Teoretická fyzika Základy teoretické mechaniky Michal Lenc " podzim 2012 Obsah Teoretická fyzika " Základy teoretické mechaniky........................................................1 1. Funkcionály..........................................................................................................4 2. Eulerovy " Lagrangeovy rovnice...........................................................................5 2.1 SnellLU' zákon z Fermatova principu..............................................................5 2.2 Eulerovy " Lagrangeovy rovnice...................................................................6 2.3 Poznámky k Lagrangeovým rovnicím............................................................8 2.4 Legendrova transformace...............................................................................9 2.5 Tvar Lagrangeovy funkce............................................................................12 2.6 Zobecnané soupidnice..................................................................................14 2.7 Časová závislost potenciální energie............................................................15 3. Zákony zachovaní...............................................................................................16 3.1 Základní zákony zachovaní..........................................................................16 3.2 Popis soustavy Tástic ve dvou rUíných inerciálních soustavách....................18 3.3 Mechanická podobno st................................................................................19 3.4 Viriálový teorém..........................................................................................20 4. Invariance...........................................................................................................21 4.1 Úvodní poznámky........................................................................................21 4.2 Rundova " Trautmanova identita.................................................................22 4.3 Teorém Emmy Noetherové..........................................................................23 5. Pohyb v centrálním poli " Keplerova úloha.........................................................27 5.1 Newtonovy rovnice......................................................................................27 5.2 Relativní pohyb (pohyb v taiipqpvé soustava)..............................................30 5.3 Keplerovy zákony........................................................................................31 5.4 Lagrangeovy rovnice...................................................................................34 1 6. Pohyb v centrálním poli " rozptyl dvou Tástic.....................................................38 6.1 Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu................................................38 6.2 Rutherfordům úTinný prUjDez.........................................................................41 6.3 Popis v laboratorní soustava a soustava stpedu hmotnosti.............................42 7. Pohyb v centrálním poli " harmonický oscilátor..................................................45 8. Pohyb v neinerciální soufftdné soustava..............................................................47 8.1 Transformace z inerciální do neinerciální soustavy......................................47 8.2 Rovnomarna rotující sou^dná soustava.......................................................48 8.3 Pohyby v gravitaTním poli Zema ovlivnané její rotací..................................49 9. Hamiltonova formulace mechaniky.....................................................................51 9.1 Hamiltonovy rovnice...................................................................................51 9.2 Poissonovy závorky.....................................................................................52 9.3 Hamiltonova " Jacobiho rovnice.......................... ........................................53 9.4 MaupertuisLU' princip...................................................................................54 10. Pohyb tuhého talesa............................................................................................57 10.1 Tuhétaleso..................................................................................................57 10.2 Tensor setrvaTnosti......................................................................................59 10.3 Moment hybnosti tuhého talesa....................................................................60 10.4 Pohybové rovnice tuhého talesa...................................................................62 10.5 Eulerovy úhly a Eulerovy rovnice......................... .......................................63 11. Mechanika prulných tale s...................................................................................68 11.1 Tensor deformace........................................................................................68 11.2 Tensor napatí...............................................................................................69 11.3 Hookut zákon..............................................................................................72 11.4 Homogenní deformace.................................................................................74 11.5 Rovnice rovnováhy pro izotropní talesa.......................................................75 11.6 Tensor deformace ve sférických souf&dnicích..............................................76 12. Mechanika tekutin...............................................................................................78 12.1 Rovnice kontinuity.......................................................................................78 2 12.2 Eulerova rovnice..........................................................................................80 12.3 Bernoulliho rovnice.....................................................................................82 12.4 Malé odboTení k termodynamice.................................................................84 12.5 Tok energie a hybnosti.................................................................................85 12.6 Navierova " Stokesova rovnice....................................................................86 13. Vlny....................................................................................................................88 13.1 GravitaTní vlny............................................................................................88 13.2 Zvukové vlny...............................................................................................91 13.3 Vlny v prulném prostpedí.............................................................................93 3 1. Funkcionály Ppi odvození Lagrangeových budeme vycházet z principu nejmenpflio úTinku. Základním pojmem je úTinek (akce), col je integrál na urTitém Tasovém intervalu z tzv. Lagrangeovy funkce, která je opat funkcí popisujících Tasovou závislost trajektorií a rychlostí (skuteTných nebo virtuálních). Pro úTely mechaniky budeme nazývat funkcionálem zobrazení jisté mnoliny funkcí (v mechanice funkcí jedné promanné) do mnoliny reálných Tísel. Triviálním ppřkladem je délka kpivky, charakterizované v rovina x " y funkcí y = y{x) mezi body A = [a,y(a)) a B = {b,y{b)) l = ]ál = ]jár+áy2 =]yll + ý2 dx , y=ÍZW . A A a dx Pokud je funkce y = _y(x)dána, jde pak ul jen o výpoTet urTitého integrálu. Zajímavajpí je úloha, jak najít kpivku spojující zmínané body, která má nejkratpí vzdálenost. Fyzikálna velmi zajímavý je Fermatu^ princip. Ppedpokládejme, Te svatelný paprsek vychází z bodu A a smapije do bodu B. Fermatu^ princip piká, Te výsledná trajektorie je taková, aby potpebná doba pípení byla minimální. Prostpedí, ve kterém se paprsek pípí, je charakterizováno indexem lomu, který udává pomar rychlosti svatla ve vakuu k rychlosti vdaném prostpedí n = c/v. Podle Fermatova principu hledáme tedy minimum funkcionářů Ař = |dř= f— = -Jn(jc,y) S[y]eM . (1.5) Nech 14 dále L = L,(x,y,y'^ je funkce na otevpené podmnolina prostom Mxl2 obsahující mnolinu [a,fe]xl2, se spojitými parciálními derivacemi do pádu 2 vTetna. Pak funkcionál b S: Ds3y(x) -> S[ y] = Jl(jc, y (x), y' (x))dx g R (1.6) a se nazývá variaTní integrál. 2. Eulerovy " Lagrangeovy rovnice 2.1 SnellLL^ zákon z Fermatova principu ZnaTení zvolíme podle obrázku. Ppedpokládejme, Te ul víme, Te v homogenním prostpedí nejkratpí vzdáleností mezi dvama body je ppřmka. Ppi cesta z bodu (a,Z?) v prvním 5 prostpedí do bodu (A,5) v druhém prostpedí prochází paprsek bodem (s ,0) na rozhraní soupadnice tohoto bodu je jediným volným parametrem úlohy. Máme tedy Át(s) = -(nlsl + n2s2)=-{r\^(s-af +b2 + n2 ^J(A-s)2 +B2 j . (2.1) Dále dAt(s) ás 0 nx (e - a) n2 (A - s) (a,b> odkud ul plyne SnellLU' zákon Jde opravdu o minimum, nebo 14 i\ sin^j = n2 ú\\62 . 2a > d2At(s)_l(n1cos201 | n2cos2q (2.2) >0 2.2 Eulerovy " Lagrangeovy rovnice Nejprve dulelité Lemma: Jestlile b ^F(t)t](t)át = 0 , r/(a) = ri(b) = 0 a a jestlile jsou na intervalu [a,Z?] oba funkce F{t} i r/(t^ dvakrát diferencovatelné, potom F(7) = 0na [a,Z?]. Důkaz vedeme sporem. Ppedpokládejme, Te F(c)^0 (pro urTitost F(c)>0) pro najaké a0. Zkonstruujeme funkci (pokud splKuje poladavky, je jinak libovolná) (ř) = f(ř-03(ř2-')3 ^('l'O ' n tZ{tx,t2) O Pak ovpem integrál z lemmatu není nulový, col je spor. Nyní muieme pfistoupit k důkazu následující vaty: Uvalujme funkcionál S, jeho! Lagrangeova funkce L závisí na n funkcích xa jedné promanné t, na prvních derivacích tachto funkcí a na samotné promanné t u S = \L(t,xa ,xa)dt . (2.3) Soubor n funkcí jx" , pro které nabývá funkcionál S extrému je pepením n Eulerových Lagrangeových rovnic d dL --= 0 dtdxa dxa (2.4) Důkaz: Au, xa (ř) oznaTuje práva tu (skuteTnou) trajektorii, pro kterou nastane extrém funkcionářů S. Kolem této trajektorie vytvofíme mnolinu (virtuálních) trajektorií x[as]=xa(t,s) = xa(t) + s?Ja(t) , T?a(a) = T?a(b) = 0 . (2.5) Definujme funkcionál S(e) = JL(e)dt , L(s) = L(t,x;],x;]) (2.6) Má-li funkcionál (2.6) dosáhnout extrému (2.3), musí být S(e)-S _dS(e) lim- ds 0 . (2.7) Potpebná derivace je dS(s) ds dL(s)dx«s] | dL(e)dtfe] dxž", ds <3if, ds dt (2.8) Máme dxž", _[f] ds aJk=tľ(t) , ds W dx" dL dxa dL(s) dx? s=0 dL dxa (2.9) £ = 0 takle 7 dS(e) ds dL a dL .a va+—va dx dxa dt =-rf dxa dL d dL dxa dt dxa 7jadt . (2.10) Podmínky r/a {a) = r]a (Z?) = 0 a poulití Lemmatu uzavírají důkaz. Poznámka. Ve vztahu (2.8) je dobpe ilustrováno sumaTní pravidlo. Clen dLJdx^^ má index Kiole\ Tlen dx^^jds Inahope" " index je sTítací. Aby nedofio k zámana, je skuteTnost, Te je promanná a nikoliv index, zvýraznana uzavpením [ ] do závorky. 