MASARYKOVA UNIVERZITA Pedagogická fakulta Bakalářská práce Brno 2016 Petra Zedníkova MASARYKOVA UNIVERZITA Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Řešené příklady ze Základů matematiky Vedoucí práce doc. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D. Vypracovala Petra Zedníkova Bibliografický záznam Autor: Petra Zedníkova Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta Katedra matematiky Název práce: Řešené příklady ze Základu matematiky Studijní program: Specializace v pedagogice Studijní obor: Pedagogické asistentsví matematiky pro základní školy Pedagogické asistentství speciální pedagogiky pro základní školy Vedoucí práce: doc. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: X + 87 Klíčová slova: výroky; matematické důkazy; teorie množin; relace; zobrazení; uspořádání; relace ekvivalence a rozklady; reálné funkce; elementární funkce Bibliographie Entry Author: Petra Zednfkova Masaryk University, Faculty of Education Department of Mathematics Title of Thesis: Fundamental of Mathematics: Examples Degree Programme: Specialization in Pedagogy Field of Study: Supervisor: Academic Year: Number of Pages: Keywords: Lower Secondary School Teacher Training in Mathematics Lower Secondary School Teacher Training in Special Education doc. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D. 2015/2016 X + 87 fundamentals of logic and of set theory; types of proofs in mathematics; binary relations; mappings; ordered sets; equivalence relations; partitions; real functions of a real variable; elementary functions Abstrakt Bakalářská práce je souborem řešených příkladů do předmětu Základy matematiky, který je vyučován v rámci studijního oboru Pedagogické asistentství matematiky pro základní školy. Pro snadnější orientaci studentů je práce rozdělena do kapitol podle skript k tomuto předmětu. V každé kapitole jsou příklady různého stupně obtížnosti a na konci každé kapitoly je několik příkladů určených pro samostatnou práci studentů. Postup řešení a výsledky jsou doprovázeny komentáři, náčrtky a dalšími náměty na přemýšlení. Abstract The Bachelor thesis consists of a set of solved examples to subject Fundamentals of Mathematics that is taught annually within the field of study Lower Secondary School Teacher Training in Mathematics. The Batchelor thesis is divided into nine chapters according to the script for this subject. In each chapter there are examples of different level of difficulty and at the end of each chapter there are a few examples designed for individual student's work. Approaches and results are accompanied by noted, sketches and ideas to think about. Poděkování Na tomto místě bych velmi ráda poděkovala svému vedoucímu bakalářské práce doc. Mgr. Pavlu Řehákovi, Ph.D, za odborné vedení práce a za cenné rady a připomínky, které obohatily tuto práci. Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně a použila prameny uvedené v seznamu literatury. Brno 30. března 2016 Petra Zedníkova Obsah Úvod IX 1 Základní pojmy matematické logiky 1 1.1 Příklady k procvičení................................ 6 2 Matematické důkazy 8 2.1 Důkaz přímý .................................... 8 2.2 Důkaz nepřímý.............. ..................... 10 2.3 Důkaz sporem.............. ...................... 10 2.4 Důkaz jednoznačnosti a existence ......................... 11 2.5 Důkaz matematickou indukcí............................ 13 2.6 Příklady k procvičení................................ 16 3 Základy teorie množin 17 3.1 Příklady k procvičení................................ 21 4 Relace 23 4.1 Příklady k procvičení................................ 32 5 Zobrazení 33 5.1 Příklady k procvičení................................ 39 6 Uspořádání 40 6.1 Příklady k procvičení................................ 44 7 Relace ekvivalence a rozklady 45 7.1 Příklady k procvičení................................ 48 8 Reálné funkce reálné proměnné 49 8.1 Příklady k procvičení................................ 61 9 Elementární funkce 63 9.1 Polynomy a racionální funkce ........................... 63 9.2 Funkce exponenciální, logaritmické a mocninné.................. 67 VII 9.3 Funkce goniometrické a cyklometrické....................... 72 9.4 Příklady k procvičení................................ 76 10 Výsledky příkladů k procvičování 77 Závěr 84 Literatura 85 Úvod Jako téma své bakalářské práce jsem si vybrala vytvoření sbírky Řešené příklady ze Základů matematiky. K tomuto kroku mě přivedly jak mé vlastní zkušenosti, tak zkušenosti ostatních studentů se studiem předmětu Základy matematiky v rámci Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity v Brně. Bezproblémové zvládnutí tohoto předmětu je nezbytné k pochopení a úspěšnému osvojení dalších matematických disciplín, jako je matematická analýza, algebra a geometrie. V rámci studia jsem průběžně pomáhala některým studentům s přípravou a řešením jednotlivých úloh v rámci předmětu a tak jsem mohla vypozorovat, které oblasti činí studentům největší obtíže, a posléze se na tyto problematické oblasti zaměřit ve svojí bakalářské práci. Cílem této bakalářské práce se tak stala snaha vytvořit sbírku řešených příkladů, která by usnadnila studentům přípravu a pomohla jim lépe si osvojit potřebné znalosti z předmětu Základy matematiky. Sbírka řešených příkladů by mohla sloužit zároveň jako doplněk skript k tomuto předmětu. Z toho důvodu je práce rozčleněna do kapitol odpovídajících kapitolám v uvedených skriptech. Jednotlivé kapitoly jsou sestaveny ze vzorových řešených příkladů a příkladů k procvičení, které slouží nejen jako návod k pochopení potřebných postupů, ale také k jejich lepšímu zafixování a samostatnému použití. Kapitoly jsou doplněny o potřebné komentáře, tabulky, graficky znázorněné výsledky a schémata, která opět slouží pro vyšší přehlednost a snazší zapamatování. Původně jsem předpokládala, že obohatím tuto sbírku i o složitější příklady a úlohy, nicméně v průběhu přípravy a na začátku tvorby této sbírky jsem došla k závěru, že takové obohacení by bylo nad rámec rozsahu bakalářské práce a ve své podstatě by pro studenta, který by ze sbírky čerpal, nebylo až tak významným přínosem. Příklady v této práci jsou tedy sestaveny tak, aby umožnily studentům úspěšné zvládnutí a osvojení potřebných znalostí do předmětu Základy matematiky a korespondovaly se skripty pro uvedený předmět. IX Základní použité symboly a označení A V B disjunkce výroku A, B AAB konjunkce výroku A, B A => B implikace výroku B výrokem A A <í=> B ekvivalence výroku A, B AU B průnik množin A a 6 A íl B sjednocení množin A a 6 A\B rozdíl množin A a 6 A' doplněk množiny A A x 6 kartézský součin množin A a 6 2A systém všech podmnožin množiny A C neostrá množinová inkluze C ostrá množinový inkluze (A, <) uspořádaná množina ~ relace ekvivalence na množině A Aj ~ rozklad příslušný ekvivalenci ~ M rozklad na množině A N N0 Z Q přirození čísla nezáporná celá čísla celá čísla racionálni čísla reálná čísla kladná reálná čísla negace výroku A X Kapitola 1 Základní pojmy matematické logiky V kapitole Základní pojmy matematické logiky se budeme zabývat výroky, výrokovými formami a kvantifikovanými výroky. Ukážeme si, jak pracovat s logickými spojkami (negace, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence), kvantifikátory (obecný a existenční) a s tabulkami pravdivostních hodnot. Příklad 1.1 Rozhodněte, která z uvedených sdělení jsou výroky. Pokud se jedná o výrok, určete jeho pravdivostní hodnotu. a) Kolik je hodin? b) x-2 = 5. c) Číslo 3 je prvočíslo. d) Tato květina je žlutá. e) Květina je žlutá. f) 3 + 6= 10. g) Dan Brown je spisovatel. h) Dan Brown je skvělý spisovatel. Řešení: a) Nejedná se o výrok. Sdělení nesplňuje definici výroku (intuitivně se nejedná o oznamovací větu). b) Nejedná se o výrok. Sdělení nesplňuje definici výroku. Z tohoto sdělení by se mohl stát výrok vhodnou kvantifikací. Jak by vypadal kvantifikovaný výrok, si rozmyslete sami. 1 c) Jedná se o výrok. Sdělení plně splňuje definici výroku. U tohoto výroku umíme také rozhodnout, jestli je výrok pravdivý nebo nepravdivý. Tvrzení číslo 3 je prvočíslo je pravdivý výrok, protože číslo 3 má pouze triviální dělitele (1,3). d) Jedná se o výrok. Sdělení je smysluplné tvrzení, o kterém umíme rozhodnout, zdaje pravdivé či nepravdivé. Zajímá nás pouze jedna konkrétní květina. e) Nejedná se o výrok, protože ve sdělení není řečeno, o které konkrétní květině mluvíme. f) Jedná se o výrok. Sdělení neobsahuje žádné proměnné, proto můžeme říct, že se jedná o nepravdivý výrok. g) Jedná se o výrok, protože sdělení splňuje definici výroku (intuitivně se jedná o oznamovací větu). Dále umíme rozhodnout o pravdivosti výroku. Můžeme proto říct, že se jedná o pravdivý výrok. h) Nejedná se o výrok, neboť se jedná o subjektivní tvrzení (někdo považuje tvrzení za pravdivé, někdo za nepravdivé). Příklad 1.2 Rozhodněte, zda výroková forma V definována jako (A => B) => [(A => -iß) => -iA] je tautologie. Řešení: Výroková forma V není tautologie. A B -nA -nB A^B A => -iß > -.ß) = => ^A V 1 1 0 0 1 1 i 1 1 0 0 1 1 1 i 1 0 1 1 0 0 1 i 0 0 0 1 1 1 0 0 1 Příklad 1.3 Pomocí pravdivostní tabulky hodnot dokažte, že výroková forma V, která je definována jako A A (B V C) <^> (A A B) V (A A C), je tautologie. Řešení: Výroková forma V je pravdivá, je tedy tautologií. A B C ßVC AA(ßVC) A Aß AAC (A Aß) V(AAC) V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 Příklad 1.4 Udejte podmínku pro to, aby číslo x bylo dělitelné 6 v oboru N, která je a) dostatečná, ale není nutná, b) nutná, ale není dostatečná, c) nutná i dostatečná. Řešení: a) Pokud hledáme podmínku, která je dostatečná, ale není nutná, stačí najít konkrétní příklad, který splňuje uvedenou vlastnost. V našem případě to je jakékoliv číslo dělitelné 6, tedy 6, 12,... b) Při hledání podmínky, která je nutná, ale ne dostatečná, musíme už pracovat obecněji. Postačí nám, pokud zformulujeme některou z podmínek, kterou musí číslo x splňovat, aby bylo dělitelné 6. Díky kritériím dělitelnosti víme, že číslo x je dělitelné 6, pokud je dělitelné zároveň 2 a 3. Máme proto na výběr z několika nutných podmínek. Jednou možností nutné, ale ne dostatečné podmínky pro to, aby číslo x bylo dělitelné 6 je tvrzení, že číslo x je dělitelné 3. Další možností je tvrzení: číslo x je dělitelné 2. Sami si rozmyslete, jak by mohly vypadat další možnosti. c) Nutnou i dostatečnou podmínkou, pro to aby číslo x bylo dělitelné 6, může být např. kritérium dělitelnosti 6. Podmínka zní tedy takto: číslo x je dělitelné 6 právě tehdy, pokud je dělitelné 2 a zároveň 3. Příklad 1.5 Utvořte negaci následujících výroků (bez použití slovního obratu: „není pravda, že ... ")• a) Při písemce opisovala Lucie nebo Tereza. b) Dnes je úterý a zítra nebude pondělí. c) Při fotbalovém utkání padnou alespoň 3 góly. d) Zdeněk udělal v diktátu 3 chyby. e) Každý den je důvod k radosti. f) Jestliže nebude pršet, půjdu na vycházku. g) Jestliže budu chodit na brigádu, vydělám si na nový telefon. h) Číslo je dělitelné 9 právě tehdy, když jeho ciferný součet je dělitelný 9. 3 Řešení: a) Jedná se o negaci disjunkce (A V 6; výrok A: při písemce opisovala Lucie, výrok B: při písemce opisovala Tereza). Negace disjunkce je tvaru —>A A -16, proto negace výroku je tvrzení: Při písemce neopisovala ani Lucie, ani Tereza. b) Složený výrok je tvaru konjuknce (A A B; výrok A: dnes je úterý, výrok B: zítra nebude pondělí). Negace konjukce je tvaru —>A V -16, negace tohoto výroku tedy zní: Dnes není úterý nebo zítra bude pondělí. c) Výrok je kvantifikován, proto ho negujeme podle pravidel pro negování kvantifikovaných výroku. Negací musíme pokrýt všechny ostatní možnosti, než které jsou v původním výroku (podobně jako u množin, když hledáme doplněk množiny). Ve výroku mají při fotbalovém utkání padnout alespoň 3 góly, tedy 3, 4, 5, a více gólů. Negace kvantifikovaného výroku je následující: Při fotbalovém utkání padnou nejvýše dva góly. d) Zdeněk udělal v diktátu nejvýše 2 nebo alespoň 4 chyby (použijeme stejný postup jako vc)). e) Při hledání negace takového typu kvantifikovaného výroku, stačí uvést jeden protipříklad. Negace výroku je tvaru: Alespoň jeden den důvod k radosti není. f) Výrok je tvaru implikace (A => B; výrok A: nebude pršet, výrok B: půjdu na vycházku) a negací implikace je výrok: A A -16, proto je negace následující: Nebude pršet a nepůjdu na vycházku. g) Výrok je implikací (A => B; výrok A: budu chodit na brigádu, výrok B: vydělám si na nový telefon) a negace implikace je tvaru: Budu chodit na brigádu a nevydělám si na nový telefon. h) Složený výrok je ekvivalencí (A<^B; výrok A: číslo je dělitelné 9, výrok B: ciferný součet čísla je dělitelný 9.), obecně je negací ekvivalence složený výrok: (A A -16) V (-iAAB), proto je negace následující: Číslo je dělitelné 9 a jeho ciferný součet není dělitelný 9 nebo číslo není dělitelné 9 a jeho ciferný součet je dělitelný 9. Příklad 1.6 Udejte podmínku pro to, aby rovnice ax2 + bx + c = 0 měla jeden reálný dvojnásobný kořen, která je a) dostatečná, nikoliv nutná, b) nutná, nikoliv dostatečná, c) nutná a dostatečná. 