET NEURČITÉHO INTEGRÁLŮ 1. Tabulkové integrály (k=konst.) jodx - k jdx - x + k xn+l \xndx---bk, n ž -1 J n + l ľx~ldx - \^-dx — ln x + k J x jexdx — ex +k J"sin xdx — -cos x + k J"cos xdx — sin x + k Př: [x3dx - —— J 3 + 1 3+1 4 + k- — 4 1 , 3 x2 x2 , 2 ^yfxdx - ^x2dx =---\-k - + 1 2 — + k -— y/x3 +k 3 3 4.2.1.1 DALŠÍ PRAVIDLA PRO INTEGROVANÍ: 1) Násobící konstantu lze vytknout před integrál. x3 5 j*5 ■ x2dx - 5 ■ |x2dx - 5---\-k - — x3 + k 15 2) Integrál rozdílu je roven rozdílu integrálů x3 x2 j(x2 +x)dx - |x2dx +1xdx ~~^~ + ~2+^ 3) Integrál součtu je roven součtu integrálů j(x2 -x)dx -1x2dx-1xdx x x --+k 3 2 4) Integrál složených funkcí, kde vnitřní fce je typu v=(ax+b) se vypočte podle vzorce: ^ f(ax + b)dx - — jf(v)dv ■(2x+3)dx-- Př.: 1 7x + 5 -dx - v = 2x + 3 a— 2 v = 7x + 5 a — l 1 {evdv=-ev+k=-e(2x+3)+k jo o 2 1 rl 2 1 = — \—dv =—Inv + k =— ln(7jc + 5) + & 7 J v 7 7 4.2.2 URCITY INTEGRÁL £1 Číselná hodnota určitého integrálu je rovna plošnému obsahu obrazce omezeného osou x, grafem fce y=f(x) a čarami x = a a x = b a ... dolní mez b ... horní mez S - J ydx 16 4.2.2.1 VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU j ydx: 1. Vypočteme neurčitý integrál | ydx 2. Do výsledku (1) dosadíme x=b, dostaneme číslo B 3. Do výsledku (1) dosadíme x=a, dostaneme číslo A b 4. Určitý integrál | ydx — B — A a 5. Integrační konstantu neuvádíme, odčítáním v (č) se zruší. 10 Př. Vypočtěte určitý integrál | x3dx 2 Řešení: L. |x3dx - x 4 2.fí = i(r 4 24 3.A = — 4 104 24 4. |Vífe =---= 2496 2 4 4 — Zápis při výpočtu určitého integrálu: 10 Př.: Vypočtěte |x3dx Řešení: 10 ^x3dx ■ 10 10 4 o4 2496 Aplikace určitého integrálu: chemická kinetika, termodynamika, jaderná chemie, mechanika, apod. 17 4.3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Mají obrovský význam v matematice, fyzice i chemii. Jejich řešením není číslo, ale funkce. Neexistuje obecný návod k jejich řešení. Řešení umíme nalézt jen v některých případech. Proto si ukážeme pouze řešení obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu obsahují: • nezávisle proměnnou x • závisle proměnnou y f dx^ • derivaci y podle x ydyj Řešit diferenciální rovnici znamená nalézt všechny funkce y=f(x) takové, aby o jejich dosazení do zadání byla levá strana rovnice rovna pravé Obyčejná diferenciální rovnice l.řádu: s proměnnými separovanými s proměnnými separovatelnými 4.3.1 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE S PROMĚNNÝMI SEPAROVANÝMI A) dy - f{x)dx B) £ = /<*) dx Řešení: 1) Typ B převedeme na typ A tím, že obě strany rovnice násobíme diferenciálem dx. Tím jsou proměnné separovány (= odděleny). Na jedné straně rovnice je pouze y, na druhé straně rovnice je pouze x. 2) Obě strany rovnice A integrujeme: jdy - jf(x)dx 18 Př.:Řešte diferenciální rovnici — = 5 x +1 dx Řešení: — -5x + l \-dx dx dy - (5x + l)dx |integrace obou stran jdy - j(5x + V)dx y - — x2 + x + k 2 zkouška: L = — -— f — x2 + x + k\ = 5x + l dx dx\2 J P = 5* + l L = P C)g(y)dy = f(x)dx ^)g(y)~ = f(x) Řešení: 1) Typ D převedeme na ty C tím, že obě strany rovnice násobíme diferenciálem dx. 2) Obě strany rovnice C integrujeme: jg(y)dy - J f(x)dx dy Př.: Reště diferenciální