2.3 Poznámky k Lagrangeovým rovnicím 1. Provedeme explicitná totální derivaci podle promanné t. Dostáváme tak d2L ... d2L ■xp +■ -xp + d2L dL 0 (2.11) dxp dxa dxp dx" dtdx" dxa Lagrangeovy rovnice tvopř soustavu n obyTejných diferenciálních rovnic druhého fádu. Definujeme zobecnanou hybnost kanonicky sdrulenou se zobecnanou soufÄdnicí xa jako dL ľa - . a dx Potom mají Lagrangeovy rovnice tvar dpa dL (2.12) (2.13) dř dxa Z rovnice (2.13) vidíme okamlita zákon zachování: Zobecnaná hybnost se zachovává, jestlile Lagrangeova funkce nezávisí na kanonicky sdrulené soufÄdnici. 3. Definujeme Hamiltonovu funkci jako H = H(t,x,p) = paxa(t,x,p)-L(t,xa ,xa(t,x,p)) . (2.14) Tímto zápisem je zdLUfaznana skuteTnost, Te na pravé strana vystupující rychlosti xa jsou vyjádpeny pomocí soufftdnic a hybností pomocí vztahu (2.12). Není vpak jisté, Te je vTdy moTné vypepit soustavu tuto rovnic vzhledem k rychlostem. Podmínkou je, aby det-^ * 0 (2.15) dx"dxp Této podmínky si vpimneme blíTe v souvislosti s Legendrovou transformací. 4. Proveblme totální derivaci Lagrangeovy funkce podle Tasu a dosablme ze vztahLU (2.13) a(2.12) 8 dL ôL ôL .„ ôL ..„ ôL . .„ — = — +-x +-x = — + pa x + pa x dt dt dxa dxa dt Po malé úprava pak ô L d/ .„ \ dH --=—{PaX -L)=- dt dŕ ' dt (2.16) Opat je okamlita vidat zákon zachovaní: jestlile Lagrangeova funkce nezávisí explicitná na Tase, je Hamiltonova funkce konstantní " energie se zachovává. 2.4 Legendrova transformace Uvalujme hladkou reálnou funkci f{u) jedné promanné ugR, která je konvexní (tj. f"(u)>Q . Legendrovou transformací dvojice (u,f{u)} je zobrazení na dvojici (p,F(p)), kde F(p) = max[pu- f(u)] . (2.17) Nutnou podmínkou maxima je p = f' (i/) (maxima " ppedpokládáme konvexní prutoah funkce f), takle muieme také definovat funkci F pomocí dvou vztáhni F(p) = pu-f(u) , p = f'(u) . (2.18) Ppitom do prvního vztahu dosazujeme u=u(p), hodnotu, kterou získáme z druhého vztahu. Ten chápeme jako rovnici s hledanou neznámou u. Existence inverzní funkce k f1 [u) a tedy k nalezení jednoznaTné hodnoty u k dané hodnota p je zaruTeno monotónním chováním funkce, vyplývajícím z podmínky f"(u)>0 . Ve vícerozmarném ppípada je tato podmínka nahrazena poladavkem na kladnou hodnotu determinantu hessiánu. 9 V mechanice hraje úlohu promanné u rychlost, promanná p je hybnost. Funkce mohou ovpem záviset i na dalpích parametrech (konkrétna v mechanice na soufftdnicích), ty ale v Legendrova transformaci vystupují práva jen jako parametry. Podívejme se opat, jak to v takovém pfípada vypadá v jednom rozmaru, kdy parametr oznaTíme jako x: Legendrova transformace je df(u,x) F(p,x) = pu-f(u,x) , p du (2.19) Diferenciál funkce F muieme zapsat dvojím zpUáobem " bubl obecná, nebo konkrétna z (2.19) dF dF dp dp + dF dx dF = pdu + udp- Porovnáním obou výrazLildo stáváme dF dx p df du du df dx dp dF dx dx=udp df dx df dx dx (2.20) Legendrova transformace je involucí. Zapípeme-li totil (2.18) s pomocí (2.20), máme f(u) = up-F(p) = F' (p)p-F(p) , máme analogicky k (2.17) f(u) = max[up-F(p)] . (2.21) Máme tedy zobrazení / (w) —» F (/?)—»/ (w) . T (i krátké pfíklady: Youngova nerovnost. Pro libovolné hodnoty u a p bude z definice Legendrovy transformace funkce F(u,p~) = up — f(u) menfí nel F(p). Jsou-li tedy f(u) a F(p) spojeny Legendrovou transformací, platí pro libovolná Tisla u ap pu\ j \u)=—^>p = u ^>u = p' ' a r( \ ^ 1 aí(a-\\ F[p)=-p n ' a takle 10 ua pp 11, pu< — + J— , — + — = 1 (2.23) a J3 a J3 pro x,p>0 a a,]3>\ . Ppechod od entropie k teplota: Základní termodynamická rovnice (t/ je vnitpií energie, S entropie, T teplota, P tlak, V objem =chemický potenciál a AfpoTet Tástic) je dU = TdS-PdV + juáN . Ppechod k záporná vzaté volné energii - F = T S-U (S ,V ,N) je ppkladem Legendrovy transformace (u = S , p = T, xx=V ,x2=N). Podmínkou pepitelnosti je d2 U / dS2 > 0, musí být tedy í V1 >0 . dU d2 U dT (ôs dS V,N ÔS2 V,N ~~ÔŠ V,N dT v V,N y Ruät entropie s teplotou, pokud se nemaní nic jiného nel vnitpií energie, je fyzikálna ppjatelný ppedpoklad. Pak je tedy molné spoTítat S = S(T) a zapsat vztah po transformaci jako d(-F) = SdT + PdV - judN . (2.24) Hamiltonova formulace nerelativistické mechaniky jedné Jástice. Zvolíme tvar Lagrangeovy funkce v obecných soufftdnicích L(q,q) = T(q,q)-U(q) , T (q j) =^qa Aap (q)qp , (2.25) kde A[q) je positivna definitní symetrická regulárni matice, col plyne z její konstrukce ľ ŕ <~r K^ dqa dqp ' Pro Legendrovu transformaci spoTteme rychlosti z definice hybnosti (2.26) ÔL dq ■m A q" qa=-ÍA-x)afip mv ' (2.27) Hamiltonova funkce (jil s q" z ppedchozího vztahu) je H = pa qa - L =^-pa (A-1)afipp + U (q) Im (2.28) Hamiltonovy rovnice. Porovnáme diferenciál Hamiltonovy funkce vyjádpené Legendrovou transformací 11 dH=d Pal ~L[t,q ,q ) dL dqa dq° dL .a dL . a . a -^7 = 1 dPa-P*d(l oq dt dL_ dt (2.29) s diferenciálem Hamiltonovy funkce vyjádpené jil pomocí soufftdnic a hybností JTT dH J a dH J dH dH =-dq +-dp +- . oq o pa ot Dostáváme tak vztah pro parciální derivace vzhledem k Tasu dH _ dL ~~~dt (2.30) dt (2.31) a ppedevfím Hamiltonovy rovnice dH dPa dH dqa (2.32) 2.5 Tvar Lagrangeovy funkce Samozpejmým poladavkem je, aby Lagrangeova funkce dvou soustav A a B dostateTna od sebe vzdálených tak, aby bylo molné zanedbat interakci, byla souTtem Lagrangeových funkcí obou soustav. Také je potpeba si uvadomit, Te ke stejným pohybovým rovnicím povede celá tpřda Lagrangeových funkcí, kde se jednotlivé lagrangiány lipí o tzv. triviální lagrangián. Máme-li to til Ľ (q,q,t) = L(q,q,t)+—f(q,t) , (2.33) lipí se úTinky '2 '2 S' =JĽ [q,q,t)dt = ^L(q,q,t)dt + df{q,t) dt dt (2.34) S + f(q(t2),t2)-f(q(tl),tl) jen o Tleny, jejich! variace je vzhledem k podmínceôq(t2)=ôq(tx)=0 nulová. Pro popis jevLUmusíme zvolit najakou urTitou soupadnou soustavu. Nevhodná volba soupadné soustavy mule vést k tomu, Te popis jednoduchého daje je velmi komplikovaný. Ukazuje se, Te pro volný hmotný bod je vTdy moTno najít takovou soupadnou soustavu, v níT se jeví prostor jako homogenní a izotropní a Tas je homogenní. V takovém ppípada musí Lagrangeova funkce záviset pouze na v2 = v-v L = L(v2) . (2.35) 12 Lagrangeovy rovnice jsou pak d dL _ dL , _ , 0 — = konst. v = konst. (2.36) dř dv dv Budeme Tasto poulívat znaTení vektoru d£_d£^ d£^ d£^ <3v dvx dv2 dv3 naopak nad Kkonst." pipku vynecháme, pokud nemuie dojít k nejasnosti. Z (2.36) vidíme, Te v inerciální soustava se volný pohyb daje s rychlostí konstantní co do velikosti i smaru. Tomuto závaru pikáme zákon setrvaTnosti. Jestlile ppejdeme k jiné inerciální soustava, která se vLlTi původní pohybuje konstantní rychlostí, bude situace stejná. Ekvivalence vpech inerciální soustav ppi popisu mechanických dajLUse nazývá Galileu^ princip relativity. Transformace mezi soupadnými soustavami K a É , kde druhá se vuTi první pohybuje rychlostí V je zapsána jako Galileova transformace f = r'+Vt , t = ť . (2.37) Pro volnou Tástici budeme mít pro Lagrangeovu funkci v inerciální soustava, která se vuTi původní pohybuje s infinitesimálna malou rychlostí Ľ =L(v'2) = L(v2+2v-s + s2) = L(v2) + 2y2-v-s+... . Má-li být druhý Tlen derivací podle Tasu, musí být L = a v2 , a = konst. Abychom dostali levou stranu Newtonových rovnic ve standardním tvaru, je tpeba zvolit konstantu jako a = m/2 . Porovnání s druhým Newtonovým zákonem je jedním z vodítek k tomu, proT obvykle platí KLagrangián rovná se kinetická mínus potenciální energie \ Pro soustavu Tástic (index a oznaTuje urTitou Tástici), jejich! interakci popisujeme pomocí potenciální energie, je Lagrangeova funkce 2 lij y; L = T-U = ^^TJL-U(ř1,ř2,...) . (2.38) Z Lagrangeových rovnic d dL _ dL dtdva dra dostáváme (2.39) 13 Dalpí potvrzení tvaru Lagrangeovy funkce pochází z obecné teorie relativity. Tam nacházíme trajektorii Tástice z variaTního principu S = -mcjds , ds2 = gikdx'dxk (2.41) kde gik jsou slolky metrického tensoru. Ve slabém gravitaTním poli popsaném Newtonovým potenciálem O je ppbliTna ds2 =í -í \-^\dx2+dy2+dr). c2dt2 1 + 20 22 c J c takle máme pro O/c2 «: 1 a v2/c2 q ) . ya=2^-^q 1/12 s\ • v dha -k za=K\q >q ) . z« =2.^t^ k ®q Lagrangeova funkce ppejde na 1 N L=~Hma(ž2a+y2a+ž2a)-U(Xl>yi>ZlT-->XN>yN>ZN) a=l L=^íaik(q)qiqk-u(q) , (2.44) (2.45) (2.46) kde 14 ô]fa dfa | dga dga | dha dha dql dqk dql dqk dql dqk (2.47) Jednoduchým ppíkladem je dvojité rovinné kyvadlo v homogenním gravitaTním poli (znaTení je patrné z obrázku). Uvalovaná soustava má jen dva stupna volnosti. Transformace od soupadnic {x^, yx, x2, y2} k zobecnaným soupadnicím {cpx, cp2} je y »m2 Xj = Zj sin^ , yx = Zj cos<^ , x2 = \ sin<^ + Z2 sin<^2, ^ = \ cos<^ + Z2 cos<^2 . Dosazením do obecného vztahu dostáváme ml+m2 —i , ,.i2 2 . 