KAPITOLY ZE SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku
Přemysl Šedivý
Obsah
Úvod 2
1 Výklad relativistické kinematiky pomocí časoprostorových grafů
a metody koeficientu k 2
1.1 Východiska speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Co je to koeficient k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Dilatace času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Dopplerův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Skládání rychlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Kontrakce délky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Relativistické efekty při malých rychlostech, přibližné výpočty . 11
1.8 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Relativnost současnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 Nepřekročitelnost rychlosti světla ve vakuu . . . . . . . . . . . 17
2 Hybnost a energie 18
2.1 Relativistická hmotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Neměnnost náboje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Pohyb částice s nulovou počáteční rychlostí, na kterou působí
stálá síla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Mezní rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Vztah mezi celkovou energií, klidovou energií a hybností částice 28
2.7 Druhý pohybový zákon při velkých rychlostech . . . . . . . . . 29
2.8 Příklad na závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Literatura 35
Výsledky úloh 35
Úvod
Tento studijní text je určen k přípravě účastníků Fyzikální olympiády na řešení
úloh z relativistické mechaniky. Navazuje na učebnice fyziky pro gymnázia [1]
a [5] 1
). Přináší jiný pohled na relativistickou kinematiku a doplňuje učivo
z relativistické dynamiky na úrovni, pro kterou postačí matematické znalosti
studenta střední školy.
1 Výklad relativistické kinematiky pomocí časoprostorových
grafů a metody koeficientu k
1.1 Východiska speciální teorie relativity
Einsteinova speciální teorie relativity vychází ze dvou experimentálně ověřených
základních principů, kterými jsou
1. Princip relativity: Všechny inerciální soustavy jsou stejně vhodné
pro popis fyzikálních dějů. Ve všech platí stejné fyzikální zákony.
2. Princip stálé rychlosti světla: Ve všech inerciálních soustavách
je rychlost světla ve vakuu ve všech směrech stejná a má tutéž velikost
c.
Poznatky relativistické kinematiky jednoduše odvodíme metodou koeficientu
k, kterou popsal r. 1964 Herman Bondi ve své populární knize Relativita a
zdravý smysl [2]. Přitom využijeme časoprostorové grafy, jakési „grafické jízdní
řády .
A
B
O O′
z z′
y′y
x ≡ x′
S S’
v
Obr. 1
1Použijeme také stejné značky pro fyzikální veličiny, např. l0 a m0 pro klidovou délku a
hmotnost, l a m pro relativistickou délku a hmotnost.
2
Budeme vycházet z modelové situace znázorněné na obr. 1. Dva pozorovatelé
A, B jsou vybaveni přesnými hodinami a radiotechnickými přístroji pro
vzájemnou komunikaci. Pozorovatel A je v klidu v inerciální vztažné soustavě
S, ve které zvolíme kartézskou souřadnicovou soustavu Oxyz. Pozorovatel B se
pohybuje rovnoměrně po ose x soustavy S stálou rychlostí v. Vztažná soustava
S’ spojená s pozorovatelem B, ve které zavedeme podle obr. 1 souřadnicovou
soustavu O′
x′
y′
z′
, je ovšem rovněž inerciální. V okamžiku, kdy se pozorovatelé
míjejí, nastavíme na jejich hodinách stejný čas t = t′
= 0.
V klasické Newtonově mechanice se předpokládá, že pokud dojde k nějaké
události, bude ji v obou vztažných soustavách příslušet stejný čas t = t′
a polohové
vektory r, r′
určující místo události v obou vztažných soustavách budou
splňovat vztah r = r′
+ vt, který plyne z obr. 2. Pro přepočet údajů charakterizujících
událost ve vztažné soustavě S′
na údaje, které platí ve vztažné
soustavě S, tedy použijeme soustavu rovnic nazývanou Galileova transformace:
x = x′
+ vt′
, y = y′
, z = z′
, t = t′
. (1)
U
O O′
z′z
y y′
x≡x′
vt
r
r′
Obr. 2
Princip konstantní rychlosti světla je v rozporu s Galileovou transformací.
Jestliže vyšleme v čase t = t′
= 0 světelný signál, který se ve vztažné soustavě
S′
bude pohybovat ve směru kladné poloosy x′
rychlostí c, bude jeho pohyb
v obou vztažných soustavách popsán rovnicemi
x′
= ct′
, x = x′
+ vt = ct′
+ vt = ct + vt = (c + v)t . (2)
Ve vztažné soustavě S se tedy bude signál pohybovat rychlostí c + v. Abychom
překonali tento rozpor, musíme připustit, že Galileova transformace nepopisuje
při velkých rychlostech dostatečně přesně přechod z jedné inerciální vztažné
soustavy do druhé. Především však musíme opravit naše představy o prostoru
a čase, které jsme získali při každodenním pozorování pohybů, jejichž rychlost
je nepatrná ve srovnání s rychlostí světla.
3
1.2 Co je to koeficient k
Vraťme se k situaci na obr. 1. Omezíme
se na děje, které probíhají na ose x≡x′
a zobrazíme je v dvojrozměrném časoprostorovém
grafu (obr. 3) tak, jak se
jeví pozorovateli A ve vztažné soustavě
S. Každý bod U roviny je obrazem nějaké
události, která se stala v určitém
okamžiku někde na ose x. Na vodorovnou
osu budeme v určitém měřítku nanášet
polohovou souřadnici x události a
na svislou ve stejném měřítku čas události
vynásobený rychlostí světla ve vakuu,
tedy dráhu ct, kterou by urazil světelný
nebo rádiový signál (dále jen signál)
od okamžiku t = 0, kdy se oba
pozorovatelé míjeli. Tato událost U0 je
zobrazena v počátku grafu. Pro události
spojené s šířením signálů vyslaných pozorovatelem
A v čase t = 0 oběma
směry podél osy x platí
ϕ
45◦
U0
ct
x=vt
x=ct
x=−ct
A B
U
x
Obr. 3
x = ±ct . (3)
V grafu je tedy jejich pohyb zobrazen osami kvadrantů. Pohyb pozorovatele B
je zobrazen přímkou o rovnicix = vt kterou budeme nazývat světočára pozorovatele
B. Tato přímka svírá s časovou osou úhel ϕ, o kterém platí
tg ϕ =
x
ct
=
v
c
. (4)
Relativní klid pozorovatele A vzhledem k vztažné soustavě S je zobrazen přímkou
o rovnici x = 0. Světočára pozorovatele A splývá tedy se svislou osou
grafu.
Vyšleme signál od pozorovatele A k pozorovateli B a zpět (obr. 4). Koeficient,
kterým musíme vynásobit čas na hodinách u vysílače v okamžiku vyslání
signálu, abychom dostali čas na hodinách u přijímače v okamžiku příjmu signálu,
budeme nazývat koeficient k. Podle principu konstantní rychlosti světla
se signál šíří stejně z hlediska obou pozorovatelů a podle principu relativity
musí být koeficient k stejný v případě, kdy signál vyšle pozorovatel A, jako
když jej vyšle pozorovatel B. Jestliže pozorovatel vyšle signál v čase t = t1
(událost U1), doletí k pozorovateli B v čase t′
2 = kt1 (událost U2) a odpověď
4
se vrátí k pozorovateli A v čase t3 = kt′
2 = k2
t1 (událost U3) 2
). V grafu je
pohyb signálu zobrazen úsečkami rovnoběžnými s osami kvadrantů. Z obr. 4 je
zřejmé, že podle pozorovatele A nastala událost U2 v čase t2 = (t1 + t3)/2 ve
vzdálenosti x2, kterou signál urazil za dobu (t3 − t1)/2. Z toho
x2 = v
t1 + t3
2
= c
t3 − t1
2
. (5)
Dosazením za t3 a úpravou dostaneme
vt1
k2
+ 1
2
= ct1
k2
− 1
2
, k =
c + v
c − v
=
1 +
v
c
1 −
v
c
(6)
Závislost koeficientu k na relativní rychlosti v obou pozorovatelů znázorňuje
graf na obr. 5.