rovnici y--= x +1 dx Řešení: y---x + l Vdx dx ydy - (x + \)dx [integrace 2 2 y x / —=—+x+k 2 2 19 4.3.2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE S PROMĚNNÝMI SEPAROVATELNYMI a) f(x)dy = g(y)dx b) /W^ = g(y) dx Řešení: 1) Typ B převedeme na typ A tím, že obě strany rovnice násobíme diferenciálem dx. Proměnné nejsou separovány, neboť na obou stranách rovnice A vystupuje x i y. 2) Provedeme separaci proměnných tak, že obě strany rovnice dělíme funkcemi f(x) i g(x). Dostaneme:—-—dy -—-—dx . Proměnné jsou separovány g(y) f(x) f 1 f 1 3) Obě strany rovnice integrujeme: -dy -\-dx J g(y) J /(*) dy Př.: Řešte diferenciální rovnici x--= y dx Řešení: x ■ — — y I- dx dx x-dy - y-dx |-ŕx -ŕ- y — dy-—dx integrace y x \^-dy - \—dx J y J x ln y - ln x + k Dosud jsme hledali obecná řešení dif. rovnice, tj. konstanta k mohla mít libovolnou hodnotu. V chemii však často hledáme hodnotu konstanty k tak, aby řešení vyhovovalo určitým podmínkám (tzv. počáteční podmínky). Postup výpočtu viz. následující příklad: 20 Př.: Řešte rovnici Idy - xdx, víte-li, že pro x=0máy hodnotu y=l. Řešení: Idy — xdx y x J2dy - jxdx [2y] o 2 x , x2 O2 2y-2-l =--- 2 2 2j-2 = — 2 Použití diferenciálních rovnic v chemii: termodynamika dS - C ~dT ... závislost entropie na teplotě dp AHmv, —y_ _-nu^p_ závislost teploty na tlaku (Clausiova - Claeyronova rovnice) pdT RT2 jaderná chemie: dN --= A/V ... zákon radioaktivního rozpadu dt chemická kinetika: dc --= k ... reakce nultého řádu dt dc — - k c ... reakce prvního řádu dt dc -i — — k- c ... reakce druhého řádu dt 21 5 REPETITORIUM STŘEDOŠKOLSKÉ FYZIKY 5.1 MECHANIKA -kinematika - sleduje změny polohy tělesa v závislosti na čase - dynamika - jedná se o vzájemné působení těles ke změně jejich pohybového stavu hmotný bod - těleso, jehož rozměr a var lze při řešení dané úlohy zanedbat. Abychom mohli popsat pohyb nějakého tělesa, musíme napřed zvolit těleso, vzhledem k němuž budeme udávat přemístění daného tělesa. Volíme tedy tzv. vztažnou soustavu. Každý pohyb sledujeme vzhledem k určité vztažné soustavě. 5.1.1 POHYB PŘÍMOČARÝ - hmotný bod se pohybuje po přímce. Pohyb popíšeme pomocí rychlosti v. 5.1.1.1 POHYB ROVNOMĚRNÝ: RYCHLOST JE KONSTANTNÍ. As s7 - s, v =■ - Aŕ 12 - tx Př.: Vůz se pohyboval rovnoměrně a urazil dráhu 200 m za % min. Vypočtěte jeho rychlost v m-s"1 a v km-h"1. a) As = 200m, t = % min=45 s As 200m , , v = — =-= 4,44m ■ s At A5s b i As = 200m = 0,2 km, t = 3Á min= 3Á -1/60 hod = 0,0125 hod. = \6km ■ hoď As 0,2km , ,_i Ař 0M25hod lm • s 1 = 3,6km • hod 1 v = konst. 22 5.1.1.2 POHYB NEROVNOMĚRNÝ: VELIKOST RYCHLOSTI SE MĚNÍ _ s, — s. určujeme: - průměrnou rychlost: v = ■ t2 tl ds okamžitou rychlost: v - — dt '2 ds - vdt => jvdt v ^ 5.1.1.3 POHYB ROVNOMERNE ZRYCHLENY v -vQ +at vo počáteční rychlost a zrychlení t čas v rychlost V ik a směrnice přímky v -vQ+at '2 '2 s - j vdt - |(v0 +at)dt vj + — at 0 2 1 ■■v0(t2-tl) + -a-(t;-t{) Př.: Určete počáteční rychlost a konstantní zrychlení cyklisty, který v páté sekundě urazil dráhu 12 m a v desáté sekundě dráhu 16 m. s - vAt2 -t,) + — a-(t2 -tf) 12 = v0(5-4) + |(52 -42) a 16 = v0(10-9) + -(102 -92) 12 = vn+--9 16 = v„+ —19 4 = 5a 4 5 a- — m-s 2,v0 = 8,4m■ s 1 23 5.1.1.4 RYCHLOST A ZRYCHLENÍ JAKO VEKTORY Skalár ... veličina, k němuž určení stačí udat jen velikost (hmotnost, čas, hustota, ...) Vektor ... je nutno udat velikost a směr (rychlost, zrychlení, síla, dipólový moment, ...) 