4 Řešení: a) Při hledání dostatečné, nikoliv však nutné podmínky, stačí najít jeden konkrétní příklad kvadratické rovnice, která má jeden dvojnásobný kořen. Např. x2 + 2x + 1=0 (xi2 = —1). b) Nutnou, ale ne dostatečnou podmínkou pro to, aby kvadratická rovnice měla reálný kořen, je tvrzení, že diskriminant je větší nebo roven 0, protože právě tehdy má kvadratická rovnice buď jeden dvojnásobný reálný kořen, nebo dva reálné různé kořeny. Nutná, ale ne dostatečná podmínka je tvaru: b2 — Aac > 0 c) Kvadratická rovnice má jeden reálný dvojnásobný kořen právě tehdy, pokud je diskriminant roven 0. Nutnou i dostatečnou podmínkou je proto tvrzení: b2 — Aac = 0 Příklad 1.7 Na definičním oboru D = {1,2,..., 12} jsou dány výrokové formy U(x) : 1 + x < 1 a V(x) : x\ 12. Určete obor pravdivosti následujících výrokových forem: a) U(x)AV(x), b) U(x)VV(x), c) U(x)=>V(x), d) -*/(*). Řešení: Nejdříve musíme určit obor pravdivosti výrokových forem U(x) a V(x). Obor pravdivosti výrokové formy U(x) na D najdeme tak, že najdeme řešení nerovnice na daném definičním oboru, proto obor pravdivosti U(x) = {1,2,3,4,5,6}. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) na D nalezneme tak, že z definičního oboru vybereme ta čísla, která splňují podmínku x|12 (tj. dělitelé čísla 12). Obor pravdivosti výrokové formy V(x) je tvaru V(x) = {1,2,3,4,6,12}. Nyní můžeme hledat pravdivostní obory složených výrokových forem. a) Pravdivostní obor složené výrokové formy U(x) A V (x) nalezneme tak, že zjistíme, v kterých hodnotách z D je pravdivá výroková forma U(x) i V(x). Pravdivostní obor je tedy tvaruč7(x)AV(x) = {1,2,3,4,6}. b) Pravdivostní obor této složené výrokové formy najdeme tak, že z D vybereme ty hodnoty, ve kterých je splněna podmínka výrokové formy U(x) nebo V(x) (tzn. je pravdivá výroková forma U(x), V(x), nebo obě společně), proto pravdivostní obor složené výrokové formy je tvaru U{x) W(x) = {1,2,3,4,5,6,12}. c) Při hledání oboru pravdivosti složené výrokové formy tvaru implikace využijeme tabulku, ve které je vidět, kdy je složená výroková forma U(x) => V (x) pravdivá. Tabulka je tvaru: 5 U (x) V (x) U (x) V (x) 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Z tabulky vidíme, že obor pravdivosti budeme hledat ve třech krocích. Nejdříve najdeme obor pravdivosti složené výrokové formy U(x) A V(x) (viz. druhý řádek tabulky) tzn. hledáme čísla z D tak, aby splňovala podmínku z U (x) i z V (x), tedy U (x) A V (x) = {1,2,3,4,6}. Následně budeme hledat obor pravdivosti složené výrokové formy U(x) \ V(x) (viz. třetí řádek tabulky), tzn. hledáme hodnoty z D tak, aby splňovaly podmínku z U(x) a nesplňovaly podmínku z tedy Í7(x) \ V(x) = {5}. Nakonec budeme hle- dat obor pravdivosti složené výrokové formy -iř/(x) V _iV(x) (viz. čtvrtý řádek tabulky), tzn. hledáme hodnoty z D tak, aby nesplňovaly podmínku ani z U(x), ani podmínku z V(x), tedy -iř/(x) V -V(x) = {7,8,9,10,11}. Výsledný obor pravdivosti je sjednocením hodnot z jednotlivých kroků. Obor pravdivosti složeného výroku U(x) => V(x) je tvaru U(x)=>V(x) = {1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,11}. d) Obor pravdivosti U(x) = {1,2,3,4,5,6}. Obor pravdivosti -iU(x) nalezneme tak, že určíme obor pravdivosti D\U(x). Obor pravdivosti -iU(x) je proto tvaru -iU(x) = {7,8,9, 10,11,12}. 1.1 Příklady k procvičení Cvičení 1.1.1 Dokažte, že se jedná o tautologii: a) (A=>B)<^(AA-ifi), b) (AAB) (AVS), c) AA(BVC) (AAfi)V(AAC), d) (A^B)^ [(A -.fi) A], e) [(^A<^^S)AA] ^^S. Cvičení 1.1.2 Utvořte negace následujících výroků: a) Existuje prvočíslo, které je sudé. b) Žádná krychle nemá 7 stěn. c) Půjdu do kina s Danou nebo s Filipem. 6 d) Nikdy se nemusím učit do školy. e) Jestliže nevrátím knížku do knihovny, zaplatím pokutu alespoň 5 Kč. f) \/IÔ>3. Cvičení 1.1.3 Na definičním oboru D = {5,6,7,..., 15} jsou definovány výrokové formy U (x) : 3 < x < 10 a V (x) : 7 > ^ > 4. Nalezněte obor pravdivosti následujících výrokových forem: a) -^U(x)AV(x), b) £/(x)V-V(x), c) U{x)=>V(x), d) U (x) -V (x), e) U(x)<*V{x). Cvičení 1.1.4 Určete obor pravdivosti výrokové formy U (x), pokud víte, že definičním oborem výrokové formy jsou všechna reálná čísla. a) U(x) : |2x+l| > |3-5x|, b) U(x) : x2 - x - 15 > 5 - 2x, c) U(x) : x — 6 > x(x — 3). 7 Kapitola 2 Matematické důkazy V této kapitole se zaměříme na nejrůznější typy matematických důkazů. Začneme důkazem přímým, který budeme řešit pomocí řady platných implikací, dále budeme pracovat také s důkazem nepřímým, ve kterém využijeme obměněné implikace. Dokazovat tvrzení budeme i pomocí sporu a matematické indukce. Neopomeneme ani důkaz jednoznačnosti a důkaz existence. 2.1 Důkaz přímý Příklad 2.1.1 Dokažte, že součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný 3. Důkaz. V přímém důkazu hledáme řadu platných implikací, díky kterým dokážeme, že tvrzení platí. My se snažíme dokázat, že (n) + (n + 1) + (n + 2) je výraz dělitelný 3. /i + /i+1+/i + 2=>3/i + 3=>3(/i+1) Vidíme tedy, že výraz 3(/i + 1) je jiné vyjádření pro součet tří po sobě následujících přirozených čísel, a také že je dělitelný 3. □ Příklad 2.1.2 Dokažte, že rozdíl libovolného trojciferného čísla a čísla zapsaného opačným pořadím cifer je dělitelný 9 a 11. Důkaz. Trojciferné číslo si zapíšeme ve tvaru abc a číslo s opačným pořadím cifer ve tvaru cba. Obě čísla si rozepíšeme jako součet jednotek, desítek a stovek a v tomto tvaru budeme s čísly pracovat. abc - cba 100a + 10/3 + c - (100c + 10/3 + a) 100a + 10/3 + c - 100c - 10/3 - a ^ ^99a-99c^99(a-c) =9 - ll(a-c) Číslo 9 • 11 (a — c) je dělitelné 9 a 11, proto i původní číslo abc — cba je dělitelné 9 a 11. □ 8 Příklad 2.1.3 Dokažte, že pro Mn G N platí 6| (n3 - n). Důkaz. Budeme hledat řadu platných implikací, díky které dokážeme, že výraz 6| (n3 — n) platí. 6\(n3-n) 6|n(n2- 1) 6|/i(/i+ l)(n- 1) 6|(n- 1) Číslo, které je dělitelné 6, je dělitelné 2 a zároveň 3. Výraz (n — l)n(n + 1) je obecné vyjádření pro součin tří po sobě jdoucích čísel, z nichž je vždy alespoň jedno číslo sudé a jedno číslo násobkem 3. Např. 1 • 2 • 3,20 • 21 • 22,51 • 52 • 53,... Výraz n3 — n je tedy dělitelný 6. □ Příklad 2.1.4 Dokažte, že čísla tvaru ababab (např. 353 535, 424 242, 111 111,...) jsou dělitelná čísly 3, 7, 13 a 37. Důkaz. Číslo ababab rozepíšeme na součet jednotek, desítek, stovek, ... V tomto tvaru se nám bude s číslem lépe pracovat a řadou platných implikací zjistíme, jestli je dělitelné čísly: 3, 7, 13, 37. 100000a + 100006 + 1000a + 1006 + 10a + b^ 101010a+ 101016 10101(10a + 6) ^3-3367(10a + 6) ^ 3 • 7 • 481(10a + 6) ^ 3 • 7 • 13 • 37(10a + 6) Číslo 3 • 7 • 13 • 37(10a + b) je dělitelné 3, 7, 13 a 37. □ Příklad 2.1.5 Dokažte, že součet dvou lichých po sobě jdoucích čísel je vždy dělitelný 4. Důkaz. První liché číslo si vyj ádříme j ako 2n — 1 a následuj ící liché číslo vyj ádříme j ako 2n+l. Radou platných implikací se pokusíme dokázat, jestli je součet těchto dvou čísel dělitelný 4. 2n-\+2n+ \ =>■ 4n Číslo 4n je jiným vyjádřením součtu dvou po sobě následujícíh lichých čísel, které je zřejmě dělitelné 4. □ 9 2.2 Důkaz nepřímý Příklad 2.2.1 Dokažte, že pro \/n G N platí 2\n2 =>■ 2\n. Důkaz. V nepřímém důkazu využíváme vztahu (a => B) (-16 => -a) (tzv. obměněná implikace). Pokud máme dokázat, že pro V« GN platí 2|n2 => 2|«, tak v nepřímému důkazu budeme dokazovat následující tvrzení, že pro VnGN platí 2 { n => 2 { n2. Dále víme, že pokud číslo není dělitelné dvěma, tak je liché, proto důkaz přepíšeme do tvaru: pro \/n G N platí n = 2k + 1 => n2 je liché. Radou platných implikací dokážeme tento vztah. n = 2k+l ^n2 = (2k+l)2 ^ n2 = 4k2 + 2k+l Číslo 4k2 + 2k + 1 je liché, protože součet dvou sudých čísel a čísla lichého je vždy číslo liché (můžete zkusit dokázat sami). Dokázali jsme tedy, že platí obměněná implikace, a proto platí i původní zvrzení. □ Příklad 2.2.2 Dokažte, že pro Vn G N : 51 (n2 + 1) 5 \ n. Důkaz. Snažíme se dokázat implikaci tvaru 5|« => 5 \ (n2 + 1) (tedy -16 => -a). Pokud je n dělitelné 5, jeho poslední číslicí je 0 nebo 5. Přirozené číslo n2 končí také číslicí 0 nebo 5, a pokud přičteme 1, dostaneme číslo, které končí číslicí 1 nebo 6 a takové číslo určitě není dělitelné 5. Dokázali jsme, že platí obměněná implikace, a proto platí i původní tvrzení. □ 2.3 Důkaz sporem Příklad 2.3.1 Dokažte, že číslo log 5 je iracionální. Důkaz. Při důkazu sporem, se snažíme dokázat, že negace původního tvrzení je nepravdivá. Budeme proto dokazovat, že tvrzení: číslo log 5 je racionální, je nepravdivé. Víme, že pokud je log5 racionální číslo, potom existují přirozená čísla r,s taková, že platí log5 = j- Z tohoto vztahu budeme vycházet a pokusíme se ho upravit do tvaru, ve kterém bude zřejmé, že tvrzení je nepravdivé. log5 = - 5 = 10» 5 = ■ 6 \ n. Cvičení 2.6.5 Dokažte, že pro Vra G N : 3\n2 => 3\n. Cvičení 2.6.6 Na vysokou školu přijali do prvního ročníku 120 studentů, kteří maturovali na 84 různých středních školách. Dokažte, že se v prvním ročníku vysoké školy potkají alespoň dva studenti, kteří se znají již ze střední školy. 16 Kapitola 3 Základy teorie množin V kapitole Základy teorie množin budeme pracovat se základními množinovými vztahy a operacemi, jako je množinová inkluze, sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. Ukážeme si také, jak můžeme množiny znázorňovat a jak lze dokazovat množinové rovnosti a další vztahy. Osvětlíme si také pojmy uspořádaná a neuspořádaná dvojice. Příklad 3.1 Dokažte, že platí: a) A'U(finC) = (A' U B) n (A n c)', b) (AnB)' =A'UB', c) (A ns) x C = (A x c) n (B x C). Rešení: a) Použijeme metodu neurčitého prvku. Nejdříve budeme vycházet z levé strany rovnice a budeme se snažit získat pravou stranu rovnice. Platí tedy x E L ^> x (£ A\/ (x E B Ax (j C) =>■ (x (j A\/x E B) A (x (j A Ax (£ C) =>■ => (xGA/VxGS)A(xGA/AxGC/) (A'US)nxG (AHC)'=> ^xe (A'ufi)n(Anc)'^xeP^Lcp Nyní se pokusíme dokázat rovnost naopak, tedy budeme vycházet z pravé strany rovnice a pokusíme se získat levou stranu rovnice. Získáme následující řadu implikací xEP^> (x^AVxGS) A(x^AAx^C) ^x^AV(xGfiAx^C) =>■ ^xGA'u(5nC') =>xEL=>P (xGAAxGB)AyGC=> ^ (x G a Ay G C) A (x G B Ay G C) ^ (x,y) G (a x C) Pi (B X C) => (x,y) EP=>L(1P Nyní se pokusíme dokázat, že libovolná uspořádaná dvojice z pravé strany rovnice náleží také levé straně rovnice. (x,y) G P => (x, j) G (a x C) H (S x C) (x G a Aj G C) A (x G B Ay G C) => (xGAAxGS) AjGC^ (x, j) G (AľlB)xC^ (x, j) GL^PCL Odtud tedy plyne, že P = La rovnost platí. Příklad 3.2 Udejte příklad podmínky pro to, aby a C 6 která je a) nutná, ale ne dostatečná, b) dastatečná, ale ne nutná, c) nutná i dostatečná. Řešení: a) Pokud má být a vlastní podmnožina B, musí platit např. A ^ B 18 b) Stačí uvést jakýkoli příklad množin A a B, které splňují uvedený vztah. Např. A = {4,5,6}, 6 = R;A = N,B = R;... c) Stačí si rozmyslet, co musí obecně platit pro vlastní podmnožinu. Množiny A a B jsou různé, a pokud patří prvek do množiny A, potom patří i do množiny B (neboli A^BAxG A x G B) Příklad 3.3 Nechť A = {x,y,z}- Rozhodněte o pravdivosti nebo nepravdivosti následujících výroků: a) {j}GA, c)ZGA, e){0}CA, g){0}eA, b) 0 G A, d){z}CA, fjxCA, h)0CA. Řešení: a) Množina A má pouze prvky: x,y,z- Proto {y} ^ A. b) Množina A má prvky: x,y,z- Proto 0 ^ A. c) Množina A má prvky: x,y,z- Proto z G A. d) Podmnožiny množiny A jsou: 0, {x}, {j}, {z}, {x, y}, {j,z}, {x,z}, {x, Tvrzení {z} CA je pravdivé. e) Množina A má 8 podmnožin: 0, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {y,z}, {x,z}, {x,y,z}- Tvrzení {0} CA je proto nepravdivé. f) Množina A má podmnožiny: 0, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {y,z}, {x,z},{x,y,z}- Tvrzení x C A je zřejmě nepravdivé. g) Množina A má prvky: x,y,z- Proto {0} ^ A. h) Množina A má tyto podmnožiny: 0, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {y,z}, {x,z}, {x,y,z}- Tvrzení 0 C A je tedy nepravdivé. Sami si rozmyslete, jak upravit jednotlivá tvrzení, aby byla všechna pravdivá. 