U0
U1
t=t1
U2
t′
2 =kt1
U3
t3 =k2
t1
t2 =
t1+t3
2
A
B
xx2 =vt2
ct
v
c
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
k
1
2
3
4
Obr. 4 Obr. 5
Známe-li hodnotu koeficientu k, můžeme vypočítat rychlost v užitím vztahu
v = c ·
k2
− 1
k2
+ 1
(7)
2Pro větší přehlednost jsou časové relace připsány k obrazům jednotlivých událostí. Na
svislou osu ovšem nevynášíme čas, ale veličinu ct.
5
1.3 Dilatace času
Vraťme se ještě jednou k ději znázorněnému na obr. 4. Podle pozorovatele A zachytil
pozorovatel B signál v čase t2 = (t1 + k2
t1)/2. Víme také, že v okamžiku
příjmu ukazovaly hodiny pozorovatele B čas t′
2 = kt1, a tento údaj může být
uveden v signálu, který se vrátil k pozorovateli A. Ten může porovnat oba
časové údaje:
t′
2
t2
=
2k
1 + k2 =
2
c + v
c − v
2c
c − v
= 1 −
v2
c2 < 1 , t′
2 = t2 1 −
v2
c2 < 1 (8)
Pozorovatel A dojde k závěru, že hodiny pozorovatele B jdou pomaleji.
Z grafu na obr. 6 je zřejmé, že tento výsledek bude tím markantnější, čím více
se bude rychlost pozorovatele B blížit k rychlosti světla ve vakuu.
v
c
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
1 −
v2
c2
t′
2
t2
,
l
l0
0.2
0.4
0,6
0,8
1
U0
t1 =40 min
t3 =90 min
t′
2 = 60 min
t′
4 = 135 min
t′
3 = 97,5 min
t2 =65 min
A B
x
ct
Obr. 6 Obr. 7
Pozorovatel B ovšem v souladu s principem relativity zjistí, že vzhledem
k jeho vztažné soustavě S’ jdou pomaleji hodiny pozorovatele A. Ukažme si to
na konkrétním příkladě (obr. 7). Nechť
k =
3
2
tj. v =
5
13
c = 1,16 · 108
m · s−1
.
Signál, který pozorovatel A vyšle v čase t1 = 40 min, dorazí k pozorovateli
B, když jeho hodiny ukazují t′
2 = 60 min. Zpětný signál, který nese informaci
6
o čase t′
2 dorazí k pozorovateli A v čase t3 = 90 min. Vyšleme-li v tomto
okamžiku k pozorovateli B další signál s informací o čase t3, dorazí k němu
v okamžiku, kdy jeho hodiny ukazují čas t′
4 = 135 min. Podle pozorovatele
A nastala druhá událost v čase
t2 = (40 min + 90 min)/2 = 65 min ,
ale podle pozorovatele B nastala třetí událost v čase
t′
3 = (60 min + 135 min)/2 = 97,5 min .
Oba pozorovatelé dojdou ke stejnému výsledku:
t3
t′
3
=
t′
2
t2
=
12
13
= 1 −
5
13
2
.
1.4 Dopplerův jev
Jestliže pozorovatel A vysílá pravidelné signály s periodou T0 (obr. 8), přijímá
je pozorovatel B, který se vzdaluje rychlostí v, s periodou
T = kT0 = T0
c + v
c − v
(9)
Frekvence vysílače f0 a frekvence přijímaného signálu f jsou ve vztahu
f =
f0
k
= f0
c − v
c + v
(10)
Ke stejnému výsledku dojdeme samozřejmě i v případě, že signály bude vysílat
pozorovatel B a přijímat pozorovatel A.
Úlohy
1. Jakou rychlostí by se od Země vzdalovala kosmická loď, jestliže signály
vysílané z lodi s frekvencí přesně 1 MHz by na Zem přicházely s frekvencí
950 kHz? Obíhání Země kolem Slunce zanedbejte.
2. Na obr. 9 je časoprostorový graf pro dobu před událostí U0, kdy se pozorovatel
B přibližuje k pozorovateli A rychlostí v. Jestliže pozorovatel A vysílá
signály s periodou T0, přijímá je pozorovatel B s periodou T = kT0. Dokažte,
že platí
k =
1
k
=
c − v
c + v
. (11)
7
U0
t=T0
t=2T0
t=3T0
t′
=kT0
t′
=2kT0
t′
=3kT0
A
B
x
ct
U0
t=−T0
t=−2T0
t=−3T0
t′
=−kT0
t′
=−2kT0
t′
=−3kT0
A
B
x
ct
Obr. 8 Obr. 9
1.5 Skládání rychlostí
Nechť současně s pozorovatelem B se pohybuje
po ose x ještě pozorovatel C stálou
rychlostí u vzhledem k soustavě S. V okamžiku
t = 0 také pozorovatel C minul
právě pozorovatele A a na jeho hodinách
byl nastaven čas t′′
= 0 (Obr. 10). Rychlost
pozorovatele C vzhledem ke vztažné
soustavě S’, kterou by naměřil pozorovatel
B, označíme u′
. Signál vyslaný pozorovatelem
A v čase t = t1 (událost U1) přijme
pozorovatel B v čase t′
2 = k(v) · t1 a pozorovatel
C v čase t′′
3 = k(u) · t1. Na druhou
část pohybu signálu se ovšem můžeme dívat
také tak, jako by jej vyslal pozorovatel
B v čase t′
2 a platí tedy t′′
3 = k(u′
) · t′
2.
Příslušné koeficienty jsou
U0
U1
U2
U3
A
B C
x
ct
Obr. 10
k(v) =
c + v
c − v
, k(u) =
c + u
c − u
, k(u′
) =
c + u′
c − u′ . (12)
8
Porovnáním uvedených vztahů a úpravami dostaneme:
k(u) · t1 = k(u′
) · t′
2 = k(u′
) · k(v) · t1 , k(u) = k(u′
) · k(v) , (13)
c + u
c − u
=
c + u′
c − u′ ·
c + v
c − v
, (14)
(c+u)(c−u′
)(c−v) = (c−u)(c+u′
)(c+v) , u(c2
+u′
v) = c2
(u′
+v) , (15)
u =
u′
+ v
1 +
u′
v
c2
(16)
Získali jsme relativistický vzorec pro skládání rychlostí rovnoběžných s osou x.
Úlohy
3. Ze vzorce (16) vyjádřete rychlost u′
. Nový vzorec porovnejte s výchozím.
4. Jestliže do pravé strany vzorce (16) dosadíme rychlosti, pro které platí
0 < v < c a 0 < u′
< c, pak také platí 0 < u < c. Složením dvou podsvětelných
rychlostí dostaneme opět podsvětelnou rychlost. Dokažte.
9
1.6 Kontrakce délky
Se vztažnou soustavou S’ nechť se pohybuje tyč
rovnoběžná s osou x, jejíž jeden konec je v místě
pozorovatele B a druhý má konstantní souřadnici
x′
= l0 rovnou klidové délce tyče. Pohyb
druhého konce tyče zobrazíme v grafu světočárou
B1 (obr. 11). Chce-li pozorovatel A změřit
délku tyče, musí v tomtéž okamžiku podle svých
hodin určit polohu obou konců. Za tím účelem vyšle
v čase t = t1 signál, který se odrazí na konci
tyče (událost U) a vrátí se v čase t = t2. K odrazu
tedy došlo v čase tU a ve vzdálenosti xU , kde
tU =
t1 + t2
2
, xU = c
t2 − t1
2
. (17)
V tomtéž okamžiku se pozorovatel B a s ním i
začátek tyče nacházel ve vzdálenosti
xV = v · tU = v
t1 + t2
2
(událost V ) . (18)
U0
V
U
t = t1
t = t2
t = tU
t′
= t′
U
t′
1 = kt1
t′
2 =
t2
k
A
B B1
x
ct
Obr. 11
Z hlediska pozorovatele A má tedy tyč délku
l = xU − xV = c
t2 − t1
2
− v
t2 + t1
2
= (c − v)
t2
2
− (c + v)
t1
2
=
c − v
2
(t2 − k2
t1).