5.1.1.4.1 Sčítání vektorů: 1) stejný směr - sečteme velikosti, směr se zachová. Vl »-► Vl V2 -►-► 2) opačný směr - odečteme velikosti. Směr je totožný se směrem vektoru o větší velikosti. V2 Vl ■4— —► 3) vektorový rovnoběžník 5.1.1.5 POHYB KŘIVOČARÝ Trajektorie = dráha, po které se hmotný bod pohybuje. a) trajektorie - přímka = pohyb přímočarý b) trajektorie - křivka = pohyb křivočarý U křivočarého pohybu leží vektor rychlosti v každém okamžiku v tečně k trajektorii a míří ve směru pohybu. 24 Při křivočarém pohybu není vektor rychlosti nikdy konstantní! 5.1.2 POHYB PO KRUŽNICI Frekvence pohybu/- počet otáček za jednotku času. ] = s~l Perioda pohybu T - doba, za kterou hmotný bod vykoná jednu otáčku. [7] =s Platí: / = — T Úhlová rychlost pohybu cd - úhel o který se hmotný bod otočí kolem středu kružnice za jednotku času. 0) = 2xf a co =- 12 — tl Úhel vyjde v radiánech 4% rad ... 360° ti rad ... 180° 7i/2rad ... 90° Obvodová rychlost v - v = (ů ■ r r - poloměr kružnice 25 5.2 SILA, PRACE, ENERGIE 5.2.1 NEWTONOVY ZÁKONY 1. NEWTONŮV ZÁKON - ZÁKON SETRVAČNOSTI Těleso setrvává v klidu nebo pohybu rovnoměrně přímočarém, není-li vnějšími silami nuceno tento stav změnit. Chemická soustava, do níž není zvnějšku zasahováno, po určité době dospěje do rovnováhy a v ní setrvává, pokud není rovnováha vnějším zásahem porušena. 2. NEWTONŮV ZÁKON - ZÁKON SÍLY Časová změna hybnosti je úměrná působící síle a má s ní stejný tvar. Hybnost p = m- v [p] = [m]-[v] [p] - kg ■ m - s~l m hmotnost v rychlost dt Jfc-F Pozn. V soustavě SI je k = 1 do ■ d(m-v) dy — = t —-— m--= m-a dt dt dt 8 -1 Pozn. m= konst. jen pro v < 10 m-s" . F = m ■ a rln — — '2 — — — = F = dp - F ■ dt p2 -pj = ÍF ■ dt - I ... 1. věta impulsová dt J I impuls síly Je-li F = konst., pak m-\2-m-\1 - F ■ (t2 - tx) Význam: Známe-li F a At, můžeme vypočítat změnu rychlosti, aniž známe dráhu. Důsledek: Hybnost izolované soustavy je konstantní (Zákon zachování hybnosti =>F = 0=>p2=p1) 3. NEWTONŮV ZÁKON - ZÁKON AKCE A REAKCE Síly, jimiž na sebe působí dvě tělesa, mají vždy stejnou velikost a opačný směr. V chemii je obdobou Le-Chatelierův princip: Porušíme-li rovnováhu vnějším zásahem (akcí), proběhne takový děj (reakce), který směřuje proti účinkům vnějšího zásahu. 26 5.2.2 TLAK je roven velikosti síly kolmo působící na plochu jednotkové velikosti. F [p] = Pa = N m 2 (pascal) Hydrostatický tlak 9,81 m-s -2 p = p-g-h g P hustota kapaliny h hloubka pod hladinou Mechanická podmínka fázové rovnováhy: tlaky dvou spojených soustav jsou při rovnováze stejné. Důsledek: • teplota varu kapaliny je teplota, při níž se tenze par kapaliny rovná vnějšímu tlaku Archimédův zákon těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze kapaliny vytlačené ponořeným tělesem. Stokesův zákon F' = G ■ K r] ■ r v F ... síla, udávajíc velikost odporu, který viskózni prostředí klade pohybujícímu se tělesu spojené nádoby (kuličce) = 