19 Příklad 3.4 Jsou dány množiny: A = {l,3,5,7},fl = {z G Z : \z- 3| < 2},C = {n G N : n < 4},D = {x G N : ^Ej > 0}. Určete, jak budou vypadat množiny: a) A\B, c)D\A, e)C'nS, b) AUS, d)Anfí, f)2c. Řešení: Nejprve si vyjádříme všechny množiny výčtem prvků, stejně jako máme vyjádřenou množinu A. Množiny budou tvaru: A = {l,3,5,7},fi = {1,2,3,4,5},C = {1,2,3},D = {1,2,3,4, 5}. V tomto tvaru se nám s množinami bude lépe pracovat, a proto můžeme začít řešit příklad. a) V množině A odebereme prvky, které má společné s množinou B, a dostaneme řešení A\S = {7}. b) Do sjednocení množin A a 6 patří všechny prvky z obou množin a řešení je následující: AUB = {1,2,3,4,5,7}. c) Postupujeme analogicky jako u a) (z množiny D odeberu prvky, které jsou v množině A), tedy D\A = {2,4}. d) Průnik množiny A a množiny B určíme tak, že najdeme společné prvky obou množin, tedy ADB = {1,3,5}. e) Nejprve zjistíme, jak vypadá doplněk množiny C, tedy C' = N — {1,2,3} = {4,5,6,... }. Když už víme, jak vypadá doplněk, stačí pouze najít společné prvky množin C' a B, proto c'ns = {4,5}. f) Určíme systém podmnožin množiny C. Množina C má 3 prvky, proto má systém podmnožin 23 = 8 prvků, které jsou tvaru: 2C = {0,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}. Příklad 3.5 Rozhodněte, ve kterých případech se jedná o uspořádanou dvojici a kdy nikoli. a) {{3}}, c){{1},{2,1}}, e){{l},{3,4}}, b) {{3},{3,4}}, d) {{3,3}}, f) {{3,5},{6}}. Řešení: Nejdříve si připomeneme definici uspořádané dvojice. Uspořádanou dvojici definujeme takto: (a,b) = {{a}, {a,b}}. Proto příklad vyřešíme tak, že se pokusíme upravit jednotlivé množiny do tohoto tvaru. a) Množinu {{3}} si můžeme rozepsat jako {{3}, {3}}, protože v množině se prvky mohou opakovat. Množinu {{3}, {3}} si také můžeme dále upravit {{3}, {3,3}}. Z definice je tedy zřejmé že se jedná o uspořádanou dvojici tvaru (3,3). 20 b) Množinu {{3}, {3,4}} nemusíme ani upravovat a přímo z definice vidíme, že se jedná o uspořádanou dvojici tvaru (3,4). c) Množinu {{1},{2,1}} si můžeme upravit do tvaru {{1},{1,2}}, protože v množině nezáleží na pořadí prvků. Z definice je tedy zřejmé, že se jedná o uspořádanou dvojici tvaru (1,2). d) Množinu {{3,3}} si můžeme upravit do tvaru {{3}}, protože v množině stačí napsat prvek, který se opakuje pouze jednou. Množina {{3}} se upraví do tvaru {{3}, {3,3}} (viz a)), a proto se jedná o uspořádanou dvojici (3,3). e) Množinu {{1}, {3,4}} nemůžeme upravit do tvaru, jaký je v definici uspořádané dvojice, proto se v tomto případě o uspořádanou dvojici nejedná. f) Množinu {{3,5}, {6}} neupravíme do tvaru, jaký je v definici, proto se nejedná o uspořádanou dvojici. 3.1 Příklady k procvičení Cvičení 3.1.1 Jsou dány množiny A = {x G Z : |x| < 3},B = {x G Z : — 1 < x < 5}. Určete, jak budou vypadat množiny: a)AHB, b)AUB, c)B\A. Cvičení 3.1.2 Najděte takové množiny A a 6, pro které platí: A UB = {a,b,c,d,e,f,g},Ar\B {c,d},B\A = {e,f,g}. Cvičení 3.1.3 Dokažte, že následující vztahy platí: a) A x (B\C) = (A x B) \ (A x C), b) (A US) x C = (A x C) U (B x C), c) Ax (SnC) = (AxB)n(AxC). Cvičení 3.1.4 Určete, za jakých podmínek mohou platit následující rovnosti: a)Anfí = A, b)AUS=A. 21 Cvičení 3.1.5 Je dána množina A = {a,b,c} a množina B = {1,2}. Určete, jak budou vypadat množiny: a) A x B, c)Bx2B, b) BxA, d) A x A. Cvičení 3.1.6 Dokažte, že platí následující vztahy: a) ADB = A\{A\B), b) A\(BnC) = (A\B)U{A\C), c) A\B = A\(AnB), d) (ADB)\C = Ari(B\C). Cvičení 3.1.7 Rozhodněte, zda platí následující vztahy: a) A\(BUC) = (A\B)n(A\C), b) A\(B\C) = (A\B)\C, c) A\B = B\A, d) (A\B)\J(Ar\C)=A\(B\C). 22 Kapitola 4 Relace V této kapitole budeme pracovat s pojmy relace mezi množinami a relace na množině. Seznámíme se se základními vlastnostmi relace na množině a ukážeme si, jak tyto vlastnosti poznáme z tabulky relace či z uzlového grafu relace. Je velmi důležité ovládat látku z této kapitoly, protože s pojmem relace na množině a jejími vlastnostmi budeme pracovat i v dalších kapitolách. Příklad 4.1 Pět studentů psalo test. Na schématu vidíte, že student 1 získal z testu známku B, student 2 známku D, student 3 známku A, student 4 známku E a student 5 známku B. Ze schématu je zřejmé, že sejednáodvě množiny, kdy první j e množina studentů 5 = {1,2,3,4,5} a druhá je množina známek Z = {A,B,C,D,E,F}. Obě množiny jsou v určitém vztahu, který nazýváme relace (v tomto příkladu ji můžeme popsat jako "získal"). Tato relace přiřazuje každému studentovi známku, kterou získal v testu. Tímto přiřazením vznikají uspořádané dvojice, např. (student 1,6), (student 4, E),... Obecně j sou v tomto příkladu uspořádané dvojice tvaru (student, známka). Tyto uspořádané dvojice jsou prvky nové množiny p = {(l,A), (2,D), (3,A), (4,E), (5,6)}. Množina p je relace mezi množinami 5 a Z a můžeme ji znázorňovat několika způsoby - množinami, tabulkou, graficky. Sami si zkuste relaci p znázornit i jinými způsoby. Obrázek 4.1: Schéma studentů a jejich získaných známek 23 Příklad 4.2 V předchozím příkladu jsme vytvářeli relaci mezi dvěma různými množinami A a B. Nyní se zamysleme, co nastane, pokud A = B. Je dána množina K = {Petr, Jana, Hana, Viktor, Dan, Lucie, Karel, Filip}. Relace p znázorňuje, kdo se chce s kým ve skupině dětí kamarádit. Vidíme tedy, že pro utvoření relace nám stačí i jedna množina. Petr se chce kamarádit s Filipem a také Filip se chce kamarádit s Petrem, proto spojíme obě jména obousměrnou šipkou. Jana se chce kamarádit s Hanou, ale Hana se nechce kamarádit s Janou, proto jde šipka pouze směrem k Haně. Vznikla relace p = {(P,F), (F,P), (D,F), (P,D), (J,H), (H,K), (K, V), (V, J), (J,V), (L,H), (H,L), (L,K)} vztahů v této skupině dětí. Příklad 4.3 Je dána množina A = {a, b, c}. Kolik různých relací je možné vytvořit: a) mezi 2A a A, c) mezi A a 0, b) naA, d)naAxA. a) Relace mezi množinami 2A a A je libovolná podmnožina kartézského součinu 2A x A. Množina 2A má 23 prvků a množina A má 3 prvky. Kartézský součin 2A x A má tedy 8 • 3 prvků. Počet podmnožin kartézského součinu 2A x A je 224, můžeme tedy vytvořit 224 různých relací mezi množinami 2A a A. b) Relace na množině A je libovolná podmnožina kartézského součinu A x A, který má 3-3 prvků. Podmnožin tohoto kartézského součinu je 29. Obrázek 4.2: Schéma vztahů mezi kamarády Řešení: 24 c) Relace mezi množinou A a prázdnou množinou je libovolná podmnožina kartézského součinu A x 0. Tento kartézský součin je prázdnou podmnožinou, má proto 0 prvků. Počet podmnožin A x 0 je 2° a je právě jedna možnost, jak relaci utvořit. d) Relace na množině A x A je libovolná podmnožina kartézského součinu (A x A) x (A x A). Kartézský součin A x A má 9 prvků, proto kartézský součin (A x A) x (A x A) má 9 • 9 prvků. Počet podmnožin kartézského součinu (A x A) x (A x A) je 281. Příklad 4.4 Je dána množina A = {1,2,3}. Relace (A,p) je zadána takto: xpy 2x — y > 3. Určete, jak bude vypadat tabulka a uzlový graf relace p. Řešení: Při řešení tohoto příkladu budeme postupovat tak, že ověříme u všech dvojic prvků, zda jsou spolu v relaci či nikoli. Díky tomu zjistíme, jak bude vypadat tabulka relace p, a následně nakreslíme uzlový graf relace p. Jako první např. ověříme, jestli lpi. Do nerovnice 2x — y > 3 dosadíme x = 1 aj = 1 a zjistíme, jestli tato dvojice splňuje nerovnici. 2-1-1 >3 1 >3 Tato nerovnice neplatí, a proto (1,1) ^ p a do tabulky napíšeme 0. P 1 2 3 1 0 2 3 Dále ověříme, jestli platí 2p 1. Do nerovnice 2x — y > 3 dosadíme x = 2ay=la zjistíme, jestli tato dvojice splňuje nerovnici. 2-2-1 >3 3>3 Nerovnice je splněna, tedy (2,1) G p a do tabulky napíšeme 1. P 1 2 3 1 0 2 1 3 Takto postupně ověříme všechny uspořádané dvojice a dojdeme k následujícímu řešení: 25 p 1 2 3 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 1 1 Ekvivalentní zápis je p = {(2,1), (3,1), (3,2), (3,3)} Uzlový graf relace p vytvoříme tak, že prvky, které jsou spolu v relaci, spojíme šipkou. Pokud je (2,1) G p, půjde šipka z bodu 2 do bodu 1. Pokud je (3,1) G p, půjde šipka z bodu 3 do bodu 1. Dvojici prvků (3,2) G p znázorníme do uzlového grafu tak, že šipku povedeme z bodu 3 do bodu 2. Pokud je prvek v relaci sám se sebou, jako v případě (3,3) G p, nakreslíme kolem něj tzv. smyčku (šipka, která začíná i končím v jednom bodě). Obrázek 4.3: Uzlový graf relace p Příklad 4.5 Je dána množina A = {a, b, c, d}. Udejte tabulkou a uzlovým grafem příklad relace: a) pi, která je reflexivní, d) P4, která je tranzitivní, b) p2, která je symetrická, e) ps, která je úplná. c) p3, která je antisymetrická, Řešení: a) pi je reflexivní Aby byla relace reflexivní, musí platit: jestliže x G A => xpx. Tato vlastnost se v tabulce projeví tak, že v hlavní diagonále jsou pouze 1. Políčka mimo hlavní diagonálu nemají na reflexivitu žádný vliv, pro názornost je vyplníme 0. Reflexivita se z uzlového grafu pozná tak, že každý prvek relace p\ má kolem sebe smyčku. 26 pl a b c d a 1 0 0 0 b 0 1 0 0 c 0 0 1 0 d 0 0 0 1 b C J Obrázek 4.4: Tabulka relace p\ Obrázek 4.5: Uzlový graf relace p\ b) p2 je symetrická Pro symetrickou relaci musí platit: jestliže x,y G A Axpy Aypx => x = y. Symetrii poznáme z tabulky tak, že je symetrická podle hlavní diagonály. Tabulka může být např. tvaru: P2 a b c d a 0 1 1 0 b 1 0 0 0 c 1 0 1 1 d 0 0 1 1 aľ -—te—""^ c Ä Obrázek 4.6: Tabulka relace P2 Obrázek 4.7: Uzlový graf relace P2 V uzlovém grafu se symetrie projeví tak, že mezi dvěma různými body jsou buď dvě šipky nebo žádná šipka (lze odvodit i z tabulky). V uzlovém grafu symetrické relace proto nemůže nastat taková situace, aby byl prvek spojen s jiným prvkem pouze jednou šipkou. c) p3 je antisymetrická Antisymetrická relace musí splňovat vztah: jestliže x, y G A A xpy A ypx => x = y. Z tabulky antisymetrii poznáme tak, že dvě různá políčka symetrická podle hlavní diagonály obsahují nejvýše jednu 1. P3 a b c d a 0 0 1 1 b 1 1 0 0 c 0 0 0 0 d 0 0 1 1 Obrázek 4.8: Tabulka relace P3 Obrázek 4.9: Uzlový graf relace P3 Antisymetrie se v uzlovém grafu projeví tak, že mezi dvěma různými body je nejvýše jedna šipka (jedna šipka nebo žádná). 27 d) p4 je tranzitivní Tranzitivní relace je definována takto: jestliže x,y,z G A Axpy Aypz => xpz- Tranzitivní relaci z tabulky nepoznáme na první pohled, protože není žádné jasně dané pravidlo jako u ostatních vlastností. U toho příkladu postačí, když si vymyslíme jakoukoliv tranzitivní relaci. Můžeme proto např. říct, že: apb Abpd => apd. Pokud by relace P4 obsahovala pouze tyto tři uspořádané dvojice, už bychom mohli říct, že je relace P4 tranzitivní. Pro názornost ale doplníme ještě další trojici uspořádaných dvojic např. cpb Abpd => cpd. P4 a b c d a 0 1 0 1 b 0 0 0 1 c 0 1 0 1 d 0 0 0 0 Obrázek 4.10: Tabulka relace P4 Obrázek 4.11: Uzlový graf relace P4 Pokud hledáme uzlový graf tranzitivní relace, tak stejně jako v případě tabulky není žádné pravidlo, které musí platit, aby byla relace tranzitivní. Budeme muset postupovat stejně jako v případě tabulky. e) p5 je úplná Úplná relace je definována vztahem: jestliže x,y G A => xpyVypx. Úplnou relaci poznáme z tabulky tak, že v hlavní diagonále jsou samé 1 a dvě různá políčka symetrická podle hlavní diagonály obsahují alespoň jednu 1. P5 a b c d a 1 0 1 1 b 1 1 1 1 c 1 0 1 1 d 0 0 0 1 Obrázek 4.12: Tabulka relace ps Obrázek 4.13: Uzlový graf relace ps Z uzlového grafu poznáme úplnou relaci tak, že každý bod je opatřen smyčkou a každé dva různé body jsou spojeny alespoň jednou šipkou. Poznámka. Relace, které jsou v tomto příkladu uvedeny, jsou pouze jednou z mnoha možností. Příklad je zde zařazen proto, aby bylo zřejmé, jak se jednotlivé vlastnosti projeví v tabulce a v uzlovém grafu. 