(19)
Signál vyslaný pozorovatelem A minul pozorovatele B v čase t′
1 = kt1 a po
odrazu od konce tyče v čase t′
2 = t2/k. Z toho pozorovatel B určí klidovou
délku tyče
l0 = c
t′
2 − t′
1
2
=
c
2k
(t2 − k2
t1) . (20)
porovnáním obou výsledků dostaneme
l
l0
=
(c − v)k
c
= 1 −
v2
c2 < 1 , l = l0 1 −
v2
c2 (21)
Délka tyče l naměřená pozorovatelem A je tedy menší než její klidová délka l0.
U pohybujících se těles se zmenšují jen rozměry ve směru pohybu, zatímco
rozměry kolmé ke směru pohybu se zachovávají. K tomu dojdeme jednoduchou
úvahou: Připevněme k vozíku pozorovatele B svislou tyč délky l0 tak, že její
10
dolní konec se bude pohybovat po ose x, a stejnou svislou tyčí opatřeme i
stanoviště pozorovatele A. Kdyby se tyč pozorovatele B při pohybu zkrátila,
její konec by v čase t = 0 proběhl pod koncem tyče pozorovatele A. Podle
pozorovatele B ovšem jeho tyč stojí v klidu a tyč pozorovatele A se pohybuje
rychlostí o velikosti v ve směru záporné poloosy x′
. Podle principu relativity
by měl horní konec tyče pozorovatele A proběhnout pod horním koncem tyče
pozorovatele B, což nesouhlasí s předcházejícím předpokladem. Ke stejnému
rozporu dojdeme i když budeme předpokládat, že se svislá tyč při pohybu
prodlouží. Z toho je zřejmé, že délka pohybující se tyče kolmé ke směru pohybu
je stejná jako její délka klidová.
1.7 Relativistické efekty při malých rychlostech,
přibližné výpočty
Při řešení úloh ze speciální teorie relativity, ve kterých se jedná o pohyby s rychlostí
mnohem menší než rychlost světla ve vakuu, nebo s rychlostí, která se
k rychlosti světla ve vakuu přibližuje, je účelné používat přibližných vzorců.
Ty umožňují jednodušším výpočtem získat prakticky stejné výsledky jako při
použití vzorců původních. V tomto studijním textu použijeme přibližné vzorce
√
1 ± A ≈ 1 ±
A
2
,
1
1 ± A
≈ 1 ∓ A , (1 ± A)2
≈ 1 ± 2A , (22)
1 + A
1 + B
≈ 1 + A − B ,
1 + A
1 − A
≈ 1 + 2A (23)
platné pro |A| ≪ 1 a |B| ≪ 1. Tyto vzorce a jejich kombinace jsou vhodné
nejen pro numerické výpočty, ale i pro úpravy složitějších výrazů.
Vztah (21) pro výpočet kontrakce délky můžeme při malých rychlostech
upravit na tvar
l = l0 1 −
v2
c2 ≈ l0 1 −
v2
2c2 = l0 −
l0v2
2c2 . (24)
Délka ve směru pohybu se tedy zkrátí o
∆l ≈ l0 − l =
l0v2
2c2 . (25)
Podobně zjednodušíme výpočet dilatace času podle (8):
t′
2 = t2 1 −
v2
c2 ≈ t2 1 −
v2
2c2 = t2 −
t2v2
2c2 . (26)
11
Hodiny pozorovatele B budou tedy podle pozorovatele A ukazovat méně o
∆t = t2 − t′
2 ≈
t2v2
2c2 . (27)
Výpočet koeficientu k podle (6) při malých rychlostech zjednodušíme na
k =
1 +
v
c
1 −
v
c
≈ 1 + 2
v
c
≈ 1 +
v
c
. (28)
Jestliže pozorovatel A vysílá periodický signál s periodou T0 a vlnovou délkou
λ0 = cT0, bude jej pozorovatel B, který se vzdaluje od pozorovatele A rychlostí
v ≪ c, přijímat s periodou a vlnovou délkou
T ≈ T0 1 +
v
c
, λ = cT ≈ cT0 1 +
v
c
= λ0 1 +
v
c
. (29)
Vlnová délka se zvětší o
∆λ =
v
c
λ0 . (30)
Při skládání malých rychlostí upravíme vztah (16) na
u =
u′
+ v
1 +
u′
v
c2
≈ (u′
+ v) 1 −
u′
v
c2 = u′
+ v −
(u′
+ v)u′
v
c2 . (31)
Úlohy
5. O kolik se zpozdí za jeden rok hodiny umístěně v kosmické stanici obíhající
kolem Země konstantní rychlostí 7,9 km/s?
6. O kolik se zkrátí pro pozorovatele na letišti délka nadzvukového letadla o
klidové délce 10 m při rychlosti 2 000 km/h?
7. Jakou rychlostí se od nás vzdaluje galaxie, jestliže v jejím optickém spektru
je červená čára vodíku posunuta z λ0 = 656,3 nm na λ = 678,1 nm?
12
1.8 Lorentzova transformace
Každá událost, která proběhla na ose x, je ve vztažné soustavě S pozorovatele
A určena polohovou souřadnicí x a časem t. Jak se stejná událost jeví ve vztažné
soustavě S’ pozorovatele B? Dejme tomu, že uvažovanou událostí U bude odraz
signálu vyslaného pozorovatelem A v čase t = t1, který se vrátil v čase t = t2
(obr. 11). Tento signál minul pozorovatele B v čase t′
1 = kt1 a při návratu
v čase t′
2 = t2/k. Z hlediska pozorovatele A platí
x = c
t2 − t1
2
, t =
t2 + t1
2
. Z toho t2 =
ct + x
c
, t1 =
ct − x
c
. (32)
Z hlediska pozorovatele B platí analogicky
x′
= c
t′
2 − t′
1
2
, t′
=
t′
2 + t′
1
2
. (33)
Dosazením a úpravami dostaneme rovnice pro transformaci souřadnic ze vztažné
soustavy S do vztažné soustavy S’:
x′
= c
t2
k
− kt1
2
=
ct + x
k
− k(ct − x)
2
=
x(1 + k2
) + ct(1 − k2
)
2k
=
=
2cx − 2vct
c − v
2
c + v
c − v
=
c(x − vt)
√
c2 − v2
=
x − vt
1 −
v2
c2
, (34)
t′
=
t2
k
+ kt1
2
=
ct + x
2ck
+
k(ct − x)
2c
=
ct + x + k2
ct − k2
x
2ck
=
=
ct(1 + k2
) − x(k2
− 1)
2ck
=
2c2
t − 2xv
c − v
2c
c + v
c − v
=
c2
t − xv
c
√
c2 − v2
=
t −
xv
c2
1 −
v2
c2
. (35)
Zbývající dvě prostorové souřadnice y a z se při přechodu ze vztažné soustavy
S do vztažné soustavy S’ nemění, jako se nemění délky tyčí kolmých ke směru
pohybu. Kompletní Lorentzova transformace je tedy vyjádřena soustavou rov-
nic:
x′
=
x − vt
1 −
v2
c2
, y′
= y , z′
= z , t′
=
t −
xv
c2
1 −
v2
c2
(36)
13
Úloha
8. Řešením soustavy rovnic (36) jako soustavy s neznámými x, y, z a t nalezněte
inverzní Lorentzovu transformaci pro přechod ze vztažné S’ do
vztažné soustavy S. Obě transformace porovnejte. Jak by vypadal obr. 1,
kdybychom ho nakreslili z hlediska pozorovatele B?
1.9 Relativnost současnosti
Pro pozorovatele A nastaly současně
s událostí U0, kdy jej právě míjel pozorovatel
B, všechny události, které jsou
zobrazeny jako body vodorovné osy x
časoprostorového grafu určené rovnicí
t = 0 (obr. 12). Podobně pro pozorovatele
B nastaly současně s událostí U0
všechny události, pro které platí t′
= 0.
