ELEMENTÁRNÍ VÝKLAD BELLOVY NEROVNOSTI
Jan Novotný
K   zájmu o   Bellovu nerovnost:   mě kromě   vlastní četby dovedli jednak studentif jednak mí přátelé z řad filosofů.  Zaujalo je, že na   první pohled   čistě filosofické   spory o   povahu reality může podstatně     ovlivnit,      ba     snad     přímo     rozhodnout výsledek experimentu.        Dožadovali     se       proto     co       nej prostšího a nej srozumitelně j šího vysvětlení.. Jeho základ jsem převzal z knihy Heinze   Pagelse   THE   COSMXC   CODE    (Bantam   Books 1984). Výklad, který jse.m svým studentům i přátelům podával,  mi (a možná   i jim) připadal uspokojivý   do chvíle, než   jsem se rozhodl   jej zapsat. Tímto   konstatováním   omlouvám   dlouhou   dobu   mezi přednáškou na semináři . a dodáním   textu a prosím,    aby byl   považován pouze za nultou aproximaci.
JEHLY
Mějme mechanické zařízení, Které vystřeluje dvojici stejných jehel v protichůdných směrech. Jehly jsou orientovány kolmo na směr pohybu pod náhodným, ale pro obě jehly stejným úhlem. Postavme do směru pohybu jehel, detektory A, B obsahující štěrbinové polarizátory {viz obr. 1..), které mohou jehly propustit nebo zachytit. Označme průchod jehly symbolem 1, zachycení symbolem 0. Pokud jsou polarizátory shodně orientovány, musí být v souladu s předchozím popisem výsledek "měření" na obou detektorech vždy stejný. Svírají-li polarizátory (jejich štěrbiny} jistý úhel, dojde- při větším počtu pokusů k jistému počtu neshod. Jak se změní jejich počet, když úhel zdvojnásobíme?
Uvažujme takto: Směr jehel není ovlivněn nastavením polarízátorů (objektivita) a výsledek měření jednoho detektoru není ovlivněn výsledkem na druhém detektoru (lokálnost). Mějme nějakou sérii výsledků při shodně orientovaných polarizátorech (viz střední řádky tabulky). Kdybychom otočili polarizátor A o úhel t, došlo by ve výsledcích k některým změnám zaznamenaným v horním, řádku.- V tabulce by se objevil jistý počet neshodkterý označíme E(t). Kdybychom ponechali A v původní poloze a otočili B o úhel t v opačném směru, objevil by'se při větším počtu pokusů zhruba stejný počet neshod, jak to ukazuje dolní řádek. Kdyby se otočily popsaným způsobem oba polarizátory, byly by střední řádky tabulky nahrazeny horním a dolním. Pokud se střední řádky neshodovaly s horním ani s dolním řádkem, obnovila by se shoda. Počet neshod by byl tedy menší (či nejvýše roven) dvojnásobku jejich počtu při otočení jediného polarízátorů.
A' O  1  1  O 1  O   0 0  11 O  0 0  2 0 101 2 0002200.0 001
A 000100101000000000000000100000
B 000100101000000000000000100000
B' 000000100020000000002200000020
Kurzíva    v   horním   a   dolním   řádku   upozorňuje   na   neshody se středními    řádky,    tučné   písmo    ve- středních   řádcích   na shody neshod s horním a dolním   řádkem.  V, daném ■ případe E(t) =   14 pro otočení   prvního,    E(t)    =   7   pro   otočení druhého polarizátoru, E(2t) = 17,  a je tedy splněna nerovnost E1(t) + ů2(f) - e(2t)-
Vzhledem k náhodnosti orientace jehel platí tento výsledek při libovolné poloze polarizátoru, pokud se jejich sklony liší o úhel t či 2t. Platí tedy Bellova nerovnost
2E(t)   >  E(2t) .
POLARIZACE FOTONŮ
Existují experimenty, při nichž se v protichůdných směrech pohybuje pár fotonů s náhodnými, avšak vzájemně shodnými polarizacemi. Detektory jsou spojeny s polarizátory, které mohou foton propustit (pak má polarizaci paralelní s polarizátorem) anebo zachytit (pak má polarizaci kolmou na polarizátor). Nakloníme polarizátor B o úhel t. Označme poradě P, resp. Z stav druhého fotonu pro případ, že první foton polarizátorem prošel, resp. byl jím zachycen? dále označme P', resp. Z' stav druhého fotonu pro případ, že prochází, resp. je zachycen druhým polarizátorem. Platí ,. -
P =cos(t) P' + stn(t) Z'      ,      Z — sin(-r) P'. +,cos{t) Z'.
Neshodným výsledkům odpovídá koeficient sin t, podle pravidel kvantové mechaniky je kvadrát tohoto koeficientu roven pravděpodobnosti daného výsledku. Je tedy E(t) = K sřn2r a protože 2 sin2t < sin22t čili 1/2 < cos2t pro t < tt/4, dochází k porušení Bellovy nerovnosti.
SPINY ELEKTRONŮ
Existují experimenty, při nichž se v protichůdných směrech pohybují elektrony s náhodnými spiny, které však mají nulový součet. Necht detektory registrují složky spinu ve směru jisté osy kolmé na směr pohybu. Výsledkem může být hodnota^ spinu 1/2 nebo -1/2. Jsou-li oba detektory shodně orientovány, jsou výsledky   měření   na   nich     opačné,    což   považujeme    za shodu.
Zjistil~li detektor A např. spin 1/2 . a je-li detektor B pootočen o úhel t, je střední hodnota průmětu spinu do jeho osy rovna -1/2 cos t. Platí
-1/2 cos t = -1/2  (w_ - w+) ,
kde w_, resp. w+ jsou pravděpodobriosti záporné a kladné hodnoty příslušné složky spinu. Protože je zřejmě
w_ + w+ = 1
dostáváme řešením příslušné soustavy rovnic
w_ = cos2(t/2)     ,    w+ = sin2(-r/2) .
Počet neshod je E(t) = K sin2(t/2). Platí 2 sin2(t/2) < sin2r čili 1/2 < cos2(t/2) pro t < tt/2, takže Bellova nerovnost je opét porušena.
ZAVER
Předpokládejme s Einsteinem a jeho druhy,, že polarizaci, popř. spinu částice odpovídá jistý element reality, předurčující, jak dopadne výsledek měření. To znamená, že při měření se polarizace fotonu zachová jako jehla na polarízátoru, jaký je zobrazen na obr. 2, a spin částice jako šipka na polařižátoru, jaký je zakreslen na obr. 3. Pak by ovšem musela být splněna Bellova nerovnost. Jestliže tomu tak není, znamená to, že musíme opustit alespoň jeden z předpokladů, za nichž byla nerovnost odvozená, t j . předpoklad objektivity, .: předpoklad •lokálnosti, popřípadě obojí.
Z/1RI2EWI
i PAŽ ELSO V y
i/ hn u V
KAIL BW
KAILS