3,14 viskozita r poloměr kuličky v rychlost (pádu) kuličky 27 5.2.3 OTÁČIVÝ POHYB TUHÉHO TĚLESA - MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI MOMENT SILY M = řxF M...moment síly ř...rameno síly F...síla Mj =ř,xF1 M2 =ř2 xF2 směr určí pravidlo pravé ruky. Momentová věta: Otáčivý účinek sil působící na těleso otáčivé kolem pravé osy se ruší, jestliže se vektorový součet momentů všech sil vzhledem k ose rovnoběžné nule. Rovnováha na páce: Ml +M2 = 0 rA ~r2F2 =0 rlFl = r2F MOMENT SETRVAČNOSTI: J =mxr? +m2r2 + ...+ mnr2 Př.: HC1 o osa otáčení H Cl J =mHr12 +mar22 IR rotační spektroskopie, určování atomových poloměrů, délek vazeb... 28 5.2.4 ENERGIE =schopnost konat práci. Lomonosov (1784) : Energii nelze vytvořit ani jí zničit. Kinetická energie: E - — ■ m ■ v 2 2 Potencionálni energie: E = m ■ g ■ h Tepelná energie: = m ■ c ■ AT Pro zahrívání látky v daném skupenství AQ - m-l pro změnu skupenství při dané teplotě AQ = TAS v ..... energetická zmena související se zmenou entropie AQ definice entropie: AS = Světelná energie: E - h— c = 3T08m-s_1 Á Elektrická energie Chemická energie: reakční teplo, energie vazeb, elektronová afinita, ionizační potenciál, jaderná energie, ...) Vnitřní energie soustavy: 1. věta termodynamická: AU = AQ - AA A U zvýšení vnitřní energie AQ dodané teplo AA práce vykonaná soustavou AU = AQ + AW AW práce dodaná soustavě Energie patří mezi stavové funkce = ty veličiny, jejichž velikost nemůžeme určit (změnit ani vypočítat), ale můžeme určit jejich změnu. 1. věta termodynamická —> Energie a práce jsou rovnocenné, mohou na sebe vzájemně přecházet. 29 5.3 TERMIKA Srovnání Kelvinovy a Celsiovy teplotní stupnice: Stupně jsou stejně velké, tj. teplotní rozdíly jsou v obou stupnicích stejně velké a tudíž se nepřevádějí. Stupnice se od sebe liší pouze polohou nuly: Stupnice Kelvinova 273.15 K > I I I I-1 I I I I I I I-1 I I OK 100 K 200 K Absolutní nuly, tj. 0 KT nelze nijak dosáhnout. 300 K iVT = At = 60 K 4 60 °C '<-* Stupnice Celsiova ) I I I I-1 I I I I I +—I-1 I I I -273,15 °C -200 °C -100 G 0°C převodní vztah pro teplotu: T = t + 273,15 T teplota v kelvinech t teplota ve stupních Celsia Př.: 373,15K =t°C +273,15 odtud t = (373,15-273,15) = 100° Teplotní rozdíly se nepřevádějí: AT = At Př.: Zahřejeme-li těleso o 60K, je to přesně totéž, jako kdybychom řekli, že jsme je zahřáli o 60°C. Fázový diagram vody: 101 325 Pa 650,5 Pa O) (s) \ K \ T \ & -► 273,15 K 373,15 K 30 (s) pevná fáze (led) (1) kapalná fáze (kapalná voda) (g) plynná fáze (vodní pára) p tlak T termodynamická teplota (= teplota v Kelvinově stupnici) v počet stupňů volnosti (= počet intenzivních stavových veličin (např. tlak, teplota, koncentrace), které lze současně nezávisle na sobě měnit, aniž by se tím změnil počet fází v soustavě). f počet fází (fáze je část soustavy, která má ve všech svých částech stejné vlastnosti. U vody uvažujeme fázi pevnou - led, kapalnou - kapalná voda a plynnou - vodní pára. U jiných látek může být situace složitější. Např. uhlík má tři pevné fáze - amorfní (saze), šesterečnou (grafit) a krychlovou (diamant)). T trojný bod (rovnováha tří fází - u vody rovnováha led-kapalina, pára), v = 0 K kritický bod (mizí hranice mezi kapalnou a plynnou fází. Při teplotách vyšších než je kritická teplota plyn nelze zkapalnit). standardní tlak je 101 325 Pa 5.3.1 FAZOVE PREMENY: (s) -> (1) tání (1) —► (s) tuhnutí (s) —> (g) sublimace (g) —> (s) desublimace (1) —> (g) vypařování (g) —> (1) kondenzace Budeme-li zahřívat led o počáteční teplotě nižší než 0°C (= teplota tání vody při standardním tlaku) proběhnou tyto děje, k jejíchž uskutečnění je zapotřebí teplo Q. 1) zahřívání ledu z 0 K na Ttání = 273,15 K o = m- c (t -t ) *Z<\ ledu \ tání počočáteč I 2) tání ledu při Ttání = 273,15 K (dokud led neroztaje, teplota nevzroste nad 273,15 K) Ql = m ■ hání 3) zahřívání vody z Ttání = 273,15 K na Tvaru = 373,15 K o =m-c ít -t ) kapalné vody v varií tání ' 31 4) zahřívání vody při Tvaru = 373,15 K (dokud se voda ne vypaří, teplota ne vzroste nad 373,15 K) Q4=m-l. varu 5) zahřívání vodní páry Qs = m ■ Cpáry (Tl konečon varu 1... skupenské teplo (= teplo, které je nutno dodat jednomu kilogramu látky, aby tento změnil skupenství. Např. teplo, které je zapotřebí k tomu, aby roztál 1 kg ledu). Mluvíme o skupenském teple tání, o skupenském teple vypařování, o skupenském teple sublimace... c ... měrné teplo (= teplo, které je nutno dodat jednomu kilogramu látky, aby tento zvýšil svou teplotu o 1 K, tedy o 1 oC). m ... hmotnost zahřívané látky Uvedeme-li do styku dvě tělesa o různých teplotách, předává teplejší těleso chladnějšímu teplo. Matematické vyjádření kalorimetrické rovnice předpokládá, že soustava uvažovaných dvou těles je izolovaná, tj. že všechno teplo odevzdané teplejším tělesem 5.3.2 KALORIMETRICKÁ ROVNICE (Q ) je rovno teplu přijatému chladnějším tělesem (Qj), tedy: Qt = Q n 5.4 KMITAVÝ POHYB 5.4.1 SOUSTAVA JE V KLIDU A V ROVNOVÁZE i gravitační síla síla pružiny (= síla, která nutí pružinu, aby si zachovala svůj původní tvar) Podmínka klidu (rovnováhy) F + Fp = 0 32 5.4.2 TĚLESO BYLO PŮSOBENÍM SILY ZÁMĚRNĚ VYCHÝLENO Z ROVNOVÁŽNÉ POLOHY. Až přestane tato síla působit, začne těleso vykonávat kmity. V ideálním případě by to byly tzv. kmity netlumené, což znamená, že maximální výchylka tělesa z rovnovážné polohy (tzv. amplituda) by byla stále stejná. Ve skutečnosti ovšem působí odpor prostředí (vzduchu), část energie soustavy se mění v teplo (pružina se zahřívá) apod. V důsledku toho jsou kmity ve skutečnosti tlumené, tj. jejich amplituda se s časem zmenšuje. Těleso vychýlené z rovnovážné polohy je taženo zpět do rovnovážné polohy silovým působením pružiny silou Fp. Je-li síla pružnosti Fp přímo úměrná výchylce, jedná se o tzv. harmonické kmity. Pak platí: Fp = -k ■ x k ... tuhost pružiny (závisí na tvaru a materiálu, z nějž je vyrobena) x ... výchylka tělesa z rovnovážné polohy Záporné znaménko značí, že síla pružiny působí proti výchylce tělesa. Podle 2. Newtonova zákona uděluje síla pružiny tělesu zrychlení o velikosti a: Fp = -k ■ x 32 x Dosaďme za sílu pružnosti výraz F = -k ■ x a za zrychlení jeho definiční vztah: a - ■ dť d2x dostaneme diferenciální rovnici 2. řádu (vystupuje v ní 2. derivace): m—— = —kx. dt Uvedená rovnice má toto řešení: ( [k \ x - A ■ sin ■t + q> m J x výchylka tělesa v daném okamžiku t čas A amplituda (maximální výchylka) cp počáteční fáze (charakterizuje polohu tělesa v okamžiku, kdy jsme začali měřit čas) T = UJ tzv. úhlová rychlost (kruhové frekvence). Její převod pohybu ó) = 27tf m Okamžitou rychlost pohybu tělesa pak můžeme z rovnice okamžité výchylky vypočíst podle definice rychlosti: x = A- sin(57 -t + lpro každé prostředí kromě v vakua. Pro vzduch je přibližně n = 1. 