V grafu vyplní přímku x′
, jejíž rovnice
plyne z (35):
t −
xv
c2 = 0 . ct =
xv
c
. (37)
Pro všechny body přímky x′
platí
x
ct
=
v
c
= tg ϕ . (38)
U0
ϕ
ϕ
A
x = 0
x′
= 0
x = vt
t = vx/c2
t′
= 0
B
x
x′
ct
Obr. 12
Její odchylka od vodorovné osy x je tedy stejná jako odchylka světočáry pozorovatele
B od svislé osy ct. Kdyby pozorovatel B konstruoval časoprostorový
graf, pak události, které jsme dosud zobrazovali na jeho světočáře, by zobrazoval
na svislé ose, a události, které se zobrazily na přímce x′
, by zobrazoval na
vodorovné ose.
Mějme nyní nějakou událost U různou od události U0, pro kterou platí
|x| > |ct|. Existuje pozorovatel, kterému se událost U jeví jako současná s událostí
U0? Sestrojme kružnici nad průměrem U0U (obr. 13). Obrazy signálů,
které se odrazily proti sobě při událostech U0 a U, ji protnou v bodech P, Q.
Pozorovateli D, jehož světočárou je přímka PQ, se budou události U, U0 jevit
jako současné, neboť jím vyslané signály při události P se vrátily za stejnou
14
dobu při události Q. Podle něj došlo k událostem U0 a U současně s událostí
S zobrazenou středem úsečky PQ, která nastala uprostřed časového intervalu
mezi událostmi P a Q.
Ke stejnému závěru dojde i každý jiný pozorovatel E, jehož světočára je rovnoběžná
se světočárou pozorovatele D. Z podobnosti trojúhelníků na obr. 13
plynou rovnosti P1S1 = S1Q1, P2S1 = S1Q2. Podle pozorovatele E tedy události
U0, U a S1 nastaly současně.
Jestliže pro souřadnice události platí |x| < |ct|, nedá se předcházející konstrukce
provést, protože signály odražené opačným směrem při událostech U0
a U se minou (obr. 14). Každá událost U1 zobrazená v dolním kvadrantu časoprostorového
grafu se podle pozorovatele v kterékoliv inerciální vztažné soustavě
uskutečnila dříve než událost U0. Všechny události zobrazené v této oblasti
jsou absolutně minulé vzhledem k události U0. Mezi ně patří i všechny
události, které byly příčinou události U0.
Q
P
S1
U0
U
S
A DE
Q1
Q2
P1
P2
x
ct
absolutní budoucnost
absolutní minulost
x
ct
A
U1
U2
U0
Obr. 13 Obr. 14
Naopak každá událost U2 zobrazená v horním kvadrantu grafu se podle
pozorovatele v kterékoliv inerciální vztažné soustavě uskutečnila později než
událost U0. Všechny události zobrazené v této oblasti jsou absolutně budoucí
vzhledem k události U0. Mezi ně patří i všechny události, které budou následkem
události U0.
15
Události, jejichž obrazy leží v pravém a levém kvadrantu grafu označujeme
jako relativně současné, nebo také absolutně vzdálené. Žádná z nich nemůže být
příčinou ani následkem události U0 a každá může podle pozorovatele v některé
inerciální vztažné soustavě proběhnout současně s událostí U0.
Rozšíříme-li naše úvahy na děje, které probíhají v rovině určené osami x
a y vztažné soustavy, můžeme je zobrazit v trojrozměrném časoprostorovém
grafu (obr. 15). Pohyb světelných a rádiových signálů, které v čase t = 0 prolétly
všemi směry počátkem vztažné soustavy, je zobrazen kuželovou plochou
popsanou rovnicí
x2
+ y2
= (ct)2
, (39)
kterou nazýváme světelný kužel. Uvnitř dolní části světelného kužele, kde platí
x2
+ y2
< (ct)2
, t < 0 , (40)
jsou zobrazeny všechny události absolutně minulé k události U0, uvnitř horní
části, kde platí
x2
+ y2
< (ct)2
, t > 0 , (41)
jsou zobrazeny všechny události absolutně budoucí k události U0. Vně světelného
kužele, kde platí
x2
+ y2
> (ct)2
, (42)
jsou zobrazeny všechny událostí relativně současné k události U0.
U0
absolutní budoucnost
absolutní minulost
y
ct
x
A
U0
U1
U2
P
Q2
Q1
A
R
F
x
ct
Obr. 15 Obr. 16
16
Analogicky i ve čtyřrozměrném časoprostoru o souřadnicích x, y, z a ct
zavádíme světelný kužel jako nadplochu popsanou rovnicí
x2
+ y2
+ z2
= (ct)2
. (43)
Nadplochu však není možné názorně zobrazit v trojrozměrném eukleidovském
prostoru.
Úlohy
9. Pozorovatel A stál vedle trati a sledoval okolo projíždějící vlak, v jehož
středu seděl pozorovatel B. Do začátku a konce vlaku udeřily blesky a světlo
od obou dorazilo k oběma pozorovatelům současně v okamžiku, kdy pozorovatel
B míjel pozorovatele A. Podle kterého z pozorovatelů proběhly zásahy
začátku a konce vlaku bleskem současně? Podle kterého nikoliv a jaké bylo
podle něj jejich pořadí?
10. Užitím Lorentzovy transformace dokažte, že při přechodu z inerciální vztažné
soustavy S do inerciální vztažné soustavy S’ platí
x2
+ y2
+ z2
− c2
t2
= x′2
+ y′2
+ z′2
− c2
t′2
.
To znamená, že hodnota výrazu x2
+ y2
+ z2
− c2
t2
příslušející nějaké události
se při přechodu ze vztažné soustavy S do vztažné soustavy S’ nemění.
Takový výraz nazýváme invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci.
1.10 Nepřekročitelnost rychlosti světla ve vakuu
Předpokládejme, že nějaký objekt R se pohybuje vzhledem k pozorovateli A ve
směru kladné poloosy x rychlostí větší, než je rychlost světla ve vakuu. Jeho
světočára v časoprostorovém grafu svírá s vodorovnou osou úhel menší než
45◦
a můžeme na ni vyznačit dvě události U1, U2, přičemž událost U1 nastala
podle pozorovatele A dříve než událost U2 (obr. 16). Pozorovatel A může tedy
předpokládat, že událost U1 je příčinou události U2.
Signály, které se odrazily proti sobě při událostech U1 a U2 byly současně
vyslány pozorovatelem F (událost P). Jestliže se pozorovatel F pohybuje rovnoměrně
vzhledem k pozorovateli A týmž směrem jako objekt R dostatečně
velkou rychlostí (ale menší než rychlost světla), dojde k tomu, že signál odražený
při události U2 přijme dříve než signál odražený při události U1 (události
Q1, Q2). Zjistí tedy, že událost U2 se uskutečnila dříve než událost U1 a nemůže
proto být jejím důsledkem. Dospěli jsme k závěru, který je v rozporu s příčinnou
souvislostí obou událostí. Předpoklad o nadsvětelné rychlosti objektu R
byl tedy nereálný. Žádný materiální objekt se podle speciální teorie relativity
nemůže pohybovat rychleji než elektromagnetický signál ve vakuu.
17
2 Hybnost a energie
2.1 Relativistická hmotnost
Mezi základní zákony newtonovské mechaniky patří zákon zachování hmotnosti
a zákon zachování hybnosti. Podle nich je v kterékoliv inerciální vztažné soustavě
konstantní celková hmotnost a také celková hybnost každého izolovaného
souboru pouze vzájemně působících těles. Předpokládáme-li, že tyto zákony
platí i v relativistické mechanice, dojdeme k závěru, že hmotnosti jednotlivé
částice není konstantní, ale závisí na její rychlosti.
K odvození této závislosti použijeme myšlenkový pokus, při kterém dvě
stejné částice uvedeme do pohybu proti sobě a způsobíme tím jejich dokonale
nepružný centrální ráz. Situaci před rázem a po rázu popíšeme nejprve
vzhledem k inerciální vztažné soustavě S’ s počátkem ve hmotném středu této
dvojice částic (obr. 17a), pak vzhledem k inerciální vztažné soustavě S, jejíž
počátek se před rázem pohybuje s jednou z částic (obr. 17b).