2 ÍYl2 ,2-2 7 t / \ ^ = ^ ^ + ^2 ^2 + ^2 ^1 *2 0>1 ^2 CO<^l -^2) + (2.48) (w^ + m2) g Zj cos^j +m2 g l2 cos<1b) (2-49) dosadíme zadaný pohyb soustavy B, tj. qB = f(t),qB = f(t). Dostáváme tak Lagrangeovu funkci soustavy A ÚF(t) L = TA(4A)-UA(qA,t)+- dt (2.50) kde jsme oznaTili UA(qA,t) = UAB(qA,f(t)) , F(t) = JTB(f(t),f(t))át . (2.51) Víme jil, Te totální derivaci podle Tasu v Lagrangeova funkci nemusíme uvalovat. Je tedy vidat, Te pohyb soustavy ve vnajpím poli je v tomto ppřpada dán standardním tvarem Lagrangeovy funkce, pouze v potenciální energii se objevila explicitní závislost na Tase. 15 3. Zákony zachovaní 3.1 Základní zákony zachovaní Stav uzavpené soustavy, která má s stupKLUvolnosti, je popsán 2s veliTinami q' ,q', kde i = 1,2,...,s . Existuje 2s-l veliTin " integrállllpohybu " jejich! hodnota se s Tasem nemaní a je dána poTáteTními podmínkami. PoTáteTních podmínek je sice 2s, ale protole pohybové rovnice uzavpené soustavy neobsahují Tas explicitná, je jedna z konstant " volba poTátku odeTítání Tasy " jil dána. VylouTíme-li tedy t + t0 z2s funkcí q —q (t+ t0 ,CX ,C2,...,C2s ^ , q —q (t + t0,Q ,C2,...,C2s j^ , dostaneme vyjádpení konstant Cx ,C2 ,...,C2s_x jako funkcí q1 a q'. Mezi integrály pohybu se vyskytují nakteré, které mají hluboký fyzikální význam. Vatpinou jsou spojeny s existencí najaké symetrie prostoru a Tasu. Takové integrály pohybu mají jednu dulelitou vlastnost: pokud lze interakci podsoustav celé soustavy zanedbat, je integrál soustavy roven souTtu integrállllpodsoustav. Obecný pohled na spojení symetrie se zákony zachování uvidíme v Tásti o teorému Noetherové. Tebl zatím probereme nakteré dullelité integrály jednotlivá. Homogenita Jasu ~ zachování energie. Vezmame malé posunutí v Tase t -^>t + s. Poladujeme ÔL SL = s— = Q dt Vzhledem k libo volnosti s musí být ÔL dt 0 takle (pp-pomínáme sumaTní pravidlo) dL .., dL _ dL dt ~ dq' dq' dt dL dq1 dL_dči_ _d dL dq' dt "díl dq' Máme tak dt dL dq' a dostáváme zachovávající se veliTinu " energii E = q dq (3.1) (3.2) Pokud je Lagrangeova funkce dána jako 16 L = T(q,q)-U(q) , dostáváme z ., dL .,. dT 2T dq dq (Eulerova vata o homogenních funkcích1) E = T(q,q) + U(q) . (3.3) V kartézských soufftdnicích pak N m v2 E = Z^ + U(i,r2,...,řN) • (3.4) a=l Homogenita prostoru ~ zachovám hybnosti. Vezmame malé posunutí v prostoru f -^>r + s . Poladujeme r?r ar Vzhledem k libo volnosti s musí být SeTtením Lagrangeových rovnic pro jednotlivé Tástice dostáváme pak *y d dL _ d *y ôl q a dtdva dt a dva Máme tak zachovávající se veliTinu " hybnost P = ZPa , Pa=^r ■ (3-5) Podmínku zachování hybnosti muieme také zapsat jako podmínku, aby souTet sil pUáobících na jednotlivé Tástice byl roven nule ar ar Derivaci Lagrangeovy funkce podle zobecnané rychlosti nazveme zobecnanou hybností, derivaci podle zobecnané soufftdnice zobecnanou silou. Muieme proto Lagrangeovy rovnice interpretovat takto: Tasová zmana slolky zobecnané hybnosti je rovna odpovídající slolce zobecnané síly d f 1 f(tX1,tX2,...^ = tmf[x1,X2,...^ => -~ = mf ■ Důkaz: parciálna derivovat oba ; Ó X strany rovnice podle t a pak pololit t=l. 17 dt (3.6) Izotropie prostoru " zachování momentu hybnosti. Vezmame malé pootoTení v prostoru r —» r + Scpxr (význam symbollllje vidat z obrázku), s tímto pootoTením je spojena i zmana rychlosti v —» v + dep x v . Poladujeme tedy (ppi ppepisu vyulíváme molnosti cyklické zámany vektorlllve smípeném souTinu) 8L = Y. |^-(^xFfl)+^-(^xvfl) ÔL ^ ÔL ^ dL r x--h v x - 0 Vzhledem k libo volnosti 5cp musí být r„x—^ + —-x pa (3.7) dr dr Máme tak dalpí zachovávající se veliTinu " moment hybnosti £ = Z4 ' La=řaxpa . a 3.2 Popis soustavy Tástic ve dvou rUíných inerciálních soustavách Inerciální soustava É se pohybuje vuTi soustava K rychlostí V . Soupadnice a rychlosti jednotlivých Tástic jsou tedy ra=rl+Vt , va=v<+V . Pro celkovou hybnost platí P = YjmaVa=YjmaVa+VYjma > mm a tedy (s oznaTením celkové hmotnosti M = S£_ljna) P = P+MV . (3.8) Vidy tedy najdeme klidovou (KTárkovanou") soustavu, ve které je celková hybnost nulová. Rychlost takové soustavy vLlTi laboratorní (KneTárkované") soustava spoTteme z ppedchozího 18 vztahu dosazením P=0. Vidíme, Te tuto rychlost muieme chápat jako Tasovou zmanu polohového vektoru jistého bodu " stpedu hmotnosti v d a Energii soustavy Tástic v laboratorní soustava pak muieme rozdalit na souTet kinetické energie soustavy, pohybující se jako celek rychlostí V a vnitpií energie U. Máme ^ a ^ a ^ a ^ a tedy M V2 —, , E =-+ V-P'+E' . (3.9) 2 V klidové soustava je P' = 0 a Ě = U . Pro moment hybnosti nejprve spoTteme jeho chování v samotné soustava K, pokud zmaníme polohu poTátku soupadné soustavy, tj. ppi zámana ra=r* +d Ĺ = T.raxPa=T.rIxPa+dx^Pa=L* +dxP . a a a Ppi ppechodu od soustavy K k soustava É máme L = T ffl/xv =ľfflj'xv +VřxYmi' -VxYm?' =£ + tVxP' + M Ř' xV . a a a a Pokud je soustava É klidová a její poTátek je volen ve hmotném stpedu, bude platit L = Ľ . 3.3 Mechanická podobnost Ppedpokládejme, Te potenciální energie je homogenní funkcí soupadnic stupna k, tj. Te platí U(ař1,ař2,...,ařN) = akU(ř1,ř2,...,řN) . (3.10) Proveblme v Lagrangeova funkci transformaci promanných Kinetická a potenciální energie se zmaní v pomaru a2 T^ — T , U^akU . ŕ Pokud jsou oba násobící faktory stejné, tj. pokud platí j0 = a1-k/2 , (3.11) 19 ÚTinek se pouze vynásobí faktorem ak/2+1 , ale rovnice trajektorie se nezmaní. Zmaníme-li rozmary trajektorie k " krát, bude doba strávená mezi odpovídajícími si body (l-fc/2) násobkem původní doby a podobna u dalpích veliTin r _ i-* 2 p* k 2 E* k r t ~ p ' [lj e ~ U J 1+* 2 (3.12) Nejznámajpími ppklady jsou malé kmity (k = 2), kdy perioda nezávisí na amplituda, podíl kvadrát LU doby pádu v homogenním poli je dán pomarem poTáteTních výpek (k = l) a tpetí KeplerLLy zákon (k = -l). 3.4 Viriálový teorém Stpední hodnotu funkce Tasu / (ř) definujeme jako Pokud je funkce /derivaci najaké ohraniTené funkce F, je její stpední hodnota rovna nule (3.13) lim — dF(t) F(T)-F(0) -^-dt = lim —^-^ = 0 dt r (3.14) PoTítejme tebl (kinetická energie je homogenní funkcí rychlostí stupna 2, potenciální energie homogenní funkcí soupadnic stupna k) aSVa a dt\^ ) V tedy S vyulitím (3.14) dostáváme pro stpední hodnoty vztah 2{t) = k(u) , (e) = ^(t) (3.15) (3.16) Ze vztahu (3.16) vidíme nappíklad stejný ppíspavek kinetické i potenciální energie u harmonického oscilátoru nebo to, Te pro NewtonLLf potenciál musí být celková energie záporná, má-li se pohyb odehrávat v uzavpené oblasti prostoru. 20 4. Invariance 4.1 Úvodní poznámky Vpimname si nejprve triviálního ppřkladu. Uvalujme najakou rovinu, na ní zvolme kartézskou soustavu soupadnic. Čtverec vzdálenosti dvou bodni o soupadnicích (xj,jj)a (x2,y2) je dán vztahem d2 =(x2-Xj)2 +(y2-jj)2. Jestlile soustavu soupadnic otoTíme (se stpedem otáTení v poTátku) o najaký úhel , zmaní se soupadnice bodiiina Xj = Xj coss + yx sms , yx=-xx sms + yx coss , x'2 = x2 coss + y2 sins , y'2 =-x2 sins + y2 coss . Co se vpak nezmaní, je vzdálenost (resp. Ttverec vzdálenosti) tachto dvou bodlij protole ď2 (.v, .v,) • (v, v,) =(x2-xl)2 + (y2-yl)2 =d2 . níkáme, Te vzdálenost bodlll je invariantní vůli rotaci soupadné soustavy. Podobna definujeme-li ve speciální teorii relativity (uvalujeme jen jeden prostorový rozmar) interval mezi d varna událostmi [ctx,xx )jako s2 =c2(t2-řj) -(x2-Xj) , je tento interval invariantní vzhledem k Lorentzova transformaci (ppechodu od jedné inerciální soustavy K k soustava É, která se vuTi K pohybuje rychlostí V) „j _ctl-Vx1/c ,_ xx-Wtx 2/c2 „,/ _ct2-Vx2/c ,_ x2-Vt2 Ppedchozí transformace je lépe zapsat zavedením Kúhlu rotace 6 " jako tanh# = — , (4.1) c takle transformaTní vztahy mají tvar ct[ =c tx coshé? - Xj sinhé? , x[ = xl coshé? - c tx sinhé? cť2 = ct2cosh6-x2 sinhé? , x2 = x2 coshé? -ct2 sinhé? (4.2) Není obtíiné ppesvadTit se, Te platí s'2 = c2 (t2-řj) -(x^-xQ = c2 (t2-t^f -(x2-Xj)2 = s2 . (4.3) Velmi Tasto zjipi4ijeme invarianci vůli infinitesimálna malým zmanám. V ppípada Lorentzovy transformace by to bylo 21 c ť = ctcoshd - xsinhd —» cť=cť d(cť) 6 = ct-xx 6 >=0 (4.4) x' = xcoshd - ctsinhd —» x'= x' dx' -° de 6' = ct-xxO 8=0 4.2 Rundova " Trautmanova identita KLorentzova transformaci se jepta vrátíme v Tásti o speciální teorii relativity. Tebl uvalujme obecné transformace v klasické mechanice, kdy dť t ť=ť(t,q\s) , ť=t + s— +0{s2) , v ' ds v ' q"1 =q"l{t,qv,s) , q"=q"+s^- + 0(s2) v ' ds v ' (4.5) s=0 Koeficienty u první mocniny parametru transformace v Taylorova rozvoji se nazývají generátory transformace, budeme je znaTit ds T(t,q) , dqM' ds QM(t,q) , (4.6) takle ť =t + sT + 0(s2) , q"' = qfí +sQ^ + 0(s2) . (4.7) Budeme studovat invarianci funkcionářů akce vzhledem k transformacím Tasu a soupadnic typu (4.7) a její dUáledky. Je-li původní funkcionál d£ dt dt (4.8) bude funkcionál po transformaci S< v dť dť j t1 „f1 dqMl^dť dť —dt dt (4.9) n ekneme, Te funkcionál je invariantní vuTi dané transformaci, pokud S'-S = 0(ss) , s>l nebo vhodnaji vyjádpeno ds (4.10) (4.11) S ohledem na (4.9) máme 22 Zatímco výpoTet prvních dvou TlenLUu totální derivace Lagrangeovy funkce podle parametru s byl triviální, u posledního Tlené je potpeba poTítat peTliva dq"' _dqM +sdQM _ + s dť dt + sdT 1 + e dt dT dľ d f dqM' ^ ds dť s = 0 dQ dt M dT ■LI VA 1 dt Muieme tedy (4.12) zapsat jako (Rundova " Trautmanova identita) dLT | dL dt dqM ÔL dQh dL dqM dt (4.13) dqM dt Vidali jsme, Te pokud se Lagrangeovy funkce lipí o Tasovou totální derivaci libovolné funkce soupadnic a Tasu, dostáváme stejné Lagrangeovy rovnice. Muieme proto ppipustit, Te se po transformaci invariance budou Lagrangiány lipit o tuto derivaci, tj. , , dq")dť / ' dť dt ,q ' dt Zapípeme-li f(t,q,,e)JJ^A v ' v ' ds £ = 0 (4.14) £ = 0 dostaneme zobecnanou Rundovu " Trautmanovu identitu dLT | dL dt dqM dL dQ" dqM dt dL dqM dT _dF dt dt (4.15) 4.3 Teorém Emmy Noetherové S oznaTením dL dL P u =- > H = qM--L M dq* dq* muieme malou úpravou ppepsat identitu (4.15) na (4.16) (Qr-=w ■ <4'18) potom platí zákon zachování veliTiny PMQM -HT-F = konst. (4.19) Noetherová formulovala teorém matematicky precízna a ponakud obecnaji. Na ppíkladech uvidíme, Te pro klasickou mechaniku je nape znaní postaTující. Zákon zachování energie. Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitná na Tase, je úTinek invariantní k transformaci ť = t + s , takle máme T = \ , QM=0 , F = 0 => #=konst. (4.20) Zákon zachování sloXky zobecndné hybnosti. Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitná na nakteré zobecnané soupadnici qa, je úTinek invariantní k transformaci qal =qa +s , takle máme T = 0 , QM=SMa , F = 0 => pa=konst. (4.21) Zákon zachování momentu hybnosti. Pro Tástici ve sféricky symetrickém poli je Lagrangeova funkce invariantní vuTi rotaci f —» r7 = r + ó(pxr . Místo jednoho parametru s tady máme tpi parametry udávající smar osy a velikost úhlu rotace 5cp. Mneme v jednom zápisu psát T = 0 , QMa=e"afiq/' , F = 0 ^ s"ap pM / = (konst.f (4.22) Tlumený harmonický oscilátor. Lagrangeova funkce m .2 ma 2 L vede k rovnici Transformace — x--x v2 2 j exp|-t | (4.23) m Á x + 2—x + 02 x = 0 m ť=t + s , ji/=jtexpf —j => T = í , Q = -—x y m J m nemaní Lagrangeovu funkci L(V ,x ,dx'/dť^ = L{t,x,áxját), je tedy F = 0 a zachovává se 24 H-pQ m .2 ma 2 . — X H--X +ÄXX 2 2 exp -ŕ = konst. m (4.24) O správnosti výsledku se muieme ppesvadTit dosazením pepení x = aexp(-At/m)cos{*Jct)2-A2/m2 t + aj do (4.24) " konstanta vyjde rovna (m/2)(ŕ»2-A2/m2^a2. Dvourozměrný harmonický oscilátor. ZaThame nejprve se standardní Lagrangeovou funkcí L = -(x + y )--—(x +y) mco (4.25) Lagrangeovy rovnice jsou d dL dí {dXj dx d dL dt dy 0 => x + co2x = 0 , (4.26) Pro hybnosti a hamiltonián máme dL dL Px= — = mx , p = — = my , ox oy u -, - t 1 i 2, a , ma)2 ( 2, 2^ H = pxx + py y-L= — [px+pyj+—— [x +y J (4.27) 2mv A " 2 Lagrangeova funkce (4.25) je invariantní vzhledem k transformaci (homogenita Tasu), kdy ť=t + s, x'=x a y = y,takle T = l , Qx=Qy=F = 0 a podle (4.19) se zachovává energie, tj. platí 1/2 2\ ma2 í 2 ?\ m/-2 -2\ ma2 í 2 ,\ , ^ ™n —) = y(^ + J ) + ^(^ +J ) = konst. (4.28) Lagrangeova funkce je také invariantní vzhledem k transformaci (isotropie v rovina) t =t , x = xcosér + y sins" , y =-xsins-+ jcoss- => r = o ô* = y , Qy -x F = 0 (4.29) a podle (4.19) se zachovává veliTina (slolka momentu hybnosti kolmá k rovina oscilátoru) PXQX + PyQy = yPx-xpy =m{yx-x ý) = konst. (4.30) Dvourozmarný harmonický oscilátor vpak muieme také popsat Lagrangeovou funkcí L = mxý — ma2 xý . (4.31) Lagrangeovy rovnice budou pfirozena stejné, pouze vzniknou variací jiné promanné 25 d (dO dL dř {dXj dx d (dO dL lôýj dy (4.32) Pro hybnosti a hamiltonián máme dL Px = — = my ox 0 => x + co x = 0 . dL Py = — = mx dy 1 (4.33) H = pxx + pyý-L= — pxp+ma>xy . m Lagrangeova funkce (4.25) je invariantní vzhledem k transformaci (homogenita Tasu), kdy ť=t + s, x'=x a y' = y,takle T = l , Qx=Qy=F = 0 a podle (4.19) se zachovává energie, tj. platí 1 H m PxPv+mG> xy = mxý +ma> xy=konst. (4.34) (4.35) Lagrangeova funkce je také invariantní vzhledem k transformaci (eliptická deformace) ť =t , x'=xexp(-ť) , j'=jexp(ť) ^> T = 0 , Qx=-x , Qy=y , F = 0 a podle (4.19) se zachovává veliTina PXQX + PyQy =~xpx+y Py = m{y x-xj) = konst. (4.36) Elektron v homogenním magnetickém poli. Ppedpokládejme, Te osa z je orientována podle siloTar pole a elektron se bude pohybovat v rovina x " y. Vektorový potenciál v Lagrangeova funkci zvolíme tak, aby soupadnice x byla cyklická, tj. m L=^ + fyeByx . (4.37) Lagrangeovy rovnice jsou d (dO dL dt {dXj dx d (dO dL dt lôýj dy mx-eBy=0 , mý + eBx = 0 . (4.38) Ul v této chvíli vidíme dva zachovávající se veliTiny, ale budeme postupovat standardním zpLláobem. Pro hybnost a Hamiltonovu funkci máme 26 dL ÔL . Px= — = mx-eBy , p = — = my , ox oy (4.39) tt ■ t 1 ľ/ n \2 2~~\ m í -2 -2\ H = pxx + p y-L= — (px+eBy) +p P=—[x +y ) . 2m ^ v ' 2 Invariance vuTi translaci Tasu nebo soupadnice x vede podle (4.19) k zákonu zachování energie H (pouze T = l je rUíné od nuly) a slolky zobecnané hybnosti px px = mx - e B y = konst. (4.40) (pouze Qx =1 bylo rUíné od nuly). Ppi translaci soupadnice y(y' = y + s) máme L< =^(x,2 + ý,2)-eBy< x< =^(r + f)-eByx-seBx = L-s-^(eBx) . (4.41) Jsou tedy od nuly rLLíné generátory Qy =1 a F = -eBx. Podle (4.19) se zachovává py + eBx = m ý + eBx = fonst. (4.42) Jak jsme jil uvedli, zachovávající se veliTiny (4.40) a (4.42) bychom v tomto ppřpada získali snadnaji, kdy! v Lagrangeových rovnicích (4.38) napípeme derivaci podle Tasu pped celý výraz. Částice v homogenním gravitačním poli. Ppi translaci x' =x+s máme Ľ = — x'2 + m g x' = — x2 + m g x + m g s = L + s— (m g t) . (4.43) 2 2 dŕ ' Máme tak Qx =1, F = mg t , takle podle (4.19) je px - mg t = m(x-g t) = konst. (4.44) 5. Pohyb v centrálním poli " Keplerova úloha Tuto neobyTejna významnou úlohu probereme pomarna podrobná a na elementárni úrovni. 5.1 Newtonovy rovnice Ve zvolené inerciální soustava uvalujeme dva talesa (jako hmotné body), které na sebe pLLíobí gravitaTní silou. PrLLfodiT prvního bodu hmotnosti n\ oznaTme fx , obdobná prLLfodiT druhého bodu hmotnosti m2 oznaTíme r2. Vektor spojnice od prvního ke druhému bodu bude r = r2-r\ . Podle Newtonova gravitaTního zákona pLLíobí na první bod druhý bod silou Gmlm2r/r3 a na druhý bod první bod silou -Gmlm2r/r3. (Velikost síly je úmarná souTinu hmotností a neppímo úmarná Ttverci vzdálenosti, síla je ppitallivá. Také je ppirozena splnan tpetí NewtonLLf zákon.) Druhý NewtonLLf zákon tak dává pohybové rovnice 27 d2j\ m d2r2 2 dt2 (5.1) (5.2) OdeTtením rovnice (5.1) vydalené ml od rovnice (5.2) vydalené m2 dostáváme -G(m1+m2)-^- , d2ř dť (5.3) seTtením obou rovnic máme pak d2r, d2ř2 n\ —ŕ- + m, —t- = 0 . dť df (5.4) OznaTíme celkovou hmotnost M, redukovanou hmotnost // a prli^odiT hmotného stpedu Ä (5.5) ml+m2 ml+m2 Potom muieme (5.3) a (5.4) psát jako m.mn m.r,+mnrn M=ml+m2 , jU = —-—— , R=—LJ-2-^- rr\+m2 rr\+m2 d2f f jU—T = -Gm1m2 — dt r (5.6) m4=o . dt2 Rovnice pro pohyb hmotného stpedu je jednodupe integrovatelná na dŘ dt (5.7) (5.8) kde poTáteTní hodnoty soupadnic Rq a rychlosti V0 hmotného stpedu ppedstavují celkem pest integrállllpohybu. Vynásobením rovnice (5.6) vektorová vektorem r dostáváme d2ř df rxu—- = — dt2 dt dr rxfj,- v dt j 0 , (5.9) odkud integrací dr -rx/i— = L , dř (5.10) 28 kde L je konstantní vektor. Slolky tohoto vektoru tvofí dalpí tpi integrály pohybu. Vektor L má charakter momentu hybnosti, ukáleme tedy, jak souvisí s celkovým momentem hybnosti soustavy Aot = 7l'xn\vl +r2xm2v2 . (5.11) Budeme v dalpím ulívat obvyklého znaTení rychlostí, takle d?^ df2 _ dr ý dR 1 dt ' 2 dt dt dt Vektory fx,vx a r2,v2 ve výrazu (5.11) nahradíme vektory r,v a R,V , tj. ^ m, _ ^ m, ^ k = i?--- r , r9 = i? + — r 1 M 2 M a dostáváme Ltot=Lcm + L , Lcm=ŘxMV , I = řx//v . (5.12) Je tedy celkový moment hybnosti roven souTtu momentu hybnosti hmotného stpedu Lcm a momentu hybnosti L relativního pohybu. Dosazením z (5.8) do výrazu pro Lcm vidíme, Te se tento moment také zachovává, zachovává se tedy i celkový moment hybnosti soustavy Ztot. To bychom zjistili i ppímo, seTtením rovnice (5.1) vektorová vynásobené fx s rovnicí (5.2) vektorová vynásobenou r2 . Pped odvozením zákona zachování energie z Newtonových rovnic si ppipomeneme, Te platí V/(r)= V ;Vr= J K '-dr dr r a dř dř w GravitaTní sílu v Newtonových rovnicích muieme proto psát jako záporná vzatý gradient gravitaTní potenciální energie, takle máme m, —= Gmlm2Vř:—-—r (5.13) dt 1 \r2 -rJ m2 ^ Vl = G rr\ m2 Vy -—-—r . (5.14) dt 2 \r2-rA 29 SeTtením rovnice (5.13) skalárna vynásobené vx s rovnicí (5.14) skalárna vynásobenou v2 dostáváme zákon zachování celkové energie —7—-° ' Kt- — vi + — v2 —p—rr ■ P-15) dř 2 2 r2~1 Podobna jako u momentu hybnosti nahradíme vektory fx,vx a f2 ,v2 ve výrazu (5.15) vektory ř,v a , takle dostáváme £,„,=£™+£ • S.=fV , £ = f^-^ . (5.16) 2 2 r Protole se Etot a £cm zachovávají, zachovává se i energie relativního pohybu E, col bychom ppímo zjistili skalárním vynásobením rovnice (5.6) vektorem v . 5.2 Relativní pohyb (pohyb v taiipupvé soustava) V dalpím se soustpedíme pouze na popis relativního pohybu. Z pohybové rovnice d2 r r iu—2- = -Gmlm2— (5.17) dt r jsme odvodili, Te se zachovává energie E = Ev2_Gmlm2 dE=Q 2 r dt a vektor momentu hybnosti L = rxJuv , — = 0 . (5.19) dř Uvidíme v dalpím, Te se tyto veliTiny zachovávají ppi pohybu popsaném libovolným sféricky symetrickým potenciálem. Zákon zachování vektoru momentu hybnosti piká, Te pohyb se daje v rovina. Pro Keplerovu úlohu je typická existence dalpího zachovávajícího se vektoru, definovaného obvykle vztahem f r~\ d A A = fi\ vxL-Gmlm2- , -= 0 . (5.20) ^ r J dt Vektoru A se obvykle piká LRL (Lapiacej " Rungeho " LenzLUO vektor. Zachování LRL vektoru ovapíme ppímo derivováním, ppitomkroma dosazení z pohybové rovnice (5.17) a uTití zákona zachování (5.19) pouTijeme ppi úpravách rovnost dr ^\ - dr dr 2 — r-r) = r r---r dty ' dt dt Jiné normování má tzv. vektor excentricity e r d^ í dA r x r x — = r r - v dt ^ 30 1-1 - r A =-vxL--, (5.21) G fj.n\m2 Gn\m2 r pomocí jeho! projekce dostaneme rovnici trajektorie. Máme e ■ r =-r I v x L I - r — =-L-lrxv) — r =- G/w, m2 ' r Gmlm2 Gjumlm2 takle s oznaTením e-r = ercoscp je rovnicí trajektorie rovnice kuleloseTky 1 _G jumlm2 r L2 -(1 + ecos^) . (5.22) Čtverec velikosti e spoTteme úpravou (5.21) _ (vxí) 2(vxL)-r V2L2 2L2 e ■ e = —-----------h 1 =----h 1 (G/«,/«,)2 Gmlm2r (Gni^nuf G jumlm2r takle s dosazením za energii z (5.18) muieme psát 1 T2 F e2-l= 2 • (5.23) (Gm^m^) fj, Ze vztahu (5.23) vidíme, Te pro záporné hodnoty energie je trajektorií elipsa. Vpimname si také invariance vuTi pkálování " levá strana je Tista geometrický výraz. Ppi transformaci t ^> Aa t , r —» Ap r se transformuje kinetická energie jako T —» A2^~a>> T , potenciálni energie jako U —»/l~p a velikost momentu hybnosti jako L^A2p~a . Musí být tedy E —» A7 E a L2 E —» L2 E , col vede na vztah (nappíklad projevený ve tpetím Keplerova zákonu) 3J3 = 2a . 5.3 Keplerovy zákony Dnepní formulace Keplerových zákonLU se v nepodstatných detailech mírna odlipují. Muieme zvolit nappíklad tu z Teského ppekladu Feynmanových ppednápek: (1) Kaldá planeta se pohybuje kolem Slunce po elipse, ppiTeml Slunce je v jednom z ohnisek. (2) PrntodiT spojující Slunce s planetou opisuje stejné plochy za stejné Tasové intervaly. (3) Druhé mocniny period libovolných dvou planet jsou úmarné tpetím mocninám velkých poloos jejich drah: T ~ a3/1 . Jak uvidíme v historické poznámce, Kepler nikdy ladné zákony" neformuloval a v jeho rozsáhlém díle lze obsah KfCeplerových zákonní jen obtílna nalézat. Také v námi ppejaté formulaci je nakolik míst, zasluhujících si dalpflio komentápe. V dalpím výkladu bude postup 31 struTnou kopií výkladu v Somrnerfeldova Mechanice. Nakteré postupy budou jen opakováním jil uvedených. Na Somrnerfeldova výkladu je pouTné, Te se Keplerovy zákony objevují v tom popadí, jak jejich obsah Kepler postupná nalézal. Povalujeme Slunce za nehybné (i hmotnost Jupitera je ppibliTna tisícinou hmotnosti Slunce), poTátek soupadné soustavy pololíme do jeho stpedu. Podle Newtonova gravitaTního zákona pLláobí na planetu síla (G je Newtonova gravitaTní konstanta, M je hmotnost Slunce, m hmotnost planety a f prli^odiT, tj. polohový vektor planety) p = _GmMl (5 24) r r Platí tedy rxF=0. Z druhého Newtonova zákona pak rxp = 0 a druhý KeplerLU' zákon máme zatím vyjádpen jako zákon zachování momentu hybnosti -^- = 0 , L = rxmv . (5.25) dt Ve válcových soupadnicích z) máme r=pep a v = pep+ ptpe^ a L = mp2 (pez . Muieme tedy (5.25) zapsat jako (dA je element plochy) ,d(3 „ dA , , . 1 2 , m p — = 2m—=konst. , dA = —p d