5.6.1 ZÁKONODRAZU: ÚHEL ODRAZU a]E ROVEN ÚHLU DOPADU a', TEDY a = a 5.6.2 ZÁKON.LOMU: sin a = 2i: sin /3 v2 a) lom ke kolmici a> f5 b) lom od kolmice a< f5 Totální odraz: Nastává-li lom od kolmice, pak pro úhly dopadu a > e dochází již pouze k odrazu = tzv. totální odraz. Úhel e je tzv. mezní úhel. Vztah pro výpočet mezního úhlu: sinf řz, . řz, , , . ™„ , -= — ^> sin £ = —, neboť srn90° = 1 sin 90° ^ ^ 36 Užití totálního odrazu: V refraktometrii (=metoda využívající měření indexu lomu např. pomocí totálního odrazu) Př.: Paprsek dopadá ze vzduchu (index lomu ni = 1,000) pod úhlem ai = 40° do prostředí o indexu lomu n2 a láme se pod úhlem 012= 20°. Určete index lomu n2 tohoto prostředí. „ v , sin a n7 reseni: - sin 40° sin/? nx sin 20° 1,000 n7 = 1,879 5.6.3 DUALISMUS VLNA - ČASTICE Elektromagnetické záření má vlastnosti vlnění i vlastností časticové (chová se jako proud částic). Elementární kvantum elektromagnetického záření je foton. Na fotony lze pohlížet jako na částice, současně jim však možné přiřadit vlastnosti vlnové. Fotonu je možno přiřadit vlnovou délku (jako vlnění), a to vztahem: c rychlost světla ve vakuu, c = 3 • 108 ms1 X vlnová délka v frekvence vlnění Pozn. převrácená hodnota vlnové délky je — = v tzv. vlnočet. Na elektromagnetické záření lze poohlížet také jako na proud částic - fotonů - o energii E = h-v, kde h je tzv. Plancova konstanta, h = 6,6262-10 34 Js. Spojení obou náhledů na elektromagnetické záření nám pak umožní určit enrgii fotonu, jež náleží o dané vlnové délce X: E = h- Pozn.: Symbolem E je označena energie jednoho fotonu. Slovně lze uvedený vztah vyjádřit např. takto: Energie fotonů je nepřímo úměrná vlnové délce záření. Fotonyzáření s krátkou vlnovou délkou tedy mají vysokou energii, fotony záření s velkou vlnovou délkou tedy mají malou energii Př.: Viditelné světlo je elektromagnetické záření s vlnovými délkami přibližně mezi 400 nm až 700 nm. Před touto oblastí, při vlnových délkách kratších než 400 nm, se nachází ultrafialová oblast spektra. 5.6.4 BAREVNOST LÁTEK Látky, které absorbují (= pohlcují) záření ve viditelné oblasti spektra (tedy elektromagnetické záření v oblasti vlnových délek 400 až 700 nm) se jeví jako barevné. Přitom pozorovaná látka má v prošlém i odraženém světle barvu doplňkovou (tzv. komplementární) k té barvě, která byla absorbována. Příčina: Bílé světlo je vyvážená směs elektromagnetických záření všech vlnových délek z viditelné oblasti. Pokud se tato vyváženost poruší (např. tím, že záření některé vlnové délky je částečně odstraněno absorpcí), převládne záření některých vlnových délek a světlo se pak jeví barevné. barva látky (= barva prošlého nebo odraženého světila barva absorbovaného světla vlnová délka absorbovaného světla [nm] ultrafialová oblast 10 - 400 viditelná oblast žlutozelená fialová 400 - 435 žlutá modrá 435-480 oranžová zelenomodrá 480 - 490 červená modrozelená 490 - 500 purpurová zelená 500 - 560 fialová žlutozelená 560 - 580 modrá žlutá 580-595 zelenomodrá oranžová 595 - 605 modrozelená červená 605 - 750 infračervená oblast 750 - 500 000 Př.: Je-li z bílého světla částečně odstraněna složka o vlnových délkách z rozmezí 435-480 nm (modrá barva), více se projeví se zbývající složky, které dohromady tvoří barvu žlutou (= doplňková barva k modré). Látka, pohlcující modré záření, je tedy žlutá. Barevnost látek úzce souvisí s jejich strukturou. Příčinou barevnosti látek je interakce molekul, atomů či iontů s elektromagnetickým zářením z viditelné části spektra. Pokud elektromagnetické záření obsahuje fotony s energií právě tak velkou, jako jsou energetické rozdíly mezi obsazenými orbitaly s nejvyšší energií a některými orbitaly s energií ještě vyšší, mohou být tyto fotony látkou pohlceny (= absorbovány) a jejich energie je využita na excitaci elektronů z nej vyšších obsazených orbitalů do orbitalů vyšších. Absorbované fotony (a tedy elektromagnetické záření o odpovídající vlnové délce podle vztahu odstraněny, látka je tedy barevná. E = h--Á jsou tedy z bílého světla částečně Význam pojmu „orbitaly s nejvyšší energií" je různý podle toho, jakou látku uvažujeme: Pokud absorbující látkou mají být atomy, jedná se o valenční elektrony ve valenčních atomových orbitalech a o jejich přeskoky do atomových orbitalů s vyšší energií. 38 Pokud absorbující látkou je koordinační sloučenina, jedná se o elektrony v částečně zaplněných d-orbitalech a o jejich přeskoky mezi hladinou t2g a eg. Pokud absorbující látkou je organická sloučenina, jedná se o vazebné n - elektrony nebo a ne vazebné elektrony a o jejich přechody jt—»jt ,n—»■ ji ,n^o (hvězdičkou je značen anti vazebný orbital).Tyto přeskoky jsou umožněny zejména tehdy, obsahuje-li organická látka skupiny nazývané chromofory, např. C=C, N=N, C=0, N=0, NO2, apod. 5.6.5 POLARIZACE SVĚTLA Světlo je elektromagnetické vlnění. Elektromagnetické vlnění je vlnění příčné. Za normálních okolností se jedná o tzv. světlo nepolarizované, kdy elektrický vektor kmitá ve všech možných rovinách. Působením vhodného zařízení (= polarizátoru) lze získat světlo polarizované, jehož elektrický vektor kmitá pouze v jedné rovině. světlo nepolarizované světlo lineárně polarizovatelné ZPŮSOBY POLARIZACE SVĚTLA: a) odrazem na krystale Po odraze na krystale je světlo částečně až úplně polarizováno v rovině rovnoběžné s rovinou krystalu, na níž se světlo odráželo. K úplné polarizaci dojde tehdy, dopadá-li světlo na krystal pod úhlem a vyhovujícím Brewsterovu zákonu: tg a = — ,kde nx yí2 index lomu krystalu ni index lomu prostředí, z nějž paprsek dopadá na krystal (např. vzduch) b) průchodem anizotropním prostředím Průhledné krystaly, které nenáleží krychlové soustavě, jsou pro světlo anizotropním prostředím (tj. v různých směrech mají vůči světelnému paprsku různé vlastnosti). Jsou to dvojlomné krystaly. Příkladem může být islandský vápenec. Dopadá-li na něj paprsek světla, je při průchodu krystalem