O
O
O
O
O′
O′
O′
O′
O≡O′
O≡O′
y
y
y
y
y′
y′
y′
y′
x≡x′
x≡x′
x≡x′
x≡x′
x≡x′
x≡x′
v v
v
v
−v u
Obr. 17a Obr. 17b
Ve vztažné soustavě S’ se obě částice před rázem pohybují stejně velkými
rychlostmi v a −v a mají stejně velké hybnosti opačného směru. Celková hybnost
dvojice částic je nulová a podle zákona zachování hybnosti se částice při
rázu zastaví, spojí se v jedinou částici a ta zůstane v klidu.
Popis děje vzhledem ke vztažné soustavě S je poněkud složitější. Jedna
částice je před rázem v počátku vztažné soustavy S v klidu. Vztažná soustava
S’ se vzhledem ke vztažné soustavě S pohybuje stálou rychlostí o velikosti v.
18
Velikost u rychlosti druhé částice vzhledem ke vztažné soustavě S určíme podle
relativistického vztahu (16) pro skládání rychlostí, kde položíme u′
= v:
u =
2v
1 +
v2
c2
. (44)
Po rázu se spojené částice nacházejí v počátku vztažné soustavy S’ a pohybují
se tedy vzhledem ke vztažné soustavě S rychlostí v.
Podle klasické mechaniky by se hmotnost m částice neměla změnit při jejím
uvedením do pohybu ani při nepružné srážce s druhou částicí. V takovém
případě by celková hybnost dvojice částic před rázem měla v soustavě S velikost
m · u + m · 0 =
2mv
1 +
v2
c2
, (45)
ale po rázu 2mv, což by bylo v rozporu se zákonem zachování hybnosti.
Předpokládejme tedy, že hmotnost částice není konstantní, ale závisí na
její rychlosti. Označme m0 hmotnost částice v klidu, mv a mu hmotnosti téže
částice při rychlostech v a u. Podle zákona zachování hmotnosti je celková
hmotnost dvojice částic před rázem stejná jako po rázu, tedy m0 + mu. Podle
zákona zachování hybnosti pak platí
mu · u = (mu + m0)v . (46)
Z toho určíme poměr obou hmotností:
mu
m0
=
v
u − v
=
v
2v
1 +
v2
c2
− v
=
c2
+ v2
c2
− v2 (47)
Platí také
1 −
u2
c2 = 1 −



2v
1 +
v2
c2



2
c2 = 1 −
4v2
c2
(c2
+ v2
)2 =
(c2
− v2
)2
(c2
+ v2
)2 , (48)
c2
+ v2
c2
− v2 =
1
1 −
u2
c2
. (49)
19
Porovnáním vztahů (47) a (49) dostaneme hledanou závislost relativistické
hmotnosti částice na její rychlosti, jejíž graf je na obr. 18:
mu
m0
=
1
1 −
u2
c2
, mu =
m0
1 −
u2
c2
(50)
u
c
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
1
1 −
u2
c2
mu
m0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Obr. 18
Z průběhu grafu je zřejmé, že rychlost částice s nenulovou klidovou hmotností
m0 nemůže nikdy dosáhnout rychlosti světla ve vakuu, protože relativistická
hmotnost částice by přitom neomezeně vzrostla.
Známe-li klidovou hmotnost částice m0 a hmotnost za pohybu mu, můžeme
určit rychlost u částice:
m2
u 1 −
u2
c2 = m2
0 , u2
= c2
1 −
m2
0
m2
u
, u = c 1 −
m2
0
m2
u
(51)
2.2 Neměnnost náboje
Na rozdíl od hmotnosti částice, její elektrický náboj na rychlosti nezávisí a při
přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé se nemění. Svědčí o tom
20
např. experimentální fakt, že atomy a molekuly látek jsou elektricky neutrální,
ačkoliv rychlosti elektronů v atomových obalech různých atomů jsou různé a
značně se liší od rychlostí protonů v atomových jádrech.
V homogenním elektrickém poli o intenzitě E působí na částici s nábojem
Q stálá síla F = QE nezávislá na rychlosti částice.
2.3 Pohyb částice s nulovou počáteční rychlostí, na kterou
působí stálá síla
Částici o klidové hmotnosti m0, která byla v klidu, uvedeme působením stálé
síly F do pohybu rychlostí v. V klasické fyzice se předpokládá, že hmotnost
částice se nemění a 2. pohybový zákon platí ve tvaru
F =
dp
dt
=
d(m0v)
dt
= m0
dv
dt
= m0a . (52)
Pohyb je tedy rovnoměrně zrychlený a řídí se kinematickými zákony
v = at , s =
1
2
at2
, a =
F
m0
, (53)
kde a je velikost konstantního zrychlení. To platí velmi přesně, dokud dosažená
rychlost je mnohem menší než rychlost světla ve vakuu.
Má-li popis pohybu vyhovovat i při velkých rychlostech, musíme v 2. pohybovém
zákoně přihlédnout i ke změně hmotnosti a použít jej ve tvaru
F =
dp
dt
=
d(mv)
dt
=
dm
dt
v + m
dv
dt
=
dm
dt
v + ma . (54)
S rostoucí hmotností částice se zrychlení částice vyvolané působením stálé síly
postupně zmenšuje, rychlost roste čím dál pomaleji a nepřekročí rychlost světla
ve vakuu. Kinematické zákony (53) musíme opravit.
Uvedeme-li hmotný bod z klidu do pohybu, je jeho hybnost rovna impulsu
síly. Je-li síla konstantní, platí
p = mvv = Ft , p = mvv =
m0v
1 −
v2
c2
= Ft . (55)
Úpravou dostaneme vztah pro výpočet rychlosti:
m2
0v2
= F2
t2
1 −
v2
c2 , v2
=
F2
t2
m2
0 +
F2
t2
c2
, v =
Ftc
m2
0c2 + F2t2
(56)
21
Vztah pro výpočet dráhy dostaneme integrací:
s =
t
0
Ftc
m2
0c2 + F2t2
dt . (57)
Použijeme substituci z = m2
0c2
+ F2
t2
, dz = 2F2
t dt .
Ftc
m2
0c2 + F2t2
dt =
c
2F
dz
z
1
2
=
c
2F
· 2z
1
2 + C =
c
F
m2
0c2 + F2t2 + C ,
(58)
s =
c
F
m2
0c2 + F2t2
t
0
=
c
F
m2
0c2 + F2t2 −
c
F
m0c , (59)
s =
m0c2
F
1 +
F2
t2
m2
0c2 − 1 (60)
Na začátku pohybu, kdy Ft ≪ m0c, můžeme vztahy (56) a (60) zjednodušit:
v ≈
Ftc
m2
0c2
=
F
m0
t = at , (61)
s ≈
m0c2
F
1 +
F2
t2
2m2
0c2 − 1 =
Ft2
2m0
=
1
2
at2
. (62)
Dostali jsme stejné vztahy jako v klasické fyzice.
Jestliže naopak pohyb probíhá tak dlouho, že Ft ≫ m0c, můžeme vztahy
(56) a (60) upravit na:
v ≈
Ftc
√
F2t2
= c , s ≈
m0c2
F
F2
t2
m2
0c2 − 1 = ct −
m0c2
F
. (63)
Rychlost částice se přiblíží k rychlosti světla ve vakuu a téměř se nemění; pohyb
je téměř rovnoměrný.
Pro ilustraci sestrojíme grafy rychlosti a dráhy elektronu s nulovou počáteční
rychlostí, který ve vakuu v homogenním elektrickém poli o intenzitě
|E| = 1,00 · 106
V · m−1
proletěl dráhu L = 2,00 m. (Viz obr. 19; čárkovaně je
zakresleno klasické řešení.) Do vztahů (56) a (60) dosadíme hodnoty veličin:
c = 3,00 · 108
m·s−1
, m0 = 9,11 · 10−31
kg , F = |E|e = 1, 60 · 10−13
N
22
a dostaneme vztahy pro výpočet číselných hodnot {v} , {s}:
{v} =
4,80 · 10−5
· {t}
7,47 · 10−44 + 2, 56 · 10−26{t}2
, (64)
{s} = 0,513 1 + 3,43 · 1017{t}2 − 1 . (65)
t
ns
t
ns
0 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
v
108
m · s−1
s
m
1
2
3
0
1
2
−
m0c2
F
1
2
F
m0
t2
Ft
m0
Obr. 19
23
Určíme ještě, za jakou dobu t1 proletí elektron dráhu L. Ze vztahu (60)
vyjádříme
t =
s
c
1 +
2m0c2
Fs
. (66)
Po dosazení s = L = 2,00 m dostaneme t1 = 8,2 · 10−9
s.