=§ je v apheliu, tj. cp je pravá anomálie. Pro Tasovou zmanu anomálie máme 2C čp = — . (5.27) p Zavedeme tebl plochu opsanou prliS'odiTem za Tasový interval At jako A(t): t+At/2 r a a -dř (5.28) dř t-ht/2 a koneTna dostáváme matematický zápis standardního tvaru druhého Keplerova zákona ií^ = C . (5.29) Ař Pro odvození prvního Keplerova zákona zapípeme pohybovou rovnici ve stolkách di GM dy GM . — =--— cos<^ , —^ =--— srn<^ . (5.30) dř p dt p Ppejdeme k nové parametrizaci pomocí anomálie a s vyulitím (5.27) dostaneme 32 Integrace je snadná dx GM dy GM . ,r„„ — =--cos<^ , —=--srn<^ . (5.31) dep 2 C dep 2 C GM . . . GM x =--sin m + A , y =-cosep + B . (5.32) 2C 2C Vpimname si, Te hodografem planetárního pohybu je krulnice (x-AY+(y-B)2= 9}L . (5.33) V2C j Rovnice (5.32) ppepípeme zcela v polárních soupadnicích . . GM . p cos cp - p ^3 sin cp = —^-^-srn<^ + A GM psmtp + p=§ ) 1 _ GM B_ 1 _ GM B_ a(\-e)~ (2C)2 ~Č ' a(l + e)~ (2Cf +Č Odtud vypoTteme GM 1 B e (2C)2 a(í-e2) ' 2C a(í-e2) Ppipomeneme-li jepta výraz pro parametr elipsy b2 (5.37) P = — = a(l-e2) , a v ' muieme rovnici planetární trajektorie (5.36) zapsat jako 33 1 - ecoscp To je matematický zápis prvního Keplerova zákona. (5.38) Odvození tpetího zákona je ul jednoduché. Z druhého zákona (5.29) vzatého pro At = T (tj. pro celou periodu) máme 1/2 C=— , S = nab = 7ia2 (\ - e2) Vezmeme Ttverec C2 a dosadíme za naj z prvního vztahu v (5.37). Dostáváme tak r2_(2^)2 (5.39) a GM matematické vyjádpení tpetího Keplerova zákona. 5.4 Lagrangeovy rovnice Lagrangeova funkce je 2 2 K2_'í (5.40) (5.41) Ppejdeme k nové soustava, kdy zavedeme promannou r = r2-r\ a poTátek soupadné soustavy umístíme do stpedu hmotnosti, tj. bude v ní platit n\ fx +m2 r2 =0 . Potom m0 n\+ m2 n\+m2 (5.42) a Lagrangeova funkce je L = mŤ2+GmLmL m ■ n\ m2 n\ +m2 (5.43) 34 V tuto chvíli je dobré si uvadomit, Te trajektorie bude rovinná " síla je radiální, zachovává se moment hybnosti, který je kolmý k prliS'odiTi. Budeme proto mít v polárních soupadnicích v rovina trajektorie L = !l(ŕ+ŕŕ) + £^ . (5.44) 2 v ' p Lagrangeovy rovnice jsou —(mp)-mpd>2 + Gmim2 =q ^L(mp2(p) = 0 . (5.45) drV ; p2 dty ' Soupadnice

. Tato zobecnaná hybnost je z tovou (a ppi napí volba roviny trajektorie z = 0 také jedinou) slolkou Lz =L=konst. zachovávajícího se momentu hybnosti, máme tedy mp2

0 Č7eff -> co L2 , x mÍGmm,)2 Gmmlm2 v /mm 2L2 Z tabulky i obrázku je jasna vidat zásadní rozdíl pro kladné a záporné hodnoty celkové energie (nulová hladina je dána volbou nulové hodnoty potenciální energie v nekoneTnu): pro E>0 je pohyb prostorová nekoneTný, pro E<0 se pohyb odehrává v omezené oblasti. Integrál v (5.50) muieme analyticky vyjádpit, takle máme L Gmmlm2 p Z

0 je e>\ a trajektorií je vatev hyperboly. a (5.57) 37 a(e - 1) x KoneTna pro E = 0 je e = \ a trajektorií je parabola. Odpovídá to zvláptnímu ppípadu, kdy v nekoneTnu je rychlost nulová (je-li v nekoneTnu celková i potenciální energie rovna nule, musí být nulová i kinetická energie). 6. Pohyb v centrálním poli " rozptyl dvou Tástic 6.1 Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu Hned od zaTátku budeme ppedpokládat, Te poTítáme v taTipupvé soustava a pepíme tedy ekvivalentní úlohu " odchýlení jedné Tástice s hmotností m = mlm2l(rnl+m2)v poli nepohybujícího se stpedu silového pUáobení (umístaného ve stpedu hmotnosti). U potenciálu ppedpokládáme dostateTha rychlý (co je dostateTha ukále al konkrétní výpoTet) pokles k nule v nekoneTnu. Také hned od poTátku poTítáme s pohybem v rovina x " y, osu z válcové soustavy soupadnic volíme tedy ve smaru zachovávajícího se momentu hybnosti. Geometrie úlohy je znázornana na obrázku, b je srálkový parametr, ^f = |^-2730| je úhel rozptylu. Jak X 38 uvidíme, trajektorie je vidy symetrická kolem ppímky spojující poTátek O a bod A, kde se Tástice ppestane ppiblilovat a zaTne vzdalovat od poTátku. Proto se Tástice nerozptyluje {% = 0 ) ppi (p0=?r/2 a obrací smar pohybu (x = k ) P P Tělní srálce pro odpudivou silu (cp0 = 0) nebo ppitasnémobahupro ppitailivou sílu {(p0=7i). Lagrangeova funkce ve válcových soupadnicích je Zachovává se energie a moment hybnosti L = ^(p2+p2b(z) + db(z)) > tj. poTtem Tástic, které za jednotku Tasu mezikrulím omezeným tímto intervalem dN = nlnbdb => do = rLnbdb . Ppejdeme tebl k vyjádpení der pomocí úhlu rozptylu s uválením výrazu pro element prostorového úhlu. Máme db(X) db dx , 2^-sinjdj = dQ (6.10) takle dostáváme výraz pro diferenciální úTinný prUjDez v závislosti na úhlu rozptylu der b{x) db (z) sinj dQ (6.11) Absolutní hodnota je ve vyjádpení proto, Te (a bývá to obvyklé) funkce bi^z) je klesající. Také mLLTe nastat situace, Te do jednoho intervalu úhlLU rozptylu ppispívá více intervalu! srálkového parametru " potom je potpeba seTíst odpovídající výrazy. 40 SkuteTnost, Te KáTinný prUjDez" dobpe vystihuje charakter poTítané veliTiny je ilustrována na jednoduchém ppíkladu z obrázku. Částice se odrali na absolutna tuhé kouli polomaru R (tj. potenciál má tvar U(ri?)=0). Z geometrie úlohy máme JZ — y y b = i?sin<3„ = i? sin-= i? cos— 0 2 2 Dosazení do (6.11) dává i? cos X do sinj R ■ x — sin— 2 2 r>2 dQ = —dQ . 4 Integrací ppes celý prostorový úhel (j"dQ = 4;r) dostáváme celkový úTinný prUjDez a = jda = ^R2 " tedy skuteTha prUjDez neprostupné koule, který Kvidí" dopadající svazek Tástic. 6.2 Rutherford Lit' úTinný prlipez Popisujeme rozptyl dvou nabitých Tástic, které na sebe pLláobí silou danou Coulombovým potenciálem a<22 U(r) (6.12) 4tts0 r kde <2i a Q2 Jsou elektrické náboje Tástic. Z ppedchozích Tástí muieme vyulít vatpinu výsledkuj protole pohyb (v rovina z = 0) je popsán Lagrangeovou funkcí a <22 t mí -2 2 -2\ L = -{p2+p2cp2) 4tts0 p (6.13) Pro struTnost budeme znaTit a = QxQ2j{A7rs0), konstanta a má rozmar energie krát délka. Dosazením Coulombova potenciálu do (6.8) dostáváme % =b dp b a x = — +-- P bmv^ bmvVJ C P2 I" b 2a p2 mvlp I 1/2 -dx bmv;, 1 + a Kbmvxj -x 1/2 Integrál je elementárni 41 cp0 = arccos- a bmvt a Kbmvlj 1/2 TebluT snadno vyjádpíme b2 jako funkci cp0 b2 apo substituci 0 f a V cotg (6.14) Derivujeme (6.14) vzhledem k x a po dosazení do (6.11) dostáváme Rutherfordli^ vztah pro diferenciální úTinný prUjDez a 2 _ a sinj sin3^ sin4^ 2 2 der a 2 m v dQ 00 ^ sin4— 2 (6.15) 6.3 Popis v laboratorní soustava a soustava stpedu hmotnosti VýpoTty provádané v soustava stpedu hmotnosti (zkrácena cms) jsou vatpinou podstatná jednoduppí. Potpebujeme-li vpak srovnání s experimentem, je tpeba ppevést získané výsledky do soustavy laboratorní. Tento ppevod není triviální zálelitostí. Máme-li v laboratorní soustava poTáteTní rychlosti (Kv nekoneTnech") Tástic vx a v2, jsou jejich rychlosti v cms (oznaTme v = vx - v2) m0 -i(o) "2(0) takle p^ + p2^ = n\ +m2 v2^ = 0. Po rozptylu se velikosti výsledných rychlostí (opat KnekoneTha vzdálených Tástic") v cms co do velikosti nezmaní, jenom zamípí jinými " stále vpak opaTnými " smary m0 ■vn„ i(o) , (o) -2(0) ■vn, n\ +m2 42 je jednotkový vektor ve smaru rychlosti první Tástice. Rychlosti v laboratorní soustava získáme ppTtením rychlosti stpedu hmotnosti {n\ vx +m2 v^)j{n\ +m2) . Zobrazení hybností po rozptylu v laboratorní soustava je na obrázku, kde jednotlivé zadávané vektory jsou C Prakticky dulelitý je pfípad, kdy jedna Tástice je (nappklad m2) je v laboratorní soustava v klidu. Potom úhly rozptylu jednotlivých Tástic souvisí s úhlem rozptylu v cms pomarna jednoduchým vztahem. Tento vztah dostaneme z ppekresleného obecného obrázku na pfípad s jednou Tásticí v klidu. Levý obrázek odpovídá ml 1/2 p pitom pro mlm2 jsou molné dva prUäeTíky C a Č. Derivováním získáme 1 + m, n sin^fd^f = < 2—Lcosc/j ± m0 Km2j cos (23) \m2j sin26> 1/2 sin^ d^ . V ppípada, le jedné hodnota 6X odpovídají dva hodnoty úhlu x ■> Je tpeba klesající vatev odeTítat od rostoucí. KoneTha se tedy dostáváme k výsledku dQzM 1+ < 2—cos^j + m2 \m2j COS (2*i) sin2 Ä vm2y 1/2 dQ,0 ml vrdQ^ m1>m2 O^O^kO^ 44 kde #max =arcsin(m2/wí1) . Jak jsme jil uvedli, ppevod výsledkllldo laboratorní soustavy je nutný pro ppípadné porovnání s experimenty. Tento jednoduchý ppklad ukazuje, jak výhodné je poTítání v soustava stpedu hmotnosti. 7. Pohyb v centrálním poli harmonický oscilátor Potenciál má tvar £/(r) = (fc/2) r2. Jak jil víme, je výhodné zvolit osu z kartézských nebo válcových soupadnic ve smaru zachovávajícího se vektoru momentu hybnosti. Lagrangeova funkce je pak nebo m, .2 .2\ mor / 2 2\ L = -(x + y )--—(x +y ) r mí -2 2 -2\ mg> 2 L = -(p2+p2(p2)--—p2 ,1/2 (7.1) (7.2) Zvolili jsme standardní oznaTení a>={kfm) . Lagrangeovy rovnice jsou 0 ^> mx + ma>2x = 0 , d dL dř {dXj dx d dL át ldýj dy (7.3) nebo át d_ át dL ydp) dp ídL^ 0 mp — mpoÝ + ma>2 p = 0 dL — = 0 ^> mp2 cp + 2mp(p = 0 . (7.4) yd t + 0) . (7.5) Trochu ppekvapiva je integrace rovnic v polárních soupadnicích, které odrálejí symetrii problému obtílnajpí. Rovnici pro úhel jsme nemuseli rozepisovat, i tak je vidat, Te první integrál je mp2 <^> = L = konst. Dosazení do rovnice pro radiální soupadnici dává L2 p + co p 2 3 m p 0 . (7.6) 45 Nel budeme hledat pepení této rovnice, vpimname si, Te velikost momentu hybnosti pro pepení (7.5) je L = mco A5sin(ar-/?) . Pro a = /? se oscilátor pohybuje po ppřmce, L = 0 a rovnice pro radiální soupadnici ppejde pochopitelná na rovnici lineárního oscilátoru. Energie pro pepení (7.5) je E = (m/2)ú)2 (A2 + B2) . Rozdíl E2 - co2 Ľ2 je pro tato pepení vidy nezáporný 2 4 .2 2 T2 m CO E — co L (A2 -B2)2 +4A2 B2cos2(a-j3) Nulové hodnoty nabývá ppi pohybu po krulnici (B = A, fi=a-7r/2). Jednou z molností pepení rovnice (7.6) je vynásobit rovnici 2p, výslednou rovnici pak muieme zapsat jako f dt • 2 2 2 p + co p + 2 2 m p j 0 . Je to rovnice zachování energie, kterou jsme jil studovali, takle máme dp — E-co2p2 m L2 2 2 m p 1/2 (7.7) Integrál spoTteme a dostáváme P mco r /■ \ 2 1/2 < 1 + K¥) j cos(2ŕ»ŕ) f (7.8) Pro L = Lm!ix=E/co dostáváme pohyb po krulnici polomaru p = (yE/'mco2^ . Integrál pro úhlovou soupadnici dostaneme dosazením (7.8) do mp2