rozdělen na paprsky dva a to: - paprsek řádný (ordinary) splňující zákon lomu - paprsek mimořádný (extraordinary), nesplňující zákon lomu. 39 Oba paprsky jsou lineárně polarozovány, a to v rovinách navzájem kolmých. Chceme-li tedy získat lineárně polarizované záření (tedy s jedinou rovinou kmitání), musíme vhodným způsobem tyto paprsky od sebe oddělit. To je vyřešeno např. konstrukcí Nikolova hranolu: f o (= ordinary) 68° e (= extraordinary) 22' Obě části Nikolova hranolu jsou vyrobeny z islandského vápence a jsou slepeny buď kanadským balzámem (ten ale nepropouští UV záření, s takovým hranolem tedy není možno provádět měření v ultrafialové oblasti spektra), nebo glycerinem (umožní měření i v ultrafialové oblasti). Název „nikol" se dnes používá nejen pro Nikolův hranol, ale i přeneseně pro každé polarizační zařízení (tedy každý polarizátor). 5.7 ELEKTŘINA HISTORIE znalost elektřiny - již starověk: 600 l.př.n.L: Thálés Milétský: „Předměty se k sobě mohou přitahovat i jinak než na základě síly." znalost magnetismu - u města Magnesia (v Malé Asii) byl nalézán pyrit (a bylo známo, že přitahuje železo - tedy měl magnetické vlastnosti). 5.7.1 ELEKTROSTATIKA Elektrický náboj může být buď kladný, nebo záporný. Souhlasné náboje se odpuzují, nesouhlasné se přitahují: ©0 OO 0O <- —► <- —► —► <- 5.7.2 DRUHY LÁTEK Z HLEDISKA VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU: a) vodiče 1.druhu (kovy) - elektrický náboj je přenášen elektrony. Jejich elektrická vodivost s rostoucí teplotou mírně klesá. 40 2. druhu (roztoky a taveniny elektrolytů, např. NaCl) - elektrický náboj je přenášen ionty b) izolátory neobsahují volně pohyblivé nosiče elektrického náboje, (sklo, plasty). Nejlepší izolátor je vakuum (!pozor, není to látka!) c) polovodiče obsahují určité množství volně pohyblivých nosičů elektrického náboje. Jejich elektrická vodivost silně závisí na teplotě (s rostoucí teplotou roste), na koncentraci příměsi. Příklady polovodičů: Se, Ge, Cu20,...) 5.7.3 INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE -je to vektorová veličina. Její velikost je číselně rovna síle, která působí na jednotkový kladný náboj (tj. o velikosti 1 C): E - —---- 4xe0 r (= směr intenzity) © •—* Q Qo (jednotkový kladný náboj, na nějž je působeno) - (= směr intenzity Q Qo (jednotkový kladný náboj, na nějž je působeno) 5.7.4 DIPÓLOVÝ MOMENT, DIPÓL jU = Ql Dipólový moment směřuje od kladného náboje k zápornému. 0 ' O -► Molekuly: a) s pernamentním (= stálým) dipólem: H2O, HC1 b) s indukovaným (= vyvolaným) dipólem 5.7.5 POLARIZOVATELNOST MOLEKULY (ATOMU): = schopnost tvořit indukovaný dipól, schopnost přesunu částic elektronů v částici. Snadno se polarizují částice se slabě vázanými elektrony, zejména s velkým počtem slabě vázaných elektronů (= daleko od jádra). 41 Př.: Li+ nemá valenční e (slaběji vázané), ls2 je blízko u jádra, F 1 silně vázaná, málo polarizovatelná částice Ag+ má celkem 46 elektronů, daleko od jádra, slabě vázané, snadno polarizovatelná částice 5.7.6 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL = práce potřebná k přemístění jednotkového náboje z nekonečna do daného místa. Nelze ho 1 Q zmerit.