28 Příklad 4.6 Je dána množina A = {a,b,c,d,e} a relace p = {(a,a), (b,b), (a,d), (d,b), (b,e)}. Nakreslete tabulku relace p a doplňte relaci p nejmenším možným způsobem tak, aby byla: a) reflexivní, d) tranzitivní, b) symetrická, e) úplná. c) antisymetrická, Řešení: Příklad začneme řešit tak, že si nakreslíme tabulku relace p. P a b c d e a 1 0 0 1 0 b 0 1 0 0 1 c 0 0 0 0 0 d 0 1 0 0 0 e 0 0 0 0 0 a) Aby relace p byla reflexivní musí platit: jestliže x G A => xpx, což se v tabulce projeví tak, že v hlavní diagonále budou samé 1. P a b c d e a 1 0 0 1 0 b 0 1 0 0 1 c 0 0 1 0 0 d 0 1 0 1 0 e 0 0 0 0 1 Relace p proto doplníme takto: p = {(a,a), (b,b), (a,d), (d,b), (b,e), (c,c), (d,d), (e,e)} b) Pro relaci, která je symetrická, musí platit: x,y G A Axpy => ypx. Tato vlastnost se v tabulce projeví tak, že tabulka bude symetrická podle hlavní diagonály. P a b c d e a 1 0 0 1 0 b 0 1 0 1 1 c 0 0 0 0 0 d 1 1 0 0 0 e 0 1 0 0 0 Relaci p proto doplníme následujícím způsobem: p = {(a,a), (b,b), (a,d), (d,b), (b,e), (d,a), (b,d), (e,b)} c) Antisymetrická relace je definována takto: jestliže x,y G A Axpy Aypx => x = y. Antisy-metrii poznáme z tabulky tak, že dvě různá políčka symetrická podle hlavní diagonály obsahuje nejvýše jednu 1. 29 p a b c d e a 1 0 0 1 0 b 0 1 0 0 1 c 0 0 0 0 0 d 0 1 0 0 0 e 0 0 0 0 0 Z tabulky je zřejmé, že relaci p doplňovat nemusíme, protože již je antisymetrická. d) Relace, která je tranzitivní splňuje vztah: jestiže x,y,z G A Axpy Aypz => xpz- V relaci p, kterou je třeba doplnit vidíme, že je apd A dpb, proto musíme doplnit apb. Dále vidíme, že dpb A bpe, je tedy třeba doplnit dpe. Pokud doplníme ape, protože apb A bpe, získáváme relaci, která je tranzitivní. P a b c d e a 1 1 0 1 1 b 0 1 0 0 1 c 0 0 0 0 0 d 0 1 0 0 1 e 0 0 0 0 0 Relaci p, která je tranzitivní, je tvaru: p = {(a, a), (b,b), (a,d), (d,b), (b, e), (a,b), (a, e), (d,e)}. e) Aby byla relace úplná, musí splňovat tuto definici: jestliže x,y G A => xpjVjpx. Tato vlastnost se projeví v tabulce tak, že v hlavní diagonále jsou samé 1 a dvě různá políčka symetrická podle hlavní diagonály obsahují alespoň jednu 1. P a b c d e a 1 0 0 1 0 b 1 1 0 0 1 c 1 1 1 0 0 d 0 1 1 1 0 e 1 0 1 1 1 Aby byla relace p úplná, musíme ji proto doplnit následujícím způsobem: p = {(a,a), (b,b), (a,d), (d,b), (b, e), (c,c), (d,d), (e, e), (b,a), (c,a), (c,b), (d,c), (e,a), (e,c), (e,d)} Sami si zkuste ke každé z možností nakreslit také uzlový graf relace. Sami posuďte, zdaje snazší jednotlivé vlastnosti poznat z tabulky či z uzlového grafu. 30 Příklad 4.7 Je dána množina A = {1,2,3,4,5}. Nakreslete uzlový graf relace p = {(1,1),(1,3), (2,4), (3,1), (3,3), (4,5)(5,4)} a rozhodněte, jaké vlastnosti má tato relace (reflexivní, symetrická, antisymetrická, úplná). Řešení: Uzlový graf relace p nalezneme tak, že jednotlivé dvojice prvků, které jsou spolu v relaci, zakreslíme do grafu. Začneme např. dvojicí (1,1). Pokud je prvek v relaci sám se sebou, nakreslíme kolem odpovídajícího bodu šipku, která začíná i končí v daném bodě (tzv. smyčku). Dvojici (1,3) znázorníme do grafu tak, že povedeme šipku od bodu 1 k bodu 3. Zbylé dvojice prvků, které jsou spolu v relaci, znázorníme pomocí stejného principu. 4 I 5 k S Obrázek 4.14: Uzlový graf relace p Nyní se zaměříme na to, jaké vlastnosti má relace p. Relace p není reflexivní, protože smyčkou jsou opatřeny pouze dva body. Aby byla relace p reflexivní, musely by být v uzlovém grafu všechny body opatřené smyčkou, což nejsou. Symetrická relace se z uzlového grafu pozná tak, že mezi dvěma různými body jsou buď dvě šipky nebo žádná šipka. Z uzlového grafu vidíme, že relace p není ani symetrická, protože (2,4) G p, ale (4,2) ^ p. Relace, která je antisymetrická, se pozná z uzlového grafu tak, že mezi dvěma různými body je buď jedna nebo žádná šipka, což relace p opět nesplňuje, protože např. (1,3) G p a zároveň (3,1) G p. Pokud by relace p byla úplná, musel by být každý bod v uzlovém grafu opatřen smyčkou a každé dva různé body by byly spojeny alespoň jednou šipkou, což vidíme, že neplatí. Navíc víme, že každá relace, která je úplná, musí být také reflexivní a již jsme dokázali, že relace p není reflexivní, proto nemůže být ani úplná. Příklad 4.8 Je dána množina A = {1,2,3,4,5} a množina B = {a,b,c,d}. Určete, jak bude vypadat invezní relace p_1 mezi množinami A a 6, pokud p = {(l,a), (2,a), (3,c), (4,&), (5,d)}. Řešení: Inverzní relace mezi množinami A a 6 je definována vztahem p-1 = {(b,a) G B x A : apb, což znamená, že pokud v původní relaci p byl prvek a v relaci s prvkem b (tzn. apb), tak v inverzní relaci p_1 bude prvek b v relaci s prvkem a (tzn. bpd). Inverzní relace mezi množinami A a 6 je tvaru p-1 = {(a, 1), (a,2), (c,3), (b,4), (d,5)}. Sami si rozmyslete, jak bude vypadat tabulka a uzlový graf inverzní relace p_1. 31 4.1 Příklady k procvičení Cvičení 4.1.1 Na množině A = {1,2,3,4} je dána relace p = {(a,b) Gpoa< b}. Zapište tuto relaci: a) výčtem prvků, b) tabulkou, c) uzlovým grafem, a určete, jaké vlastnosti má relace p (reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná). Cvičení 4.1.2 Je dána množina A = {m,n,o,p,q} a relace p = {{m, n), (m, o), (n, p), (o, p), (o, q)}. Doplňte relaci p nej menším možným způsobem tak, aby byla tranzitivní a antisymetrická. Nakreslete uzlový graf relace p. Cvičení 4.1.3 Na množině A = {a,b,c,d} je dána relace p = {(a,a), (b,b), (d,a)}. Doplňte relace p nej menším možným způsobem tak, aby byla relaci p reflexivní, symetrická a tranzitivní. Cvičení 4.1.4 Na množině A = {k, l, m, n, o} je dána relace p = {(k,k), (m,m), (n,n), (k,n),(l,k)}. Doplňte relaci p nej menším možným způsobem tak, aby byla reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Znázorněte relaci p pomocí uzlového grafu. Cvičení 4.1.5 Určete, jak bude vypadat inverzní relace p k relacím z příkladů 4.1, 4.2, 4.4 a 4.7. 32 Kapitola 5 Zobrazení V této kapitole si procvičíme učivo, které souvisí ze zobrazeními. Ukážeme si, jak poznat, jestli je daný předpis zobrazením, a jak rozeznat injektivní, surjektivní a bijektivní zobrazení. Pracovat budeme i s inverzními zobrazeními, a ukážeme si, jak skládat zobrazení, pokud to je možné. Příklad 5.1 Je dána množina A = {a,b,c,d} a množina B = {1,2,3,4,5}. Rozhodněte, zda předpis /, / : A —>■ fi určuje zobrazení, pokud: a) /: :/H = l,f(b) = 4,/(c) = 3,/(a) b) /: :/(*) = 2,/(c) = 3,f(d) = 5, c) /: :/H = 5,f(b) = 4,/(c) = 3,/(d) d) /: = 0,f(b) = l,/(c) = 2,/(d) a) Předpis / neurčuje zobrazení, protože prvek a má dva obrazy v množině B. b) Předpis / neurčuje zobrazení, protože prvek a nemá žádný obraz v množině B. c) Předpis / určuje zobrazení, protože každý prvek z množiny A má právě jeden obraz. d) Předpis / neurčuje zobrazení, protože obraz prvku a není v množině B. 33 Příklad 5.2 Rozhodněte, zda zadaný předpis / určuje zobrazení / : N —> N. Pokud předpis /určuje zobrazení, rozhodněte, o jaký typ zobrazení se jedná (injektivní, surjektivní, bijektivní). a)f(x) =5x-3, b)/W c)/W (x—l pro x sudé, x + 1 pro x liché, x+ 1 3 Řešení: a) Předpis / určuje zobrazení, protože každé přirozené číslo se zobrazí pomocí tohoto předpisu na nějaké přirozené číslo. Když už víme, že se jedná o zobrazení, rozhodneme, o jaký typ zobrazení se jedná. Začneme tak, že budeme postupně dosazovat přirozená čísla do předpisu zobrazení / a zjistíme, na jaké číslo se zobrazí. Když chceme zjistit, na jaké číslo se zobrazí např. 1, spočítáme funkční hodnotu /(l). Když dosadíme číslo 1 do předpisu zobrazení /, zjistíme, že funkční hodnota /(l) = 2, číslo 1 se proto zobrazí na číslo 2. Pokud aplikujeme stejný způsob i na další přirozená čísla, dostaneme: 2—^7,3—^12, 4 —> 17,... Vidíme tedy, že různým vzorům odpovídají různé obrazy (žádné přirozené číslo není obrazem dvou různých přirozených čísel), a proto je dané zobrazení / injektivní. b) Předpis / určuje zobrazení, protože každé přirozené číslo z definičního oboru N má svůj obraz v N. Nyní rozhodneme, o jaký typ zobrazení se jedná a postupovat budeme analogicky jako v a), tedy najdeme k přirozeným číslům jejich obrazy. Např. 1 —> 2, 2 —> 1, 3 —> 4, 4 —> 3, 5 —> 6,... Můžeme si povšimnout, že každé přirozené číslo má právě jeden vzor v přirozených číslech. Dané zobrazení / je tedy bijektivní. c) 'LaAsxxý predpis / neurčuje zobrazení, protože napr. 1 —> | a | f N. Sami si rozmyslete, za jakých okolností by z daného předpisu bylo zobrazení. Příklad 5.3 Rozhodněte, zda zadaný předpis / určuje zobrazení / : Z —> Q. Pokud předpis /určuje zobrazení, rozhodněte, o jaký typ zobrazení se jedná (injektivní, surjektivní, bijektivní). a) f(x) = \A2-1, j pro x liché, # pro x sudé. 34 Řešení: a) Předpis / neurčuje zobrazení, protože některé obrazy nepatří do množiny Q. Např. 2^73, v^Q. b) Předpis / určuje zobrazení, protože každé číslo ze Z má díky tomuto předpisu svůj obraz v Q (např. 0 —» |, — 3 —> —1,7 —)► 5,...). Můžeme tedy rozhodnout, o jaký typ zobrazení se jedná. Zobrazení / zřejmě neumožňuje, aby měl jeden obraz dva vzory, proto dané zobrazení nemůže být surjektivní. Můžeme si povšimnout, že různým vzorům odpovídají různé obrazy, a zobrazení / je proto injektivní. c) Předpis / přiřazuje každému prvku ze Z nějaký prvek z Q, jedná se tedy o zobrazení. Při zjištovaní surjekce, resp. injekce, resp. bijekce budeme postupovat obdobně jako v možnosti b). Z předpisu je zřejmé, že žádné x G Q nebude mít více jak jeden vzor. Pokud si vypíšeme několik vzorů a jejich obrazy, všimneme si, že různým vzorům odpovídají různé obrazy, a proto je zobrazení / injektivní. Příklad 5.4 A je množina všech diváků v kině, B je množina všech vstupenek na daný film, C je množina všech sedadel v kině. Nechť g je zobrazení g:A^B, které přiřazuje každému divákovi jeho vstupenku, a / je zobrazení / : B —> C, které přiřazuje každé vstupence právě jedno sedadlo. Rozhodněte, jak bude vypadat složené zobrazení: a)/og, tOg-V"1. Řešení: a) Zobrazení g přiřazuje každému divákovi z množiny A jeho vstupenku z množiny B. Zobrazení / přiřazuje každé vstupence z množiny B sedadlo z množiny C. Složené zobrazení / o g; A —> C přiřazuje každému divákovi jeho sedadlo. b) Zobrazení g-1 : B —> A přiřazuje každé vstupence z množiny B jejího majitele (diváka) z množiny A. Zobrazení /_1 : C —> B přiřazuje každému sedadlu z množiny C místenku (vstupenku) z množiny B. Složené zobrazení g-1 o /_1 : C —> A přiřazuje každému sedadlu z množiny C diváka z množiny A, který na něm bude sedět. Sami si rozmyslete, proč nemůžeme vytvořit složené zobrazení go/a/_1og_1 35 Příklad 5.5 Je dáno zobrazení / : Z —> Z, f(x) = 4x — 3 a zobrazení g : Z —>■ Z, g(x) = x + 2. Určete, jak bude vypadat složené zobrazení: a)g°/, b)/og. a) Při hledání složeného zobrazení g o / musíme nejdříve ověřit, jestli vůbec můžeme zobrazení f a g skládat. V tomto případě jsou f a g zobrazení množiny Z do množiny Z, a proto složené zobrazení gof bude také zobrazovat celá čísla na celá čísla. Nyní můžeme začít zjišťovat, jak bude složené zobrazení g o / vypadat. Budeme vycházet z následujícího vztahu (g°f)(x) = g(f(x)). Tento vztah nám říká, že složené zobrazení g o f najdeme tak, že zobrazení / dosadíme do zobrazení g. (g o /) (x) = g(/(x)) = (4x - 3) + 2 = 4x - 1 b) Nejdříve musíme ověřit, jestli můžeme zobrazení v tomto pořadí skládat. Již víme, že existuje složené zobrazení g o /, ale to nám ještě nezaručuje existenci složeného zobrazení f o g. Předpisy g a f zobrazují celá čísla na celá čísla, proto i složené zobrazení bude zobrazovat celá čísla na celá čísla. Nyní můžeme určit složené zobrazení f o g, které najdeme pomocí vztahu (fog)(x) = f(g(x)). Z daného vztahu vidíme, že složené zobrazení f o g určíme tak, že zobrazení g dosadíme do zobrazení /. (/og)(x)=/(g(x)) = 4(x + 2)-3 = 4x + 8-3 = 4x + 5 Příklad 5.6 Je dáno zobrazení / : N —> N, f (x) =5x a zobrazení g : N —> N, g (x) = 2x+ 1. a) Rozhodněte, zda zobrazení / je injektivní, resp. surjektivní, resp. bijektivní. b) Rozhodněte, zda zobrazení g je injektivní, resp. surjektivní, resp. bijektivní. c) Určete, jak vypadá složené zobrazení gof. d) Rozhodněte, jestli je složené zobrazení gof injektivní, resp. surjektivní, resp. bijektivní. Rešení: a) Zobrazení / je zřejmě injektivní, protože všechna přirozená čísla se zobrazí pouze na násobky čísla 5. Čísla, která nejsou dělitalná 5, nebudou mít žádný vzor. b) Zobrazení g zobrazuje přirozená čísla na lichá čísla. Sudá čísla nemají žádný vzor, proto můžeme říct, že zobrazení g je injektivní. 