= Qsin/l . (8.23) Na rovníku ke stáTení roviny kmitninedochází, na pólu je periodou jeden den. 9. Hamiltonova formulace mechaniky 9.1 Hamiltonovy rovnice Úplný diferenciál Lagrangeovy funkce (tedy funkce soupadnic a rychlostí) je dL = ^^áqa + ^^áčľ + —dt = prr áqa + prr dčř + —dt , oq oq ot ot (9.1) kde jsme dosadili pa z definice zobecnané hybnosti a pa z Lagrangeových rovnic. Dále napípeme Padáa =á{paqa)-qaáPa a po dosazení do (9.1) a vhodném uspopádání dostáváme pij d(pa q°-L) = -pa áqa + čf ápa -—dt (9.2) Výraz v závorce na levé strana je Hamiltonova funkce (podle diferenciální na pravé strana chápána jako funkce soupadnic a hybností) H(q,p,t) = paqa-L(q,q,t) . (9.3) Diferenciál této je , „ dti A a dti A dti A dH=-dqa +-dpa+-dř . dqa d pa dt (9.4) Porovnáním (9.2) a (9.4) dostáváme jednak dH dt | 2 PP+-pT+Pz m L = —(ŕ2 + r2Ô2 + r2ún20,fl{...} -> \p{..)dV . (10.1) a Vatpinou muieme uvalovat o soustava slolené z identických Tástic, potom v sumaci nepípeme index Tástice. Základní popis se daje v kartézské inerciální (laboratorní) soupadné soustava XYZ pomocí kartézské soupadné soustavy xx x2 x3 pevná spojené s talesem " její poTátek O umístíme do hmotného stpedu talesa.3 Soupadnice bodu O jsou v inerciální 3 Z praktického hlediska budeme v této kapitole ulívat znatení X = Xx, y = X2 , Z = X3 a pozmaníme stítací pravidlo " setítá se vidy, kdyt tlen obsahuje velitiny se stejnými indexy (nemusí být tedy jeden tóiahope' a druhý klole\ máme tak pro skalární soutin vektor lu a-b =aibi a pro slolky vektorového soutinu [a x b j = sikl Clk bl . také se setítá, je-li velitina ve druhé mocnina, protote xf = x( x(. 57 soustava zadány prli^odiTem R , orientace soustavy xx x2 x3 vuTi inerciální soustava pomocí tpí úhlLU Ppedstavuje tedy tuhé taleso mechanickou soustavu se pěsti stupni volnosti. Soupadnice obecného bodu talesa P v inerciální soustava jsou zadány prLl^odiTem r, v soustava spojené s talesem prLl^odiTem r. Malé posunutí bodu P o dt je sloleno z posunutí celého talesa spoleTha s poTátkem O, tj. dR a rotace talesa kolem poTátku o malý úhel ôcp, tj. ôcpxr dt=dŘ + Scpxr . Z Zavedením ppíslupných rychlostí dr dt dostáváme z ppedchozího vztahu dt v = V + Úxr dt (10.2) (10.3) Vektor V udává rychlost translaTního pohybu talesa jako celku, Q je úhlová rychlost rotace tuhého talesa. Pokud umístíme poTátek soupadné soustavy spojené s talesem místo do hmotného stpedu do jiného bodu O1 (OO1 =a), zUátane pochopitelná r stejné a bude R' =R + a a r'=f-a. Dosazení do (10.3) dává v =V + Qxa + Qxf', col ale máme zapsat v nové soustava také jako slolení translaTního a rotaTního pohybu, tedy v=V +Q! xr'. Porovnáním obou výrazLildostaneme transformaTní vztah r'=r-a , V'=V + Qxa , Q'=Q . (10.4) Tento vztah popisuje dva dulelité skuteTnosti: Ppedevpím Q je stejné pro vpechny soustavy s rovnobainými soupadnými osami, muieme proto dobpe mluvit o úhlové rychlosti talesa jako 58 takové. Dále je vidat, Te pokud v nakterém okamTiku VQ=0, platí to i pro libovolná zvolený bod O' .4 10.2 Tensor setrvaTnosti Dosadíme-li ve výrazu pro kinetickou energii (v je rychlost v inerciální soustava) mv ze vztahu (10.3), dostáváme r = £y(y+Qxř) =^yy2+^my-(Qxř) + 2^(Qxř) . V prvním Tlenu je V pro vpechny Tástice stejné, takTe s oznaTením celkové hmotnosti pomocí M bude tento Tlen ^ 2 MV Úpravou druhého Tlenu dostáváme YjmV{Qxř) = Yjm?{VxQ) = (VxQ).Řcm , i?cm=I>F ■ Umístíme-li poTátek soupadné soustavy do stpedu hmotnosti, je výpe uvedený Tlen nulový. Ve tpetím Tlenu rozepípeme druhou mocninu (Qxř)-(Qxř) = ř|(Qxř)xQl = ř|řQ2-Q(ř-Q) Kinetická energie tuhého talesa bude tedy „ MV2 1 Q2 r2 M2 —i—"v m 2 2^ Qz z r (ň-f) (10.5) Ppi zápisu v kartézských sloTkách dostaneme pro rotaTní Tást energie postupná i r — 2 ~i i "Zm nV-(ň-ř) =-Yjm\_Q.iQ.ix2 -Q-x^ xk~\ = |Zm[Q< nk 5ik xf - Q nt xi xt]=|Q« nt Zm[x' ôik - xi x> Definujeme tensor momentLUsetrvaTnosti (krátce tensor setrvaTnosti) hk =Tjm{x^ôik ~xixk) ■ Tensor setrvaTnosti je z definice symetrický tensor druhého pádu (10.6) 4 V pfípada, Te V ■ Q^0 , muieme pepením rovnice Q X (V + Q X a j = 0 (neznámou je vektor a) najít takové polohy bodu O1, Te V' || Q , tj. translaTní pohyb se daje podél osy otáTení. 59 h k ^ki (10.7) a jako takový mLHe být vhodnou volbou orientace soufftdných os ppiveden k diagonálnímu tvaru fl o oYal IikQlA=(Q, Q2 Q3) 0 I2 0 v0 0 73, Q2 V ^3 j lx Q2 + I2Q22+I3 Q2 . (10.8) Hlavní momenty setrvaTnosti mají tu vlastnost, Te souTet libovolných dvou z nich je vatpí nebo nejména roven zbývajícímu " nappklad A + Ii =I]m(j2+z2 + z2 + x2)>I]m(x2 +j2) = /3 . Pokud poTátek soupadné soustavy spojené s talesem nelelí ve hmotném stpedu, je tensor setrvaTnosti po dosazení f'=f-a l\k = Yjm(x'i2 5ik - x'i xí)=Z m(xf 5ik - xi xk)+Z m(a? 5ik - ai ak) - 23ikalYjmxl+aiYjmxk+akYjmxi a protole ^ m r = 0, dostáváme I'ik=Iik+Tjm{a2 ôik-aiak) ■ (10-9) Ppi /j = I2^I3 mluvíme o symetrickém setrvaTníku, jsou-li si vpechny hlavní momenty rovny, jde o sférický setrvaTník. Závarem napípeme Lagrangeovu funkci tuhého talesa jako MV2 1 (10.10) 2 2 Potenciální energie je funkcí tpí slolek vektoru R a tpř úhluj které charakterizují orientaci soustavy xx x2 x3 vuTi soustava XYZ. 10.3 Moment hybnosti tuhého talesa Moment hybnosti poTítáme v soustava, kde poTátek je spojen s hmotným stpedem tuhého talesa. Je tedy M = y^mrx(Qxr) = y^m[r2 Q — (r-Q)r nebo ve stolkách mí==XX*'2 Q< -xk&k xi]=XX*2ô*Q* -xk ^kxi]=^kXX*2 sik -xixk] ■ Srovnáním posledního výrazu s definicí tensoru setrvaTnosti (10.6) vidíme, Te M, = ilknk . (ío.ii) 60 Pokud budou osy xx x2 x3 orientovány podél hlavních os setrvaTnosti talesa, je pak Mx 0 (ť q; M2 = 0 h 0 M3 0 v 0 h, íl V J J (10.12) Pokud na tuhé taleso nepUáobí vnajpí sily, moment setrvaTnosti se zachovává. Vpimname si ppípadu symetrického setrvaTníku z obrázku. Osax3 je osou symetrie. Osu x2 zvolíme tak, Te je kolmá k rovina vytvopené vektorem M a okamlitou polohou osy xx . Potom je M2 = 0 a podle (10.12) musí být Q2=0. To ovpem znamená, Te vektory M , Q a e3 lelí v jedné rovina, takle rychlosti bodlllna ose x3 v~Q,xe3 jsou kolmé k této rovina. Osa symetrického setrvaTníku rotuje kolem smaru M po plápti kulelu (regulární precese), zároveK setrvaTník rotuje kolem osy symetrie. Uhlová rychlost této rotace je jednodupe Q, = = — cosé* (10.13) Uhlovou rychlost precese získáme rozkladem Q do šmarili e3 a M . První projekce nevede k ladnému posunu osy x3, takle rychlost precese je urTena druhou projekcí. Z obrázku siné? - Ql Mj M siné* odkud M_ T (10.14) 61 10.4 Pohybové rovnice tuhého talesa Jil jsme zmiKovali, Te tuhé taleso má pest stupKLUvolnosti. Obecný popis musí tedy být vyjádpen pomocí pěsti nezávislých rovnic. Budou to rovnice urTující Tasovou derivaci dvou vektorLU " hybnosti a momentu hybnosti (v Teské literatupe Tasto nazývané první a druhá impulzová vata). První rovnici dostaneme snadno seTtením pohybových rovnic jednotlivých Tástic p = f, kde p je hybnost Tástice a / na ni pUáobící síla. Zavedením celkové hybnosti P=s£_ip = s£_imv = MV a celkové síly F = ^f muieme psát dP - — = F . (10.15) dt Ve výrazu pro sílu muieme seTítat pouze vnajpí síly, vzájemné silové pUáobení Tástic talesa se vyrupí. Je-li U potenciální energie talesa ve vnajpím poli, muieme sílu získat derivováním potenciální energie podle soupadnic hmotného stpedu. Ppi translaTním pohybu se maní prli^odiTe f vpech Tástic o stejnou hodnotu SR, takle 8U=Y—-ôx = {Yj—\ôŔ = -(Tf\ôR = -FÔŔ . dx \y dx) v ' Kinetickou energii translaTního pohybu muieme psát obvyklým zpUáobem jako T = M V2 /2, takle rovnice (10.15) jsou Lagrangeovy rovnice pro Lagrangeovu funkci soupadnic a rychlosti hmotného stpedu tuhého talesa ^4-^4 = 0 . (10.16) dtdV dR Ppi odvození výrazu pro Tasovou derivaci momentu hybnosti budeme ppedpokládat, Te soustavu XYZ jsme zvolili tak (vzhledem ke Galileiho principu relativity to neomezí obecnou platnost výsledku), aby v ní byl v daném okamliku hmotný stped tuhého talesa v klidu, tj. aby V =0 a tedy v = r = r . Máme pak dM d^p^^ v - - v - - - - - —=—r x p = 2-ir x p + 2-ir x p = 2-imvxv + ž-*r x J = 0 S oznaTením momentu sil (opat staTí uvalovat vnajpí síly) K = J^rxf (10.17) dostáváme rovnice ™=it . (10.18) dt 62 Oba momenty závisí na volba poTátku soupadnic, vuTi kterému jsou poTítány. Ve vztazích (10.17) a (10.18) je tímto poTátkem hmotný stped talesa. Také rovnice (10.18) muieme chápat jako Lagrangeovy rovnice dÔL ^ = 0 . (10.19) dř dCl dep Kinetickou energii jsme jil pomocí úhlové rychlosti vyjádpili. Pro zmanu potenciální energie ppi otoTení talesa o úhel 5cp máme ÔU = -YJf-ôx = -YJf-{ôg}^) = J^-YJ7y.f = -K-Jv , takie skuteTna K--—- — dep dep Ppi posunutí poTátku soupadné soustavy o vektor a budeme mít po dosazení f = f'+a do (10.17) K = ^rxf = ^ř' xf + ^axf , takie K = K'+axF . (10.20) Ze vztahu (10.20) vyplývá nappMad, Te pokud je F = 0 (Klvojice sil"), nezávisí moment síly na vztalném boda. Dále je z tohoto vztahu vidat, Te pokud jsou vektory K a F navzájem kolmé, je molné vidy najít takový vektor a, Te bude a nulovým vektorem a K = axF . Puáobení vpech sil je tedy molno nahradit pUáobením jediné síly. Najdeme-li najaký urTitý vektor a, pak ppirozena muieme pUáobipta posouvat podél ppímky dané smarem síly ( {ů + cc F^xF = axF . Typickým ppíkladem je tuhé taleso v homogenním poli. 10.5 Eulerovy úhly a Eulerovy rovnice Ppi konkrétním výpoTtu ppedstavuje problém to, Te máme rotaTní Tást kinetické energie vyjádpenu pomocí úhlových rychlostí rotace kolem soupadných os soustavy spojené s tuhým talesem (xix2x3), zatímco pohybové rovnice (10.19) jsou zapsány v pevné soustavaXFZa také potenciální energie bude spípe vyjadpována v této pevné soustava. Jednou z molností je vyjádpit úhlové rychlosti Q pomocí Tasových derivací úhluj charakterizujících natoTení xix2x3 vuTiXFZ, tj. zavedení Eulerových úhllll Druhou molností je pak zapsat pohybové rovnice v rotující soupadné soustava " Eulerovy rovnice. 63 Nejprve zavedeme Eulerovy úhly. Podle obrázku ztotolníme poTátky obou soupadných soustav. Rovina xx x2 protíná rovinu XY v ppímce ON, kterou budeme nazývat uzlovou ppímkou. Tato ppřmka je zpejma kolmá jak k ose Z , tak k ose x3. Kladnou orientaci zvolíme ve smaru vektorového souTinu ezxe3. Pro popis natoTení xxx2x3 vLlTiXYZzvolíme tpi úhly: úhel 6 od Z kx,, úhel cp mezi X a Na úhel y/ mezi Na xx, ppitomkladná orientace cp a yr je dána pravotoTivostí rotace kole Z a x3. Úhel 6* se maní od nuly do (4) zbývající dva úhly od nuly do 2(n) Je zajímavé povpimnout si, Te 6 a cp-njl ppedstavují polární a azimutální úhel x3 v soustava XFZ, zatímco 6 a njl-y/ ppedstavují polární a azimutální úhel Z v soustava Nyní je molné vyjádpit prUmaty uhlových rychlostí 6 , 2 Z rovnic (10.24) vypoTteme xj/ a