Úloha
11. Dokažte, že relativistický graf dráhy na obr. 19 je úsekem hyperboly.
2.4 Energie
Kinetická energie pohybující se částice je rovna mechanické práci, kterou musíme
vykonat, abychom částici uvedli z klidu do pohybu danou rychlostí. Pokud
práci koná síla stálého směru a velikosti, platí
Ek = W = Fs . (67)
Jestliže rychlost v, kterou částice dosáhne, je mnohem menší než rychlost světla
ve vakuu, můžeme hmotnost částice považovat za konstantní (m = m0) a pohyb
za rovnoměrně zrychlený se zrychlením o velikosti a = F/m0. Pak
W = Fs = m0a ·
1
2
at2
=
1
2
m0(at)2
=
1
2
m0v2
. (68)
Při malých rychlostech můžeme tedy kinetickou energii částice dostatečně přesně
vypočítat podle klasického vzorce
Ek =
1
2
m0v2
. (69)
Stejným způsobem můžeme určit i kinetickou energii částice pohybující se velkou
rychlostí. Musíme však při výpočtu dráhy použít vztahy (60), (55) a (50):
W = Fs = m0c2
1 +
F2
t2
m2
0c2 − 1 = m0c2
1 +
m2
v2
m2
0c2 − 1 =
= m0c2



 1 +
1
1 −
v2
c2
·
v2
c2 − 1



 = m0c2




1
1 −
v2
c2
− 1



 = (m − m0)c2
,
(70)
24
kde m = mv je hmotnost částice za pohybu a m0 její hmotnost klidová. Kinetická
energie částice je rovna součinu přírůstku hmotnosti částice způsobené
jejím uvedením do pohybu a druhé mocniny rychlosti světla ve vakuu:
Ek = (m − m0)c2
(71)
Relativistický vzorec pro výpočet kinetické energie není v rozporu s klasickým
vzorcem (69). Při malých rychlostech můžeme psát
(m − m0)c2
= m0c2




1
1 −
v2
c2
− 1



 ≈ m0c2
1 +
v2
2c2 − 1 =
1
2
m0v2
. (72)
Klasický vzorec pro výpočet kinetické energie částice je tedy jen přibližným
vyjádřením vzorce relativistického pro v ≪ c.
Vraťme se ještě jednou k myšlenkovému pokusu na obr. 17a. Soustava dvou
částic o celkové klidové hmotnosti 2m0 získala v soustavě S’ uvedením do pohybu
vnějšími silami celkovou kinetickou energii Ek = 2(mv − m0)c2
a její
celková hmotnost se zvětšila na
M = 2mv = 2m0 +
Ek
c2 . (73)
Během rázu už na částice žádné vnější síly nepůsobí. Částice se zastaví jen
vzájemným působením, ztratí přitom kinetickou energii, ale o stejnou hodnotu
∆U = Ek se zvětší vnitřní energie soustavy. Podle zákona zachování hmotnosti
má nová částice vzniklá spojením původních částic i po rázu hmotnost
M = 2m0 +
∆U
c2 , (74)
což je ovšem její hmotnost klidová. Vidíme, že zvýšením vnitřní energie se
celková hmotnost soustavy částic změní stejně jako získáním energie kinetické.
To nás vede k závěru, že klidová hmotnost částice je mírou její klidové vnitřní
energie
E0 = m0c2
(75)
a že celková energie částice pohybující se rychlostí v je
E = E0 + Ek = m0c2
+ (m − m0)c2
= mc2
=
m0c2
1 −
v2
c2
. (76)
25
Pro izolovaný soubor částic pak ze zákona zachování hmotnosti přímo plyne
zákon zachování energie:
m = konst. ⇐⇒ E = c2
m = konst. (77)
Teorie relativity tedy chápe zákon zachování hmotnosti a zákon zachování energie
jako různé formy téhož fyzikálního zákona.
Vztah E = mc2
je potvrzen energetickou bilancí jaderných reakcí a reakcí
elementárních částic. Například při termonukleární reakci
2
1H +6
3 Li →4
2 He +4
2 He
se součet klidových hmotností zmenší o
∆m0 = 0,0239 mu = 3,98 · 10−29
kg
a součet kinetických energií se zvětší o ekvivalentní hodnotu
∆Ek = ∆mc2
= 3,58 · 10−12
J = 22,4 MeV .
Při tzv. anihilaci elektronu s pozitronem obě částice zanikají a nejčastěji
vznikají dva fotony γ, přičemž kinetická energie každého je rovna klidové energii
elektronu
mec2
= 9,11 · 10−31
kg · (3,00 · 108
m · s−1
)2
= 8,20 · 10−14
J = 0,51 MeV .
Úlohy
12. Atom nuklidu uhlíku 12
6 C, který má relativní atomovou hmotnost Ar =
= 12 (přesně), se skládá z šesti protonů, šesti neutronů a šesti elektronů
o relativních atomových hmotnostech
Ar(p) = 1,007 276 5 , Ar(n) = 1,008 664 9 , Ar(e) = 0,000 548 6 .
Určete vazební energii jeho jádra Ej, tj. práci, kterou bychom museli vykonat,
abychom jádro rozdělili na vzájemně na sebe nepůsobící protony a
neutrony. Energii elektronového obalu atomu zanedbejte.
13. Vypočítejte úbytek celkové klidové hmotnosti jaderného paliva a produktů
jeho štěpení za jeden rok v jaderné elektrárně o výkonu 1 000 MW a účinnosti
30 %.
26
2.5 Mezní rychlost
Bertocci r. 1964 experimentálně ověřoval, že rychlost elektronů urychlených
elektrickým polem nemůže překročit rychlost světla ve vakuu. Použil k tomu
dlouhou katodovou trubici, jejíž zjednodušené schéma je na obr. 20. Na anodu
a katodu trubice bylo připojeno velmi vysoké napětí z Van de Graaffova generátoru.
Řídicí elektrodou G byly z katody uvolňovány v krátkých pulsech
elektrony, které po urychlení elektrickým polem mezi katodou a anodou vystupovaly
do oblasti bez elektrického pole, prolétaly elektrodou D1 a dopadaly na
sběrnou elektrodu D2. Z doby letu mezi elektrodami D1 a D2 měřené osciloskopem
a ze vzdálenosti elektrod byla vypočítána rychlost elektronů při různých
hodnotách anodového napětí. S rostoucím napětím se doba průletu zmenšovala
čím dál pomaleji a blížila se k hodnotě rovné podílu vzdálenosti elektrod
a rychlosti světla ve vakuu.
U
+−
K G A
8,4 m
D1 D2
Obr. 20
Částice o klidové hmotnosti m0 a náboji Q uvedená do pohybu působením
elektrického pole o napětí U získá kinetickou energii rovnou práci vykonané
elektrickou silou Wel = UQ a její hmotnost se zvětší na
m = m0 +
Ek
c2 = m0 +
UQ
c2 . (78)
Podle (51)
v2
c2 = 1 −
m2
0
m2 = 1 −
m2
0
m0 +
UQ
c2
2 = 1 −
1
1 +
UQ
m0c2
2 . (79)
Pro UQ ≫ m0c2
je hodnota druhého zlomku zanedbatelná a poměr v/c se blíží
k jedné.
27
Je-li urychlovací napětí malé, dostaneme
dostatečně přesný výsledek
užitím klasického vzorce pro
kinetickou energii:
1
2
m0v2
= UQ , (80)
v2
c2 =
2UQ
m0c2 . (81)
Pro elektron dosazením hodnot
m0 = 9,11 · 10−31
kg,
Q = e = 1,60 · 10−19
C
dojdeme ke grafům na obr. 21.