36 c) Předpisy g a f zobrazují přirozená čísla na přirozená čísla, proto i složené zobrazení gof bude zobrazovat přirozená čísla na přirozená čísla. Složené zobrazení gof najdeme pomocí vztahu (gof)(x) = g(f(x)), který nám říká, že budeme dosazovat zobrazení / do zobrazení g. (g°f)(x) = g(f(x)) = 2(5*) + 1 = 10*+ 1 d) Složené zobrazení gof zobrazuje 1 —>■ 11,2 —>■ 21,3 —>■ 31,... Je tedy zřejmé, že např. čísla 1,2,3,4,... nemají žádný vzor. Složené zobrazení gof je injektivní. Příklad 5.7 Rozhodněte, zda je možné vytvořit složená zobrazení / o g a g o f, pokud: a) / : Z N, g : N ->• Q, b) / : Z Q, g : N ->• Z, c) / : Q R+, g : Q N. Řešení: a) Složené zobrazení fog nelze vytvořit. Nejdříve bychom zobrazili přirozená čísla na racionální čísla podle zobrazení g, a protože Q ^ Z nemůžeme pokračovat ve skládání zobrazení. Složené zobrazení go f lze vytvořit, protože zobrazení / přiřadí každému celému číslo nějaké přirozené číslo, a toto přirozené číslo můžeme díky předpisu g zobrazit na racionální číslo. gof-.Z^Q b) Složené zobrazení foglze vytvořit. Předpis g zobrazí každé přirozené číslo na nějaké celé číslo a předpis / toto celé číslo zobrazní na nějaké racionální číslo. fog-.N^Q Složené zobrazení gof nelze vytvořit. Předpis f{x) přiřadí každému celému číslu nějaké racionální číslo, a protože Q ^ N, nemůžeme pokračovat ve skládání zobrazení. c) Složené zobrazení fo g lze vytvořit. Zobrazení g(x) můžeme propojit se zobrazením f(x), protože NCQ. fog;Q^R+ Složené zobrazení gof nelze vytvořit. Zobrazení / není možné propojit se zobrazením g, protože R+ Q. 37 Příklad 5.8 Určete, jak bude vypadat inverzní zobrazení / , pokud: a) /;N^N,/(x) = (x-3)2, b) /:Q->Q,/(*) = 2f±. Řešení: a) Pokud hledáme inverzní zobrazení /_1 funkce s předpisem y = (x — 3)2, budeme postupovat tak, že v předpisu zobrazení zaměníme proměnnou x a proměnnou y a vyjádříme proměnnou y. x=(y-3)2 \fx = y — 3 y = Vx + 3 1 je tvaru/"1 : N ->■ N, f~l = ^ + 3. 1 najdeme tak, že v předpisu zobrazení y = 24±i zaměníme proměn-Následně se pokusíme vyjádřit proměnnou y. 2y+l 3x = 2y + 1 2y = 3x-l 3x-l y = — Inverzní zobrazení f~l je tvaru f~l : Q —> Q, f~l = ^j^-. Inverzní zobrazení / b) Inverzní zobrazení f~ nou x a proměnnou y. 38 5.1 Příklady k procvičení Cvičení 5.1.1 Rozhodněte, zda předpis / určuje zobrazení / : A -» B. a) A = Z,B = N,f(x) = \x\, 2x2 — 3 b) A = Z,fl = Q,/(*) = —2—. Cvičení 5.1.2 Rozhodněte, zda zobrazení / : Z —> R+ je injektivní, resp. surjektivní, resp. bijek-tivní, jestliže: a) f(x) = \x3-l\, Í-2jc+1 x<0, b) f(x) = { JV ' \2x x>0, c) f(x) = \x + 2\. Cvičení 5.1.3 Je dáno zobrazení / : N -> N, f(x) = x2 + 1 a zobrazení g : N N, g(jr) = x + 5. Určete, jak bude vypadat zobrazení: a)gof, c)g~\ e)g~lof~\ Cvičení 5.1.4 Najděte příklad zobrazení / : No —> No, které: a) je injektivní, ale není surjektivní, b) je surjektivní, ale není injektivní. Cvičení 5.1.5 Najděte příklad bijektivního zobrazení: a) sudých celých čísel na Z, b) ZnaN. 39 Kapitola 6 Uspořádání Ústředním pojmem této kapitoly je uspořádání, popř. uspořádaná množina. Abychom mohli správně zavést pojem uspořádání, je důležité rozumět pojmu relace na množině a také znát vlastnosti relace na množině, protože uspořádání je definováno jako relace p na množině A, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Uspořádaná množina je pak množina s relací a značíme ji(A,<). Příklad 6.1 Je dána množina A = {a,b,c,d,e} a relace p = {(b,b), (d,d), (a,c), (c,b), (e,c)}. Doplňte množinový zápis relace p nej menším možným způsobem tak, aby vzniklo uspořádání. Nakreslete hasseovský diagram této uspořádané množiny. Řešení: Aby byla relace p uspořádáním, je třeba ji doplnit tak, aby byla reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Reflexivitu relace p zajistíme tak, že do předpisu relace p doplníme uspořádané dvojice: (a,a), (c,c), (e,e). Jako další vlastnost je nejvýhodnější vyřešit tranzitivitu relace p. Vidíme, že apc Acpb, musíme proto doplnit uspořádanou dvojici (a,b). Dále v předpisu relace vidíme, že epc Acpb, doplníme proto uspořádanou dvojici (e,b). Zatím jsme získali relaci p = {(b, b), (d, d), (a,c), (c, b), (e, c), (a, a), (c, c), (e, e), (a,b), (e, b)}. Ze zápisu je zřejmé, že je tato relace také antisymetrická, proto je tato relace uspořádáním. Pokud chceme nakreslit hasseovský diagram uspořádané množiny, postupujeme obdobně, jako když jsme u relací kreslili uzlový graf. Jediný rozdíl je v tom, že v hasseovském diagramu nekreslíme smyčky kolem každého prvku a neuvažujeme orientaci šipek. Uspořádanou množinu často značíme jako (A, <), což nám také pomůže při kreslení hasseovského diagramu, protože pokud je (a,b) G p, pak je a < b a v hasseovském diagramu nakreslíme prvek a níž než prvek b. Uspořádaná dvojice (c,b) nám určuje, že prvek c bude níž než prvek b. Uspořádanou dvojici (a, c) zaznačíme do hasseovského diagramu tak, že nakreslíme prvek a níž než prvek c. Prvek c má být výš než prvek a a zároveň níž než prvek b, nakreslíme ho proto mezi prvek a a prvek b. Prvek e nakreslíme níž než prvek c, protože (e,c) G p, a zároveň níž než prvek b, protože (e,b) G p. Prvek e bude na stejné úrovni jako prvek a, ale nemůžeme je spolu propojit, protože 40 je neumíme mezi sebou porovnat. Prvek d nakreslíme volně a nespojíme ho s žádným prvkem, protože prvek d neumíme s žádným dalším prvkem porovnat. Obrázek 6.1: Hasseovský diagram uspořádané množiny Sami si zkuste rozmyslet, zda má hasseovský diagram nejmenší, popř. největší, nebo minimální, popř. maximální prvek. Příklad 6.2 Nakreslete hasseovský diagram pětiprvkové uspořádané množiny, která má jeden nejmenší prvek a dva maximální prvky. Řešení: Nejmenší prvek v hasseovském diagramu je takový prvek, který umíme porovnat se všemi ostatními prvky (tzn. je propojen s každým prvkem), a žádný jiný prvek není níž než tento prvek. O maximálním prvku v hasseovském diagramu mluvíme tehdy, pokud neexistuje takový prvek, který by byl výš než maximální prvek (tzn. maximální prvek nad sebou už nemá žádný jiný prvek). Na obrázku 6.2 je znázorněn příklad hasseovského diagramu, ve kterém je a nej menším prvek, a prvky e a d jsou maximální. Obrázek 6.2: Hasseovský diagram uspořádané množiny 41 Příklad 6.3 Vymyslete příklad konečné uspořádané množiny, která má jeden nej větší prvek a dva maximální prvky. Řešení: Příklad nemá řešení, protože pokud je v uspořádané množině největší prvek, pak je tento prvek také prvkem maximálním a žádné další maximální prvky v uspořádané množině neexistují. Příklad 6.4 Nakreslete hasseovský diagram konečné uspořádané množiny, která má jeden nejmenší prvek a nemá minimální prvek. Řešení: Příklad nemá řešení, protože pokud jev uspořádané množině nejmenší prvek, pak je tento prvek také minimální. Příklad 6.5 Na množině A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} je dána relace p = {(a,b) £ p O a\b}. Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (A, <) a určete minimální, maximální, nejmenší a největší prvek uspořádané množiny. Řešení: U tohoto příkladu se nabízí několik variant řešení, ovšem vždy se stejným výsledkem. Můžeme si např. nakreslit tabulku relace p a v ní ověřit u všech uspořádaných dvojic, zda patří do relace p či nikoli, a podle této tabulky pak nakreslit hasseovský diagram. Tato metoda by byla ovšem velmi zdlouhavá, protože tabulka je poměrně velká a ověřování všech dvojic by bylo zdlouhavé. Zkusíme se proto zamyslet nad rychlejším a jednodušším postupem. Nejdříve bychom si měli uvědomit, že se jedná o relaci dělitelnosti a že dva prvky jsou spolu v relaci, pokud platí a\b, tzn. b = k ■ a. Z tohoto vztahu si můžeme poměrně snadno odvodit, který prvek musí být v hasseovském diagramu umístěn nejníž. Tímto prvkem je prvek 1, protože 1 dělí každé číslo, ale 1 je dělitelná pouze sama sebou. O řádek výš budou všechna prvočísla z množiny A (tzn. 2, 3, 5, 7), protože ta jsou dělitelná pouze sama sebou a 1. Do hasseovského diagramu zbývá ještě umístit čísla 4, 6, 8 a 9. Číslo 4 nakreslíme v diagramu nad číslo 2, protože 4 je dělitelná 4, 2 a 1. Číslo 6 musí být spojené s čísly 2 a 3, protože číslo 6 je dělitelné 6, 2, 3 a 1. Číslo 8 nakreslíme nad číslo 4, protože číslo 8 je dělitelné 8, 4, 2, a 1. Poslední číslo 9 nakreslíme nad 3, protože číslo 9 je dělitelné 9 a 3. Když máme nakreslený hasseovský diagram můžeme začít s určováním minimálního, maximálního, nejmenšího a největšího prvku. Z diagramu je zřejmé, že nejmenším a zároveň i minimálním prvkem je 1, protože číslo 1 umíme porovnat se všemi ostatními prvky v uspořádané množině a neexistuje žádný menší prvek. Čísla 8, 6, 9, 5 a 7 jsou maximální prvky, protože nad nimi není již žádný další prvek. Největší prvek uspořádaná množina nemá. 42 1 Obrázek 6.3: Hasseovský diagram uspořádané množiny Příklad 6.6 Je dána množina A = {a,b,c,d} a uspořádaná množina (A, <), která je zadána has-seovským diagramem. Zapište relaci uspořádání výčtem prvků. (a) relace uspořádání p\ (b) relace uspořádání p2 (c) relace uspořádání pj Řešení: a) Relace uspořádání je vždy reflexivní, proto můžeme rovnou do zápisu relace p\ napsat uspořádané dvojice (a, a), (b,b), (c,c) a (d,d). Dále také víme, co platí pro prvky v hasse-ovském diagramu (viz. příklad 6.1). Pokud je prvek a spojen úsečkou s prvkem b a zároveň je prvek a níž než prvek b, potom platí a < b, tedy (a,b) G p\. Prvky c a d jsou v hasseovském diagramu znázorněny analogicky jako prvky a a b, proto (c,d) G p\. Relace uspořádání p\ = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (c,d)}. b) Každá relace uspořádání musí být reflexivní, proto víme, že ve výčtu prvků budou uspořádané dvojice (a, a), (b, b), (c, c) a(d,d). Prvek d není spojen úsečkou s žádným dalším prvkem, neumíme ho proto s žádným prvkem porovnat, a nebude proto s žádným jiným prvkem v relaci (v relaci bude pouze sám se sebou). V hasseovském diagramu je prvek a spojen úsečkou s prvkem b a prvek b je spojem úsečkou s prvkem c. Prvek a je níž než prvek b, proto (a,b) G P2- Prvek b je níž než prvek c, proto (b,c) G P2- Nesmíme zapomenout na to, 43 že prvek a je níž než prvek c, proto (a, c) G P2. Pokud bychom vynechali tuto uspořádanou dvojici, porušili bychom tranzitivitu relace, a nejednalo by se o uspořádání. Relaci uspořádání P2 zapíšeme výčtem prvků jako P2 = {(a, a), (b,b),(c,c), (d,d), (a,b), (b,c), (a,c)}. c) Jako v předchozích možnostech začneme tím, že každý prvek musí být v relaci sám se sebou, a proto ve výčtu prvků budou uspořádané dvojice (a,a),(b,b),(c,c) a (d,d). V hasseovském diagramu je úsečkou spojen pouze prvek a s prvkem b, navíc je prvek a níž než prvek b, proto (a,b) G P3. Prvky c a d jsou v relaci pouze samy se sebou, protože nejsou propojeny úsečkou s žádným dalším prvkem. Dostáváme relaci uspořádání p3 = {(a,á),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b)}. 6.1 Příklady k procvičení Cvičení 6.1.1 Na množině A = {a,b,c,d,e} je dána relace p = {(a,a), (d,d), (a,d), (d,b), (e,c)}. Doplňte relaci p nej menším možným způsobem tak, aby vzniklo uspořádání. Cvičení 6.1.2 Na množině A = {a,b,c,d} je dána relace p = {(a,a), (b,b),(c,c), (d,d), (a,b), (a,d), (b,d)}. Dokažte, že relace p je relací uspořádání, a nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (A, <). Cvičení 6.1.3 Nakreslete hasseovský diagram pětiprvkové uspořádané množiny, která má jeden nejmenší prvek a dva prvky maximální. Cvičení 6.1.4 Nakreslete hasseovský diagram konečné uspořádané množiny, která nemá žádný minimální prvek a tři prvky maximální. Cvičení 6.1.5 V hasseovských diagramech z příkladu 6.6 určete, které prvky jsou minimální, resp. maximální, resp. nejmenší, resp. největší. 