UeS (0) . Protole vpak (s výjimkou zvláptního ppípadu MZ=M3 funkce UeS {6) jde do nekoneTna jak ppi é?—»0, tak ppi 0^>na nakde v intervalu [0,^"] nabývá minima, bude se pohyb odehrávat v omezeném intervalu úhlLU 0X<0<02. Charakter trajektorie jepta závisí na tom, zda

11.2 Tensor napatí Ppi deformacích se objevují síly, které pUáobí proti deformaci " snalí se vrátit taleso do původního stavu. Tamto silám pikáme vnitpní napatí. Jsou to molekulární síly, které pUáobí jen v bezprostpedním okolí. Z hlediska makroskopické teorie muieme uvalovat jen o pUáobení sousedních Tástic " na vybraný objemový element prulného talesa pUáobí okolní Tásti talesa pouze povrchem vybrané Tásti. Síla pUáobící na objem je souTtem sil pUáobících na elementy daného objemu j F dV . Síly vzájemného pUáobení jednotlivých element LU uvnit p zvoleného objemu se díky zákonu akce a reakce rupí, výsledné síla je tedy dána jen pUáobení okolí objemu. Protole vpak toto pUáobení se daje jen styTným povrchem, musíme být schopni ppevést uvedený objemový integrál na plopný. Bude to zobecnaní známé Gaussovy vaty, kdy objemový integrál skaláru, vyjádpeného jako divergence najakého vektoru F = dai/dxi 69 ppevedeme na ploprý integrál j" FdV = | dai/dxldV = j>sCrl n, dS, kde H je jednotkový vektor vnajpí normály. Budeme tedy ppedpokládat dx. (11.6) a je pak d<7. V dxk (11.7) Ze vztahu (11.7) vidíme, Te °iknkdS ■ Tensor =0 (11.10) V homogenním gravitaTním poli je ft= p gt, kde hustota p je zadaná funkce, zanedbávají se tedy její zmany zpLLíobené vnitpními napatími. Vnajpí síly pLLíobící na element povrchu talesa PdS musí být vykompensovány silou vnitpních napatí, kterými pLLíobí element povrchu talesa na okolí. Platí tak na povrchu talesa PidS — aiknkdS = 0. Muieme tedy tuto rovnost povalovat za okrajovou podmínku pro rovnice rovnováhy P (11.11) Pomocí vnajpích povrchových sil muieme spoTítat stpední hodnotu tensoru napatí, anil musíme pepit rovnice rovnováhy. Máme dan ,dx, da. d x, -x. dV \ — vdxi °ilXk+°klhW- dx. °n^+°ki d X: ll r\ dx, d x, dV £ K n, xk -akl nlXi)dS- Jy (aik + aki)dV = £ (P. xk + Pk xt)dS - 2 J aik dV Sy i J v Pro stpední hodnotu tensoru napatí pak 71 xk + PkXi)dS ■ (11.12) yJv 2V J s 11.3 HookLLi^ zákon Pro odvození zobecnané formy Hookova zákona bude vhodné vyjít z termodynamického popisu prulného talesa. Druhá vata termodynamická piká, Te zmana vnitpní energie talesa je rovna talesem ppijatému teplu zmenpenému o talesem vykonanou práci dU = TdS - dR . Vztahujeme-li veliTiny dU, dS a dR na jednotkový objem, budeme psát díl = Td&-d9\ . (11.13) Uvalujme práci, kterou vykonají vnitpní napatí, zmaní-li se vektor posunutí uvnitp talesa o malou hodnotu ui^ui + óui , óui\s=0. Práce konaná v elementu objemu dVje ô^rldV = Fi 5ui dV , celková práce tedy bude integrálem mdv 1 d°n v dxk ■Su:dV Vd*k aik ôuAáV- dôu ±dV § °ik 5uink dS v dxk v dxk Podle ppedpokladu je první integrál po povrchu roven nule, druhý integrál upravíme s vyulitím symetrie tensoru deformace f mdV J v dôu: i k í~\ v dxk • Oft Olk =On Olk =8ik . Pro stopu matice tedy"u!u= Ó\"j Ujj Oli=Ujl OjiOli=Ujl Ôjl=Ujj a pfirozena i druhá mocnina je skalár. Dále u', u', =Ot u., O,, Ot u O , = O■■ O ■ O,, O , u-, u =8■ ô, u., u =u-,u-, . ik ik i j jl Ik im mn nk Ji mi Ik nk jl mn jm In jl mn jl jl 73 Srovnání (11.18) a (11.20) dává K = Á + 2iu/3. Kvadratická forma (11.20) musí být kladná, aby mal volná energie ppi nulové deformaci minimum. Je-li tedy tenzor deformace s nulovou stopou, musí být //>0, má-li diagonální tvar, musí být K>0. Diferenciál volné energie je dg = Kuu duu + 2// uik ^ ik u" uik ^ ik u" Uválíme, Te 8:, uik ^ ik u" 3 a zapípeme duu = 8ik duik, tím získáme pro diferenciál výraz v potpebném tvaru d£ uik ^ u" dU; který srovnáním s (11.17) umolní vyjádpit tensor napatí pomocí tensoru deformace uik ^ u" (11.21) SpoTteme-li stopy obou stran (11.21), máme aii = 3Kuu a pak jil muieme vyjádpit tensor deformace pomocí tensoru napatí 1 j! , 1 o'.,--8, u= ar + — . r ar r Z rovnic (11.38) máme pro diagonální (jediné nenulové) slolky tensoru deformace 2b b urr=a--r , u99=u =a + — r r Z Hookova zákona (11.27) pak E r,. x -i Ea 2Eb 1 --—-- (\ — "-+tT""+CT"'"'J=r^+T^7 Konstanty a a b spoTítáme z okrajových podmínek r=R, takle Ea _pxRl-p2Rl 2Eb _RlRl{px-p2) 1-2(7 R32-Ri ' 1+c 12.Mechanika tekutin 12.1 Rovnice kontinuity Povalujeme kapalinu (pro struTnost bude mluvit o kapalina, velká vatpina výsledklllse týká i plynLLJ za spojité prostpedí. KMalý objemový element" je dostateTna velký, aby obsahoval znaTný poTet molekul " v tomto smyslu je tpeba chápat pojmy jako KTástice kapaliny". Pohyb Tástice kapaliny je pohyb malého objemového elementu, chápaný jako pohyb bodové Tástice kapaliny. Matematický popis pohybového stavu kapaliny je dán 78 funkcemi, které urTují rozlolení rychlosti v=v(x,y,z,ť) kapaliny a dva termodynamické veliTinu " mohou jimi být nappíklad hustota p = p{x,y,z,ť) a tlak p = p{x,y,z,ť). Dalpí termodynamické veliTiny lze urTit pomocí stavové rovnice. VeliTiny v,p,p nepopisují pohybový stav najaké Tástice kapaliny, ale stav kapaliny v urTitém boda prostoru v urTitém Tase. Vezmame najaký objem V0 prostoru. Mnolství kapaliny v tomto objemu (tj. hmotnost objemu) je ľ pdV ,kde p je hustota kapaliny. Objem V0 je ohraniTen uzavpenou plochou (povrchem) S0. Elementem povrchu d f (absolutní hodnota vektoru d f je plocha elementu povrchu a smar je tohoto vektoru je smarem vnajpí normály), proteTe za jednotku Tasu mnolství kapaliny rovné pvdf (tedy tato veliTina je kladná, kdy! kapaliny v objemu ubývá). Celkové mnolství kapaliny vytékající za jednotku Tasu z objemu V0 je á> pvdf . J s0 Porovnání tohoto výrazu s úbytkem celkového mnolství v objemu dává -±jpdV = j>pvdf . (12.1) Povrchový integrál ppevedeme na objemový a Tasovou derivaci mLLTeme vnést do integrálu (integraTní oblast je pevná daná), musíme vpak vyznaTit znaménkem parciální derivace, Te tebI derivujeme pouze podle Tasu, nikoliv podle prostorových promanných -^ + divpv dV=0 . Tato rovnost musí platit pro libovolná zvolený objem V0, musí být roven nule integrand. Dostáváme tak rovnici kontinuity ^ + divpv=0 . (12.2) dt Vektor j=pv (12.3) se nazývá vektorem hustoty toku kapaliny. Rovnici (12.2) lze rozepsat na op —— + pdivv + v-grad/o = 0 . (12.4) dt 79 12.2 Eulerova rovnice Na vybraný objem kapaliny pLLíobí síla -á> pdf. Ppejdeme k vyjádpení této síly pomocí objemového integrálu -<§pdf = -jgradpdV . Znamená to, Te na kaldý objemový element kapaliny pLLíobí okolní kapalina silou -gradpdV, na jednotkový objem tedy pLLíobí síla -gradp. Hmotnost jednotkového objemu je hustota, zapípeme tedy druhý NewtonLLf zákon pro tento jednotkový objem jako p^- = -gradp . (12.5) Čárkou u znaménka derivace zdlitfazKujeme, Te se nejedná o Tasovou zmanu rychlosti v pevném boda prostoru, ale zmanu rychlosti pohybujícího se daného jednotkového objemu kapaliny (zde by se dalo ul ulít zkratky " pohybující se Tástice kapaliny). PpírLlítek rychlosti takové Tástice d v se skládá ze dvou Tástí: zmany rychlosti v daném boda za Tas dŕ a z rozdílu rychlostí (v jednom a tomtél Tasovém okamliku) v sousedních bodech vzdálených o dr. První zmana je jednodupe 3v , dv= — dt , 1 dt druhá pak SeTtením obou Tástí j/- , ÔV , ÔV , d2v = — dxH--dj H--dz = (dr -gradjv dx dy dz ď v = — dt + (dr -grad)v dt V ; a dosazením do (12.5) dostáváme Eulerovu rovnici ôv 1 — + (v-grád)v =--gradp .. (12.6) Nachází-li se kapalina v poli objemových sil, objeví se tato síla na pravé strana Newtonova zákona a také v Eulerova rovnici. Jde-li o homogenní gravitaTní pole, dostáváme rozpípením rovnice (12.6) ôv 1 — + (v-grád) v =--gradp + g . (12.7) 80 Ppi odvození Eulerovy rovnice se neuvaluje ani o vnitpním tpení (viskozita), ani o tepelné výmana mezi Tásticemi kapaliny " pojednáváme tak zatím jen o ideální kapalina. Uvalované proudaní bez tepelné výmany zachovává coby adiabatický daj entropii pohybujícího se elementu (s je entropie vztalená k jednotce hmotnosti kapaliny) ď s dt Obdobným postupem jako u rychlosti dojdeme k 0 . (12.8) r) v — + v-grads = 0 (12.9) dt a spojením s rovnicí kontinuity (12.2) pak ^p- + diw(psv) = 0 . (12.10) Pokud je podle Tastého ppedpokladu v najakém poTáteThím okamliku entropie v celém objemu kapaliny konstantní, zUátává podle (12.8) konstantní i ppi dalpím pohybu. Takový pohyb se nazývá isoentropický. Eulerovu rovnici muieme potom upravit. V termodynamice máme pro entalpii (W = U + pV ) vztah (upravená druhá vata) dw = Tds + ^dp , kde w je entalpie jednotkové hmotnosti a 0 = 1//? specifický objem. Pro s=konst. máme dw = — dp — gradp = gradw P P a Eulerovu rovnici (12.6) zapípeme jako Ó V — + (v-grád) v = -gradw . (12.11) Vyulití identity •igradv2 = v xrotv + (v-grád) v umolní zapsat (12.11) ve tvaru ÔV v v xrotv = -grad dt í ,,2^ w + v 2, (12.12) Aplikací operátoru rotace na ppedchozí vztah dostáváme tvar Eulerovy rovnice. Který obsahuje pouze rychlost (rotgrad/ = 0) d —rotv = rotí v xrotv) . (12.13) dt K J 81 Jako vidy u pepení diferenciálních rovnic v konkrétních ppípadech potpebujeme znát okrajové podmínky. Nappíklad na nepropustných pevných stanách musí být normálová slolka rychlosti kapaliny rovna nule vn = 0. Ponavadl pohyb kapaliny je popsán pati veliTinami (tpi slolky vektoru rychlosti a nappíklad hustota a tlak), potpebujeme pat rovnic. Ty pro ideální kapalinu skuteTna máme: tpi z Eulerovy rovnice, rovnici kontinuity a rovnici, vyjadpující skuteTnost, Te pohyb je adiabatický daj. 12.3 Bernoulliho rovnice Ppi ustáleném proudaní je dv/dt = 0, takle rovnici (12.12) muieme psát jako grad --h W 2 v xrotv (12.14) Zavedeme pojem proudové linie (krátce proudnice) jako kpivky, její! teTnou v kaldém bodaje rychlost kapaliny. Pokud rychlost kapaliny známe, je proudnice definována soustavou diferenciálních rovnic ^ = ^ = ^ . (12.15) v v v x y z Jednotkový vektor teTný k proudnici oznaTíme i . Podle definice je rovnobainý s vektorem rychlosti, takle vynásobíme-li skalárna tímto vektorem oba strany rovnice (12.14), dostaneme d (v2 dí --h W 2 0 Podél proudnice tedy platí --v w = konst. 