U
MV
0 1 2 3 4
v2
c2
2Ue
m0c2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Obr. 21
Úloha
14. Odvoďte vztah (81) ze vztahu (79) užitím přibližných vzorců (22).
2.6 Vztah mezi celkovou energií, klidovou energií
a hybností částice
Upravme vztah (50) mezi relativistickou hmotností m, klidovou hmotností m0
a okamžitou rychlostí v pohybující se částice:
m2
1 −
v2
c2 = m2
0 , m2
c2
− m2
v2
= m2
0c2
.
Vynásobíme-li ještě obě strany rovnice c2
, dostanou všechny její členy jednoduchý
fyzikální význam:
m2
c4
− m2
v2
c2
= m2
0c4
, E2
− p2
c2
= E2
0 . (82)
Vztah mezi celkovou energií, klidovou energií a hybností částice, který jsme
odvodili, se dá využít při řešení nejrůznějších úloh. Jako příklad odvodíme
zákon dráhy částice uvedené do pohybu působením stálé síly. Do vztahu (82)
dosadíme za celkovou energii součet klidové energie a spotřebované práce, za
hybnost impuls síly:
(E0 + Fs)2
− F2
t2
c2
= E2
0 , Fs = E2
0 + F2t2c2 − E0 . (83)
28
Z toho přímo dostaneme vztah (60)
s =
E0
F
1 +
F2
t2
c2
E2
0
− 1 =
m0c2
F
1 +
F2
t2
m2
0c2 − 1 . (84)
Důležité je, že pravá strana ve vztahu (82) je pro danou částici konstantní.
Totéž musí platit i o výrazu E2
−p2
c2
na levé straně, který tedy nezávisí na okamžité
rychlosti částice a tedy ani na volbě inerciální vztažné soustavy, ve které
částici pozorujeme. Je tedy invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci.
Vztah (82) platí i pro fotony – kvanta elektromagnetického záření, která
mají nulovou klidovou hmotnost a pohybují se rychlostí c. Energie fotonu záření
o frekvenci f je
E = hf =
hc
λ
, (85)
kde h
.
= 6,63 · 10−34
J · s je Planckova konstanta a λ vlnová délka záření ve
vakuu. Z obecného vztahu (50) mezi hmotností a energií a ze vztahu (82) plyne
pro relativistickou hmotnost a hybnost fotonu
m =
E
c2 =
hf
c2 =
h
λc
, p = mc =
E
c
=
hf
c
=
h
λ
. (86)
Úloha
15. Mezon p o klidové hmotnosti mp0 = 273,1me se rozpadl na lepton m o klidové
hmotnosti mm0 = 206,8me a mionové neutrino n, jehož klidová hmotnost
je zanedbatelná ve srovnání s klidovou hmotností elektronu, prakticky tedy
nulová. Za předpokladu, že mezon p byl před rozpadem v klidu, určete
kinetickou energii a hybnost leptonu a neutrina.
2.7 Druhý pohybový zákon při velkých rychlostech
Podle druhého pohybového zákona, zákona síly, je výslednice sil působících na
hmotný bod v inerciální vztažné soustavě rovna derivaci jeho hybnosti podle
času:
F =
dp
dt
=
d(mv)
dt
=
dm
dt
v + m
dv
dt
=
dm
dt
v + ma . (87)
29
V klasické mechanice, při rychlostech malých ve srovnání s rychlostí světla ve
vakuu, můžeme hmotnost považovat za konstantní. Zákon síly vyjádříme proto
s dostatečnou přesností ve tvaru:
dm
dt
≈ 0 , F = ma , a =
F
m
. (88)
Při velkých rychlostech musíme přihlížet k relativistickému vztahu mezi hmotností
a rychlostí hmotného bodu:
m =
m0
1 −
v2
c2
, v = c 1 −
m2
0
m2 . (89)
Hmotnost m hmotného bodu je přímo úměrná jeho celkové energii E, která se
ovšem při pohybu mění. Změna energie je rovna práci vykonané výslednicí F
sil, které na hmotný bod působí. Platí:
dm =
dE
c2 =
F · dr
c2 =
F · vdt
c2 ,
dm
dt
=
F · v
c2 . (90)
Po dosazení do (87) dostáváme zákon síly ve tvaru:
F =
v · F
c2 v + ma , a =
F
m
−
v · F
mc2 v , (91)
ze kterého budeme vycházet v následující diskusi. Nejprve probereme speciální
případy.
1. Síla působí ve směru pohybu
Jsou-li vektory F a v souhlasně rovnoběžné, platí
v · F = vF , a =
F
m
−
vF
mc2 v . (92)
Vektor a má stejný směr jako okamžitá rychlost v a pro jeho velikost platí
a =
F
m
1 −
v2
c2 =
F
m0
1 −
v2
c2
3
2
. (93)
30
2. Síla působí kolmo ke směru pohybu
Je-li vektor síly kolmý k vektoru okamžité rychlosti, platí v · F = 0 a vztah
(91) se zjednoduší na
F = ma =
m0a
1 −
v2
c2
, a =
F
m
=
F 1 −
v2
c2
m0
. (94)
Například v kruhových urychlovačích nabitých elementárních částic uděluje
magnetická dostředivá síla Fm částici o klidové hmotnosti m0 nesoucí náboj Q
dostředivé zrychlení ad, které ji udržuje na kruhové trajektorii o poloměru R.
Přitom platí
Fm = BQv = mad =
mv2
R
=
m0v2
R 1 −
v2
c2
, mv = BQR . (95)
V obřích kruhových urychlovačích, kde se rychlosti částic přibližují k rychlosti
světla ve vakuu, můžeme psát mc ≈ BQR a pro maximální dosažitelnou energii
částice dostáváme
Emax = mc2
≈ BmaxQRc , (96)
kde Bmax je velikost maximální magnetické indukce dosažitelné v prostoru
urychlovací trubice.
Působí-li síla ve směru okamžité rychlosti nebo ve směru kolmém ke směru
okamžité rychlosti, má zrychlení hmotného bodu směr působící síly. To nás
nepřekvapuje, neboť v klasické fyzice, kdy pracujeme se vztahem (88), je rovnoběžnost
obou vektorů samozřejmá. Při velkých rychlostech, působí-li síla
šikmo ke směru pohybu, jsou však směry síly a zrychlení různé. K tomuto
závěru dojdeme úpravou vztahu (91). Použijeme vektorovou rovnost
(a · c)b = (a · b)c − a × (b × c) , (97)
o jejíž platnosti se můžeme přesvědčit rozepsáním obou stran rovnosti na souřadnice.
Podle něj
(v · F)v = v2
F − v × (F × v) (98)
a po dosazení do (91)
F = F
v2
c2 −
1
c2 v × (F × v) + ma , (99)
31
a =
F
m
1 −
v2
c2
a′
+
1
mc2 v × (F × v)
a′′
. (100)
Zrychlení lze tedy vyjádřit jako vektorový součet dvou složek, z nichž jedna je
orientována ve směru síly F a druhá je kolmá k vektoru v a leží v rovině určené
vektory v a F (obr. 22).
m v
F
a′
a
a′′
Obr. 22
Úloha
16. V homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,010 T proletěl elektron
kolmo k indukčním čarám po kruhovém oblouku o poloměru R = 0,78 m.
Určete jeho hybnost, celkovou energii, hmotnost a rychlost.
2.8 Příklad na závěr
V urychlovači HERA v Hamburku, který byl uveden do provozu r. 1989, získávají
elektrony celkovou energii Ee = 30 GeV a protony celkovou energii
Ep = 820 GeV. Částice obíhají v opačných směrech ve dvou přibližně kruhových
zásobních prstencích o poloměru r = 1,0 km umístěných nad sebou. Na
čtyřech místech, kde se prstence kříží, probíhají srážkové pokusy.
a) O kolik jsou rychlosti protonů a elektronů menší než rychlost světla ve va-
kuu?
b) Jak silná magnetická pole udržují částice na kruhových trajektoriích?
c) Jakou rychlost u, hmotnost m⋆
e a celkovou energii E⋆
e má elektron před
srážkou ve vztažné soustavě spojené s protonem?