44 Kapitola 7 Relace ekvivalence a rozklady V této kapitole se budeme zabývat relací ekvivalence, což je relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Dále si také ukážeme, jak sestrojit rozklad na dané množině a rozklad příslušný ekvivalenci ~. Pracovat budeme také s jednotlivými třídami rozkladu. Příklad 7.1 Na množině A = {a,b,c,d} je dána relace p = {(b,b), (c,c), (b,c), (d,b)}. Doplňte do výčtu prvků relace p uspořádané dvojice nej menším možným způsobem tak, aby vznikla relace ekvivalence ~. Nakreslete tabulku relace ekvivalence ~. Řešení: Ekvivalence je taková relace, která ja reflexivní, symetrická a tranzitivní. Relaci p proto musíme doplnit takovým způsobem, aby měla požadované vlastnosti. Nejdříve ošetříme reflexivitu relace p, protože k tomu aby byla relace reflexivní, stačí pouze doplnit uspořádané dvojce (a,a) a (d,d). Jako další vyřešíme tranzitivitu relace p. Z množinového zápisu je zřejmé, že dpb A bpc, musíme proto doplnit uspořádanou dvojici (d,c), aby byla relace p tranzitivní. Poslední vlastnost, kterou zbývá ošetřit, je symetrie. Aby byla relace p symetrická, stačí doplnit uspořádané dvojice (b,d), (c,b), a (c,d). Relace ekvivalence je tvaru ~ = {(b,b), (c,c), (b,c), (d,b), (a,a), (d,d),(d,c), (b,d), (c,b), (c,d)}. Nyní můžeme nakreslit tabulku ekvivalence ~. a b c d a 1 0 0 0 b 0 1 1 1 c 0 1 1 1 d 0 1 1 1 Příklad 7.2 Na množině A = {a,b,c,d,e} je dána relace p = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,d)}. Doplňte do výčtu prvků relace p uspořádané dvojice nejmenším možným způsobem tak, aby vznikla relace ekvivalence ~ a sestrojte rozklad Aj ~. 45 Řešení: Nejdříve doplníme relaci p tak, aby vznikla ekvivalence ~, tzn. relace ~ musí být reflexivní, symetrická a tranzitivní. Aby byla relace p reflexivní, doplníme uspořádané dvojice (d,d) a (e,e). Aby byla relace p symetrická, musíme doplnit uspořádanou dvojici (d,a). Relace p již dále doplňovat nemusíme, protože relace p je již tranzitivní. Dostáváme tedy relaci ~ = {(a,á),(b,b),(c,c),(a,d),(d,d),(e,e),(d,á)}. Rozklad A j ~ sestrojíme tak, že prvky, které jsou mezi sebou v relaci, budou v jedné třídě rozkladu. Platí a ~ d A d ~ a, proto prvky a ad budou v jedné třídě rozkladu a žádné další prvky v této třídě již nebudou. Prvky b, c a e jsou v relaci pouze samy se sebou a s žádným dalším prvkem v relaci nejsou, proto bude mít každý z těchto prvků vlastní třídu rozkladu. Rozklad A/~={{a,d},{b},{c},{e}}. Příklad 7.3 Na množině A = {m,n,o,p,q} je dán rozklad M. Určete relaci ~m pomocí výčtu prvků, pokud: a) M = {{o},{m,n},{p,q}}, b) M = {{m,o},{n},{p},{q}}, c) M = {{m},{n},{o,p,q}}. Řešení: a) Nejdříve musíme určit, které prvky jsou spolu v relaci. Prvek o tvoří vlastní třídu rozkladu M, bude proto v relaci pouze sám se sebou a do tabulky doplníme (0,0) G~m- Druhou třídu rozkladu M tvoří prvky man, musí být tedy platit (m,m) G~m, (n,n) G~m, (m,n) G~m a (n,m) G~m- Poslední třídu rozkladu M tvoří prvky p a q. Protože prvky jsou dva, budeme postupovat obdobně jako u druhé třídy rozkladu M. Prvky p a q musí být spolu v relaci a navíc musí být v relaci každý sám se sebou. Bude tedy platit (p,p) G~m, (q,q) G~m, (p,q) G~m a (q,p) G~m- Dostáváme tedy relaci ~m= {(0,0), (m,m), (n,n), (m,n), (n,m),(p,p), (q,q), (p,q), (q,p)}. b) První třídou rozkladu M je množina {m,o}, proto prvky map spolu musí být v relaci, tzn. (m,o) G~m, (o,m) G~m- Prvky také musí být v relaci každý sám se sebou, tzn. (m,m) G~m, (0,0) G~m- Dalšími třídami rozkladu M jsou jednoprvkové množiny, proto bude každý z prvků n, p a q v relaci pouze sám se sebou, tzn. (n,n) G~m, (p,p) G~m, (q,q) G~m- Relace ~m zapíšeme pomocí výčtu prvků jako ~m= {(m,o), (o,m), (m,m), (o,o),(n,n),(p,p),(q,q)}. c) První dvě třídy rozkladu M jsou jednoprvkové množiny, proto prvky man budou v relaci pouze samy se sebou, tzn. (m,m) G~m, (n,n) G~m- Další třídou rozkladu M je množina {o,p,q}, a musíme je dát do relace tak, aby byl každý prvek v relaci s každým prvkem, 46 tzn. (o, p) G~m, (o, q) G~M, (j>,o) G~M, (p,q) £~m, (}, {to}}, e) M = {{m}, {n,o}, {/",0 x > -1 A 6-x>0 6 >x Oba intervaly, které jsme získali vyřešením nerovnic, zaznačíme na číselnou osu a řešením bude průnik těchto intervalů. Z obrázku 8.1 je zřejmé, že x G (—1,6) 2) čitatel je záporný a jmenovatel je záporný x+l<0 x < -1 A 6-x<0 6 0 V nerovnici je zlomek, a proto musíme nejdříve určit, za jakých podmínek má smysl nerovnici řešit: x + 3 7^0 x^-3 Nerovnici budeme opět řešit ve dvou krocích, obdobně jako v a). 50 1) čitatel je nezáporný a jmenovatel kladný 5-x>0 5 >x A x + 3 >0 x> -3 Intervaly znázorníme na osu a řešením bude průnik těchto dvou intervalů. Z obrázku 8.3 je vidět, že x G (—3,5) 2) čitatel je nekladný a jmenovatel záporný 5-x<0 A x+3<0 Výsledné intervaly znázorníme na osu a řešením bude průnik těchto intervalů. Z obrázku 8.4 je zřejmé, že průnikem intervalů je prázdná množina, tedy x G 0. Obrázek 8.3: Průnik intervalů z 1) Obrázek 8.4: Průnik intervalů z 2) Definičním oborem funkce je sjednocení intervalů z 1) a 2), tedy £>(/) = (—3,5) c) Při hledání definičního oboru funkce y musíme dát pozor na to, že ve jmenovateli je proměnná x a navíc druhá odmocnina. Pokud je ve jmenovateli proměnná, nesmí být jmenovatel roven 0. Dostáváme tedy: Druhá odmocnina je definovaná pouze pro nezáporná čísla, proto definiční obor hledáme pomocí nerovnice: 5 0 4x>3 x> -~ 4 51 Pokud bychom se zamysleli nad tím, že odmocnina je ve jmenovateli zlomku, došli bychom k závěru, že druhá odmocnina nesmí být rovna 0, postačilo by tedy vyřešit pouze nerovnici: 4x-3 >0 Závěr je ale v obou případech stejný, a to ten, že D(f) = (|,°°). d) V předpisu této funkce vystupuje logaritmus a druhá odmocnina. Logaritmus je definován pro x G (0, °°). Pokud si načrtneme graf funkce logx, zjistíme že pro Vx G (0,1) je hodnota logaritmu záporná a pro Vx G (1,°°) je hodnota logaritmu nezáporná. Z předchozích příkladů již víme, že druhá odmocnina je definována pro nezáporná čísla. Díky těmto úvahám jsme se dostali k závěru, že pokud bude argument logaritmu větší nebo roven 1, budou pod odmocninou pouze nezáporná čísla. Stačí tedy vyřešit nerovnici: 2x- 1 > 1 2x>2 x> 1 Definičním oborem funkce je právě tento interval, tedy D(f) = (1,°°). Příklad 8.2 Rozhodněte, zda je funkce sudá, resp. lichá. a)/W 3 x b)/W — x3 x c)/W = x2-3, d)f(x) 2 x — 5 Řešení: O sudosti, resp. lichosti funkce můžeme rozhodnout pomocí grafu, protože graf sudé funkce je osově souměrný podlý osy y a graf liché funkce je středově souměrný podle počátku osy souřadnic. V tomto příkladu si ale ukážeme, jak rozhodnout o sudosti, resp. lichosti funkce na základě toho, že pro sudou funkci platí rovnost (8.1) a pro lichou funkci platí rovnost (8.2). f(-x)=f(x) (8.1) f(-x) = -f(x) (8.2) a) Nejdříve zjistíme, jaký tvar má /(— x), a na základě toho rozhodneme, zdaje daná funkce sudá, resp. lichá. Funkci f(—x) získáme tak, že v předpisu funkce f(x) nahradíme proměnnou x proměnnou —x. 52 Z rovnosti (8.2) je zřejmé, že funkce f(x) = | je lichá. b) Abychom mohli rozhodnout, zdaje daná funkce sudá, resp. lichá, opět zjistíme, jaký tvar má /(— x) a to tak, že do předpisu funkce f(x) dosadíme místo proměnné x proměnnou —x. f(-x) = (-x)3 - (-x) = -x3 +x = -(x3 -x) = -f(x) Je zřejmé, že je splněna rovnost (8.2) a funkce f{x) = x3 — x je lichá. c) Příklad opět vyřešíme tak, že dosadíme do předpisu funkce f(x) proměnnou —x za proměnnou x a tím získáme /(— x). /(-x) = (-x)2-3=x2-3 = /(x) V tomto případě je splněna rovnost (8.1) a funkce f(x) = x2 — 3 je sudá. d) K vyřešení příkladu je nutné určit, jak vypadá /(— x), proto dosadíme do předpisu f(x) za proměnnou x proměnnou —x. 2 2 f(-x) = l +-- = 1 -x — 5 x + 5 Předpis f(—x) nelze upravit do tvaru f(x) ani do tvaru —f(x), proto funkce f(x) = 1 + není ani sudá, ani lichá. Příklad 8.3 Rozhodněte, zda je funkce f(x) rostoucí (popř. neklesající) a klesající (popř. nerostoucí). a) /(*) = ^ + 6, c) /(*) = -log(x- 1), d) f(x) = |x — 3| — x. Řešení: Připomeňme si, co platí pro rostoucí a klesající funkci. Funkce f(x) je na intervalu I Q D(f) rostoucí, pokud je splněna implikace (8.3), klesající, pokud je splněna implikace (8.4), neklesající, pokud je splněna implikace (8.5) a nerostoucí, pokud je splněna implikace (8.6). xi,x2 G/, xi /(xi) f{xi) > f(x2) (8.4) xi,x2 El, xi f{x2) (8.6) 53 Intervaly, kde je funkce rostoucí (popř. neklesající) a klesající (popř. nerostoucí), lze poznat i z grafu funkce. Tento příklad ale slouží k tomu, abychom si ukázali, jak lze tuto vlastnost funkce určit i bez grafu funkce. a) Předpis funkce f(x) určuje přímku, která je na celém definičním oboru vždy buď rostoucí nebo klesající. Stačí nám tedy vzít jakékoli dvě různé hodnoty x\ a X2 a rozhodnout, jestli je splněn vztah (8.3) nebo (8.4). Zvolíme např. x\ = 1 a X2 = 2 a spočítáme v těchto bodech funkční hodnotu f(x\) a f fa). , , 1 1 + 12 13 fM = -2i + 6 = — = T /fe) = i-2 + 6=l+6 = 7 Funkční hodnota v bodě x\ je menší než funkční hodnota v bodě X2, tedy f fa) < f fa), je splněn vztah (8.3) a funkce f(x) = \x + 6 je rostoucí na celém definičním oboru. b) Grafem funkce f(x) je hyperbola, která je vždy na celém definičním oboru buď rostoucí nebo klesající. Definiční obor této funkce je D(f) = R \ {4}. Stejně jako v možnosti a) si zvolíme dvě různá x\ ax2, abychom mohli porovnat jejich funkční hodnoty. Zvolíme např. x\ = 3 a X2 = 5 a spočítáme funkční hodnoty f(x\) a f fa). /(*i) = -^-2 = -j-2 = -l-2 = -3 ffa) = -^-2 = -—l-2=l-2 = -l Funkční hodnota v bodě x\ je menší než funkční hodnota v bodě X2, tedy f fa) < f fa), je splněn vztah (8.3) a funkce f (x) = — 4^ — 2 je na celém definičním oboru rostoucí. c) Graf funkce logx je také rostoucí, popř. klesající na celém definičním oboru. Definiční obor funkce f (x) je tvaru D(f) = (1,°°). Zvolíme x\ = 6 a X2 = 7 a porovnáme funkční hodnoty v těchto dvou bodech. f fa) = -log(6- 1) = - log 5 = -0,699 f fa) = - log(7 - 2) = - log 6 = -0,778 Funkční hodnota v bodě x\ je větší než funkční hodnota v bodě X2, tedy fix\) > f fa), je splněn vztah (8.4) a funkce f (x) = — log(x — 1) je klesající na celém definičním oboru. d) Než začneme řešit, zdaje funkce klesající (popř. nerostoucí) nebo rostoucí (popř. neklesající), musíme předpis funkce f (x) upravit do tvaru bez absolutní hodnoty, s kterým se nám bude lépe pracovat (v tomto případě se funkce rozpadne na dvě různé funkce). Postupovat budeme tak, že najdeme nulový bod výrazu v absolutní hodnotě, tj. x — 3 = 0. Nulovým 54 bodem výrazu je xq = 3, který rozdělí definiční obor funkce na interval (—°°, 3) a interval (3,oo). Nejdříve budeme pracovat s intervalem (—°°, 3). Na tomto intervalu je výraz v absolutní hodnotě záporný, proto pokud se chceme zbavit absolutní hodnoty, vynásobíme výraz uvnitř absolutní hodnoty — 1. fí W = -l(x-3)-x f\{x) = — x + 3 — x f1(x) = -2x + 3 Na intervalu (3, °°) je výraz v absolutní hodnotě kladný a můžeme proto absolutní hodnotu odstanit. f2{x) = (x-3)-x fl(x) = x — 3 — x fi(x) = -3 Grafem funkce f\(x) je přímka, proto vezmeme dvě různá čísla x\,X2 G (—°°,3) taková, že x\ < X2- Zvolíme např. x\ = 0, X2 = 2 a vypočítáme funkční hodnoty. /i(*i) = -2-0 + 3 = 3 /ifo) =-2-2 + 3 =-4 + 3 = -1 Funkční hodnota f\ (x\) je větší než funkční hodnota f\ {x2), tedy f\ (x\ )> f\(x2). Je splněn vztah (8.4) a funkce f\(x) je na intervalu (—°°, 3) klesající. Funkce f2(x) je konstantní na celém intervalu (3,°°). Původní funkce f(x) je na intervalu (—°°, 3) klesající a na intervalu (3,°°) konstantní. Můžeme tedy předpokládat, že funkce f(x) je nerostoucí na celém definičním oboru funkce f(x). Abychom svoje tvrzení dokázali, vezmeme různá x\ a X2 z definičního oboru fix), např. x\ = 2, X2 = 3, a vypočítáme funkční hodnoty v obou bodech. f(Xl) = |2-3|-2=|-l|-2=l-3 = -2 f(x2) = |3 —3| —3 = |0|—3 = 0 —3 = —3 Funkční hodnota f(x\) je větší než funkční hodnota f(x2), protože hodnoty x\ a X2 jsou z intervalu (—°°, 3). Pokud si zvolíme x\ a X2 z intervalu (3, °°) např. x\ = 4, X2 = 5, funkční hodnoty budou stejné. f(xi) = |4-3|-4=|l|-4=l-4 = -3 f(x2) = |5-3|-5 = |2| — 5 = 2 — 5 = —3 Pro funkční hodnoty funkce f(x) platí: f(x\) > ffa), je splněn vztah (8.6) a funkce f(x) je nerostoucí. 