2 (12.16) Konstanta je obecná pro rUíné proudnice rUíná. Pokud vpak je proudaní nevírové, tj. platí rotv=0, je pravá strana (12.14) rovna nule a máme jedinou konstantu pro vpechny proudnice.8 Za ppítomnosti homogenního gravitaTního pole g muieme s uválením g =grad(,g • r) zobecnit (12.16) na Bernoulliho rovnici 7 Derivace ve smaru je priumatem gradientu do tohoto smaru: d f jd£ = £- grad f . 8 PfipomeKme, Te pro nestlaTitelnou kapalinu muieme psát entalpii jako w= p/p . 82 --h w - g ■ r = konst. 2 (12.17) Jednoduchou aplikací rovnice je urTit výtokovou rychlost a nejvyppí molné ppevýpení u sifonu z obrázku. Hustota kapaliny je =a osu soupadnic z orientujeme vzhlitfu, takle -g-r = g z. Ppedpokládáme nevírové proudaní, takle mineme psát C vd Pd 2 p + gzc vc 2(Pp-Pc) p + 2g(zD-zc) + v2D 1/2 2 p Dosadíme-litebl pD = pc = pMm a zD-zc=d + h2 , dostáváme vc=^l2s(d + h2) + v2D . Je-li plocha dna válcové nádoby SD a plocha trubice sifonu Sc, máme z rovnice kontinuity SD vD =Scvc a za obvyklých podmínek, kdy SD » Sc muieme ve výrazu pro výtokovou rychlost zanedbat rychlost poklesu hladiny, takle je vc = yJ2g{ď+h2~j . Dále porovnejme hodnoty v bodech B a C, tedy vr Pr vr Pr -f + — + gzB=^ + — + gzc 2 p 2 p Pc+P- Pg{zB-zc) Musí být pB >0 a protole vB = vc a pc = pMm, je maximálni molná hodnota \ V 1 /n P {d + K) 83 12.4 Malé odboTení k termodynamice U pady rovnic vyulíváme toho, Te popisují adiabatické (ppi konstantní entropii) nebo isotermické (ppi konstantní teplota) daje. Ppipomeneme proto, jak spolu prostpednictvím Legendrových transformací souvisí rUíné termodynamické potenciály " jmenovitá vnitpní energie U, volná (Helmholtzova) energie F, entalpie W a volná (Gibbsova) energie B. Promannými jsou teplota T, entropie S, tlak p a objem V. dU = TdS-pdV F=U-TS W = V + pV d a hustotou p P do dp P2 takle dostáváme následující diagram: du=Tds+ p-£ f = u-Ts w — u + ^- df = -sdT + pá4 d*, = Td*+tiP P 84 12.5 Tok energie a hybnosti Energie a hybnost jednotkového objemu kapaliny jsou v2 _ . e = /0—+ /0M , P = pV (12.18) kde m je vnitpní energie jednotkové hmotnosti. Budeme poTítat Tasové zmany dt/dt a dp/dt tak, abychom je mohli zapsat jako divergenci najakého vektoru toku energie resp. divergenci najakého (symetrického) tensoru toku hybnosti. Ppi úpravách vyulijeme padu dpíve odvozených vztáhni S vyulitím rovnice kontinuity (12.2) a Eulerovy rovnice (12.6) máme dfpv2^ dt v 2 j v2 d p _ dv v2 i - _ _ ,^ ^ y—+ = -ydiv(pv)-v-gradp-pv(v-grad)v Poslední Tlen ppepípemev-(v-grad) v = (l/2) v-gradv2a podle termodynamického vztahu pro entalpii dw=T ds + dp/p napípeme místo gradientu tlaku gradp = p gradw- p T grads, takle dfpv2^ dt v 2 j -—div(/? v ) - p v • grad ,2^ WH-- 2 + pTv-grads Dále 5(yOw) 5(yOw-p) 5/7 dw dp ,. , - ^ds —-- = —-- = w--vp---= -wdiv(pv ) + pT— . dt dt dt dt dt dt Ppi poslední úprava jsme z výrazu dw=Tds + p/pdosadilipdw/dt = pTds/dt + dp/dt. S vyulitím rovnice (12.9) je pak d(pu) dt -w div^^-prv-grads . Stolením výrazLUpro oba Tleny v hustota energie dostáváme d_( pv2 dt + pu f v2^ hh— v 2, div(/?v )-/?v-grad nebo koneTna dt -* --h div j = 0 , e = p dt (v2 --Yu v 2 j f v2^ hh— v 2, (v2 --Yw v 2 j (12.19) Integrujeme-li rovnice ppes urTitý objem kapaliny a ulijeme Gaussovu vatu, dostáváme -—JedV = j> IňdS . (12.20) Vektor j je tedy vektorem hustoty toku energie. Na první pohled ppekvapivá entalpie místo vnitpní energie má snadné vysvatlení. Rozepsání výrazu p w=pu + p dává 85 (§}-ňdS = (§>tv-ňdS + (§ pv-ňdS kde první Tlen representuje energii (kinetickou a vnitpní) bezprostpedna nesenou kapalinou procházející hranicí z objemu. Druhý Tlen vyjadpuje práci kapaliny uvnitp objemu ppi ppekonávání tlakových sil. Oba Tleny se samozpejma na úbytku energie v objemu projevují. Pro zmanu hybnosti (budeme poTítat ve stolkách) op, dv, dp —— = p—'-+—v, dt dt dt dostaneme po dosazení z rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice op _ d(pvk) dv, _ dv, Idp dt dxk ' dt k dxk p dx, výraz dpL__ ^L_djL_ d(Pvk) _ d p d(pv,vk) dt dxk dx, dxk dx, dxk Zapípeme-li v prvním Tlenu dp/dx, = ôik dp/dxk, muieme zapsat výsledek jako -lt=lr ' nit=nti = Mt+^vťvt . (12.21) Tensor TL,k se nazývá tensorem hustoty toku hybnosti. V integrálním tvaru je d $p,dV = jn,knkdS . (12.22) dtv s Zapípeme-li si TL,k nk ve vektorovém tvaru, dostáváme pň + pv(y -n), vidíme, Te 11^ je i tá stolka hybnosti nesená kapalinou procházející za jednotku Tasu jednotkovou ptopkou kolmou k ose xk. Hustota toku ptopkou kolmou k rychlosti je p + pv2, hustota toku ve smaru kolmém k rychlosti je pouze tlak, tedy p. 12.6 Navierova " Stokesova rovnice V ppedchozím odstavci jsme spojením rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice zapsali rovnici (12.21) pro tok hybnosti d(pv,)_ dn,k dt dxk Pro tensor hustoty toku hybnosti jsme odvodili výraz 11^ = -&,k +pv, vk, kde tensor napatí byl dán tlakem v = ——y(y-h) + u — W W 2?jdx W J h hdp r/u ,7. dvx ----+— , &xAh) = -ri—x- 2 dx h xyK ' dy y = h h dp r/u 2 dx h 13. Vlny 13.1 GravitaTní vlny Volný povrch kapaliny (tj. neomezovaný stanou nebo stykem s jinou kapalinou) v homogenním gravitaTním poli je v rovnováze rovinný. Pokud v najakém místa vyvedeme povrch z rovnováhy, vznikne v kapalina pohyb, který se bude po povrchu pípt jako vlna. Protole je tento pohyb ovlivKován ppítomností gravitaTního pole, mluvíme o gravitaTních vlnách. V zásada jde o povrchové vlny, spodní vrstvy jsou ovlivKovány tím ména, Tím jsou hloubají pod povrchem. Budeme ppedpokládat, Te rychlost pohybu Tástic kapaliny zpUäobená vlnaním je natolik malá, Te je moTné v Eulerova rovnici zanedbat Tlen (vgradv)v ve srovnání s Tleném dv/dt. Co tento ppedpoklad znamená? Bahem periody kmitni r urazí Tástice dráhu pádu amplitudy vlny a, je tedy jejich rychlost v-a/r. Samotná rychlost 88 znatelná zmaní ve vzdálenosti pádu vlnové délky a po ubahnutí Tasu pádu periody, je tedy dv/dx~v/ A~oc/(At) a dv/dt~v/r~a/r2 a ,w dv a a a v -grád v«:— =>•--«c— =>• . V 7 dt t At z Ppedpokládáme tedy, Te amplituda vln je mnohem menpí nel jejich vlnová dálka, col je velmi ppijatelný ppedpoklad. Nápppedpoklad umoTKuje povalovat proudaní za potenciální v = grad^/ . (13.1) Dále budeme povalovat kapalinu za nestlaTitelnou, takle Eulerova rovnice vede k dy/ -pgz-p- dt (13.2) Jako obvykle jsme zvolili osu z kolmo vzhlitfu a rovinu x " y za rovnoválný povrch kapaliny. Vertikální výchylku (tj. odeTítanou podél osy z) povrchu kapaliny budeme znaTit č,, v rovnováze je tedy <^ = 0. Puáobí-li na povrch konstantní tlak p = p0, muieme potenciál posunout o na soupadnicích nezávislou hodnotu i//^i//-p0 t jp a (13.2) ppejde na di/r dt o (13.3) Ppedpoklad malé výchylky nám umoTKuje pololit vertikální slolku rychlosti rovnu Tasové zmana soupadnice č,, tj. zanedbat ve výrazu dz dt , poslední dva Tleny na pravé strana. Máme tak dl// ~ďz~ c dt dx dy y d£ dt 1 d2y/ g dt2 (13.4) kde poslední rovnost vznikla parciální derivací podle Tasu vztahu (13.3). Poslední aproximací, kterou nám umolní malé výchylky je, Te derivace nebudeme poTítat na deformovaném povrchu z = £, ale na rovno valném povrchu z = 0 (provedeme TaylorliS' rozvoj a ponecháme jen první, tj. lineární Tleny). Rovnice kontinuity divv = 0 a rovnost obou výrazLUpro vz v (13.4) dávají tedy koneTnou dvojici rovnic pro potenciál A^ = 0 , (13.5) 'dy/ 1 d2i//^ dz g dt2 0 (13.6) 89 Kapalina bude naplKovat bazén nekoneTha rozlehlý v rovina x " y, dno bazénu bude v rovina z = — h. Budeme hledat pepení homogenní v soupadnici y (rovinná vlna") y/[x,z) = cos(kx-ct)t) f (z) , kde co je kruhová frekvence, k = 2nj A vlnový vektor a A je vlnová délka. Po substituci do (13.5) dostaneme rovnici d2f dz2 ■r/ = o a vybereme pepení, které na dna bazénu splKuje podmínku nulovosti normálové slolky rychlosti. Z obecného pepení y/ = [ Aexp(kz) + Bexp(-k z)] cos(& x-cot) vybere podmínka dy/ dz = 0 =-h konkrétní pepení úlohy y/ = Acosh[&(z + /z)] cos(&x-č»í) . (13.7) Dosazením tohoto výrazu do rovnice (13.6) dostáváme vztah mezi frekvencí a vlnovým vektorem (dispersní relaci) co =[gfctanh(M)]1/2 . (13.8) Z dispersní relace máme pro fázovou a grupovou rychlost cf ="j = í -^-tanh(M) NV2 dco _\ ~ďk~2 -|-tanh(M) 1/2 1 + - 2hk sin. h(2M) (13.9) V limitních ppípadech, kdy hloubka je mnohem vatpí (hk^>l) nebo mnohem menpí (hk P = P0+P' > (13.11) Kde p0, p0 jsou konstantní rovno valné hodnoty tlaku a hustoty kapaliny a p', p' jejich malé zmany ( p' «: p0 , p' 0(1 + c7)(1-2c7) 1/2 1/2 2yO 1 + c7 (13.29) Zavedení rychlosti podélného cl a ppfTného ct vlnaní dovoluje ppepsat obecnou rovnici (13.28) na d2u dt2 ct Au + [c, — ct gradídiví (13.30) Rozlolíme výchylku do dvou Tástí, odpovídajících ppTnému a podélnému vlnaní u=ut+ u{ , diwut = 0 , rotí/;=0 (13.31) Dosazením do (13.30) a pLLíobením operátoru div dostáváme div d2u, dt2 cf AUt 0 a podobna p LLíobením operátoru rot rot d2ú, 2 dt2 c, Au, 0 . 12 Je-li divergence i rotace vektoru rovna nule, musí být tento vektor nulovým vektorem , proto mLLTeme ppedchozí vztahy napsat jako vlnové rovnice d2u, dt 2 c] M = 0 (13.32) dt2 c. Au, = 0 (13.33) 12 Kaldý vektor lze rozlolit na souTet nevírového a nezfídlového vektoru. 94 95