Klidové hmotnosti protonu a elektronu jsou
mp0 = 1,67 · 10−27
kg, me0 = 9,11 · 10−31
kg.
Obě částice mají náboj o absolutní hodnotě e = 1,60 · 10−19
C.
32
Řešení
a) Úpravou vztahu (76) pro celkovou energii částice
E = mc2
=
m0c2
1 −
v2
c2
dostaneme pro m0c2
≪ E :
v = c 1 −
m0c2
E
2
≈ c 1 −
m2
0c4
2E2 = c −
m2
0c5
2E2 . (101)
Pro dané hodnoty je rychlost protonu vp = c − 197 m·s−1
, rychlost elektronu
ve = c − 4,4 cm·s−1
.
b) Dostředivé zrychlení uděluje částici magnetická síla. Při rychlosti, která je
prakticky stejná jako rychlost světla ve vakuu, platí:
Bec ≈
mc2
r
=
E
r
, B ≈
E
ecr
. (102)
Magnetická indukce v protonovém prstenci má hodnotu B = 2,7 T (kterou
můžeme získat jen supravodivým vinutím chlazeným kapalným heliem).
V elektronovém prstenci je B = 0,10 T .
c) Laboratoř se pohybuje rychlostí o velikosti vp vzhledem k vztažné soustavě
spojené s protonem. Elektron se vzhledem k vztažné soustavě spojené s laboratoří
pohybuje stejným směrem rychlostí o velikosti ve. Rychlost u elektronu
vzhledem k soustavě spojené s protonem určíme pomocí relativistického vztahu
u =
vp + ve
1 +
vp · ve
c2
≈ c ·
1 −
X
2
+ 1 −
Y
2
1 + 1 −
X
2
1 −
Y
2
, (103)
kde
X =
m2
p0c4
E2
p
, Y =
m2
e0c4
E2
e
. (104)
Po úpravě
u ≈ c ·
2 −
X + Y
2
2 −
X + Y
2
+
XY
4
= c ·
1 −
X + Y
4
1 −
X + Y
4
+
XY
8
≈ c 1 −
XY
8
, (105)
33
u ≈ c 1 −
m2
p0m2
e0c4
8E2
pE2
e
. (106)
Pro dané hodnoty u = c − 1,44 · 10−8
m·s−1
. Při této rychlosti má elektron
hmotnost
m⋆
e =
me0
1 −
u2
c2
≈
me0
1 − 1 −
XY
8
2
≈
me0
1 − 1 −
XY
4
=
2me0
√
XY
,
(107)
m⋆
e ≈
2me0
me0mp0c4
EpEe
=
2EpEe
mp0c4 (108)
a celkovou energii
E⋆
e = m⋆
ec2
≈
2EpEe
mp0c2 . (109)
Po dosazení m⋆
e = 9,3 · 10−23
kg , E⋆
e = 8,4 · 10−6
J = 52 000 GeV .
Jiné řešení – užitím vztahu (82) mezi celkovou energií, kinetickou energií a
hybností:
Označme pe, pp velikosti hybností elektronu a protonu ve vztažné soustavě
spojené s laboratoří a p⋆
e velikost hybnosti elektronu ve vztažné soustavě spojené
s protonem. Před srážkou je celková energie protonu a elektronu ve vztažné
soustavě spojené s laboratoří Ee + Ep, ve vztažné soustavě spojené s protonem
E⋆
e +Ep0. Celková hybnost protonu a elektronu v soustavě spojené s laboratoří
má velikost |pe −pp|, protože částice se pohybují proti sobě. Celková hybnost ve
vztažné soustavě spojené s protonem je p⋆
e. V důsledku invariantnosti výrazu
E − p2
c2
platí:
(E⋆
e + Ep0)2
− p⋆2
e c2
= (Ee + Ep)2
− (pe − pp)2
c2
, (110)
E2
p0 = E2
p − p2
pc2
, E⋆2
e − p⋆2
e c2
= E2
e − p2
ec2
. (111)
Odečtením rovnic (111) od rovnice (110) dostaneme:
E⋆
e Ep0 = EeEp + peppc2
, (112)
Protože obě rychlosti částic v soustavě spojené s laboratoří se blíží rychlosti
světla ve vakuu, je
pec ≈ mec2
= Ee, ppc ≈ mpc2
= Ep , (113)
E⋆2
e =
EeEp + peppc2
Ep0
≈
2EeEp
Ep0
=
2EeEp
mp0c2 , m⋆
e ≈
2EeEp
mp0c4 . (114)
34
Literatura
[1] Bartuška, K.: Fyzika pro gymnázia – Speciální teorie relativity. 3. vydání,
Prometheus, Praha, 2001.
[2] Bondi, H.: Relativity and Common Sense. Anchor Books, Doubleday &
Company, Inc., Garden City, New York, 1964.
[3] Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M.: Feynmanovy přednášky z fyziky,
1. díl. Fragment, Havlíčkův Brod, 2000.
[4] Horský, J.: Úvod do teorie relativity. SNTL, Praha, 1975.
[5] Štoll, I.: Fyzika pro gymnázia – Fyzika mikrosvěta. Prometheus, Praha,
1994.
Výsledky úloh
1. k = f0/f = 1,053, v = 0,0512c = 1,54 · 107
m · s−1
.
2. Signál vyslaný pozorovatelem A v čase t = t1 < 0 přijme pozorovatel B
v čase t′
= kt1 a odražený signál dojde k pozorovateli A v čase t = k
2
t1.
v
1 + k
2
2
|t1| = c
1 − k
2
2
|t1| , k
2
=
c − v
c + v
.
3. u′
=
u − v
1 −
uv
c2
.
4. (c − v)(c − u′
) > 0 → (v + u′
)c < c2
+ vu′
→
v + u′
1 +
vu′
c2
< c .
5. 0,011 s. 6. 1,7 · 10−11
m. 7. 0,033c = 1,0 · 107
m · s−1
.
8. x =
x′
+ vt′
1 −
v2
c2
, y = y′
, z = z′
, t =
t′
+
x′
v
c2
1 −
v2
c2
35
9. Zásahy začátku a konce vlaku bleskem nastaly dříve, než pozorovatel B
dorazil k pozorovateli A. Podle pozorovatele B obě události proběhly ve
stejné vzdálenosti rovné polovině klidové délky vlaku, tedy současně. Podle
pozorovatele A byl začátek vlaku zasažen ve vzdálenosti menší než polovina
délky vlaku a konec ve vzdálenosti větší než polovina délky vlaku. Jestliže
světlo od obou blesků dorazilo současně, musel být podle pozorovatele A konec
vlaku zasažen dříve než začátek.
11. Vztah (60) upravíme na tvar
s +
m0c2
F
2
=
m2
0c4
F2 + c2
t2
,
s +
m0c2
F
2
m0c2
F
2 −
t2
m0c
F
2 = 1 ,
který je formálně stejný jako rovnice hyperboly
(x + m)2
a2 −
y2
b2 = 1.
12. ∆m = 0,0989 mu = 1,64 · 10−28
kg,
Ej = ∆m · c2
= 1,48 · 10−11
J = 92,4 MeV.
13. ∆m =
Pt
ηc2 = 1,17 kg.
15. Řešením soustavy rovnic pm = pn, mp0c2
= mmc2
+ mnc2
,
m2
mc4
− p2
mc2
= m2
m0c4
, m2
nc4
− p2
nc2
= 0
dostaneme
mp0c2
= m2
m0c4 + p2
mc2 + pmc , pm = pn =
(m2
p0 − m2
m0)c
2mp0
= 58, 2me · c ,
En = Ekn = pnc = 58,2mec2
= 29,8 MeV ,
Em = Ep0 − En = 214,9mec2
= 109,8 MeV ,
Ekm = Em − Em0 = 8,1mec2
= 4,1 MeV .
16. p = BeR = 1,25 · 10−21
kg · m · s−1
,
E = E2
0 + p2c2 = m2
0c4 + B2e2R2c2 = 3,8 · 10−13
J = 2,4 MeV,
m =
E
c2 = 4,3 · 10−30
kg, v =
p
m
= 2,9 · 108
m · s−1
.
36