55 Příklad 8.4 Rozhodněte, zda je funkce f(x) ohraničená (resp. shora ohraničená, resp. zdola ohraničená). a) /W= Q) -1, b) f(x) = cos|x+0 +3, c) f(x) = 3X2 — 6x + 3, d) /(*) = V*-9. Řešení: Nejdříve si připomeňme, jak je definován pojem ohraničené funkce. Funkce f(x) se nazývá ohraničená, pokud obor hodnot funkce f(x) je ohraničená množina, která je podmnožinou množiny IR. Při řešení příkladu budeme tedy postupovat tak, že najdeme obor hodnot H(f) funkce f(x) a) Exponenciální funkce mají obor hodnot H(f) = (0,°°). Exponenciální rovnice, která je v zadání, je posunutá o jednu jednotku po ose y směrem dolů, proto obor hodnot dané funkce je H(f) = (—1,°°). Teď stačí pouze dokázat, že funkce f(x) nemá funkční hodnotu menší než —1. To dokážeme pomocí nerovnice: X -1 > -1 2Y n -) >0 Je zřejmé, že levá strana nerovnice bude vždy větší než 0, bude se 0 pouze blížit. Dokázali jsme tedy, že funkce f(x) = (|)x — 1 je zdola omezená. b) Funkce cos x má obor hodnot H(f) = (—1,1). Funkce f(x) = cos(x + |) + 3 je posunutá o — j po ose x, ale to nemá na obor hodnot funkce žádný vliv. Nás zajímá posunutí po ose y, protože to nám mění obor hodnot funkce. Funkce f(x) je posunutá po ose y o 3 jednotky směrem nahoru. Obor hodnot funkce f(x) je proto H(f) = (2,4). 20 (x-l)2>0 Vx-9>-9 v*>o 57 "5 - e)v = 2x + 5, 1 „ -x-1 b)y=l--, f)y x3-l 2x x + 5 c)y = J(2x + 4)3-7, g)y = sin2x+l, d)y= —j-^, h)y = x3 + 3x2 + 3x+l. x-5 Cvičení 8.1.6 Rozhodněte, jaké vlastnosti mají funkce z příkladů 9.1.2 - 9.3.4 (rostoucí, klesající, sudá, lichá, ohraničená ...). 62 Kapitola 9 Elementární funkce V této kapitole budeme pracovat s polynomy a s grafy základních elementárních funkcí (funkce racionální, exponenciální, logaritmické, mocninné, goniometrické, cyklometrické a hyperbolické) a za pomoci vhodných transformací budeme získávat funkce elementární (tj. funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí). 9.1 Polynomy a racionální funkce Příklad 9.1.1 V oboru IR rozložte polynom / na součin kořenových činitelů. a) f = x4-l, b) f = x2 + 3x+ll. Řešení: a) Při hledání kořenů polynomu / lze použít vzorec pro rozklad na součin, konkrétně vzorec: a2 — b2 = (a — b)(a + b). Pokud aplikujeme tento vzorec na polynom /, získáme polynom tvaru: / = {x2 — l)(x2 + 1), ve kterém můžeme vzorec pro rozklad na součin použít ještě jednou. Po úpravě získáme polynom / = (x — l)(x + l)(x2 + 1). Polynom (x2 + 1) již nelze rozložit v oboru reálných čísel, proto konečný rozklad na součin kořenových činitelů je polynom tvaru: / = (x — 1) (x + 1) (x2 + 1). b) Polynom / je kvadratický, proto je nejjednodušší použít vzorec pro výpočet kořenů polynomu. Jako první spočítáme diskriminant D. D = &2-4ac = 32-4-l-ll =9-44 = -35 Diskriminant D vyšel záporný, což znamená, že kvadratický polynom / nemá žádné reálné kořeny, a proto je v IR ireducibilní (nerozložitelný). 63 Příklad 9.1.2 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = x nakreslete graf funkce f(x) = —0,5x + 2. Dále určete definiční obor funkce f(x), obor hodnot funkce f(x) a souřadnice průsečíku grafu funkce s osami x a y. Řešení: Z předpisu funkce f(x) je zřejmé, že se jedná o graf přímky. Přímka se obecně zapisuje ve tvaru y = kx + q, kde k je směrnice přímky (k < 0 => funkce je klesající, k > 0 => funkce je rostoucí) a q je posunutí po ose y. Příklad začneme řešit tak, že si nakreslíme souřadné osy x a y, do kterých nakreslíme funkci yi = x. Funkce f(x), kterou hledáme, má k < 0, proto si nakreslíme funkci j2 = —x. Posunutí q = 2 říká, že funkce je posunutá o dvě jednotky po ose y směrem nahoru. Pokud tedy funkci j2 posuneme o dvě jednotky nahoru po ose y, získáme graf funkce 73 = — x + 2. Nyní zbývá pouze vyřešit, jak se do grafu promítne směrnice k = — j. Směrnice k = — j říká, že graf bude klesat o j pomaleji než funkce 73 = — x+ 2. Abychom dosáhli co největší přesnosti grafu, spočítáme průsečíky grafu s osou x a s osou y. X 0 4 y 2 0 Obrázek 9.1: Transformace grafu y = x do grafu f(x) = —0,5x + 2 Když máme graf nakreslený, můžeme z grafu funkce určit definiční obor funkce f(x) a obor hodnot funkce f(x). Je zřejmé, že graf je neomezený ve směru osy x, proto D(f) = IR. Obor hodnot z grafu určíme také snadno, protože graf je neomezený i ve směru osy y H (f) = IR. 64 Příklad 9.1.3 Pomocí vhodných transformací grafu funkce Ji = ^ nakreslete graf funkce f(x) = — \ + 2. Dále určete definiční obor funkce fix), obor hodnot funkce fix) a souřadnice průsečíku grafu funkce s osami x a y. Řešení: Grafem funkce y\ = j je hyperbola, proto nejprve nakreslíme tento graf. V dalším kroku nakreslíme graf funkce j2 = —\, který je osově souměrný s grafem y\ = \ podle osy y. Graf funkce f(x) = —- +2 získáme tak, že posuneme graf j2 o dvě jednotky nahoru po ose y. Pro lepší názornost si můžeme nakreslit pomocnou osou x1, která prochází bodem [0,2] a je rovnoběžná s osou x. Z předpisu funkce je zřejmé, že funkce f(x) nemůže být rovna číslu 2, pouze se bude k tomuto číslu blížit. Abychom dosáhli maximální přesnosti grafu, najdeme průsečíky grafu f(x) s osou x a s osou y. Při hledání definičního oboru a oboru hodnot funkce f(x) budeme vycházet z grafu této funkce. Z grafu funkce f(x) je zřejmé, že definiční obor funkce f(x) je tvaru D(f) = R \ {0} a obor hodnot funkce f(x) je tvaru H(f) = R \ {2}. y x 0 Obrázek 9.2: Transformace grafu y = ^ do grafu f(x) = —^ + 2 65 Příklad 9.1.4 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = j nakreslete graf funkce f(x) = ^pj. Dále určete definiční obor funkce f(x), obor hodnot funkce f(x) a souřadnice průsečíku grafu funkce s osami x a y. Řešení: Předpis funkce f(x) je neryze lomená funkce, proto ji musíme upravit do tvaru součtu polynomů a ryze lomené funkce. Toho dosáhneme tak, že vydělíme polynom 3x + 5 polynomem x + 2. (3*+5):(* + 2) = 3-_L -(3x+6) -1 Získali jsme ekvivalentní předpis funkce f(x) = 3 — Nyní můžeme začít transformovat hyperbolu yi = i. Nejdříve nakreslíme graf funkce j2 = — \, který je osově souměrný s y\ = ^ podle osy y. Pokud posuneme graf y2 o dvě jednotky doleva po ose x, získáme graf funkce y'3 = —^5 (můžeme vytvořit pomocnou osu y', která je rovnoběžná s osou y a prochází bodem [—2,0]). Graf funkce f(x) získáme tak, že posuneme graf V3 o tři jednotky nahoru po ose y (můžeme si vytvořit pomocnou osu x', která je rovnoběžná s osou x a prochází bodem [0,3]). Abychom dosáhli co nejpřesnějšího grafu, spočítáme průsečíky grafu funkce f(x) se souřadnými osami xay. X 0 5 3 y 5 2 0 66 9.2 Funkce exponenciální, logaritmické a mocninné Příklad 9.2.1 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = e* nakreslete graf funkce f(x) = \ŕ — 3| — 1. Dále určete definiční obor funkce fix), obor hodnot funkce fix). Řešení: Funkce y = ex je exponenciální funkce se základem větším než 1, proto je funkce rostoucí na celém definičním oboru a prochází body [0,1] a [1, e]. Pokud posuneme funkci ji = é* o tři jednotky dolů po ose y, získáme graf funkce j2 = — 3. Graf funkce 73 = \ex — 3| dostaneme tak, že tu část grafu funkce j2> která je pod osou x (tzn. nabývá zde záporných hodnot), zobrazíme pomocí osové souměrnosti dle osy x do kladných hodnot (tzn. nad osu x). Graf funkce f(x) = \e* — 3| — 1 získáme tak, že graf funkce 73 posuneme o jednu jednotku směrem dolů po ose y. i- Obrázek 9.4: Transformace grafu y = e* do grafu fix) = \ex — 3| — 1 Z grafu funkce f(x) je zřejmé, že definičním oborem funkce f(x) = \é* — 3| — 1 je D(f) = IR a oborem hodnot funkce f(x) = \e* — 3| — 1 je interval (— 1,°°). 67 Příklad 9.2.2 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = log2x nakreslete graf funkce f(x) = | log2x| — 2. Dále určete definiční obor funkce f(x) a obor hodnot funkce f(x). Řešení: Nejdříve sestrojíme graf funkce y\ = log2x, který prochází body [1,0] a [2,1] a je rostoucí na celém definičním oboru. Graf funkce y2 = |l°g2xl získáme z grafu yi tak, že tu část grafu yi, která je pod osou x, zobrazíme pomocí osové souměrnosti podle osy x do kladných hodnot (tzn. nad osu x). Pokud posuneme graf funkce y2 o dvě jednotky dolů po ose y, získáme graf funkce f(x) = | log2x| — 2. Obrázek 9.5: Transformace grafu y = log2x do grafu f(x) = log2x — 2 Z grafu je zřejmé, že definiční obor funkce f(x) je D(f) = (0,°°) a oborem hodnot funkce f(x) je interval (—2,°°). 68 Příklad 9.2.3 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = log2x nakreslete graf funkce f(x) = log2(x — 2). Dále určete definiční obor funkce f(x) a obor hodnot funkce f(x). Řešení: Graf funkce y\ = log2x získáme stejně jako v příkladu 9.2.2 (graf funkce yi prochází body [2,1] [1,0]). Graf funkce y2 = l°g2(x — 2) získáme tak, že graf funkce yi posuneme o dvě jednotky doprava po ose x. Pokud tu část grafu y2, která je pod osou x, zobrazíme pomocí osové souměrnosti dle osy x, získáme graf funkce y3 = | log2 (x — 2) |. Obrázek 9.6: Transformace grafu y = log2x do grafu f(x) Z grafu lze snadno zjistit, že definiční obor funkce f(x) je tvaru D(f) funkce f(x) je interval (I,00). = log2(x-2) = (2,00) a oborem hodnot 69 Příklad 9.2.4 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = x5 nakreslete graf funkce f(x) = — (x + 2)5 + 1. Dále určete definiční obor funkce f(x), obor hodnot funkce f(x) a souřadnice průsečíku grafu funkce s osami x a y. Řešení: Výchozí graf, s kterým budeme pracovat, je graf yi = x5. Graf funkce y2 = —x5 je osově souměrný s grafem funkce yi podle osy y. Pokud graf funkce y2 posuneme o dvě jednotky doleva po ose x, získáme graf funkce y^ = — (x + 2)5. Graf funkce f{x) = — (x + 2)5 + 1 získáme z grafu funkce y3 tak, že graf funkce y3 posuneme o jednu jednotku směrem nahoru po ose y. Nyní spočítáme průsečíky funkce f(x) se souřadnými osami. X 0 -1 y -31 0 Obrázek 9.7: Transformace grafu y = x5 do grafu f(x) = —(x + 2)5 + 1 Z grafu funkce f(x) = —(x + 2)5 + 1 je patrné, že definiční obor funkce f(x) je D(f) = R a obor hodnot funkce f(x) je tvaru H(f) = IR. 70 Příklad 9.2.5 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = x2 nakreslete graf funkce f(x) = 2x2 + 4x— 1. Dále určete definiční obor funkce f(x), obor hodnot funkce f(x) a souřadnice průsečíku grafu funkce s osami x a y. Řešení: Funkci f(x) je potřeba nejdříve upravit do vrcholového tvaru, abychom věděli, kde je vrchol paraboly a jaké je posunutí po ose x a y, protože tyto vlastnosti z tvaru funkce f{x) = 2x2 + 4x — 1 nepoznáme. Funkci f{x) upravíme na tvar pomocí vytýkání a tzv. doplnění na čtverec. f(x) =2x2 + 4x-l =2(x2 + 2x)-l = 2(x2 + 2x+l-l)-l = 2(x2+ 2x+1)-2 - 1 = = 2(x+l)2-3 Funkci f{x) již máme v požadovaném tvaru a můžeme začít transformovat parabolu yi = x2. Nejdříve posuneme funkci y\ o dvě jednotky doleva po ose x a tím získáme graf funkce y2 = (* + l)2- Pokud graf funkce y2 posuneme o tři jednotky dolů po ose y, získáme graf funkce y3 = (x+ l)2 — 3. Graf funkce f(x) = 2(x+ l)2 — 3 klesá (popř. stoupá) dvakrát rychleji než funkce y$. Abychom věděli, kterými body paraboly f(x) prochází, spočítáme průsečíky s osou x a průsečík s osou y. X 0 -2+^ 2 -2-s/5 2 y -1 0 0 Obrázek 9.8: Transformace grafu y = x2 do grafu f(x) = 2X2 + 4x — 1 Z grafu je jasně vidět, že definiční obor funkce f(x) je tvaru D(f) = IR a obor hodnot funkce /(*)je/7(/) = <-3,oo). 71 9.3 Funkce goniometrické a cyklometrické Příklad 9.3.1 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = sinx nakreslete graf funkce f(x) = sin(x — f) + 3 pro x G (—2k,2k). Určete obor hodnot funkce f(x). Řešení: Při řešení příkladu budeme vycházet z funkce ji = sinx. Pokud posuneme graf funkce ji o 7j doprava po ose x, získáme graf funkce j2 = sin(x— -|). Graf funkce f(x) = sin(x— f) + 3 získáme, pokud posuneme graf funkce j2 ° tři jednotky směrem nahoru po ose y. Obrázek 9.9: Transformace grafu y = sinx do grafu f(x) = sin(x — -|) + 3 Obor hodnot funkce f(x) vidíme z grafu funkce f(x), tedy H(f) = (2,4). 72 Příklad 9.3.2 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = cos x nakreslete graf funkce f(x) = — cos(x + f) — 2 pro x G (—2k,2k). Určete obor hodnot funkce f(x). Řešení: Při hledání grafu funkce f(x) = — cos(x + f) — 2 si nejdříve načrtneme graf funkce yi = cosx. Graf funkce j2 = — cosx načrtneme tak, že graf funkce yi zobrazíme pomocí osové souměrnosti dle osy x. Pokud posuneme graf funkce J2 ° f směrem doleva po ose x, získáme graf funkce V3 = — cos(x + ^). Graf funkce f(x) = — cos(x+ f) — 2 sestrojíme tak, že graf funkce j3 posuneme o dvě jednotky směrem dolů po ose y. % Obrázek 9.10: Transformace grafu y = cosx do grafu f(x) = — cos(x + ^) — 2 Obor hodnot funkce f(x) je zřejmý z grafu funkce f(x), tedy H(f) = (—3,-1). 73 Příklad 9.3.3 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = arctgx nakreslete graf funkce f(x) = |arctg(x —1)| + ^.Určete definiční obor funkce f(x) a obor hodnot funkce f(x). Řešení: Nejdříve si nakreslíme graf funkce ji = arctgx, z kterého budeme vycházet. Když posuneme graf funkce ji a jednu jednotku doprava, získáme graf funkce y2 = arctg(x+ 1). Nyní nakreslíme graf funkce 73 = |arctg(x+ 1) |, který získáme tak, že tu část grafu funkce y2, která je na ose y v záporných hodnotách (tzn. pod osou x), zobrazíme pomocí osové souměrnosti podle osy x do kladných hodnot (tzn. nad osu x). Výsledný graf funkce f(x) = |arctg(x— 1)| + ^ dostaneme tak, že posuneme celý graf funkce J3 o ^ směrem nahoru po ose y. Obrázek 9.11: Transformace grafu y = arctgx do grafu f(x) = |arctg(x — 1) | + ^ Z grafu funkce f(x) = |arctg(x— 1)| + ^ je zřejmé, že definičním oborem funkce f(x) jsou všechna reálná čísla, tzn. D(f) = IR. Oborem hodnot původní funkce y = arctgx je interval H(f) G (—f ;f)- Díky transformacím grafu je oborem hodnot funkce f(x) = |arctg(x— l)| + f interval H(f) G (f,7r). 74 Příklad 9.3.4 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = arcsinx nakreslete graf funkce f(x) = — arcsin(x + 2) — n. Určete definiční obor funkce f(x) a obor hodnot funkce f(x). Řešení: Budeme vycházet z grafu funkce yi = arcsinx, který si načrtneme jako první. Graf funkce y2 = — arcsinx získáme z grafu funkce yi tak, že graf funkce yi zobrazíme pomocí osově souměrnosti podle osy x. Pokud posuneme graf funkce y2 o dvě jednotky doleva, získáme graf funkce y3 = — arcsin(x + 2). Výsledný graf f(x) = — arcsin(x + 2) — n získáme tak, že graf y3 posuneme o n dolů po ose y. Obrázek 9.12: Transformace grafu y = arctgx do grafu f(x) = |arctg(x— 1) Původní funkce y = arcsinx má definiční obor D(f) G (—1,1) a obor hodnot H(f) G Díky transformacím je definičním oborem funkce f(x) = — arcsin(x + 2) — n interval D(f) G (-3,-1) a oborem hodnot funkce f(x) je interval H(f) G (-^, -f). 75 9.4 Příklady k procvičení Cvičení 9.4.1 V oboru R rozložte polynom / na součin kořenových činitelů. a)/ e)/ b)/ d)/ 9^-1, x2 + 2x- 15, x3 - 3x2 - 4x, f) / g) / h) / 4y3-9x2v, x4 + 7x3 + 12x2, 9x2-y2 + 2xy-x2. Cvičení 9.4.2 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = ^ nakreslete graf funkce Cvičení 9.4.3 Pomocí vhodných transformací grafu funkce v = log3x nakreslete graf funkce /(x)=log3(x-l)+2. Cvičení 9.4.4 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = e* nakreslete graf funkce /(x) = |^-l|+2. Cvičení 9.4.5 Pomocí vhodných transformací grafu funkce y = sinx nakreslete graf funkce /(.v) = | sin2x| — 2 pro x G (—2k,2k). Cvičení 9.4.6 Pomocí vhodných transformací grafu funkce v = x2 nakreslete graf funkce f(x) = -x2-4x- 1. 76 Kapitola 10 Výsledky příkladů k procvičování Základní pojmy matematické logiky 1.1.1 a) ne, b) ano, c) ano, d) ne, e) ne. 1.1.2 a) Všechna prvočísla jsou lichá, b) Alespoň jedna krychle má 7 stěn. c) Nepůjdu do kina ani s Danou ani s Filipem, d) Alespoň jeden den se do školy učit musím, e) Nevrátim knížku do knihovny a zaplatím pokutu nejvýše 4 Kč. f)vTÔ < 3. 1.1.3 U (x) = {5,6,7,8,9}, V (x) = {7,8,9,10,11,12,13}, -if/ (x) A V (x) = {10,11,12,13}, U (x) V^V(x) = {5,6,7,8,9,14,15}, U (x) V (x) = {7,8,9,5,6,14,15}, U (x) -W(x) = {5,6,7,8,9, 10,11,12,13}, U(x)<*V(x) = {7,8,9,14,15}. 1.1.4 a) (f, f), b) (-oo,-5) U (4, oo), c) 0. Základy teorie množin 3.1.1 a) A nS = {0,1,2,3}, b) AUB = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}, c)B-A = {4,5}. 3.1.2 A = {a,b,c,d},B = {c,d,e,f,g}. 3.1.4 a) A C S, b) S C A. 3.1.5 a)AxB = {(a,l),(a,2),(b,l),(b,2),(c,l),(c,2)},b)BxA = {(l,a),(l,b),(l,c),(2,a), (2,b),(2,c)}, c) Bx2B = {(1,0), (1, {1}), (1, {2}), (1, {1,2}), (2,0), (2, {1}), (2, {2}), CM1*2})}. d)A xA = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}. 3.1.7 a) platí, b) neplatí, c) neplatí, d) platí. 77 Relace 4.1.1 Relace p je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná. a) p = {(l,l),(l,2),(l,3),(l,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} P 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 3 0 0 1 1 4 0 0 0 1 Obrázek 10.1: b) tabulka relace p Obrázek 10.2: c) uzlový graf relace p 4.1.2 p = {(m,n),(m,o),(n,p),(o,p),(o,q),(m,p),(m,q)} Obrázek 10.3: Uzlový graf relace p 4.1.3 p = {(a,a), (b,b), (d,a), (c,c), (d,d), (a,d)} 4.1.4 p = (/,«)} 0 Obrázek 10.4: Uzlový graf relace p 4.1.5 Př. 4.1: p"1 = {(A, 1), (D,2), (A,3), (£,4), (5,5)}, př. 4.2: p"1 = {(F,P), (P,F), (F,D), (D,P),(H,J), (K,H), (V,K),(J,V),(V,J),(H,L), (L,H), (K,L)}, př. 4.4: p"1 = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,3)}, př. 4.7:p-1 = {(l,l),(3,l),(4,2),(l,3),(3,3),(5,4),(4,5)}. 78 Zobrazení 5.1.1 a) není zobrazení, b) je zobrazení. 5.1.2 a) injektivní, b) injektivní, c) surjektivní. 5.1.3 a)x2+ 6, b)x2 + 10x + 26,c)x-5,d) y/x-\,&) y/x- 1 - 5, f) y/x- 6. 5.1.4 a) f (x) = 2x, Uspořádání 6.1.1 p = {(a,a),(d,d),(a,d),(d,b),(e,c),(a,b),(b,b),(c,c),(e,e)} 6.1.2 Relace p je uspořádání. 5.1.5 a)/(*) = §, Obrázek 10.5: Uzlový graf relace p 79 6.1.3 Hasseovský diagram může vypadat různě, proto je zde uvedeno několik příkladů. (d) (e) 6.1.4 Hasseovský diagram neexistuje, protože konečná množina má alespoň jeden minimální prvek. 6.1.5 a) prvky a a c jsou minimální, prvky b a d jsou maximální, b) prvky a a d jsou minimální, prvky c a d jsou maximální, c) prvky a, d a c jsou minimální, prvky b, d a c jsou maximální. Relace ekvivalence a rozklady 7.1.1 p = {{a,a),{d,d),{a,d), (d,b), (e,c), (a,b), (b,a), (b,b),(b,d), (c,c), (c,e),(d,a), (e,e)} 7.1.2 Relace p je ekvivalencí, A/p = {{a,b,d}, {c}}. 7.1.3 a) ~M= {(m,m),(n,n),(o,o),(p,p),(q,q),(r,r),(n,o),(o,n),(p,q),(p,r),(q,p),(q,r), (r,p), (r,q)}, b) ~m= {(m,m), (n,n),(o,o), (p,p), (q,q),(r,r), (m,n), (m,o), (n,m), (n,o), (o,m),(o,n),(p,q),(p,r),(q,p),(q,r),(r,p),(r,q)}, c) ~M= {(m,m),(n,n),(o,o),(p,p), (i,i), (r,r), (m,n), (n,m), (o,p), (p,o), (q,r),(r,q)}. 1'.1.4 a) ne, b) ano, c) ano, d) ne, e) ne. 80 Reálné funkce reálné proměnné 8.1.1 a) x G (-oo,0) U (5,°o), b) x G (-°o,-l) U (3,°o), c) x G (-°o,-2) U (-§,°°), d) x G (-oo,-4) U (3,00), e)xG (-oo,3) U (3,8), f) x G (i, 1) U (I-), g) x G (-5,0) U (O-), h) x G (-4,4). 8.1.2 a) neklesající, b) klesající, c) klesající, d) rostoucí, e) rostoucí, f) nerostoucí, g) neklesající, h) rostoucí. 8.1.3 a) sudá, b) ani lichá ani sudá, c) sudá, d) ani lichá ani sudá, e) lichá, f) ani lichá ani sudá, g) lichá, h) sudá. 8.1.4 a) zdola omezená, b) zdola omezená, c) shora omezená, d) omezená, e) neomezená, f) omezená, g) shora omezená, h) omezená. 8.1.5 a) r1 = ^2, b) r1 = c) r1 = i£±H d) r1 = ^/x e)/-1 = ^, o Z"1 = -§T, g) r1 = 2-arcsin(x- 1), h) f'1 = fä- 1. 8.1.6 Př. 9.1.2: funkce f (x) je klesající na celém definičním oboru, není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je neomezená, př. 9.1.3: funkce f (x) je rostoucí na celém definičním oboru, není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je na intervalu (—°°,0) omezená zdola a na intervalu (0,oo) omezená shora, př. 9.1.4: funkce f (x) je rostoucí na celém definičním oboru, není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je na intervalu (—°°,—2) omezená zdola a na intervalu (—2,oo) omezená shora, př. 9.2.1: funkce f (x) je klesající na intervalu (—°°,ln3) a rostoucí na intervalu (ln 3,°°), není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je omezená zdola, př. 9.2.2: funkce f (x) je klesající na intervalu (0,1) a rostoucí na intervalu (1, °°), funkce f (x) není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je omezená zdola, př. 9.2.3: funkce f (x) je klesající na intervalu (2,3) a rostoucí na intervalu (3,°°), funkce f (x) není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je omezená zdola, př. 9.2.4: funkce f (x) je klesající na celém definičním oboru, není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je neomezená, př. 9.2.5: funkce f (x) je klesající na intervalu (—°°, — 1) a rostoucí na intervalu (—1,°°), není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je omezená zdola, př. 9.2.3: funkce f (x) je periodická, rostoucí na intervalu (—2k, —n) U (O, n) a klesající na intervalu (—K, 0) U (n, 2n), funkce f (x) je sudá, není lichá a je omezená, př. 9.3.2: funkce f (x) je periodická, rostoucí na intervalu (-2n,-?f) U (-§,§) U (^f,2n) a klesající na intervali (—y, — f) U (y y), funkce f (x) je omezená, př. 9.3.3: funkce f (x) je klesající na intervalu (—°°, 1) a rostoucí na intervalu (I,00), funkce f (x) není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je omezená, př. 9.3.4: funkce f (x) je klesající na celém definičním oboru, není ani sudá, ani lichá, funkce f (x) je omezená. 81 Elementární funkce Cvičení 9.4.4 Cvičení 9.4.6 82 83 Závěr Cílem této bakalářské práce bylo vytvořit sbírku řešených matematických příkladů, která by sloužila studentům pedagogické fakulty jako pomůcka při studiu a pro snazší přípravu do předmětu Základy matematiky. Celá práce je rozložena do devíti základních kapitol, dle jednotlivých matematických oblastí. Každá kapitola obsahuje stručný úvod, který přibližuje studentům, co bude v kapitole řešeno, dále vzorové příklady, včetně postupu řešení a případného grafického znázornění výsledku. V závěru každé kapitoly je připraveno několik příkladů k procvičení. Výsledky těchto příkladů jsou uvedeny v samostatné kapitole v závěru této práce. Jednotlivé příklady jsem volila tak, aby bylo možné řádně a dostatečně vysvětlit postupy výpočtů a umožnit tak studentům snadnější pochopení základních principů potřebných pro řešení obtížnějších úloh. Práce obsahuje dostatek příkladů k úspěšnému zvládnutí a osvojení si potřebných znalostí nejen do předmětu Základy matematiky, ale i pro další obdobně zaměřené předměty a studia. Věřím, že tato sbírka Řešených příkladů ze Základů matematiky bude přínosem studentům pro snazší pochopení základních matematických principů a zároveň zdrojem vhodných příkladů pro vyučující matematických předmětů. 84 Literatura [I] KOSMÁK, Ladislav. Množinová algebra. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1995, 131 s. ISBN 8021010827 [2] KOSMÁK, Ladislav a Radovan POTŮČEK. Exercises in set algebra with solutions. Vyd. 1. Brno: Education Fakulty of Masaryk University, 1997, 46 s. ISBN 8021015659 [3] SIGLER, L. Excercises in set theory. New York: Springer-Verlag, 1976, 133 s. ISBN 3-540-90193-0 [4] COUFALOVÁ, Yvona. Cvičení z algebry. Vyd. 1. Brno: UJEP Brno, 1985, 168 s. [5] KATETOV, Miroslav. Jaká je logická výstavba matematiky? Vyd. 1. Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1946, 103 s. [6] VÝBORNÝ, Rudolf. Matematická indukce. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1963, 61 s. [7] SOMINSKIJ, Iľja Samuilovič. Metoda matematické indukce. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1953, 59 s. [8] JELÍNEK, Miloš. Množiny. Vyd. 2. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1973, 133 s. [9] JELÍNEK, Miloš. Relace a funkce. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1974, 128 s. [10] JELÍNEK, Miloš. Numerační soustavy. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1974, 128 s. [II] JELÍNEK, Miloš. Číselné množiny. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1977, 208 s. [12] BIALAS, Aleksander. O dělitelnosti čísel. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1966, 97 s. [13] BUKOVSKÝ, Lev a Igor KLUVÁNEK. Dirichletov princip. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1970, 58 s. [14] SEDLÁČEK, Jiří. Co víme o přirozených číslech. 3. vyd. Praha: Mladá fronta, 1977, 62 s. 85 [15] ŠMAKAL, Stanislav a Bruno BUDINSKÝ. Goniometrické funkce. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1968, 144 s. [16] CECH, Vlastimil. Proč děláme důkazy v matematice. Vyd. 1. Praha: SPN, 1971, 123 s. [17] ŠISLER, Miroslav a JARNÍK, Jiří. O funkcích. Vyd. 2. Praha: Mladá fronta, 1963, 60 s. [18] HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1991. 221 s. ISBN 80-210-0288-3. 86